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Ex) Article Title, Author, Keywords

## 전자저널 논문

2020; 30(3): 509-530

Published online August 31, 2020 https://doi.org/10.29275/jerm.2020.08.30.3.509

## 연속적 공변 상황에 대한 질적 그래프 구성 과제에서 드러난 예비교사들의 추론 양상 분석

Gyuhee Yi1, Jihyun Lee2

* Teacher, Namsung Middle School, South Korea, narara292@gmail.com
** Professor, Incheon National University, South Korea, jihyunlee@inu.ac.kr

*남성중학교 교사, **인천대학교 교수

Correspondence to:corresponding author
1) 이 연구는 2020년 인천대학교 자체연구비 지원에 의해 연구되었음.

Received: July 10, 2020; Revised: August 5, 2020; Accepted: August 5, 2020

### Abstract

In Middle School Mathematics 1 of the 2015 revised Korean mathematics curriculum, before the definition of a function, the task of constructing a qualitative graph of the relationship between two changing quantities has been newly proposed. In relation to the changes in the 2015 revised Korean mathematics curriculum, this study explored the reasoning of pre-service teachers revealed in the process of constructing a qualitative graph of the relationship between the two quantities that are continuously changing. Most pre-service teachers constructed graphs by focusing on the covariation than the correspondence on the relationship between the two quantities. Additionally, they successfully reasoned the global shape of the graph by forming the relationship between the two variables as a multiplicative object. However, many pre-service teachers showed difficulty in judging or not judging the differentiable at the point which changes the local shape of graph. Some pre-service teachers thought that the slope of the tangent at the inflection point was zero or invoked time even if it doesn"t require. The results in this study suggest that 1) in a continuous covariation situation, the formation of a multiplicative object such as a slope is a critical factor in the process of constructing the global shape of the graph, 2) smooth continuous covariation reasoning is a critical factor in the process of constructing the local shape of the graph, 3) covariation reasoning has a level difference in the process of constructing the global and local shape of the qualitative graph.

Keywordsqualitative graph, covariational reasoning, ways of thinking, smooth continuous covariation

### I. 서론

그래프는 자료의 관계와 변화의 경향성 및 형태를 시각적으로 표현하는 도구로써 다양한 학문 분야와 일상에서 널리 활용된다. 수학에서 그래프는 수학적 개념 혹은 수학적 대상들의 관계를 제시하고, 설명하며, 의사소통하는 데 사용되는 외적 표현 중 하나로(Zhang, 1997), 그래프의구성 요소들은 특정 수학적 아이디어와 관련된 정보를 함의한다(Adu-Gyamfi & Bossé, 2014).

그래프와 관련하여 2015 개정 교육과정의 중학교 함수의 내용영역에서는 주목할 만한 변화가 있다. 2009 개정 교육과정에서는 중학교 1학년에서 도입되었던 함수의 정의가(교육부, 2011) 2015 개정 교육과정에서는 중학교 2학년으로 늦춰지면서, 중학교 1학년 학생들에게 함수의 정의없이 다양한 맥락과 상황을 그래프로 표현하고,표현된 그래프를 해석하는 학습 기회를 제공하고 있다(교육부, 2015). 이러한 교육과정의 변화는 다양한 문제 상황을 통해 함수에 대한 ‘공변’ 관점과 ‘질적 그래프’의 구성 및 해석의 학습기회를 강화하기 위함으로 볼 수 있다. 이때 공변추론은 동시에 변하는 두 양의 조정 활동을 의미하고(Thompson, 1994), 질적 그래프는 정확한수치적 자료나 대수적 식에 초점을 두지 않고어떤 상황을 수량화되지 않은 상태로 표현하는그래프를 의미한다(Krabbendam, 1982; Leinhardt, Zaslavsky, & Stein, 1990; Hwang & Lee, 2019).

Figure 1의 ‘병에 물 채우기’ 상황은 2015 개정교육과정에 따른 중학교 수학 1의 그래프 단원에서 질적 그래프의 해석 및 구성을 위해 10종의 교과서 중 8종의 교과서에 사용된 유형이다. 이러한 상황은 개혁적 미적분학(Hughes-Hallett et al., 2009)에서도 찾아볼 수 있는 소재이며, 여러 수학교육 연구들에서는 Figure 1과 같은 병에 물채우기 혹은 병에 채워진 물 비우기 맥락의 과제를 해결하는 과정을 통해 학생들의 공변 추론에 관한 정신적 활동 및 행위를 분석하였다(Carlson et al., 2002; Johnson, 2012, 2015; Stalvey & Vidakovic, 2015; Paolettia & Moore, 2017).

Figure 1.Bottle problem in the middle school mathematics 1 textbook(Hwang, et al., 2017. p. 120).

그러나 Figure 1과 같은 연속적 공변 상황에서변하는 양들의 관계를 ‘수학적으로 정교하고 완성도 높은’ 질적 그래프로 구성 및 해석하기 위해서는 중학교 1학년 수준 이상의 수학적 아이디어가 요구된다. 예를 들어, 앞의 교과서 문제병 (1)에서 시간에 따라 물의 높이가 일정하게증가하는 맥락을 그래프로 번역하기 위해서는 ‘일정하게 증가’라는 언어적 입력 표현을 ‘기울기가 일정’한 그래프의 출력 표현으로 변환하는과정이 필수적이므로 ‘변화율’과 ‘기울기’에 대한 개념적 이해가 전제되어야 ‘직선’ 모양의 그래프의 전체적 개형에 대한 타당성을 검증할 수 있다. 한편 위의 교과서 문제 병 (3)에서 병의폭이 가장 큰 부분은 시간에 따른 물의 높이의 증가율이 감소에서 증가로 바뀌는 지점이므로, ‘순간변화율’과 ‘변곡점’ 그리고 ‘미적분의 기본정리’에 근거하여 ‘미분가능’에 대해 충분히 이해했을 때 그래프의 국소적 개형을 구성할 수 있다. 이처럼 연속적 공변 상황에 대한 공변 추론 능력은 중등 수준의 수학적 지식부터 미적분학에도 관련이 있다(Carlson et al., 2002; Thompson & Carlson, 2017).

따라서 평균변화율과 순간변화율을 학습한 경험이 없는 중학생들이 병에 물 채우기와 같은 연속적 공변 상황을 ‘수학적으로’ 이해하기는 쉽지 않으며(Carlson et al., 2002; Johnson, 2012, 2015; Stalvey & Vidakovic, 2015; Paolettia & Moore, 2017) ‘직관적인’ 방식으로 질적 그래프를 구성 및 해석할 수밖에 없는 것처럼 보인다.

그러나 이를 교수해야하는 교사들 혹은 예비교사들은 연속적 공변 상황에 대해 충분히 높은 수준으로 이해하고 있어야 한다. 하지만 여러 공변 추론에 관한 연구들에 의하면 연속적 공변 상황에 대한 공변 추론의 어려움은 교사들(Hwang & Lee, 2019; Moore & Thompson, 2015; Thompson et al., 2017) 혹은 예비교사들(Moore & Thompson, 2015; Paoletti and Moore, 2017)에게도나타나는 것으로 보고되고 있다. 특히 미적분의제 1 기본 정리를 누적 양(accumulation of a quantity)과 그 변화율(rate of change of its accumulation)의 관계로 연결하여 이해하지 못하는 경우가 많다(Thompson, 1994).

연속적 공변 상황은 미적분학 개념이 발생하게 된 주요 배경이고 공변 추론은 변화하는 두 양을 분석하는 데 유용하므로(Kaput, 1994; Thompson & Carlson, 2017) 보다 균형 있는 함수적 사고교육을 위해(Confrey & Smith, 1995) 교사교육에서도 공변 추론이 강화될 필요가 있다. 또한 연속적 공변 상황에 대한 효율적인 교사교육을 위해서는 평균변화율과 순간변화율을 대수적으로 계산하고 이를 그래프로 번역하는 활동에 대한 강조를 넘어, 이미 미적분학을 학습한 경험이 있는 교사들 혹은 예비교사들이 ‘어느’ 수준의 공변 추론 과정에서 어려움을 겪는지 그리고 ‘어떤’ 사고방식이 성공적인 질적 그래프의이해에 결정적인 영향을 미치는지에 대한 분석 연구를 제공할 필요가 있다. 그러나 Figure 1과유사한 맥락에서 교사들 혹은 예비교사들을 대상으로 공변 추론 양상에 대해 관찰한 국내 연구는 찾아보기 어려운 실정이다.

이에 본 연구에서는 공변 추론 수준의 발달적 수준을 이론적 틀로 구조화한 Carlson et al.(2002)Thompson & Carlson(2017)의 연구에 기반하여 예비교사들의 연속적 공변 상황에 대한 질적 그래프 구성 과제에서 나타난 추론 양상을 분석하고자 한다. 본 연구에서 설정한 연구문제는 다음과 같다.

1. 예비교사들의 연속적 공변 상황에 대한 질적그래프의 구성 과정에서 나타난 사고방식은어떠한 특징이 있는가?

2. 예비교사들의 연속적 공변 상황에 대한 질적그래프 구성 과정에서 차이를 생성하는 결정적인 요인은 무엇인가?

### 1. 질적 그래프의 구성

함수를 표현하는 방법은 다양하고, 각각의 표현은 강점과 한계를 지닌다. 표는 구체적인 수치에 대한 정보를 빠르게 전달하고, 식은 전체 변량들에 대한 함수적 관계를 간단한 수학적 기호로 나타낸다(Kaput, 1989). 그리고 그래프의 가장큰 이점은 양적 정보들을 한 눈에 파악하기 쉬운 시각적 이미지로 묘사한다는 점이다(Goldin & Kaput, 1996; Kaput, 1989).

함수의 다양한 표현 중 그래프는 수학 분야를 넘어 인구수(Fountoulakis et al., 2008)나 마케팅(Arnould & Dion, 2018)과 같은 실생활 맥락, 그리고 물리학 (Howell et al., 2009), 화학(Nilov & Smolyakov, 2016), 의학(Ito et al., 2017; Paulo & June, 2013), 지질학(Faggella et al., 2018)과 같은타분야 응용 맥락에서도 폭넓게 활용된다(Sandie, Purwanto, Subanji, & Hidayanto, 2019, p. 42). 이러한 시대적 요구에 맞춰 서론에서 언급한 것처럼 우리나라 2015 교육과정에서는 중학교 수학1의 함수 내용영역에서 학생들의 그래프에 대한학습 기회를 확대하였다.

함수의 그래프를 충분히 이해하기 위해서는 여러 수학적 수준의 인지 과정이 요구되고 (Leinhardt, Zaslavsky, & Stein, 1990; Roth & Bowen, 2001; Lowrie & Carmen, 2007), 학생들의 그래프 학습 과정은 수학적 이해의 깊이 정도를 가늠할 수 있는 수준별 단계로 구분하여 이해될 수 있다(Barmby, Harries, Higgins & Suggate, 2007; Carlson et al., 2002; Leinhardt, Zaslavsky, & Stein, 1990). 이에 본 연구에서는 발달적 교육관에 기반하여 질적 그래프 구성에서 나타난 사고방식을 분석하기 위해 Carlson et al.(2002)Thompson & Carlson(2017)의 공변 추론 수준을발달적 수준의 단계로 구분하여 고찰하였다.

한편 그래프의 과제는 다음과 같은 두 측면으로 나누어 살펴볼 수 있다. 첫째, 그래프의 해석과 구성이다. 그래프의 해석은 그래프의 입력 표현에 대한 반응으로 주어진 자료를 통해 언어적 출력 표현 혹은 대수적 출력 표현으로 번역하면 되지만, 그래프의 구성은 이와 달리 새로운 무엇인가를 생성해내는 작업이 동반될 수 있다(Leinhardt, Zaslavsky, & Stein, 1990). 둘째, 양적그래프와 질적 그래프이다. 양적 그래프는 특정수치나 대수적 식에 관한 정보가 주어지는 것이고, 질적 그래프는 그러한 정보가 주어지지 않는 것이다. 양적 그래프는 x값에 대응하는 y값을 계산하는 과정을 통해 순서쌍을 좌표평면에 나타내어 그래프를 구성하고, 국소적 관점에서 그래프를 해석하기 쉽다. 반면에 질적 그래프는 여러 입력 값에 따른 출력 값의 순서쌍을 동시에 상상하여 양들의 연속적 변화의 형태를 그래프로 구성하고 전체적 관점의 해석을 유도하기에 용이하다(Carlson, Oehrtman, & Thompson, 2005; Leinhardt, Zaslavsky, & Stein, 1990).

그래프에 관한 선행연구들을 그래프의 구성과 해석 측면으로 분류하여 살펴보면 다음과 같다. 첫째, 그래프 구성에 관한 연구보다 해석(e.g., Friel, Curcio, & Bright, 2001; McKenzie & Padilla, 1986; Swatton & Taylor, 1994; Wainer, 1992) 혹은 그래프 표현을 포함한 다양한 표현사이의 변환에 관한 연구(e.g., Brenner et al., 1997; Moschkovich, Schoenfeld, & Arcavi, 1993)가많은 편이다(Hattikudur, Prather, Asquith, Alibali, Knuth, & Nathan, 2012). 둘째, 그래프 구성에 관한 연구들은 주로 양적 그래프를 대상으로 하여 공학적 도구를 이용하는 등의 방법을 통해 함수적 사고력의 신장을 목표로 하는 경우가 많다(e.g., Ainley, Nardi, & Pratt, 2000; Botzer & Yerushalmy, 2008; Hennessy, Fung, & Scanlon, 2001; Kieran, 2001; Levert, 2003; Nicolaou, Nicolaidou, & Zacharia, 2007; Noble, Nemirovsky, Dimattia, & Wright, 2004; Schwartz & Hershkowitz, 1999; Hattikudur, Prather, Asquith, Alibali, Knuth, & Nathan, 2012).

특히 질적 그래프의 구성에 관한 국내 연구는 많지 않은 편이다. Park, Shin, Lee, & Ma(2017)는 그래프 유형에 따른 공변 추론 수준 이론을 적용하여 비교하였는데, 질적 그래프 과제는 Thompson & Carlson(2017)의 이론적 틀보다 Carlson et al.(2002)의 이론적 틀을 통해 학생의공변 추론 수준을 자세하게 파악할 수 있었다고 보고하였다. Kim & Shin(2018)은 고등학교 1학년 학생들이 질적 그래프를 구성하고 해석하는 과정에서 나타난 사고방식의 특징에 대하여 조사하였는데, 학생들의 문제 해결 방식은 공통적으로 양에 대해 추론하는 방식과 직결되고, 연속적으로 변화하는 양에 대한 ‘매끄러운 사고’의 여부가 학생들 간의 차이를 생성하는 요인이라고 설명하였다. Hwang & Lee(2019)는 Thompson (2016, 2017)의 문항을 이용하여 예비 중등교사3명이 질적 그래프를 구성하고 해석하는 과정을분석하였는데, 질적 그래프를 구성할 때 두 양의공변을 인식하는 정도에 따라 교수를 위한 수학적 의미에 차이가 있었음을 보고하였다.

종합하면, 질적 그래프의 구성 과정에서 나타난 사고방식의 특징은 Carlson et al.(2002)이 이론화한 공변 추론 수준에 따라 질적 차이가 생성되고, 이러한 차이의 결정적인 요인 중 하나는 Thompson & Carlson(2017)이 묘사한 매끄러운공변 추론 능력임을 알 수 있다. 그러나 이에 대한구체적인 관찰연구는 여전히 부족한 실정이다.

### 2. 공변 추론

함수 개념의 역사적 발달 과정에서 공변은 중심적인 아이디어였지만 현대 수학의 함수는 대응 관점에서 정의되고 이러한 정의 방식은 공변의 관점을 드러내기에 적합하지 않다(Thompson, & Carlson, 2017).

함수에 대한 대응 관점은 주어진 x값에 따라 유일하게 결정되는 y값에 주목하지만, 공변은동시에 변하는 양들의 관계에 초점을 맞춘다. 함수에 대한 대응 관점과 공변 관점은 함수에 대한 다른 측면의 이해를 수반하기 때문에 학생들은 함수에 대한 두 관점의 균형 잡힌 학습 기회를 가질 필요가 있다.

공변적 사고는 두 양의 변화를 ‘지속적’으로 ‘동시에’ 염두에 두어야 하는데, 이러한 사고는 ‘곱셈적 대상(multiplicative object)’을 형성했을때 더욱 활성화 가능하다(Saldanha & Thompson, 1998). 곱셈적 대상은 두 양의 속성을 인지적으로 결합하여 ‘새로운’ 대상을 생성하는 것으로, Saldanha & Thompson(1998)은 곱셈적 대상을 정의할 때 피아제의 곱셈적 작용자인 “and” (Inhelder & Piaget, 1958)에 의존하였다고 기술하였고(p. 298), Thompson & Carlson (2017)은 곱셈적 대상이 “즉, 동시에, 하나이면서 또 다른”을의미한다고 설명하였다(p. 433). 그리고 Thompson (2010)은 곱셈적 대상의 예로 다음을 제시하였다(p. 48).

1) 직사각형의 가로와 세로의 길이로부터 구성한 직사각형의 넓이

2) 좌표평면에서 x좌표와 y좌표로부터 구성한점의 좌표

이러한 공변 개념을 토대로 Carlson et al.(2002)Thompson & Carlson(2017)은 현재 공변적 사고 연구의 기초가 되는 공변 추론 수준의 이론적 틀을 구축하였다. 공변 추론은 한 양이 다른 양과 관련하여 어떻게 변화하는지를 관찰하고, 변화하는 두 양을 조정하는 인지적 활동이다(Carlson et al., 2002). 본 연구에서는 Park, Shin, Lee, & Ma(2017)의 연구 결과를 참조하여질적 그래프 구성 과정에서의 공변 추론 수준을 논의하기 위해 Carlson et al.(2002)이 구조화한이론적 틀을 기준으로 하였다. 단 Thompson & Carlson(2017)이 주장한 것처럼 변화율의 개념화과정에서는 공변 추론을 넘어서는 비율, 몫, 축적, 그리고 비례와 같은 개념이 필요하다(p. 441). 이에 본 연구에서는 공변 추론의 양상에초점을 맞추어 분석하기 위해, Carlson et al.(2002)의 이론적 틀의 평균변화율과 순간변화율에 해당하는 공변 추론 양상을 각각 Thompson & Carlson(2017)의 이론적 틀의 덩어리 공변 추론과 매끄러운 연속 공변 추론 양상에 대응시켜(pp. 440-441), 상황에 맞게 모두 사용하였다.

Major levels of covariational reasoning(Carlson et al., 2002, pp. 357-358)

수준정신적 활동행위
수준 1조정한 변수의 변화에 따라 다른 변수의 변화 조정하기- 축에 이름 붙이기
- 두 변수의 관계 언어로 표현하기 (예: x가 변하면 y가 변한다.)
수준 2방향한 변수의 변화에 따라 다른 변수의 변 화 방향 조정하기- 증가하는 직선 구성하기
- 입력값에 따른 출력값의 변화 방향 언 어로 표현하기
수준 3양적 조정한 변수의 변화에 따라 다른 변수의 변 화량 조정하기- 점 찍기/할선 구성하기
- 입력값의 변화에 따른 출력값의 변화 량 언어로 표현하기
수준 4평균변화율입력 변수의 일정한 증분에 따라 함수의 평균변화율 조정하기- 정의역에서 연속적 할선 구성하기
- 입력값의 일정한 증분에 따른 출력값 의 변화율 언어로 표현하기
수준 5순간변화율함수의 정의역 전체에서 독립변수의 연 속적 변화에 따른 함수의 순간변화율 조정하기- 그래프의 볼록성을 부드러운 곡선으로 구성하기
- 함수의 정의역 전체에서 그래프의 볼 록성과 변곡점, 그리고 순간변화율 언어로 표현하기

Carlson et al.(2002)은 공변 추론의 수준을 5수준으로 구분하였고, 각 수준의 특징적인 정신적활동과 행위를 묘사하였다. 본 연구에서는 수준5의 정신적 활동과 행위를 조금 더 세분화하였는데, 이는 연구 방법에 5+α로 표현하여 기술하였다.

한편 정확한 수치적 정보가 없는 상황에서 양들의 변화 관계를 추론하기 위해서는 언어적 표현이 중요한 역할을 한다. 추상적인 수학적 개념이나 관계를 이해하고 해석하기 위해서는 간결하면서도 정확한 언어적 표현을 사용해야 하며, 일상생활에서 사용하던 언어적 표현은 수학적인 표현으로 이행되어야 한다(Moschkovich, 2001; Prediger & Zindel, 2017; Şahin-Gür & Prediger, 2018). 연속적 공변 상황에 대한 질적 그래프 구성에서 가장 중요한 언어적 표현은 ‘양’과 ‘율’이지만(Stroup, 2002) 이 두 언어적 표현을 단순히언급하는 것(computational language)만으로는 그의미를 이해했다고 보기 어렵다(Thompson, 1994).

이에 본 연구에서는 양으로부터 곱셈적 대상인 율을 구성하기 위해 예비교사들이 어떤 언어적 표현을 사용하였는지 관찰하였고, 이를 기울기의 의미를 중심으로 묘사하였다. 그리고 이와관련된 자세한 내용은 연구 방법에 조금 더 구체적으로 기술하였다.

### 1. 연속적 공변 상황의 과제 설계

과제 설계는 교수실험에서 가장 중요한 측면이다(Steffe & Thompson, 2000). 본 연구에서는 예비교사들의 연속적 공변 상황에 대한 질적 그래프 구성의 사고방식을 분석하기 위해 중학교 수학 1의 질적 그래프 내용영역에서 많이 사용된 Figure 1과 같은 유형의 ‘병에 물 채우기/비우기’ 과제를 사용하였다.

수학교육에서 병에 물 채우기/비우기 과제는 Shell Centre(Swan & Shell Centre Team, 1985)이처음 설계한 것으로(Paoletti & Moore, 2017), 병에 물을 채우거나 비우는 동적 상황은 연속적으로 그리고 동시에 시간과 물의 부피 및 물의 높이 변화를 유도한다. 또한 병의 모양이나 폭의 변화 혹은 물을 채우거나 비우는 속도에 따라 양들의 변화 관계도 달라진다. 따라서 병에 물채우기/비우기 과제는 연속적 공변 상황에서 여러 양들의 관계를 공변적 관점으로 관찰하기에 적합하다. 이에 여러 수학교육연구자들은 다양한유형의 병에 물 채우기/비우기 과제를 사용하여공변 추론 양상을 탐색하였다(e.g., Carlson et al., 2002; Johnson, 2015; Paoletti & Moore, 2017).

본 연구에서는 중학교 수학 1 교과서와 앞에서 언급한 선행연구들(e.g., Carlson et al., 2002; Johnson, 2012, 2015; Stalvey & Vidakovic, 2015; Paoletti & Moore, 2017)과 개혁적 미적분학(Hughes-Hallett et al., 2009)을 참조하여 다른 모양의 병에 같은 속도로 물 채우기(과제 1과 2) 혹은 같은 모양의 병에 채워진 물을 다른 속도로 비우기(과제 3) 과제를 설계하였다. 그리고연구 참여자들에게 병에 물을 채우거나 채워진 물을 비우는 동적 상황을 충분히 상상할 수 있도록 하기 위해 병의 모양 그림과 언어적 설명을 제공하였고, 서로 다른 상황에서 물의 부피와물의 높이, 시간과 물의 높이, 시간과 물의 부피의 관계를 질적 그래프로 구성하도록 요청하였다. 그리고 일부 과제에 대하여 그래프 모양에대한 추론 혹은 증가율과 관련된 추론을 언어적으로 기술하도록 하였다. 본 연구에서 설계하여사용한 과제는 Figure 2와 같다.

Figure 2.Bottle tasks designed in this study

### 2. 연구 참여자

예비교사들의 사고방식을 이해하는 것은 수학교육 연구자들이 생산적인 교사 교육과정을 개발하고 지원하는 데 도움을 주고, 예비교사들의 수학적 아이디어에 대한 이해 방식은 잠재적으로 가까운 미래에 학생들의 수학적 아이디어를 구축하는 방식에 영향을 준다(Paoletti & Moore, 2017).

본 연구에서는 수도권 소재 대학교의 수학교육과에 재학 중인 대학교 4학년 13명의 학생들을 대상으로 연구 참여 동의서를 획득한 후, 본연구의 과제를 일주일 동안 충분히 생각하여 온라인으로 제출하도록 요청하였다. 그리고 이들중 5명은 후속 인터뷰에 참여하였다. 이들은 모두 대학 수준의 미적분학을 학습한 경험이 있었다.

### 3. 자료 수집

본 연구에서는 예비교사들을 대상으로 병에 물 채우기/비우기 과제에 대한 설문 조사를 실시한 후, 이 설문 과제들에 대한 후속 인터뷰를 수행하였다.

후속 인터뷰 대상자는 설문 조사 결과에서 1) 그래프 모양에 대한 공변/대응 관점, 2) Carlson et al.(2002)Thompson & Carlson(2017)의 공변 추론 수준의 이론적 틀에서 서로 다른 공변 추론 수준을 나타낸 예비교사들을 골고루 포함하여 선정하였다. 이때 공변 관점으로 그래프 모양을 추론하고 그래프 구성의 결과가 의사 수준 5에 해당한 예비교사 2명은 그래프의 볼록성은정확했으나 변곡점과 미분가능에서 서로 다른 양상을 보였기 때문에, 인터뷰 대상자는 최종적으로 공변 관점으로 그래프 모양을 추론한 서로 다른 수준의 예비교사 3명, 대응 관점으로 그래프 모양을 추론한 예비교사 2명으로 선정하였다.후속 인터뷰는 온라인으로 진행하였고, 녹화및 전사하여 분석하였다. 인터뷰 시작 전 예비교사들에게 자신의 응답을 다시 한 번 살펴볼 수 있는 시간을 제공했으며, 인터뷰는 반 구조화된방식(Clement, 2000)으로 진행하였다. 연구자들은 인터뷰에서 연구 참여자들에게 모든 과제들에 대해 ‘어떻게’ 그래프를 구성했는지 그리고 ‘왜’ 그렇게 그래프를 구성했는지에 대하여 설명하도록 요청하였다. 그리고 인터뷰 과정에서 연구 참여자들이 ‘빠르게’ 혹은 ‘증가’와 같은 언어를 애매하게 사용하거나 축약된 언어적 표현을 사용했을 때 그 의미를 파악하기 위해 추가 질문을 하였다.

### 4. 자료 분석 방법

본 연구에서는 수집된 자료들을 세 가지 측면에서 분석하였다. 첫째, 과제 1, 2, 3의 6개의 질적 그래프 구성 문항에 대한 예비교사들의 반응은 Carlson et al.(2002)Thompson & Carlson(2017)의 공변 추론 수준의 이론적 틀을참조하여 분석하였다(Table 2). 이론적 배경에서기술한 것처럼 Carlson et al.(2002)의 이론적 틀에서 평균변화율과 순간변화율에 대응하는 정신적 활동은 Thompson & Carlson(2017)의 이론적틀의 덩어리 공변 추론과 매끄러운 연속 공변 추론으로 설명하였다. 그래프의 전체적 개형을곡선으로 구성하는 수준은 직선으로 구성하는 수준보다 높으며, 그래프의 국소적 개형을 구성하는 수준은 그래프의 전체적 개형을 구성하는 수준보다 높다. 예비교사들의 설문 조사 결과 그래프의 볼록성(수준 5)은 잘 나타냈으나 y절편(수준 1) 혹은 그래프의 방향성(수준 2)을 잘못나타낸 경우가 있었으므로 설문 조사의 결과는 분석틀에서 누락/오류 코드를 추가 논의하여 분석하였고, 인터뷰 조사의 결과는 공변 추론 수준의 위치로 분석하였다.

Framework for analyze the major levels of covariational reasoning

수준정신적 활동의 특징행위 요소누락/오류 코드
수준 1조정한 변수의 변화에 따라 다른 변수의 변화 조정하기- 축에 이름 붙이기
-y절편 표시하기
A
수준 2방향한 변수의 변화에 따라 다른 변수의 변화 방향 조정하기- 그래프의 변화 방향 인식하기O
수준 3양적 조정점별 연결 추론- 증가/감소 인식하기
-병의 모양, 물이 채워지는/비워 지는 속도, 변수들 차이에 따른 그래프 전체적 개형의 차이 인식 하기
D
수준 4평균변화율덩어리 공변 추론- 정의역에서 직선 구성하기L
수준 5순간변화율매끄러운 연속 공변 추론- 그래프의 전체적 개형의 볼록성 을 곡선으로 구성하기C
수준 5+ α순간변화율에 대한 반성적 사고매끄러운 연속 공변 추론에 대한 반성적 사고그래프의 국소적 개형이 바뀌는 점에서
-미분가능 인식하기
-변곡점 인식하기
S, I

둘째, 설문 조사의 과제 1에 대한 예비교사들의 그래프 모양에 대한 추론방식은 옳고 그름을 떠나 함수에 대한 접근 관점(공변 관점/대응 관점)으로 분류하였고(Table 3) 서로 다른 함수에대한 관점을 나타낸 예비교사들의 후속 인터뷰 결과를 구분하여 묘사하였다.

Covariation and correspondence for the function(Coulombe, 1997, p. 83)

함수에 대한 관점특징
공변 관점- 두 변수의 동적 관계
- 관계된 변화량들을 증가/감소와 같은 언어적 표현으로 질적 묘사
대응 관점- 두 변수의 정적 관계
- 수학적 대상으로서의 변수들을 대수적으로 문자나 식으로 표현

셋째, 후속 인터뷰 과정에서 연속적 공변 상황을 추론하기 위해 예비교사들이 사용한 언어적 표현의 특징을 분석하였다. 율의 개념과 관련하여 곱셈적 대상의 형성과 그래프의 기울기의 의미를 조사하였고, 물의 부피에 대한 물의 높이함수의 그래프 구성 과정에서 나타난 시간(매개변수/은유)과 관련된 표현을 묘사하였다. 앞에서언급한 것처럼 양과 율의 언어적 표현을 사용한 것만으로는 수학적 의미를 구성했다고 보기 어려우므로(Thompson, 1994), 예비교사들이 후속인터뷰 과정에서 사용한 축약된 명사(예: 변화, 증가, 빠르게 등)들은 조금 더 많은 어휘 자원을사용할 수 있도록 요청하였다.

### IV. 연구 결과 및 논의

연구 결과는 연구 방법에서 기술한 것처럼 설문 조사와 후속 인터뷰 조사를 구분하여 분석하였다. 먼저 예비교사들의 설문 조사에 대한 반응결과는 1-1) 질적 그래프 구성의 누락/오류 코딩결과, 1-2) 그래프 모양에 대한 추론 과정에서보인 함수에 대한 공변/대응 관점을 양적으로 분석하였다. 그리고 후속 인터뷰에 참여한 예비교사들에 대한 반응 결과는 2-1) 인터뷰 후의 질적그래프 구성 결과에서 나타난 공변 추론 수준과 수준의 차이를 생성하는 결정적인 측면들, 2-2) 공변 추론 과정에서 사용한 언어적 표현(곱셈적대상의 형성, 기울기의 의미, 시간)을 질적으로분석하였다. 마지막으로 설문 조사와 후속 인터뷰 분석 결과를 종합하여 논의하였다.

### 1. 설문 조사에 대한 예비교사들의 반응 결과

예비교사 13명의 설문 조사에 대한 질적 그래프 구성 과제 결과는 Table 4와 같다. 이는 본연구의 분석틀에 따라 두 연구자가 독립적으로 코딩한 후 비교해 합의를 도출한 결과이다.

The summary of pre-service teachers’ response about construction of qualitative graph

누락/오류 코드과제 1과제 2과제 3
병 A hV그래프병 B hV그래프병 A ht그래프병 B, C Vt그래프병 B, C ht그래프병 B, C hV그래프
y절편A1 (8%)1 (8%)0 (0%)1 (8%)1 (8%)6 (46%)
방향O×××1 (8%)1 (8%)6 (46%)
차이D×××4 (31%)3 (23%)4 (31%)
직선성L0 (0%)0 (0%)0 (0%)3 (0.23%)1 (8%)2 (15%)
볼록성C3 (23%)3 (23%)2 (15%)×4 (31%)1 (8%)
변곡점I4 (31%)×7 (54%)×××
미분가능S11 (85%)7 (54%)10 (77%)0 (0%)9 (69%)5 (38%)
무응답N0 (0%)1 (8%)1 (8%)1 (8%)0 (0%)2 (15%)
정답1 (8%)2 (15%)2 (15%)5 (38%)1 (8%)0 (0%)

예비교사들의 설문 조사에 대한 결과에서 가장 많은 누락/오류 요소는 ‘그래프의 국소적 개형이 바뀌는 점’에서 관찰되었다. 예비교사들은그래프의 전체적 개형을 옳게 구성하였으나 그래프의 국소적 개형이 곡선에서 직선으로 바뀐 점에서는 그래프를 ‘미분불가능’한 형태로 그린 경우가 많았고 그래프의 볼록성이 바뀐 ‘변곡점’ 에서는 그래프의 ‘접선의 기울기를 0’으로 그린경우가 있었다(Figure 3).

Figure 3.Pre-service teacher’s response coded as S and I

게다가 과제 1의 병 A의 물의 부피에 대한 물의 높이 함수의 그래프와 과제 2의 병 A의 시간에 대한 물의 높이 함수의 그래프가 유사하다고 반응한 예비교사들이 10명이었지만 두 그래프에서의 ‘미분가능’과 ‘변곡점에서의 접선의 기울기’ 의 누락/오류 분석결과는 일치하지 않았다. 이는예비교사들이 그래프의 국소적 개형이 바뀐 점에서 미분가능 혹은 변곡점에 대한 사고를 주의 깊게 하지 않았다는 것을 추가적으로 말해준다(Figure 4).

Figure 4.Pre-service teacher’s response who stated that the two graphs were similar in shape, but construct different slope at the inflection point

한편 과제 3에서는 ‘방향(누락/오류 코드: O)’ 행위 요소와 ‘변수들 차이에 따른 그래프 개형의 차이 인식하기(누락/오류 코드: D)’ 행위 요소를 관찰할 수 있었다. 예비교사들 중에서는 과제3의 상황을 과제 1, 2와 같이 병에 물을 채우는상황과 같은 방향으로 사고하거나(Figure 5) 물의 부피에 대한 높이 함수의 그래프와 시간에 대한 물의 높이 함수의 그래프를 유사하게 그린 경우가 있었다(Figure 6). 그러나 이러한 누락/오류는 양들의 관계를 추론하는 방식에서 기인한 것이 아니라 이전 과제 1, 2의 상황을 다른 상황인 과제 3에 그대로 적용한 결과임을 후속 인터뷰에서 확인할 수 있었다.

Figure 5.Pre-service teacher’s response Pre-service teacher’s response

Figure 6.Pre-service teacher’s response coded as O and D

마지막으로 대다수의 예비교사들은 변수들의 관계를 추론하기 위해 함수에 대한 공변 관점으로 접근하였다(Table 5).

Pre-service teacher’s perspectives on function

함수에 대한 관점예비교사들의 반응 수
공변 관점11 (85%)
대응 관점2 (15%)

하지만 수치적 정보가 없는 상황임에도 불구하고 변수들의 관계를 대수식으로 표현하여 그래프를 구성하려고 노력한 예비교사가 2명 있었다(Figure 7). 이들은 복잡한 식을 미분하고 적분하는 과정에서 오류를 보이기도 하였다.

Figure 7.Pre-service teacher’s response with the correspondence perspective

### 2. 후속 인터뷰 조사에 대한 예비교사들의 반응 결과

후속 인터뷰에 참여한 예비교사 5명은 공통적으로 본인이 구성한 질적 그래프를 ‘어떻게’ 그렸고, ‘왜’ 그렇게 그렸는지에 대한 반성적 사고를 하면서 설문 조사의 답안을 수정 및 보완하는 모습을 보여주었다(예: Figure 8). 이러한 결과는 질적 그래프 구성 결과에 대한 ‘반성적 사고’가 ‘공변 추론 수준을 발달’시킬 수 있는 하나의 방안이 될 수 있음을 보여준다.

Figure 8.Pre-service teacher TB's response

이 장에서는 후속 인터뷰에 참여한 예비교사 5명의 공변 추론 수준을 설문 조사 결과와 구분하여 묘사하였고, 설문 조사 결과와 중복되는 후속 인터뷰 내용은 기술하지 않았다. 후속 인터뷰조사에 대한 예비교사들의 반응을 정리하면 다음과 같다(Table 6).

The summary of pre-service teachers’ response of interview

예비교사TATBTCTDTE
공변 추론설문 조사 결과오류 코 드: D 코딩 1누락/오류 코 드: S 코딩 5 회누락/오류 코드: C 코딩 3 회, S 코딩 4 회, D, L, O 코딩 각각 1회누락/오류 코 드: S 코딩 5 회, C 코딩 1 회, I 코딩 2회누락/오류 코드: C, D, 코딩 각각 1회, A, N 코딩 각각 2회
후속 인터뷰 결과공변 추론 수준 5 + 2공변 추론 수준 5 + 1공변 추론 수준 5공변 추론 수준 5 + 1공변 추론 수준 5 + 1/ 4 (과제 3)
공변 추론 과정에서 사용한 표현언어적 표현언어적 표현언어적 표현대수적 표현(+ 그림)+언어적 표현대수적 표현(+ 그래프)+언어적 표현
함수에 대한 관점공변공변공변hV: 대응
Vt, ht: 공변
과제 1,2: 대응
과제 3: 공변
형성한 곱셈적 대상기울기기울기점의 좌표f(t)=at에서 의 a변화율, S(h)
hV 그래프에서 기울기의 의미1/단면적단면적 (원의 넓이)(단)면적면적, 1s(h)
hV 그래프에서 ‘시간’에 대한 사고은유적 표현으로서 ‘속도’ 사용은유적 표현으로서 ‘속도’ 사용매개변수매개변수은유적 표현으로서 ‘빠르게/느리게’

첫째, 성공적으로 질적 그래프의 ‘전체적 개형’을 추론한 예비교사들은 공통적으로 ‘곱셈적대상’을 형성하여 사고하는 특징을 나타냈다. 그러나 곱셈적 대상을 형성하는 방식에 있어서는 조금씩 차이가 있었다. 다음은 예비교사 TB, TC, 그리고 TE가 곱셈적 대상을 형성하여 그래프의전체적 개형을 규명한 부분의 인터뷰 발췌문이다. 먼저 예비교사 TB는 물의 부피에 대한 물의높이 함수의 그래프를 구성하기 위해 곱셈적 대상으로 ‘기울기’를 형성하고, 그 기울기의 변화를 추론하여 그래프의 전체적 개형을 구성하는 형태의 사고방식을 나타냈다.

I: (과제 1, 두 병 A와 B의 hV 그래프에 대하여) 그래프 어떻게 그렸는지 설명해주시겠어요?

TB: A병이 원모양으로 생겼잖아요.

일정한 속도로 물을 채우고 있다고 가정했기 때문에 부피가 늘어나는 건 크게 상관이 없다고 생각했어요.

높이에 관련 있는 건 단면의 넓이들, y1에서 y2에서 y3에서 단면의 넓이가 늘어나다가 줄어들다가 일정하게 유지가 되고 있어서 물을 채우는 속도가 같다면, 단면의 넓이가늘어날수록 높이가 늘어나는 속도는 줄어들고 높이가 늘어나는 속도가 늘어나다가 일정해지는데 이게 그래프의 기울기라고 봤어요. 0에서 y1은 기울기가 점점 줄어드는 그래프로 그렸고 (y1을 가리키며) 이 점이 제일 문제라고 생각했는데, 기울기가 늘어나는 그래프를 그렸고, 그래프 (기울기)가 일정하게그렸어요.

반면에 예비교사 TC는 단면적과 높이를 변화량들의 관계로 추론한 후 이를 곱셈적 대상인 ‘점의 좌표’로 번역하여 그래프의 전체적 개형을옳은 모양으로 수정하는 사고방식을 나타냈다.

I: 아까 단면적이 y1으로 갈 때 단면적이 커지고 y2로 갈 때 단면적이 작아진다고 하였는데 아래로 볼록과 위로 볼록은 어떻게 연결지었어요?

TC: 아... 아래로 볼록이라는 거는 뭐랄까 잠시만 생각해볼게요.

(잠시 후) 0에서 y1은 단면적이 점점 커지니까... 높이의 변화가 처음에는 단면적이 작으니까 높이 변화가 있다가 단면적이 넓어지니까 높이 변화가 줄어들거든요. 그래서 이렇게(옳은 방향으로 수정, Figure 8) 그려져야 할 것 같아요. 그리고 단면적이넓어졌다가 줄어드니까 변화가 완만했다가이렇게 그려져야 할 것 같아요(점의 좌표로사고하는 과정).

I: 그런데 왜 처음에는 이렇게 그렸어요?

TC: 처음에는 잘 몰라가지고 아래로 볼록 위로 볼록까지는 생각을 안 해봤어요.

Figure 9.Pre-service teacher TC's response corrected graph in the interview

마지막으로 예비교사 TE는 과제 1과 2의 그래프의 전체적 개형을 구성하기 위해서 함수에 대한 대응 관점으로 접근하였고(Figure 10) 과제 3의 그래프의 전체적 개형을 구성하기 위해서는 함수에 대한 공변 관점으로 접근하는 특징을 보여주었다. 그리고 과제 3에서는 과제 1과 2에서와 달리 곱셈적 대상을 형성하지 못하여 그래프의 전체적 개형을 추론하지 못하였다. 이러한 예비교사 TE의 사례를 통해 ‘곱셈적 대상의 형성’ 이 ‘그래프의 전체적 개형’을 추론하는 데 결정적인 측면임을 확인할 수 있었다.

Figure 10.Pre-service teacher TE's response with the correspondence perspective

한편 예비교사 TE가 과제 1과 2에서 형성한 곱셈적 대상은 변화율로서의 1s(h)였다. 과제 3은 물이 빠지는 상황이라 대수적 표현을 사용하지 못했다고 했으며 이후 곱셈적 대상을 형성하지 못한 채 두 병 B와 C에서 물이 빠지는 속도의 차이에 대해서만 주목하였음을 관찰할 수 있다. 과제 3에서 나타난 예비교사 TE의 반응은연속적 공변 상황에 대한 대응 관점이 질적 그래프 구성 과정에서 어려움을 야기할 수 있음을 보여준다.

I: (과제 1에 대하여) 그래프 어떻게 그린건지 설명해주시겠어요?

TE: 부피에 대한 높이의 변화율을 구하기 위해 높이에 대한 부피에 대한 함수식을 구했어요.

부피에 따른 높이의 변화율을 부정적분하게 되면 부피에 대한 높이의 함수를 그릴 수 있다고 생각해서 부정적분한 것을 그려 넣었어요. S(h)가 어떻게 생겼는지 살펴보기 위해 면적을 나타내는 함수라서, A는 이런 식으로, B는 이런 식으로 나왔어요.

그래서 1s(h)는 이렇게 나왔어요.

(중략)

I: (과제 3에 대하여) 그래프 어떻게 그린건지 설명해주시겠어요?

TE: C가 작은 시간에 물이 빠지니까 이렇게 그렸어요. (과제 3의) ②의 그래프의 정확한개형은 생각해보지 못하고 대략적인 양상만 표현했어요. 잘 모르겠어요.

둘째, 그래프의 국소적 개형이 바뀌는 점에서의 ‘미분가능성’에 대한 사고는 매끄러운 연속 공변추론을 하거나, 연속 공변 추론에 대한 반성적 사고의 매끄러운 공변 추론을 통해 이루어졌다. 그러나 예비교사들은 이와 같이 추론한 이유에 대하여 수학적 근거를 들어 설명하지 못하였다.

예를 들어 후속 인터뷰 결과에서 모든 과제의 질적 그래프를 누락 혹은 오류 없이 구성한 예비교사 TA는 ‘정의역 전체’에서 ‘매끄러운 연속공변 추론’을 하였고, 그래프의 국소적 개형이바뀌는 점에서의 미분가능성에 대해서도 ‘매끄러운 연속 공변 추론’을 통해 판단하였다. 그러나 예비교사 TB는 ‘덩어리 공변 추론’을 통해그래프의 전체적 개형을 구성한 후, 후속 인터뷰과정에서 ‘그래프의 국소적 개형이 바뀌는 점에대한 반성적 사고’를 하여 미분가능성을 판단하였다.

다음은 매끄러운 연속 공변 추론을 통해 그래프의 국소적 개형이 바뀌는 점의 미분가능성을 판단한 예비교사 TA의 인터뷰 발췌문이다.

I: y2에서 기울기가 부드럽게 이어지게 그린 게 맞아요?

TA: 네

I: y1에서의 기울기가 제일 작다고 하셨는데 0이라고 생각하신건가요?

TA: 0은 아니죠. 그 순간에도 기울기도 계속 증가하고 있으니까 0은 아니죠.

I: 왜 y2에서의 기울기의 좌극한과 우극한이 같다고 생각하신거죠?

TA: 병폭은 계속 뭐라고 해야 하지... 병폭은 계속 연속적으로 이렇게 되가지고. 부드럽게 이어질 수 있을 거라고 생각했어요

I: 병폭이 연속적으로 변한다는게 무슨 뜻이예요?

TA: 병폭이... 뭐라고 설명하기가 힘든데... 그래프를 그린다면 부드럽다고 할 수 있을 것 같아가지고...

I: 부드럽다는게 뭐예요? 부드러운 그래프는 어떤 그래프였어요?

TA: 정확히 말하면 병폭의 변화의 그래프를 그리면 미분가능한 그래프로 그려지지 않을까 싶어서 부드럽게 (그렸어요).

다음은 예비교사 TB가 과제 3의 시간에 대한물의 높이 함수의 그래프를 구성하는 과정에서 연속적으로 덩어리 공변 추론을 한 부분의 인터뷰 발췌문이다.

I: 이 그래프에서 기울기의 의미는?

TB: 단면적이 넓어지니까 병 C를 더 가파르게 그렸고 병 B를 더 원만하게 그렸습니다.여기서는 이만큼 빠질 때 여기서는 정말 얇게 이만큼 빠진다. 그러면 높이 변화가여기는 이만큼이고 여기는 이만큼이다 시간이 부피라고 봐도 된다고 생각했어요(Figure 11).

Figure 11.Pre-service teacher TB’s response showing chunky covariation reasoning

다음은 예비교사 TB가 덩어리 공변 추론 이후그래프의 국소적 개형이 바뀌는 점에 대해 반성적 사고를 하여 미분가능성을 판단한 부분의 인터뷰 발췌문이다.

TB: 아까 물어보셨잖아요. 기울기를 왜 그렇게 했냐고. 근데 그때는 생각을 안했는데 지금바로 드는 생각에는 바로 여기에서 이어져야 하지 않을까(미분가능한 그래프로 수정, Figure 12)

Figure 12.Pre-service teacher TB's response corrected graph in the interview

I: (TB의 그래프는) 꺾이게 그려놨거든요(Figure 13). 기울기 어떻게 생각하고 그렸는지 궁금해요.

Figure 13.Pre-service teacher TB's response in the survey

TB: 생각 없이 일정하고 점점 감소하게 그리자 해서 그렸는데 (그래프 개형이 바뀌는 점에서의 접선의 기울기의 좌극한과 우극한이) 똑같아야 하지 않을까...

I: 왜 똑같아야 할까요?

TB: 넓이가 같으니까요.

한편 예비교사 TC는 연속적이지만 작은 구간으로 분할된 덩어리 공변 추론을 하여 그래프의 전체적 개형을 구성하였지만 매끄러운 연속 공변 추론을 하지는 못했다. 이는 덩어리 공변 추론만으로는 ‘그래프의 국소적 개형이 바뀌는 점에서의 미분가능’에 대한 판단을 하기에 ‘한계’ 가 있음을 보여준다(Figure 14).

Figure 14.Pre-service teacher TC's response showing chunky covariation reasoning at y 2

I: y2지점 꺾이게 그린 거 맞나요?

TC: 어... 꺾인 것까지는 생각을 안 해봤는데...

(한참 후) 네 꺾여야할 것 같아요.

y2 (위 아래로) 이 정도만 보게 되면 단위시간당 높이의 변화량이 다르기 때문에 꺾여야한다고 생각합니다.

(중략)

(y2기준 위 아래) 높이의 변화량이 달라서꺾여야 한다고 생각하거든요. 진짜 작게 본다면.

(중략)

I: 팬케이크 쌓아놓듯이?

TC: 네, 팬케이크 쌓아놓듯이.

그리고 그래프의 국소적 개형이 바뀌는 점과 관련하여 변곡점에서의 접선의 기울기가 0이라는 개념 이미지를 가지고 있는 예비교사가 있음을 후속 인터뷰에서도 확인할 수 있었다.

I: y1에서 제일 문제였다고 했는데 그게 무슨 뜻이에요?

TB: 3차 함수를 그린 건데 변곡점이니까 멈춰 있는 느낌이 있어서 높이가 순간적으로 멈추는 거? 이런 생각이 들어서 3차함수로그렸어요. 거기 딱 y1에서 면적이 딱 늘어나다가 줄어드는 순간이라고 봐서 3차함수로 그렸어요.

높이가 적게 늘어나고 y1위쪽으로는 높이가 더 많이 늘어나는 거라서 (3차함수라고생각했어요)

I: y1에서의 기울기를 왜 0이라고 생각했는지 궁금해요

TD: 수치를 생각해서 그린 게 아니고 짐작을 해서 그린 거잖아요. 짐작을 한 그래프 모양을 봤더니 x축이랑 평행해 보여서 정확한 근거는 없지만 0이라는 생각이 들었던것 같아요.

I: y1에서의 기울기는 뭐라고 생각했나요?

TE: 0이 될 것 같아요.

셋째, 물의 부피에 대한 물의 높이 함수의 그래프의 추론 과정에서 예비교사들은 모두 ‘시간’ 과 관련된 언어적 표현을 사용하였다. 예비교사5명 중 3명은 물의 부피에 대한 물의 높이 함수의 그래프의 증가/감소 정도를 그래프의 변화 ‘속도’ 혹은 ‘빠르게/느리게’와 같이 표현하였고, 2명은 물의 부피와 물의 높이 변화 관계를 추론하는 과정에서 시간을 ‘매개변수’로 사고하였다.

다음은 함수의 그래프의 증가/감소 정도를 속도라는 용어를 사용하여 은유적으로 표현한 예비교사 TA와 예비교사 TB의 인터뷰 발췌문이다.

I: (hV 그래프에서) 높이 증가가 느려진다고 했는데 느려진다는 게 무슨 뜻이에요? 속도는아니잖아요.

TA: 높이가 증가하는 속도가 느려진다.

I: 높이가 증가하는 속도는 뭔데?

TA: 기울기 아닐까요?

기울기가 느려진다는 것은 증가량이 작아진다?

높이 증가하는 속도가 빨라진다는 것은 기울기가 가팔라지고 높이 증가하는 속도가 느려진다는 것은 기울기가 완만해진다.

I: (hV 그래프에서) 빠르게가 뭐가 빠르게예요?TB: 높이가 증가하는 속도, 그래프에서 기울기I: 그래프에서 빠르게 짧아진다는 게 무슨 의미예요? 속도의 의미는?

TB: 면적이 넓어지고 면적이 좁아지는 그걸 말하는 거예요.

I: 여기에 시간이 없는데 시간이라고 지칭한 것이 무엇인지?

TB: 속도가 아니라 정도가 맞는 것 같아요

반면에 예비교사 TC와 예비교사 TD는 물의부피에 대한 물의 높이 함수의 그래프 구성 과정에서 시간을 매개변수로 고려하였음을 관찰할 수 있었다. 다음은 예비교사 TC와 예비교사 TD의 인터뷰 발췌문이다.

I: 추론에서 오래 걸린다는 시간에 대한 얘기인데, 여기에서는 부피와 높이로 시간이 없는데 어떤 의미로 쓴 건지 궁금해요.

TC: 병 A가 병 B보다 y1에서 y2까지 부피가 더 크니까 똑같은 속도로 물을 채운다고 하면 (시간이) 더 오래 걸리는 거잖아요. 그걸 말한 거예요.

I: (Figure 15에 대해) 뭘 표현하고 싶었어요?

Figure 15.Pre-service teacher TD’s response(took time as parameter)

TD: 시간에 대한 높이 함수니까 분수로 쓰면 그 의미가 더 와 닿지 않을까 해서.

TD: 부피에 대한 높이 함수를 나타내려고 했었던 건데 똑같이 시간으로 나누면 어차피 똑같은 함수이지 않을까 하면서 이런 표현을 쓴 것 같아요

(중략)

I: 빨리 증가한다는 게 뭐예요?

TD: 똑같은 시간일 때 더 많이 가는 거죠. 더 많이 증가하는 거다.

### 3. 논의

본 연구에 참여한 예비교사들은 연속적 공변 상황에 대한 질적 그래프를 구성하는 과정에서 공통적인 사고방식의 특징을 나타내기도 하고, 다른 양상의 사고방식을 드러내기도 하였다. 특히 이 장에서는 과제 맥락에 대한 이해 부족에서 기인한 누락/오류를 넘어 공변 추론 수준의질적 차이를 생성하는 요인에 주목하여 논의 하고자 한다.

첫째, 두 가지 종류의 병 모양에 같은 속도로물을 채우거나 같은 종류의 병 모양에 다른 속도로 채워진 물을 비우는 연속적 공변 상황에 대한 질적 그래프의 전체적 개형(직선, 아래로/위로 볼록)을 구성하기 위해 대부분의 예비교사들은 공통적으로 곱셈적 대상을 형성하는 양상을 나타내었다. 그리고 두 변수들의 관계를 하나의 인지적 대상으로 고려하는 곱셈적 대상의 형성은 성공적인 그래프의 전체적 개형으로 번역되는 경우가 많았다. 이러한 본 연구의 결과는연속적으로 변하는 두 양의 관계를 하나의 곱셈적 대상으로 형성하는 사고방식이 그래프의 전체적 개형을 추론하는 데 결정적인 요인임을 말해준다.

그러나 같은 상황에서도 예비교사들이 형성한 곱셈적 대상은 기울기(TB), 점의 좌표(TC), 변화율(TE) 등 다양한 유형으로 나타났으며, 이에 따른 추론 방식도 조금씩 차이가 있었다. 따라서학교수학에서는 연속적 공변 상황에 대해 학생들이 형성할 수 있는 곱셈적 대상은 다를 수 있으며, 형성한 곱셈적 대상에 따라 다양한 추론양상이 나타날 수 있음을 인지할 필요가 있다.

둘째, 두 변수의 관계를 곱셈적 대상으로 형성하여 성공적으로 그래프의 전체적 개형을 구성하더라도, 덩어리 공변 추론만으로는 그래프의국소적 개형이 바뀌는 점(곡선에서 직선 혹은변곡점)에서의 ‘미분가능의 판단’(TC) 혹은 ‘접선의 기울기의 계산’(TB, TD, TE)을 하는 데 한계가 있음을 관찰할 수 있었다. 이는 덩어리 공변추론의 한계를 주장한 여러 선행연구들(e.g., Byerley & Thompson, 2016; Castillo-Garsow, Johnson, & Moore, 2013)의 결과와 같다. 따라서 ‘매끄러운 연속 공변 추론’은 더 높은 공변 추론수준으로 발달하기 위한 결정적인 측면임을 알수 있다.

셋째, 그래프의 국소적 개형이 바뀌는 점에서그래프가 ‘미분가능’한 형태로 구성되어야 함을 인지한 예비교사들 중에서도 이에 대한 근거를 수학적으로 설명한 예비교사는 한 명도 없었다. 이는 예비교사들이 ‘미적분의 기본정리’를 ‘누적양과 변화율의 관계’에 적용하여 사고하지는 못했음을 보여준다(Thompson, 1994; Carlson, Smith, & Persson, 2003). 한편 변곡점에서의 접선의 기울기가 0이라는 개념 이미지도 후속 인터뷰에 참여한 5명의 예비교사 중 3명에게서 나타났다. 이들은 그래프의 국소적 개형이 바뀌는 함수의 대표적 예로 y=x3을 생각했기 때문에 변곡점에 대한 접선의 기울기가 0이라고 응답하기도 하였으나, 이에 대해서는 추가 관찰연구가 수행될 필요가 있다.

넷째, 구체적 수치나 대수적 정보가 없는 연속적 공변 상황에서도 함수에 대한 ‘대응’ 관점으로 접근한 예비교사들이 있었으며, 이러한 예비교사들은 언어적 표현과 함께 대수적 표현 혹은 그림이나 그래프 등 시각적 이미지를 함께 사용하여 추론하는 양상을 나타내었다. 함수에 대한공변 관점은 본 연구에서 사용한 과제 맥락에 더 유용하며 실생활 맥락의 변화 양상을 추론하기에 적합한 사고방식이다(Goldenberg, 1987; Krabbendam, 1982; Thompson & Carlson, 2017). 또한 병의 모양이나 폭에 따라 표현하기 어려운 대수식이 있을 수 있고, 표현하더라도 복잡한 대수식을 미분하고 적분하여 양과 율의 관계를 추론하는 과정은 시간이 오래 걸리며 오류가 발생하기도 쉽다. 따라서 질적 그래프 내용영역에서는 함수에 대한 공변 관점을 강조할 필요가 있다.

마지막으로, 물의 부피에 대한 물의 높이의 함수의 그래프 구성 과정에서 ‘시간’은 두 양의 변화에 영향을 미치지 않았지만, 예비교사 5명 중2명은 시간을 ‘매개’로 두 양의 변화를 추론하였으며, 나머지 3명은 기울기(=물의 높이/물의 부피)의 변화를 설명하는 과정에서 ‘속도’ 혹은 ‘빠르게/느리게’와 같이 시간과 관계된 언어적 표현을 사용하는 양상을 보였다. 이러한 특징은 학생들이 실생활의 비운동학적 상황에서 도함수를 구할 때 ‘시간을 상기(invoking time)’하는 특징을묘사한 Jones(2017)의 연구 결과와 일치한다. Jones(2017)은 실생활에서의 변화가 항상 시간에따라 발생하기 때문에 이러한 사고방식의 양상이 나타난다고 설명하였다. 하지만 시간과 관계없이 불변인 변화의 형태를 갖는 변수들에 대해서는 시간을 매개변수로 사고하지 않을 때 더 경제적일 수도 있다.

### V. 결론 및 제언

2015 개정 교육과정의 중학교 수학 1에서 질적 그래프 구성 및 해석을 위한 소재로 많이 사용된 병에 물 채우기 혹은 채워진 물 비우기 과제는 수학적으로 성숙한 이해를 위해 높은 수준의 공변 추론 능력이 요구된다. 이러한 연속적공변 상황에 대해 중학생들은 충분한 개념적 이해 없이 직관적으로 그래프를 구성 및 해석하더라도 미적분학을 경험한 교사들은 수학적으로 정교한 질적 그래프를 구성 및 해석할 수 있어야한다.

본 연구에서는 예비교사들의 연속적 공변 상황에 대한 질적 그래프 구성 과정에서 두 변수의 양들의 관계를 곱셈적 대상으로 형성하는 공통된 사고방식을 관찰하였고, 곱셈적 대상으로변화율인 기울기를 형성하는 사고방식은 그래프의 전체적 개형을 구성하는 데 결정적인 요인임을 관찰할 수 있었다. 또한 두 양의 변화를 조정하는 행위는 그 양에 해당하는 구간의 이미지를 수반하므로 양에 대한 덩어리 사고가 자연스럽게 생성될 수 있는데, 덩어리 심상의 한계를 극복한 매끄러운 연속 공변 추론 가능 여부가 높은 수준의 공변 추론에 도달하기 위한 결정적인 측면임을 확인할 수 있었다.

한편 설문 조사 결과에서 모든 질적 그래프를 옳게 그린 예비교사는 없었고, 반성적 사고의 기회가 있었던 후속 인터뷰 후 모든 질적 그래프를 옳게 그린 예비교사는 단 1명이었다. 많은 예비교사들은 그래프의 국소적 개형이 바뀌는 점에서의 미분가능 여부를 판단하지 않거나 판단하는 데 어려움을 보였고, 후속 인터뷰 참여자 5명 중 3명의 예비교사들이 변곡점에서의 접선의기울기가 0이라는 개념 이미지를 가지고 있음을 확인하였다. 이러한 본 연구의 결과는 그래프의전체적 개형과 국소적 개형을 구성하기 위한 공변 추론 수준에 질적 차이가 있음을 보여준다.

이에 본 연구에서는 본 연구의 결과를 토대로 다음과 같은 제언을 하고자 한다. 첫째, 연속적공변 상황에 대한 질적 그래프 구성 과정에서 그래프의 국소적 개형이 바뀌는 점에 대한 추론 수준은 그래프의 전체적인 개형에 대한 추론 수준보다 더 높은 수준일 수 있으므로 교사교육에서는 이에 대해 주의를 할 필요가 있다. 둘째, 그래프의 국소적 개형이 바뀌는 점에서의 미분가능 여부는 예비교사 TA처럼 매끄러운 연속 공변 추론만으로도 가능하지만, 예비교사 TB의 사례처럼 그래프의 전체적 개형을 먼저 구성하고 본인이 그린 그래프에 대한 반성적 사고를 통해 추론할 수도 있다. 따라서 Carlson et al.(2002)이제안한 공변 추론 수준의 이론적 틀에서 수준 5에 해당하는 정신적 활동은 ‘그래프의 볼록성(concavity) 추론하기 수준’과 ‘미분가능/변곡점인식하기 수준’으로 더 세분화되어 논의될 필요가 있다. 이와 관련한 후속연구가 이어지길 기대한다.

### Footnote

1) 이 연구는 2020년 인천대학교 자체연구비 지원에 의해 연구되었음.

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### Article

#### 전자저널 논문

2020; 30(3): 509-530

Published online August 31, 2020 https://doi.org/10.29275/jerm.2020.08.30.3.509

## Pre-service Teachers’ Ways of Thinking of Qualitative Graph Construction in a Continuous Covariation Situation

Gyuhee Yi1, Jihyun Lee2

* Teacher, Namsung Middle School, South Korea, narara292@gmail.com
** Professor, Incheon National University, South Korea, jihyunlee@inu.ac.kr

Correspondence to:corresponding author
1) 이 연구는 2020년 인천대학교 자체연구비 지원에 의해 연구되었음.

Received: July 10, 2020; Revised: August 5, 2020; Accepted: August 5, 2020

### Abstract

In Middle School Mathematics 1 of the 2015 revised Korean mathematics curriculum, before the definition of a function, the task of constructing a qualitative graph of the relationship between two changing quantities has been newly proposed. In relation to the changes in the 2015 revised Korean mathematics curriculum, this study explored the reasoning of pre-service teachers revealed in the process of constructing a qualitative graph of the relationship between the two quantities that are continuously changing. Most pre-service teachers constructed graphs by focusing on the covariation than the correspondence on the relationship between the two quantities. Additionally, they successfully reasoned the global shape of the graph by forming the relationship between the two variables as a multiplicative object. However, many pre-service teachers showed difficulty in judging or not judging the differentiable at the point which changes the local shape of graph. Some pre-service teachers thought that the slope of the tangent at the inflection point was zero or invoked time even if it doesn"t require. The results in this study suggest that 1) in a continuous covariation situation, the formation of a multiplicative object such as a slope is a critical factor in the process of constructing the global shape of the graph, 2) smooth continuous covariation reasoning is a critical factor in the process of constructing the local shape of the graph, 3) covariation reasoning has a level difference in the process of constructing the global and local shape of the qualitative graph.

Keywords: qualitative graph, covariational reasoning, ways of thinking, smooth continuous covariation

### I. 서론

그래프는 자료의 관계와 변화의 경향성 및 형태를 시각적으로 표현하는 도구로써 다양한 학문 분야와 일상에서 널리 활용된다. 수학에서 그래프는 수학적 개념 혹은 수학적 대상들의 관계를 제시하고, 설명하며, 의사소통하는 데 사용되는 외적 표현 중 하나로(Zhang, 1997), 그래프의구성 요소들은 특정 수학적 아이디어와 관련된 정보를 함의한다(Adu-Gyamfi & Bossé, 2014).

그래프와 관련하여 2015 개정 교육과정의 중학교 함수의 내용영역에서는 주목할 만한 변화가 있다. 2009 개정 교육과정에서는 중학교 1학년에서 도입되었던 함수의 정의가(교육부, 2011) 2015 개정 교육과정에서는 중학교 2학년으로 늦춰지면서, 중학교 1학년 학생들에게 함수의 정의없이 다양한 맥락과 상황을 그래프로 표현하고,표현된 그래프를 해석하는 학습 기회를 제공하고 있다(교육부, 2015). 이러한 교육과정의 변화는 다양한 문제 상황을 통해 함수에 대한 ‘공변’ 관점과 ‘질적 그래프’의 구성 및 해석의 학습기회를 강화하기 위함으로 볼 수 있다. 이때 공변추론은 동시에 변하는 두 양의 조정 활동을 의미하고(Thompson, 1994), 질적 그래프는 정확한수치적 자료나 대수적 식에 초점을 두지 않고어떤 상황을 수량화되지 않은 상태로 표현하는그래프를 의미한다(Krabbendam, 1982; Leinhardt, Zaslavsky, & Stein, 1990; Hwang & Lee, 2019).

Figure 1의 ‘병에 물 채우기’ 상황은 2015 개정교육과정에 따른 중학교 수학 1의 그래프 단원에서 질적 그래프의 해석 및 구성을 위해 10종의 교과서 중 8종의 교과서에 사용된 유형이다. 이러한 상황은 개혁적 미적분학(Hughes-Hallett et al., 2009)에서도 찾아볼 수 있는 소재이며, 여러 수학교육 연구들에서는 Figure 1과 같은 병에 물채우기 혹은 병에 채워진 물 비우기 맥락의 과제를 해결하는 과정을 통해 학생들의 공변 추론에 관한 정신적 활동 및 행위를 분석하였다(Carlson et al., 2002; Johnson, 2012, 2015; Stalvey & Vidakovic, 2015; Paolettia & Moore, 2017).

Figure 1. Bottle problem in the middle school mathematics 1 textbook(Hwang, et al., 2017. p. 120).

그러나 Figure 1과 같은 연속적 공변 상황에서변하는 양들의 관계를 ‘수학적으로 정교하고 완성도 높은’ 질적 그래프로 구성 및 해석하기 위해서는 중학교 1학년 수준 이상의 수학적 아이디어가 요구된다. 예를 들어, 앞의 교과서 문제병 (1)에서 시간에 따라 물의 높이가 일정하게증가하는 맥락을 그래프로 번역하기 위해서는 ‘일정하게 증가’라는 언어적 입력 표현을 ‘기울기가 일정’한 그래프의 출력 표현으로 변환하는과정이 필수적이므로 ‘변화율’과 ‘기울기’에 대한 개념적 이해가 전제되어야 ‘직선’ 모양의 그래프의 전체적 개형에 대한 타당성을 검증할 수 있다. 한편 위의 교과서 문제 병 (3)에서 병의폭이 가장 큰 부분은 시간에 따른 물의 높이의 증가율이 감소에서 증가로 바뀌는 지점이므로, ‘순간변화율’과 ‘변곡점’ 그리고 ‘미적분의 기본정리’에 근거하여 ‘미분가능’에 대해 충분히 이해했을 때 그래프의 국소적 개형을 구성할 수 있다. 이처럼 연속적 공변 상황에 대한 공변 추론 능력은 중등 수준의 수학적 지식부터 미적분학에도 관련이 있다(Carlson et al., 2002; Thompson & Carlson, 2017).

따라서 평균변화율과 순간변화율을 학습한 경험이 없는 중학생들이 병에 물 채우기와 같은 연속적 공변 상황을 ‘수학적으로’ 이해하기는 쉽지 않으며(Carlson et al., 2002; Johnson, 2012, 2015; Stalvey & Vidakovic, 2015; Paolettia & Moore, 2017) ‘직관적인’ 방식으로 질적 그래프를 구성 및 해석할 수밖에 없는 것처럼 보인다.

그러나 이를 교수해야하는 교사들 혹은 예비교사들은 연속적 공변 상황에 대해 충분히 높은 수준으로 이해하고 있어야 한다. 하지만 여러 공변 추론에 관한 연구들에 의하면 연속적 공변 상황에 대한 공변 추론의 어려움은 교사들(Hwang & Lee, 2019; Moore & Thompson, 2015; Thompson et al., 2017) 혹은 예비교사들(Moore & Thompson, 2015; Paoletti and Moore, 2017)에게도나타나는 것으로 보고되고 있다. 특히 미적분의제 1 기본 정리를 누적 양(accumulation of a quantity)과 그 변화율(rate of change of its accumulation)의 관계로 연결하여 이해하지 못하는 경우가 많다(Thompson, 1994).

연속적 공변 상황은 미적분학 개념이 발생하게 된 주요 배경이고 공변 추론은 변화하는 두 양을 분석하는 데 유용하므로(Kaput, 1994; Thompson & Carlson, 2017) 보다 균형 있는 함수적 사고교육을 위해(Confrey & Smith, 1995) 교사교육에서도 공변 추론이 강화될 필요가 있다. 또한 연속적 공변 상황에 대한 효율적인 교사교육을 위해서는 평균변화율과 순간변화율을 대수적으로 계산하고 이를 그래프로 번역하는 활동에 대한 강조를 넘어, 이미 미적분학을 학습한 경험이 있는 교사들 혹은 예비교사들이 ‘어느’ 수준의 공변 추론 과정에서 어려움을 겪는지 그리고 ‘어떤’ 사고방식이 성공적인 질적 그래프의이해에 결정적인 영향을 미치는지에 대한 분석 연구를 제공할 필요가 있다. 그러나 Figure 1과유사한 맥락에서 교사들 혹은 예비교사들을 대상으로 공변 추론 양상에 대해 관찰한 국내 연구는 찾아보기 어려운 실정이다.

이에 본 연구에서는 공변 추론 수준의 발달적 수준을 이론적 틀로 구조화한 Carlson et al.(2002)Thompson & Carlson(2017)의 연구에 기반하여 예비교사들의 연속적 공변 상황에 대한 질적 그래프 구성 과제에서 나타난 추론 양상을 분석하고자 한다. 본 연구에서 설정한 연구문제는 다음과 같다.

1. 예비교사들의 연속적 공변 상황에 대한 질적그래프의 구성 과정에서 나타난 사고방식은어떠한 특징이 있는가?

2. 예비교사들의 연속적 공변 상황에 대한 질적그래프 구성 과정에서 차이를 생성하는 결정적인 요인은 무엇인가?

### 1. 질적 그래프의 구성

함수를 표현하는 방법은 다양하고, 각각의 표현은 강점과 한계를 지닌다. 표는 구체적인 수치에 대한 정보를 빠르게 전달하고, 식은 전체 변량들에 대한 함수적 관계를 간단한 수학적 기호로 나타낸다(Kaput, 1989). 그리고 그래프의 가장큰 이점은 양적 정보들을 한 눈에 파악하기 쉬운 시각적 이미지로 묘사한다는 점이다(Goldin & Kaput, 1996; Kaput, 1989).

함수의 다양한 표현 중 그래프는 수학 분야를 넘어 인구수(Fountoulakis et al., 2008)나 마케팅(Arnould & Dion, 2018)과 같은 실생활 맥락, 그리고 물리학 (Howell et al., 2009), 화학(Nilov & Smolyakov, 2016), 의학(Ito et al., 2017; Paulo & June, 2013), 지질학(Faggella et al., 2018)과 같은타분야 응용 맥락에서도 폭넓게 활용된다(Sandie, Purwanto, Subanji, & Hidayanto, 2019, p. 42). 이러한 시대적 요구에 맞춰 서론에서 언급한 것처럼 우리나라 2015 교육과정에서는 중학교 수학1의 함수 내용영역에서 학생들의 그래프에 대한학습 기회를 확대하였다.

함수의 그래프를 충분히 이해하기 위해서는 여러 수학적 수준의 인지 과정이 요구되고 (Leinhardt, Zaslavsky, & Stein, 1990; Roth & Bowen, 2001; Lowrie & Carmen, 2007), 학생들의 그래프 학습 과정은 수학적 이해의 깊이 정도를 가늠할 수 있는 수준별 단계로 구분하여 이해될 수 있다(Barmby, Harries, Higgins & Suggate, 2007; Carlson et al., 2002; Leinhardt, Zaslavsky, & Stein, 1990). 이에 본 연구에서는 발달적 교육관에 기반하여 질적 그래프 구성에서 나타난 사고방식을 분석하기 위해 Carlson et al.(2002)Thompson & Carlson(2017)의 공변 추론 수준을발달적 수준의 단계로 구분하여 고찰하였다.

한편 그래프의 과제는 다음과 같은 두 측면으로 나누어 살펴볼 수 있다. 첫째, 그래프의 해석과 구성이다. 그래프의 해석은 그래프의 입력 표현에 대한 반응으로 주어진 자료를 통해 언어적 출력 표현 혹은 대수적 출력 표현으로 번역하면 되지만, 그래프의 구성은 이와 달리 새로운 무엇인가를 생성해내는 작업이 동반될 수 있다(Leinhardt, Zaslavsky, & Stein, 1990). 둘째, 양적그래프와 질적 그래프이다. 양적 그래프는 특정수치나 대수적 식에 관한 정보가 주어지는 것이고, 질적 그래프는 그러한 정보가 주어지지 않는 것이다. 양적 그래프는 x값에 대응하는 y값을 계산하는 과정을 통해 순서쌍을 좌표평면에 나타내어 그래프를 구성하고, 국소적 관점에서 그래프를 해석하기 쉽다. 반면에 질적 그래프는 여러 입력 값에 따른 출력 값의 순서쌍을 동시에 상상하여 양들의 연속적 변화의 형태를 그래프로 구성하고 전체적 관점의 해석을 유도하기에 용이하다(Carlson, Oehrtman, & Thompson, 2005; Leinhardt, Zaslavsky, & Stein, 1990).

그래프에 관한 선행연구들을 그래프의 구성과 해석 측면으로 분류하여 살펴보면 다음과 같다. 첫째, 그래프 구성에 관한 연구보다 해석(e.g., Friel, Curcio, & Bright, 2001; McKenzie & Padilla, 1986; Swatton & Taylor, 1994; Wainer, 1992) 혹은 그래프 표현을 포함한 다양한 표현사이의 변환에 관한 연구(e.g., Brenner et al., 1997; Moschkovich, Schoenfeld, & Arcavi, 1993)가많은 편이다(Hattikudur, Prather, Asquith, Alibali, Knuth, & Nathan, 2012). 둘째, 그래프 구성에 관한 연구들은 주로 양적 그래프를 대상으로 하여 공학적 도구를 이용하는 등의 방법을 통해 함수적 사고력의 신장을 목표로 하는 경우가 많다(e.g., Ainley, Nardi, & Pratt, 2000; Botzer & Yerushalmy, 2008; Hennessy, Fung, & Scanlon, 2001; Kieran, 2001; Levert, 2003; Nicolaou, Nicolaidou, & Zacharia, 2007; Noble, Nemirovsky, Dimattia, & Wright, 2004; Schwartz & Hershkowitz, 1999; Hattikudur, Prather, Asquith, Alibali, Knuth, & Nathan, 2012).

특히 질적 그래프의 구성에 관한 국내 연구는 많지 않은 편이다. Park, Shin, Lee, & Ma(2017)는 그래프 유형에 따른 공변 추론 수준 이론을 적용하여 비교하였는데, 질적 그래프 과제는 Thompson & Carlson(2017)의 이론적 틀보다 Carlson et al.(2002)의 이론적 틀을 통해 학생의공변 추론 수준을 자세하게 파악할 수 있었다고 보고하였다. Kim & Shin(2018)은 고등학교 1학년 학생들이 질적 그래프를 구성하고 해석하는 과정에서 나타난 사고방식의 특징에 대하여 조사하였는데, 학생들의 문제 해결 방식은 공통적으로 양에 대해 추론하는 방식과 직결되고, 연속적으로 변화하는 양에 대한 ‘매끄러운 사고’의 여부가 학생들 간의 차이를 생성하는 요인이라고 설명하였다. Hwang & Lee(2019)는 Thompson (2016, 2017)의 문항을 이용하여 예비 중등교사3명이 질적 그래프를 구성하고 해석하는 과정을분석하였는데, 질적 그래프를 구성할 때 두 양의공변을 인식하는 정도에 따라 교수를 위한 수학적 의미에 차이가 있었음을 보고하였다.

종합하면, 질적 그래프의 구성 과정에서 나타난 사고방식의 특징은 Carlson et al.(2002)이 이론화한 공변 추론 수준에 따라 질적 차이가 생성되고, 이러한 차이의 결정적인 요인 중 하나는 Thompson & Carlson(2017)이 묘사한 매끄러운공변 추론 능력임을 알 수 있다. 그러나 이에 대한구체적인 관찰연구는 여전히 부족한 실정이다.

### 2. 공변 추론

함수 개념의 역사적 발달 과정에서 공변은 중심적인 아이디어였지만 현대 수학의 함수는 대응 관점에서 정의되고 이러한 정의 방식은 공변의 관점을 드러내기에 적합하지 않다(Thompson, & Carlson, 2017).

함수에 대한 대응 관점은 주어진 x값에 따라 유일하게 결정되는 y값에 주목하지만, 공변은동시에 변하는 양들의 관계에 초점을 맞춘다. 함수에 대한 대응 관점과 공변 관점은 함수에 대한 다른 측면의 이해를 수반하기 때문에 학생들은 함수에 대한 두 관점의 균형 잡힌 학습 기회를 가질 필요가 있다.

공변적 사고는 두 양의 변화를 ‘지속적’으로 ‘동시에’ 염두에 두어야 하는데, 이러한 사고는 ‘곱셈적 대상(multiplicative object)’을 형성했을때 더욱 활성화 가능하다(Saldanha & Thompson, 1998). 곱셈적 대상은 두 양의 속성을 인지적으로 결합하여 ‘새로운’ 대상을 생성하는 것으로, Saldanha & Thompson(1998)은 곱셈적 대상을 정의할 때 피아제의 곱셈적 작용자인 “and” (Inhelder & Piaget, 1958)에 의존하였다고 기술하였고(p. 298), Thompson & Carlson (2017)은 곱셈적 대상이 “즉, 동시에, 하나이면서 또 다른”을의미한다고 설명하였다(p. 433). 그리고 Thompson (2010)은 곱셈적 대상의 예로 다음을 제시하였다(p. 48).

1) 직사각형의 가로와 세로의 길이로부터 구성한 직사각형의 넓이

2) 좌표평면에서 x좌표와 y좌표로부터 구성한점의 좌표

이러한 공변 개념을 토대로 Carlson et al.(2002)Thompson & Carlson(2017)은 현재 공변적 사고 연구의 기초가 되는 공변 추론 수준의 이론적 틀을 구축하였다. 공변 추론은 한 양이 다른 양과 관련하여 어떻게 변화하는지를 관찰하고, 변화하는 두 양을 조정하는 인지적 활동이다(Carlson et al., 2002). 본 연구에서는 Park, Shin, Lee, & Ma(2017)의 연구 결과를 참조하여질적 그래프 구성 과정에서의 공변 추론 수준을 논의하기 위해 Carlson et al.(2002)이 구조화한이론적 틀을 기준으로 하였다. 단 Thompson & Carlson(2017)이 주장한 것처럼 변화율의 개념화과정에서는 공변 추론을 넘어서는 비율, 몫, 축적, 그리고 비례와 같은 개념이 필요하다(p. 441). 이에 본 연구에서는 공변 추론의 양상에초점을 맞추어 분석하기 위해, Carlson et al.(2002)의 이론적 틀의 평균변화율과 순간변화율에 해당하는 공변 추론 양상을 각각 Thompson & Carlson(2017)의 이론적 틀의 덩어리 공변 추론과 매끄러운 연속 공변 추론 양상에 대응시켜(pp. 440-441), 상황에 맞게 모두 사용하였다.

Major levels of covariational reasoning(Carlson et al., 2002, pp. 357-358).

수준정신적 활동행위
수준 1조정한 변수의 변화에 따라 다른 변수의 변화 조정하기- 축에 이름 붙이기
- 두 변수의 관계 언어로 표현하기 (예: x가 변하면 y가 변한다.)
수준 2방향한 변수의 변화에 따라 다른 변수의 변 화 방향 조정하기- 증가하는 직선 구성하기
- 입력값에 따른 출력값의 변화 방향 언 어로 표현하기
수준 3양적 조정한 변수의 변화에 따라 다른 변수의 변 화량 조정하기- 점 찍기/할선 구성하기
- 입력값의 변화에 따른 출력값의 변화 량 언어로 표현하기
수준 4평균변화율입력 변수의 일정한 증분에 따라 함수의 평균변화율 조정하기- 정의역에서 연속적 할선 구성하기
- 입력값의 일정한 증분에 따른 출력값 의 변화율 언어로 표현하기
수준 5순간변화율함수의 정의역 전체에서 독립변수의 연 속적 변화에 따른 함수의 순간변화율 조정하기- 그래프의 볼록성을 부드러운 곡선으로 구성하기
- 함수의 정의역 전체에서 그래프의 볼 록성과 변곡점, 그리고 순간변화율 언어로 표현하기

Carlson et al.(2002)은 공변 추론의 수준을 5수준으로 구분하였고, 각 수준의 특징적인 정신적활동과 행위를 묘사하였다. 본 연구에서는 수준5의 정신적 활동과 행위를 조금 더 세분화하였는데, 이는 연구 방법에 5+α로 표현하여 기술하였다.

한편 정확한 수치적 정보가 없는 상황에서 양들의 변화 관계를 추론하기 위해서는 언어적 표현이 중요한 역할을 한다. 추상적인 수학적 개념이나 관계를 이해하고 해석하기 위해서는 간결하면서도 정확한 언어적 표현을 사용해야 하며, 일상생활에서 사용하던 언어적 표현은 수학적인 표현으로 이행되어야 한다(Moschkovich, 2001; Prediger & Zindel, 2017; Şahin-Gür & Prediger, 2018). 연속적 공변 상황에 대한 질적 그래프 구성에서 가장 중요한 언어적 표현은 ‘양’과 ‘율’이지만(Stroup, 2002) 이 두 언어적 표현을 단순히언급하는 것(computational language)만으로는 그의미를 이해했다고 보기 어렵다(Thompson, 1994).

이에 본 연구에서는 양으로부터 곱셈적 대상인 율을 구성하기 위해 예비교사들이 어떤 언어적 표현을 사용하였는지 관찰하였고, 이를 기울기의 의미를 중심으로 묘사하였다. 그리고 이와관련된 자세한 내용은 연구 방법에 조금 더 구체적으로 기술하였다.

### 1. 연속적 공변 상황의 과제 설계

과제 설계는 교수실험에서 가장 중요한 측면이다(Steffe & Thompson, 2000). 본 연구에서는 예비교사들의 연속적 공변 상황에 대한 질적 그래프 구성의 사고방식을 분석하기 위해 중학교 수학 1의 질적 그래프 내용영역에서 많이 사용된 Figure 1과 같은 유형의 ‘병에 물 채우기/비우기’ 과제를 사용하였다.

수학교육에서 병에 물 채우기/비우기 과제는 Shell Centre(Swan & Shell Centre Team, 1985)이처음 설계한 것으로(Paoletti & Moore, 2017), 병에 물을 채우거나 비우는 동적 상황은 연속적으로 그리고 동시에 시간과 물의 부피 및 물의 높이 변화를 유도한다. 또한 병의 모양이나 폭의 변화 혹은 물을 채우거나 비우는 속도에 따라 양들의 변화 관계도 달라진다. 따라서 병에 물채우기/비우기 과제는 연속적 공변 상황에서 여러 양들의 관계를 공변적 관점으로 관찰하기에 적합하다. 이에 여러 수학교육연구자들은 다양한유형의 병에 물 채우기/비우기 과제를 사용하여공변 추론 양상을 탐색하였다(e.g., Carlson et al., 2002; Johnson, 2015; Paoletti & Moore, 2017).

본 연구에서는 중학교 수학 1 교과서와 앞에서 언급한 선행연구들(e.g., Carlson et al., 2002; Johnson, 2012, 2015; Stalvey & Vidakovic, 2015; Paoletti & Moore, 2017)과 개혁적 미적분학(Hughes-Hallett et al., 2009)을 참조하여 다른 모양의 병에 같은 속도로 물 채우기(과제 1과 2) 혹은 같은 모양의 병에 채워진 물을 다른 속도로 비우기(과제 3) 과제를 설계하였다. 그리고연구 참여자들에게 병에 물을 채우거나 채워진 물을 비우는 동적 상황을 충분히 상상할 수 있도록 하기 위해 병의 모양 그림과 언어적 설명을 제공하였고, 서로 다른 상황에서 물의 부피와물의 높이, 시간과 물의 높이, 시간과 물의 부피의 관계를 질적 그래프로 구성하도록 요청하였다. 그리고 일부 과제에 대하여 그래프 모양에대한 추론 혹은 증가율과 관련된 추론을 언어적으로 기술하도록 하였다. 본 연구에서 설계하여사용한 과제는 Figure 2와 같다.

Figure 2. Bottle tasks designed in this study

### 2. 연구 참여자

예비교사들의 사고방식을 이해하는 것은 수학교육 연구자들이 생산적인 교사 교육과정을 개발하고 지원하는 데 도움을 주고, 예비교사들의 수학적 아이디어에 대한 이해 방식은 잠재적으로 가까운 미래에 학생들의 수학적 아이디어를 구축하는 방식에 영향을 준다(Paoletti & Moore, 2017).

본 연구에서는 수도권 소재 대학교의 수학교육과에 재학 중인 대학교 4학년 13명의 학생들을 대상으로 연구 참여 동의서를 획득한 후, 본연구의 과제를 일주일 동안 충분히 생각하여 온라인으로 제출하도록 요청하였다. 그리고 이들중 5명은 후속 인터뷰에 참여하였다. 이들은 모두 대학 수준의 미적분학을 학습한 경험이 있었다.

### 3. 자료 수집

본 연구에서는 예비교사들을 대상으로 병에 물 채우기/비우기 과제에 대한 설문 조사를 실시한 후, 이 설문 과제들에 대한 후속 인터뷰를 수행하였다.

후속 인터뷰 대상자는 설문 조사 결과에서 1) 그래프 모양에 대한 공변/대응 관점, 2) Carlson et al.(2002)Thompson & Carlson(2017)의 공변 추론 수준의 이론적 틀에서 서로 다른 공변 추론 수준을 나타낸 예비교사들을 골고루 포함하여 선정하였다. 이때 공변 관점으로 그래프 모양을 추론하고 그래프 구성의 결과가 의사 수준 5에 해당한 예비교사 2명은 그래프의 볼록성은정확했으나 변곡점과 미분가능에서 서로 다른 양상을 보였기 때문에, 인터뷰 대상자는 최종적으로 공변 관점으로 그래프 모양을 추론한 서로 다른 수준의 예비교사 3명, 대응 관점으로 그래프 모양을 추론한 예비교사 2명으로 선정하였다.후속 인터뷰는 온라인으로 진행하였고, 녹화및 전사하여 분석하였다. 인터뷰 시작 전 예비교사들에게 자신의 응답을 다시 한 번 살펴볼 수 있는 시간을 제공했으며, 인터뷰는 반 구조화된방식(Clement, 2000)으로 진행하였다. 연구자들은 인터뷰에서 연구 참여자들에게 모든 과제들에 대해 ‘어떻게’ 그래프를 구성했는지 그리고 ‘왜’ 그렇게 그래프를 구성했는지에 대하여 설명하도록 요청하였다. 그리고 인터뷰 과정에서 연구 참여자들이 ‘빠르게’ 혹은 ‘증가’와 같은 언어를 애매하게 사용하거나 축약된 언어적 표현을 사용했을 때 그 의미를 파악하기 위해 추가 질문을 하였다.

### 4. 자료 분석 방법

본 연구에서는 수집된 자료들을 세 가지 측면에서 분석하였다. 첫째, 과제 1, 2, 3의 6개의 질적 그래프 구성 문항에 대한 예비교사들의 반응은 Carlson et al.(2002)Thompson & Carlson(2017)의 공변 추론 수준의 이론적 틀을참조하여 분석하였다(Table 2). 이론적 배경에서기술한 것처럼 Carlson et al.(2002)의 이론적 틀에서 평균변화율과 순간변화율에 대응하는 정신적 활동은 Thompson & Carlson(2017)의 이론적틀의 덩어리 공변 추론과 매끄러운 연속 공변 추론으로 설명하였다. 그래프의 전체적 개형을곡선으로 구성하는 수준은 직선으로 구성하는 수준보다 높으며, 그래프의 국소적 개형을 구성하는 수준은 그래프의 전체적 개형을 구성하는 수준보다 높다. 예비교사들의 설문 조사 결과 그래프의 볼록성(수준 5)은 잘 나타냈으나 y절편(수준 1) 혹은 그래프의 방향성(수준 2)을 잘못나타낸 경우가 있었으므로 설문 조사의 결과는 분석틀에서 누락/오류 코드를 추가 논의하여 분석하였고, 인터뷰 조사의 결과는 공변 추론 수준의 위치로 분석하였다.

Framework for analyze the major levels of covariational reasoning.

수준정신적 활동의 특징행위 요소누락/오류 코드
수준 1조정한 변수의 변화에 따라 다른 변수의 변화 조정하기- 축에 이름 붙이기
-y절편 표시하기
A
수준 2방향한 변수의 변화에 따라 다른 변수의 변화 방향 조정하기- 그래프의 변화 방향 인식하기O
수준 3양적 조정점별 연결 추론- 증가/감소 인식하기
-병의 모양, 물이 채워지는/비워 지는 속도, 변수들 차이에 따른 그래프 전체적 개형의 차이 인식 하기
D
수준 4평균변화율덩어리 공변 추론- 정의역에서 직선 구성하기L
수준 5순간변화율매끄러운 연속 공변 추론- 그래프의 전체적 개형의 볼록성 을 곡선으로 구성하기C
수준 5+ α순간변화율에 대한 반성적 사고매끄러운 연속 공변 추론에 대한 반성적 사고그래프의 국소적 개형이 바뀌는 점에서
-미분가능 인식하기
-변곡점 인식하기
S, I

둘째, 설문 조사의 과제 1에 대한 예비교사들의 그래프 모양에 대한 추론방식은 옳고 그름을 떠나 함수에 대한 접근 관점(공변 관점/대응 관점)으로 분류하였고(Table 3) 서로 다른 함수에대한 관점을 나타낸 예비교사들의 후속 인터뷰 결과를 구분하여 묘사하였다.

Covariation and correspondence for the function(Coulombe, 1997, p. 83).

함수에 대한 관점특징
공변 관점- 두 변수의 동적 관계
- 관계된 변화량들을 증가/감소와 같은 언어적 표현으로 질적 묘사
대응 관점- 두 변수의 정적 관계
- 수학적 대상으로서의 변수들을 대수적으로 문자나 식으로 표현

셋째, 후속 인터뷰 과정에서 연속적 공변 상황을 추론하기 위해 예비교사들이 사용한 언어적 표현의 특징을 분석하였다. 율의 개념과 관련하여 곱셈적 대상의 형성과 그래프의 기울기의 의미를 조사하였고, 물의 부피에 대한 물의 높이함수의 그래프 구성 과정에서 나타난 시간(매개변수/은유)과 관련된 표현을 묘사하였다. 앞에서언급한 것처럼 양과 율의 언어적 표현을 사용한 것만으로는 수학적 의미를 구성했다고 보기 어려우므로(Thompson, 1994), 예비교사들이 후속인터뷰 과정에서 사용한 축약된 명사(예: 변화, 증가, 빠르게 등)들은 조금 더 많은 어휘 자원을사용할 수 있도록 요청하였다.

### IV. 연구 결과 및 논의

연구 결과는 연구 방법에서 기술한 것처럼 설문 조사와 후속 인터뷰 조사를 구분하여 분석하였다. 먼저 예비교사들의 설문 조사에 대한 반응결과는 1-1) 질적 그래프 구성의 누락/오류 코딩결과, 1-2) 그래프 모양에 대한 추론 과정에서보인 함수에 대한 공변/대응 관점을 양적으로 분석하였다. 그리고 후속 인터뷰에 참여한 예비교사들에 대한 반응 결과는 2-1) 인터뷰 후의 질적그래프 구성 결과에서 나타난 공변 추론 수준과 수준의 차이를 생성하는 결정적인 측면들, 2-2) 공변 추론 과정에서 사용한 언어적 표현(곱셈적대상의 형성, 기울기의 의미, 시간)을 질적으로분석하였다. 마지막으로 설문 조사와 후속 인터뷰 분석 결과를 종합하여 논의하였다.

### 1. 설문 조사에 대한 예비교사들의 반응 결과

예비교사 13명의 설문 조사에 대한 질적 그래프 구성 과제 결과는 Table 4와 같다. 이는 본연구의 분석틀에 따라 두 연구자가 독립적으로 코딩한 후 비교해 합의를 도출한 결과이다.

The summary of pre-service teachers’ response about construction of qualitative graph.

누락/오류 코드과제 1과제 2과제 3
병 A hV그래프병 B hV그래프병 A ht그래프병 B, C Vt그래프병 B, C ht그래프병 B, C hV그래프
y절편A1 (8%)1 (8%)0 (0%)1 (8%)1 (8%)6 (46%)
방향O×××1 (8%)1 (8%)6 (46%)
차이D×××4 (31%)3 (23%)4 (31%)
직선성L0 (0%)0 (0%)0 (0%)3 (0.23%)1 (8%)2 (15%)
볼록성C3 (23%)3 (23%)2 (15%)×4 (31%)1 (8%)
변곡점I4 (31%)×7 (54%)×××
미분가능S11 (85%)7 (54%)10 (77%)0 (0%)9 (69%)5 (38%)
무응답N0 (0%)1 (8%)1 (8%)1 (8%)0 (0%)2 (15%)
정답1 (8%)2 (15%)2 (15%)5 (38%)1 (8%)0 (0%)

예비교사들의 설문 조사에 대한 결과에서 가장 많은 누락/오류 요소는 ‘그래프의 국소적 개형이 바뀌는 점’에서 관찰되었다. 예비교사들은그래프의 전체적 개형을 옳게 구성하였으나 그래프의 국소적 개형이 곡선에서 직선으로 바뀐 점에서는 그래프를 ‘미분불가능’한 형태로 그린 경우가 많았고 그래프의 볼록성이 바뀐 ‘변곡점’ 에서는 그래프의 ‘접선의 기울기를 0’으로 그린경우가 있었다(Figure 3).

Figure 3. Pre-service teacher’s response coded as S and I

게다가 과제 1의 병 A의 물의 부피에 대한 물의 높이 함수의 그래프와 과제 2의 병 A의 시간에 대한 물의 높이 함수의 그래프가 유사하다고 반응한 예비교사들이 10명이었지만 두 그래프에서의 ‘미분가능’과 ‘변곡점에서의 접선의 기울기’ 의 누락/오류 분석결과는 일치하지 않았다. 이는예비교사들이 그래프의 국소적 개형이 바뀐 점에서 미분가능 혹은 변곡점에 대한 사고를 주의 깊게 하지 않았다는 것을 추가적으로 말해준다(Figure 4).

Figure 4. Pre-service teacher’s response who stated that the two graphs were similar in shape, but construct different slope at the inflection point

한편 과제 3에서는 ‘방향(누락/오류 코드: O)’ 행위 요소와 ‘변수들 차이에 따른 그래프 개형의 차이 인식하기(누락/오류 코드: D)’ 행위 요소를 관찰할 수 있었다. 예비교사들 중에서는 과제3의 상황을 과제 1, 2와 같이 병에 물을 채우는상황과 같은 방향으로 사고하거나(Figure 5) 물의 부피에 대한 높이 함수의 그래프와 시간에 대한 물의 높이 함수의 그래프를 유사하게 그린 경우가 있었다(Figure 6). 그러나 이러한 누락/오류는 양들의 관계를 추론하는 방식에서 기인한 것이 아니라 이전 과제 1, 2의 상황을 다른 상황인 과제 3에 그대로 적용한 결과임을 후속 인터뷰에서 확인할 수 있었다.

Figure 5. Pre-service teacher’s response Pre-service teacher’s response

Figure 6. Pre-service teacher’s response coded as O and D

마지막으로 대다수의 예비교사들은 변수들의 관계를 추론하기 위해 함수에 대한 공변 관점으로 접근하였다(Table 5).

Pre-service teacher’s perspectives on function.

함수에 대한 관점예비교사들의 반응 수
공변 관점11 (85%)
대응 관점2 (15%)

하지만 수치적 정보가 없는 상황임에도 불구하고 변수들의 관계를 대수식으로 표현하여 그래프를 구성하려고 노력한 예비교사가 2명 있었다(Figure 7). 이들은 복잡한 식을 미분하고 적분하는 과정에서 오류를 보이기도 하였다.

Figure 7. Pre-service teacher’s response with the correspondence perspective

### 2. 후속 인터뷰 조사에 대한 예비교사들의 반응 결과

후속 인터뷰에 참여한 예비교사 5명은 공통적으로 본인이 구성한 질적 그래프를 ‘어떻게’ 그렸고, ‘왜’ 그렇게 그렸는지에 대한 반성적 사고를 하면서 설문 조사의 답안을 수정 및 보완하는 모습을 보여주었다(예: Figure 8). 이러한 결과는 질적 그래프 구성 결과에 대한 ‘반성적 사고’가 ‘공변 추론 수준을 발달’시킬 수 있는 하나의 방안이 될 수 있음을 보여준다.

Figure 8. Pre-service teacher TB's response

이 장에서는 후속 인터뷰에 참여한 예비교사 5명의 공변 추론 수준을 설문 조사 결과와 구분하여 묘사하였고, 설문 조사 결과와 중복되는 후속 인터뷰 내용은 기술하지 않았다. 후속 인터뷰조사에 대한 예비교사들의 반응을 정리하면 다음과 같다(Table 6).

The summary of pre-service teachers’ response of interview.

예비교사TATBTCTDTE
공변 추론설문 조사 결과오류 코 드: D 코딩 1누락/오류 코 드: S 코딩 5 회누락/오류 코드: C 코딩 3 회, S 코딩 4 회, D, L, O 코딩 각각 1회누락/오류 코 드: S 코딩 5 회, C 코딩 1 회, I 코딩 2회누락/오류 코드: C, D, 코딩 각각 1회, A, N 코딩 각각 2회
후속 인터뷰 결과공변 추론 수준 5 + 2공변 추론 수준 5 + 1공변 추론 수준 5공변 추론 수준 5 + 1공변 추론 수준 5 + 1/ 4 (과제 3)
공변 추론 과정에서 사용한 표현언어적 표현언어적 표현언어적 표현대수적 표현(+ 그림)+언어적 표현대수적 표현(+ 그래프)+언어적 표현
함수에 대한 관점공변공변공변hV: 대응
Vt, ht: 공변
과제 1,2: 대응
과제 3: 공변
형성한 곱셈적 대상기울기기울기점의 좌표f(t)=at에서 의 a변화율, S(h)
hV 그래프에서 기울기의 의미1/단면적단면적 (원의 넓이)(단)면적면적, $1s(h)$
hV 그래프에서 ‘시간’에 대한 사고은유적 표현으로서 ‘속도’ 사용은유적 표현으로서 ‘속도’ 사용매개변수매개변수은유적 표현으로서 ‘빠르게/느리게’

첫째, 성공적으로 질적 그래프의 ‘전체적 개형’을 추론한 예비교사들은 공통적으로 ‘곱셈적대상’을 형성하여 사고하는 특징을 나타냈다. 그러나 곱셈적 대상을 형성하는 방식에 있어서는 조금씩 차이가 있었다. 다음은 예비교사 TB, TC, 그리고 TE가 곱셈적 대상을 형성하여 그래프의전체적 개형을 규명한 부분의 인터뷰 발췌문이다. 먼저 예비교사 TB는 물의 부피에 대한 물의높이 함수의 그래프를 구성하기 위해 곱셈적 대상으로 ‘기울기’를 형성하고, 그 기울기의 변화를 추론하여 그래프의 전체적 개형을 구성하는 형태의 사고방식을 나타냈다.

I: (과제 1, 두 병 A와 B의 hV 그래프에 대하여) 그래프 어떻게 그렸는지 설명해주시겠어요?

TB: A병이 원모양으로 생겼잖아요.

일정한 속도로 물을 채우고 있다고 가정했기 때문에 부피가 늘어나는 건 크게 상관이 없다고 생각했어요.

높이에 관련 있는 건 단면의 넓이들, y1에서 y2에서 y3에서 단면의 넓이가 늘어나다가 줄어들다가 일정하게 유지가 되고 있어서 물을 채우는 속도가 같다면, 단면의 넓이가늘어날수록 높이가 늘어나는 속도는 줄어들고 높이가 늘어나는 속도가 늘어나다가 일정해지는데 이게 그래프의 기울기라고 봤어요. 0에서 y1은 기울기가 점점 줄어드는 그래프로 그렸고 (y1을 가리키며) 이 점이 제일 문제라고 생각했는데, 기울기가 늘어나는 그래프를 그렸고, 그래프 (기울기)가 일정하게그렸어요.

반면에 예비교사 TC는 단면적과 높이를 변화량들의 관계로 추론한 후 이를 곱셈적 대상인 ‘점의 좌표’로 번역하여 그래프의 전체적 개형을옳은 모양으로 수정하는 사고방식을 나타냈다.

I: 아까 단면적이 y1으로 갈 때 단면적이 커지고 y2로 갈 때 단면적이 작아진다고 하였는데 아래로 볼록과 위로 볼록은 어떻게 연결지었어요?

TC: 아... 아래로 볼록이라는 거는 뭐랄까 잠시만 생각해볼게요.

(잠시 후) 0에서 y1은 단면적이 점점 커지니까... 높이의 변화가 처음에는 단면적이 작으니까 높이 변화가 있다가 단면적이 넓어지니까 높이 변화가 줄어들거든요. 그래서 이렇게(옳은 방향으로 수정, Figure 8) 그려져야 할 것 같아요. 그리고 단면적이넓어졌다가 줄어드니까 변화가 완만했다가이렇게 그려져야 할 것 같아요(점의 좌표로사고하는 과정).

I: 그런데 왜 처음에는 이렇게 그렸어요?

TC: 처음에는 잘 몰라가지고 아래로 볼록 위로 볼록까지는 생각을 안 해봤어요.

Figure 9. Pre-service teacher TC's response corrected graph in the interview

마지막으로 예비교사 TE는 과제 1과 2의 그래프의 전체적 개형을 구성하기 위해서 함수에 대한 대응 관점으로 접근하였고(Figure 10) 과제 3의 그래프의 전체적 개형을 구성하기 위해서는 함수에 대한 공변 관점으로 접근하는 특징을 보여주었다. 그리고 과제 3에서는 과제 1과 2에서와 달리 곱셈적 대상을 형성하지 못하여 그래프의 전체적 개형을 추론하지 못하였다. 이러한 예비교사 TE의 사례를 통해 ‘곱셈적 대상의 형성’ 이 ‘그래프의 전체적 개형’을 추론하는 데 결정적인 측면임을 확인할 수 있었다.

Figure 10. Pre-service teacher TE's response with the correspondence perspective

한편 예비교사 TE가 과제 1과 2에서 형성한 곱셈적 대상은 변화율로서의 $1s(h)$였다. 과제 3은 물이 빠지는 상황이라 대수적 표현을 사용하지 못했다고 했으며 이후 곱셈적 대상을 형성하지 못한 채 두 병 B와 C에서 물이 빠지는 속도의 차이에 대해서만 주목하였음을 관찰할 수 있다. 과제 3에서 나타난 예비교사 TE의 반응은연속적 공변 상황에 대한 대응 관점이 질적 그래프 구성 과정에서 어려움을 야기할 수 있음을 보여준다.

I: (과제 1에 대하여) 그래프 어떻게 그린건지 설명해주시겠어요?

TE: 부피에 대한 높이의 변화율을 구하기 위해 높이에 대한 부피에 대한 함수식을 구했어요.

부피에 따른 높이의 변화율을 부정적분하게 되면 부피에 대한 높이의 함수를 그릴 수 있다고 생각해서 부정적분한 것을 그려 넣었어요. S(h)가 어떻게 생겼는지 살펴보기 위해 면적을 나타내는 함수라서, A는 이런 식으로, B는 이런 식으로 나왔어요.

그래서 $1s(h)$는 이렇게 나왔어요.

(중략)

I: (과제 3에 대하여) 그래프 어떻게 그린건지 설명해주시겠어요?

TE: C가 작은 시간에 물이 빠지니까 이렇게 그렸어요. (과제 3의) ②의 그래프의 정확한개형은 생각해보지 못하고 대략적인 양상만 표현했어요. 잘 모르겠어요.

둘째, 그래프의 국소적 개형이 바뀌는 점에서의 ‘미분가능성’에 대한 사고는 매끄러운 연속 공변추론을 하거나, 연속 공변 추론에 대한 반성적 사고의 매끄러운 공변 추론을 통해 이루어졌다. 그러나 예비교사들은 이와 같이 추론한 이유에 대하여 수학적 근거를 들어 설명하지 못하였다.

예를 들어 후속 인터뷰 결과에서 모든 과제의 질적 그래프를 누락 혹은 오류 없이 구성한 예비교사 TA는 ‘정의역 전체’에서 ‘매끄러운 연속공변 추론’을 하였고, 그래프의 국소적 개형이바뀌는 점에서의 미분가능성에 대해서도 ‘매끄러운 연속 공변 추론’을 통해 판단하였다. 그러나 예비교사 TB는 ‘덩어리 공변 추론’을 통해그래프의 전체적 개형을 구성한 후, 후속 인터뷰과정에서 ‘그래프의 국소적 개형이 바뀌는 점에대한 반성적 사고’를 하여 미분가능성을 판단하였다.

다음은 매끄러운 연속 공변 추론을 통해 그래프의 국소적 개형이 바뀌는 점의 미분가능성을 판단한 예비교사 TA의 인터뷰 발췌문이다.

I: y2에서 기울기가 부드럽게 이어지게 그린 게 맞아요?

TA: 네

I: y1에서의 기울기가 제일 작다고 하셨는데 0이라고 생각하신건가요?

TA: 0은 아니죠. 그 순간에도 기울기도 계속 증가하고 있으니까 0은 아니죠.

I: 왜 y2에서의 기울기의 좌극한과 우극한이 같다고 생각하신거죠?

TA: 병폭은 계속 뭐라고 해야 하지... 병폭은 계속 연속적으로 이렇게 되가지고. 부드럽게 이어질 수 있을 거라고 생각했어요

I: 병폭이 연속적으로 변한다는게 무슨 뜻이예요?

TA: 병폭이... 뭐라고 설명하기가 힘든데... 그래프를 그린다면 부드럽다고 할 수 있을 것 같아가지고...

I: 부드럽다는게 뭐예요? 부드러운 그래프는 어떤 그래프였어요?

TA: 정확히 말하면 병폭의 변화의 그래프를 그리면 미분가능한 그래프로 그려지지 않을까 싶어서 부드럽게 (그렸어요).

다음은 예비교사 TB가 과제 3의 시간에 대한물의 높이 함수의 그래프를 구성하는 과정에서 연속적으로 덩어리 공변 추론을 한 부분의 인터뷰 발췌문이다.

I: 이 그래프에서 기울기의 의미는?

TB: 단면적이 넓어지니까 병 C를 더 가파르게 그렸고 병 B를 더 원만하게 그렸습니다.여기서는 이만큼 빠질 때 여기서는 정말 얇게 이만큼 빠진다. 그러면 높이 변화가여기는 이만큼이고 여기는 이만큼이다 시간이 부피라고 봐도 된다고 생각했어요(Figure 11).

Figure 11. Pre-service teacher TB’s response showing chunky covariation reasoning

다음은 예비교사 TB가 덩어리 공변 추론 이후그래프의 국소적 개형이 바뀌는 점에 대해 반성적 사고를 하여 미분가능성을 판단한 부분의 인터뷰 발췌문이다.

TB: 아까 물어보셨잖아요. 기울기를 왜 그렇게 했냐고. 근데 그때는 생각을 안했는데 지금바로 드는 생각에는 바로 여기에서 이어져야 하지 않을까(미분가능한 그래프로 수정, Figure 12)

Figure 12. Pre-service teacher TB's response corrected graph in the interview

I: (TB의 그래프는) 꺾이게 그려놨거든요(Figure 13). 기울기 어떻게 생각하고 그렸는지 궁금해요.

Figure 13. Pre-service teacher TB's response in the survey

TB: 생각 없이 일정하고 점점 감소하게 그리자 해서 그렸는데 (그래프 개형이 바뀌는 점에서의 접선의 기울기의 좌극한과 우극한이) 똑같아야 하지 않을까...

I: 왜 똑같아야 할까요?

TB: 넓이가 같으니까요.

한편 예비교사 TC는 연속적이지만 작은 구간으로 분할된 덩어리 공변 추론을 하여 그래프의 전체적 개형을 구성하였지만 매끄러운 연속 공변 추론을 하지는 못했다. 이는 덩어리 공변 추론만으로는 ‘그래프의 국소적 개형이 바뀌는 점에서의 미분가능’에 대한 판단을 하기에 ‘한계’ 가 있음을 보여준다(Figure 14).

Figure 14. Pre-service teacher TC's response showing chunky covariation reasoning at y 2

I: y2지점 꺾이게 그린 거 맞나요?

TC: 어... 꺾인 것까지는 생각을 안 해봤는데...

(한참 후) 네 꺾여야할 것 같아요.

y2 (위 아래로) 이 정도만 보게 되면 단위시간당 높이의 변화량이 다르기 때문에 꺾여야한다고 생각합니다.

(중략)

(y2기준 위 아래) 높이의 변화량이 달라서꺾여야 한다고 생각하거든요. 진짜 작게 본다면.

(중략)

I: 팬케이크 쌓아놓듯이?

TC: 네, 팬케이크 쌓아놓듯이.

그리고 그래프의 국소적 개형이 바뀌는 점과 관련하여 변곡점에서의 접선의 기울기가 0이라는 개념 이미지를 가지고 있는 예비교사가 있음을 후속 인터뷰에서도 확인할 수 있었다.

I: y1에서 제일 문제였다고 했는데 그게 무슨 뜻이에요?

TB: 3차 함수를 그린 건데 변곡점이니까 멈춰 있는 느낌이 있어서 높이가 순간적으로 멈추는 거? 이런 생각이 들어서 3차함수로그렸어요. 거기 딱 y1에서 면적이 딱 늘어나다가 줄어드는 순간이라고 봐서 3차함수로 그렸어요.

높이가 적게 늘어나고 y1위쪽으로는 높이가 더 많이 늘어나는 거라서 (3차함수라고생각했어요)

I: y1에서의 기울기를 왜 0이라고 생각했는지 궁금해요

TD: 수치를 생각해서 그린 게 아니고 짐작을 해서 그린 거잖아요. 짐작을 한 그래프 모양을 봤더니 x축이랑 평행해 보여서 정확한 근거는 없지만 0이라는 생각이 들었던것 같아요.

I: y1에서의 기울기는 뭐라고 생각했나요?

TE: 0이 될 것 같아요.

셋째, 물의 부피에 대한 물의 높이 함수의 그래프의 추론 과정에서 예비교사들은 모두 ‘시간’ 과 관련된 언어적 표현을 사용하였다. 예비교사5명 중 3명은 물의 부피에 대한 물의 높이 함수의 그래프의 증가/감소 정도를 그래프의 변화 ‘속도’ 혹은 ‘빠르게/느리게’와 같이 표현하였고, 2명은 물의 부피와 물의 높이 변화 관계를 추론하는 과정에서 시간을 ‘매개변수’로 사고하였다.

다음은 함수의 그래프의 증가/감소 정도를 속도라는 용어를 사용하여 은유적으로 표현한 예비교사 TA와 예비교사 TB의 인터뷰 발췌문이다.

I: (hV 그래프에서) 높이 증가가 느려진다고 했는데 느려진다는 게 무슨 뜻이에요? 속도는아니잖아요.

TA: 높이가 증가하는 속도가 느려진다.

I: 높이가 증가하는 속도는 뭔데?

TA: 기울기 아닐까요?

기울기가 느려진다는 것은 증가량이 작아진다?

높이 증가하는 속도가 빨라진다는 것은 기울기가 가팔라지고 높이 증가하는 속도가 느려진다는 것은 기울기가 완만해진다.

I: (hV 그래프에서) 빠르게가 뭐가 빠르게예요?TB: 높이가 증가하는 속도, 그래프에서 기울기I: 그래프에서 빠르게 짧아진다는 게 무슨 의미예요? 속도의 의미는?

TB: 면적이 넓어지고 면적이 좁아지는 그걸 말하는 거예요.

I: 여기에 시간이 없는데 시간이라고 지칭한 것이 무엇인지?

TB: 속도가 아니라 정도가 맞는 것 같아요

반면에 예비교사 TC와 예비교사 TD는 물의부피에 대한 물의 높이 함수의 그래프 구성 과정에서 시간을 매개변수로 고려하였음을 관찰할 수 있었다. 다음은 예비교사 TC와 예비교사 TD의 인터뷰 발췌문이다.

I: 추론에서 오래 걸린다는 시간에 대한 얘기인데, 여기에서는 부피와 높이로 시간이 없는데 어떤 의미로 쓴 건지 궁금해요.

TC: 병 A가 병 B보다 y1에서 y2까지 부피가 더 크니까 똑같은 속도로 물을 채운다고 하면 (시간이) 더 오래 걸리는 거잖아요. 그걸 말한 거예요.

I: (Figure 15에 대해) 뭘 표현하고 싶었어요?

Figure 15. Pre-service teacher TD’s response(took time as parameter)

TD: 시간에 대한 높이 함수니까 분수로 쓰면 그 의미가 더 와 닿지 않을까 해서.

TD: 부피에 대한 높이 함수를 나타내려고 했었던 건데 똑같이 시간으로 나누면 어차피 똑같은 함수이지 않을까 하면서 이런 표현을 쓴 것 같아요

(중략)

I: 빨리 증가한다는 게 뭐예요?

TD: 똑같은 시간일 때 더 많이 가는 거죠. 더 많이 증가하는 거다.

### 3. 논의

본 연구에 참여한 예비교사들은 연속적 공변 상황에 대한 질적 그래프를 구성하는 과정에서 공통적인 사고방식의 특징을 나타내기도 하고, 다른 양상의 사고방식을 드러내기도 하였다. 특히 이 장에서는 과제 맥락에 대한 이해 부족에서 기인한 누락/오류를 넘어 공변 추론 수준의질적 차이를 생성하는 요인에 주목하여 논의 하고자 한다.

첫째, 두 가지 종류의 병 모양에 같은 속도로물을 채우거나 같은 종류의 병 모양에 다른 속도로 채워진 물을 비우는 연속적 공변 상황에 대한 질적 그래프의 전체적 개형(직선, 아래로/위로 볼록)을 구성하기 위해 대부분의 예비교사들은 공통적으로 곱셈적 대상을 형성하는 양상을 나타내었다. 그리고 두 변수들의 관계를 하나의 인지적 대상으로 고려하는 곱셈적 대상의 형성은 성공적인 그래프의 전체적 개형으로 번역되는 경우가 많았다. 이러한 본 연구의 결과는연속적으로 변하는 두 양의 관계를 하나의 곱셈적 대상으로 형성하는 사고방식이 그래프의 전체적 개형을 추론하는 데 결정적인 요인임을 말해준다.

그러나 같은 상황에서도 예비교사들이 형성한 곱셈적 대상은 기울기(TB), 점의 좌표(TC), 변화율(TE) 등 다양한 유형으로 나타났으며, 이에 따른 추론 방식도 조금씩 차이가 있었다. 따라서학교수학에서는 연속적 공변 상황에 대해 학생들이 형성할 수 있는 곱셈적 대상은 다를 수 있으며, 형성한 곱셈적 대상에 따라 다양한 추론양상이 나타날 수 있음을 인지할 필요가 있다.

둘째, 두 변수의 관계를 곱셈적 대상으로 형성하여 성공적으로 그래프의 전체적 개형을 구성하더라도, 덩어리 공변 추론만으로는 그래프의국소적 개형이 바뀌는 점(곡선에서 직선 혹은변곡점)에서의 ‘미분가능의 판단’(TC) 혹은 ‘접선의 기울기의 계산’(TB, TD, TE)을 하는 데 한계가 있음을 관찰할 수 있었다. 이는 덩어리 공변추론의 한계를 주장한 여러 선행연구들(e.g., Byerley & Thompson, 2016; Castillo-Garsow, Johnson, & Moore, 2013)의 결과와 같다. 따라서 ‘매끄러운 연속 공변 추론’은 더 높은 공변 추론수준으로 발달하기 위한 결정적인 측면임을 알수 있다.

셋째, 그래프의 국소적 개형이 바뀌는 점에서그래프가 ‘미분가능’한 형태로 구성되어야 함을 인지한 예비교사들 중에서도 이에 대한 근거를 수학적으로 설명한 예비교사는 한 명도 없었다. 이는 예비교사들이 ‘미적분의 기본정리’를 ‘누적양과 변화율의 관계’에 적용하여 사고하지는 못했음을 보여준다(Thompson, 1994; Carlson, Smith, & Persson, 2003). 한편 변곡점에서의 접선의 기울기가 0이라는 개념 이미지도 후속 인터뷰에 참여한 5명의 예비교사 중 3명에게서 나타났다. 이들은 그래프의 국소적 개형이 바뀌는 함수의 대표적 예로 y=x3을 생각했기 때문에 변곡점에 대한 접선의 기울기가 0이라고 응답하기도 하였으나, 이에 대해서는 추가 관찰연구가 수행될 필요가 있다.

넷째, 구체적 수치나 대수적 정보가 없는 연속적 공변 상황에서도 함수에 대한 ‘대응’ 관점으로 접근한 예비교사들이 있었으며, 이러한 예비교사들은 언어적 표현과 함께 대수적 표현 혹은 그림이나 그래프 등 시각적 이미지를 함께 사용하여 추론하는 양상을 나타내었다. 함수에 대한공변 관점은 본 연구에서 사용한 과제 맥락에 더 유용하며 실생활 맥락의 변화 양상을 추론하기에 적합한 사고방식이다(Goldenberg, 1987; Krabbendam, 1982; Thompson & Carlson, 2017). 또한 병의 모양이나 폭에 따라 표현하기 어려운 대수식이 있을 수 있고, 표현하더라도 복잡한 대수식을 미분하고 적분하여 양과 율의 관계를 추론하는 과정은 시간이 오래 걸리며 오류가 발생하기도 쉽다. 따라서 질적 그래프 내용영역에서는 함수에 대한 공변 관점을 강조할 필요가 있다.

마지막으로, 물의 부피에 대한 물의 높이의 함수의 그래프 구성 과정에서 ‘시간’은 두 양의 변화에 영향을 미치지 않았지만, 예비교사 5명 중2명은 시간을 ‘매개’로 두 양의 변화를 추론하였으며, 나머지 3명은 기울기(=물의 높이/물의 부피)의 변화를 설명하는 과정에서 ‘속도’ 혹은 ‘빠르게/느리게’와 같이 시간과 관계된 언어적 표현을 사용하는 양상을 보였다. 이러한 특징은 학생들이 실생활의 비운동학적 상황에서 도함수를 구할 때 ‘시간을 상기(invoking time)’하는 특징을묘사한 Jones(2017)의 연구 결과와 일치한다. Jones(2017)은 실생활에서의 변화가 항상 시간에따라 발생하기 때문에 이러한 사고방식의 양상이 나타난다고 설명하였다. 하지만 시간과 관계없이 불변인 변화의 형태를 갖는 변수들에 대해서는 시간을 매개변수로 사고하지 않을 때 더 경제적일 수도 있다.

### V. 결론 및 제언

2015 개정 교육과정의 중학교 수학 1에서 질적 그래프 구성 및 해석을 위한 소재로 많이 사용된 병에 물 채우기 혹은 채워진 물 비우기 과제는 수학적으로 성숙한 이해를 위해 높은 수준의 공변 추론 능력이 요구된다. 이러한 연속적공변 상황에 대해 중학생들은 충분한 개념적 이해 없이 직관적으로 그래프를 구성 및 해석하더라도 미적분학을 경험한 교사들은 수학적으로 정교한 질적 그래프를 구성 및 해석할 수 있어야한다.

본 연구에서는 예비교사들의 연속적 공변 상황에 대한 질적 그래프 구성 과정에서 두 변수의 양들의 관계를 곱셈적 대상으로 형성하는 공통된 사고방식을 관찰하였고, 곱셈적 대상으로변화율인 기울기를 형성하는 사고방식은 그래프의 전체적 개형을 구성하는 데 결정적인 요인임을 관찰할 수 있었다. 또한 두 양의 변화를 조정하는 행위는 그 양에 해당하는 구간의 이미지를 수반하므로 양에 대한 덩어리 사고가 자연스럽게 생성될 수 있는데, 덩어리 심상의 한계를 극복한 매끄러운 연속 공변 추론 가능 여부가 높은 수준의 공변 추론에 도달하기 위한 결정적인 측면임을 확인할 수 있었다.

한편 설문 조사 결과에서 모든 질적 그래프를 옳게 그린 예비교사는 없었고, 반성적 사고의 기회가 있었던 후속 인터뷰 후 모든 질적 그래프를 옳게 그린 예비교사는 단 1명이었다. 많은 예비교사들은 그래프의 국소적 개형이 바뀌는 점에서의 미분가능 여부를 판단하지 않거나 판단하는 데 어려움을 보였고, 후속 인터뷰 참여자 5명 중 3명의 예비교사들이 변곡점에서의 접선의기울기가 0이라는 개념 이미지를 가지고 있음을 확인하였다. 이러한 본 연구의 결과는 그래프의전체적 개형과 국소적 개형을 구성하기 위한 공변 추론 수준에 질적 차이가 있음을 보여준다.

이에 본 연구에서는 본 연구의 결과를 토대로 다음과 같은 제언을 하고자 한다. 첫째, 연속적공변 상황에 대한 질적 그래프 구성 과정에서 그래프의 국소적 개형이 바뀌는 점에 대한 추론 수준은 그래프의 전체적인 개형에 대한 추론 수준보다 더 높은 수준일 수 있으므로 교사교육에서는 이에 대해 주의를 할 필요가 있다. 둘째, 그래프의 국소적 개형이 바뀌는 점에서의 미분가능 여부는 예비교사 TA처럼 매끄러운 연속 공변 추론만으로도 가능하지만, 예비교사 TB의 사례처럼 그래프의 전체적 개형을 먼저 구성하고 본인이 그린 그래프에 대한 반성적 사고를 통해 추론할 수도 있다. 따라서 Carlson et al.(2002)이제안한 공변 추론 수준의 이론적 틀에서 수준 5에 해당하는 정신적 활동은 ‘그래프의 볼록성(concavity) 추론하기 수준’과 ‘미분가능/변곡점인식하기 수준’으로 더 세분화되어 논의될 필요가 있다. 이와 관련한 후속연구가 이어지길 기대한다.

### Footnote

1) 이 연구는 2020년 인천대학교 자체연구비 지원에 의해 연구되었음.

### Fig 1.

Figure 1. Bottle problem in the middle school mathematics 1 textbook(Hwang, et al., 2017. p. 120).
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 509-530https://doi.org/10.29275/jerm.2020.08.30.3.509

### Fig 2.

Figure 2. Bottle tasks designed in this study
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 509-530https://doi.org/10.29275/jerm.2020.08.30.3.509

### Fig 3.

Figure 3. Pre-service teacher’s response coded as S and I
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 509-530https://doi.org/10.29275/jerm.2020.08.30.3.509

### Fig 4.

Figure 4. Pre-service teacher’s response who stated that the two graphs were similar in shape, but construct different slope at the inflection point
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 509-530https://doi.org/10.29275/jerm.2020.08.30.3.509

### Fig 5.

Figure 5. Pre-service teacher’s response Pre-service teacher’s response
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### Fig 6.

Figure 6. Pre-service teacher’s response coded as O and D
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 509-530https://doi.org/10.29275/jerm.2020.08.30.3.509

### Fig 7.

Figure 7. Pre-service teacher’s response with the correspondence perspective
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### Fig 8.

Figure 8. Pre-service teacher TB's response
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### Fig 9.

Figure 9. Pre-service teacher TC's response corrected graph in the interview
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### Fig 10.

Figure 10. Pre-service teacher TE's response with the correspondence perspective
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 509-530https://doi.org/10.29275/jerm.2020.08.30.3.509

### Fig 11.

Figure 11. Pre-service teacher TB’s response showing chunky covariation reasoning
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 509-530https://doi.org/10.29275/jerm.2020.08.30.3.509

### Fig 12.

Figure 12. Pre-service teacher TB's response corrected graph in the interview
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 509-530https://doi.org/10.29275/jerm.2020.08.30.3.509

### Fig 13.

Figure 13. Pre-service teacher TB's response in the survey
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 509-530https://doi.org/10.29275/jerm.2020.08.30.3.509

### Fig 14.

Figure 14. Pre-service teacher TC's response showing chunky covariation reasoning at y 2
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 509-530https://doi.org/10.29275/jerm.2020.08.30.3.509

### Fig 15.

Figure 15. Pre-service teacher TD’s response(took time as parameter)
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Table 1 Major levels of covariational reasoning(Carlson et al., 2002, pp. 357-358)

수준정신적 활동행위
수준 1조정한 변수의 변화에 따라 다른 변수의 변화 조정하기- 축에 이름 붙이기
- 두 변수의 관계 언어로 표현하기 (예: x가 변하면 y가 변한다.)
수준 2방향한 변수의 변화에 따라 다른 변수의 변 화 방향 조정하기- 증가하는 직선 구성하기
- 입력값에 따른 출력값의 변화 방향 언 어로 표현하기
수준 3양적 조정한 변수의 변화에 따라 다른 변수의 변 화량 조정하기- 점 찍기/할선 구성하기
- 입력값의 변화에 따른 출력값의 변화 량 언어로 표현하기
수준 4평균변화율입력 변수의 일정한 증분에 따라 함수의 평균변화율 조정하기- 정의역에서 연속적 할선 구성하기
- 입력값의 일정한 증분에 따른 출력값 의 변화율 언어로 표현하기
수준 5순간변화율함수의 정의역 전체에서 독립변수의 연 속적 변화에 따른 함수의 순간변화율 조정하기- 그래프의 볼록성을 부드러운 곡선으로 구성하기
- 함수의 정의역 전체에서 그래프의 볼 록성과 변곡점, 그리고 순간변화율 언어로 표현하기

Table 2 Framework for analyze the major levels of covariational reasoning

수준정신적 활동의 특징행위 요소누락/오류 코드
수준 1조정한 변수의 변화에 따라 다른 변수의 변화 조정하기- 축에 이름 붙이기
-y절편 표시하기
A
수준 2방향한 변수의 변화에 따라 다른 변수의 변화 방향 조정하기- 그래프의 변화 방향 인식하기O
수준 3양적 조정점별 연결 추론- 증가/감소 인식하기
-병의 모양, 물이 채워지는/비워 지는 속도, 변수들 차이에 따른 그래프 전체적 개형의 차이 인식 하기
D
수준 4평균변화율덩어리 공변 추론- 정의역에서 직선 구성하기L
수준 5순간변화율매끄러운 연속 공변 추론- 그래프의 전체적 개형의 볼록성 을 곡선으로 구성하기C
수준 5+ α순간변화율에 대한 반성적 사고매끄러운 연속 공변 추론에 대한 반성적 사고그래프의 국소적 개형이 바뀌는 점에서
-미분가능 인식하기
-변곡점 인식하기
S, I

Table 3 Covariation and correspondence for the function(Coulombe, 1997, p. 83)

함수에 대한 관점특징
공변 관점- 두 변수의 동적 관계
- 관계된 변화량들을 증가/감소와 같은 언어적 표현으로 질적 묘사
대응 관점- 두 변수의 정적 관계
- 수학적 대상으로서의 변수들을 대수적으로 문자나 식으로 표현

Table 4 The summary of pre-service teachers’ response about construction of qualitative graph

누락/오류 코드과제 1과제 2과제 3
병 A hV그래프병 B hV그래프병 A ht그래프병 B, C Vt그래프병 B, C ht그래프병 B, C hV그래프
y절편A1 (8%)1 (8%)0 (0%)1 (8%)1 (8%)6 (46%)
방향O×××1 (8%)1 (8%)6 (46%)
차이D×××4 (31%)3 (23%)4 (31%)
직선성L0 (0%)0 (0%)0 (0%)3 (0.23%)1 (8%)2 (15%)
볼록성C3 (23%)3 (23%)2 (15%)×4 (31%)1 (8%)
변곡점I4 (31%)×7 (54%)×××
미분가능S11 (85%)7 (54%)10 (77%)0 (0%)9 (69%)5 (38%)
무응답N0 (0%)1 (8%)1 (8%)1 (8%)0 (0%)2 (15%)
정답1 (8%)2 (15%)2 (15%)5 (38%)1 (8%)0 (0%)

Table 5 Pre-service teacher’s perspectives on function

함수에 대한 관점예비교사들의 반응 수
공변 관점11 (85%)
대응 관점2 (15%)

Table 6 The summary of pre-service teachers’ response of interview

예비교사TATBTCTDTE
공변 추론설문 조사 결과오류 코 드: D 코딩 1누락/오류 코 드: S 코딩 5 회누락/오류 코드: C 코딩 3 회, S 코딩 4 회, D, L, O 코딩 각각 1회누락/오류 코 드: S 코딩 5 회, C 코딩 1 회, I 코딩 2회누락/오류 코드: C, D, 코딩 각각 1회, A, N 코딩 각각 2회
후속 인터뷰 결과공변 추론 수준 5 + 2공변 추론 수준 5 + 1공변 추론 수준 5공변 추론 수준 5 + 1공변 추론 수준 5 + 1/ 4 (과제 3)
공변 추론 과정에서 사용한 표현언어적 표현언어적 표현언어적 표현대수적 표현(+ 그림)+언어적 표현대수적 표현(+ 그래프)+언어적 표현
함수에 대한 관점공변공변공변hV: 대응
Vt, ht: 공변
과제 1,2: 대응
과제 3: 공변
형성한 곱셈적 대상기울기기울기점의 좌표f(t)=at에서 의 a변화율, S(h)
hV 그래프에서 기울기의 의미1/단면적단면적 (원의 넓이)(단)면적면적, 1s(h)
hV 그래프에서 ‘시간’에 대한 사고은유적 표현으로서 ‘속도’ 사용은유적 표현으로서 ‘속도’ 사용매개변수매개변수은유적 표현으로서 ‘빠르게/느리게’

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### Vol.32 No.2 2020-08-31

pISSN 2288-7733
eISSN 2288-8357

Frequency : Quarterly