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전자저널 논문

2020; 30(1): 19-37

Published online February 28, 2020 https://doi.org/10.29275/jerm.2020.02.30.1.19

Copyright © Korea Society of Education Studies in Mathematics.

A Study from a Multi-dimensional Curriculum Perspective on Including Concave Polygons in Teaching Polygon Concepts

다각형 개념 지도 시 오목다각형 도입에 대한 다차원 교육과정적 관점에서의 고찰

Joowon Do1, Suckyoon Paik2

* Teacher, Seoul Banghyun Elementary School, South korea, dojoowon@hanmail.net
** Professor, Seoul National University of Education, South Korea, sypaik@snue.ac.kr

*서울방현초등학교 교사, **서울교육대학교 교수

Correspondence to:corresponding author

Received: January 4, 2020; Revised: February 2, 2020; Accepted: February 6, 2020

This study discusses including concave polygons in teaching polygon concepts from the perspective of a series of multi-dimensional curriculum. The elementary mathematics curriculum revised in 2015 as the intended curriculum was compared and analyzed from the primary curriculum to the curriculum revised in 2009. The elementary mathematics textbooks of the curriculum revised in 2015 as written curriculum were compared and analyzed. For elementary school teachers, a survey study was conducted regarding the use and method of concave polygons when teaching polygon concepts as an implemented curriculum. A survey was conducted on elementary students" understanding of polygonal concepts as an accomplished curriculum. As a result, first, in consideration of the developmental characteristics of elementary school students, it is necessary to suggest clear limitations related to the polygon concept map in textbooks which is the intended curriculum and written curriculum. Second, since the teachers" PCK has significant impact on the students" mathematical concept formation, teacher training programs and pre-service teacher education should be strengthened to enable teachers to form accurate PCK on polygonal concepts. Third, teaching polygonal concepts by presenting concave polygons in accordance with the definition of polygons in the written curriculum, which can facilitate students" learning and understanding precise polygonal concepts, prevents the formation of misconceptions.

Keywordspolygon, concave polygon, curriculum, textbook, PCK

최근 4차 산업혁명이 대두되고 있는 시대적상황과 맞물려서 창의적인 미래인재 육성이라는 교육 목표 하에 2015 개정 수학과 교육과정에서는 기존 교육과정에서 강조했던 문제해결, 추론, 의사소통, 태도 및 실천, 정보처리와 같은 수학적 능력 외에도 창의ㆍ융합을 교과역량으로 추가적으로 설정하고 학생들이 이러한 수학 교과역량을 기를 수 있도록 지도해야 함을 강조하고 있다.

한편, NCTM(2000)에 따르면 기하 개념과 공간감각을 가지고 있는 학생은 수의 개념과 측정 개념뿐만 아니라 다른 상급의 수학 주제를 학습하는데 유리하므로, 초등학생의 도형에 대한 올바른 개념 형성은 수학 학습에 지대한 영향을 미치게 된다(Choi & Kim, 2005). 예를 들어, 다각형 개념에 포함되어 있으나 잘 다루어지지 않는 오목다각형은 여러 가지 흥미로운 다양성을 제공할 수 있으므로(Reys, Suydam, Lindquist, & Smith, 1998), 특히 창의ㆍ융합과 같은 수학과 교과역량의 지도와 밀접한 관련성이 있음을 유추해볼 수 있다.

하지만 초등학교 교과서에 제시된 다각형의 정의에 따르면 오목다각형 역시 다각형에 포함되나 일반적으로 볼록다각형을 주로 다루고 있다. 심지어 현행 중학교 교육과정의 기하 영역에서는 볼록다각형만 다루도록 다각형의 범위에 제한을 두고 있다. 즉, 교육과정에 제시된 내용에따라 ‘작성된 교육과정(Reys, Reys, Rubenstein, & NCTM, 2010)’인 교과서에 제시된 다각형의 정의에 따르면 오목다각형이 다각형에 포함됨에도 불구하고 다각형 지도에서는 특정한 원칙 없이 의도적으로 제한을 두거나 배제하고 있는 상태이다. 이러한 오목다각형 지도의 경우 교과서에 제시되는 한계가 교육과정기별로 달리 나타나고 있으며, 교사에 의해 실제 수업에서 실행될 때에도 교과서에 따라 또는 교사에 따라 다르게 구현될 수 있다. 이렇게 ‘실행된 교육과정(Reys et al., 2010)’으로부터 학생에 의해 성취된 결과 면에서도 차이가 나타날 것이 당연시 된다.

이와 같이 수학 수업에 대한 학습 기대를 구체화한 ‘의도적 교육과정’으로서의 국가 수준의교육과정에 따라 수학 수업을 지원하기 위해 ‘작성된 교육과정’으로서의 교과서가 개발되며, 교사는 이 교과서를 수학 수업에 어떻게 활용할 것인지에 대해 교수학적 의사결정을 하게 된다. 교사의 수업 재구성을 통해 ‘실행된 교육과정’ 즉, 학생들이 학습할 기회를 갖는 수학 내용이결정된다(Reys et al., 2010). 현재 적용중인 2015 개정 교육과정 교과서 역시 국가 수준에서 작성된 교육과정에 따라 개발되었으며, 교사에 의해재구성되어 수업에서 실행되고 있다. 이러한 일련의 다차원적 교육과정이 학습에 미치는 영향 즉, 교육과정의 효과성에 대한 부분은 학생에 의해 ‘성취된 교육과정’인 셈이다. 즉, ‘의도-작성-실행된 교육과정’은 학생에 의해 ‘성취된 교육과정’에 의해 일련의 교육과정이 갖는 효과성을검증할 수 있게 해준다(Stein & Smith, 2010). 따라서 다각형 개념 지도 시 오목다각형 도입 여부 및 방식에 대하여 ‘의도-작성-실행-성취된’ 다차원적 교육과정 관점에서 체계적인 논의의 필요성이 대두된다.

한편, 기존의 수학교육에 있어서 교육과정적실천은 국가 수준의 교육과정으로부터 시작되어 수학교육 현장으로 소위 하향식 방식을 취하기 때문에 오목다각형 학습과 관련한 문제점 해결에는 한계가 있다. 이에 본 연구에서는 학생의성취된 교육과정으로부터 시작하여 실행-작성-의도된 교육과정으로 향하는 피드백 관점에서의 논의를 함으로써 다각형 개념 지도 시 오목다각형 도입 여부 및 도입 시 교수ㆍ학습 방법 면에서의 쟁점 사항을 파악하고 이를 개선하기 위한 시사점을 도출하고자 하였다.

1. 다각형의 개념

‘다각형(polygon)’이라는 용어는 그리스어로 ‘많은(polu-)’과 ‘각이 있는(-gonon)’에서 기인한다(McGraw-Hill, 2012). 미국 교과서 Math Connect 3(p.472)에서는 ‘3개 이상의 선분과 각을 가지고있는 닫힌 2차 도형’(Macmillan & McGraw-Hill, 2009a)과 같이 선분과 각을 이용하여 다각형을정의하고 있다. 하지만 Mathematics 6(p. 455), Math Connect 4(p. 362), Math Connect 5(p. 608), HSP Mathematics 3(p. 356), HSP Mathematics 4(p. 520), HSP Mathematics 5(p. 490), HSP Mathematics 6(p. 440), My Math 5(p. 903), My Math 6(p. 839), Go Math 5(p. 441), Go Math 6(p. 433) 등 다수의 미국 교과서와 싱가포르 교과서인 Math in Focus 3B(p. 304)에서는 ‘서로 교차하지 않는 선분으로 이루어진 닫힌 도형’과 같이선분만을 이용하여 다각형을 정의하고 있다(Harcourt School Publisher, 2009a, 2009b, 2009c, 2009d; Houghton Mifflin Harcourt, 2011a, 2011b; Macmillan & McGraw-Hill, 2009b, 2009c; Marshall Cavendish Education, 2013; McGraw-Hill, 2012, 2013a, 2013b; McGraw-Hill School Division, 2002). 우리나라의 각 교육과정기별 교과서에 제시된 다각형의 정의 역시 Table 1에 제시된 바와같이 ‘선분으로 둘러싸인 도형’이라는 진술이 가장 많이 등장하고 있다. 하지만 1차와 4차 교육과정 교과서에는 ‘다각형’의 정의는 등장하지 않았다. 3차 교육과정 교과서인 <산수 3-2>에서는 유일하게 ‘다각형’과 ‘볼록다각형’, ‘오목다각형’ 의 정의를 함께 제시하고 있다. 5차~2015 개정교육과정 교과서에서는 다각형을 ‘선분으로만둘러싸인 도형’으로 선분에 초점을 두어 진술하고 있다.

Table 1 Definition of polygon presented in textbooks for each curriculum of Korea

교육과정학년단원(쪽수)다각형의 정의
2차산수 3-23. 점과 선 (p.43)선분으로 된 폐곡선을 ‘다각형’이라고 합니다.
3차산수 3-23. 다각형과 원(p.40)선분으로 된 폐곡선의 모양을 ‘다각형’이라고 합니다. 볼록폐곡선으로 된 다각형을 ‘볼록다각형’이라고 하고, 오목폐곡선으로 된 다각형을 ‘오목다각형’이라고 합니다.
5차산수 3-23. 평면도형(p.42)선분으로 둘러싸인 도형을 ‘다각형’이라고 합니다.
6차산수 4-23. 평면도형(p.38)3개 이상의 선분으로 둘러싸인 도형을 ‘다각형’이라고 합니다.
7차수학 4-나5. 사각형과 도형 만들기(p.72)선분으로만 둘러싸인 도형을 ‘다각형’이라고 합니다.
2007 개정수학 4-24. 사각형과 다각형(p.58)선분으로만 둘러싸인 도형을 ‘다각형’이라고 합니다.
2009 개정수학 4-23. 다각형(p.97)선분으로만 둘러싸인 도형을 ‘다각형’이라고 합니다.
2015 개정수학 4-26. 다각형(p.119)선분으로만 둘러싸인 도형을 ‘다각형’이라고 합니다.


일반적으로 도형 내부의 임의의 두 점을 연결했을 때, 그 선분이 도형의 내부에 있으면 ‘볼록다각형(convex polygon)’이고, 그렇지 않으면 ‘오목다각형(concave polygon)’이다. 앞서 다각형의 개념 정의를 분석한 미국 초등학교 교과서 5종12권 중 HSP Mathematics 5외의 11권에서는 오목사각형, 오목오각형, 오목육각형 등의 오목다각형을 다각형의 예시로 제시하고 있다. 하지만우리나라 초ㆍ중등 교과서에서는 다각형 개념 지도 시 직관적으로 단순한 볼록다각형을 도입하여 제시하며 단순한 볼록다각형을 제외한 다른 다각형을 명시적으로 언급하는 것을 피하는 경향이 있다(Hong, Ha, & Park, 2007). 이처럼 다각형의 개념에는 포함되나 우리나라 교과서에서는 잘 다루어지지 않는 오목다각형은 여러 가지 흥미로운 다양성을 제공할 수 있으므로(Reys et al., 1998), 문제해결, 추론, 창의ㆍ융합 등의 수학과 교과역량과의 관련성을 유추해볼 수 있다.

이와 관련한 선행 연구로는 2009 개정 교육과정 교과서에서와 같이 볼록다각형과 함께 오목다각형을 다루는 것이 효과적인 교육방법이며, 초등학교 수학과 교육과정에서 오목다각형을 취급하지 않도록 제한을 두는 것은 불가능하다고 본 Kang(2013)의 연구가 있다. 그리고 이에 대한문제점을 제기하며 오목다각형의 취급을 재고해야 한다고 주장한 Choi, Choi, & Park(2014)의 연구와 비판적인 관점에서 이 두 연구를 대비시켜 논의한 Park(2016)의 연구 등이 있다. Park(2016)에 따르면, 초등학교 수학에서 ‘다각형’은 ‘볼록다각형’을 의미하는 것으로 2009 개정 교육과정역시 이전 교육과정과 다를 바 없으므로 초등학교 수학에서 오목다각형을 취급하지 않으리라 기대하게 되며, 중학교 교육과정과의 연계를 염두에 두고 초등 수학에서 오목다각형 취급에 대해 논의해야 할 것이다. 하지만 ‘다각형’ 용어에는 닫힌(closed) 성질, 평면에 존재하는 도형, 같은 개수의 꼭짓점, 각, 선분으로 이루어진 도형이라는 의미가 내포되어 있으므로(Hong et al., 2007), 볼록다각형뿐만 아니라 오목다각형도 다각형에 포함된다. 즉, 교과서에 제시된 다각형의정의가 볼록다각형만을 의미한다고 볼 수 없으며, 당연히 오목다각형도 다각형에 포함된다.

2. 오목다각형이 포함된 다각형 개념 지도와 관련된 각 교육과정기별 교수ㆍ학습 상의 유의점

오목다각형이 포함되는 다각형 개념과 관련하여 1차~2009 개정 교육과정까지 각 교육과정기별지도 내용 및 성취 기준을 살펴보면, 오목다각형이나 볼록다각형이 각 교육과정에 명시되어 나타나지는 않았다. 하지만, 3차 교육과정의 <산수3-1>에서는 폐곡선 개념을 기반으로 ‘선분으로 이루어진 폐곡선’을 ‘다각형’으로 정의하고 ‘볼록다각형’, ‘오목다각형’의 용어를 명시하고 있다. 이는 3차 교육과정의 3학년 도형 영역의 교수․학습상의 유의점인 ‘교육과정의 목표나 내용의 서술에 있어서 수학적인 용어를 사용하였다고 하여, 그것이 직접 어린이들이 사용하는 용어와 일치하는 것은 아니지만 저학년부터 수학적인 용어를 사용하여 학습이 전개되도록 노력한다.’를 반영하여 저학년부터 수학적인 용어를 사용하여 학습이 전개되도록 교과서를 작성한 것으로 보인다.

2009 개정 교육과정의 초등학교 1~2학년군의도형 영역의 교수ㆍ학습 상의 유의점 중 ‘④ 삼각형, 사각형, 원은 예인 것과 예가 아닌 것을인식하고 분류하는 활동을 통하여 직관적으로 이해하게 한다.’, ‘⑤ 삼각형과 사각형에 대한 직관적 이해를 통해 도형의 이름과 변 또는 꼭짓점의 개수와의 관계를 파악하고, 그 관계를 일반화하여 오각형과 육각형을 구별하여 이름 지을 수 있게 한다.’에 관하여 숙고할 필요가 있다. 실제 2009 개정 교육과정 교과서에서는 ‘오목다각형’이라는 용어를 사용하고 있지 않지만 <수학2-1>의 삼각형, 사각형을 찾는 활동에서는 오목다각형을 삼각형과 사각형의 반례로 제시하고 있으며, <수학 4-2>에서는 오목다각형을 다각형의 예에 포함시켜 제시하고 있다.

3. 다각형 개념 지도와 관련된 각 교육과정기별 초등학교 수학 교과서와 익힘책 내용

1차~2009 개정 교육과정까지의 각 교육과정기별 초등학교 수학 교과서와 익힘책을 분석한 결과 다각형 개념과 오목다각형 제시 여부는 Table 2와 같다. 이에 대한 구체적인 내용을 살펴보면, 2차 교육과정의 <산수 5-1>에서는 사각형의 예시로 Figure 1과 같이 오목사각형을 제시한 후 ‘이렇게 오목하게 들어간 사각형은 여기에서는다루지 않는다.’고 명시하고 있다(p.108). 3차 교육과정의 <산수 3-2>에서는 ‘다각형’의 예시로오목사각형, 오목오각형, 오목육각형을 제시하고있으며, ‘볼록다각형’과 ‘오목다각형’을 분류하는활동에 Figure 2와 같은 오목오각형을 제시하고있다. <산수 4-1>에서도 오목오각형을 다각형의예시로 제시하고 있다.

Table 2 Polygon concepts and concave polygons presented in textbooks for each curriculum

교육 과정다각형의 정의와 관련된 용어교과서에 제시된 오목다각형
1차직사각형, 정사각형, 정삼각형, 사각형, 삼각형, 나란히꼴, 마름모-
2차다각형, 폐곡선, 개곡선, 평행사 변형, 마름모, 사다리꼴, 이등변 삼각형, 정삼각형, 사각형, 정사 각형, 정육각형, 정팔각형, 정오 각형오목사각형
3차삼각형, 사각형, 폐곡선, 폐곡선 의 영역, 볼록폐곡선, 오목폐곡 선, 다각형, 직사각형, 정사각형, 평행사변형, 사다리꼴, 마름모오목칠각형, 오목사각형, 오목오각형, 오목육각형
4차삼각형, 사각형, 직사각형, 정사각 형, 사다리꼴, 평행사변형, 마름모-
5차삼각형, 사각형, 직사각형, 정사 각형, 다각형, 이등변삼각형, 사 다리꼴, 평행사변형, 마름모오목육각형
6차삼각형, 사각형, 직사각형, 정사각 형, 사다리꼴, 평행사변형, 마름모, 다각형, 정삼각형, 이등변삼각형-
7차사각형, 삼각형, 도형과 도형 움 직이기, 직각삼각형, 직사각형, 정사각형, 사다리꼴, 평행사변형, 마름모, 다각형, 정다각형-
2007 개정사각형, 삼각형, 직각삼각형, 직사 각형, 정사각형, 사다리꼴, 평행사 변형, 마름모, 다각형, 정다각형오목십각형
2009 개정삼각형, 사각형, 오각형, 육각 형, 사다리꼴, 평행사변형, 마름 모, 직사각형, 다각형, 정다각형오목다각형, 오목육각형, 오목팔각형, 오목십이각형, 오목사각형

Figure 1.A textbook of the 2th curriculum version
Figure 2.A textbook of the 3th curriculum version

5차 교육과정의 <산수 5-1>에서는 오목오각형을 ‘오각형’으로, <산수 5-2>에서는 Figure 3과 같이 오목육각형을 ‘육각형’으로 명시하고 있다. 2007 개정 교육과정의 <수학 익힘 3-1>에서는 Figure 4와 같이 다각형 분류하는 문제에 별 모양의 오목십각형을 반례로 제시하고 있다.

Figure 3.A textbook of the 5th curriculum version
Figure 4.A textbook of 2007 revised version

2009 개정 교육과정의 <수학 익힘 2-1>에서는다각형 분류 문제에서 Figure 5의 (1)~(3)과 같이각각 삼각형, 사각형, 오각형, 육각형으로 잘못인지할 수 있는 오목육각형, 오목십이각형, 오목팔각형, 오목십각형을 제시하고 있다. <수학4-2>의 다각형 분류 활동에서는 Figure 5의 (4)와같이 오목사각형, 오목육각형을 제시하고 있다.

Figure 5.Textbooks of 2009 revised version

4. 다차원 교육과정적 관점

학생들에게 양질의 수학학습 기회를 제공하고자 할 때 수학과 교육과정은 항상 핵심 이슈가 되어 왔다(Reys et al., 2010). 미국에서는 2009년에 공통 핵심 규준(CCSSM)과 같은 수학과 교육과정이 개발되었으며, 이에 따라 Reys et al.(2010)에서는 K-12학년 수학 프로그램을 구성하기 위해 다양한 형태의 교육과정인 의도-작성-실행된 일련의 다차원적 교육과정에 대하여 논의하고 있다. 첫째, 의도된 교육과정은 지역, 주, 국가 수준의 교육과정으로 학교 수학 수업을 위한 학습 목표 즉, 교육과정 규준을 학년별로 구체화하여 학교에서 무엇을 가르쳐야 하는지, 수학 내용 및 과정을 강조해야 하는 시기 등에 관한 안내를 제공하며, 교과서나 평가 내용의 지침이 된다. 둘째, 작성된 교육과정에는 교육과정규준을 이용하여 의도된 교육과정을 실행하기위한 교과서 및 기타 교수ㆍ학습 자료가 포함된다. 셋째, 실행된 교육과정에서는 교사가 수업에사용할 교육과정적 자료나 그 이용 방법에 대하여 교수학적 의사결정을 내리게 된다. 이러한 일련의 다차원적 교육과정은 교사의 결정과 학생의학습 기회에 직접적인 영향을 미치게 되므로(Reys et al., 2010), 1980년대 이후로 연구의 핵심 주제로 학교 개혁의 지렛대 역할을 수행해오고 있다. 따라서 교육과정은 학생이 흥미로운 문제를 탐구하고 유용한 발견술을 터득할 수 있도록 교사가 보다 효과적인 수단을 안내할 수 있는 환경을 제공할 수 있게 설계되어야 한다. 좋은 교육과정은 교사가 그러한 환경을 제공할 수 있도록 도와주는 것이며(Willoughby, 2010), 의도-작성-실행된 교육과정 모두 학생의 학습 성취에 효과적이어야 한다는 동일한 지향점을 가지고 있다.

교육과정은 학생이 어떤 내용을 배울지, 그리고 어떤 교육의 기회를 제공받는지를 결정하는데 있어 강력한 영향을 미친다. 교사들은 수학지도의 근간으로 오랫동안 교과서를 사용해 왔다. 하지만 동일한 교과서를 사용하는 교사들조차도 종종 수업 내용이 다르며(Thopmson & Senk, 2010), 다양한 맥락(교육시간 등)과 개인적인 요소(학생 요구에 대한 인식, 수학 자료에 대한 교사의 이해 등)를 고려하여 다양한 방법으로 교과 자료를 활용한다(Stein, Remillard, & Smith, 2007). 따라서 Stein & Smith(2010)는 수업시간에 교사와 학생이 서로 상호작용하는 가운데 교사의 생각이나 수업 계획, 또는 교과서에제시된 것과는 다른 것을 만들어 낸다고 보았다. 그리고 교육과정이 구현될 때 이러한 실행된 교육과정의 특성을 고려하지 않을 경우 성취된 교육과정에 대한 의미 있는 판단을 내리기 어려움을 주장하였다. 따라서 교육과정이 학생의 학습에 직접적으로 영향을 주기 보다는 ‘기술된 교육과정’으로부터 교수를 위한 교사의 계획인 ‘의도된 교육과정’에 따라 교실에서 교육과정에 기반한 과제의 실제적인 이행에 따라 ‘실행되는교육과정’이 일련의 시간에 따른 국면에 따라전개되어 학생이 ‘경험하는 교육과정’이 된다고보았다. 이와 같이 Reys et al.(2010)Stein & Smith(2010)가 제안한 교육과정 모두 종국에는학생에 의해 성취되는 교육과정으로 귀결되고 있다. 본 연구에서는 Reys et al.(2010)이 제시한의도-작성-실행된 교육과정과 Stein & Smith(2010)가 언급한 성취된 교육과정을 참고하여 다차원적 교육과정의 시간적 흐름에 따른 적용 국면을 Figure 6과 같이 도식화하여 적용하였다.

Figure 6.The application phase according to the time flow of multidimensional curriculum

Figure 6은 국가 수준의 의도된 교육과정, 이에 따라 교과서와 같이 작성된 교육과정, 교사에의해 구현되는 실행된 교육과정, 학생에 의해 성취된 교육과정 순으로 교육과정이 실천되며, 다시 성취된 교육과정으로부터 출발하여 실행된 교육과정, 작성된 교육과정, 의도된 교육과정으로피드백이 이루어져 일련의 다차원적 교육과정의 수정 및 개선이 이루어지는 구조를 보여준다.

1. 연구 대상 및 절차

본 연구에서는 초등학교에서 다각형 개념 지도 시 오목다각형 도입 여부 및 방식에 대한 시사점을 얻기 위하여 Figure 6에 제시된 다차원적교육과정의 관점에서 연구를 설계하였다.

연구 대상으로는 현재 적용중인 2015 개정 수학과 교육과정을 의도된 교육과정으로, 2015 개정교육과정 초등학교 1~6학년 수학과 교과서와 익힘책을 작성된 교육과정으로 선정하였다. 하지만교사용 지도서는 교과용 도서이기는 하나 작성된 교육과정이나 또는 실행된 교육과정의 범주에 포함시키기에 적합하지 않아 연구 대상에서 제외하였다. 실행된 교육과정을 파악하기 위하여 서울소재의 한 초등학교에 근무하는 교사 20명을 대상으로 선정하였다. 교사 20명의 교육경력별 교사수를 살펴보면 5년 미만 8명, 5년 이상 10년 미만1명, 10년 이상 15년 미만 3명, 15년 이상 20년 미만 5명, 20년 이상 3명이었다. 성취된 교육과정을파악하기 위하여 연구 대상 교사들이 속한 서울 소재의 한 초등학교에서 이미 다각형 개념에 대해 학습한 5학년 학생 63명, 6학년 학생 48명(총 111명)을 대상으로 선정하였다. 이를 대상으로 하여다각형 개념 지도 시 오목다각형 도입 여부 및 방식과 관련하여 교사에 의해 실행된 교육과정과 초등학생에게 성취된 교육과정에 대한 조사 연구를 실시하여 의도-작성-실행-성취된 일련의 교육과정국면들 사이의 관련성을 파악하고자 하였다.

한편, 본 연구에서는 실행된 교육과정 및 성취된 교육과정에 대한 연구 대상인 교사와 학생을 의도적 표집 방법에 의해 선정하였으므로 연구 결과의 일반화에 제한점이 따른다.

2. 자료 수집 및 분석

본 연구에서는 2015 개정 초등학교 수학과 교육과정 교과서에서의 다각형의 개념 지도와 관련하여 2015 개정 교육과정을 Ⅱ장에서 분석한 1차~2009 개정 교육과정과 비교하였다. 그리고 2015 개정 교육과정의 1~6학년 교과서 및 익힘책에서 오목다각형이 제시된 사례를 Ⅱ장에서 분석한 각 교육과정기별 교과서 및 익힘책의 사례와 비교하였다. 그러나 오목다각형이 제시되었더라도 ‘다각형’ 용어의사용 없이 ‘모양’, ‘도형’, ‘평면도형’ 등의 용어를사용하여 지칭한 경우나 여러 가지 모양 만들기,무늬 꾸미기, 도형의 이동, 합동이나 대칭, 확대와축소, 비례식, 평면도형의 둘레와 넓이 구하기 등의내용 지도에 사용된 경우는 제외하였다.

또한, Hong et al.(2007)의 문항 형식과 2009 개정 및 2015 개정 교육과정의 <수학 4-2>와 <수학 익힘 4-2>의 내용을 참고하여 다각형 개념에대한 교사들의 PCK 및 다각형 개념 지도 시 오목다각형 도입 여부에 대한 교사 설문 문항을 Figure 7과 같이 개발하였다. 또한 학생들의 다각형 개념에 대한 이해 정도를 확인하기 위하여 다각형 찾기, 그리기, 분류하기, 정의 쓰기에 대한 문항을 Figure 8과 같이 개발하였다. 이렇게개발한 문항은 수학교육전문가의 검토를 거쳐 문항의 신뢰도와 타당도를 검증하여 적용하였다.

Figure 7.Teacher questionnaire about how to teach polygon concepts
Figure 8.Student questionnaire on understanding polygon concepts

교사 및 학생 설문 문항은 학습지의 형태로 작성 및 적용하여 자료를 수집하였다. 교사 설문의 경우 전원이 응답하였다(회수율 100%). 학생설문의 경우 5학년 학생 63명 중 57명, 6학년 학생 48명 중 46명으로 총 110명 중 103명이 응답하였다(회수율 94.6%). 수집한 자료는 문항별로응답한 반응 사례를 분석하였다.

1. 오목다각형이 포함된 다각형 개념 지도와 관련된 2015 개정 수학과 교육과정의 교수․학습 상의 유의점 분석

다각형 개념 지도 시 오목다각형을 사용한 사례에 대한 지도 내용 및 성취 기준을 2015 개정 교육과정에서 살펴보면, 다각형을 오목다각형이나 볼록다각형으로 구분하여 제시하지 않았다.

초등학교 1~2학년군의 도형 영역의 교수․학습 상의 유의점 중 ‘④ 삼각형, 사각형, 원은 예인 것과 예가 아닌 것을 인식하고 분류하는 활동을 통하여 직관적으로 이해하게 한다.’, ‘⑤ 삼각형과 사각형에 대한 직관적 이해를 통해 도형의 이름과 변 또는 꼭짓점의 개수와의 관계를 파악하고, 그 관계를 일반화하여 오각형과 육각형을 구별하여 이름 지을 수 있게 한다.’는 2009 개정 교육과정에서와 같은 내용이다. 실제 2009 개정 및 2015 개정 교육과정 2학년 교과서의 삼각형, 사각형을 찾는 활동에서는 삼각형, 사각형모양의 오목다각형을 보기에 반례로 제시하고 있다. 또한 2009 개정 교육과정의 3~4학년군 도형 영역에서는 ‘오목다각형’이라는 용어를 명시하지 않았지만 <수학 4-2>에서는 오목다각형을다각형의 예에 포함시켜 제시하고 있다. 그런데2015 개정 교육과정의 초등학교 3~4학년군 도형영역의 성취 기준은 크게 달라지지 않았지만 <수학 4-2>에서는 오목다각형을 다각형의 예에포함시켜 제시하지 않았다. 이를 통해 각 교육과정기별로 개발된 교과서는 국가 수준의 교육과정을 기반으로 하되 각 교과서 집필자에 따라 교육과정을 해석하여 실제 구현하는 방식에 있어 차이가 있음을 확인할 수 있다. 여기에는 교과서 집필자의 수학이나 수학교육에 대한 신념이 중요한 역할을 했을 것으로 유추해볼 수 있다.

한편, Park(2016)Choi et al.(2014)의 연구에서는 중학교 1~3학년 기하 영역의 교수ㆍ학습상의 유의점에 제시된 ‘⑤ 다각형과 다면체는 그모양이 볼록인 경우만 다룬다.’에 주목하여 2009 개정 교육과정 3~4학년군의 수학과 교과서에서오목다각형을 다각형의 예에 포함시켜 제시한 것이 교육과정 상의 위계에 어긋남을 지적하고 있다. 하지만 연역적인 사고 위주로 학습하는 중학교 수학의 접근 방식과 귀납적인 사고 위주로 학습하는 초등학교 수학의 접근 방식 상의 차이를 고려하면, 중학교에서 볼록다각형만 다루도록한다고 해서 초등학교에서도 반드시 이를 따라야 하는지에 대한 의구심을 갖게 된다.

초등학교 교과서뿐 아니라 중학교 수학 교과서에서도 오목다각형은 ‘다각형’이라는 용어로지칭하지는 않더라도 도형 영역이나 측정 영역, 규칙성 영역 등에서 자연스럽게 제시되고 있다. 또한 일반적으로 학생에게 기하를 가르칠 때 먼저 유클리드 공간 하에서 지도하게 된다. 하지만Piaget는 이러한 방식이 잘못되었다고 지적한다. Piaget에 따르면 학생이 처음 보는 삼각형은 어른이 보는 삼각형과 다르다는 것이다. 취학 전아동은 자신의 눈으로 보이는 어떠한 형체나 모양을 위상학적으로 인식하게 된다는 것이다. 따라서 Piaget는 학생의 기하에 대한 초기 개념이위상 공간에서 이루어진다고 보았다(Copeland, 2017). 이와 같은 Piaget의 관점에서 학생의 기하적 사고의 발달 순서를 고려하면 유클리드 공간에서 공리적 제한의 구조 안에서 연역적 사고를 필요로 하는 중등학교 수학과 위상 공간에서 비교적 개방적인 귀납적 사고를 필요로 하는 초등학교 수학의 접근 방식이 다르듯이 학생의 발달 단계를 고려할 필요가 있을 것이다.

2. 오목다각형을 포함한 다각형 개념 지도에 관련된 2015 개정 초등학교 수학과 교과서와 익힘책 분석

2015 개정 교육과정에 따른 수학 교과서와 익힘책을 분석한 결과 2차, 3차, 5차, 2007 개정, 2009 개정 교육과정 교과서 및 익힘책에서와 마찬가지로 다각형 개념 시 오목다각형을 사용하고 있는 것으로 나타났다.

<수학 2-1>에서는 2009 개정 교육과정의 <수학 2-1>에서와 같이 삼각형, 사각형, 오각형, 육각형을 다루고 있다. 해당 다각형 모양을 찾는활동 후 ‘그림과 같은 모양의 도형을 삼각형이라고 합니다.’라는 문장과 함께 여러 가지 형태의 삼각형을 제시하며 정의하고 있다.

이 때, Figure 9의 (1), (2)에서와 같이 원과 같은 다각형이 아닌 예, 해당 다각형 모양의 개곡선 및 곡선이 포함된 폐곡선, 오목다각형 등을보기로 제시하고 있다. <수학 익힘 2-1>의 삼각형을 찾는 문제에서는 Figure 9의 (3), (4)에서와 같이 삼각형 모양의 오목육각형과 원모양의 오목이십각형을, 사각형을 찾는 문제에서는 사각형모양의 오목팔각형과 원모양의 오목이십각형을 제시하고 있다. 하지만 <수학 4-2>에서 다각형개념 지도 시 오목다각형을 제시하지 않고 있다.

Figure 9.Textbooks of 2015 revised version

3. 오목다각형을 포함한 다각형 개념 지도와관련된 초등학교 교사의 PCK 실태 분석

가. 다각형 개념에 대한 교사의 PCK

제시된 도형의 다각형 여부와 그렇게 생각하는 이유를 묻는 (문항1)에서 다각형 여부에 대한교사 정답 반응 빈도는 Table 3과 같다. (문항1)의 ②, ⑤, ⑥을 다각형으로 응답한 이유에 대한교사의 응답 유형별 빈도를 살펴보면 다각형의 정의에 기반하여 정확하게 응답한 교사는 12명(60%)이었다. 그 외에는 선분과 각, 또는 선분과꼭짓점 등을 사용하여 부정확하게 응답한 교사가 8명(40%)이었다. (문항1)의 ①, ③이 다각형이아닌 이유를 “선분이 없다.(곡선이다.)”라고 정확하게 응답한 교사는 15명(75%), “곡선이 있어 각이 이루어지지 않는다.”는 응답이 4명(20%)이었다. ④가 다각형이 아닌 이유를 “닫혀있지 않다.(뚫려있다.)”라고 정확하게 응답한 교사는 18명(90%)이었다.

Table 3 Frequency of teacher’s correct response to whether or not polygon in (Item1)

문항1
빈도202020202019
%10010010010010095

(N=20)



다각형의 정의를 묻는 (문항2)에서는 Table 4와 같이 정확하게 응답한 교사는 14명(70%)이었고 선분이나 각 등을 이용하여 부정확하게 응답한 교사는 6명(30%)이었다. 이를 통해 다각형 개념을 ‘다각형’이라는 용어 자체의 의미로 파악하여 각이 여러 개인 도형으로 이해하고 있는 교사들도 있음을 알 수 있다. 이때 주목할 점은 ‘선분으로 둘러싸인도형’이라는 다각형의 정의를 정확하게 응답하지못한 교사들의 교육경력이다. 다각형의 정의를 정확하게 응답하지 못한 교사 6명 중 5명이 교육경력이 5년 미만인 교사들이었다. (문항1)과 (문항2)의분석 결과를 통해 다각형 개념에 대한 PCK가 교사의 교육경력에 따라서 다르게 형성될 가능성이 있음을 확인할 수 있다. 특히 교육경력 5년차 미만교사들에 비해 5년 이상 교사들이 5년 이하 교사들보다 상대적으로 다각형 개념에 대해 보다 정확한PCK를 가지고 있는 것으로 유추할 수 있다.

Table 4 Frequency of teacher’s response to the definition of polygon in (Item2)

번호반응 사례빈도
%
1선분으로 둘러싸인 도형1470
2여러 개의 선분과 각으로 이루어진 도형315
3각을 지닌 도형15
4선분, 꼭짓점으로 둘러싸인 도형15
5닫힌 성질을 가진 3각 이상인 도형15

(N=20)



나. 다각형 개념 지도 시 오목다각형 도입 여부

다각형 개념 지도 시 , 와 같은 오목다각형을 예시 자료로 사용하여 지도하는지를 묻는 (문항3)에 대하여 사용한다고 응답한 교사가 15명(75%)이었다. 이에 대한 이유는 Table 5에 제시된 바와 같이 대부분 다양한 사례를 통한 개념 정립 또는 볼록다각형만 도형으로 인식하는 오개념을 갖지 않게 하려는 이유가 상대적으로 많았다. 사용하지 않는다고 응답한 교사 5명(25%)의 교육경력은 고르게 분포되어 있었다. 이처럼 교사들 중 상당수(75%)가 다각형 개념 지도시 오목다각형이 작성된 교육과정인 교과서에 제시된 다각형의 정의에 부합하므로 학생들의 성취된 교육과정으로서의 정확한 개념 정립과 열린 사고를 위해서, 실행된 교육과정으로서 다각형의의미를 확장하여 가르치기 위해서 등과 같은 다차원 교육과정적 관점의 일관성 지향의 이유로 오목다각형을 예로 사용하여 지도하고 있었다.

Table 5 Frequency of teacher’s response by reason of use of concave polygons in teaching polygon concept of (Item3)

번호반응 사례빈도
%
1정례나 반례 등 다양한 사례를 통한 개념 정립을 위해서735
2도형을 볼록다각형으로만 인식하는 오개념을 심어주지 않으려고420
3선분으로 둘러싸인 도형이라는 다각형의 정의에 부합한다.15
4각의 유무가 다각형의 성립 조건임을 강조하고 열린 사고 유도 가능15
5아이들이 궁금해 해서15
6다만 예시로만 설명하고 초등에서는 다루지 않는다고 설명하고 넘어간다.15

(N=15)



반면에 다각형 개념 지도 시 오목다각형을 사용하지 않는 교사의 경우 부정확한 교사의 PCK때문에, 교과서에 오목다각형 제시 여부에 따라서, 다각형의 기본 개념 이해가 목표이므로 다각형 개념 지도 시 기본적인 예시만을 사용하고 오목다각형을 사용하지 않고 있었다. 이를 통해 동일한 의도적 교육과정과 작성된 교육과정으로서의 교과서를 가지고 지도하더라도 다각형 개념 지도에 관련한 명확한 한계를 제시하고 있지 않으면 교실 수업에서 실행되는 교육과정은 교사에 따라 크게 다를 수밖에 없음을 확인할 수 있다.

다. 다각형 개념 지도 시 오목다각형 도입의 적절성 여부

다각형 개념 지도 시 , 와 같은 오목다각형을 예시 자료로 사용하는 것이 적절한지를 묻는 (문항4)에서는 적절하다고 응답한 교사는 18명(90%)이었다. 이에 대한 이유는 Table 6에 제시된 바와 같다. 앞서 (문항3)에서 다각형지도 시 오목다각형을 예시 자료로 사용하지 않는다고 응답한 교사 5명 중 4명은 오목다각형을예시 자료로 사용하여 지도하는 것이 적절하다고 응답했다. 오목다각형을 예시 자료로 사용하여 지도하는 것이 적절하지 않다고 응답한 교사는 2명(10%)으로, 이에 대한 이유를 “4학년에서는 이해하기 어려울 것 같다.”, “일반적으로 초등학교에서 지도하는 것보다 높은 학년에서 지도하는 것이 바람직하다.”로 응답했다. 이들의교육경력은 각각 15년 이상 20년 미만과 20년이상이었다.

Table 6 Frequency of teacher's response by reason of using concave polygons when teaching polygon concept of (Item4)

번호반응 사례빈도
%
1다각형의 정의에 부합한다.630
2다양한 예를 사용하는 것이 개념 형성에 도움이 된다.525
3오개념 형성을 막을 수 있다.315
4보편적 의미의 도형이 아니므로 창의적인 생각을 확장시킬 수 있다.315
5무응답15

(N=20)



이를 통해 의도된 교육과정인 2015 개정 교육과정과 작성된 교육과정인 <수학 4-2>에서는 다각형 개념 지도 시 오목다각형을 제시하고 있지 않지만 의도-작성된 교육과정을 교실 수업에서실행하는 교사들의 대다수(90%)가 오목다각형이작성된 교육과정으로서의 교과서에 제시된 다각형 정의에 부합하고, 성취된 교육과정으로서의학생들의 다각형 개념 이해에 도움이 되어 오개념 형성을 막을 수 있으므로 다각형 개념 지도 시 오목다각형을 사용하는 것이 적절하다고 생각하고 있음을 알 수 있다. 특히, 다각형 개념지도 시 오목다각형을 사용하지 않는 교사들도 대부분 오목다각형을 예시 자료로 사용하는 것이 적절하다고 생각하고 있음을 확인할 수 있다.

라. 다각형의 개념 지도 외의 경우에 오목다각형 도입 여부

다각형의 개념 지도가 아닌 다른 경우에 오목다각형을 사용할 필요가 있는지를 묻는 (문항5)에서는 공간지각력 형성에 도움이 되므로 ‘도형의 이동’이나 ‘다각형의 넓이 구하기’, ‘예각, 둔각’, ‘테셀레이션’, ‘다각형의 성질’, ‘대칭’, ‘합동’, ‘도형에 대한 정확한 개념 지도’ 등 다양한경우에 사용할 필요가 있다고 응답한 교사가 13명(65%)이었다. 반면에 사용할 필요가 없다고 응답한 교사는 7명(35%)이었으며, 이에 대한 이유로는 “내각, 외각, 대각선 개념 등 초등에서 다루기에는 다소 어려워지기 때문에 개념 설명 시 도입 부분에서만 다루는 것이 적절하다.”는 의견도 있었다. 이를 통해 오목다각형을 다각형의 개념 지도 외에도 다양한 경우에 사용할 필요가 있다고 생각하는 교사가 절반 이상(65%)이었으나 오목다각형의 성질을 지도하기 어려우므로오목다각형 도입을 다각형에 관련한 내용 지도로 한정해야 하고 다각형 개념 지도 외에는 오목다각형을 사용할 필요가 없다는 의견도 확인할 수 있었다.

4. 오목다각형을 포함한 다각형 개념에 대한 학생들의 이해 분석

가. 오목다각형을 다각형으로의 판단 여부와 그 이유

제시된 도형을 다각형으로의 판단 여부와 그렇게 생각하는 이유를 묻는 (문항1)에서 다각형 여부에 대한 학생 정답 반응 빈도는 Table 7과 같이오목다각형인 ⑥에 대한 정답률이 가장 낮았다.

Table 7 Frequency of student's correct response to whether or not polygon in (Item1)

문항1
빈도1021031011039889
%9910098.110095.186.4

(N=103)



(문항1)의 ②, ⑤, ⑥이 다각형인 이유는 Table 8과 같이 “변 또는 선분으로 되어 있어서”라는 정확한 응답과 각을 사용한 응답이 유사하게 나타났으며, 이어서 선분과 각을 사용한 응답이 나타났다.

Table 8 Frequency of student's response by reason of responding ②, ⑤, ⑥ in (Item1) with polygon

번호반응 사례 유형별② (N=103)⑤ (N=98)⑥ (N=89)
%%%
1변 또는 선분으로 응답2928.22221.42423.3
2각으로 응답2524.32625.22524.3
3선분과 각으로 응답2130.52322.31716.5
4선분과 꼭짓점으로 응답43.965.843.9
5구체적인 다각형 이름으로 응답87.865.865.8
6기타1110.7109.798.7
7무응답54.954.943.9


이는 앞서 파악한 ‘선분으로 둘러싸인 도형’이라는 정확한 다각형 개념에 대한 PCK를 가지고있는 교사가 70%, 정확하지 않은 PCK를 가지고있는 교사가 30%라는 사실과 관련지어 생각해볼 수 있다. 즉, 다각형 개념에 대해 정확하지않은 PCK를 가지고 있는 교사들에게서 나타나는 각의 존재 여부에 대한 내용이 학생들의 응답에서도 나타났다. 이를 통해 교사의 PCK가 학생의 수학 개념 형성과 상당한 관련성을 가지고 있음을 유추해볼 수 있다.

(문항 1)의 오답 이유를 살펴보면 ①은 “각이있으므로 다각형이다.”라는 응답이 1명(1%), “원은 도형이다.” “굽은 면이다.”는 이유로 ③이 다각형이라는 응답이 2명(1.9%)이었다. 기울어진육각형인 ⑤를 “모양이 이상하다.”, “선분이 바르지 않다.” 등의 이유로 다각형이 아니라는 응답이 5명(4.9%)이었다. 오목오각형인 ⑥을 “중간에 뾰족하게 들어갔다.”, “∧인 것은 각이 없는것이다.” “모양이 마음대로 생겼다.”, “각이 크기가다르다.”, “선이 꺾여 있다.” 등의 이유로 다각형이 아니라는 응답은 14명(13.6%)이었다. 이중 5학년이 12명으로 거의 대부분을 차지하여 5학년의 오답률은 11.7%, 6학년의 오답률은 1.9%로 이었다. 이처럼 5학년의 오답률이 6학년에 비해 상대적으로 높은 이유는 교사의 지도 방법이나 학생 개인의 수학적 능력과 같은 요인들과 관련성이 있을 수 있으나 대상 학생들이 다각형 개념을 학습한 4학년 2학기 교과서 및 교육과정에서 그 관련성을 유추해 볼 수 있다. 5학년의경우 다각형 개념 지도 시 오목다각형을 사용하지 않은 2015 개정 교육과정 교과서로 학습한반면에, 6학년의 경우 다각형 개념 지도 시 오목다각형을 사용한 2009 개정 교육과정 교과서로학습했다. 이를 통해 다각형의 정의에 부합하는오목다각형을 작성된 교육과정인 교과서에 제시하여 다각형 개념을 지도하는 것이 성취된 교육과정으로서의 학생들의 정확한 다각형 개념 이해와 관련이 깊음을 알 수 있다.

나. 다각형 그리기

오각형, 육각형, 팔각형을 그리도록 한 (문항2)에서는 6학년 학생 중 한 명만이 오각형을 육각형으로 잘못 그렸으며, 팔각형은 그리지 못했다. 하지만 다각형의 개념을 정확하게 이해하여육각형을 오목육각형으로, 팔각형을 오목팔각형으로 그린 학생들도 있었다. 오목육각형을 그린학생은 5학년 2명(1.9%), 오목팔각형을 그린 학생은 5학년 5명(4.9%)과 6학년 2명(1.9%)으로 총7명(6.8%)이었다.

다. 다각형 분류하기

여러 가지 다각형을 제시하고 변의 수에 따라 분류하도록 한 (문항 3)에서 모든 학생들이 오각형, 삼각형, 평행사변형, 직사각형, 정삼각형을변의 수대로 분류할 수 있었다. 하지만 5학년 11명(10.7%)과 6학년 3명(2.9%)인 총 14명(13.6%)이오목사각형을 변이 4개인 도형으로 분류하지 못했고, 6학년 4명(3.9%)은 마름모를 변이 4개인도형으로 분류하지 못했다. 5학년 5명(4.9%)과 6학년 1명(0.9%)인 총 6명(5.8%)이 오목육각형을변이 6개인 도형으로 분류하지 못했다.

라. 다각형의 정의

다각형 개념을 알고 있는 상태를 확인하기 위한 ‘다각형이 무엇인지 설명해 보시오.’라는 (문항 4)에서는 Table 9와 같이 다각형 정의에 기반하여 정확하게 응답한 학생은 32명(31.1%)이었다.

Table 9 Frequency of student's response to the definition of polygon in (Item4)

번호반응 사례빈도
%
1선분으로 둘러싸인 도형3231.1
2여러 개의 선분과 각으로 이루어진 도형3130.1
3각이 여러 개인 도형1514.6
4변과 꼭짓점으로 이루어진 도형1110.7
5기타(볼록한 도형, 곡선이 아닌 것, 모서리가 3개 이상 있는 도형)33
6오답54.8
7무응답43.9

(N=103)



선분과 각을 사용한 응답이 31명(30.1%)이었으며 각만을 사용한 응답은 15명(14.6%)이었다. 이를 통해 학생의 경우 교사의 경우보다 다각형 개념을 ‘다각형’이라는 용어 자체의 의미로 파악하여 각이 여러 개인 도형으로 이해하는 경우가 많이 나타났음을 확인할 수 있다. 그리고 “똑바르고 각이 여러 개인 도형”이라고 응답한 경우도 있어 정다각형처럼 균형 잡힌 경우만 다각형으로 인식하는 경우도 확인할 수 있었다.

본 연구에서 이루어진 초등학교 수학에서 다각형 개념 지도 시 오목다각형 도입 여부 및 방식에 대한 일련의 다차원 교육과정적 관점에서의 논의가 시사하는 바는 다음과 같다.

첫째, 교육과정기별로 개발된 교과서와 익힘책을 분석한 결과 3차, 2007 개정, 2009 개정, 2015 개정 교육과정 교과서와 익힘책에서는 다각형 분류 활동에서 오목다각형을 예나 반예로 예시에 포함시켜 제시하고 있다. 2차, 3차, 5차, 2009 개정 교육과정 교과서에서는 오목다각형을 ‘다각형’이라는 용어로 지칭하며 다각형의 범주 안에 포함시켜 다루고 있다. 이와 관련하여 각 교육과정기별로 다각형의 개념과 관련한 교육과정 상 지도 내용 및 성취 기준을 살펴보면, 오목다각형 도입과 관련된 구체적인 내용은 제시되어있지 않다. 2009 개정 및 2015 개정 교육과정의초등학교 3~4학년군 도형 영역의 성취 기준은거의 달라진 바 없으나 2009 개정 교육과정 교과서에서는 오목다각형을 다각형의 예로 제시하고 있다. 하지만 2015 개정 교육과정 교과서에서는 오목다각형을 다각형의 예에 포함시켜 제시하고 있지 않다. 이를 통해 국가수준의 의도된교육과정에 다각형 개념 지도와 관련한 명확한 한계를 제시하고 있지 않아서 각 교육과정기별로 교과서 집필자에 따라 실제 구현하는 방식 면에 있어서 차이가 있음을 확인할 수 있다. 각교육과정기별 초등학교 교과서에서는 오목다각형을 ‘다각형’이라는 용어로 명시적으로 지칭하지는 않더라도 도형, 측정, 규칙성 영역 등에서자연스럽게 등장하고 있다. 아울러 아동의 기하에 대한 초기 개념이 위상 공간에서 구성된다고 본 Piaget의 관점에서 볼 때, 위상 공간에서 비교적 개방적인 귀납적 사고를 필요로 하는 초등학교 수학의 특성을 고려하면 다각형 개념 지도 시 오목다각형을 도입할 필요가 있다. 그리고 초등학교의 의도-작성된 교육과정에서 제시하는다각형 개념 지도 시 오목다각형 도입의 한계를 내용과 방식 면에서 분명히 해야 할 것이다.

둘째, 실행된 교육과정으로서의 다각형 개념에대한 교사 PCK와 다각형 개념 지도 시 오목다각형 도입 여부에 대한 실태 분석 결과 다각형 개념에 대한 PCK가 교사의 교육경력에 따라서차이가 있음을 확인할 수 있다. 또한 교사들 중상당수(75%)가 다각형 개념을 지도하는데 있어서 다차원 교육과정적 관점의 일관성 지향의 이유로 오목다각형을 예로 사용하여 지도하고 있다. 반면에 다각형 개념 지도 시 오목다각형을사용하지 않는 교사의 경우는 부정확한 PCK와교과서를 기준으로 오목다각형 도입 여부를 결정하거나 다각형의 기본 개념에 대한 이해를 목표로 두는 수업을 하므로 다각형 개념 지도 시 오목다각형은 사용하지 않고 있다. 이처럼 작성된 교육과정으로서의 동일한 교과서를 활용하여 지도하더라도 교사에 의해 교실 수업에서 실행되는 교육과정은 교사에 따라 다양할 수밖에 없으므로 교사로 하여금 다각형 개념에 대해 적확한 PCK를 구성할 수 있도록 예비 교사 교육 및현직 교사 연수가 실행되어야 할 것이다. 또한교실 수업에서 교육과정을 실행하는 초등학교 교사들의 대다수(90%)가 실행된 교육과정으로서의 다각형 개념 지도 시 오목다각형을 사용하는 것이 적절하다고 생각하고 있으며, 오목다각형을사용하지 않는 교사도 대부분 오목다각형을 예시 자료로 사용할 것을 지지하고 있다. 따라서실행된 교육과정의 주체인 교사는 다각형 개념 지도 시 오목다각형을 사용하는 것의 적절성을 인정하고 있음을 알 수 있다.

셋째, 성취된 교육과정으로서의 다각형 개념이해에 있어서 학생들은 다각형인 도형과 다각형이 아닌 도형을 구분한 후 그 이유로 다각형의 정의에 따라 선분으로 둘러싸인 도형이라는 관점보다 각의 존재 유무를 언급한 경우가 상대적으로 많이 나타났다. 즉, 교사의 PCK 실태 분석 결과와 마찬가지로 해당 도형이 다각형인 이유를 ‘다각형’이라는 용어에 대한 어의적 파악을통하여 ‘각이 여러 개인 도형’으로 이해하고 있음을 알 수 있다. 이를 통해 교사의 PCK가 학생의 수학 개념 형성과 상당한 관련성을 가지고 있음을 유추해볼 수 있다. 그리고 오목오각형을다각형이 아니라고 응답한 학생들 중 대부분이 5학년 학생들로 나타났다. 이는 5학년 학생들의 경우 다각형 개념 지도 시 오목다각형을 도입하지 않은 2015 개정 교육과정 교과서로 학습한반면에, 6학년 학생들의 경우 다각형 개념 지도시 오목다각형을 도입한 2009 개정 교육과정 교과서로 학습한 사실과 관련된 것으로 해석할 수 있다. 따라서 다각형의 정의에 부합하는 오목다각형을 작성된 교육과정인 교과서에 도입하여 다각형 개념을 지도하는 것이 학생들의 온전한 다각형 개념 정립을 유도하여 파생되는 오개념 형성을 해소시킬 수 있으므로 성취된 교육과정으로서의 다각형 개념 학습에서 올바른 결과를 기대할 수 있을 것이다.

한편, 기존의 수학교육에 있어서 교육과정적실천은 국가 수준의 교육과정으로부터 시작되어 수학교육 현장으로 향하는 하향식 방식을 취하고 있다. 하지만 교육과정적 개선은 수학교육 현장으로부터 출발하여 국가 수준의 교육과정으로 향하는 상향식 방식을 취할 필요가 있다. 이에본 연구에서 구안하여 적용한 일련의 다차원 교육과정적 관점은 의도-작성-실행-성취된 교육과정의 시간적 흐름에 따른 적용 국면뿐만 아니라, 교육의 주 관심 대상이자 최종 관심 대상인 학생의 성취된 교육과정으로부터 실행-작성-의도된교육과정으로 향하는 피드백 관점에서 논의를 가능하게 해 준다. 따라서 다각형 개념 지도 시오목다각형 도입과 관련한 다차원 교육과정적 관점은 학생 입장에서 발생한 오류가 해소될 수 있는 방향으로 교사 입장에서의 PCK가 개선될수 있도록 피드백 되며, 이 PCK가 올바르게 작동될 수 있도록 뒷받침하는 교과서가 개발되게 해준다. 이러한 교과서의 바탕이 되는 국가 수준의 의도된 교육과정의 최종적 개선이 이루어짐으로써 일련의 다차원적 교육과정의 가역적 구조가 체계적으로 작동하게 되는 것이다. 아울러본 연구의 제한점인 연구 대상의 표집 방법을 개선하여 연구 결과를 보다 일반화시킬 수 있는 다차원 교육과정적 관점에서의 후속 연구의 필요성이 기대된다.

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Article

전자저널 논문

2020; 30(1): 19-37

Published online February 28, 2020 https://doi.org/10.29275/jerm.2020.02.30.1.19

Copyright © Korea Society of Education Studies in Mathematics.

A Study from a Multi-dimensional Curriculum Perspective on Including Concave Polygons in Teaching Polygon Concepts

Joowon Do1, Suckyoon Paik2

* Teacher, Seoul Banghyun Elementary School, South korea, dojoowon@hanmail.net
** Professor, Seoul National University of Education, South Korea, sypaik@snue.ac.kr

Correspondence to:corresponding author

Received: January 4, 2020; Revised: February 2, 2020; Accepted: February 6, 2020

Abstract

This study discusses including concave polygons in teaching polygon concepts from the perspective of a series of multi-dimensional curriculum. The elementary mathematics curriculum revised in 2015 as the intended curriculum was compared and analyzed from the primary curriculum to the curriculum revised in 2009. The elementary mathematics textbooks of the curriculum revised in 2015 as written curriculum were compared and analyzed. For elementary school teachers, a survey study was conducted regarding the use and method of concave polygons when teaching polygon concepts as an implemented curriculum. A survey was conducted on elementary students" understanding of polygonal concepts as an accomplished curriculum. As a result, first, in consideration of the developmental characteristics of elementary school students, it is necessary to suggest clear limitations related to the polygon concept map in textbooks which is the intended curriculum and written curriculum. Second, since the teachers" PCK has significant impact on the students" mathematical concept formation, teacher training programs and pre-service teacher education should be strengthened to enable teachers to form accurate PCK on polygonal concepts. Third, teaching polygonal concepts by presenting concave polygons in accordance with the definition of polygons in the written curriculum, which can facilitate students" learning and understanding precise polygonal concepts, prevents the formation of misconceptions.

Keywords: polygon, concave polygon, curriculum, textbook, PCK

I. 서론

최근 4차 산업혁명이 대두되고 있는 시대적상황과 맞물려서 창의적인 미래인재 육성이라는 교육 목표 하에 2015 개정 수학과 교육과정에서는 기존 교육과정에서 강조했던 문제해결, 추론, 의사소통, 태도 및 실천, 정보처리와 같은 수학적 능력 외에도 창의ㆍ융합을 교과역량으로 추가적으로 설정하고 학생들이 이러한 수학 교과역량을 기를 수 있도록 지도해야 함을 강조하고 있다.

한편, NCTM(2000)에 따르면 기하 개념과 공간감각을 가지고 있는 학생은 수의 개념과 측정 개념뿐만 아니라 다른 상급의 수학 주제를 학습하는데 유리하므로, 초등학생의 도형에 대한 올바른 개념 형성은 수학 학습에 지대한 영향을 미치게 된다(Choi & Kim, 2005). 예를 들어, 다각형 개념에 포함되어 있으나 잘 다루어지지 않는 오목다각형은 여러 가지 흥미로운 다양성을 제공할 수 있으므로(Reys, Suydam, Lindquist, & Smith, 1998), 특히 창의ㆍ융합과 같은 수학과 교과역량의 지도와 밀접한 관련성이 있음을 유추해볼 수 있다.

하지만 초등학교 교과서에 제시된 다각형의 정의에 따르면 오목다각형 역시 다각형에 포함되나 일반적으로 볼록다각형을 주로 다루고 있다. 심지어 현행 중학교 교육과정의 기하 영역에서는 볼록다각형만 다루도록 다각형의 범위에 제한을 두고 있다. 즉, 교육과정에 제시된 내용에따라 ‘작성된 교육과정(Reys, Reys, Rubenstein, & NCTM, 2010)’인 교과서에 제시된 다각형의 정의에 따르면 오목다각형이 다각형에 포함됨에도 불구하고 다각형 지도에서는 특정한 원칙 없이 의도적으로 제한을 두거나 배제하고 있는 상태이다. 이러한 오목다각형 지도의 경우 교과서에 제시되는 한계가 교육과정기별로 달리 나타나고 있으며, 교사에 의해 실제 수업에서 실행될 때에도 교과서에 따라 또는 교사에 따라 다르게 구현될 수 있다. 이렇게 ‘실행된 교육과정(Reys et al., 2010)’으로부터 학생에 의해 성취된 결과 면에서도 차이가 나타날 것이 당연시 된다.

이와 같이 수학 수업에 대한 학습 기대를 구체화한 ‘의도적 교육과정’으로서의 국가 수준의교육과정에 따라 수학 수업을 지원하기 위해 ‘작성된 교육과정’으로서의 교과서가 개발되며, 교사는 이 교과서를 수학 수업에 어떻게 활용할 것인지에 대해 교수학적 의사결정을 하게 된다. 교사의 수업 재구성을 통해 ‘실행된 교육과정’ 즉, 학생들이 학습할 기회를 갖는 수학 내용이결정된다(Reys et al., 2010). 현재 적용중인 2015 개정 교육과정 교과서 역시 국가 수준에서 작성된 교육과정에 따라 개발되었으며, 교사에 의해재구성되어 수업에서 실행되고 있다. 이러한 일련의 다차원적 교육과정이 학습에 미치는 영향 즉, 교육과정의 효과성에 대한 부분은 학생에 의해 ‘성취된 교육과정’인 셈이다. 즉, ‘의도-작성-실행된 교육과정’은 학생에 의해 ‘성취된 교육과정’에 의해 일련의 교육과정이 갖는 효과성을검증할 수 있게 해준다(Stein & Smith, 2010). 따라서 다각형 개념 지도 시 오목다각형 도입 여부 및 방식에 대하여 ‘의도-작성-실행-성취된’ 다차원적 교육과정 관점에서 체계적인 논의의 필요성이 대두된다.

한편, 기존의 수학교육에 있어서 교육과정적실천은 국가 수준의 교육과정으로부터 시작되어 수학교육 현장으로 소위 하향식 방식을 취하기 때문에 오목다각형 학습과 관련한 문제점 해결에는 한계가 있다. 이에 본 연구에서는 학생의성취된 교육과정으로부터 시작하여 실행-작성-의도된 교육과정으로 향하는 피드백 관점에서의 논의를 함으로써 다각형 개념 지도 시 오목다각형 도입 여부 및 도입 시 교수ㆍ학습 방법 면에서의 쟁점 사항을 파악하고 이를 개선하기 위한 시사점을 도출하고자 하였다.

II. 이론적 배경

1. 다각형의 개념

‘다각형(polygon)’이라는 용어는 그리스어로 ‘많은(polu-)’과 ‘각이 있는(-gonon)’에서 기인한다(McGraw-Hill, 2012). 미국 교과서 Math Connect 3(p.472)에서는 ‘3개 이상의 선분과 각을 가지고있는 닫힌 2차 도형’(Macmillan & McGraw-Hill, 2009a)과 같이 선분과 각을 이용하여 다각형을정의하고 있다. 하지만 Mathematics 6(p. 455), Math Connect 4(p. 362), Math Connect 5(p. 608), HSP Mathematics 3(p. 356), HSP Mathematics 4(p. 520), HSP Mathematics 5(p. 490), HSP Mathematics 6(p. 440), My Math 5(p. 903), My Math 6(p. 839), Go Math 5(p. 441), Go Math 6(p. 433) 등 다수의 미국 교과서와 싱가포르 교과서인 Math in Focus 3B(p. 304)에서는 ‘서로 교차하지 않는 선분으로 이루어진 닫힌 도형’과 같이선분만을 이용하여 다각형을 정의하고 있다(Harcourt School Publisher, 2009a, 2009b, 2009c, 2009d; Houghton Mifflin Harcourt, 2011a, 2011b; Macmillan & McGraw-Hill, 2009b, 2009c; Marshall Cavendish Education, 2013; McGraw-Hill, 2012, 2013a, 2013b; McGraw-Hill School Division, 2002). 우리나라의 각 교육과정기별 교과서에 제시된 다각형의 정의 역시 Table 1에 제시된 바와같이 ‘선분으로 둘러싸인 도형’이라는 진술이 가장 많이 등장하고 있다. 하지만 1차와 4차 교육과정 교과서에는 ‘다각형’의 정의는 등장하지 않았다. 3차 교육과정 교과서인 <산수 3-2>에서는 유일하게 ‘다각형’과 ‘볼록다각형’, ‘오목다각형’ 의 정의를 함께 제시하고 있다. 5차~2015 개정교육과정 교과서에서는 다각형을 ‘선분으로만둘러싸인 도형’으로 선분에 초점을 두어 진술하고 있다.

Table 1 . Definition of polygon presented in textbooks for each curriculum of Korea.

교육과정학년단원(쪽수)다각형의 정의
2차산수 3-23. 점과 선 (p.43)선분으로 된 폐곡선을 ‘다각형’이라고 합니다.
3차산수 3-23. 다각형과 원(p.40)선분으로 된 폐곡선의 모양을 ‘다각형’이라고 합니다. 볼록폐곡선으로 된 다각형을 ‘볼록다각형’이라고 하고, 오목폐곡선으로 된 다각형을 ‘오목다각형’이라고 합니다.
5차산수 3-23. 평면도형(p.42)선분으로 둘러싸인 도형을 ‘다각형’이라고 합니다.
6차산수 4-23. 평면도형(p.38)3개 이상의 선분으로 둘러싸인 도형을 ‘다각형’이라고 합니다.
7차수학 4-나5. 사각형과 도형 만들기(p.72)선분으로만 둘러싸인 도형을 ‘다각형’이라고 합니다.
2007 개정수학 4-24. 사각형과 다각형(p.58)선분으로만 둘러싸인 도형을 ‘다각형’이라고 합니다.
2009 개정수학 4-23. 다각형(p.97)선분으로만 둘러싸인 도형을 ‘다각형’이라고 합니다.
2015 개정수학 4-26. 다각형(p.119)선분으로만 둘러싸인 도형을 ‘다각형’이라고 합니다.


일반적으로 도형 내부의 임의의 두 점을 연결했을 때, 그 선분이 도형의 내부에 있으면 ‘볼록다각형(convex polygon)’이고, 그렇지 않으면 ‘오목다각형(concave polygon)’이다. 앞서 다각형의 개념 정의를 분석한 미국 초등학교 교과서 5종12권 중 HSP Mathematics 5외의 11권에서는 오목사각형, 오목오각형, 오목육각형 등의 오목다각형을 다각형의 예시로 제시하고 있다. 하지만우리나라 초ㆍ중등 교과서에서는 다각형 개념 지도 시 직관적으로 단순한 볼록다각형을 도입하여 제시하며 단순한 볼록다각형을 제외한 다른 다각형을 명시적으로 언급하는 것을 피하는 경향이 있다(Hong, Ha, & Park, 2007). 이처럼 다각형의 개념에는 포함되나 우리나라 교과서에서는 잘 다루어지지 않는 오목다각형은 여러 가지 흥미로운 다양성을 제공할 수 있으므로(Reys et al., 1998), 문제해결, 추론, 창의ㆍ융합 등의 수학과 교과역량과의 관련성을 유추해볼 수 있다.

이와 관련한 선행 연구로는 2009 개정 교육과정 교과서에서와 같이 볼록다각형과 함께 오목다각형을 다루는 것이 효과적인 교육방법이며, 초등학교 수학과 교육과정에서 오목다각형을 취급하지 않도록 제한을 두는 것은 불가능하다고 본 Kang(2013)의 연구가 있다. 그리고 이에 대한문제점을 제기하며 오목다각형의 취급을 재고해야 한다고 주장한 Choi, Choi, & Park(2014)의 연구와 비판적인 관점에서 이 두 연구를 대비시켜 논의한 Park(2016)의 연구 등이 있다. Park(2016)에 따르면, 초등학교 수학에서 ‘다각형’은 ‘볼록다각형’을 의미하는 것으로 2009 개정 교육과정역시 이전 교육과정과 다를 바 없으므로 초등학교 수학에서 오목다각형을 취급하지 않으리라 기대하게 되며, 중학교 교육과정과의 연계를 염두에 두고 초등 수학에서 오목다각형 취급에 대해 논의해야 할 것이다. 하지만 ‘다각형’ 용어에는 닫힌(closed) 성질, 평면에 존재하는 도형, 같은 개수의 꼭짓점, 각, 선분으로 이루어진 도형이라는 의미가 내포되어 있으므로(Hong et al., 2007), 볼록다각형뿐만 아니라 오목다각형도 다각형에 포함된다. 즉, 교과서에 제시된 다각형의정의가 볼록다각형만을 의미한다고 볼 수 없으며, 당연히 오목다각형도 다각형에 포함된다.

2. 오목다각형이 포함된 다각형 개념 지도와 관련된 각 교육과정기별 교수ㆍ학습 상의 유의점

오목다각형이 포함되는 다각형 개념과 관련하여 1차~2009 개정 교육과정까지 각 교육과정기별지도 내용 및 성취 기준을 살펴보면, 오목다각형이나 볼록다각형이 각 교육과정에 명시되어 나타나지는 않았다. 하지만, 3차 교육과정의 <산수3-1>에서는 폐곡선 개념을 기반으로 ‘선분으로 이루어진 폐곡선’을 ‘다각형’으로 정의하고 ‘볼록다각형’, ‘오목다각형’의 용어를 명시하고 있다. 이는 3차 교육과정의 3학년 도형 영역의 교수․학습상의 유의점인 ‘교육과정의 목표나 내용의 서술에 있어서 수학적인 용어를 사용하였다고 하여, 그것이 직접 어린이들이 사용하는 용어와 일치하는 것은 아니지만 저학년부터 수학적인 용어를 사용하여 학습이 전개되도록 노력한다.’를 반영하여 저학년부터 수학적인 용어를 사용하여 학습이 전개되도록 교과서를 작성한 것으로 보인다.

2009 개정 교육과정의 초등학교 1~2학년군의도형 영역의 교수ㆍ학습 상의 유의점 중 ‘④ 삼각형, 사각형, 원은 예인 것과 예가 아닌 것을인식하고 분류하는 활동을 통하여 직관적으로 이해하게 한다.’, ‘⑤ 삼각형과 사각형에 대한 직관적 이해를 통해 도형의 이름과 변 또는 꼭짓점의 개수와의 관계를 파악하고, 그 관계를 일반화하여 오각형과 육각형을 구별하여 이름 지을 수 있게 한다.’에 관하여 숙고할 필요가 있다. 실제 2009 개정 교육과정 교과서에서는 ‘오목다각형’이라는 용어를 사용하고 있지 않지만 <수학2-1>의 삼각형, 사각형을 찾는 활동에서는 오목다각형을 삼각형과 사각형의 반례로 제시하고 있으며, <수학 4-2>에서는 오목다각형을 다각형의 예에 포함시켜 제시하고 있다.

3. 다각형 개념 지도와 관련된 각 교육과정기별 초등학교 수학 교과서와 익힘책 내용

1차~2009 개정 교육과정까지의 각 교육과정기별 초등학교 수학 교과서와 익힘책을 분석한 결과 다각형 개념과 오목다각형 제시 여부는 Table 2와 같다. 이에 대한 구체적인 내용을 살펴보면, 2차 교육과정의 <산수 5-1>에서는 사각형의 예시로 Figure 1과 같이 오목사각형을 제시한 후 ‘이렇게 오목하게 들어간 사각형은 여기에서는다루지 않는다.’고 명시하고 있다(p.108). 3차 교육과정의 <산수 3-2>에서는 ‘다각형’의 예시로오목사각형, 오목오각형, 오목육각형을 제시하고있으며, ‘볼록다각형’과 ‘오목다각형’을 분류하는활동에 Figure 2와 같은 오목오각형을 제시하고있다. <산수 4-1>에서도 오목오각형을 다각형의예시로 제시하고 있다.

Table 2 . Polygon concepts and concave polygons presented in textbooks for each curriculum.

교육 과정다각형의 정의와 관련된 용어교과서에 제시된 오목다각형
1차직사각형, 정사각형, 정삼각형, 사각형, 삼각형, 나란히꼴, 마름모-
2차다각형, 폐곡선, 개곡선, 평행사 변형, 마름모, 사다리꼴, 이등변 삼각형, 정삼각형, 사각형, 정사 각형, 정육각형, 정팔각형, 정오 각형오목사각형
3차삼각형, 사각형, 폐곡선, 폐곡선 의 영역, 볼록폐곡선, 오목폐곡 선, 다각형, 직사각형, 정사각형, 평행사변형, 사다리꼴, 마름모오목칠각형, 오목사각형, 오목오각형, 오목육각형
4차삼각형, 사각형, 직사각형, 정사각 형, 사다리꼴, 평행사변형, 마름모-
5차삼각형, 사각형, 직사각형, 정사 각형, 다각형, 이등변삼각형, 사 다리꼴, 평행사변형, 마름모오목육각형
6차삼각형, 사각형, 직사각형, 정사각 형, 사다리꼴, 평행사변형, 마름모, 다각형, 정삼각형, 이등변삼각형-
7차사각형, 삼각형, 도형과 도형 움 직이기, 직각삼각형, 직사각형, 정사각형, 사다리꼴, 평행사변형, 마름모, 다각형, 정다각형-
2007 개정사각형, 삼각형, 직각삼각형, 직사 각형, 정사각형, 사다리꼴, 평행사 변형, 마름모, 다각형, 정다각형오목십각형
2009 개정삼각형, 사각형, 오각형, 육각 형, 사다리꼴, 평행사변형, 마름 모, 직사각형, 다각형, 정다각형오목다각형, 오목육각형, 오목팔각형, 오목십이각형, 오목사각형

Figure 1. A textbook of the 2th curriculum version
Figure 2. A textbook of the 3th curriculum version

5차 교육과정의 <산수 5-1>에서는 오목오각형을 ‘오각형’으로, <산수 5-2>에서는 Figure 3과 같이 오목육각형을 ‘육각형’으로 명시하고 있다. 2007 개정 교육과정의 <수학 익힘 3-1>에서는 Figure 4와 같이 다각형 분류하는 문제에 별 모양의 오목십각형을 반례로 제시하고 있다.

Figure 3. A textbook of the 5th curriculum version
Figure 4. A textbook of 2007 revised version

2009 개정 교육과정의 <수학 익힘 2-1>에서는다각형 분류 문제에서 Figure 5의 (1)~(3)과 같이각각 삼각형, 사각형, 오각형, 육각형으로 잘못인지할 수 있는 오목육각형, 오목십이각형, 오목팔각형, 오목십각형을 제시하고 있다. <수학4-2>의 다각형 분류 활동에서는 Figure 5의 (4)와같이 오목사각형, 오목육각형을 제시하고 있다.

Figure 5. Textbooks of 2009 revised version

4. 다차원 교육과정적 관점

학생들에게 양질의 수학학습 기회를 제공하고자 할 때 수학과 교육과정은 항상 핵심 이슈가 되어 왔다(Reys et al., 2010). 미국에서는 2009년에 공통 핵심 규준(CCSSM)과 같은 수학과 교육과정이 개발되었으며, 이에 따라 Reys et al.(2010)에서는 K-12학년 수학 프로그램을 구성하기 위해 다양한 형태의 교육과정인 의도-작성-실행된 일련의 다차원적 교육과정에 대하여 논의하고 있다. 첫째, 의도된 교육과정은 지역, 주, 국가 수준의 교육과정으로 학교 수학 수업을 위한 학습 목표 즉, 교육과정 규준을 학년별로 구체화하여 학교에서 무엇을 가르쳐야 하는지, 수학 내용 및 과정을 강조해야 하는 시기 등에 관한 안내를 제공하며, 교과서나 평가 내용의 지침이 된다. 둘째, 작성된 교육과정에는 교육과정규준을 이용하여 의도된 교육과정을 실행하기위한 교과서 및 기타 교수ㆍ학습 자료가 포함된다. 셋째, 실행된 교육과정에서는 교사가 수업에사용할 교육과정적 자료나 그 이용 방법에 대하여 교수학적 의사결정을 내리게 된다. 이러한 일련의 다차원적 교육과정은 교사의 결정과 학생의학습 기회에 직접적인 영향을 미치게 되므로(Reys et al., 2010), 1980년대 이후로 연구의 핵심 주제로 학교 개혁의 지렛대 역할을 수행해오고 있다. 따라서 교육과정은 학생이 흥미로운 문제를 탐구하고 유용한 발견술을 터득할 수 있도록 교사가 보다 효과적인 수단을 안내할 수 있는 환경을 제공할 수 있게 설계되어야 한다. 좋은 교육과정은 교사가 그러한 환경을 제공할 수 있도록 도와주는 것이며(Willoughby, 2010), 의도-작성-실행된 교육과정 모두 학생의 학습 성취에 효과적이어야 한다는 동일한 지향점을 가지고 있다.

교육과정은 학생이 어떤 내용을 배울지, 그리고 어떤 교육의 기회를 제공받는지를 결정하는데 있어 강력한 영향을 미친다. 교사들은 수학지도의 근간으로 오랫동안 교과서를 사용해 왔다. 하지만 동일한 교과서를 사용하는 교사들조차도 종종 수업 내용이 다르며(Thopmson & Senk, 2010), 다양한 맥락(교육시간 등)과 개인적인 요소(학생 요구에 대한 인식, 수학 자료에 대한 교사의 이해 등)를 고려하여 다양한 방법으로 교과 자료를 활용한다(Stein, Remillard, & Smith, 2007). 따라서 Stein & Smith(2010)는 수업시간에 교사와 학생이 서로 상호작용하는 가운데 교사의 생각이나 수업 계획, 또는 교과서에제시된 것과는 다른 것을 만들어 낸다고 보았다. 그리고 교육과정이 구현될 때 이러한 실행된 교육과정의 특성을 고려하지 않을 경우 성취된 교육과정에 대한 의미 있는 판단을 내리기 어려움을 주장하였다. 따라서 교육과정이 학생의 학습에 직접적으로 영향을 주기 보다는 ‘기술된 교육과정’으로부터 교수를 위한 교사의 계획인 ‘의도된 교육과정’에 따라 교실에서 교육과정에 기반한 과제의 실제적인 이행에 따라 ‘실행되는교육과정’이 일련의 시간에 따른 국면에 따라전개되어 학생이 ‘경험하는 교육과정’이 된다고보았다. 이와 같이 Reys et al.(2010)Stein & Smith(2010)가 제안한 교육과정 모두 종국에는학생에 의해 성취되는 교육과정으로 귀결되고 있다. 본 연구에서는 Reys et al.(2010)이 제시한의도-작성-실행된 교육과정과 Stein & Smith(2010)가 언급한 성취된 교육과정을 참고하여 다차원적 교육과정의 시간적 흐름에 따른 적용 국면을 Figure 6과 같이 도식화하여 적용하였다.

Figure 6. The application phase according to the time flow of multidimensional curriculum

Figure 6은 국가 수준의 의도된 교육과정, 이에 따라 교과서와 같이 작성된 교육과정, 교사에의해 구현되는 실행된 교육과정, 학생에 의해 성취된 교육과정 순으로 교육과정이 실천되며, 다시 성취된 교육과정으로부터 출발하여 실행된 교육과정, 작성된 교육과정, 의도된 교육과정으로피드백이 이루어져 일련의 다차원적 교육과정의 수정 및 개선이 이루어지는 구조를 보여준다.

III. 연구 방법

1. 연구 대상 및 절차

본 연구에서는 초등학교에서 다각형 개념 지도 시 오목다각형 도입 여부 및 방식에 대한 시사점을 얻기 위하여 Figure 6에 제시된 다차원적교육과정의 관점에서 연구를 설계하였다.

연구 대상으로는 현재 적용중인 2015 개정 수학과 교육과정을 의도된 교육과정으로, 2015 개정교육과정 초등학교 1~6학년 수학과 교과서와 익힘책을 작성된 교육과정으로 선정하였다. 하지만교사용 지도서는 교과용 도서이기는 하나 작성된 교육과정이나 또는 실행된 교육과정의 범주에 포함시키기에 적합하지 않아 연구 대상에서 제외하였다. 실행된 교육과정을 파악하기 위하여 서울소재의 한 초등학교에 근무하는 교사 20명을 대상으로 선정하였다. 교사 20명의 교육경력별 교사수를 살펴보면 5년 미만 8명, 5년 이상 10년 미만1명, 10년 이상 15년 미만 3명, 15년 이상 20년 미만 5명, 20년 이상 3명이었다. 성취된 교육과정을파악하기 위하여 연구 대상 교사들이 속한 서울 소재의 한 초등학교에서 이미 다각형 개념에 대해 학습한 5학년 학생 63명, 6학년 학생 48명(총 111명)을 대상으로 선정하였다. 이를 대상으로 하여다각형 개념 지도 시 오목다각형 도입 여부 및 방식과 관련하여 교사에 의해 실행된 교육과정과 초등학생에게 성취된 교육과정에 대한 조사 연구를 실시하여 의도-작성-실행-성취된 일련의 교육과정국면들 사이의 관련성을 파악하고자 하였다.

한편, 본 연구에서는 실행된 교육과정 및 성취된 교육과정에 대한 연구 대상인 교사와 학생을 의도적 표집 방법에 의해 선정하였으므로 연구 결과의 일반화에 제한점이 따른다.

2. 자료 수집 및 분석

본 연구에서는 2015 개정 초등학교 수학과 교육과정 교과서에서의 다각형의 개념 지도와 관련하여 2015 개정 교육과정을 Ⅱ장에서 분석한 1차~2009 개정 교육과정과 비교하였다. 그리고 2015 개정 교육과정의 1~6학년 교과서 및 익힘책에서 오목다각형이 제시된 사례를 Ⅱ장에서 분석한 각 교육과정기별 교과서 및 익힘책의 사례와 비교하였다. 그러나 오목다각형이 제시되었더라도 ‘다각형’ 용어의사용 없이 ‘모양’, ‘도형’, ‘평면도형’ 등의 용어를사용하여 지칭한 경우나 여러 가지 모양 만들기,무늬 꾸미기, 도형의 이동, 합동이나 대칭, 확대와축소, 비례식, 평면도형의 둘레와 넓이 구하기 등의내용 지도에 사용된 경우는 제외하였다.

또한, Hong et al.(2007)의 문항 형식과 2009 개정 및 2015 개정 교육과정의 <수학 4-2>와 <수학 익힘 4-2>의 내용을 참고하여 다각형 개념에대한 교사들의 PCK 및 다각형 개념 지도 시 오목다각형 도입 여부에 대한 교사 설문 문항을 Figure 7과 같이 개발하였다. 또한 학생들의 다각형 개념에 대한 이해 정도를 확인하기 위하여 다각형 찾기, 그리기, 분류하기, 정의 쓰기에 대한 문항을 Figure 8과 같이 개발하였다. 이렇게개발한 문항은 수학교육전문가의 검토를 거쳐 문항의 신뢰도와 타당도를 검증하여 적용하였다.

Figure 7. Teacher questionnaire about how to teach polygon concepts
Figure 8. Student questionnaire on understanding polygon concepts

교사 및 학생 설문 문항은 학습지의 형태로 작성 및 적용하여 자료를 수집하였다. 교사 설문의 경우 전원이 응답하였다(회수율 100%). 학생설문의 경우 5학년 학생 63명 중 57명, 6학년 학생 48명 중 46명으로 총 110명 중 103명이 응답하였다(회수율 94.6%). 수집한 자료는 문항별로응답한 반응 사례를 분석하였다.

IV. 연구 결과 및 논의

1. 오목다각형이 포함된 다각형 개념 지도와 관련된 2015 개정 수학과 교육과정의 교수․학습 상의 유의점 분석

다각형 개념 지도 시 오목다각형을 사용한 사례에 대한 지도 내용 및 성취 기준을 2015 개정 교육과정에서 살펴보면, 다각형을 오목다각형이나 볼록다각형으로 구분하여 제시하지 않았다.

초등학교 1~2학년군의 도형 영역의 교수․학습 상의 유의점 중 ‘④ 삼각형, 사각형, 원은 예인 것과 예가 아닌 것을 인식하고 분류하는 활동을 통하여 직관적으로 이해하게 한다.’, ‘⑤ 삼각형과 사각형에 대한 직관적 이해를 통해 도형의 이름과 변 또는 꼭짓점의 개수와의 관계를 파악하고, 그 관계를 일반화하여 오각형과 육각형을 구별하여 이름 지을 수 있게 한다.’는 2009 개정 교육과정에서와 같은 내용이다. 실제 2009 개정 및 2015 개정 교육과정 2학년 교과서의 삼각형, 사각형을 찾는 활동에서는 삼각형, 사각형모양의 오목다각형을 보기에 반례로 제시하고 있다. 또한 2009 개정 교육과정의 3~4학년군 도형 영역에서는 ‘오목다각형’이라는 용어를 명시하지 않았지만 <수학 4-2>에서는 오목다각형을다각형의 예에 포함시켜 제시하고 있다. 그런데2015 개정 교육과정의 초등학교 3~4학년군 도형영역의 성취 기준은 크게 달라지지 않았지만 <수학 4-2>에서는 오목다각형을 다각형의 예에포함시켜 제시하지 않았다. 이를 통해 각 교육과정기별로 개발된 교과서는 국가 수준의 교육과정을 기반으로 하되 각 교과서 집필자에 따라 교육과정을 해석하여 실제 구현하는 방식에 있어 차이가 있음을 확인할 수 있다. 여기에는 교과서 집필자의 수학이나 수학교육에 대한 신념이 중요한 역할을 했을 것으로 유추해볼 수 있다.

한편, Park(2016)Choi et al.(2014)의 연구에서는 중학교 1~3학년 기하 영역의 교수ㆍ학습상의 유의점에 제시된 ‘⑤ 다각형과 다면체는 그모양이 볼록인 경우만 다룬다.’에 주목하여 2009 개정 교육과정 3~4학년군의 수학과 교과서에서오목다각형을 다각형의 예에 포함시켜 제시한 것이 교육과정 상의 위계에 어긋남을 지적하고 있다. 하지만 연역적인 사고 위주로 학습하는 중학교 수학의 접근 방식과 귀납적인 사고 위주로 학습하는 초등학교 수학의 접근 방식 상의 차이를 고려하면, 중학교에서 볼록다각형만 다루도록한다고 해서 초등학교에서도 반드시 이를 따라야 하는지에 대한 의구심을 갖게 된다.

초등학교 교과서뿐 아니라 중학교 수학 교과서에서도 오목다각형은 ‘다각형’이라는 용어로지칭하지는 않더라도 도형 영역이나 측정 영역, 규칙성 영역 등에서 자연스럽게 제시되고 있다. 또한 일반적으로 학생에게 기하를 가르칠 때 먼저 유클리드 공간 하에서 지도하게 된다. 하지만Piaget는 이러한 방식이 잘못되었다고 지적한다. Piaget에 따르면 학생이 처음 보는 삼각형은 어른이 보는 삼각형과 다르다는 것이다. 취학 전아동은 자신의 눈으로 보이는 어떠한 형체나 모양을 위상학적으로 인식하게 된다는 것이다. 따라서 Piaget는 학생의 기하에 대한 초기 개념이위상 공간에서 이루어진다고 보았다(Copeland, 2017). 이와 같은 Piaget의 관점에서 학생의 기하적 사고의 발달 순서를 고려하면 유클리드 공간에서 공리적 제한의 구조 안에서 연역적 사고를 필요로 하는 중등학교 수학과 위상 공간에서 비교적 개방적인 귀납적 사고를 필요로 하는 초등학교 수학의 접근 방식이 다르듯이 학생의 발달 단계를 고려할 필요가 있을 것이다.

2. 오목다각형을 포함한 다각형 개념 지도에 관련된 2015 개정 초등학교 수학과 교과서와 익힘책 분석

2015 개정 교육과정에 따른 수학 교과서와 익힘책을 분석한 결과 2차, 3차, 5차, 2007 개정, 2009 개정 교육과정 교과서 및 익힘책에서와 마찬가지로 다각형 개념 시 오목다각형을 사용하고 있는 것으로 나타났다.

<수학 2-1>에서는 2009 개정 교육과정의 <수학 2-1>에서와 같이 삼각형, 사각형, 오각형, 육각형을 다루고 있다. 해당 다각형 모양을 찾는활동 후 ‘그림과 같은 모양의 도형을 삼각형이라고 합니다.’라는 문장과 함께 여러 가지 형태의 삼각형을 제시하며 정의하고 있다.

이 때, Figure 9의 (1), (2)에서와 같이 원과 같은 다각형이 아닌 예, 해당 다각형 모양의 개곡선 및 곡선이 포함된 폐곡선, 오목다각형 등을보기로 제시하고 있다. <수학 익힘 2-1>의 삼각형을 찾는 문제에서는 Figure 9의 (3), (4)에서와 같이 삼각형 모양의 오목육각형과 원모양의 오목이십각형을, 사각형을 찾는 문제에서는 사각형모양의 오목팔각형과 원모양의 오목이십각형을 제시하고 있다. 하지만 <수학 4-2>에서 다각형개념 지도 시 오목다각형을 제시하지 않고 있다.

Figure 9. Textbooks of 2015 revised version

3. 오목다각형을 포함한 다각형 개념 지도와관련된 초등학교 교사의 PCK 실태 분석

가. 다각형 개념에 대한 교사의 PCK

제시된 도형의 다각형 여부와 그렇게 생각하는 이유를 묻는 (문항1)에서 다각형 여부에 대한교사 정답 반응 빈도는 Table 3과 같다. (문항1)의 ②, ⑤, ⑥을 다각형으로 응답한 이유에 대한교사의 응답 유형별 빈도를 살펴보면 다각형의 정의에 기반하여 정확하게 응답한 교사는 12명(60%)이었다. 그 외에는 선분과 각, 또는 선분과꼭짓점 등을 사용하여 부정확하게 응답한 교사가 8명(40%)이었다. (문항1)의 ①, ③이 다각형이아닌 이유를 “선분이 없다.(곡선이다.)”라고 정확하게 응답한 교사는 15명(75%), “곡선이 있어 각이 이루어지지 않는다.”는 응답이 4명(20%)이었다. ④가 다각형이 아닌 이유를 “닫혀있지 않다.(뚫려있다.)”라고 정확하게 응답한 교사는 18명(90%)이었다.

Table 3 . Frequency of teacher’s correct response to whether or not polygon in (Item1).

문항1
빈도202020202019
%10010010010010095

(N=20).



다각형의 정의를 묻는 (문항2)에서는 Table 4와 같이 정확하게 응답한 교사는 14명(70%)이었고 선분이나 각 등을 이용하여 부정확하게 응답한 교사는 6명(30%)이었다. 이를 통해 다각형 개념을 ‘다각형’이라는 용어 자체의 의미로 파악하여 각이 여러 개인 도형으로 이해하고 있는 교사들도 있음을 알 수 있다. 이때 주목할 점은 ‘선분으로 둘러싸인도형’이라는 다각형의 정의를 정확하게 응답하지못한 교사들의 교육경력이다. 다각형의 정의를 정확하게 응답하지 못한 교사 6명 중 5명이 교육경력이 5년 미만인 교사들이었다. (문항1)과 (문항2)의분석 결과를 통해 다각형 개념에 대한 PCK가 교사의 교육경력에 따라서 다르게 형성될 가능성이 있음을 확인할 수 있다. 특히 교육경력 5년차 미만교사들에 비해 5년 이상 교사들이 5년 이하 교사들보다 상대적으로 다각형 개념에 대해 보다 정확한PCK를 가지고 있는 것으로 유추할 수 있다.

Table 4 . Frequency of teacher’s response to the definition of polygon in (Item2).

번호반응 사례빈도
%
1선분으로 둘러싸인 도형1470
2여러 개의 선분과 각으로 이루어진 도형315
3각을 지닌 도형15
4선분, 꼭짓점으로 둘러싸인 도형15
5닫힌 성질을 가진 3각 이상인 도형15

(N=20).



나. 다각형 개념 지도 시 오목다각형 도입 여부

다각형 개념 지도 시 , 와 같은 오목다각형을 예시 자료로 사용하여 지도하는지를 묻는 (문항3)에 대하여 사용한다고 응답한 교사가 15명(75%)이었다. 이에 대한 이유는 Table 5에 제시된 바와 같이 대부분 다양한 사례를 통한 개념 정립 또는 볼록다각형만 도형으로 인식하는 오개념을 갖지 않게 하려는 이유가 상대적으로 많았다. 사용하지 않는다고 응답한 교사 5명(25%)의 교육경력은 고르게 분포되어 있었다. 이처럼 교사들 중 상당수(75%)가 다각형 개념 지도시 오목다각형이 작성된 교육과정인 교과서에 제시된 다각형의 정의에 부합하므로 학생들의 성취된 교육과정으로서의 정확한 개념 정립과 열린 사고를 위해서, 실행된 교육과정으로서 다각형의의미를 확장하여 가르치기 위해서 등과 같은 다차원 교육과정적 관점의 일관성 지향의 이유로 오목다각형을 예로 사용하여 지도하고 있었다.

Table 5 . Frequency of teacher’s response by reason of use of concave polygons in teaching polygon concept of (Item3).

번호반응 사례빈도
%
1정례나 반례 등 다양한 사례를 통한 개념 정립을 위해서735
2도형을 볼록다각형으로만 인식하는 오개념을 심어주지 않으려고420
3선분으로 둘러싸인 도형이라는 다각형의 정의에 부합한다.15
4각의 유무가 다각형의 성립 조건임을 강조하고 열린 사고 유도 가능15
5아이들이 궁금해 해서15
6다만 예시로만 설명하고 초등에서는 다루지 않는다고 설명하고 넘어간다.15

(N=15).



반면에 다각형 개념 지도 시 오목다각형을 사용하지 않는 교사의 경우 부정확한 교사의 PCK때문에, 교과서에 오목다각형 제시 여부에 따라서, 다각형의 기본 개념 이해가 목표이므로 다각형 개념 지도 시 기본적인 예시만을 사용하고 오목다각형을 사용하지 않고 있었다. 이를 통해 동일한 의도적 교육과정과 작성된 교육과정으로서의 교과서를 가지고 지도하더라도 다각형 개념 지도에 관련한 명확한 한계를 제시하고 있지 않으면 교실 수업에서 실행되는 교육과정은 교사에 따라 크게 다를 수밖에 없음을 확인할 수 있다.

다. 다각형 개념 지도 시 오목다각형 도입의 적절성 여부

다각형 개념 지도 시 , 와 같은 오목다각형을 예시 자료로 사용하는 것이 적절한지를 묻는 (문항4)에서는 적절하다고 응답한 교사는 18명(90%)이었다. 이에 대한 이유는 Table 6에 제시된 바와 같다. 앞서 (문항3)에서 다각형지도 시 오목다각형을 예시 자료로 사용하지 않는다고 응답한 교사 5명 중 4명은 오목다각형을예시 자료로 사용하여 지도하는 것이 적절하다고 응답했다. 오목다각형을 예시 자료로 사용하여 지도하는 것이 적절하지 않다고 응답한 교사는 2명(10%)으로, 이에 대한 이유를 “4학년에서는 이해하기 어려울 것 같다.”, “일반적으로 초등학교에서 지도하는 것보다 높은 학년에서 지도하는 것이 바람직하다.”로 응답했다. 이들의교육경력은 각각 15년 이상 20년 미만과 20년이상이었다.

Table 6 . Frequency of teacher's response by reason of using concave polygons when teaching polygon concept of (Item4).

번호반응 사례빈도
%
1다각형의 정의에 부합한다.630
2다양한 예를 사용하는 것이 개념 형성에 도움이 된다.525
3오개념 형성을 막을 수 있다.315
4보편적 의미의 도형이 아니므로 창의적인 생각을 확장시킬 수 있다.315
5무응답15

(N=20).



이를 통해 의도된 교육과정인 2015 개정 교육과정과 작성된 교육과정인 <수학 4-2>에서는 다각형 개념 지도 시 오목다각형을 제시하고 있지 않지만 의도-작성된 교육과정을 교실 수업에서실행하는 교사들의 대다수(90%)가 오목다각형이작성된 교육과정으로서의 교과서에 제시된 다각형 정의에 부합하고, 성취된 교육과정으로서의학생들의 다각형 개념 이해에 도움이 되어 오개념 형성을 막을 수 있으므로 다각형 개념 지도 시 오목다각형을 사용하는 것이 적절하다고 생각하고 있음을 알 수 있다. 특히, 다각형 개념지도 시 오목다각형을 사용하지 않는 교사들도 대부분 오목다각형을 예시 자료로 사용하는 것이 적절하다고 생각하고 있음을 확인할 수 있다.

라. 다각형의 개념 지도 외의 경우에 오목다각형 도입 여부

다각형의 개념 지도가 아닌 다른 경우에 오목다각형을 사용할 필요가 있는지를 묻는 (문항5)에서는 공간지각력 형성에 도움이 되므로 ‘도형의 이동’이나 ‘다각형의 넓이 구하기’, ‘예각, 둔각’, ‘테셀레이션’, ‘다각형의 성질’, ‘대칭’, ‘합동’, ‘도형에 대한 정확한 개념 지도’ 등 다양한경우에 사용할 필요가 있다고 응답한 교사가 13명(65%)이었다. 반면에 사용할 필요가 없다고 응답한 교사는 7명(35%)이었으며, 이에 대한 이유로는 “내각, 외각, 대각선 개념 등 초등에서 다루기에는 다소 어려워지기 때문에 개념 설명 시 도입 부분에서만 다루는 것이 적절하다.”는 의견도 있었다. 이를 통해 오목다각형을 다각형의 개념 지도 외에도 다양한 경우에 사용할 필요가 있다고 생각하는 교사가 절반 이상(65%)이었으나 오목다각형의 성질을 지도하기 어려우므로오목다각형 도입을 다각형에 관련한 내용 지도로 한정해야 하고 다각형 개념 지도 외에는 오목다각형을 사용할 필요가 없다는 의견도 확인할 수 있었다.

4. 오목다각형을 포함한 다각형 개념에 대한 학생들의 이해 분석

가. 오목다각형을 다각형으로의 판단 여부와 그 이유

제시된 도형을 다각형으로의 판단 여부와 그렇게 생각하는 이유를 묻는 (문항1)에서 다각형 여부에 대한 학생 정답 반응 빈도는 Table 7과 같이오목다각형인 ⑥에 대한 정답률이 가장 낮았다.

Table 7 . Frequency of student's correct response to whether or not polygon in (Item1).

문항1
빈도1021031011039889
%9910098.110095.186.4

(N=103).



(문항1)의 ②, ⑤, ⑥이 다각형인 이유는 Table 8과 같이 “변 또는 선분으로 되어 있어서”라는 정확한 응답과 각을 사용한 응답이 유사하게 나타났으며, 이어서 선분과 각을 사용한 응답이 나타났다.

Table 8 . Frequency of student's response by reason of responding ②, ⑤, ⑥ in (Item1) with polygon.

번호반응 사례 유형별② (N=103)⑤ (N=98)⑥ (N=89)
%%%
1변 또는 선분으로 응답2928.22221.42423.3
2각으로 응답2524.32625.22524.3
3선분과 각으로 응답2130.52322.31716.5
4선분과 꼭짓점으로 응답43.965.843.9
5구체적인 다각형 이름으로 응답87.865.865.8
6기타1110.7109.798.7
7무응답54.954.943.9


이는 앞서 파악한 ‘선분으로 둘러싸인 도형’이라는 정확한 다각형 개념에 대한 PCK를 가지고있는 교사가 70%, 정확하지 않은 PCK를 가지고있는 교사가 30%라는 사실과 관련지어 생각해볼 수 있다. 즉, 다각형 개념에 대해 정확하지않은 PCK를 가지고 있는 교사들에게서 나타나는 각의 존재 여부에 대한 내용이 학생들의 응답에서도 나타났다. 이를 통해 교사의 PCK가 학생의 수학 개념 형성과 상당한 관련성을 가지고 있음을 유추해볼 수 있다.

(문항 1)의 오답 이유를 살펴보면 ①은 “각이있으므로 다각형이다.”라는 응답이 1명(1%), “원은 도형이다.” “굽은 면이다.”는 이유로 ③이 다각형이라는 응답이 2명(1.9%)이었다. 기울어진육각형인 ⑤를 “모양이 이상하다.”, “선분이 바르지 않다.” 등의 이유로 다각형이 아니라는 응답이 5명(4.9%)이었다. 오목오각형인 ⑥을 “중간에 뾰족하게 들어갔다.”, “∧인 것은 각이 없는것이다.” “모양이 마음대로 생겼다.”, “각이 크기가다르다.”, “선이 꺾여 있다.” 등의 이유로 다각형이 아니라는 응답은 14명(13.6%)이었다. 이중 5학년이 12명으로 거의 대부분을 차지하여 5학년의 오답률은 11.7%, 6학년의 오답률은 1.9%로 이었다. 이처럼 5학년의 오답률이 6학년에 비해 상대적으로 높은 이유는 교사의 지도 방법이나 학생 개인의 수학적 능력과 같은 요인들과 관련성이 있을 수 있으나 대상 학생들이 다각형 개념을 학습한 4학년 2학기 교과서 및 교육과정에서 그 관련성을 유추해 볼 수 있다. 5학년의경우 다각형 개념 지도 시 오목다각형을 사용하지 않은 2015 개정 교육과정 교과서로 학습한반면에, 6학년의 경우 다각형 개념 지도 시 오목다각형을 사용한 2009 개정 교육과정 교과서로학습했다. 이를 통해 다각형의 정의에 부합하는오목다각형을 작성된 교육과정인 교과서에 제시하여 다각형 개념을 지도하는 것이 성취된 교육과정으로서의 학생들의 정확한 다각형 개념 이해와 관련이 깊음을 알 수 있다.

나. 다각형 그리기

오각형, 육각형, 팔각형을 그리도록 한 (문항2)에서는 6학년 학생 중 한 명만이 오각형을 육각형으로 잘못 그렸으며, 팔각형은 그리지 못했다. 하지만 다각형의 개념을 정확하게 이해하여육각형을 오목육각형으로, 팔각형을 오목팔각형으로 그린 학생들도 있었다. 오목육각형을 그린학생은 5학년 2명(1.9%), 오목팔각형을 그린 학생은 5학년 5명(4.9%)과 6학년 2명(1.9%)으로 총7명(6.8%)이었다.

다. 다각형 분류하기

여러 가지 다각형을 제시하고 변의 수에 따라 분류하도록 한 (문항 3)에서 모든 학생들이 오각형, 삼각형, 평행사변형, 직사각형, 정삼각형을변의 수대로 분류할 수 있었다. 하지만 5학년 11명(10.7%)과 6학년 3명(2.9%)인 총 14명(13.6%)이오목사각형을 변이 4개인 도형으로 분류하지 못했고, 6학년 4명(3.9%)은 마름모를 변이 4개인도형으로 분류하지 못했다. 5학년 5명(4.9%)과 6학년 1명(0.9%)인 총 6명(5.8%)이 오목육각형을변이 6개인 도형으로 분류하지 못했다.

라. 다각형의 정의

다각형 개념을 알고 있는 상태를 확인하기 위한 ‘다각형이 무엇인지 설명해 보시오.’라는 (문항 4)에서는 Table 9와 같이 다각형 정의에 기반하여 정확하게 응답한 학생은 32명(31.1%)이었다.

Table 9 . Frequency of student's response to the definition of polygon in (Item4).

번호반응 사례빈도
%
1선분으로 둘러싸인 도형3231.1
2여러 개의 선분과 각으로 이루어진 도형3130.1
3각이 여러 개인 도형1514.6
4변과 꼭짓점으로 이루어진 도형1110.7
5기타(볼록한 도형, 곡선이 아닌 것, 모서리가 3개 이상 있는 도형)33
6오답54.8
7무응답43.9

(N=103).



선분과 각을 사용한 응답이 31명(30.1%)이었으며 각만을 사용한 응답은 15명(14.6%)이었다. 이를 통해 학생의 경우 교사의 경우보다 다각형 개념을 ‘다각형’이라는 용어 자체의 의미로 파악하여 각이 여러 개인 도형으로 이해하는 경우가 많이 나타났음을 확인할 수 있다. 그리고 “똑바르고 각이 여러 개인 도형”이라고 응답한 경우도 있어 정다각형처럼 균형 잡힌 경우만 다각형으로 인식하는 경우도 확인할 수 있었다.

V. 결론 및 제언

본 연구에서 이루어진 초등학교 수학에서 다각형 개념 지도 시 오목다각형 도입 여부 및 방식에 대한 일련의 다차원 교육과정적 관점에서의 논의가 시사하는 바는 다음과 같다.

첫째, 교육과정기별로 개발된 교과서와 익힘책을 분석한 결과 3차, 2007 개정, 2009 개정, 2015 개정 교육과정 교과서와 익힘책에서는 다각형 분류 활동에서 오목다각형을 예나 반예로 예시에 포함시켜 제시하고 있다. 2차, 3차, 5차, 2009 개정 교육과정 교과서에서는 오목다각형을 ‘다각형’이라는 용어로 지칭하며 다각형의 범주 안에 포함시켜 다루고 있다. 이와 관련하여 각 교육과정기별로 다각형의 개념과 관련한 교육과정 상 지도 내용 및 성취 기준을 살펴보면, 오목다각형 도입과 관련된 구체적인 내용은 제시되어있지 않다. 2009 개정 및 2015 개정 교육과정의초등학교 3~4학년군 도형 영역의 성취 기준은거의 달라진 바 없으나 2009 개정 교육과정 교과서에서는 오목다각형을 다각형의 예로 제시하고 있다. 하지만 2015 개정 교육과정 교과서에서는 오목다각형을 다각형의 예에 포함시켜 제시하고 있지 않다. 이를 통해 국가수준의 의도된교육과정에 다각형 개념 지도와 관련한 명확한 한계를 제시하고 있지 않아서 각 교육과정기별로 교과서 집필자에 따라 실제 구현하는 방식 면에 있어서 차이가 있음을 확인할 수 있다. 각교육과정기별 초등학교 교과서에서는 오목다각형을 ‘다각형’이라는 용어로 명시적으로 지칭하지는 않더라도 도형, 측정, 규칙성 영역 등에서자연스럽게 등장하고 있다. 아울러 아동의 기하에 대한 초기 개념이 위상 공간에서 구성된다고 본 Piaget의 관점에서 볼 때, 위상 공간에서 비교적 개방적인 귀납적 사고를 필요로 하는 초등학교 수학의 특성을 고려하면 다각형 개념 지도 시 오목다각형을 도입할 필요가 있다. 그리고 초등학교의 의도-작성된 교육과정에서 제시하는다각형 개념 지도 시 오목다각형 도입의 한계를 내용과 방식 면에서 분명히 해야 할 것이다.

둘째, 실행된 교육과정으로서의 다각형 개념에대한 교사 PCK와 다각형 개념 지도 시 오목다각형 도입 여부에 대한 실태 분석 결과 다각형 개념에 대한 PCK가 교사의 교육경력에 따라서차이가 있음을 확인할 수 있다. 또한 교사들 중상당수(75%)가 다각형 개념을 지도하는데 있어서 다차원 교육과정적 관점의 일관성 지향의 이유로 오목다각형을 예로 사용하여 지도하고 있다. 반면에 다각형 개념 지도 시 오목다각형을사용하지 않는 교사의 경우는 부정확한 PCK와교과서를 기준으로 오목다각형 도입 여부를 결정하거나 다각형의 기본 개념에 대한 이해를 목표로 두는 수업을 하므로 다각형 개념 지도 시 오목다각형은 사용하지 않고 있다. 이처럼 작성된 교육과정으로서의 동일한 교과서를 활용하여 지도하더라도 교사에 의해 교실 수업에서 실행되는 교육과정은 교사에 따라 다양할 수밖에 없으므로 교사로 하여금 다각형 개념에 대해 적확한 PCK를 구성할 수 있도록 예비 교사 교육 및현직 교사 연수가 실행되어야 할 것이다. 또한교실 수업에서 교육과정을 실행하는 초등학교 교사들의 대다수(90%)가 실행된 교육과정으로서의 다각형 개념 지도 시 오목다각형을 사용하는 것이 적절하다고 생각하고 있으며, 오목다각형을사용하지 않는 교사도 대부분 오목다각형을 예시 자료로 사용할 것을 지지하고 있다. 따라서실행된 교육과정의 주체인 교사는 다각형 개념 지도 시 오목다각형을 사용하는 것의 적절성을 인정하고 있음을 알 수 있다.

셋째, 성취된 교육과정으로서의 다각형 개념이해에 있어서 학생들은 다각형인 도형과 다각형이 아닌 도형을 구분한 후 그 이유로 다각형의 정의에 따라 선분으로 둘러싸인 도형이라는 관점보다 각의 존재 유무를 언급한 경우가 상대적으로 많이 나타났다. 즉, 교사의 PCK 실태 분석 결과와 마찬가지로 해당 도형이 다각형인 이유를 ‘다각형’이라는 용어에 대한 어의적 파악을통하여 ‘각이 여러 개인 도형’으로 이해하고 있음을 알 수 있다. 이를 통해 교사의 PCK가 학생의 수학 개념 형성과 상당한 관련성을 가지고 있음을 유추해볼 수 있다. 그리고 오목오각형을다각형이 아니라고 응답한 학생들 중 대부분이 5학년 학생들로 나타났다. 이는 5학년 학생들의 경우 다각형 개념 지도 시 오목다각형을 도입하지 않은 2015 개정 교육과정 교과서로 학습한반면에, 6학년 학생들의 경우 다각형 개념 지도시 오목다각형을 도입한 2009 개정 교육과정 교과서로 학습한 사실과 관련된 것으로 해석할 수 있다. 따라서 다각형의 정의에 부합하는 오목다각형을 작성된 교육과정인 교과서에 도입하여 다각형 개념을 지도하는 것이 학생들의 온전한 다각형 개념 정립을 유도하여 파생되는 오개념 형성을 해소시킬 수 있으므로 성취된 교육과정으로서의 다각형 개념 학습에서 올바른 결과를 기대할 수 있을 것이다.

한편, 기존의 수학교육에 있어서 교육과정적실천은 국가 수준의 교육과정으로부터 시작되어 수학교육 현장으로 향하는 하향식 방식을 취하고 있다. 하지만 교육과정적 개선은 수학교육 현장으로부터 출발하여 국가 수준의 교육과정으로 향하는 상향식 방식을 취할 필요가 있다. 이에본 연구에서 구안하여 적용한 일련의 다차원 교육과정적 관점은 의도-작성-실행-성취된 교육과정의 시간적 흐름에 따른 적용 국면뿐만 아니라, 교육의 주 관심 대상이자 최종 관심 대상인 학생의 성취된 교육과정으로부터 실행-작성-의도된교육과정으로 향하는 피드백 관점에서 논의를 가능하게 해 준다. 따라서 다각형 개념 지도 시오목다각형 도입과 관련한 다차원 교육과정적 관점은 학생 입장에서 발생한 오류가 해소될 수 있는 방향으로 교사 입장에서의 PCK가 개선될수 있도록 피드백 되며, 이 PCK가 올바르게 작동될 수 있도록 뒷받침하는 교과서가 개발되게 해준다. 이러한 교과서의 바탕이 되는 국가 수준의 의도된 교육과정의 최종적 개선이 이루어짐으로써 일련의 다차원적 교육과정의 가역적 구조가 체계적으로 작동하게 되는 것이다. 아울러본 연구의 제한점인 연구 대상의 표집 방법을 개선하여 연구 결과를 보다 일반화시킬 수 있는 다차원 교육과정적 관점에서의 후속 연구의 필요성이 기대된다.

Fig 1.

Figure 1. A textbook of the 2th curriculum version
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 19-37https://doi.org/10.29275/jerm.2020.02.30.1.19

Fig 2.

Figure 2. A textbook of the 3th curriculum version
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 19-37https://doi.org/10.29275/jerm.2020.02.30.1.19

Fig 3.

Figure 3. A textbook of the 5th curriculum version
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 19-37https://doi.org/10.29275/jerm.2020.02.30.1.19

Fig 4.

Figure 4. A textbook of 2007 revised version
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 19-37https://doi.org/10.29275/jerm.2020.02.30.1.19

Fig 5.

Figure 5. Textbooks of 2009 revised version
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 19-37https://doi.org/10.29275/jerm.2020.02.30.1.19

Fig 6.

Figure 6. The application phase according to the time flow of multidimensional curriculum
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 19-37https://doi.org/10.29275/jerm.2020.02.30.1.19

Fig 7.

Figure 7. Teacher questionnaire about how to teach polygon concepts
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 19-37https://doi.org/10.29275/jerm.2020.02.30.1.19

Fig 8.

Figure 8. Student questionnaire on understanding polygon concepts
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 19-37https://doi.org/10.29275/jerm.2020.02.30.1.19

Fig 9.

Figure 9. Textbooks of 2015 revised version
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 19-37https://doi.org/10.29275/jerm.2020.02.30.1.19

Table 1 Definition of polygon presented in textbooks for each curriculum of Korea

교육과정학년단원(쪽수)다각형의 정의
2차산수 3-23. 점과 선 (p.43)선분으로 된 폐곡선을 ‘다각형’이라고 합니다.
3차산수 3-23. 다각형과 원(p.40)선분으로 된 폐곡선의 모양을 ‘다각형’이라고 합니다. 볼록폐곡선으로 된 다각형을 ‘볼록다각형’이라고 하고, 오목폐곡선으로 된 다각형을 ‘오목다각형’이라고 합니다.
5차산수 3-23. 평면도형(p.42)선분으로 둘러싸인 도형을 ‘다각형’이라고 합니다.
6차산수 4-23. 평면도형(p.38)3개 이상의 선분으로 둘러싸인 도형을 ‘다각형’이라고 합니다.
7차수학 4-나5. 사각형과 도형 만들기(p.72)선분으로만 둘러싸인 도형을 ‘다각형’이라고 합니다.
2007 개정수학 4-24. 사각형과 다각형(p.58)선분으로만 둘러싸인 도형을 ‘다각형’이라고 합니다.
2009 개정수학 4-23. 다각형(p.97)선분으로만 둘러싸인 도형을 ‘다각형’이라고 합니다.
2015 개정수학 4-26. 다각형(p.119)선분으로만 둘러싸인 도형을 ‘다각형’이라고 합니다.

Table 2 Polygon concepts and concave polygons presented in textbooks for each curriculum

교육 과정다각형의 정의와 관련된 용어교과서에 제시된 오목다각형
1차직사각형, 정사각형, 정삼각형, 사각형, 삼각형, 나란히꼴, 마름모-
2차다각형, 폐곡선, 개곡선, 평행사 변형, 마름모, 사다리꼴, 이등변 삼각형, 정삼각형, 사각형, 정사 각형, 정육각형, 정팔각형, 정오 각형오목사각형
3차삼각형, 사각형, 폐곡선, 폐곡선 의 영역, 볼록폐곡선, 오목폐곡 선, 다각형, 직사각형, 정사각형, 평행사변형, 사다리꼴, 마름모오목칠각형, 오목사각형, 오목오각형, 오목육각형
4차삼각형, 사각형, 직사각형, 정사각 형, 사다리꼴, 평행사변형, 마름모-
5차삼각형, 사각형, 직사각형, 정사 각형, 다각형, 이등변삼각형, 사 다리꼴, 평행사변형, 마름모오목육각형
6차삼각형, 사각형, 직사각형, 정사각 형, 사다리꼴, 평행사변형, 마름모, 다각형, 정삼각형, 이등변삼각형-
7차사각형, 삼각형, 도형과 도형 움 직이기, 직각삼각형, 직사각형, 정사각형, 사다리꼴, 평행사변형, 마름모, 다각형, 정다각형-
2007 개정사각형, 삼각형, 직각삼각형, 직사 각형, 정사각형, 사다리꼴, 평행사 변형, 마름모, 다각형, 정다각형오목십각형
2009 개정삼각형, 사각형, 오각형, 육각 형, 사다리꼴, 평행사변형, 마름 모, 직사각형, 다각형, 정다각형오목다각형, 오목육각형, 오목팔각형, 오목십이각형, 오목사각형

Table 3 Frequency of teacher’s correct response to whether or not polygon in (Item1)

문항1
빈도202020202019
%10010010010010095

(N=20)


Table 4 Frequency of teacher’s response to the definition of polygon in (Item2)

번호반응 사례빈도
%
1선분으로 둘러싸인 도형1470
2여러 개의 선분과 각으로 이루어진 도형315
3각을 지닌 도형15
4선분, 꼭짓점으로 둘러싸인 도형15
5닫힌 성질을 가진 3각 이상인 도형15

(N=20)


Table 5 Frequency of teacher’s response by reason of use of concave polygons in teaching polygon concept of (Item3)

번호반응 사례빈도
%
1정례나 반례 등 다양한 사례를 통한 개념 정립을 위해서735
2도형을 볼록다각형으로만 인식하는 오개념을 심어주지 않으려고420
3선분으로 둘러싸인 도형이라는 다각형의 정의에 부합한다.15
4각의 유무가 다각형의 성립 조건임을 강조하고 열린 사고 유도 가능15
5아이들이 궁금해 해서15
6다만 예시로만 설명하고 초등에서는 다루지 않는다고 설명하고 넘어간다.15

(N=15)


Table 6 Frequency of teacher's response by reason of using concave polygons when teaching polygon concept of (Item4)

번호반응 사례빈도
%
1다각형의 정의에 부합한다.630
2다양한 예를 사용하는 것이 개념 형성에 도움이 된다.525
3오개념 형성을 막을 수 있다.315
4보편적 의미의 도형이 아니므로 창의적인 생각을 확장시킬 수 있다.315
5무응답15

(N=20)


Table 7 Frequency of student's correct response to whether or not polygon in (Item1)

문항1
빈도1021031011039889
%9910098.110095.186.4

(N=103)


Table 8 Frequency of student's response by reason of responding ②, ⑤, ⑥ in (Item1) with polygon

번호반응 사례 유형별② (N=103)⑤ (N=98)⑥ (N=89)
%%%
1변 또는 선분으로 응답2928.22221.42423.3
2각으로 응답2524.32625.22524.3
3선분과 각으로 응답2130.52322.31716.5
4선분과 꼭짓점으로 응답43.965.843.9
5구체적인 다각형 이름으로 응답87.865.865.8
6기타1110.7109.798.7
7무응답54.954.943.9

Table 9 Frequency of student's response to the definition of polygon in (Item4)

번호반응 사례빈도
%
1선분으로 둘러싸인 도형3231.1
2여러 개의 선분과 각으로 이루어진 도형3130.1
3각이 여러 개인 도형1514.6
4변과 꼭짓점으로 이루어진 도형1110.7
5기타(볼록한 도형, 곡선이 아닌 것, 모서리가 3개 이상 있는 도형)33
6오답54.8
7무응답43.9

(N=103)


References

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