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전자저널 논문

2020; 30(3): 553-573

Published online August 31, 2020 https://doi.org/10.29275/jerm.2020.08.30.3.553

Copyright © Korea Society of Education Studies in Mathematics.

Analysis of Middle School Students’ Proficiency of Mathematics Curriculum Achievement Standards

수학과 교육과정 성취기준에 대한 중학생의 숙달도 분석

Jihyun Park

* Research Fellow, Korea Institute for Curriculum and Evaluation, South Korea, pjh210@kice.re.kr

*한국교육과정평가원 연구위원

Correspondence to:1) 이 논문은 한국교육과정평가원에서 수행한「국가수준 학업성취도 평가 결과에 기반한 2009 개정 교육과 정의 학업성취 특성 및 추이 분석(Ku et al., 2019)」의 내용 중 일부를 수정 보완한 것임.

Received: July 10, 2020; Revised: August 3, 2020; Accepted: August 16, 2020

The purpose of this study was to examine the outcomes of the National Assessment of Educational Achievement (NAEA) 2015-2018 when the 2009 Revised National Curriculum was applied and suggested for future curriculum revisions. The characteristics of students’ academic achievement were analyzed based on the results of evaluating test items developed by the achievement standards of the 2009 Revised National Curriculum. The analysis showed that students’ academic achievement was low in the ‘Function’, ‘Probability and Statistics’, and ‘Geometry’ domain. In addition, many achievement standards could be mastered only by the above average group of students. Accordingly, it is necessary to reinforce customized teaching and learning activities in relation to achievement standards which were under achieved. To improve the achievement characteristics, it is necessary to specify detailed achievement standards and to strengthen the linkage between achievement standards.

KeywordsMathematical achievement characteristics, Standards, Curriculum, National Assessment of Educational Achievement

교육과정은 교육의 방향을 설정하고, 그에 따라 학생들이 배워야할 내용과 그 범위를 제시한다(Hwang et al., 2020; Kim et al., 2015, p. 5). 수학과 교육과정은 이전 학년의 학습 내용이 다음 학년에서 학습의 기초가 되도록 설계되어 있다. 따라서 학교교육을 통해 가르쳐진 내용에 대한 학생들의 성취 여부를 교육과정 성취기준별로 면밀히 점검할 필요가 있다.

학교교육을 통해 실행된 수학 학습 내용에 대한 학생들의 성취 여부를 파악하기 위한 방안으로 국가 수준 및 학교 수준에서 다양한 학생평가가 실시되고 있다. 특히 ‘국가수준 학업성취도평가(이하 학업성취도 평가)’는 학생들의 성취특성을 파악하고, 국가 교육과정을 모니터링하는것을 주요 목적으로 삼는다. 이에 학업성취도 평가는 교육과정의 성취기준을 기반으로 평가 문항을 출제하고, 우리나라 전체 학생들을 대표할수 있도록 평가 대상을 표집하여 시행한다. 따라서 다년간의 학업성취도 평가 결과를 다각도로 분석함으로써, 교육과정에 대한 학생들의 숙달도를 구체적으로 파악할 수 있다.

학업성취도 평가는 2015년부터 2018년까지2009 개정 교육과정이 적용되었으며, 2019년에는고등학교 평가부터 2015 개정 교육과정으로 전환되었다. 학업성취도 평가가 국가 수준에서 시행되는 교육과정 기반의 평가라는 점을 고려할 때, 한 시기의 교육과정에 대한 적용이 마무리되는 시점에서 해당 교육과정이 적용된 학업성취도 평가 결과를 기반으로 실행된 교육과정에 대한 학생들의 성취 여부를 파악하는 것은 의미가 있다. 그러므로 학교 교육에 2009 개정 교육과정의 적용이 마무리되는 현 시점에서 2009 개정교육과정이 적용된 4년간의 학업성취도 평가를 종합하여, 수학과 성취기준별로 학생들의 숙달도를 파악하고 2009 개정 교육과정 시기의 교육성과를 점검하는 것이 요구된다.

그간 수학과 학업성취도 평가 결과를 활용하여 학생들의 성취도를 분석하는 다양한 연구 (Kim et al., 2012; Kim et al., 2013; Lee, 2018)가수행되어 왔다. 이와 같은 연구들은 대부분 전체또는 성취수준 단별로 학생들의 성취도와 그 추이 변화를 파악하는 것이다. 이러한 연구 결과는 학생들의 성취 특성을 전반적으로 이해하는 데 도움이 될 수 있으나, 교육과정의 성취기준별로 학생 성취도를 상세하게 파악하기 위해서는 문항 특성과 연계한 심층적인 분석이 필요하다.

따라서 본 연구에서는 2009 개정 교육과정이적용된 2015년부터 2018년까지 시행된 학업성취도 평가 결과를 바탕으로 2009 개정 중학교 수학과 교육과정의 영역별로 성취기준에 대한 학생들의 숙달도를 분석하고자 한다. 이를 위해2009 개정 중학교 수학과 교육과정의 성취기준중 학업성취도 평가 출제 범위에 해당하는 성취기준과 관련 학업성취도 평가 문항을 연계하고, 각 성취기준별로 문항 특성 및 학업성취도 평가 결과를 종합적으로 분석하여 성취수준 집단별 성취기준 숙달 여부를 살펴보았다.

1. 학업성취도 평가 결과를 활용한 수학성취도 점검

수학과 교육과정에 제시된 학습 내용을 학교교육을 통해 학생들이 잘 이해하는 것은 수학교육의 가장 중요한 목표라 할 수 있다. 따라서 효과적인 수학교육을 위해서는 교육과정에 대한 학생들의 도달도를 지속적으로 파악하고 이를 바탕으로 개선점을 마련해야 한다. 이에 학교교육을 통해 실현된 학생들의 수학 학업 성취 특성을 파악하기 위한 다양한 평가들이 시행되고 있다. 특히 국제 또는 국가 수준에서 시행되는 대규모 평가 결과는 학생 개인의 학업 성취를 파악하는 것뿐만 아니라 우리나라 학생 전체의 성취 특성을 확인하는데 유용하게 활용할 수 있다.

우리나라에서 시행되는 대표적인 대규모 학생평가라 할 수 있는 학업성취도 평가는 “(국가의교육) 책무성과 교육의 질 관리를 위하여 교육성취도를 점검하고 이에 영향을 미치는 교육체제 변인과의 관계를 파악하여 교육의 개선점을 도출(Kim et al., 1998, p. 9)”하는 것을 목적으로한다. 이를 위해 학업성취도 평가에서는 국가 교육과정에 기반하여 학생들의 성취 특성에 대한 자료를 수집한다. 따라서 학업성취도 평가 결과를 활용하면 수학과 교육과정에 대한 우리나라 학생들의 전반적인 성취 특성을 파악할 수 있다.

수학 교과에 대한 학업성취도 평가는 2000년에 시작되었으며, 현재 중 고등학생을 대상으로시행되고 있다. 이를 통해 다년간 축적된 학업성취도 평가 결과를 바탕으로 학생들의 수학 성취 특성의 변화를 파악하는 다양한 연구(Kim et al., 2012; Kim et al., 2013; Lee, 2018)가 수행되어왔다. Kim et al.(2012)은 학업성취도 평가의 수학과 내용 영역을 세분화하여 문항군을 구성하고, 2010년과 2011년 수학 학업성취도 평가의 문항 반응 자료를 기반으로 각 문항군에 대한 학생들의 성별 지역규모별 성취도 차이를 살펴보았다. 이 연구에 따르면 초등학교와 중학교는 여학생의 수학 성취도가 높은 문항군이 많은 반면, 고등학교는 대부분의 문항군에서 남학생의 수학 성취도가 높게 나타나는 특성이 있었다. 또한 지역규모별로는 대체로 대도시-중소도시-읍면지역순으로 수학 성취도가 높게 나타나는 경향이 있었다. Kim et al.(2013)은 2007 개정 교육과정이적용된 2010∼2012년 중학교 3학년의 학업성취도 평가 결과를 활용하여 수학 학업성취 특성 변화 추이를 분석하였다. 3년 동안 출제된 성취기준을 선별하고, 이 성취기준에 대해 출제된 문항을 분류하여, 성취수준별로 3년 연속 대표문항선정 기준을 통과한 수학과 성취기준을 분석하였다. 이 연구에서 인수분해의 뜻에 관한 성취기준은 중학교 3학년의 우수학력도 숙달하지 못한것으로 나타났다. 또한 Lee(2018)는 2007 개정교육과정이 적용된 2010-2014년 고등학교 수학학업성취도 평가의 대표문항 정보를 기반으로 3년 이상 선다형 문항이 출제된 성취기준에 대해 성취수준 집단별 성취 특성을 분석하였다.

이와 같이 다년간의 학업성취도 평가 결과를 기반으로 종합적인 분석을 실시한 선행 연구 결과는 다년간 축적된 학업성취도 평가 결과 자료가 국가 수준에서 한 시기의 교육과정에 대한 학생들의 학업성취 특성을 종합적으로 파악하는 데 유용하게 활용될 수 있음을 시사한다. 그러나 선행 연구들은평가 결과를 분석하거나 해석하는 과정에서 문항 형식에 따른 난이도나 문항에서 측정하는 내용의 해당 성취기준에 대한 대표성 등과 같은 평가 문항이 가지는 자체적인 속성까지 종합적으로고려하여 분석하지는 않았다.

문항이 측정하는 내용 범위, 문항 유형이나 형식의 구성에 따른 난이도 등과 같이 문항 자체에 포함되어 있는 속성들은 평가 결과에 직접적인 영향을 줄 수 있는 요인이 될 수 있다. 따라서 학업성취도 평가 결과에 기반하여 학생들의 성취도를 좀 더 면밀하게 파악하기 위해서는 이러한 속성들을 종합적으로 고려할 수 있는 분석 기준을 설정하고 이를 바탕으로 평가 결과를 해석하는 연구를 수행할 필요가 있다.

2. 2009 개정 교육과정 기반 학업성취도평가에 따른 수학 성취도 변화 추이

2019년은 2009 개정 교육과정에 따른 학업성취도 평가가 마무리되고 2015 개정 교육과정 체제로의 전환이 시작되는 교육과정 전환기에 해당한다. 따라서 2015년부터 2018년까지의 학업성취도 평가는 2009 개정 교육과정을 기반으로 시행되었으며, 이 결과를 활용하여 2009 개정 교육과정의 성과를 확인하고, 차세대 교육과정 개발을 위한 시사점을 마련할 수 있다.

2009 개정 교육과정에 따른 학업성취도 평가에서는 평가시기(6월)를 고려하여 중학교 수학과의출제 범위를 중학교 1, 2학년 전 범위 및 중학교3학년 1학기 내용으로 한정하였다. 이에 따라 교육과정의 중학교 3학년 내용 중 수와 연산 영역전체와 문자와 식 영역의 ‘다항식의 인수분해’까지 출제되었고, 함수, 확률과 통계, 기하 영역의내용은 다루어지지 않았다(Table 1. 참조).

Table 1 Evaluation factors for 2015-2018 NAEA based on 2009 Revised Curriculum

영역평가 요소
수와 연산소인수분해, 최대공약수와 최소공배수, 정수와 유리수의 개념, 정수와 유리수의 대소 관계, 정수와 유리수의 사칙연산, 순환소수, 유리수와 순환소수의 관계, 제곱근의 뜻과 성질, 무리수, 실수의 대소 관계, 근호를 포함한 식의 사칙계산
문자와 식문자의 사용, 식의 값, 일차식의 덧셈과 뺄셈, 일차방정식, 지수법칙, 다항식의 덧셈과 뺄셈, 다항식의 곱셈과 곱셈공 식, 다항식의 나눗셈, 등식의 변형, 연립일차방정식, 부등식의 성질과 일차부등식, 연립일차부등식, 인수분해
함수함수의 개념, 순서쌍과 좌표, 함수의 그래프, 일차함수의 의미와 그래프, 일차함수의 활용, 일차함수와 일차방정식의 관계, 이차함수의 의미, 이차함수의 그래프의 성질
확률과 통계줄기와 잎 그림, 도수분포표, 히스토그램, 도수분포다각형, 도수분포표에서의 평균, 상대도수의 분포 경우의 수, 확률의 뜻과 기본 성질, 확률의 계산
기하점, 선, 면, 각, 점 직선 평면 사이의 위치 관계, 평행선의 성질, 삼각형의 작도, 삼각형의 합동 조건, 다각형의 성질, 부채꼴에서 중심각과 호의 관계, 부채꼴에서 호의 길이와 넓이, 다면체, 회전체의 성질, 입체도형의 겉넓이와 부피, 이등변 삼각형의 성질, 삼각형의 외심과 내심, 사각형의 성질, 닮은 도형의 성질, 삼각형의 닮음 조건, 평행선 사이에 있는 선분의 길이와 비, 닮은 도형의 성질 활용

※ 출처: Ministry of Education and Science Technology(2011), Yang et al.(2018)



학업성취도 평가 결과로 성취도 점수와 성취수준별 비율 등이 산출되며, 이를 바탕으로 학생들의 수학 성취도 변화 추이를 파악할 수 있다. 2009 개정 교육과정에 따른 학업성취도 평가에서 성취도 점수의 경우 IRT 기반의 총점 점수화방법을 적용하여 원점수를 평균 200점, 표준편차30점, 범위 50~350점의 척도점수(scaled score)로변환한다(Kim et al., 2016, pp. 10-11). 이를 바탕으로 교육과정 내용에 대한 도달 정도에 따라 학생의 성취수준을 우수학력, 보통학력, 기초학력, 기초학력 미달의 4가지로 구분하는데, 이는준거참조평가(criterion-referenced assessment)로서학업성취도 평가의 특징을 나타내는 것이다.

이러한 점수 체제를 기반으로 2015년부터2018년까지 산출된 중학생의 수학 성취수준 집단별 비율을 분석한 결과는 Table 2와 같다. 이를 통해 4년간의 비율 변화를 살펴보면, 우수학력의 경우 2015년(18.8%), 2016년(19.9%), 2017년(17.9%)로 3년 동안 비교적 소폭의 변화를 보이다가 2018년에는 22.7%로 증가한 것을 알 수 있다. 보통학력의 경우 2015년(47.4%), 2016년(48.4%), 2017년(49.7%)으로 소폭이나마 지속적으로 증가하는 경향을 보이다가 2018년 39.6%로10%p 이상 크게 감소하였으며, 기초학력은 2015년(29.2%), 2016년(26.8%), 2017년(25.3%)으로 소폭 감소하는 경향이 나타났다. 마지막으로 기초학력 미달의 경우 2015년(4.6%)과 2016년(4.9%)에 5% 미만이었으나 2018년(11.1%)에 10% 이상으로 증가하였다. 즉, 2009 개정 교육과정이 적용되는 동안 중학생의 수학에 대한 성취 특성의 변화를 살펴보면, 우수학력과 기초학력 미달이증가하고, 보통학력과 기초학력이 감소하는 경향이 있음을 알 수 있다.

Table 2 The trend of the middle school students rate of achievement level from 2015 to 2018 단위(%)

연도2015201620172018
성취수준
우수학력18.819.9▴17.9(0.78)▾22.7(0.82)▴
보통학력47.448.4▴49.7(0.55)▴39.6(0.52)▾
기초학력29.226.8▾25.3(0.65)▾26.6(0.69)
기초학력 미달4.64.9▴7.1(0.32)▴11.1(0.41)▴

* 표집 시행으로 전환된 2017년과 2018년의 경우( ) 안에 표준오차를 제시함

†▴ : 전년 대비 유의하게 높음

▾ : 전년 대비 유의하게 낮음

※ 출처: Yang et al.(2018, p. 20)를 바탕으로 2018년 자료를 분석하여 추가함



또한 수학과 학업성취도 평가에서는 각각의 평가 문항에 대해 성취수준 집단별로 정답률을 산출한다. 이 결과를 바탕으로 특정 문항에 대해정답률이 70% 이상인 집단 중 가장 낮은 학력집단을 선정하고, 해당 문항을 가장 낮은 학력집단의 대표문항으로 제시한다(Lee et al., 2014, p. 128). 예를 들어 어떤 문항에서 우수학력과 보통학력 집단의 정답률이 70%를 넘고, 기초학력집단의 정답률이 70% 미만인 경우, 이 문항은보통학력 대표문항이 된다. 대표문항 선정 과정에서 일부 문항은 모든 학력 집단의 정답률이70% 미만으로 나타나 어떤 학력의 대표문항도되지 못하는 경우도 있다. 이와 같은 성취수준별대표문항 정보를 활용하면 교육과정에 대한 학생들의 이해도를 개괄적으로 파악할 수 있다.

학업성취도 평가에서 2009 개정 교육과정에 따라 4년간(2015-2018년) 출제된 문항 중 공개된2)문항은 총 107개이다. 이 문항 중 수학과 내용 영역별로 각 성취수준 집단의 대표문항 수를 정리한 결과는 Table 3과 같다. 우수학력, 보통학력,기초학력 모두 70% 이상의 정답률을 나타내 기초학력 대표문항으로 선정된 문항은 총 6개로 전체의 5.6%에 불과하였다. 반면 우수학력 집단만정답률이 70% 이상으로 나타나 우수학력 대표문항으로 선정된 문항은 총 45개로 전체의 42.1%이었다. 더불어 모든 집단의 정답률이 70%에 미치지 못해 특정 학력의 대표문항이 되지 못한 문항은 11개로 10.3%에 해당하였는데, 이중 다수가기하 영역의 문항(7개, 6.5%)인 것으로 나타났다.즉, 우수학력 이상의 상위수준 집단만 정답률이 높게 나타나 많은 학생들이 해결하는 데 어려움을 겪었다고 볼 수 있는 문항의 비율이 전체의 50% 이상인 것으로 알 수 있다. 특히, 함수 영역과 기하 영역은 각 영역에서 출제된 문항 중 우수학력 이상의 상위수준 대표문항이 절반 이상으로 나타나 이 두 영역에 대한 학생들의 교육과정 이해도를 면밀히 살펴볼 필요가 있음을 알 수 있다.

Table 3 Distribution of representative item by content domain according to the evaluation results of 2015-2018 NAEA

영역성취수준별 대표문항 수특정 학력 대표문항으로 선정되지 못한 문항 수
기초학력보통학력우수학력
수와 연산1(0.9%)7(6.5%)6(5.6%)-(0.0%)
문자와 식2(1.9%)15(14.0%)11(10.3%)1(0.9%)
함수1(0.9%)5(4.7%)8(7.5%)1(0.9%)
확률과 통계-(0.0%)9(8.4%)5(4.7%)2(1.9%)
기하2(1.9%)9(8.4%)15(14.0%)7(6.5%)
6(5.6%)45(42.1%)45(42.1%)11(10.3%)


이러한 결과는 학생들의 성취도에 대한 개괄적인 현황을 알려주지만 각 문항이 다루는 내용이나 문항 유형에 따른 난이도 등을 고려하지 않았기 때문에, 학습 내용과 연계하여 학생들의성취도를 구체적으로 해석하기에는 어려움이 있다. 따라서 수학과 교육과정에 제시된 내용에 대한 학생들의 숙달도를 점검하기 위해서는 성취기준 단위로 학업성취도 평가 결과에 대한 체계적인 분석과 심층적인 해석이 요구된다.

본 연구에서는 학업성취도 평가 결과를 활용하여 2009 개정 중학교 수학과 성취기준별로 학생들의 숙달도를 살펴보고자 하였다. 이를 위해각 성취기준별로 해당하는 학업성취도 평가 문항과 평가 결과를 연계하고, 각각의 문항이 가지는 특성과 평가 결과를 종합적으로 분석하여 성취기준에 대한 성취수준 집단별 숙달 여부를 파악하였다. 이때 수학교육 전문가 및 교사로 구성된 포커스 그룹을 대상으로 성취기준 숙달 여부 분석 결과에 대한 타당성 검증을 실시하였다.

1. 성취기준 숙달도 분석 대상 및 절차

가. 분석 대상

2009 개정 수학과 교육과정의 성취기준에 대한 중학생의 숙달도를 분석하기 위해 2015년부터 2018년까지 4년간 2009 개정 교육과정을 적용하여 출제된중학교 수학과 학업성취도 평가 문항과 이에 대한 평가 결과를 분석 대상으로 설정하였다. 2015-2018년학업성취도 평가에 출제된 중학교 수학과 문항 중 공개된 문항과 이 문항들이 측정하고 있는 2009 개정 교육과정의 성취기준을 연결하여 중학교 수학 5개 내용 영역별로 분류한 결과는 Table 4와 같다.

Table 4 Ths frequency of NAEA items and standards by content domain

영역출제 문항출제 성취기준
빈도(개)비율(%)빈도(개)비율(%)
수와 연산1413.1916.1
문자와 식2927.11832.1
함수1514.0814.3
확률과 통계1615.058.9
기하3330.81628.6
107100.056100.0


2015년부터 2018년까지 학업성취도 평가에 출제된 중학교 수학과 문항 중 공개 문항을 정리하면 107개이며, 이 문항에 해당하는 교육과정의성취기준 수는 56개3)였다. 특히 문자와 식 및기하 영역의 문항 수 및 출제 성취기준 수가 다른 영역에 비해 많았다. 교육과정에 기반하여 출제하는 학업성취도의 특성상 수학과 교육과정에서 이 두 가지 영역에 해당하는 성취기준의 수가 다른 영역에 비해 많은 것이 출제에 반영되어 있음을 알 수 있다.

나. 분석틀

성취수준 집단별 숙달 여부 분석을 위해 성취기준에 따른 평가 문항은 Table 5와 같이 크게 3가지 유형(A, B, C)으로 분류하고, 각 유형별 하위 유형으로 나누어 살펴보았다. 첫 번째 유형은특정 성취기준에 해당하는 평가 문항들의 성취수준별 대표문항 정보가 동일한 경우(A)로 문항이 1개만 출제된 경우(A-1)와 2개 이상 출제된경우(A-2)로 구분하였다. 두 번째 유형은 특정성취기준에 해당하는 평가 문항들의 성취수준별대표문항 정보가 상이한 경우(B)이다. 대표문항정보가 상이하게 나타날 수 있는 요인을 문항내용과 형식을 중심으로 4가지로 분류하여 하위유형을 B-1∼4로 설정하였다. 세 번째 유형은 성취수준 집단별 숙달 여부에 대한 판단이 불가한경우(C)로 특정 성취기준에 대한 문항이 공개되지 않아 활용할 수 없거나(C-1), 출제된 문항이측정하는 내용이 여러 성취기준에 걸쳐있거나특정 성취기준의 일부 내용만 다루고 있어 분석이 어려운 경우(C-2, C-3)에 해당한다.

Table 5 Analysis framework for analysis of NAEA results by standards

코드설명세부코드설명
A특정 성취기준에 해당하는 평가 문항들의 성취수준별 대표문항 정보가 동일한 경우A-1문항이 2개 이상 출제된 경우: 해당 대표문항 정보를 활용함
A-2문항이 1개 출제된 경우: C-3의 경우를 제외하고, 해당 대표문항 정보를 활용함
B특정 성취기준에 해당하는 평가 문항들의 성취수준별 대표문항 정보가 상이한 경우B-1문항별로 평가하는 내용의 범위가 다른 경우. 성취기준의 내용을 더 포괄하는 문항에 가중치를 두어 판단함.
B-2문항별로 평가하는 내용 요소가 서로 다른 경우(포함관계가 아니라 병렬적인 경우)
B-3문항 내용 측면에서 난이도에 차이가 있는 경우
B-4문항 형식 측면(문항 구성, 자료 및 답지 제시, 문항 유형 등)에서 난이도에 차이가 있는 경우
C판단 불가C-1성취기준에 해당하는 출제 문항이 없는 경우(성취기준에 대해 비공개 문항만 출제된 경우 포함)
C-2출제된 문항만으로 성취기준 숙달 여부를 판단하기 어려운 경우(예: 출제 내용이 지엽적인 경우)
C-3출제된 모든 문항이 대상 성취기준뿐만 아니라 다른 성취기준의 내용이 포함되어 있어 어떤 성취기준의 영향으로 결과가 도출되었는지 판단하기 어려운 경우


다. 분석 절차

2009 개정 수학과 교육과정의 성취기준과 2015~2018년에 출제된 학업성취도 평가 문항을연계한 후 문항별 평가 결과(문항 유형, 행동영역, 정답률, 대표문항 정보)를 정리하였다(Table 6. 예시 참조). 이 때, 서답형은 하위 문항 단위로 구분하였고, 성취기준과 문항을 연결하는 과정에서 어떤 문항의 내용이 두 가지 성취기준에걸쳐 있어 어떤 성취기준의 영향으로 평가 결과가 도출되었는지 판단하기 어려운 문항은 분석에서 제외하였다.

Table 6 The example of 2015-2018 NAEA item information by standards of 2009 revised curriculum

성취기준연도 (문항번호)행동 영역정답률(%)대표문항정보
① 거듭제곱의 뜻을 안다.----
② 소인수분해의 뜻을 알고, 자연수를 소인수분해 할 수 있다.2017(1)이해81.28보통
2016(1)이해89.78기초
③ 최대공약수와 최소 공배수의 성질을 이해 하고, 이를 구할 수 있다.2018 (서3-1)추론48.86우수
2018 (서3-2)추론39.12우수
④ 최대공약수와 최소 공배수를 활용하여 여러 가지 문제를 해결 할 수 있다.2017(27)문제해결33.75우수
2016(27)문제해결53.88우수
2015(10)문제해결57.88우수


이와 같이 정리한 교육과정 성취기준별 학업성취도 평가 문항 정보를 기반으로 하여 각각의 성취기준별로 성취수준 집단별 숙달 여부에 대한 분석을 실시하였다(2019.5.1./5.3.). 이때 한 성취기준과 관련된 평가 문항의 측정 내용과 유형을 구분하고(Table 5. 참조), 이를 종합적으로 고려하여 수학교육 전문가 및 교사 3명이 평가 결과를 분석하였다. 특히 B유형은 대표문항 정보가 상이한 여러 문항 중 성취기준에 대한 숙달여부를 측정할 수 있는 대표적인 문항을 선정한 후 이 문항에 대한 정보를 중심으로 숙달 여부를 판단하였다.

2. 성취기준 숙달도 분석 내용에 대한 타당성 검증

2015-2018년 학업성취도 평가 문항을 분석하여 성취기준별로 숙달 집단을 판정한 결과는 전문가 집단의 질적인 해석과 판단에 따라 결정되었다. 따라서 전문가 집단의 분석 결과에 대한타당성을 확보하기 위하여 수학교육 전문가 및 중학교 교사로 구성된 10명의 포커스 그룹을 설정하고 출제된 문항들의 대표문항 정보가 상이한 B유형의 문항 특성 분석 결과에 대해 타당성검증을 실시하였다(2019.5.13.).

포커스 그룹은 학업성취도 평가 출제 및 검토, 교육과정 관련 연구 등에 참여한 경험이 있는 중학교 교사 및 수학교육 전문가로 구성하였다. 포커스 그룹을 대상으로 분석틀에 따른 판단 기준 설정 및 성취수준별 숙달 여부 분석 결과에 대한 동의 정도를 리커트 4점 척도4)로 조사하였고, 동의하지 않는 경우 그 이유를 구체적으로작성하도록 하였다. 분석 결과에 대한 포커스 그룹의 동의 정도를 바탕으로 타당성을 검증하기 위해 의견 조사 결과에 대한 척도 평균, 내용타당도 비율(Content Validity Ratio: CVR), 합의도(Degree of consensus)를 산출하였다. 이때 내용타당도 비율(CVR)은 전체 응답 대비 긍정 응답(타당하다, 매우 타당하다)의 비율로 산출하였고, 합의도는 75백분위(Q3), 25백분위(Q1), 중앙값(Mdn)을 이용하여 Table 7과 같이 구하였다.

Table 7 Method of analysis

구분분석 방법
내용타당도 비율(CVR)neN2N2
ne: 긍정 응답 사례 수
N: 전체 응답자 수
합의도1Q3Q1MdnQ1: 25 백분위
Q3: 75 백분위
Mdn: 중앙값

※ 출처: Lawshe(1975), Lee(2006)



내용타당도 비율(CVR)은 모든 응답이 긍정인경우 1, 긍정 응답이 절반인 경우 0으로 산출되며, 음수는 부정 응답이 절반 이상인 경우에 해당한다. 내용타당도가 확보되었다고 해석할 수있는 최솟값은 응답자 수에 따라 달라지는데, 본연구에서는 포커스 그룹을 10명으로 구성하였으므로, 내용타당도 비율(CVR)의 최솟값은 0.62이다(Lawshe, 1975, p. 568). 합의도는 0에서 1사이의 범위를 가지며, 1은 75백분위(Q3)와 25백분위(Q1)가 일치하는 경우로 1에 가까울수록 높게합의되었다고 볼 수 있다(Lee, 2006, p. 60).

내용타당도 비율(CVR) 및 합의도에 대한 분석결과를 검토하여 타당성이 검증되었다고 보기 어려운 성취기준에 대해서는 추가 전문가 검토(2019.7.31.)를 거쳤다. 이러한 분석 절차를 바탕으로 전문가 집단의 분석 과정에서 논의된 내용과 포커스 그룹이 제시한 의견을 종합적으로 고려하여 성취기준에 대한 학생들의 숙달도를 판정하였다.

1. 성취기준이 다루는 내용 범위에 대한 분석 결과

학업성취도 평가 문항의 특성과 교육과정 성취기준을 연계하여 학생들의 숙달도를 분석하는 과정에서 일부 성취기준이 다루는 필수 학습 내용의 범위에 대해 수학교육 전문가 및 교사들의 해석에 차이가 나타났다. 이러한 해석의 차이는교육과정을 적용하는 과정에서 혼란을 가져올 수 있기 때문에 구체적으로 살펴볼 필요가 있다. 본 연구에서 내용 영역별로 성취기준이 의미하는 필수 학습 내용의 범위에 대한 전문가 및 교사의 견해의 차이가 비교적 크게 나타난 성취기준과 각 성취기준의 내용 범위에 대해 전문가 협의를 통한 의견 조정 결과는 다음과 같다.

문자와 식 영역에서 성취기준 ‘일차식의 덧셈과 뺄셈의 원리를 이해하고, 그 계산을 할 수 있다.’는 일차식의 계산 과정에서 음의 부호를 곱하는 내용을 포함하고 있다. 본 연구에서 성취기준을 분석하는 과정에서 식의 계산에서 음의 부호를 곱하는 것을 문자와 식 영역에서 새롭게 학습하는 내용으로 보아야 하는지, 수와 연산 영역에서 이미 학습한 내용으로 보아야 하는지에 관해 의견에 차이가 있었다. Figure 1은 이 성취기준과 관련하여 2017년과 2018년에 출제된 학업성취도 평가 문항으로 2017년 문항은 음의 부호가 포함된 식의 계산이 포함되어 있고, 2018년문항은 포함되어 있지 않다. 평가 결과에 따르면 이 두 가지 유형의 문항은 기초학력의 정답률에서 큰 차이(15.37%p)를 보이고 있음을 알 수 있다. 교육과정 순서상으로 음수의 곱은 수와 연산영역에서 먼저 학습하게 되지만, 식의 계산에서음의 부호를 곱하는 것은 문자와 식 영역에서학습하게 된다. 본 연구에서는 식의 계산에서 음의 부호를 곱하는 것은 음수의 곱과는 다른 인지적 사고가 요구된다는 논의 결과에 따라, 수와연산에서의 음수의 곱에 대한 학습과 더불어 식의 계산에 관한 추가적인 학습이 필요한 것으로 보았다.

Figure 1.NAEA Items about calculation of polynomials

다음으로 함수 영역에서 성취기준 ‘다양한 상황을 표와 식으로 나타내고, 함수의 개념을 이해한다.’는 함수 여부에 대한 판단이 필요한 상황의 범위에 대한 의견에 차이가 있었다. 중학교에서 함수 여부에 대한 판단은 정비례를 비롯한 다양한 상황에서 이루어질 수 있는데, 2015-2018년학업성취도 평가에서는 함수의 예를 판단하는 선택지로 반비례 상황이 포함된 문항이 출제된 경우가 있었으며, 이러한 선택지에 대한 정답률이 떨어지는 경향이 있었다. 이 성취기준에서 함수의 개념을 이해하고 다양한 상황을 함수와 관련지어 해석하는 것을 요구한다고 보고, 반비례상황에서의 함수 여부에 대한 판단도 이 성취기준에서 요구하는 필수 학습 내용에 포함되는 것으로 판단하였다.

더불어 일차함수의 그래프에서 ‘기울기’의 개념이 성취기준 ‘일차함수의 의미를 이해하고, 그그래프를 그릴 수 있다.’의 필수 학습 내용인지에 대한 의견에 차이가 나타났다. 교과서에서 기울기는 일차함수의 의미와 그래프에서 다루어지는 경우도 있고, 일차함수의 그래프의 성질에서다루어지는 경우도 있다. 일차함수의 그래프의성질에서는 기울기의 부호에 따른 그래프 모양의 변화를 다루는 것이 주요한 학습 내용이다. 따라서 기울기의 개념을 ‘일차함수의 의미를 이해하고, 그 그래프를 그릴 수 있다.’에서 다루는필수 학습 내용으로 보는 것이 더 적절하다고 판단하였다.

기하 영역에서 성취기준 ‘다면체의 뜻을 알고, 그 성질을 이해한다.’의 경우 정다면체의 성질에대한 이해가 필수 학습 내용인지에 대한 논의가 있었다. 즉, 해당 성취기준을 숙달하기 위해서다면체의 성질뿐만 아니라 정다면체의 성질을 반드시 이해하여야 하는지에 대한 전문가들의 견해에 차이가 나타난 것이다. Figure 2의 2015년 19번 문항은 정다면체의 성질에 대한 이해를, 2018년 12번 문항은 다면체의 성질에 대한 이해를 측정하고 있다. 2009 개정 교육과정에 따른교과서를 살펴본 결과 정다면체의 성질에 대해 다루는 범위와 깊이가 상이한 것을 알 수 있었다.「2009 개정 교육과정에 따른 성취기준ㆍ성취수준」에서는 정다면체의 뜻과 성질에 대한 이해는 ‘상’에 해당하는 고난도의 학습 내용으로보고 있다(Ministry of Education and Science Technology, 2012, p. 47).

Figure 2.NAEA Items about polyhedron and regular polyhedron

이에 대해 전문가 협의를 거쳐 이 성취기준은 다면체의 성질을 이해하는 내용이 필수적이고, 정다면체의 성질에 대한 이해는 필수적이기보다는 심화적인 내용으로 보는 것이 적절하다고 판단하였다. 따라서 이 성취기준에 대한 학생들의성취수준을 측정하는 데 2018년 12번 문항이 더대표적인 것으로 보았다. 이 성취기준에 대한 성취수준 집단의 숙달 여부를 분석한 후 분석 결과에 대한 전문가 집단의 동의 여부를 조사한 결과, 내용타당도가 0.60으로 중학교 성취기준중 유일하게 0.62 미만으로 나타났다([부록] 참조). 이러한 결과는 정다면체의 성질을 중학교교육과정에서 필수 학습 내용으로 보아야 할 것인가에 대한 추가 논의가 필요하다는 것을 시사한다.

2. 성취기준별 숙달도 분석 결과

2018년 학업성취도 평가 결과에 따르면 기초학력에 미치지 못한 기초학력 미달 학생들은 전체의 11.1%이고, 우수학력 학생들은 전체의22.7%에 해당한다. 따라서 기초학력 학생들까지숙달한 것으로 나타난 성취기준은 90% 가량의학생들이 숙달한 것이라 할 수 있으므로 우리나라 학생들의 숙달도가 높은 것으로 보았다. 또한 우수학력 학생들만 숙달하였거나 우수학력 학생들도 숙달하지 못한 것으로 분석된 성취기준은 우리나라 학생들의 숙달도가 낮은 것으로 보았다. 2009 개정 중학교 수학과 교육과정의 내용영역별 숙달 집단의 분포와 각각의 성취기준에 대한 숙달도 분석 결과를 살펴보면 다음과 같다.

가. 중학교 수학과 교육과정 내용 영역별 성취 기준 숙달 집단 분포

본 연구에서 설정한 분석틀을 기반으로 2009 개정 교육과정의 64개 성취기준에 대해 각 성취기준별 출제 문항 내용을 분석한 결과는 다음과 같다. 먼저 특정 성취기준에 대해 출제된 평가문항의 대표문항 정보가 동일한 경우 중 판단 불가로 제외되지 않은 성취기준(A)은 20개(31.3%)였다. 다음으로 특정 성취기준에 대해 출제된 평가 문항의 대표문항 정보가 상이한 성취기준(B)은 33개(51.6%)로 나타났다. B유형의 성취기준에 대해서 포커스 그룹을 대상으로 성취수준 집단별 숙달 여부 분석 결과의 타당성을 조사한 결과는 [부록]과 같다. 조사 대상 성취기준에 대한 숙달 여부 분석의 동의 정도에 대한 응답 척도 평균은 3.4∼4였으며, 내용타당도(CVR)가 0.62 미만으로 나타난 1개 성취기준을 제외한 나머지 성취기준에 대해서는 내용타당도 (CVR) 0.80∼1, 합의도 0.81∼1로 나타나 분석결과는 대체로 타당한 것으로 나타났다. 또한 분석 대상 성취기준 중 판단 불가로 결정된 것은 총 11개(17.2%)이다. 공개 문항 중 출제된 문항이 없는 경우(C-1)가 8개, 문항이 출제되었으나 해당 문항의 평가 내용이 지엽적으로 성취기준 내용의 일부만 다루고 있어서 성취기준에 대한 숙달 여부를 판단하기 어려운 경우(C-2)가 3개였다. C-2 유형의 3개 성취기준은 모두 기하 영역에 해당하였는데, 이는 특정 성취기준이 다양한개념을 포함하고 있는 기하 영역의 특성에 기인한 것으로 볼 수 있다. 또한 한 성취기준에 대해출제된 모든 문항이 다른 영역의 내용과 융합되어 있는 경우(C-3)는 없었으나, 일부 문항이 다른 영역의 내용과 융합된 경우가 나타나 이러한 문항은 제외하였다.

2015-2018년의 학업성취도 평가 결과를 통해 2009 개정 중학교 수학과 교육과정의 성취기준별로 숙달한 성취수준 집단을 분석한 결과를 바탕으로 최하 학력 집단의 분포 제시하면 Table 8과 같다. 2009 개정 중학교 수학과 교육과정의 성취기준 중 우수학력도 숙달하지 못하여 숙달 집단이 없는 것으로 분석된 성취기준은 1개(1.6%)였으며, 우수학력 학생들까지 숙달한 성취기준은 22개(34.4%), 보통학력 학생들까지 숙달한 성취기준은 26개(40.6%)로 나타났다. 기초학력 학생들까지 숙달한 성취기준은 4개(6.3%)로나타나 전체 성취수준에서 차지하는 비중이 적은 편이었으며, 함수, 확률과 통계, 기하 영역의경우 기초학력 학생들까지 숙달한 성취기준은 없었다. 즉, 분석 대상 성취기준 중 30% 이상이우수학력 이상의 학생들만 숙달한 것으로 나타났으며, 기초학력까지 숙달한 성취기준은 10% 미만인 것으로 나타나 수학과 교육과정의 구성및 실행과 관련하여 학생들의 이해도 제고가 필요할 것으로 보인다.

Table 8 Lowest group distribution among mastery groups of standards by content domain for 2009 revised curriculum

영역기초학력보통학력우수학력숙달 집단 없음판단 불가
빈도비율빈도비율빈도비율빈도비율빈도비율빈도비율
수와 연산18.3%325.0%433.3%00.0%433.3%12100.0%
문자와 식315.0%1260.0%420.0%00.0%15.0%20100.0%
함수00.0%111.1%666.7%111.1%111.1%9100.0%
확률과 통계00.0%350.0%233.3%00.0%116.7%6100.0%
기하00.0%741.2%635.3%00.0%423.5%17100.0%
46.3%2640.6%2234.4%11.6%1117.2%64100.0%


나. 중학교 수학과 교육과정 성취기준별 성취 수준 집단의 숙달 여부 분석

(1) 수와 연산 영역

중학교 수와 연산 영역은 정수, 유리수, 실수의 개념과 사칙연산을 다룬다. 수와 연산 영역의성취기준에 대한 성취수준 집단별 숙달 여부 분석 결과는 Table 9와 같다. 수와 연산 영역에서는 소인수분해의 뜻에 대한 이해와 자연수를 소인수분해하는 내용에 대해 기초학력 학생들까지도 숙달한 것으로 나타났다.

Table 9 Results of proficiency group analysis in Number and Operations domain

구분성취기준숙달 여부
우수보통기초
(1) 소인수 분해① 거듭제곱의 뜻을 안다.-
② 소인수분해의 뜻을 알고, 자연수를 소인수분해 할 수 있다.vvv
③ 최대공약수와 최소공배수의 성질을 이해하고, 이를 구할 수있다.v
④ 최대공약수와 최소공배수를 활용하여 여러 가지 문제를 해결할 수 있다.v
(2) 정수와 유리수① 정수와 유리수의 개념을 이해한다.v
② 정수와 유리수의 대소 관계를이해한다.vv
③ 정수와 유리수의 사칙계산의 원리를 이해하고, 그 계산을 할수 있다.vv
(3) 유리수와 순환소수① 순환소수의 의미를 이해한다.-
② 유리수와 순환소수의 관계를이해한다.v
(4) 제곱근과 실수① 제곱근의 뜻을 알고, 그 성질을 이해한다.-
② 무리수의 개념을 이해한다.-
③ 실수의 대소 관계를 이해한다.vv
(5) 근호를 포함한 식의 계산① 근호를 포함한 식의 사칙계산을 할 수 있다.vv

†v : 해당 성취수준 집단이 숙달함

‡- : 숙달 여부 판단이 불가함



반면 최대공약수와 최소공배수의 성질과 활용은 우수학력 학생들 까지만 숙달하여 학생들의 숙달도가 낮았다. 최대공약수와 최소공배수의 개념은 초등학교에서부터 다루어지는 개념임에도 불구하고, 보통학력 이하의 학생들은 소인수분해에 대한 이해가 최대공약수 및 최소공배수에 대한 학습으로 이어지는데 어려움이 있음을 알 수 있다. 따라서 교과서 제시 방식이나 교수학습 과정 등에서 초등학교 때 학습한 최대공약수 및 최소공배수 개념, 중학교에서 학습한 소인수분해개념 등과 연계가 적절하게 이루어지고 있는지 점검이 필요할 것으로 보인다.

또한 수 체계에서 수의 개념과 관련된 정수와 유리수의 개념, 유리수와 순환소수의 관계에 대해 우수학력만 숙달한 것으로 나타났다. 반면 대소 관계, 사칙 계산 등과 관련된 성취기준은 보통학력까지 숙달한 것을 알 수 있다. 통상적으로수학 개념에 대한 학습이 선행되어야 계산이나 비교와 같은 기능을 익힐 수 있을 것이라 생각된다. 그러나 본 연구의 결과를 고려할 때, 수체계에 대한 개념 학습 내용에 비해 수의 계산이나 대소 비교와 같은 기능을 학습할 때 다루어지는 내용의 범위가 좁거나 난도가 낮을 수 있을 것으로 보인다.

더불어 3학년 학습 내용에 비해 1, 2학년 개념학습 내용의 이해도가 떨어지는 현상을 확인할 수 있다. 이를 고려할 때, 1, 2학년 개념 학습 내용에 대한 교과서 제시 방법이나 교수학습 방법을 개선할 수 있는 방안을 마련할 필요가 있다.

(2) 문자와 식 영역

2009 개정 교육과정의 중학교 문자와 식 영역은 문자의 사용과 식의 계산, 일차방정식/연립일차방정식, 일차부등식/연립일차부등식, 인수분해를 다룬다. 문자와 식 영역의 성취기준에 대한성취수준 집단별 숙달 여부 분석 결과는 Table 10과 같다. 문자와 식 영역에서는 식의 값 구하기, 다양한 상황을 이용하여 일차방정식 및 일차부등식과 그 해의 의미 이해하기에 대해 기초학력 학생들까지도 숙달한 것으로 분석되어, 학생들의 숙달도가 높다고 볼 수 있다.

Table 10 Results of proficiency group analysis in Variable and Expresstions domain

구분성취기준숙달 여부
우수보통기초
(1) 문자 의 사용 과 식의 계산① 다양한 상황을 문자를 사용한식으로 간단히 나타낼 수 있다.vv
② 식의 값을 구할 수 있다.vvv
③ 일차식의 덧셈과 뺄셈의 원리를이해하고, 그 계산을 할 수 있다vv
(2) 일차 방정식① 다양한 상황을 이용하여 일차방정식과 그 해의 의미를 이해한다.vvv
② 등식의 성질을 이해하고 일차방정식을 풀 수 있다.vv
③ 일차방정식을 활용하여 다양한 실생활 문제를 해결할 수 있다.vv
(3)식의 계산① 이차식의 덧셈과 뺄셈의 원리를 이해하고, 그 계산을 할 수 있다.vv
② 지수법칙을 이해한다.vv
③ 다항식의 곱셈의 원리를 이해하고, 곱셈공식을 유도할 수 있다.vv
④ 다항식의 나눗셈의 원리를 이해하고, 그 계산을 할 수 있다.vv
⑤ 간단한 등식을 변형할 수 있다.vv
(4)미지 수가 2 개인 연립 일 차 방정식① 미지수가 2개인 일차방정식과 그 해의 의미를 이해한다.-
② 미지수가 2개인 연립일차방정 식과 그 해의 의미를 이해하고, 이를 풀 수 있다.vv
③ 미지수가 2개인 연립일차방정 식을 활용하여 다양한 실생활 문제를 해결할 수 있다.v
(5)일차 부 등 식 과 연립 일 차 부 등식① 다양한상황을이용하여일차부등식과 그 해의 의미를 이해한다.vvv
② 부등식의 기본 성질을 이용하여일차부등식을 풀 수 있다.vv
③ 연립일차부등식과 그 해의 의미를 이해하고, 이를 풀 수 있다.v
④ 일차부등식 또는 연립일차부등 식을 활용하여 다양한 실생활 문제를 해결할 수 있다.v
(6)다항 식의 인수분해① 인수분해의 뜻을 알고, 인수분 해를 할 수 있다.v

†v : 해당 성취수준 집단이 숙달함

‡- : 숙달 여부 판단이 불가함



그러나 연립일차방정식의 활용, 연립일차부등식의 이해와 활용, 인수분해에 대해 우수학력만숙달한 것으로 나타나 학생들의 이해도를 제고하기 위한 방안을 마련할 필요가 있다. 특히 연립일차부등식의 경우 2015 개정 교육과정에서 고등학교로 이동되었기 때문에 중학생의 연립일차부등식에 대한 숙달도가 떨어지는 결과를 고려하여 고등학생들이 잘 이해할 수 있는 교수?학습 방안을 마련할 필요가 있다. 또한 인수분해의 경우 수와 연산에서 소인수분해에 대해 기초학력까지 숙달했음에도 불구하고, 문자와 식에서다루는 다항식의 인수분해에 대한 학생들의 숙달도가 떨어지는 것으로 나타났다. 즉, 인수로 ‘분해’한다는 개념에 있어서 인수가 ‘수’인 경우와 ‘문자’ 또는 ‘식’인 경우 학생들이 갖는 어려움에 차이가 있음을 알 수 있다. 인수분해 지도시 소인수분해 개념과의 연계, 인수가 ‘문자’ 또는 ‘식’인 경우에 대한 좀 더 면밀한 교수학습 방안을 마련할 필요가 있을 것이다.

(3) 함수 영역

함수 영역의 경우 Table 11에 제시된 바와 같이 모든 성취기준이 우수학력 이상의 학생들만숙달하여 다른 영역에 비해 학생들의 전반적인 숙달도가 낮은 편이라 할 수 있다. 함수 영역은다른 영역에 비해 성취기준의 수가 적은데, 교육과정 내용과 학생들의 성취도를 고려하여 성취기준을 세분화하거나 좀 더 기초적인 내용을 추가할 필요가 있는지 검토가 필요하다.

Table 11 Results of proficiency group analysis in function domain

구분성취기준숙달 여부
우수보통기초
(1) 함수 와 그래프① 다양한 상황을 표와 식으로 나타내고, 함수의 개념을 이해한다.
② 순서쌍과 좌표를 이해한다.v
③ 함수를그래프로나타낼수있다.v
④ 함수를활용하여여러가지문제를 해결할 수 있다.v
(2) 일차 함 수 와 그래프① 일차함수의 의미를 이해하고, 그 그래프를 그릴 수 있다.v
② 일차함수의 그래프의 성질을 이해한다.v
(3) 일차 함수와 일차 방정식의 관계① 일차함수와 미지수가 2개인 일차방정식의 관계를 이해한다.-
② 두 일차함수의 그래프를 통하여 연립일차방정식의 해를 이해한다.v
③ 일차함수를 활용하여 여러 가지 문제를 해결할 수 있다.v

†v : 해당 성취수준 집단이 숙달함

‡- : 숙달 여부 판단이 불가함



특히 함수 영역의 성취기준 중 ‘다양한 상황을 표와 식으로 나타내고, 함수의 개념을 이해한다.’ 는 우수학력도 숙달하지 못한 것으로 분석되었다. Figure 3은 이 성취기준에 해당하는 학업성취도 평가 문항과 답지 반응 분포를 제시한 것이다. 이 문항에 대한 학생들의 답지 반응을 살펴보면 ②번에 대한 반응률이 30.10%임을 알 수 있다. ②번을 정답⑤와 비교할 때, 학생들은 정비례 상황인 ‘ㄴ’에 비해 반비례 상황인 ‘ㄷ’에대한 함수 여부의 판단이 어려웠음을 알 수 있다. 다시 말해, 학생들은 반비례 상황이 주어졌을 때 함수인지 여부를 판단하는 것에 취약하다고 할 수 있다. 즉, 학생들의 함수 개념에 대한이해가 명확하지 않아 상대적으로 익숙하지 않고 좀 더 복잡한 사고가 필요한 맥락이 주어지면 문제 해결에 어려움을 겪는다고 볼 수 있다.

Figure 3.NAEA Item about concept of function

함수의 정의를 이해하는 것은 이후 함수와 관련된 학습의 가장 기본이 되는 부분이 되기 때문에(Lee et al., 2016), 이 성취기준에 대한 학생들의 숙달도가 낮은 현상에 대한 개선 방안이 마련될 필요가 있다. Vinner (1992)에 따르면 개념 정의와 개념 이미지가 적절하게 연결되지 않을 경우 함수 개념에 대한 이해에 어려움을 겪을 수 있으며, 사고의 무의식적 본질로 인해 학생들의사고는 개념 이미지에 의해 안내된다. 따라서 학생들은 개념 이미지를 이용하여 개념의 예를 구분하는 경향이 있다(Byun & Ju, 2012). 따라서 함수 개념을 지도할 때 정비례 상황 이외의 여러 가지 상황을 제시하고 함수인지 여부를 판단해보는 연습을 하도록 해야 할 것이다. 또한 2009 개정 교육과정에서는 정비례와 반비례가 초등학교에서 다루어졌으나 2015 개정 교육과정에서 중학교로 이동하였으므로 1학년에서 배우는 정비례와반비례 개념을 2학년에서 배우는 함수 개념과 적절히 연계하여 지도함으로써 학생들의 이해도를 높일 수 있는 방안을 모색할 수 있을 것이다.

(4) 확률과 통계 영역

확률과 통계 영역의 경우 Table 12에 제시된바와 같이 기초학력 학생들까지 숙달한 성취기준이 없었으며, 2학년에서 다루는 확률보다 1학년에서 다루는 통계 내용에 대한 숙달도가 떨어지는 것으로 나타났다. 특히 도수분포표와 상대도수에 대해서는 우수학력 학생들만 이해한 것으로 나타났는데, 본격적으로 통계에 대해 배우기 시작하는 1학년 학생들이 이러한 내용을 이해하는 데 어려움이 있는 것을 알 수 있다.

Table 12 Results of proficiency group analysis in probability and statistics domain

구분성취기준숙달 여부
우수보통기초
(1) 도수분 포와 그래프① 줄기와 잎 그림, 도수분포표, 히스토그램, 도수분포다각형을 이해하고 해석할 수 있다.vv
② 도수분포표로 주어진 자료의 평균을 구할 수 있다.v
③ 상대도수를 구하며, 이를 그래 프로 나타내고, 상대도수의 분포를 이해한다.v
(2) 확률과 그 기본 성질① 경우의 수를 구할 수 있다.vv
② 확률의 의미와 그 기본 성질을 이해한다.-
③ 확률의 계산을 할 수 있다.vv

†v : 해당 성취수준 집단이 숙달함

‡- : 숙달 여부 판단이 불가함



통계는 최근 빅 데이터를 중시하는 사회적 변화에 따라 그 중요성이 강조되고 있는 영역으로 수업시간에 활용할 수 있는 통계 교육 프로그램을 보급하는 등 학생들의 통계적 소양을 높이고 통계 교육을 활성화하기 위한 다양한 방안을 마련하고 있다. 현재 우리나라의 교육과정 체계는중학교 3년간의 통계 교육 내용이 2개 학년에분포되어 있는 특징을 가지고 있다. 이에 1학년의 통계 내용에 대한 학생들의 숙달도가 떨어지면, 2학년 때 보정하지 못하고, 3학년이 되어서야 학습이 가능하다. 한국, 미국, 싱가포르, 일본의 통계 교육 내용을 비교 분석한 김소민(2019)에 따르면, 우리나라를 제외한 3개국은 중학교1~3학년에 걸쳐서 통계 교육을 실시하고 있었다. 따라서 학습 결손을 줄이고, 학생들의 통계에 대한 이해도를 높이기 위한 방안으로, 중학교 통계 교육 내용의 수준과 범위를 검토하고, 통계 교육내용을 1~3학년에 걸친 점진적인 분산 배치가 가능한지에 대해 논의할 필요가 있을 것이다.

(5) 기하 영역

기하 영역의 경우도 Table 13에 제시된 바와 같이 기초학력 학생들까지 숙달한 성취기준이 없는 것을 알 수 있다. 기하 영역은 초등학교 교육 내용과의 연계성이 높기 때문에 기초학력 학생들이 숙달한 성취기준이 없는 현상과 관련하여 초등학교 학생들의 기하 영역에 대한 숙달도를 점검해 볼 필요가 있다.

Table 13 Results of proficiency group analysis in geometry domain

구분성취기준숙달 여부
우수보통기초
(1) 기본 도형① 점, 선, 면, 각을 이해하고, 점, 직선, 평면의 위치 관계를 설명할 수 있다.-
② 평행선에서 동위각과 엇각의 성질을 이해한다.vv
(2) 작도와 합동① 삼각형을 작도할 수 있다.-
② 삼각형의 합동 조건을 이해하고, 이를 이용하여 두 삼각형이 합동인지 판별할 수 있다.vv
(3) 평면도형의 성질① 다각형의 성질을 이해한다.v
② 부채꼴의 중심각과 호의 관계를 이해하고, 이를 이용하여 부채꼴의 있다.v
(4) 입체도형의 성질① 다면체의 뜻을 알고, 그 성질을 이해한다.vv
② 회전체의 뜻을 알고, 그 성질을 이해한다.v
③ 입체도형의 겉넓이와 부피를 구할 수 있다.v
(5) 삼각형과 사각형의 성질① 이등변삼각형의 성질을 이해하고 설명할 수 있다.vv
② 삼각형의 외심과 내심의 성질을 이해하고 설명할 수 있다.v
③ 사각형의 성질을 이해하고 설명 할 수 있다.vv
(6) 도형의 닮음① 도형의 닮음의 뜻을 안다.-
② 닮은 도형의 성질을 이해한다.vv
③ 삼각형의 닮음조건을 이해하고, 이를 이용하여 두 삼각형이 닮음인지 판별할 수 있다.vv
(7) 닮음의 활용① 평행선 사이의 선분의 길이의 비를 구할 수 있다.v
② 닮은 도형의 성질을 활용하여 여러 가지 문제를 해결할 수 있다.-

†v : 해당 성취수준 집단이 숙달함

‡- : 숙달 여부 판단이 불가함



TIMSS 2015 결과에 따르면 우리나라 초등학생의 도형과 측정 영역에 대한 정답률은 70%로수(73%), 자료 표현(81%)에 비해 낮은 편이었으며, 중학생의 기하 영역(67%)에 대한 정답률도수(72%), 대수(67%), 자료와 가능성(72%) 영역과같거나 낮은 편이었다(Sang, et al., 2016, pp. 60, 64). 이를 통해 우리나라 학생들은 기하 영역에 대한 성취도가 다른 영역에 비해 약간 낮은 편임을 알 수 있는데, 기하는 중학교 수학과 교육과정에서 성취기준 수가 가장 많고, 다른 영역에비해 상대적으로 많은 내용을 다루고 있는 만큼, 초등학교와의 연계성 강화 등 기하 교육에 대한 개선 방안을 마련할 필요가 있을 것이다.

특히 부채꼴, 회전체, 외심과 내심 등 원과 관련된 내용이 포함된 성취기준과 길이, 넓이, 겉넓이와 부피 등을 계산하는 측정과 관련된 성취기준에 대한 숙달도가 떨어지는 것으로 나타났다. 수학과 교육과정에서 ‘측정’ 관련 내용은 초등학교의 경우 하나의 영역으로 제시되지만 중ㆍ고등학교에서는 여러 영역에 분산되어 제시되고 있다. 따라서 초등학교에 비해 중학교에서 ‘측정’ 관련 내용이 집중적으로 다루어지지 못하는 경향이 있다. ‘측정’은 일상생활에서 유용하게 활용될 수 있고, 다양한 수학적 개념과 능력을 발달시킬 수 있으며, 타 교과에서도 유용하게활용될 수 있기 때문에 학교 수학에서 중요하게 다루어져야 한다(Reys et al., 2015, pp. 325-326). 본 연구에서도 기하 영역에서 ‘측정’과 관련된성취기준에 대한 학생들의 숙달도가 떨어지는 것으로 나타났으므로 이를 개선할 수 있는 방안을 마련할 필요가 있을 것이다.

본 연구에서는 2009 개정 교육과정에 따른 교육성과를 점검하기 위해 교육과정 성취기준별로 2015∼2018년에 출제된 수학과 학업성취도 평가문항 및 평가 결과 정보를 종합하여, 우리나라학생들의 교육과정 성취기준별 숙달도를 파악하였다. 연구 결과, 일부 성취기준이 다루는 범위를 해석에 차이가 나타날 수 있음을 확인하였다.또한 수와 연산 및 문자와 식 영역에 비해 함수, 확률과 통계, 기하 영역의 숙달도가 낮은 것으로나타났으며, 특히 함수 영역은 우수학력 학생들도 숙달하지 못한 성취기준이 있었다.

본 연구결과를 바탕으로 수학과 교육과정 및 교수학습 개선의 측면에서 다음과 같은 시사점을 도출할 수 있다. 첫째, 성취기준별로 학생들이 숙달하는 데 필수적으로 포함되어야 하는 학습 내용을 분석하는 과정에서 전문가의 견해에 차이가 나타나는 경우가 있었다. 수학과 교육과정 성취기준은 학생들이 학습해야 할 내용을 함축적으로 제시한 경우가 많아 교육과정 내용을 해석하는 데 차이가 발생할 수 있는 것이다. 이와 같이 성취기준이 다루는 내용 범위에 대한 해석의 차이는 실제 학교 현장에서 학생들의 학습 결손을 가져올 수 있기 때문에 교육과정 해석에 있어서 혼란을 방지할 수 있는 방안을 마련할 필요가 있다. 이를 위해 차기 교육과정 개정 시 성취기준을 좀 더 구체적으로 제시하거나, 현재 영역별로 제시되고 있는 학습 요소에 대해 각각의 학습 요소가 처음으로 제시되는 성취기준을 제시하는 방안을 고려해볼 수 있다. 또한교과서나 지도서에서 필수 학습 내용과 부가적인 학습 내용에 대한 구분을 명확하게 하고, 해설서를 제공하는 등 교사들이 성취기준을 해석하는 데 혼란이 없도록 해야 할 것이다. 또한 학교수준에서 성취기준을 기반으로 학생들의 이해도를 측정하기 위한 문항을 출제할 때, 각각의성취기준에서 다루어야 할 학습 내용과 학습 요소가 무엇인지 면밀하게 살펴보고 교사들 간의 협의가 이루어지도록 안내할 필요가 있다.

둘째, 함수, 기하, 확률과 통계 영역은 기초학력이 숙달한 것으로 분석된 성취기준이 없었다. 다시 말해 이 세 가지 영역은 기초수준의 학생들은 숙달하지 못하였다고 할 수 있는 것이다. 이 영역에서 다루는 내용들은 수와 연산과 문자와 식 영역에서 학습한 내용이 바탕이 되는 경우가 많기 때문에 학생들이 좀 더 어려워할 수 있다. 이처럼 대체로 2학기에 학습하는 영역의성취기준에 대한 학생들의 숙달도가 높지 않은 현상에 대한 원인을 파악할 필요가 있다. 이와 같이 세 가지 영역에 대한 학생들의 숙달도가 낮은 원인을 파악할 뿐만 아니라 본 연구에서 기초학력 학생들이 숙달하지 못한 것으로 나타난 성취기준 전반에 대한 이해도를 높이기 위한 교수 학습 방안을 마련할 필요가 있을 것이다.

셋째, 개념을 이해하는 성취기준의 숙달도가낮은 경우가 나타났다. 수학 교과에서 개념을 이해하는 것은 통상적으로 가장 기본적인 것으로 보고, 성취기준 순서상으로 앞쪽에 배치되는 경향이 있다. 따라서 개념을 이해하는 성취기준을숙달하지 못하면 이후 관련 성취기준들에 대한 학습에 영향을 미칠 가능성이 높기 때문에 교수학습 방법에 있어서 개선이 요구된다. 본 연구에서 개념에 대한 이해가 낮게 나타난 성취기준에 대한 답지 반응을 살펴본 결과, 특정 개념이 적용되는 다양한 상황을 해석하는 과정에서 복잡한 사고가 요구되는 경우 학생들의 숙달도가 낮은 경향이 있었다. 즉, 개념을 설명할 때 제시되는 다양한 예시들이 가지는 의미에 대해 학생들이 이해할 수 있도록 세밀한 안내가 필요한 것이다. 따라서 개념 이해에 관한 성취기준 중 숙달도가 낮게 나타난 성취기준에 대해 해당 개념을 지도할 때 제시하는 예시, 지도 방법, 교과서제시 방식 등에 대한 개선이 요구된다.

한 시기의 교육과정이 동일하게 적용된 학업성취도 평가 결과를 바탕으로 학업성취 특성 및 추이 변화를 분석하는 것은 차기 교육과정의 준비, 교수학습 방법 개선, 각종 교육 정책 수립등을 위한 근거 자료를 마련 할 수 있다는 점에서 그 가치가 크다고 할 수 있다. 즉 2009 개정교육과정이 적용된 4년간(2015-2018년)의 학업성취도 평가 결과를 바탕으로 성취기준에 대한 숙달도를 분석한 본 연구의 결과는 향후 교육과정 개정뿐만 아니라 교수ㆍ학습 개선을 위한 방안을 마련하는 데 활용될 수 있을 것이다.

1) 이 논문은 한국교육과정평가원에서 수행한「국가수준 학업성취도 평가 결과에 기반한 2009 개정 교육과정의 학업성취 특성 및 추이 분석(Ku et al., 2019)」의 내용 중 일부를 수정 보완한 것임.

2) 학업성취도 평가는 연도 간 검사의 동등화와 점수 척도화를 위해 비공개 가교 문항이 출제되고 있음.

3) 학업성취도 평가 출제 범위(Table 1. 참조)에 해당하는 2009 개정 중학교 수학과 교육과정의 성취기준 수는 총 64개이며, 이 중 비공개 문항이 출제된 8개를 제외한 56개의 성취기준을 연구 대상으로 함.

4) 4: 매우 동의한다, 3: 동의한다, 2: 동의하지 않는다, 1: 전혀 동의하지 않는다.

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Article

전자저널 논문

2020; 30(3): 553-573

Published online August 31, 2020 https://doi.org/10.29275/jerm.2020.08.30.3.553

Copyright © Korea Society of Education Studies in Mathematics.

Analysis of Middle School Students’ Proficiency of Mathematics Curriculum Achievement Standards

Jihyun Park

* Research Fellow, Korea Institute for Curriculum and Evaluation, South Korea, pjh210@kice.re.kr

Correspondence to:1) 이 논문은 한국교육과정평가원에서 수행한「국가수준 학업성취도 평가 결과에 기반한 2009 개정 교육과 정의 학업성취 특성 및 추이 분석(Ku et al., 2019)」의 내용 중 일부를 수정 보완한 것임.

Received: July 10, 2020; Revised: August 3, 2020; Accepted: August 16, 2020

Abstract

The purpose of this study was to examine the outcomes of the National Assessment of Educational Achievement (NAEA) 2015-2018 when the 2009 Revised National Curriculum was applied and suggested for future curriculum revisions. The characteristics of students’ academic achievement were analyzed based on the results of evaluating test items developed by the achievement standards of the 2009 Revised National Curriculum. The analysis showed that students’ academic achievement was low in the ‘Function’, ‘Probability and Statistics’, and ‘Geometry’ domain. In addition, many achievement standards could be mastered only by the above average group of students. Accordingly, it is necessary to reinforce customized teaching and learning activities in relation to achievement standards which were under achieved. To improve the achievement characteristics, it is necessary to specify detailed achievement standards and to strengthen the linkage between achievement standards.

Keywords: Mathematical achievement characteristics, Standards, Curriculum, National Assessment of Educational Achievement

I. 서론

교육과정은 교육의 방향을 설정하고, 그에 따라 학생들이 배워야할 내용과 그 범위를 제시한다(Hwang et al., 2020; Kim et al., 2015, p. 5). 수학과 교육과정은 이전 학년의 학습 내용이 다음 학년에서 학습의 기초가 되도록 설계되어 있다. 따라서 학교교육을 통해 가르쳐진 내용에 대한 학생들의 성취 여부를 교육과정 성취기준별로 면밀히 점검할 필요가 있다.

학교교육을 통해 실행된 수학 학습 내용에 대한 학생들의 성취 여부를 파악하기 위한 방안으로 국가 수준 및 학교 수준에서 다양한 학생평가가 실시되고 있다. 특히 ‘국가수준 학업성취도평가(이하 학업성취도 평가)’는 학생들의 성취특성을 파악하고, 국가 교육과정을 모니터링하는것을 주요 목적으로 삼는다. 이에 학업성취도 평가는 교육과정의 성취기준을 기반으로 평가 문항을 출제하고, 우리나라 전체 학생들을 대표할수 있도록 평가 대상을 표집하여 시행한다. 따라서 다년간의 학업성취도 평가 결과를 다각도로 분석함으로써, 교육과정에 대한 학생들의 숙달도를 구체적으로 파악할 수 있다.

학업성취도 평가는 2015년부터 2018년까지2009 개정 교육과정이 적용되었으며, 2019년에는고등학교 평가부터 2015 개정 교육과정으로 전환되었다. 학업성취도 평가가 국가 수준에서 시행되는 교육과정 기반의 평가라는 점을 고려할 때, 한 시기의 교육과정에 대한 적용이 마무리되는 시점에서 해당 교육과정이 적용된 학업성취도 평가 결과를 기반으로 실행된 교육과정에 대한 학생들의 성취 여부를 파악하는 것은 의미가 있다. 그러므로 학교 교육에 2009 개정 교육과정의 적용이 마무리되는 현 시점에서 2009 개정교육과정이 적용된 4년간의 학업성취도 평가를 종합하여, 수학과 성취기준별로 학생들의 숙달도를 파악하고 2009 개정 교육과정 시기의 교육성과를 점검하는 것이 요구된다.

그간 수학과 학업성취도 평가 결과를 활용하여 학생들의 성취도를 분석하는 다양한 연구 (Kim et al., 2012; Kim et al., 2013; Lee, 2018)가수행되어 왔다. 이와 같은 연구들은 대부분 전체또는 성취수준 단별로 학생들의 성취도와 그 추이 변화를 파악하는 것이다. 이러한 연구 결과는 학생들의 성취 특성을 전반적으로 이해하는 데 도움이 될 수 있으나, 교육과정의 성취기준별로 학생 성취도를 상세하게 파악하기 위해서는 문항 특성과 연계한 심층적인 분석이 필요하다.

따라서 본 연구에서는 2009 개정 교육과정이적용된 2015년부터 2018년까지 시행된 학업성취도 평가 결과를 바탕으로 2009 개정 중학교 수학과 교육과정의 영역별로 성취기준에 대한 학생들의 숙달도를 분석하고자 한다. 이를 위해2009 개정 중학교 수학과 교육과정의 성취기준중 학업성취도 평가 출제 범위에 해당하는 성취기준과 관련 학업성취도 평가 문항을 연계하고, 각 성취기준별로 문항 특성 및 학업성취도 평가 결과를 종합적으로 분석하여 성취수준 집단별 성취기준 숙달 여부를 살펴보았다.

II. 이론적 배경

1. 학업성취도 평가 결과를 활용한 수학성취도 점검

수학과 교육과정에 제시된 학습 내용을 학교교육을 통해 학생들이 잘 이해하는 것은 수학교육의 가장 중요한 목표라 할 수 있다. 따라서 효과적인 수학교육을 위해서는 교육과정에 대한 학생들의 도달도를 지속적으로 파악하고 이를 바탕으로 개선점을 마련해야 한다. 이에 학교교육을 통해 실현된 학생들의 수학 학업 성취 특성을 파악하기 위한 다양한 평가들이 시행되고 있다. 특히 국제 또는 국가 수준에서 시행되는 대규모 평가 결과는 학생 개인의 학업 성취를 파악하는 것뿐만 아니라 우리나라 학생 전체의 성취 특성을 확인하는데 유용하게 활용할 수 있다.

우리나라에서 시행되는 대표적인 대규모 학생평가라 할 수 있는 학업성취도 평가는 “(국가의교육) 책무성과 교육의 질 관리를 위하여 교육성취도를 점검하고 이에 영향을 미치는 교육체제 변인과의 관계를 파악하여 교육의 개선점을 도출(Kim et al., 1998, p. 9)”하는 것을 목적으로한다. 이를 위해 학업성취도 평가에서는 국가 교육과정에 기반하여 학생들의 성취 특성에 대한 자료를 수집한다. 따라서 학업성취도 평가 결과를 활용하면 수학과 교육과정에 대한 우리나라 학생들의 전반적인 성취 특성을 파악할 수 있다.

수학 교과에 대한 학업성취도 평가는 2000년에 시작되었으며, 현재 중 고등학생을 대상으로시행되고 있다. 이를 통해 다년간 축적된 학업성취도 평가 결과를 바탕으로 학생들의 수학 성취 특성의 변화를 파악하는 다양한 연구(Kim et al., 2012; Kim et al., 2013; Lee, 2018)가 수행되어왔다. Kim et al.(2012)은 학업성취도 평가의 수학과 내용 영역을 세분화하여 문항군을 구성하고, 2010년과 2011년 수학 학업성취도 평가의 문항 반응 자료를 기반으로 각 문항군에 대한 학생들의 성별 지역규모별 성취도 차이를 살펴보았다. 이 연구에 따르면 초등학교와 중학교는 여학생의 수학 성취도가 높은 문항군이 많은 반면, 고등학교는 대부분의 문항군에서 남학생의 수학 성취도가 높게 나타나는 특성이 있었다. 또한 지역규모별로는 대체로 대도시-중소도시-읍면지역순으로 수학 성취도가 높게 나타나는 경향이 있었다. Kim et al.(2013)은 2007 개정 교육과정이적용된 2010∼2012년 중학교 3학년의 학업성취도 평가 결과를 활용하여 수학 학업성취 특성 변화 추이를 분석하였다. 3년 동안 출제된 성취기준을 선별하고, 이 성취기준에 대해 출제된 문항을 분류하여, 성취수준별로 3년 연속 대표문항선정 기준을 통과한 수학과 성취기준을 분석하였다. 이 연구에서 인수분해의 뜻에 관한 성취기준은 중학교 3학년의 우수학력도 숙달하지 못한것으로 나타났다. 또한 Lee(2018)는 2007 개정교육과정이 적용된 2010-2014년 고등학교 수학학업성취도 평가의 대표문항 정보를 기반으로 3년 이상 선다형 문항이 출제된 성취기준에 대해 성취수준 집단별 성취 특성을 분석하였다.

이와 같이 다년간의 학업성취도 평가 결과를 기반으로 종합적인 분석을 실시한 선행 연구 결과는 다년간 축적된 학업성취도 평가 결과 자료가 국가 수준에서 한 시기의 교육과정에 대한 학생들의 학업성취 특성을 종합적으로 파악하는 데 유용하게 활용될 수 있음을 시사한다. 그러나 선행 연구들은평가 결과를 분석하거나 해석하는 과정에서 문항 형식에 따른 난이도나 문항에서 측정하는 내용의 해당 성취기준에 대한 대표성 등과 같은 평가 문항이 가지는 자체적인 속성까지 종합적으로고려하여 분석하지는 않았다.

문항이 측정하는 내용 범위, 문항 유형이나 형식의 구성에 따른 난이도 등과 같이 문항 자체에 포함되어 있는 속성들은 평가 결과에 직접적인 영향을 줄 수 있는 요인이 될 수 있다. 따라서 학업성취도 평가 결과에 기반하여 학생들의 성취도를 좀 더 면밀하게 파악하기 위해서는 이러한 속성들을 종합적으로 고려할 수 있는 분석 기준을 설정하고 이를 바탕으로 평가 결과를 해석하는 연구를 수행할 필요가 있다.

2. 2009 개정 교육과정 기반 학업성취도평가에 따른 수학 성취도 변화 추이

2019년은 2009 개정 교육과정에 따른 학업성취도 평가가 마무리되고 2015 개정 교육과정 체제로의 전환이 시작되는 교육과정 전환기에 해당한다. 따라서 2015년부터 2018년까지의 학업성취도 평가는 2009 개정 교육과정을 기반으로 시행되었으며, 이 결과를 활용하여 2009 개정 교육과정의 성과를 확인하고, 차세대 교육과정 개발을 위한 시사점을 마련할 수 있다.

2009 개정 교육과정에 따른 학업성취도 평가에서는 평가시기(6월)를 고려하여 중학교 수학과의출제 범위를 중학교 1, 2학년 전 범위 및 중학교3학년 1학기 내용으로 한정하였다. 이에 따라 교육과정의 중학교 3학년 내용 중 수와 연산 영역전체와 문자와 식 영역의 ‘다항식의 인수분해’까지 출제되었고, 함수, 확률과 통계, 기하 영역의내용은 다루어지지 않았다(Table 1. 참조).

Table 1 . Evaluation factors for 2015-2018 NAEA based on 2009 Revised Curriculum.

영역평가 요소
수와 연산소인수분해, 최대공약수와 최소공배수, 정수와 유리수의 개념, 정수와 유리수의 대소 관계, 정수와 유리수의 사칙연산, 순환소수, 유리수와 순환소수의 관계, 제곱근의 뜻과 성질, 무리수, 실수의 대소 관계, 근호를 포함한 식의 사칙계산
문자와 식문자의 사용, 식의 값, 일차식의 덧셈과 뺄셈, 일차방정식, 지수법칙, 다항식의 덧셈과 뺄셈, 다항식의 곱셈과 곱셈공 식, 다항식의 나눗셈, 등식의 변형, 연립일차방정식, 부등식의 성질과 일차부등식, 연립일차부등식, 인수분해
함수함수의 개념, 순서쌍과 좌표, 함수의 그래프, 일차함수의 의미와 그래프, 일차함수의 활용, 일차함수와 일차방정식의 관계, 이차함수의 의미, 이차함수의 그래프의 성질
확률과 통계줄기와 잎 그림, 도수분포표, 히스토그램, 도수분포다각형, 도수분포표에서의 평균, 상대도수의 분포 경우의 수, 확률의 뜻과 기본 성질, 확률의 계산
기하점, 선, 면, 각, 점 직선 평면 사이의 위치 관계, 평행선의 성질, 삼각형의 작도, 삼각형의 합동 조건, 다각형의 성질, 부채꼴에서 중심각과 호의 관계, 부채꼴에서 호의 길이와 넓이, 다면체, 회전체의 성질, 입체도형의 겉넓이와 부피, 이등변 삼각형의 성질, 삼각형의 외심과 내심, 사각형의 성질, 닮은 도형의 성질, 삼각형의 닮음 조건, 평행선 사이에 있는 선분의 길이와 비, 닮은 도형의 성질 활용

※ 출처: Ministry of Education and Science Technology(2011), Yang et al.(2018)
.



학업성취도 평가 결과로 성취도 점수와 성취수준별 비율 등이 산출되며, 이를 바탕으로 학생들의 수학 성취도 변화 추이를 파악할 수 있다. 2009 개정 교육과정에 따른 학업성취도 평가에서 성취도 점수의 경우 IRT 기반의 총점 점수화방법을 적용하여 원점수를 평균 200점, 표준편차30점, 범위 50~350점의 척도점수(scaled score)로변환한다(Kim et al., 2016, pp. 10-11). 이를 바탕으로 교육과정 내용에 대한 도달 정도에 따라 학생의 성취수준을 우수학력, 보통학력, 기초학력, 기초학력 미달의 4가지로 구분하는데, 이는준거참조평가(criterion-referenced assessment)로서학업성취도 평가의 특징을 나타내는 것이다.

이러한 점수 체제를 기반으로 2015년부터2018년까지 산출된 중학생의 수학 성취수준 집단별 비율을 분석한 결과는 Table 2와 같다. 이를 통해 4년간의 비율 변화를 살펴보면, 우수학력의 경우 2015년(18.8%), 2016년(19.9%), 2017년(17.9%)로 3년 동안 비교적 소폭의 변화를 보이다가 2018년에는 22.7%로 증가한 것을 알 수 있다. 보통학력의 경우 2015년(47.4%), 2016년(48.4%), 2017년(49.7%)으로 소폭이나마 지속적으로 증가하는 경향을 보이다가 2018년 39.6%로10%p 이상 크게 감소하였으며, 기초학력은 2015년(29.2%), 2016년(26.8%), 2017년(25.3%)으로 소폭 감소하는 경향이 나타났다. 마지막으로 기초학력 미달의 경우 2015년(4.6%)과 2016년(4.9%)에 5% 미만이었으나 2018년(11.1%)에 10% 이상으로 증가하였다. 즉, 2009 개정 교육과정이 적용되는 동안 중학생의 수학에 대한 성취 특성의 변화를 살펴보면, 우수학력과 기초학력 미달이증가하고, 보통학력과 기초학력이 감소하는 경향이 있음을 알 수 있다.

Table 2 . The trend of the middle school students rate of achievement level from 2015 to 2018 단위(%).

연도2015201620172018
성취수준
우수학력18.819.9▴17.9(0.78)▾22.7(0.82)▴
보통학력47.448.4▴49.7(0.55)▴39.6(0.52)▾
기초학력29.226.8▾25.3(0.65)▾26.6(0.69)
기초학력 미달4.64.9▴7.1(0.32)▴11.1(0.41)▴

* 표집 시행으로 전환된 2017년과 2018년의 경우( ) 안에 표준오차를 제시함.

†▴ : 전년 대비 유의하게 높음.

▾ : 전년 대비 유의하게 낮음.

※ 출처: Yang et al.(2018, p. 20)를 바탕으로 2018년 자료를 분석하여 추가함.



또한 수학과 학업성취도 평가에서는 각각의 평가 문항에 대해 성취수준 집단별로 정답률을 산출한다. 이 결과를 바탕으로 특정 문항에 대해정답률이 70% 이상인 집단 중 가장 낮은 학력집단을 선정하고, 해당 문항을 가장 낮은 학력집단의 대표문항으로 제시한다(Lee et al., 2014, p. 128). 예를 들어 어떤 문항에서 우수학력과 보통학력 집단의 정답률이 70%를 넘고, 기초학력집단의 정답률이 70% 미만인 경우, 이 문항은보통학력 대표문항이 된다. 대표문항 선정 과정에서 일부 문항은 모든 학력 집단의 정답률이70% 미만으로 나타나 어떤 학력의 대표문항도되지 못하는 경우도 있다. 이와 같은 성취수준별대표문항 정보를 활용하면 교육과정에 대한 학생들의 이해도를 개괄적으로 파악할 수 있다.

학업성취도 평가에서 2009 개정 교육과정에 따라 4년간(2015-2018년) 출제된 문항 중 공개된2)문항은 총 107개이다. 이 문항 중 수학과 내용 영역별로 각 성취수준 집단의 대표문항 수를 정리한 결과는 Table 3과 같다. 우수학력, 보통학력,기초학력 모두 70% 이상의 정답률을 나타내 기초학력 대표문항으로 선정된 문항은 총 6개로 전체의 5.6%에 불과하였다. 반면 우수학력 집단만정답률이 70% 이상으로 나타나 우수학력 대표문항으로 선정된 문항은 총 45개로 전체의 42.1%이었다. 더불어 모든 집단의 정답률이 70%에 미치지 못해 특정 학력의 대표문항이 되지 못한 문항은 11개로 10.3%에 해당하였는데, 이중 다수가기하 영역의 문항(7개, 6.5%)인 것으로 나타났다.즉, 우수학력 이상의 상위수준 집단만 정답률이 높게 나타나 많은 학생들이 해결하는 데 어려움을 겪었다고 볼 수 있는 문항의 비율이 전체의 50% 이상인 것으로 알 수 있다. 특히, 함수 영역과 기하 영역은 각 영역에서 출제된 문항 중 우수학력 이상의 상위수준 대표문항이 절반 이상으로 나타나 이 두 영역에 대한 학생들의 교육과정 이해도를 면밀히 살펴볼 필요가 있음을 알 수 있다.

Table 3 . Distribution of representative item by content domain according to the evaluation results of 2015-2018 NAEA.

영역성취수준별 대표문항 수특정 학력 대표문항으로 선정되지 못한 문항 수
기초학력보통학력우수학력
수와 연산1(0.9%)7(6.5%)6(5.6%)-(0.0%)
문자와 식2(1.9%)15(14.0%)11(10.3%)1(0.9%)
함수1(0.9%)5(4.7%)8(7.5%)1(0.9%)
확률과 통계-(0.0%)9(8.4%)5(4.7%)2(1.9%)
기하2(1.9%)9(8.4%)15(14.0%)7(6.5%)
6(5.6%)45(42.1%)45(42.1%)11(10.3%)


이러한 결과는 학생들의 성취도에 대한 개괄적인 현황을 알려주지만 각 문항이 다루는 내용이나 문항 유형에 따른 난이도 등을 고려하지 않았기 때문에, 학습 내용과 연계하여 학생들의성취도를 구체적으로 해석하기에는 어려움이 있다. 따라서 수학과 교육과정에 제시된 내용에 대한 학생들의 숙달도를 점검하기 위해서는 성취기준 단위로 학업성취도 평가 결과에 대한 체계적인 분석과 심층적인 해석이 요구된다.

III. 연구 방법

본 연구에서는 학업성취도 평가 결과를 활용하여 2009 개정 중학교 수학과 성취기준별로 학생들의 숙달도를 살펴보고자 하였다. 이를 위해각 성취기준별로 해당하는 학업성취도 평가 문항과 평가 결과를 연계하고, 각각의 문항이 가지는 특성과 평가 결과를 종합적으로 분석하여 성취기준에 대한 성취수준 집단별 숙달 여부를 파악하였다. 이때 수학교육 전문가 및 교사로 구성된 포커스 그룹을 대상으로 성취기준 숙달 여부 분석 결과에 대한 타당성 검증을 실시하였다.

1. 성취기준 숙달도 분석 대상 및 절차

가. 분석 대상

2009 개정 수학과 교육과정의 성취기준에 대한 중학생의 숙달도를 분석하기 위해 2015년부터 2018년까지 4년간 2009 개정 교육과정을 적용하여 출제된중학교 수학과 학업성취도 평가 문항과 이에 대한 평가 결과를 분석 대상으로 설정하였다. 2015-2018년학업성취도 평가에 출제된 중학교 수학과 문항 중 공개된 문항과 이 문항들이 측정하고 있는 2009 개정 교육과정의 성취기준을 연결하여 중학교 수학 5개 내용 영역별로 분류한 결과는 Table 4와 같다.

Table 4 . Ths frequency of NAEA items and standards by content domain.

영역출제 문항출제 성취기준
빈도(개)비율(%)빈도(개)비율(%)
수와 연산1413.1916.1
문자와 식2927.11832.1
함수1514.0814.3
확률과 통계1615.058.9
기하3330.81628.6
107100.056100.0


2015년부터 2018년까지 학업성취도 평가에 출제된 중학교 수학과 문항 중 공개 문항을 정리하면 107개이며, 이 문항에 해당하는 교육과정의성취기준 수는 56개3)였다. 특히 문자와 식 및기하 영역의 문항 수 및 출제 성취기준 수가 다른 영역에 비해 많았다. 교육과정에 기반하여 출제하는 학업성취도의 특성상 수학과 교육과정에서 이 두 가지 영역에 해당하는 성취기준의 수가 다른 영역에 비해 많은 것이 출제에 반영되어 있음을 알 수 있다.

나. 분석틀

성취수준 집단별 숙달 여부 분석을 위해 성취기준에 따른 평가 문항은 Table 5와 같이 크게 3가지 유형(A, B, C)으로 분류하고, 각 유형별 하위 유형으로 나누어 살펴보았다. 첫 번째 유형은특정 성취기준에 해당하는 평가 문항들의 성취수준별 대표문항 정보가 동일한 경우(A)로 문항이 1개만 출제된 경우(A-1)와 2개 이상 출제된경우(A-2)로 구분하였다. 두 번째 유형은 특정성취기준에 해당하는 평가 문항들의 성취수준별대표문항 정보가 상이한 경우(B)이다. 대표문항정보가 상이하게 나타날 수 있는 요인을 문항내용과 형식을 중심으로 4가지로 분류하여 하위유형을 B-1∼4로 설정하였다. 세 번째 유형은 성취수준 집단별 숙달 여부에 대한 판단이 불가한경우(C)로 특정 성취기준에 대한 문항이 공개되지 않아 활용할 수 없거나(C-1), 출제된 문항이측정하는 내용이 여러 성취기준에 걸쳐있거나특정 성취기준의 일부 내용만 다루고 있어 분석이 어려운 경우(C-2, C-3)에 해당한다.

Table 5 . Analysis framework for analysis of NAEA results by standards.

코드설명세부코드설명
A특정 성취기준에 해당하는 평가 문항들의 성취수준별 대표문항 정보가 동일한 경우A-1문항이 2개 이상 출제된 경우: 해당 대표문항 정보를 활용함
A-2문항이 1개 출제된 경우: C-3의 경우를 제외하고, 해당 대표문항 정보를 활용함
B특정 성취기준에 해당하는 평가 문항들의 성취수준별 대표문항 정보가 상이한 경우B-1문항별로 평가하는 내용의 범위가 다른 경우. 성취기준의 내용을 더 포괄하는 문항에 가중치를 두어 판단함.
B-2문항별로 평가하는 내용 요소가 서로 다른 경우(포함관계가 아니라 병렬적인 경우)
B-3문항 내용 측면에서 난이도에 차이가 있는 경우
B-4문항 형식 측면(문항 구성, 자료 및 답지 제시, 문항 유형 등)에서 난이도에 차이가 있는 경우
C판단 불가C-1성취기준에 해당하는 출제 문항이 없는 경우(성취기준에 대해 비공개 문항만 출제된 경우 포함)
C-2출제된 문항만으로 성취기준 숙달 여부를 판단하기 어려운 경우(예: 출제 내용이 지엽적인 경우)
C-3출제된 모든 문항이 대상 성취기준뿐만 아니라 다른 성취기준의 내용이 포함되어 있어 어떤 성취기준의 영향으로 결과가 도출되었는지 판단하기 어려운 경우


다. 분석 절차

2009 개정 수학과 교육과정의 성취기준과 2015~2018년에 출제된 학업성취도 평가 문항을연계한 후 문항별 평가 결과(문항 유형, 행동영역, 정답률, 대표문항 정보)를 정리하였다(Table 6. 예시 참조). 이 때, 서답형은 하위 문항 단위로 구분하였고, 성취기준과 문항을 연결하는 과정에서 어떤 문항의 내용이 두 가지 성취기준에걸쳐 있어 어떤 성취기준의 영향으로 평가 결과가 도출되었는지 판단하기 어려운 문항은 분석에서 제외하였다.

Table 6 . The example of 2015-2018 NAEA item information by standards of 2009 revised curriculum.

성취기준연도 (문항번호)행동 영역정답률(%)대표문항정보
① 거듭제곱의 뜻을 안다.----
② 소인수분해의 뜻을 알고, 자연수를 소인수분해 할 수 있다.2017(1)이해81.28보통
2016(1)이해89.78기초
③ 최대공약수와 최소 공배수의 성질을 이해 하고, 이를 구할 수 있다.2018 (서3-1)추론48.86우수
2018 (서3-2)추론39.12우수
④ 최대공약수와 최소 공배수를 활용하여 여러 가지 문제를 해결 할 수 있다.2017(27)문제해결33.75우수
2016(27)문제해결53.88우수
2015(10)문제해결57.88우수


이와 같이 정리한 교육과정 성취기준별 학업성취도 평가 문항 정보를 기반으로 하여 각각의 성취기준별로 성취수준 집단별 숙달 여부에 대한 분석을 실시하였다(2019.5.1./5.3.). 이때 한 성취기준과 관련된 평가 문항의 측정 내용과 유형을 구분하고(Table 5. 참조), 이를 종합적으로 고려하여 수학교육 전문가 및 교사 3명이 평가 결과를 분석하였다. 특히 B유형은 대표문항 정보가 상이한 여러 문항 중 성취기준에 대한 숙달여부를 측정할 수 있는 대표적인 문항을 선정한 후 이 문항에 대한 정보를 중심으로 숙달 여부를 판단하였다.

2. 성취기준 숙달도 분석 내용에 대한 타당성 검증

2015-2018년 학업성취도 평가 문항을 분석하여 성취기준별로 숙달 집단을 판정한 결과는 전문가 집단의 질적인 해석과 판단에 따라 결정되었다. 따라서 전문가 집단의 분석 결과에 대한타당성을 확보하기 위하여 수학교육 전문가 및 중학교 교사로 구성된 10명의 포커스 그룹을 설정하고 출제된 문항들의 대표문항 정보가 상이한 B유형의 문항 특성 분석 결과에 대해 타당성검증을 실시하였다(2019.5.13.).

포커스 그룹은 학업성취도 평가 출제 및 검토, 교육과정 관련 연구 등에 참여한 경험이 있는 중학교 교사 및 수학교육 전문가로 구성하였다. 포커스 그룹을 대상으로 분석틀에 따른 판단 기준 설정 및 성취수준별 숙달 여부 분석 결과에 대한 동의 정도를 리커트 4점 척도4)로 조사하였고, 동의하지 않는 경우 그 이유를 구체적으로작성하도록 하였다. 분석 결과에 대한 포커스 그룹의 동의 정도를 바탕으로 타당성을 검증하기 위해 의견 조사 결과에 대한 척도 평균, 내용타당도 비율(Content Validity Ratio: CVR), 합의도(Degree of consensus)를 산출하였다. 이때 내용타당도 비율(CVR)은 전체 응답 대비 긍정 응답(타당하다, 매우 타당하다)의 비율로 산출하였고, 합의도는 75백분위(Q3), 25백분위(Q1), 중앙값(Mdn)을 이용하여 Table 7과 같이 구하였다.

Table 7 . Method of analysis.

구분분석 방법
내용타당도 비율(CVR)neN2N2
ne: 긍정 응답 사례 수
N: 전체 응답자 수
합의도1Q3Q1MdnQ1: 25 백분위
Q3: 75 백분위
Mdn: 중앙값

※ 출처: Lawshe(1975), Lee(2006)
.



내용타당도 비율(CVR)은 모든 응답이 긍정인경우 1, 긍정 응답이 절반인 경우 0으로 산출되며, 음수는 부정 응답이 절반 이상인 경우에 해당한다. 내용타당도가 확보되었다고 해석할 수있는 최솟값은 응답자 수에 따라 달라지는데, 본연구에서는 포커스 그룹을 10명으로 구성하였으므로, 내용타당도 비율(CVR)의 최솟값은 0.62이다(Lawshe, 1975, p. 568). 합의도는 0에서 1사이의 범위를 가지며, 1은 75백분위(Q3)와 25백분위(Q1)가 일치하는 경우로 1에 가까울수록 높게합의되었다고 볼 수 있다(Lee, 2006, p. 60).

내용타당도 비율(CVR) 및 합의도에 대한 분석결과를 검토하여 타당성이 검증되었다고 보기 어려운 성취기준에 대해서는 추가 전문가 검토(2019.7.31.)를 거쳤다. 이러한 분석 절차를 바탕으로 전문가 집단의 분석 과정에서 논의된 내용과 포커스 그룹이 제시한 의견을 종합적으로 고려하여 성취기준에 대한 학생들의 숙달도를 판정하였다.

IV. 연구 결과

1. 성취기준이 다루는 내용 범위에 대한 분석 결과

학업성취도 평가 문항의 특성과 교육과정 성취기준을 연계하여 학생들의 숙달도를 분석하는 과정에서 일부 성취기준이 다루는 필수 학습 내용의 범위에 대해 수학교육 전문가 및 교사들의 해석에 차이가 나타났다. 이러한 해석의 차이는교육과정을 적용하는 과정에서 혼란을 가져올 수 있기 때문에 구체적으로 살펴볼 필요가 있다. 본 연구에서 내용 영역별로 성취기준이 의미하는 필수 학습 내용의 범위에 대한 전문가 및 교사의 견해의 차이가 비교적 크게 나타난 성취기준과 각 성취기준의 내용 범위에 대해 전문가 협의를 통한 의견 조정 결과는 다음과 같다.

문자와 식 영역에서 성취기준 ‘일차식의 덧셈과 뺄셈의 원리를 이해하고, 그 계산을 할 수 있다.’는 일차식의 계산 과정에서 음의 부호를 곱하는 내용을 포함하고 있다. 본 연구에서 성취기준을 분석하는 과정에서 식의 계산에서 음의 부호를 곱하는 것을 문자와 식 영역에서 새롭게 학습하는 내용으로 보아야 하는지, 수와 연산 영역에서 이미 학습한 내용으로 보아야 하는지에 관해 의견에 차이가 있었다. Figure 1은 이 성취기준과 관련하여 2017년과 2018년에 출제된 학업성취도 평가 문항으로 2017년 문항은 음의 부호가 포함된 식의 계산이 포함되어 있고, 2018년문항은 포함되어 있지 않다. 평가 결과에 따르면 이 두 가지 유형의 문항은 기초학력의 정답률에서 큰 차이(15.37%p)를 보이고 있음을 알 수 있다. 교육과정 순서상으로 음수의 곱은 수와 연산영역에서 먼저 학습하게 되지만, 식의 계산에서음의 부호를 곱하는 것은 문자와 식 영역에서학습하게 된다. 본 연구에서는 식의 계산에서 음의 부호를 곱하는 것은 음수의 곱과는 다른 인지적 사고가 요구된다는 논의 결과에 따라, 수와연산에서의 음수의 곱에 대한 학습과 더불어 식의 계산에 관한 추가적인 학습이 필요한 것으로 보았다.

Figure 1. NAEA Items about calculation of polynomials

다음으로 함수 영역에서 성취기준 ‘다양한 상황을 표와 식으로 나타내고, 함수의 개념을 이해한다.’는 함수 여부에 대한 판단이 필요한 상황의 범위에 대한 의견에 차이가 있었다. 중학교에서 함수 여부에 대한 판단은 정비례를 비롯한 다양한 상황에서 이루어질 수 있는데, 2015-2018년학업성취도 평가에서는 함수의 예를 판단하는 선택지로 반비례 상황이 포함된 문항이 출제된 경우가 있었으며, 이러한 선택지에 대한 정답률이 떨어지는 경향이 있었다. 이 성취기준에서 함수의 개념을 이해하고 다양한 상황을 함수와 관련지어 해석하는 것을 요구한다고 보고, 반비례상황에서의 함수 여부에 대한 판단도 이 성취기준에서 요구하는 필수 학습 내용에 포함되는 것으로 판단하였다.

더불어 일차함수의 그래프에서 ‘기울기’의 개념이 성취기준 ‘일차함수의 의미를 이해하고, 그그래프를 그릴 수 있다.’의 필수 학습 내용인지에 대한 의견에 차이가 나타났다. 교과서에서 기울기는 일차함수의 의미와 그래프에서 다루어지는 경우도 있고, 일차함수의 그래프의 성질에서다루어지는 경우도 있다. 일차함수의 그래프의성질에서는 기울기의 부호에 따른 그래프 모양의 변화를 다루는 것이 주요한 학습 내용이다. 따라서 기울기의 개념을 ‘일차함수의 의미를 이해하고, 그 그래프를 그릴 수 있다.’에서 다루는필수 학습 내용으로 보는 것이 더 적절하다고 판단하였다.

기하 영역에서 성취기준 ‘다면체의 뜻을 알고, 그 성질을 이해한다.’의 경우 정다면체의 성질에대한 이해가 필수 학습 내용인지에 대한 논의가 있었다. 즉, 해당 성취기준을 숙달하기 위해서다면체의 성질뿐만 아니라 정다면체의 성질을 반드시 이해하여야 하는지에 대한 전문가들의 견해에 차이가 나타난 것이다. Figure 2의 2015년 19번 문항은 정다면체의 성질에 대한 이해를, 2018년 12번 문항은 다면체의 성질에 대한 이해를 측정하고 있다. 2009 개정 교육과정에 따른교과서를 살펴본 결과 정다면체의 성질에 대해 다루는 범위와 깊이가 상이한 것을 알 수 있었다.「2009 개정 교육과정에 따른 성취기준ㆍ성취수준」에서는 정다면체의 뜻과 성질에 대한 이해는 ‘상’에 해당하는 고난도의 학습 내용으로보고 있다(Ministry of Education and Science Technology, 2012, p. 47).

Figure 2. NAEA Items about polyhedron and regular polyhedron

이에 대해 전문가 협의를 거쳐 이 성취기준은 다면체의 성질을 이해하는 내용이 필수적이고, 정다면체의 성질에 대한 이해는 필수적이기보다는 심화적인 내용으로 보는 것이 적절하다고 판단하였다. 따라서 이 성취기준에 대한 학생들의성취수준을 측정하는 데 2018년 12번 문항이 더대표적인 것으로 보았다. 이 성취기준에 대한 성취수준 집단의 숙달 여부를 분석한 후 분석 결과에 대한 전문가 집단의 동의 여부를 조사한 결과, 내용타당도가 0.60으로 중학교 성취기준중 유일하게 0.62 미만으로 나타났다([부록] 참조). 이러한 결과는 정다면체의 성질을 중학교교육과정에서 필수 학습 내용으로 보아야 할 것인가에 대한 추가 논의가 필요하다는 것을 시사한다.

2. 성취기준별 숙달도 분석 결과

2018년 학업성취도 평가 결과에 따르면 기초학력에 미치지 못한 기초학력 미달 학생들은 전체의 11.1%이고, 우수학력 학생들은 전체의22.7%에 해당한다. 따라서 기초학력 학생들까지숙달한 것으로 나타난 성취기준은 90% 가량의학생들이 숙달한 것이라 할 수 있으므로 우리나라 학생들의 숙달도가 높은 것으로 보았다. 또한 우수학력 학생들만 숙달하였거나 우수학력 학생들도 숙달하지 못한 것으로 분석된 성취기준은 우리나라 학생들의 숙달도가 낮은 것으로 보았다. 2009 개정 중학교 수학과 교육과정의 내용영역별 숙달 집단의 분포와 각각의 성취기준에 대한 숙달도 분석 결과를 살펴보면 다음과 같다.

가. 중학교 수학과 교육과정 내용 영역별 성취 기준 숙달 집단 분포

본 연구에서 설정한 분석틀을 기반으로 2009 개정 교육과정의 64개 성취기준에 대해 각 성취기준별 출제 문항 내용을 분석한 결과는 다음과 같다. 먼저 특정 성취기준에 대해 출제된 평가문항의 대표문항 정보가 동일한 경우 중 판단 불가로 제외되지 않은 성취기준(A)은 20개(31.3%)였다. 다음으로 특정 성취기준에 대해 출제된 평가 문항의 대표문항 정보가 상이한 성취기준(B)은 33개(51.6%)로 나타났다. B유형의 성취기준에 대해서 포커스 그룹을 대상으로 성취수준 집단별 숙달 여부 분석 결과의 타당성을 조사한 결과는 [부록]과 같다. 조사 대상 성취기준에 대한 숙달 여부 분석의 동의 정도에 대한 응답 척도 평균은 3.4∼4였으며, 내용타당도(CVR)가 0.62 미만으로 나타난 1개 성취기준을 제외한 나머지 성취기준에 대해서는 내용타당도 (CVR) 0.80∼1, 합의도 0.81∼1로 나타나 분석결과는 대체로 타당한 것으로 나타났다. 또한 분석 대상 성취기준 중 판단 불가로 결정된 것은 총 11개(17.2%)이다. 공개 문항 중 출제된 문항이 없는 경우(C-1)가 8개, 문항이 출제되었으나 해당 문항의 평가 내용이 지엽적으로 성취기준 내용의 일부만 다루고 있어서 성취기준에 대한 숙달 여부를 판단하기 어려운 경우(C-2)가 3개였다. C-2 유형의 3개 성취기준은 모두 기하 영역에 해당하였는데, 이는 특정 성취기준이 다양한개념을 포함하고 있는 기하 영역의 특성에 기인한 것으로 볼 수 있다. 또한 한 성취기준에 대해출제된 모든 문항이 다른 영역의 내용과 융합되어 있는 경우(C-3)는 없었으나, 일부 문항이 다른 영역의 내용과 융합된 경우가 나타나 이러한 문항은 제외하였다.

2015-2018년의 학업성취도 평가 결과를 통해 2009 개정 중학교 수학과 교육과정의 성취기준별로 숙달한 성취수준 집단을 분석한 결과를 바탕으로 최하 학력 집단의 분포 제시하면 Table 8과 같다. 2009 개정 중학교 수학과 교육과정의 성취기준 중 우수학력도 숙달하지 못하여 숙달 집단이 없는 것으로 분석된 성취기준은 1개(1.6%)였으며, 우수학력 학생들까지 숙달한 성취기준은 22개(34.4%), 보통학력 학생들까지 숙달한 성취기준은 26개(40.6%)로 나타났다. 기초학력 학생들까지 숙달한 성취기준은 4개(6.3%)로나타나 전체 성취수준에서 차지하는 비중이 적은 편이었으며, 함수, 확률과 통계, 기하 영역의경우 기초학력 학생들까지 숙달한 성취기준은 없었다. 즉, 분석 대상 성취기준 중 30% 이상이우수학력 이상의 학생들만 숙달한 것으로 나타났으며, 기초학력까지 숙달한 성취기준은 10% 미만인 것으로 나타나 수학과 교육과정의 구성및 실행과 관련하여 학생들의 이해도 제고가 필요할 것으로 보인다.

Table 8 . Lowest group distribution among mastery groups of standards by content domain for 2009 revised curriculum.

영역기초학력보통학력우수학력숙달 집단 없음판단 불가
빈도비율빈도비율빈도비율빈도비율빈도비율빈도비율
수와 연산18.3%325.0%433.3%00.0%433.3%12100.0%
문자와 식315.0%1260.0%420.0%00.0%15.0%20100.0%
함수00.0%111.1%666.7%111.1%111.1%9100.0%
확률과 통계00.0%350.0%233.3%00.0%116.7%6100.0%
기하00.0%741.2%635.3%00.0%423.5%17100.0%
46.3%2640.6%2234.4%11.6%1117.2%64100.0%


나. 중학교 수학과 교육과정 성취기준별 성취 수준 집단의 숙달 여부 분석

(1) 수와 연산 영역

중학교 수와 연산 영역은 정수, 유리수, 실수의 개념과 사칙연산을 다룬다. 수와 연산 영역의성취기준에 대한 성취수준 집단별 숙달 여부 분석 결과는 Table 9와 같다. 수와 연산 영역에서는 소인수분해의 뜻에 대한 이해와 자연수를 소인수분해하는 내용에 대해 기초학력 학생들까지도 숙달한 것으로 나타났다.

Table 9 . Results of proficiency group analysis in Number and Operations domain.

구분성취기준숙달 여부
우수보통기초
(1) 소인수 분해① 거듭제곱의 뜻을 안다.-
② 소인수분해의 뜻을 알고, 자연수를 소인수분해 할 수 있다.vvv
③ 최대공약수와 최소공배수의 성질을 이해하고, 이를 구할 수있다.v
④ 최대공약수와 최소공배수를 활용하여 여러 가지 문제를 해결할 수 있다.v
(2) 정수와 유리수① 정수와 유리수의 개념을 이해한다.v
② 정수와 유리수의 대소 관계를이해한다.vv
③ 정수와 유리수의 사칙계산의 원리를 이해하고, 그 계산을 할수 있다.vv
(3) 유리수와 순환소수① 순환소수의 의미를 이해한다.-
② 유리수와 순환소수의 관계를이해한다.v
(4) 제곱근과 실수① 제곱근의 뜻을 알고, 그 성질을 이해한다.-
② 무리수의 개념을 이해한다.-
③ 실수의 대소 관계를 이해한다.vv
(5) 근호를 포함한 식의 계산① 근호를 포함한 식의 사칙계산을 할 수 있다.vv

†v : 해당 성취수준 집단이 숙달함.

‡- : 숙달 여부 판단이 불가함.



반면 최대공약수와 최소공배수의 성질과 활용은 우수학력 학생들 까지만 숙달하여 학생들의 숙달도가 낮았다. 최대공약수와 최소공배수의 개념은 초등학교에서부터 다루어지는 개념임에도 불구하고, 보통학력 이하의 학생들은 소인수분해에 대한 이해가 최대공약수 및 최소공배수에 대한 학습으로 이어지는데 어려움이 있음을 알 수 있다. 따라서 교과서 제시 방식이나 교수학습 과정 등에서 초등학교 때 학습한 최대공약수 및 최소공배수 개념, 중학교에서 학습한 소인수분해개념 등과 연계가 적절하게 이루어지고 있는지 점검이 필요할 것으로 보인다.

또한 수 체계에서 수의 개념과 관련된 정수와 유리수의 개념, 유리수와 순환소수의 관계에 대해 우수학력만 숙달한 것으로 나타났다. 반면 대소 관계, 사칙 계산 등과 관련된 성취기준은 보통학력까지 숙달한 것을 알 수 있다. 통상적으로수학 개념에 대한 학습이 선행되어야 계산이나 비교와 같은 기능을 익힐 수 있을 것이라 생각된다. 그러나 본 연구의 결과를 고려할 때, 수체계에 대한 개념 학습 내용에 비해 수의 계산이나 대소 비교와 같은 기능을 학습할 때 다루어지는 내용의 범위가 좁거나 난도가 낮을 수 있을 것으로 보인다.

더불어 3학년 학습 내용에 비해 1, 2학년 개념학습 내용의 이해도가 떨어지는 현상을 확인할 수 있다. 이를 고려할 때, 1, 2학년 개념 학습 내용에 대한 교과서 제시 방법이나 교수학습 방법을 개선할 수 있는 방안을 마련할 필요가 있다.

(2) 문자와 식 영역

2009 개정 교육과정의 중학교 문자와 식 영역은 문자의 사용과 식의 계산, 일차방정식/연립일차방정식, 일차부등식/연립일차부등식, 인수분해를 다룬다. 문자와 식 영역의 성취기준에 대한성취수준 집단별 숙달 여부 분석 결과는 Table 10과 같다. 문자와 식 영역에서는 식의 값 구하기, 다양한 상황을 이용하여 일차방정식 및 일차부등식과 그 해의 의미 이해하기에 대해 기초학력 학생들까지도 숙달한 것으로 분석되어, 학생들의 숙달도가 높다고 볼 수 있다.

Table 10 . Results of proficiency group analysis in Variable and Expresstions domain.

구분성취기준숙달 여부
우수보통기초
(1) 문자 의 사용 과 식의 계산① 다양한 상황을 문자를 사용한식으로 간단히 나타낼 수 있다.vv
② 식의 값을 구할 수 있다.vvv
③ 일차식의 덧셈과 뺄셈의 원리를이해하고, 그 계산을 할 수 있다vv
(2) 일차 방정식① 다양한 상황을 이용하여 일차방정식과 그 해의 의미를 이해한다.vvv
② 등식의 성질을 이해하고 일차방정식을 풀 수 있다.vv
③ 일차방정식을 활용하여 다양한 실생활 문제를 해결할 수 있다.vv
(3)식의 계산① 이차식의 덧셈과 뺄셈의 원리를 이해하고, 그 계산을 할 수 있다.vv
② 지수법칙을 이해한다.vv
③ 다항식의 곱셈의 원리를 이해하고, 곱셈공식을 유도할 수 있다.vv
④ 다항식의 나눗셈의 원리를 이해하고, 그 계산을 할 수 있다.vv
⑤ 간단한 등식을 변형할 수 있다.vv
(4)미지 수가 2 개인 연립 일 차 방정식① 미지수가 2개인 일차방정식과 그 해의 의미를 이해한다.-
② 미지수가 2개인 연립일차방정 식과 그 해의 의미를 이해하고, 이를 풀 수 있다.vv
③ 미지수가 2개인 연립일차방정 식을 활용하여 다양한 실생활 문제를 해결할 수 있다.v
(5)일차 부 등 식 과 연립 일 차 부 등식① 다양한상황을이용하여일차부등식과 그 해의 의미를 이해한다.vvv
② 부등식의 기본 성질을 이용하여일차부등식을 풀 수 있다.vv
③ 연립일차부등식과 그 해의 의미를 이해하고, 이를 풀 수 있다.v
④ 일차부등식 또는 연립일차부등 식을 활용하여 다양한 실생활 문제를 해결할 수 있다.v
(6)다항 식의 인수분해① 인수분해의 뜻을 알고, 인수분 해를 할 수 있다.v

†v : 해당 성취수준 집단이 숙달함.

‡- : 숙달 여부 판단이 불가함.



그러나 연립일차방정식의 활용, 연립일차부등식의 이해와 활용, 인수분해에 대해 우수학력만숙달한 것으로 나타나 학생들의 이해도를 제고하기 위한 방안을 마련할 필요가 있다. 특히 연립일차부등식의 경우 2015 개정 교육과정에서 고등학교로 이동되었기 때문에 중학생의 연립일차부등식에 대한 숙달도가 떨어지는 결과를 고려하여 고등학생들이 잘 이해할 수 있는 교수?학습 방안을 마련할 필요가 있다. 또한 인수분해의 경우 수와 연산에서 소인수분해에 대해 기초학력까지 숙달했음에도 불구하고, 문자와 식에서다루는 다항식의 인수분해에 대한 학생들의 숙달도가 떨어지는 것으로 나타났다. 즉, 인수로 ‘분해’한다는 개념에 있어서 인수가 ‘수’인 경우와 ‘문자’ 또는 ‘식’인 경우 학생들이 갖는 어려움에 차이가 있음을 알 수 있다. 인수분해 지도시 소인수분해 개념과의 연계, 인수가 ‘문자’ 또는 ‘식’인 경우에 대한 좀 더 면밀한 교수학습 방안을 마련할 필요가 있을 것이다.

(3) 함수 영역

함수 영역의 경우 Table 11에 제시된 바와 같이 모든 성취기준이 우수학력 이상의 학생들만숙달하여 다른 영역에 비해 학생들의 전반적인 숙달도가 낮은 편이라 할 수 있다. 함수 영역은다른 영역에 비해 성취기준의 수가 적은데, 교육과정 내용과 학생들의 성취도를 고려하여 성취기준을 세분화하거나 좀 더 기초적인 내용을 추가할 필요가 있는지 검토가 필요하다.

Table 11 . Results of proficiency group analysis in function domain.

구분성취기준숙달 여부
우수보통기초
(1) 함수 와 그래프① 다양한 상황을 표와 식으로 나타내고, 함수의 개념을 이해한다.
② 순서쌍과 좌표를 이해한다.v
③ 함수를그래프로나타낼수있다.v
④ 함수를활용하여여러가지문제를 해결할 수 있다.v
(2) 일차 함 수 와 그래프① 일차함수의 의미를 이해하고, 그 그래프를 그릴 수 있다.v
② 일차함수의 그래프의 성질을 이해한다.v
(3) 일차 함수와 일차 방정식의 관계① 일차함수와 미지수가 2개인 일차방정식의 관계를 이해한다.-
② 두 일차함수의 그래프를 통하여 연립일차방정식의 해를 이해한다.v
③ 일차함수를 활용하여 여러 가지 문제를 해결할 수 있다.v

†v : 해당 성취수준 집단이 숙달함.

‡- : 숙달 여부 판단이 불가함.



특히 함수 영역의 성취기준 중 ‘다양한 상황을 표와 식으로 나타내고, 함수의 개념을 이해한다.’ 는 우수학력도 숙달하지 못한 것으로 분석되었다. Figure 3은 이 성취기준에 해당하는 학업성취도 평가 문항과 답지 반응 분포를 제시한 것이다. 이 문항에 대한 학생들의 답지 반응을 살펴보면 ②번에 대한 반응률이 30.10%임을 알 수 있다. ②번을 정답⑤와 비교할 때, 학생들은 정비례 상황인 ‘ㄴ’에 비해 반비례 상황인 ‘ㄷ’에대한 함수 여부의 판단이 어려웠음을 알 수 있다. 다시 말해, 학생들은 반비례 상황이 주어졌을 때 함수인지 여부를 판단하는 것에 취약하다고 할 수 있다. 즉, 학생들의 함수 개념에 대한이해가 명확하지 않아 상대적으로 익숙하지 않고 좀 더 복잡한 사고가 필요한 맥락이 주어지면 문제 해결에 어려움을 겪는다고 볼 수 있다.

Figure 3. NAEA Item about concept of function

함수의 정의를 이해하는 것은 이후 함수와 관련된 학습의 가장 기본이 되는 부분이 되기 때문에(Lee et al., 2016), 이 성취기준에 대한 학생들의 숙달도가 낮은 현상에 대한 개선 방안이 마련될 필요가 있다. Vinner (1992)에 따르면 개념 정의와 개념 이미지가 적절하게 연결되지 않을 경우 함수 개념에 대한 이해에 어려움을 겪을 수 있으며, 사고의 무의식적 본질로 인해 학생들의사고는 개념 이미지에 의해 안내된다. 따라서 학생들은 개념 이미지를 이용하여 개념의 예를 구분하는 경향이 있다(Byun & Ju, 2012). 따라서 함수 개념을 지도할 때 정비례 상황 이외의 여러 가지 상황을 제시하고 함수인지 여부를 판단해보는 연습을 하도록 해야 할 것이다. 또한 2009 개정 교육과정에서는 정비례와 반비례가 초등학교에서 다루어졌으나 2015 개정 교육과정에서 중학교로 이동하였으므로 1학년에서 배우는 정비례와반비례 개념을 2학년에서 배우는 함수 개념과 적절히 연계하여 지도함으로써 학생들의 이해도를 높일 수 있는 방안을 모색할 수 있을 것이다.

(4) 확률과 통계 영역

확률과 통계 영역의 경우 Table 12에 제시된바와 같이 기초학력 학생들까지 숙달한 성취기준이 없었으며, 2학년에서 다루는 확률보다 1학년에서 다루는 통계 내용에 대한 숙달도가 떨어지는 것으로 나타났다. 특히 도수분포표와 상대도수에 대해서는 우수학력 학생들만 이해한 것으로 나타났는데, 본격적으로 통계에 대해 배우기 시작하는 1학년 학생들이 이러한 내용을 이해하는 데 어려움이 있는 것을 알 수 있다.

Table 12 . Results of proficiency group analysis in probability and statistics domain.

구분성취기준숙달 여부
우수보통기초
(1) 도수분 포와 그래프① 줄기와 잎 그림, 도수분포표, 히스토그램, 도수분포다각형을 이해하고 해석할 수 있다.vv
② 도수분포표로 주어진 자료의 평균을 구할 수 있다.v
③ 상대도수를 구하며, 이를 그래 프로 나타내고, 상대도수의 분포를 이해한다.v
(2) 확률과 그 기본 성질① 경우의 수를 구할 수 있다.vv
② 확률의 의미와 그 기본 성질을 이해한다.-
③ 확률의 계산을 할 수 있다.vv

†v : 해당 성취수준 집단이 숙달함.

‡- : 숙달 여부 판단이 불가함.



통계는 최근 빅 데이터를 중시하는 사회적 변화에 따라 그 중요성이 강조되고 있는 영역으로 수업시간에 활용할 수 있는 통계 교육 프로그램을 보급하는 등 학생들의 통계적 소양을 높이고 통계 교육을 활성화하기 위한 다양한 방안을 마련하고 있다. 현재 우리나라의 교육과정 체계는중학교 3년간의 통계 교육 내용이 2개 학년에분포되어 있는 특징을 가지고 있다. 이에 1학년의 통계 내용에 대한 학생들의 숙달도가 떨어지면, 2학년 때 보정하지 못하고, 3학년이 되어서야 학습이 가능하다. 한국, 미국, 싱가포르, 일본의 통계 교육 내용을 비교 분석한 김소민(2019)에 따르면, 우리나라를 제외한 3개국은 중학교1~3학년에 걸쳐서 통계 교육을 실시하고 있었다. 따라서 학습 결손을 줄이고, 학생들의 통계에 대한 이해도를 높이기 위한 방안으로, 중학교 통계 교육 내용의 수준과 범위를 검토하고, 통계 교육내용을 1~3학년에 걸친 점진적인 분산 배치가 가능한지에 대해 논의할 필요가 있을 것이다.

(5) 기하 영역

기하 영역의 경우도 Table 13에 제시된 바와 같이 기초학력 학생들까지 숙달한 성취기준이 없는 것을 알 수 있다. 기하 영역은 초등학교 교육 내용과의 연계성이 높기 때문에 기초학력 학생들이 숙달한 성취기준이 없는 현상과 관련하여 초등학교 학생들의 기하 영역에 대한 숙달도를 점검해 볼 필요가 있다.

Table 13 . Results of proficiency group analysis in geometry domain.

구분성취기준숙달 여부
우수보통기초
(1) 기본 도형① 점, 선, 면, 각을 이해하고, 점, 직선, 평면의 위치 관계를 설명할 수 있다.-
② 평행선에서 동위각과 엇각의 성질을 이해한다.vv
(2) 작도와 합동① 삼각형을 작도할 수 있다.-
② 삼각형의 합동 조건을 이해하고, 이를 이용하여 두 삼각형이 합동인지 판별할 수 있다.vv
(3) 평면도형의 성질① 다각형의 성질을 이해한다.v
② 부채꼴의 중심각과 호의 관계를 이해하고, 이를 이용하여 부채꼴의 있다.v
(4) 입체도형의 성질① 다면체의 뜻을 알고, 그 성질을 이해한다.vv
② 회전체의 뜻을 알고, 그 성질을 이해한다.v
③ 입체도형의 겉넓이와 부피를 구할 수 있다.v
(5) 삼각형과 사각형의 성질① 이등변삼각형의 성질을 이해하고 설명할 수 있다.vv
② 삼각형의 외심과 내심의 성질을 이해하고 설명할 수 있다.v
③ 사각형의 성질을 이해하고 설명 할 수 있다.vv
(6) 도형의 닮음① 도형의 닮음의 뜻을 안다.-
② 닮은 도형의 성질을 이해한다.vv
③ 삼각형의 닮음조건을 이해하고, 이를 이용하여 두 삼각형이 닮음인지 판별할 수 있다.vv
(7) 닮음의 활용① 평행선 사이의 선분의 길이의 비를 구할 수 있다.v
② 닮은 도형의 성질을 활용하여 여러 가지 문제를 해결할 수 있다.-

†v : 해당 성취수준 집단이 숙달함.

‡- : 숙달 여부 판단이 불가함.



TIMSS 2015 결과에 따르면 우리나라 초등학생의 도형과 측정 영역에 대한 정답률은 70%로수(73%), 자료 표현(81%)에 비해 낮은 편이었으며, 중학생의 기하 영역(67%)에 대한 정답률도수(72%), 대수(67%), 자료와 가능성(72%) 영역과같거나 낮은 편이었다(Sang, et al., 2016, pp. 60, 64). 이를 통해 우리나라 학생들은 기하 영역에 대한 성취도가 다른 영역에 비해 약간 낮은 편임을 알 수 있는데, 기하는 중학교 수학과 교육과정에서 성취기준 수가 가장 많고, 다른 영역에비해 상대적으로 많은 내용을 다루고 있는 만큼, 초등학교와의 연계성 강화 등 기하 교육에 대한 개선 방안을 마련할 필요가 있을 것이다.

특히 부채꼴, 회전체, 외심과 내심 등 원과 관련된 내용이 포함된 성취기준과 길이, 넓이, 겉넓이와 부피 등을 계산하는 측정과 관련된 성취기준에 대한 숙달도가 떨어지는 것으로 나타났다. 수학과 교육과정에서 ‘측정’ 관련 내용은 초등학교의 경우 하나의 영역으로 제시되지만 중ㆍ고등학교에서는 여러 영역에 분산되어 제시되고 있다. 따라서 초등학교에 비해 중학교에서 ‘측정’ 관련 내용이 집중적으로 다루어지지 못하는 경향이 있다. ‘측정’은 일상생활에서 유용하게 활용될 수 있고, 다양한 수학적 개념과 능력을 발달시킬 수 있으며, 타 교과에서도 유용하게활용될 수 있기 때문에 학교 수학에서 중요하게 다루어져야 한다(Reys et al., 2015, pp. 325-326). 본 연구에서도 기하 영역에서 ‘측정’과 관련된성취기준에 대한 학생들의 숙달도가 떨어지는 것으로 나타났으므로 이를 개선할 수 있는 방안을 마련할 필요가 있을 것이다.

V. 결론 및 논의

본 연구에서는 2009 개정 교육과정에 따른 교육성과를 점검하기 위해 교육과정 성취기준별로 2015∼2018년에 출제된 수학과 학업성취도 평가문항 및 평가 결과 정보를 종합하여, 우리나라학생들의 교육과정 성취기준별 숙달도를 파악하였다. 연구 결과, 일부 성취기준이 다루는 범위를 해석에 차이가 나타날 수 있음을 확인하였다.또한 수와 연산 및 문자와 식 영역에 비해 함수, 확률과 통계, 기하 영역의 숙달도가 낮은 것으로나타났으며, 특히 함수 영역은 우수학력 학생들도 숙달하지 못한 성취기준이 있었다.

본 연구결과를 바탕으로 수학과 교육과정 및 교수학습 개선의 측면에서 다음과 같은 시사점을 도출할 수 있다. 첫째, 성취기준별로 학생들이 숙달하는 데 필수적으로 포함되어야 하는 학습 내용을 분석하는 과정에서 전문가의 견해에 차이가 나타나는 경우가 있었다. 수학과 교육과정 성취기준은 학생들이 학습해야 할 내용을 함축적으로 제시한 경우가 많아 교육과정 내용을 해석하는 데 차이가 발생할 수 있는 것이다. 이와 같이 성취기준이 다루는 내용 범위에 대한 해석의 차이는 실제 학교 현장에서 학생들의 학습 결손을 가져올 수 있기 때문에 교육과정 해석에 있어서 혼란을 방지할 수 있는 방안을 마련할 필요가 있다. 이를 위해 차기 교육과정 개정 시 성취기준을 좀 더 구체적으로 제시하거나, 현재 영역별로 제시되고 있는 학습 요소에 대해 각각의 학습 요소가 처음으로 제시되는 성취기준을 제시하는 방안을 고려해볼 수 있다. 또한교과서나 지도서에서 필수 학습 내용과 부가적인 학습 내용에 대한 구분을 명확하게 하고, 해설서를 제공하는 등 교사들이 성취기준을 해석하는 데 혼란이 없도록 해야 할 것이다. 또한 학교수준에서 성취기준을 기반으로 학생들의 이해도를 측정하기 위한 문항을 출제할 때, 각각의성취기준에서 다루어야 할 학습 내용과 학습 요소가 무엇인지 면밀하게 살펴보고 교사들 간의 협의가 이루어지도록 안내할 필요가 있다.

둘째, 함수, 기하, 확률과 통계 영역은 기초학력이 숙달한 것으로 분석된 성취기준이 없었다. 다시 말해 이 세 가지 영역은 기초수준의 학생들은 숙달하지 못하였다고 할 수 있는 것이다. 이 영역에서 다루는 내용들은 수와 연산과 문자와 식 영역에서 학습한 내용이 바탕이 되는 경우가 많기 때문에 학생들이 좀 더 어려워할 수 있다. 이처럼 대체로 2학기에 학습하는 영역의성취기준에 대한 학생들의 숙달도가 높지 않은 현상에 대한 원인을 파악할 필요가 있다. 이와 같이 세 가지 영역에 대한 학생들의 숙달도가 낮은 원인을 파악할 뿐만 아니라 본 연구에서 기초학력 학생들이 숙달하지 못한 것으로 나타난 성취기준 전반에 대한 이해도를 높이기 위한 교수 학습 방안을 마련할 필요가 있을 것이다.

셋째, 개념을 이해하는 성취기준의 숙달도가낮은 경우가 나타났다. 수학 교과에서 개념을 이해하는 것은 통상적으로 가장 기본적인 것으로 보고, 성취기준 순서상으로 앞쪽에 배치되는 경향이 있다. 따라서 개념을 이해하는 성취기준을숙달하지 못하면 이후 관련 성취기준들에 대한 학습에 영향을 미칠 가능성이 높기 때문에 교수학습 방법에 있어서 개선이 요구된다. 본 연구에서 개념에 대한 이해가 낮게 나타난 성취기준에 대한 답지 반응을 살펴본 결과, 특정 개념이 적용되는 다양한 상황을 해석하는 과정에서 복잡한 사고가 요구되는 경우 학생들의 숙달도가 낮은 경향이 있었다. 즉, 개념을 설명할 때 제시되는 다양한 예시들이 가지는 의미에 대해 학생들이 이해할 수 있도록 세밀한 안내가 필요한 것이다. 따라서 개념 이해에 관한 성취기준 중 숙달도가 낮게 나타난 성취기준에 대해 해당 개념을 지도할 때 제시하는 예시, 지도 방법, 교과서제시 방식 등에 대한 개선이 요구된다.

한 시기의 교육과정이 동일하게 적용된 학업성취도 평가 결과를 바탕으로 학업성취 특성 및 추이 변화를 분석하는 것은 차기 교육과정의 준비, 교수학습 방법 개선, 각종 교육 정책 수립등을 위한 근거 자료를 마련 할 수 있다는 점에서 그 가치가 크다고 할 수 있다. 즉 2009 개정교육과정이 적용된 4년간(2015-2018년)의 학업성취도 평가 결과를 바탕으로 성취기준에 대한 숙달도를 분석한 본 연구의 결과는 향후 교육과정 개정뿐만 아니라 교수ㆍ학습 개선을 위한 방안을 마련하는 데 활용될 수 있을 것이다.

Footnote

1) 이 논문은 한국교육과정평가원에서 수행한「국가수준 학업성취도 평가 결과에 기반한 2009 개정 교육과정의 학업성취 특성 및 추이 분석(Ku et al., 2019)」의 내용 중 일부를 수정 보완한 것임.

2) 학업성취도 평가는 연도 간 검사의 동등화와 점수 척도화를 위해 비공개 가교 문항이 출제되고 있음.

3) 학업성취도 평가 출제 범위(Table 1. 참조)에 해당하는 2009 개정 중학교 수학과 교육과정의 성취기준 수는 총 64개이며, 이 중 비공개 문항이 출제된 8개를 제외한 56개의 성취기준을 연구 대상으로 함.

4) 4: 매우 동의한다, 3: 동의한다, 2: 동의하지 않는다, 1: 전혀 동의하지 않는다.

Fig 1.

Figure 1. NAEA Items about calculation of polynomials
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 553-573https://doi.org/10.29275/jerm.2020.08.30.3.553

Fig 2.

Figure 2. NAEA Items about polyhedron and regular polyhedron
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 553-573https://doi.org/10.29275/jerm.2020.08.30.3.553

Fig 3.

Figure 3. NAEA Item about concept of function
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 553-573https://doi.org/10.29275/jerm.2020.08.30.3.553

Table 1 Evaluation factors for 2015-2018 NAEA based on 2009 Revised Curriculum

영역평가 요소
수와 연산소인수분해, 최대공약수와 최소공배수, 정수와 유리수의 개념, 정수와 유리수의 대소 관계, 정수와 유리수의 사칙연산, 순환소수, 유리수와 순환소수의 관계, 제곱근의 뜻과 성질, 무리수, 실수의 대소 관계, 근호를 포함한 식의 사칙계산
문자와 식문자의 사용, 식의 값, 일차식의 덧셈과 뺄셈, 일차방정식, 지수법칙, 다항식의 덧셈과 뺄셈, 다항식의 곱셈과 곱셈공 식, 다항식의 나눗셈, 등식의 변형, 연립일차방정식, 부등식의 성질과 일차부등식, 연립일차부등식, 인수분해
함수함수의 개념, 순서쌍과 좌표, 함수의 그래프, 일차함수의 의미와 그래프, 일차함수의 활용, 일차함수와 일차방정식의 관계, 이차함수의 의미, 이차함수의 그래프의 성질
확률과 통계줄기와 잎 그림, 도수분포표, 히스토그램, 도수분포다각형, 도수분포표에서의 평균, 상대도수의 분포 경우의 수, 확률의 뜻과 기본 성질, 확률의 계산
기하점, 선, 면, 각, 점 직선 평면 사이의 위치 관계, 평행선의 성질, 삼각형의 작도, 삼각형의 합동 조건, 다각형의 성질, 부채꼴에서 중심각과 호의 관계, 부채꼴에서 호의 길이와 넓이, 다면체, 회전체의 성질, 입체도형의 겉넓이와 부피, 이등변 삼각형의 성질, 삼각형의 외심과 내심, 사각형의 성질, 닮은 도형의 성질, 삼각형의 닮음 조건, 평행선 사이에 있는 선분의 길이와 비, 닮은 도형의 성질 활용

※ 출처: Ministry of Education and Science Technology(2011), Yang et al.(2018)


Table 2 The trend of the middle school students rate of achievement level from 2015 to 2018 단위(%)

연도2015201620172018
성취수준
우수학력18.819.9▴17.9(0.78)▾22.7(0.82)▴
보통학력47.448.4▴49.7(0.55)▴39.6(0.52)▾
기초학력29.226.8▾25.3(0.65)▾26.6(0.69)
기초학력 미달4.64.9▴7.1(0.32)▴11.1(0.41)▴

* 표집 시행으로 전환된 2017년과 2018년의 경우( ) 안에 표준오차를 제시함

†▴ : 전년 대비 유의하게 높음

▾ : 전년 대비 유의하게 낮음

※ 출처: Yang et al.(2018, p. 20)를 바탕으로 2018년 자료를 분석하여 추가함


Table 3 Distribution of representative item by content domain according to the evaluation results of 2015-2018 NAEA

영역성취수준별 대표문항 수특정 학력 대표문항으로 선정되지 못한 문항 수
기초학력보통학력우수학력
수와 연산1(0.9%)7(6.5%)6(5.6%)-(0.0%)
문자와 식2(1.9%)15(14.0%)11(10.3%)1(0.9%)
함수1(0.9%)5(4.7%)8(7.5%)1(0.9%)
확률과 통계-(0.0%)9(8.4%)5(4.7%)2(1.9%)
기하2(1.9%)9(8.4%)15(14.0%)7(6.5%)
6(5.6%)45(42.1%)45(42.1%)11(10.3%)

Table 4 Ths frequency of NAEA items and standards by content domain

영역출제 문항출제 성취기준
빈도(개)비율(%)빈도(개)비율(%)
수와 연산1413.1916.1
문자와 식2927.11832.1
함수1514.0814.3
확률과 통계1615.058.9
기하3330.81628.6
107100.056100.0

Table 5 Analysis framework for analysis of NAEA results by standards

코드설명세부코드설명
A특정 성취기준에 해당하는 평가 문항들의 성취수준별 대표문항 정보가 동일한 경우A-1문항이 2개 이상 출제된 경우: 해당 대표문항 정보를 활용함
A-2문항이 1개 출제된 경우: C-3의 경우를 제외하고, 해당 대표문항 정보를 활용함
B특정 성취기준에 해당하는 평가 문항들의 성취수준별 대표문항 정보가 상이한 경우B-1문항별로 평가하는 내용의 범위가 다른 경우. 성취기준의 내용을 더 포괄하는 문항에 가중치를 두어 판단함.
B-2문항별로 평가하는 내용 요소가 서로 다른 경우(포함관계가 아니라 병렬적인 경우)
B-3문항 내용 측면에서 난이도에 차이가 있는 경우
B-4문항 형식 측면(문항 구성, 자료 및 답지 제시, 문항 유형 등)에서 난이도에 차이가 있는 경우
C판단 불가C-1성취기준에 해당하는 출제 문항이 없는 경우(성취기준에 대해 비공개 문항만 출제된 경우 포함)
C-2출제된 문항만으로 성취기준 숙달 여부를 판단하기 어려운 경우(예: 출제 내용이 지엽적인 경우)
C-3출제된 모든 문항이 대상 성취기준뿐만 아니라 다른 성취기준의 내용이 포함되어 있어 어떤 성취기준의 영향으로 결과가 도출되었는지 판단하기 어려운 경우

Table 6 The example of 2015-2018 NAEA item information by standards of 2009 revised curriculum

성취기준연도 (문항번호)행동 영역정답률(%)대표문항정보
① 거듭제곱의 뜻을 안다.----
② 소인수분해의 뜻을 알고, 자연수를 소인수분해 할 수 있다.2017(1)이해81.28보통
2016(1)이해89.78기초
③ 최대공약수와 최소 공배수의 성질을 이해 하고, 이를 구할 수 있다.2018 (서3-1)추론48.86우수
2018 (서3-2)추론39.12우수
④ 최대공약수와 최소 공배수를 활용하여 여러 가지 문제를 해결 할 수 있다.2017(27)문제해결33.75우수
2016(27)문제해결53.88우수
2015(10)문제해결57.88우수

Table 7 Method of analysis

구분분석 방법
내용타당도 비율(CVR)neN2N2
ne: 긍정 응답 사례 수
N: 전체 응답자 수
합의도1Q3Q1MdnQ1: 25 백분위
Q3: 75 백분위
Mdn: 중앙값

※ 출처: Lawshe(1975), Lee(2006)


Table 8 Lowest group distribution among mastery groups of standards by content domain for 2009 revised curriculum

영역기초학력보통학력우수학력숙달 집단 없음판단 불가
빈도비율빈도비율빈도비율빈도비율빈도비율빈도비율
수와 연산18.3%325.0%433.3%00.0%433.3%12100.0%
문자와 식315.0%1260.0%420.0%00.0%15.0%20100.0%
함수00.0%111.1%666.7%111.1%111.1%9100.0%
확률과 통계00.0%350.0%233.3%00.0%116.7%6100.0%
기하00.0%741.2%635.3%00.0%423.5%17100.0%
46.3%2640.6%2234.4%11.6%1117.2%64100.0%

Table 9 Results of proficiency group analysis in Number and Operations domain

구분성취기준숙달 여부
우수보통기초
(1) 소인수 분해① 거듭제곱의 뜻을 안다.-
② 소인수분해의 뜻을 알고, 자연수를 소인수분해 할 수 있다.vvv
③ 최대공약수와 최소공배수의 성질을 이해하고, 이를 구할 수있다.v
④ 최대공약수와 최소공배수를 활용하여 여러 가지 문제를 해결할 수 있다.v
(2) 정수와 유리수① 정수와 유리수의 개념을 이해한다.v
② 정수와 유리수의 대소 관계를이해한다.vv
③ 정수와 유리수의 사칙계산의 원리를 이해하고, 그 계산을 할수 있다.vv
(3) 유리수와 순환소수① 순환소수의 의미를 이해한다.-
② 유리수와 순환소수의 관계를이해한다.v
(4) 제곱근과 실수① 제곱근의 뜻을 알고, 그 성질을 이해한다.-
② 무리수의 개념을 이해한다.-
③ 실수의 대소 관계를 이해한다.vv
(5) 근호를 포함한 식의 계산① 근호를 포함한 식의 사칙계산을 할 수 있다.vv

†v : 해당 성취수준 집단이 숙달함

‡- : 숙달 여부 판단이 불가함


Table 10 Results of proficiency group analysis in Variable and Expresstions domain

구분성취기준숙달 여부
우수보통기초
(1) 문자 의 사용 과 식의 계산① 다양한 상황을 문자를 사용한식으로 간단히 나타낼 수 있다.vv
② 식의 값을 구할 수 있다.vvv
③ 일차식의 덧셈과 뺄셈의 원리를이해하고, 그 계산을 할 수 있다vv
(2) 일차 방정식① 다양한 상황을 이용하여 일차방정식과 그 해의 의미를 이해한다.vvv
② 등식의 성질을 이해하고 일차방정식을 풀 수 있다.vv
③ 일차방정식을 활용하여 다양한 실생활 문제를 해결할 수 있다.vv
(3)식의 계산① 이차식의 덧셈과 뺄셈의 원리를 이해하고, 그 계산을 할 수 있다.vv
② 지수법칙을 이해한다.vv
③ 다항식의 곱셈의 원리를 이해하고, 곱셈공식을 유도할 수 있다.vv
④ 다항식의 나눗셈의 원리를 이해하고, 그 계산을 할 수 있다.vv
⑤ 간단한 등식을 변형할 수 있다.vv
(4)미지 수가 2 개인 연립 일 차 방정식① 미지수가 2개인 일차방정식과 그 해의 의미를 이해한다.-
② 미지수가 2개인 연립일차방정 식과 그 해의 의미를 이해하고, 이를 풀 수 있다.vv
③ 미지수가 2개인 연립일차방정 식을 활용하여 다양한 실생활 문제를 해결할 수 있다.v
(5)일차 부 등 식 과 연립 일 차 부 등식① 다양한상황을이용하여일차부등식과 그 해의 의미를 이해한다.vvv
② 부등식의 기본 성질을 이용하여일차부등식을 풀 수 있다.vv
③ 연립일차부등식과 그 해의 의미를 이해하고, 이를 풀 수 있다.v
④ 일차부등식 또는 연립일차부등 식을 활용하여 다양한 실생활 문제를 해결할 수 있다.v
(6)다항 식의 인수분해① 인수분해의 뜻을 알고, 인수분 해를 할 수 있다.v

†v : 해당 성취수준 집단이 숙달함

‡- : 숙달 여부 판단이 불가함


Table 11 Results of proficiency group analysis in function domain

구분성취기준숙달 여부
우수보통기초
(1) 함수 와 그래프① 다양한 상황을 표와 식으로 나타내고, 함수의 개념을 이해한다.
② 순서쌍과 좌표를 이해한다.v
③ 함수를그래프로나타낼수있다.v
④ 함수를활용하여여러가지문제를 해결할 수 있다.v
(2) 일차 함 수 와 그래프① 일차함수의 의미를 이해하고, 그 그래프를 그릴 수 있다.v
② 일차함수의 그래프의 성질을 이해한다.v
(3) 일차 함수와 일차 방정식의 관계① 일차함수와 미지수가 2개인 일차방정식의 관계를 이해한다.-
② 두 일차함수의 그래프를 통하여 연립일차방정식의 해를 이해한다.v
③ 일차함수를 활용하여 여러 가지 문제를 해결할 수 있다.v

†v : 해당 성취수준 집단이 숙달함

‡- : 숙달 여부 판단이 불가함


Table 12 Results of proficiency group analysis in probability and statistics domain

구분성취기준숙달 여부
우수보통기초
(1) 도수분 포와 그래프① 줄기와 잎 그림, 도수분포표, 히스토그램, 도수분포다각형을 이해하고 해석할 수 있다.vv
② 도수분포표로 주어진 자료의 평균을 구할 수 있다.v
③ 상대도수를 구하며, 이를 그래 프로 나타내고, 상대도수의 분포를 이해한다.v
(2) 확률과 그 기본 성질① 경우의 수를 구할 수 있다.vv
② 확률의 의미와 그 기본 성질을 이해한다.-
③ 확률의 계산을 할 수 있다.vv

†v : 해당 성취수준 집단이 숙달함

‡- : 숙달 여부 판단이 불가함


Table 13 Results of proficiency group analysis in geometry domain

구분성취기준숙달 여부
우수보통기초
(1) 기본 도형① 점, 선, 면, 각을 이해하고, 점, 직선, 평면의 위치 관계를 설명할 수 있다.-
② 평행선에서 동위각과 엇각의 성질을 이해한다.vv
(2) 작도와 합동① 삼각형을 작도할 수 있다.-
② 삼각형의 합동 조건을 이해하고, 이를 이용하여 두 삼각형이 합동인지 판별할 수 있다.vv
(3) 평면도형의 성질① 다각형의 성질을 이해한다.v
② 부채꼴의 중심각과 호의 관계를 이해하고, 이를 이용하여 부채꼴의 있다.v
(4) 입체도형의 성질① 다면체의 뜻을 알고, 그 성질을 이해한다.vv
② 회전체의 뜻을 알고, 그 성질을 이해한다.v
③ 입체도형의 겉넓이와 부피를 구할 수 있다.v
(5) 삼각형과 사각형의 성질① 이등변삼각형의 성질을 이해하고 설명할 수 있다.vv
② 삼각형의 외심과 내심의 성질을 이해하고 설명할 수 있다.v
③ 사각형의 성질을 이해하고 설명 할 수 있다.vv
(6) 도형의 닮음① 도형의 닮음의 뜻을 안다.-
② 닮은 도형의 성질을 이해한다.vv
③ 삼각형의 닮음조건을 이해하고, 이를 이용하여 두 삼각형이 닮음인지 판별할 수 있다.vv
(7) 닮음의 활용① 평행선 사이의 선분의 길이의 비를 구할 수 있다.v
② 닮은 도형의 성질을 활용하여 여러 가지 문제를 해결할 수 있다.-

†v : 해당 성취수준 집단이 숙달함

‡- : 숙달 여부 판단이 불가함


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Journal Info

Korea Society of Education Studies in Mathematics

Vol.32 No.1
2020-08-31

pISSN 2288-7733
eISSN 2288-8357

Frequency : Quarterly

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