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전자저널 논문

2020; 30(4): 625-648

Published online November 30, 2020 https://doi.org/10.29275/jerm.2020.11.30.4.625

Copyright © Korea Society of Education Studies in Mathematics.

An Analysis of Domestic and International Research Trends of Mathematical Reasoning through Topic Modeling

토픽모델링을 활용한 국내외 수학적 추론 연구의 동향 분석

JiNam Hwang1, JeongSuk Pang2

*Graduate Student, Korea National University of Education, South Korea, whiyoung10@naver.com
**Professor, Korea National University of Education, South Korea, jeongsuk@knue.ac.kr

*한국교원대학교 대학원 학생, **한국교원대학교 교수

Correspondence to:corresponding author

Received: September 28, 2020; Revised: November 5, 2020; Accepted: November 5, 2020

In order to understand the research trends in mathematical reasoning since 2000, this study analyzed 262 papers published in seven KCI journals and 381 papers published in five SSCI journals via topic modeling. The overall research topics were compared and contrasted between domestic journals and international journals. A more detailed analysis was conducted by considering different publication periods. The results showed that the main domestic research topics included, in order, geometry proof, mathematical justification, problem solving, pattern generalization, proportional reasoning, and statistical reasoning, whereas the main international research topics included, in order, proof and argument, teacher education, geometric reasoning, pattern generalization, problem solving, and statistical reasoning. The results of this study also showed that gifted students represented the most popular research target of domestic studies, while the process of mathematical reasoning was the main focus of international studies. This paper closes with implications on research targets including teachers, attention to the mathematical reasoning process, diversity of research topics, and new research topics that may guide future research on mathematical reasoning.

Keywordsmathematical reasoning, topic modeling, research trends

수학적 추론은 수학을 학습하는 과정에서 핵심적인 사고 방법 중 하나이다. 학생들은 수학을학습하는 과정에서 과연 그러한가, 왜 그러한가등의 추론을 경험하는데, 이는 특정한 예를 넘어일반적인 관계를 인식하는 것에 도움이 된다(Lannin, Ellis, & Elliott, 2011). 또한, 추론은 수학 수업에서 개념, 원리, 법칙, 문제해결, 계산기능을 다루는 기본 바탕이 된다(Lee, Kim, Kim, & Kim, 2017). 이처럼 수학적 추론은 수학을 학습할 때 중요한 역할을 담당하며, 학생들의 사고력을 신장하는 데 도움을 준다.

이러한 이유로 여러 나라의 수학과 교육과정에서는 수학적 추론을 핵심역량 중의 하나로 강조하고 있다(Kwon, 2020). 예를 들어, 미국의 CCSSI(2010)에서는 학생들의 인지적 활동을 수학적 실천으로 명명하고, 수학적 실천의 8가지기준 중 추론과 관련된 내용을 ‘추상적, 양적으로 추론하기’, ‘논증을 구성하고 다른 사람의 추론을 비판하기’, ‘구조를 찾고 사용하기’, ‘반복되는 추론에서 규칙성을 찾고 표현하기’의 4가지로 언급하고 있다. 또한, 호주에서는 추론을 학년별로 다루는 수학 내용과 결합하여 제시하는데, 예를 들어, 초등학교 1학년에서는 ‘자료의 표현을 정당화하며, 패턴을 만들고 설명하는 것’이포함된다(ACARA, 2015). 한편 우리나라 2015 개정 수학과 교육과정에서 추론은 “수학적 사실을추측하고 논리적으로 분석하고 정당화하며 그 과정을 반성하는 능력”을 의미한다(Ministry of Education, 2015, p. 4). 이렇듯 수학과 교육과정에서 추론은 학생들이 수행하는 사고 활동의 전반을 의미하는 것으로 보이며, 더불어 미래 사회를 위해 준비해야 할 소양(literacy)으로서 다루어지고 있다.

이러한 흐름에 맞추어 국내외 많은 연구자들은 수학적 추론에 관심을 가지고 연구를 진행하였다. 예를 들어, 수학적 추론의 교수ㆍ학습에관한 연구(Kim & Kim, 2009; Reid & Vallejo Vargas, 2019), 수학적 추론의 수준에 관한 연구(Mouhayar, 2018; Park & Kim, 2016), 수학적 추론의 과제에 관한 연구(Byun & Chang, 2017; Mkhatshwa, 2020), 수학적 추론의 과정을 분석한연구(Mariotti & Pedemonte, 2019; Mata-Pereira & Da Ponte, 2017) 등이 국내외에서 다양하게 이루어졌다.

그러나 수학적 추론 연구의 전반적인 동향을 파악한 연구는 별반 없다. 수학교육에서 수학적 추론의 중요성을 감안하고, 최근에 특히 다양하게 이루어지고 있는 추론 연구의 주제를 파악하는 것이 필요하다. 더불어 국내외 연구 동향을비교 및 대조하여 살펴보는 것은 국내 연구의 특징과 시사점을 보다 분명하게 확인할 수 있다는 점에서 장점이 있다. 이와 관련하여 Shin (2020)은 국내외 수학교육 연구의 동향을 비교하였는데 특히 수학적 추론과 관련하여 국외의 경우 대수적 추론과 통계적 추론을 강조하는 것과 달리, 국내의 경우 그렇지 않다는 결과를 토대로관련 연구의 필요성을 언급하였다. 이 연구는 국내외 수학교육 연구의 전반적인 동향을 체계적으로 분석했다는 점에서 의의가 있지만, 수학적추론의 동향을 구체적으로 파악하는 데는 어려움이 있다.

한편, 기존의 동향 연구에서는 방대한 양의 데이터를 연구자가 설정한 분석틀(framework)에 따라 수작업으로 분류하고, 교차검토를 통해 신뢰도를 확보하는 방법을 사용하였다(Pang et al., 2019). 이는 맥락에 대한 이해를 바탕으로 데이터를 구체적으로 분석할 수 있다는 장점이 있으나, 많은 시간과 노력이 필요하다는 어려움이 있다. 최근 방대한 양의 텍스트에서 숨겨진 주제를발견하는 텍스트마이닝의 한 형태인 토픽모델링이 주목을 받고 있다(Maier et al., 2018).

이와 같은 연구 배경을 바탕으로 본 연구에서는 토픽모델링을 활용하여 지난 20년간 국내외수학교육 전문 학술지에 게재된 수학적 추론 관련 논문을 대상으로 연구 동향을 분석하였다. 먼저 토픽모델링을 활용하여 국내외 연구주제를 비교·분석하였다. 또한 국내외 연구의 변화 및추이를 살펴보기 위해 5년 단위로 나누어 토픽모델링을 수행하고, 시기별 흐름을 자세히 분석하였다. 이를 통해 수학적 추론에 관한 국내 연구의 발전 방향을 모색하고자 한다. 나아가 수학적 추론과 같은 특정 주제에 대한 토픽모델링 연구의 시사점을 논의하고자 한다.

1. 수학적 추론

수학적 추론은 수학 교육자들 사이에도 합의된 정의가 존재하지 않는다(Conner, Singletary, Smith, Wagner, & Francisco, 2014). 예를 들어 Russell(1999)은 수학적 추론을 수학적 일반화를위한 정당화의 과정으로 설명하였다. Park et al.(2015)은 수학적 추론을 ‘관찰과 추측, 논리적절차 수행, 수학적 사실 분석, 정당화, 추론 과정의 반성’의 하위 요소로 나누었으며, 이를 구현하는 기능을 제시하였다. Lannin et al.(2011, p. 10)은 수학적 추론을 추측하고, 일반화하고, 왜그런지에 대해 탐구하고, 논증을 발전시키고 평가하는 점진적인 개선과정으로 정의하였다. Lannin et al.(2011)이 설명한 수학적 추론의 활동은 Figure 1과 같다.

Figure 1.Activities of mathematical reasoning (Lannin et al., 2011, p. 11)

Figure 1과 같이 수학적 추론의 활동은 서로양방향적인 관계를 보인다. 수학적 추론은 주로추측하기(conjecturing)와 일반화하기(generalizing)부터 시작된다. 이후 자신의 추측이 왜 타당한지혹은 타당하지 않은지 그 이유를 다양하게 탐구(investigating why)한다. 이 지점에서 자신의 추측을 정당화하거나(justifying), 처음에 했던 추측을 반박할(refuting) 수도 있다. Lannin et al.(2011)이 말한 수학적 추론의 활동은 추론에 대한 핵심 아이디어를 제공하면서, Russell(1999)의 설명과 Park et al.(2015)의 수학적 추론을 구현하는 기능을 포함한다(Table 1 참조).

Table 1 Comparison of the activities of mathematical reasoning

Russell(1999)Lannin et al.(2011)Park et al.(2015)
일반화하기추측하기추측하기
일반화하기일반화하기
왜 그런지 탐구하기탐구하기
정당화하기정당화하기정당화하기
반박하기증명하기


본 연구에서는 수학적 추론의 필수적인 활동으로 추측하기, 일반화하기, 정당화하기, 증명하기, 반박하기를 선정하였다. 추측하기는 수학적추론으로 들어가는 출발점의 역할을 한다는 점에서 중요하다(Lannin et al., 2011). 또한 일반화하기와 정당화하기는 수학적 추론을 수학적 일반화와 이를 정당화하기 위한 전개 과정이라고 설명할 만큼 핵심적인 활동이다(Lannin et al., 2011; Mata-Pereira & Da Ponte, 2017; Russell, 1999). 더불어 엄격한 수준의 정당화를 증명이라고 한다는 점에서 증명하기 역시 수학적 추론의 활동으로 포함할 수 있다(Park et al., 2015; Stylianides, Stylianides, & Weber, 2017). 반박하기

는 추측하기를 통해 참과 거짓이 모두 도출될 가능성이 있기 때문에 이를 반박하고 타당화하는 활동에서 중요한 역할을 한다(Lannin et al., 2011). 왜 그런지 탐구하기는 수학적 추론에서중요하지만, 문제해결에서도 나타나는 등 사용되는 범위가 넓어 제외하였다(Park et al., 2015). 본연구에서는 앞서 선정한 수학적 추론의 필수적인 활동을 기준으로 수학적 추론과 관련된 논문을 수집하였다.

2. 토픽모델링 및 이를 활용한 선행연구 고찰

LDA(Latent Dirichlet Allocation) 기반 토픽모델링은 구조화되지 않은 방대한 텍스트 모음에서 숨겨진 주제를 발견하는 내용분석 기법이다(Blei, Ng, & Jordan, 2003). LDA는 토픽모델링에 사용되는 통계 알고리즘 중의 하나이며, 일반적으로가장 널리 통용되고 있다(Blei, 2012). 이에 본 연구에서는 LDA를 기반으로 토픽모델링을 실시하였다. 토픽모델링에서 모델링을 할 텍스트 모음을 말뭉치(corpus)라고 하고, 이 말뭉치는 여러개의 문서(document)로 이루어지며, 문서는 다시여러 개의 단어(term)로 이루어지기 때문에, 말뭉치는 문서를 내포하고, 문서는 단어를 내포한다(Maier et al., 2018).

LDA 알고리즘은 말뭉치에서 주제를 유추하고, 주제와 관련한 단어들을 확률값으로 표현한다. Figure 2에서 θ는 문서에서 토픽을 생성하는 모수로서 토픽의 개수(K)만큼의 차원을 갖는 디리클레 랜덤 변수이며, 이는 분석 대상인 말뭉치의토픽을 생성시키는 역할을 한다. θ에서 생성되는 토픽들은 랜덤 형태의 변수 발생 과정을 따른다. 이를 수식으로 표현하면 다음과 같다.

Figure 2.Application of LDA(Maier et al., 2018, p. 94)

  • θd: d번째 문서의 토픽을 생성하는 모수

  • Tdk: d번째 문서의 k번째 토픽

  • Wdk: Tdk를 반영하는 단어

  • βdk: Wdk의 가중치

βdkWdkTdkWdk를 확률로 나타내면p(Wdk|Tdk,βdk)이다. 이는 토픽 관련 모수와 가중치 관련 모수가 알려진 조건에서 특정 문서에서 발견된 특정 단어가 특정 토픽을 반영할 확률을 의미한다. θdTdk를 확률로 나타내면p(Tdk|θd)이다. 이는 특정 문서에서 특정 토픽이등장할 확률을 의미한다. 이때 p(Wdk|Tdk,βdkp(Tdk|θd)는 문서 d에서 토픽 k가 특정 단어 W로 나타날 확률값이다.

Figure 2에서 ϕ는 단어에서 주제를 생성하는모수로서 θ와 마찬가지로 토픽의 개수(K)만큼의차원을 갖는 변수이다. 이를 통해 단어들이 각토픽에서 갖는 확률값을 알 수 있다. 확률값이높을수록 특정 토픽을 대표하는 단어라고 할 수 있다. 본 연구에서는 토픽별로 나타나는 상위 10개의 단어를 바탕으로 연구주제를 분석하였다. 토픽모델링은 주제와 관련한 단어들을 한눈에 볼 수 있다는 장점이 있지만, 주제에 대한 명확한 정의가 없다는 단점이 있다(Günther & Domahidi, 2017). 또한 단어들이 주제를 직관적으로 표현할 때도 있지만, 다소 추상적으로 나타날 때도 있다(Blei et al., 2003). 본 연구에서는이러한 문제를 해결하기 위해 주제와 관련한 예시 논문을 찾고, 해당 단어가 어떠한 맥락에서사용되었는지를 확인하였다.

토픽모델링은 방대한 텍스트를 효율적으로 분석할 수 있고, 전통적인 내용분석 방법과 비교하여 연구자의 주관을 어느 정도 배제할 수 있다는 점에서 교육 분야에서 많은 주목을 받고 있다. 최근 수학교육에서도 토픽모델링을 활용한연구들이 이루어지고 있다. Choi & Kwak(2019)은 JRME, ESM, JMB에 30년간 게재된 2,556개의논문을 5년 단위로 나누어 시기별로 주제들이어떻게 변하였는지를 분석하였다. Jin & Ko(2019)는 2016년부터 2018년까지 5종의 국내수학교육 학술지에 게재된 460편의 논문을 대상으로 국내 수학교육 연구 동향을 주제별로 분석하였다. Shin(2020)은 2000년부터 2019년까지 7종의 국내 수학교육 학술지, 5종의 국외 수학교육학술지에 게재된 4,750편의 논문을 대상으로 국내외 수학교육의 연구 동향을 비교ㆍ분석하였다.

다만 토픽모델링을 활용한 선행연구에서는 수학교육의 전반적인 연구 동향을 살펴보았을 뿐, 수학교육의 특정 연구주제에 대하여 동향 분석을 수행한 연구는 별로 없었다. 따라서 특정 연구주제에 대한 경향을 자세히 파악하기에는 어려움이 있었다. 이에 본 연구에서는 수학교육에서 핵심적인 사고 방법인 수학적 추론을 주제로 지난 20년간 국내외 연구가 어떻게 이루어지고있는지 토픽모델링 기법을 통해 비교ㆍ분석하여, 수학적 추론 연구의 방향을 제공한다.

1. 분석 대상

본 연구에서는 2000년 1월부터 2020년 6월까지 KCI(Korea Citation Index)에 등재된 국내 수학교육 학술지와 SSCI(Social Sciences Citation Index)에 등재된 국외 수학교육 학술지를 분석대상으로 선정하였다. 수학교육을 포함하는 교과교육 학술지는 분석 대상에서 제외하였고, 수학교육에 특화된 학술지만을 분석 대상으로 하였다. 2020년 기준으로 KCI에 등재된 국내 수학교육 학술지는 총 7종, SSCI에 등재된 국외 수학교육 학술지는 총 5종이었다. 또한, <JRME>를제외한 국내외 수학교육 학술지가 2000년 이후KCI 또는 SSCI에 등재되었다는 점에서 논문 수집 시기를 2000년으로 설정하였다.

수학적 추론과 관련한 논문을 수집하기 위해 제목에 ‘reasoning’, ‘conjecture’, ‘generalization’, ‘justification’, ‘proof’, ‘refutation’이 들어간 논문을 분석 대상으로 선정하였다. 이는 수학적 추론과 관련한 문헌 검토에서 공통적으로 명시된 활동이었다. 그리고 해당 단어가 제목에는 없지만, 영문초록과 키워드에 동시에 들어갔다면 이 논문들도 분석 대상에 포함하였다. 최종 분석에 선정된 학술지별 논문 수는 Table 2와 같다. 본 연구에서는 국내외 연구 동향을 비교하기 위해 공통의 언어로 기술된 영문 제목과 영문 초록을 분석하였다. 이는 텍스트마이닝의 전처리(pre-processing) 과정을 동일한 기준에서 적용할 수있다는 점에서 연구의 신뢰도를 높일 수 있다는 장점이 있다.

Table 2 The number of domestic and international papers analyzed in each journal

색인학술지명
KCI수학교육학연구73
학교수학66
수학교육31
초등수학교육16
수학교육논문집25
한국초등수학교육학회지23
한국학교수학회논문집28
합계262
SSCIJRME61
JMTE49
ESM126
MTL41
ZDM104
합계381


2. 분석방법

토픽모델링에 적용되는 말뭉치를 정형화된 데이터 집합으로 수정하기 위해 전처리 과정을 수행하였다. 먼저, 대문자를 소문자로 변환하였다. 국외 학술지의 경우 영문 제목이 프랑스어, 독일어 등으로 되어있는 경우가 있어 이를 제거하였다. 그리고 숫자, 문장부호, 특수문자를 제거하였다. 불용어 리스트는 텍스트 마이닝 패키지NLTK를 기준으로 선정하였다(Perkins, 2010). 예를 들어, 대명사(I, you, we 등), 관사, 조동사, 접속사, 전치사, 부사 등은 의미를 부여하기 힘든 단어이므로 제외하였다. 이후 복수형을 단수형으로, 과거형과 현재분사를 현재형으로 변환하였다.

예비분석 결과를 바탕으로 동의어 처리를 수행하였다. 예를 들어, generalise를 generalize로, pre service를 preservice로, primary를 elementary 등으로 변환하였다. 이처럼 의미는 같지만, 형태가 조금씩 다른 단어들의 경우 프로그램이 각기 다른 단어로 인식하기 때문에 전처리가 필요하였다. 또한, 영문 초록에서 연구주제와 관련 없이 자주 등장하는 단어(예: paper, study, article, research, result 등)를 제외하였다. 그리고 거의모든 논문에 포함되어 의미상 불필요하다고 판단한 단어(예, mathematics, use, have, make, education 등)를 제외하였다. 최종적으로 출현 빈도가 5회 미만인 단어를 제외하고 토픽모델링을실행하였다.

LDA 기반 토픽모델링은 Netminer 4.4.3에서 제공하는 패키지를 사용하였다. LDA 분석 시에는연구자가 매개변수, 반복 수행 횟수, 토픽의 개수를 사전에 설정해야 한다. 본 연구는 선행연구를 기반으로 디리클레 분포(Dirichlet distribution)의 매개변수인 토픽 간 사전확률분포인 α를 0.1, 토픽 내 사전확률분포인 β를 0.01로 설정하였고, 반복 수행 횟수는 깁스 샘플링(Gibbs sampling) 기법으로 1000회를 반복하였다(Jin & Ko, 2019; Shin, 2020).

본 연구에서는 전반적인 연구 동향 및 시기별 동향을 살펴보기 때문에 각각에 알맞은 토픽의 개수를 설정해야 했다. 이를 위해 2D Spring Map과 코사인 유사도를 확인하였다. 토픽의 개수는 그 수를 여러 차례 조정하여 토픽 내 단어가 유의미하거나 정확성을 높게 가지는 결과를 선택하였다(Griffiths & Steyvers, 2004). 2D Spring Map을 확인한 결과 전반적인 동향은 Figure 3과같이 K값이 6일 때 토픽 내 단어들이 유의미하였고, 시기별 동향은 Figure 4와 같이 K값이 5일때 토픽 내 단어들이 유의미하였다.

Figure 3.Example of 2D Spring Map with K=6

Figure 4.Example of 2D Spring Map with K=5

또한, 코사인 유사도는 두 벡터 간 각도의 코사인값을 이용하여 측정된 벡터 간의 유사한 정도를 의미한다. 코사인 유사도가 낮으면 토픽 간 중복되는 단어가 적어 분류가 잘되었다고 할 수 있다.

cos(θ)=A·BAB= i=1nAi×Bi i=1nAi 2× i=1nBi 2

전반적인 국내외 연구의 경우 K값이 6일 때코사인 유사도가 0.1 이하로 나타났고, 시기별국내외 연구의 경우 K값이 5일 때 코사인 유사도가 0.1 이하로 나타나 토픽의 개수로 적절하다고 판단하였다.

토픽모델링을 통해 도출된 결과를 바탕으로 각 주제를 구성하고 있는 상위 10개의 단어와해당 주제를 대표하는 논문들을 검토하여 적절한 주제명을 결정하였다(Shin, 2020). 예를 들어, 특정 연구주제의 상위 10개 단어가 ‘generalization, student, pattern, algebraic, representation, problem, relationship, strategy, function, linear’이면  관련단어가 많이 포함된 논문(Nathan & Kim, 2007; Radford, 2008; Warren & Cooper, 2008)을 살펴본후, 주제명을 패턴 일반화(pattern generalization)로 정했다.

1. 국내외 연구주제 비교·분석

수학적 추론과 관련된 국내외 연구의 경향성을 파악하기 위해 연구에서 자주 사용된 단어를 분석하였다. 연구에서 많이 언급된 단어들을 시각적으로 확인하기 위해 Figure 5, Figure 6과 같이 워드 클라우드로 나타냈다.

Figure 5.Word cloud from domestic papers

Figure 6.Word cloud from international papers

국내의 경우 ‘student, reasoning, proof, problem, school’ 순으로 빈도수가 많고, 국외의 경우 ‘student, proof, reasoning, teacher, teaching’ 순으로 빈도수가 많다. ‘student’는 국내 연구에서 가장 많이 사용된 단어로 수학적 추론 연구에서 학생을 대상으로 한 연구가 많다는 것을 알 수 있다. 한편 국외의 경우 ‘teacher, teaching’도 많이 언급된 것으로 보아 학생뿐 아니라 교사를대상으로 한 연구도 많다는 것을 알 수 있다. 연구주제와 관련해서는 국내외 모두 ‘proof’가 많이 언급된 것으로 볼 때 증명과 관련한 연구가많다는 것을 알 수 있다.

수학적 추론과 관련한 국내외 연구주제를 토픽모델링으로 도출한 결과는 Table 3과 같다. 국내외 연구주제를 6개 선정하였고, 연구주제별 출현 빈도가 높은 상위 10개의 단어를 순서대로정리하였다. 수학적 추론에 대한 국내외 연구를주제별로 자세하게 비교하면 다음과 같다.

Table 3 Analysis of domestic and international research topics related to mathematical reasoning

색인주제단어(상위 10개)논문 예시
KCIgeometry proofproof, geometry, student, school, middle, teaching, triangle, method, theorem, textbookSeventh graders' proof schemes and their characteristics in geometric tasks (Byun & Chang, 2017)
justification (gifted student)*student, justification, gifted, ability, learning, elementary, reasoning, activity, school, groupA study on the effective use of tangrams for the mathematical justification of the gifted elementary students (Hwang, 2015)
problem solvingproblem, solving, reasoning, student, analogical, abduction, process, inductive, creative, findingHigh school students' reasoning characteristics in problem solving (Kang & Kim, 2013)
pattern generalizationgeneralization, student, pattern, number, teaching, process, algebraic, school, learning, modelA study on the 6th graders' learning algebra through generalization of mathematical patterns (Kim & Kim, 2009)
proportional reasoningreasoning, proportional, problem, task, elementary, textbook, level, type, student, multiplicationAn analysis on the proportional reasoning understanding of 6th graders of elementary school: focusing to ‘comparison' situations (Park&Kim, 2016)
statistical reasoning (teacher)*student, teacher, understanding, statistical, preservice, representation, data, concept, thinking, taskStudy on pre-service teacher' statistics reasoning ability (Lee, 2011)
SSCIproof and argumentproof, student, argument, theory, statement, teaching, school, mathematician, understanding, validityValidations of proofs considered as texts: Can undergraduates tell whether an argument proves a theorem? (Selden & Selden, 2003)
teacher educationteacher, teaching, knowledge, preservice, development, elementary, school, instruction, learning, reasoningUpper primary school teachers' mathematical knowledge for teaching functional thinking in algebra (Wilkie, 2014)
geometric reasoninggeometry, student, process, conjecture, problem, learning, justification, cognitive, classroom, dynamicDragging, instrumented abduction and evidence, in processes of conjecture generation in a dynamic geometry environment (Baccaglini-Frank, 2019)
pattern generalizationstudent, generalization, algebraic, pattern, representation, function, change, level, problem, relationshipAn early algebra approach to pattern generalisation: Actualising the virtual through words, gestures and toilet paper (Ferrara & Sinclair, 2016)
problem solvingreasoning, student, problem, strategy, task, understanding, concept, grade, solving, typeCalculus students' quantitative reasoning in the context of solving related rates of change problems (Mkhatshwa, 2020)
statistical reasoningreasoning, student, data, statistical, task, learning, inference, model, development, sampleThe role of context in developing informal statistical inferential reasoning: A classroom study (Pfannkuch, 2011)

*대부분의 주제에서 주요 연구대상은 일반 학생이지만, 그렇지 않은 경우에 연구대상을 구분하여 강조하기 위해 제시함



국내외 유사한 연구주제로는 문제해결(problem solving)과 패턴 일반화(pattern generalization)가있다. 문제해결은 분석 결과 ‘problem, solving, reasoning, student’가 공통 단어로 나타났다. 국내의 경우 ‘analogical, abduction, inductive’가 함께제시되는 것으로 보아 문제해결을 통해 유추, 가추, 귀납 등 다양한 추론을 연구하는 논문이 다수 존재한다는 것을 알 수 있다. 예를 들어, Kang & Kim(2013)은 고등학생을 대상으로 개방형 문제를 해결하는 과정에서 나타나는 추론 특성을 알아보았다. 문제해결이 추론 방법과 관련된 단어들과 함께 제시된 국내와 달리, 국외의경우 ‘strategy, task’와 같이 문제해결과 직접적으로 관련된 단어들이 제시되었다. 예를 들어, Mkhatshwa(2020)는 대학생을 대상으로 변화율과 관련된 미적분학 문제를 해결하는 과정에서 드러나는 양적 추론을 알아보았다.

또 다른 국내외 유사한 연구주제인 패턴 일반화에서는 ‘generalization, student, pattern, algebraic’ 이 공통 단어로 나타났다. 국내 연구의 경우 ‘teaching, learning’이 함께 제시된다는 점에서 교수·학습과 관련된 연구가 많다는 것을 유추할수 있다. 예를 들어, Kim & Kim(2009)은 초등학교 6학년 학생을 대상으로 패턴 일반화 과제를제시하고, 대수적인 관점에서 이를 지도하였다.국외의 경우 패턴 일반화가 ‘representation, function, change, level’ 등의 단어와 함께 제시되었다. 이는 ‘패턴 일반화’가 표현, 함수, 변화, 학생 수준 등을 주제로 연구된 것으로 보인다. 예를 들어, Ferrara & Sinclair(2016)는 초등학교 저학년 학생을 대상으로 패턴 일반화 과제를 초기대수(early algebra) 관점에서 접근하는 연구를 하였다.

국내외에서 연구된 주제 중 부분적으로 유사한 연구주제로는 증명(proof)과 통계적 추론(statistical reasoning)이 있다. 증명에 관한 국내외공통 단어는 ‘proof, student, school’로 나타났다. 국내 연구는 ‘geometry, triangle’과 같이 기하와관련된 연구가 많았지만, 국외 연구의 경우 ‘argument’와 같이 논증에 관한 연구가 많았다. 이는 증명에 관한 관심 주제가 국내외별로 상이함을 나타낸다. 이에 증명과 관련한 국내 연구는 기하증명(geometry proof)으로 명명하고, 국외연구는 증명과 논증(proof and argument)으로 명명하였다. 또한, 국내에서 증명과 관련된 연구는 ‘student, school, middle, textbook’과 함께 제시된 것으로 볼 때 중학생 또는 교과서를 대상으로 한 연구가 많다는 것을 알 수 있다. 예를 들어, Byun & Chang(2017)은 중학생을 대상으로 기하증명 문제를 해결하는 과정에서 스키마의 유형과 특징을 조사하였다. 국외의 경우 증명이 ‘student, understanding’ 등과 같이 제시된 것으로 볼 때, 증명에 대한 학생의 이해와 관련한 연구가 이루어지고 있음을 알 수 있다. 예를 들어, Seldon & Selden(2003)은 수학적 논증을 바탕으로 대학생들이 증명을 어떻게 인식하는지를 분석하였다.

통계적 추론은 국내외 유사한 연구주제로 나타났지만, 맥락상의 차이가 존재한다. ‘student, statistical, task, data’가 공통 단어로 나타났고, 그외 단어들은 맥락상의 차이가 있다. 국내의 경우 ‘teacher’와 ‘statistical’이 관련이 있다. 이는 국내에서 교사를 대상으로 한 연구가 많이 이루어지지않았기 때문에, 그나마 연구가 이루어진 통계적추론과 연관성을 나타내는 것으로 해석할 수 있다. 따라서 국내 연구주제를 ‘statistical reasoning (teacher)’로 제시하였다. 예를 들어, Lee(2011)는 중등 예비교사를 대상으로 통계적 추론 능력에 대한 분석과 오개념을 탐색하였다. 한편 국외의통계적 추론은 ‘statistical, data, inference, sample’과 같이 통계와 관련 있는 단어들이 함께 제시된다. 관련한 연구로 Pfannkuch(2011)는 중학생을대상으로 자료의 맥락을 제시하여 비형식적 통계적 추리의 발달 과정을 살펴보았다.

국내 연구주제인 정당화(justification)는 영재학생(gifted student)과 관련이 있다. 이에 연구주제를 ‘justification (gifted student)’으로 제시하였다. ‘justification’은 국외 연구주제 중 하나인 기하 추론(geometric reasoning)에서 나타나는 단어이지만, ‘gifted’는 국내 연구에서만 나타나는 단어이다. 또한 ‘student, gifted, elementary, school’의 단어를 통해 정당화 연구의 대상이 초등학생 또는 영재인 경우가 다수 있음을 알 수 있다. 예를 들어, Hwang(2015)은 초등수학영재를 대상으로 칠교판 과제를 통해 수학적 정당화를 경험할 수 있는 프로그램을 개발하였다.

또 다른 국내 연구주제로는 비례 추론(proportional reasoning)이 있다. 국외에서는 주된 연구주제가아니지만, 국내에서 활발하게 연구되는 분야이다. 비례 추론과 관련된 단어를 살펴보면 다음과 같다. ‘problem, task’를 통해 비례 추론 문제 및 과제를 해결하는 연구, ‘elementary, textbook, student’를 통해 연구대상이 초등학생 또는 교과서인 연구, ‘level, type’을 통해 수준과 유형에 관련된 연구가 있음을 알 수 있다. 관련한 연구로Park & Kim(2016)은 비례 추론 문제를 개발하고, 문제 유형에 따라 나타나는 초등학교 6학년 학생들의 비례 추론 수준을 확인하였다.

국외 연구주제인 교사 교육(teacher education)은국내 연구와 비교했을 때 가장 큰 차이점을 보이는 연구 분야이다. 국외 연구에서 ‘teacher’와 ‘teaching’이 가장 빈번하게 사용된 단어 중 하나라는 점은 수학적 추론에서 교사 교육과 관련한 연구가 활발하게 이루어지고 있음을 의미한다(Figure 6 참조). 교사 교육과 관련된 단어를 살펴보면 다음과 같다. ‘teaching, learning, instruction’을통해 교수·학습과 관련된 연구, ‘teacher, preservice, elementary, school’을 통해 예비교사 또는 초등교사를 대상으로 한 연구, ‘knowledge’를 통해 교사 지식에 관련한 연구 등이 있음을 알 수 있었다. 예를들어, Wilkie(2014)는 초등교사의 함수적 사고와 관련한 교수학적 내용지식(PCK)을 조사하였다.

또 다른 국외 연구주제로는 기하 추론(geometric reasoning)이 있다. 연구주제와 관련한 단어를 살펴보면 ‘conjecture, justification’과 같이 수학적 추론의 주요 활동들과 관련이 있다. 또한 ‘dynamic’의경우 DGE(dynamic geometry environment)와 같이기하 소프트웨어와 관련이 있는 단어이다. 예를들어, Baccaglini-Frank(2019)는 DGE에서 나타나는학생들의 추측 과정을 살펴보았다.

2. 시기별 국내 연구주제 분석

앞서 실시하였던 토픽모델링의 결과를 바탕으로 국내 연구주제의 비율을 살펴보면 Figure 7과 같다. 기하증명이 23%, 정당화(영재)가 17%, 문제해결이 13%, 패턴 일반화가 11%, 비례 추론이 11%, 통계적 추론(교사)이 5% 순으로 나타났다. 국내에서는 기하증명, 정당화, 영재와 관련된 연구가 많이 이루어지고 있다. 비례 추론과 통계적 추론의경우 전체에서 차지하는 비율은 낮았지만, 다양한종류의 추론 중에서 주요 연구주제로 범주화되었다는 것에 의의가 있다.

Figure 7.Domestic research trends

수학적 추론의 연구 동향을 자세히 살펴보기 위해 5년 단위로 국내 연구주제를 살펴보았다. 시기별 국내 연구주제의 비율은 Figure 8과 같다.

Figure 8.Domestic research trends by period

기하증명(topic 1)은 전체에서 가장 많은 비율을 차지하는 연구주제였으나, 시기별로 살펴보면비율이 점차 줄어들고 있다. 2000~2005년에는 약40%를 차지하였으나, 이후 점차 감소하여2016~2020년에는 10% 이내를 차지하고 있다.

비례 추론(topic 5)은 2000~2005년에 연구가 이루어지지 않았지만, 2006~2010년 이후 10% 내외로 연구가 꾸준히 이루어지고 있다. 통계적 추론(topic 6) 역시 2000~2005년에 연구가 없었지만, 2006~2010년에 연구가 시작된 이후로 지속해서연구가 이루어지고 있다.

2016~2020년의 경우, 6개의 연구주제가 고르게 분포하고 있었으나 기타 영역이 다른 시기와 비교하여 차지하는 비율이 높다. 이는 최근 수학적추론에 관한 연구주제가 다변화되고 있기 때문으로 해석된다.

수학적 추론에 대한 시기별 연구의 동향을 더 자세하게 살펴보기 위해 토픽모델링으로 분석한 결과는 Table 4와 같다. 시기별로 5개의 연구주제를 선정하고, 연구주제별 출현 빈도가 높은 상위 10개의 단어를 순서대로 정리하였다. Table 4를 살펴보면, Table 3에서는 확인할 수 없었던시기별 특정 주제를 확인할 수 있다.

Table 4 Analysis of domestic research topics related to mathematical reasoning by period

시기주제단어(상위 10개)논문 예시
2000 ~ 2005geometry proofproof, teaching, geometry, mean, understanding, method, grade, experiment, preformal, geneticAn analysis of proof factors in the intuitive geometry for seventh grade (Cho & Jung, 2003)
justificationreasoning, elementary, ability, student, justification, school, apply, deductive, example, inductiveA study on mathematical justification activities in elementary school (Kwon, 2003)
pattern generalizationgeneralization, school, teacher, relationship, algebraic, pattern, student, teaching, tool, methodA study on approaches to algebra focusing on patterns and generalization (Kim, 2003)
Pythagorean theoremproof, Pythagorean, school, theorem, angle, know, middle, term, text, relationshipVarious proofs and educational applications of Pythagorean theorem (Hong, 2003)
instructional modelstudent, model, activity, problem, development, process, generate, comvergent, solving, spreadsheetDevelopment and applications of mathematical proof learning-teaching methods: The generative-convergent mode (Lee & Kim, 2004)
2006 ~ 2010geometry proofproof, student, geometry, learning, school, development, method, activity, teaching, understandingTeaching geometry proof with focus on the analysis (Na, 2009)
pattern generalizationgeneralization, pattern, unit, student, school, teacher, finding, elementary, teaching, processGeneralization and symbol expression through pattern research: Focusing on pictorial/geometric pattern (Kang, 2007)
justificationjustification, reasoning, ability, level, type, figure, child, inductive, student, identifyAnalysis on the types of mathematically gifted students' justification on the tasks of figure division (Song et al., 2006)
proportional reasoningproportional, problem, reasoning, student, multiplication, solving, situation, test, concept, typeAnalysis on elementary students' proportional thinking: A case study with two 6-graders (Ko & Lee, 2007)
spatial reasoningstudent, thinking, spatial, visual, reasoning, solving, representation, problem, gifted, variationAn investigation on 6th grade students' spatial sense and spatial reasoning (Kim & Pang, 2007)
2011 ~ 2015geometry proofproof, geometry, student, number, school, property, middle, grade, method, textbookExploring students' thinking in proof production in geometry (An & Kim, 2014)
problem solvingproblem, reasoning, solving, student, school, type, process, thinking, development, creativeAn analysis on the 4th graders' ill-structured problem solving and reasoning (Kim, Heo, Cho, &Park, 2012)
proportional reasoningreasoning, proportional, student, creative, strategy, development, task, elementary, abduction, levelThe analysis of 6th-grade elementary school student's proportional reasoning ability and strategy according to academic achievement (Eom & Kwean, 2011)
pattern generalizationgeneralization, student, proportional, pattern, algebraic, task, reasoning, strategy, process, representationExamining the students' generalization method in relation with the forms of pattern: Focused on the 6th grade students (Lee & Na, 2012)
justification (gifted student)*student, gifted, justification, elementary, ability, learning, process, lesson, compare, errorAn analysis of justification process in the proofs by mathematically gifted elementary students (Kim & Park, 2011)
2016 ~ 2020.06number and operation (textbook)*textbook, fraction, number, division, addition, digit, argument, unit, structure, modelA comparative analysis of fraction multiplication in Korean and Japanese elementary mathematics textbooks: Focused on quantitative reasoning (Lee &Pang, 2019)
problem solvingproblem, solving, reasoning, student, task, process, abduction, level, geometry, typeAnalysis of abduction in mathematics problem posing and solving (Lee & Kim, 2020)
proportional reasoningstudent, proportional, reasoning, strategy, covariational, situation, grader, gragh, quantitative, quantityRelationship between proportional reasoning and covariational reasoning of 7th grade students (Park & Lee, 2020)
justification (gifted student)*student, learning, generalization, gifted, proof, finding, justification, school, class, characteristicComparative analysis of generalization and justification of the mathematically gifted 6th graders by learning styles (Yu & Chang, 2017)
statistical reasoning (teacher)*teacher, reasoning, elementary, task, statistical, preservice, ability, concept, teaching, questionStatistical reasoning of preservice elementary school teachers engaged in statistical problem solving: Focused on question posing stage (Lee & Park, 2019)

*대부분의 주제에서 주요 연구대상은 일반 학생이지만, 그렇지 않은 경우에 연구대상을 구분하여 강조하기 위해 제시함



2000~2005년에는 기하증명, 정당화, 패턴 일반화의 연구주제가 국내의 전반적인 연구주제와 유사한 양상을 보인다. 다만 정당화는 영재 학생이 아닌, ‘deductive, inductive’와 같은 단어들과 함께 나타나는 것으로 볼 때 귀납적 정당화, 연역적 정당화와 관련한 연구가 이루어졌음을 알 수 있다. 이 시기에는 기하와 증명에 관련된주제가 많이 나타나는데, 특히 피타고라스의 정리(Pythagorean theorem)가 연구주제로 나타날 만큼 기하증명과 관련된 연구가 많이 이루어졌다. 관련 연구로 Cho & Jung(2003)은 중학교 1학년교과서에 제시된 기하 관련 증명요소를 분석하였다.

또한, 수업 모델(instructional model)과 관련된주제도 나타났다. 이는 2000~2005년의 경우 총논문 편수가 34편밖에 되지 않은 상황에서 수업모델과 관련한 연구가 다수 존재하여 연구주제로 나타난 것으로 보인다. 관련 연구로 Lee & Kim(2004)은 중학생을 대상으로 증명학습 및 지도를 하기 위한 수업 모델을 개발하였다.

2006~2010년에는 정당화의 경우 ‘level, type’이관련 단어로 나타났는데, 이는 정당화의 유형 및수준에 관한 연구가 있음을 의미한다. 관련 연구로 Song, Heo, & Yim(2006)은 초등수학영재들이 도형의 최대 분할 과제에서 보이는 정당화 유형을 분석하였다. 그리고 비례 추론과 공간 추론이새로운 연구주제로 나타났다. 특히 비례 추론의경우 2010년 이후에도 연구주제로 꾸준히 다루어진다. 공간 추론은 2006~2010년에 많이 다루어진주제이다. 관련 연구로 Kim & Pang(2007)은 초등학교 6학년 학생들의 공간 감각 및 공간 추론 능력 사용형태를 분석하였다.

2011~2015년의 주제들은 통계적 추론을 제외하고 국내의 전반적인 연구주제와 유사하게 나타났다. 이 시기부터 ‘gifted’와 ‘justification’이 함께 나타났다. 또 다른 특징으로 2011~2015년에 ‘task’라는 단어가 비례 추론과 패턴 일반화 연구주제에서 처음으로 나타났다. 이는 비례 추론, 패턴 일반화를 연구할 때 특정 과제 맥락을 중요하게 다루고 있다고 해석된다. 예를 들어, Lee & Na(2012)는 초등학교 6학년 학생들을 대상으로 6가지 패턴 유형 과제를 제공하고 이를 일반화할 수 있는지 조사하였다. ‘task’는 이후 2016~2020년연구주제인 문제해결과 통계적 추론(교사)에서도나타났다.

2016~2020년에는 문제해결, 비례 추론, 정당화(영재) 등이 연구주제로 나타났다. 주목할 만한 특징은 수와 연산(교과서)이 새로운 연구주제로 나타났다는 점이다. 이 연구주제에서는 ‘fraction, number, division, addition, digit’ 등과 같이 수와 연산에 관한 단어들이 많이 나타났다. 특히 교과서와 분수가 대표적인 단어로 나타났다. 이는 2015 개정 수학과 교육과정이 적용되면서 관련 교과서 및 교육과정에 대한 연구가 증가하면서 나타난 영향으로 보인다. 관련 연구로 Lee & Pang(2019)은한국과 일본 수학 교과서의 분수의 곱셈 단원을 양적 추론을 중심으로 비교·분석하였다.

또한, 매 시기별로 등장했던 기하증명이2016~2020년에는 연구주제로 나타나지 않았다. ‘geometry’는 문제해결에서 나타났고, ‘proof’는정당화에서 나타났다. 이는 기하증명이 차지하는비율이 높던 2000년대와 비교하여, 현재 수학적추론의 연구주제가 다양하게 변화하고 있다는 것을 의미한다. 더불어 통계적 추론(교사)이 연구주제로 새롭게 나타났다. 이 연구주제에서는 ‘teacher, reasoning, statistical, preservice, teaching’ 등과 같이 교사 및 통계와 관련한 단어들이 나타났다. 관련 연구로 Lee & Park(2019)은 예비초등교사를 대상으로 통계 문제해결 과정에서 나타나는 통계적 추론을 분석하였다. 비례 추론의 경우 ‘covariational’이라는 단어가 나타난다는특징이 있다. 이는 공변 추론 연구가 최근 국내에서 이루어지고 있다는 것을 의미한다. 관련 연구로 Park & Lee(2020)는 중학생을 대상으로 비례 추론과 공변 추론과의 관련성을 질적으로 분석하였다.

정리하면, 2000~2005년에는 기하증명에 관한연구가 많이 이루어졌고, 2006~2010년에는 비례추론과 공간 추론이 주요 연구주제로 새롭게 나타났다. 2011~2015년에는 영재를 대상으로 하는연구가 많이 이루어졌고, 2016~2020년에는 수와연산(교과서)과 통계적 추론(교사)이 주요 연구주제로 새롭게 나타났다.

3. 시기별 국외 연구주제 분석

Table 3의 토픽모델링 결과를 바탕으로 국외연구주제의 비율을 살펴보면 Figure 9와 같다. 증명과 논증이 25%, 교사 교육이 17%, 기하 추론이 15%, 패턴 일반화가 12%, 문제해결이 9%, 통계적 추론이 7% 순으로 나타났다. 국외에서는증명과 논증, 교사 교육과 관련된 연구가 많이이루어지고 있다.

Figure 9.International research trends

이어서 국외 연구 동향을 자세히 살펴보기 위해 5년 단위로 연구주제를 살펴보았다. 시기별국외 연구주제의 비율은 Figure 10과 같다.

Figure 10.International research trends by period

전반적으로 증명과 논증(topic 1)이 매 시기별로 가장 많은 부분을 차지하고 있으나, 2011~ 2015년에는 교사 교육(topic 2)이 가장 많은 부분을 차지한다. 교사 교육의 경우 2000~2005년에는 10% 내의 비율로 나타났지만, 이후 20% 내외의비율을 유지하는 것으로 변화하였다. 통계적 추론(topic 6)의 경우 2000년대에는 논문 편수가 많지 않았으나, 2010년대에는 연구가 활발히 이루어졌다. 이는 타 연구주제와 비교하여, 통계적추론이 최근 들어 양적인 성장을 했다는 것을 의미한다. 기하 추론(topic 3), 패턴 일반화(topic 4), 문제해결(topic 5)은 시기별로 약간의 차이는있지만, 전반적으로 고르게 나타나는 것을 확인할 수 있다.

더불어 시기별 국외 연구주제를 토픽모델링으로 도출한 결과는 Table 5와 같다. 국내 연구주제 분석과 마찬가지로 5개의 연구주제를 선정하였고, 연구주제별 출현 빈도가 높은 상위 10개의단어를 순서대로 정리하였다. 시기별 국외 연구주제는 전반적인 국외 연구주제와 유사하지만, 맥락상의 차이가 존재한다. 예를 들어, 기하 관련 연구의 경우 2000~2005년에는 ‘dynamic, software, environment’ 등의 단어들로 볼 때 소프트웨어 프로그램을 활용한 연구가 주를 이루었다면, 2016~2020년에는 ‘conjecture, intervention’ 등의 단어들로 볼 때 추측 혹은 개입에 관한 연구가 이루어지고 있다고 해석할 수 있다.

Table 5 Analysis of international research topics related to mathematical reasoning by period

시기주제단어(상위 10개)논문 예시
2000 ~ 2005proof and argumentproof, school, concept, secondary, argument, student, idea, understanding, limit, validityTeachers' conceptions of proof in the context of secondary school mathematics (Knuth, 2002)
geometrystudent, geometry, dynamic, explanation, apply, diagram, software, environment, high, constructProviding a foundation for deductive reasoning: Students' interpretations when using dynamic geometry software and their evolving mathematical explanations (Jones, 2000)
pattern generalizationreasoning, student, concept, algebraic, definition, generalization, type, instruction, grade, patternGeneralization and justification: The challenge of introducing algebraic reasoning through patterning activities (Lannin, 2005)
teacher educationteacher, teaching, classroom, development, role, understanding, context, support, explore, situationHelping elementary teachers build mathematical generality into curriculum and instruction (Blanton & Kaput, 2005)
problem solvingstudent, problem, reasoning, example, data, interview, solving, level, learning, findingDidactical handling of students' reasoning processes in problem solving situations (Brousseau & Gibel, 2005)
2006 ~ 2010proof and argumentproof, argument, structure, model, validity, episode, notion, conceptualization, theory, statementA method for revealing structures of argumentations in classroom proving processes (Knipping, 2008)
teacher educationteacher, teaching, preservice, knowledge, student, understanding, discuss, mean, learning, developmentProspective teachers' reasoning and response to a student's non-traditional strategy when dividing fractions (Son & Crespo, 2009)
pattern generalizationgeneralization, student, pattern, algebraic, representation, problem, relationship, strategy, function, linearPattern generalization with graphs and words: A cross-sectional and longitudinal analysis of middle school students' representational fluency (Nathan & Kim, 2007)
geometric reasoningreasoning, student, task, understanding, problem, geometry, examine, relationship, representation, identifyStudents' coordination of geometric reasoning and measuring strategies on a fixed perimeter task: Developing mathematical understanding of linear measurement (Barrett et al, 2006)
justificationstudent, reasoning, justification, process, relate, support, point, model, development, strategyConnections between generalizing and justifying: Students' reasoning with linear relationships (Ellis, 2007)
2011 ~ 2015teacher educationteacher, student, learning, knowledge, teaching, school, understanding, development, instruction, classroomThe mediating role of a teacher's use of semiotic resources in pupils' early algebraic reasoning (Bjuland, 2012)
proof and argumentproof, example, argument, read, mathematician, finding, student, validity, strategy, statementWhy and how mathematicians read proofs: Further evidence from a survey study (Mejia-Ramos & Weber, 2014)
geometric reasoningreasoning, task, student, geometry, spatial, concept, engage, conjecture, design, childFirst-graders' spatial-mathematical reasoning about plane and solid shapes and their representations (Hallowell et al, 2015)
statistical reasoningstudent, reasoning, inference, number, statistical, sample, development, context, data, actionDeveloping students' reasoning about samples and sampling variability as a path to expert statistical thinking (Garfield et al, 2015)
problem solvingproblem, child, cognitive, solving, process, thinking, reasoning, relationship, strategy, typePrimary school children's strategies in solving contingency table problems: The role of intuition and inhibition (Obersteiner et al, 2015)
2016 ~ 2020.06proof and argumentproof, argument, evidence, teaching, theory, accept, construct, aspect, examine, contextEvidence and argument in a proof based teaching theory (Reid & Vallejo Vargas, 2019)
teacher educationteacher, teaching, reasoning, knowledge, elementary, development, preservice, design, task, learningPrimary school teachers implementing structured mathematics interventions to promote their mathematics knowledge for teaching proportional reasoning (Hilton & Hilton, 2019)
geometric reasoningstudent, problem, conjecture, geometry, solving, write, learning, intervention, response, cognitiveIntuition and proof in the solution of conjecturing problems (Mariotti & Pedemonte, 2019)
statistical reasoningreasoning, student, model, statistical, change, graph, understanding, context, thinking, supportThe role of model comparison in young learners' reasoning with statistical models and modeling (Dvir & Ben-Zvi, 2018)
pattern generalizationstudent, reasoning, generalization, algebraic, understanding, pattern, grade, relationship, level, functionTrends of progression of student level of reasoning and generalization in numerical and figural reasoning approaches in pattern generalization (Mouhayar, 2018)


2000~2005년에는 증명과 논증, 교사 교육, 문제해결, 패턴 일반화가 연구주제로 나타났다. 다만 앞서 언급했듯 기하 관련 연구의 경우 소프트웨어를 활용한 연구가 많이 이루어졌다. 따라서 주제명을 광의의 관점에서 ‘geometry’로 정했다. 관련 연구로 Jones(2000)는 초등학생을 대상으로 동적기하 프로그램을 활용하여 연역적 추론을 경험하는 프로그램을 개발하였다. 증명과논증의 경우 ‘proof, school, concept, secondary’ 등이 상위 단어로 나타났는데, 이는 중등학교 혹은 수학적 개념을 주제로 한 연구가 많다고 해석할 수 있다. 예를 들어, Knuth(2002)는 중등교사가 학교 수학에서 증명에 대한 개념을 어떻게 바라보고 있는지를 조사하였다.

2006~2010년에도 증명과 논증, 교사 교육, 기하 추론, 패턴 일반화의 유사한 연구주제가 나타났다. 다만 정당화가 새로운 주제로 나타날 만큼이 시기에 정당화에 관한 연구가 많이 이루어졌음을 알 수 있다. 관련 연구로 Ellis(2007)는 일차함수 과제에서 중학생들이 나타내는 일반화 및정당화 사이의 관계를 조사하였다. 또한, 교사교육의 경우 2000~2005년에는 보이지 않았던 ‘preservice, knowledge’ 등의 단어가 나타났다. 이는 예비교사를 대상으로 한 연구와 교사 지식에관한 연구가 이 시기부터 활발히 이루어졌음을 의미한다. 예를 들어, Son & Crespo(2009)는 학생들이 분수의 나눗셈 문제를 비정형적 전략으로 해결할 때 초ㆍ중등 예비교사들이 보이는 교수 반응과 추론 능력을 살펴보았다.

2011~2015년의 경우 교사 교육, 증명과 논증, 기하 추론, 통계적 추론, 문제해결이 연구주제로나타났다. 통계적 추론은 이 시기에 처음으로 나타난 주제였다. 통계적 추론에서는 ‘inference’라는 단어가 나타났다. 이는 모집단에서 추출한 표본으로 모집단의 특성을 추론할 때 ‘inference’라는 통계적인 용어를 사용하기 때문이다. 또한 ‘sample, data’와 같이 통계와 밀접한 관련이 있는 단어들이 나타났다. 관련 연구로 Garfield, Zieffler, & Ben-Zvi(2015)는 학생들이 표본 추출변동성을 통해 통계적 추론 능력을 어떻게 개발하는지 분석하였다.

증명과 논증의 경우 ‘read, mathematician’과 같은 단어들이 나타났다. 관련 연구로 Mejia-Ramos & Weber(2014)는 수학자들이 증명을 읽는 이유와 방법을 설문 조사하였다. 기하 추론의 경우 ‘spatial’이 나타났는데, 이는 기하와 공간 추론연구가 함께 이루어졌음을 의미한다. 예를 들어, Hallowell, Okamoto, Romo, & La Joy(2015)는 초등학교 1학년 학생들이 평면 및 입체 도형을 표현하는 과정에서 나타나는 공간 추론을 분석하였다. 문제해결의 경우 ‘child’가 나타났는데, 어린 학습자를 대상으로 연구가 이루어졌음을 의미한다. 관련 연구로 Obersteiner, Bernhard, & Reiss(2015)는 초등학교 2학년 학생들이 분할표관련 문제를 해결하기 위한 전략을 세울 때, 직관과 억제가 어떤 역할을 하는지 살펴보았다.

2016~2020년의 경우 증명과 논증, 교사 교육, 기하 추론, 통계적 추론, 패턴 일반화가 주제로나타났다. 증명과 논증에서는 2016~2020년에 처음으로 ‘teaching’이 나타났다. 이는 최근 들어 증명과 논증을 어떻게 가르칠 것인가에 대한 연구가 이루어지고 있음을 의미한다. 예를 들어, Reid & Vallejo Vargas(2019)는 증명 기반 교수이론에서 증거와 논증의 역할을 설명하였다. 교사 교육에서는 ‘elementary’가 나타났다. 이를 통해 교사 교육에서 초등교사 혹은 초등 예비교사를 대상으로 다수의 연구가 이루어졌다는 것을 알 수 있다. 관련 연구로 Hilton & Hilton(2019)은초등교사의 비례 추론에 대한 교수학적 내용지식에서 개입이 미치는 영향을 조사하였다. 통계적 추론에서는 ‘model’이 나타났는데, 이는 최근통계 모델과 관련한 연구가 진행되고 있음을 나타낸다. 관련 연구로 Dvir & Ben-Zvi(2018)는 초등학생을 대상으로 비형식적 통계 추리의 주요 활동인 통계 모델을 비교하는 연구를 진행하였다. 기하 추론에서는 ‘problem, conjecture, geometry, solving’ 등의 단어가 나타났다. 이는 기하와 문제해결이 관련이 있다는 것을 의미한다. 예를 들어, Mariotti & Pedemonte(2019)는 개방형 기하문제를 해결하는 과정에서 추측이 어떤 역할을 하는지 살펴보았다.

정리하면, 2000~2005년에는 증명과 논증, 공학적 도구를 활용한 기하 연구가 주로 이루어졌다. 2006~2010년에는 정당화가 주요 연구주제로 새롭게 나타났고, 2011~2015년에는 통계적 추론이주요 연구주제로 새롭게 나타났다. 2016~2020년에는 증명과 논증, 통계적 추론 등에서 세부적인변화가 나타났다.

본 연구는 수학적 추론 연구의 동향을 분석하기 위해 2000년부터 2020년 6월까지 국내 7종, 국외 5종의 수학교육 전문 학술지에 등재된 643편의 논문을 대상으로 토픽모델링 분석을 수행하였다. 분석 결과, 국내 연구주제는 기하증명, 정당화, 문제해결, 패턴 일반화, 비례 추론, 통계적 추론 순으로 나타났다. 국외 연구주제는 증명과 논증, 교사 교육, 기하 추론, 패턴 일반화, 문제해결, 통계적 추론 순으로 나타났다. 또한, 시기별로 살펴보면 국내의 경우 2000~2005년에는기하증명이 주요 연구주제였지만, 2006~2010년에는 비례 추론이 새로운 연구주제로 나타났고, 2011~2015년에는 영재 학생을 대상으로 한 연구가, 2016~2020년에는 교과서를 대상으로 한 연구가 많이 이루어졌다. 국외의 경우 시기별로 큰변화 없이 증명과 논증, 교사 교육, 기하 추론,패턴 일반화, 문제해결이 주요 연구주제로 나타났고, 2011~2015년에는 통계적 추론이 새로운 연구주제로 나타났다. 이를 바탕으로 결론 및 제언을 하면 다음과 같다.

첫째, 국내 연구에서 교사 교육과 관련한 연구가 상대적으로 부족하였다. 국외의 경우 교사 교육과 관련한 연구는 지난 20년간 꾸준히 이루어졌다. 특히 2011~2015년에는 교사 교육이 전체연구주제에서 가장 많은 부분을 차지하기도 하였다. 또한, 교사 전문성 신장에 관한 연구(Blanton & Kaput, 2005; Steele, 2005), 교사 지식에 관한 연구(Stylianides & Ball, 2008), 교수·학습에 관한 연구(Bjuland, 2012), 초등교사 및 예비교사에 관한 연구(Biehler, Frischemeier, & Podworny, 2018; Hilton & Hilton, 2019) 등의 다양한 연구 동향을 확인할 수 있었다. 하지만 국내에서는 교사 교육과 관련한 연구주제가 2016~2020년에 처음으로 나타났다. 눈에 띄는 것은 교사 교육이 통계적 추론과 연관되어 나타났다는 점이다. 이는 국내의 교사 교육 연구가 아직 다양한 추론 영역에서 이루어지고 있지 않다는 것을 의미한다. 최근 우리나라에서 교사 교육연구가 확대되고 있다는 점에서, 수학적 추론 연구와 관련해서도 교사 교육이 보다 다양한 측면에서 확장될 필요가 있어 보인다.

둘째, 국외 연구에서는 논증하기, 추측하기와같은 수학적 추론의 과정에 중점을 둔 연구가 많았다. 국내에서는 증명이 기하와 함께 연구되는 경향이 있는 반면, 국외에서는 증명이 논증과함께 연구되는 경향이 있었다. 예를 들어, Stylianides et al.(2017)은 수학교육에서 증명이 서로 다른 관점에서 다루어지고 있으며, 문제해결로 바라보는 관점과 설득의 과정으로 바라보는 관점이 있다고 설명하였다. 국내의 경우 증명을문제해결의 관점에서 주로 다루고 있었지만(Byun & Chang, 2017; Song et al., 2006), 국외의경우 증명을 설득의 과정, 다시 말해 논증을 통해 이루어지는 것으로 보고 있는 경우가 많았다(Knipping, 2008; Reid & Vallejo Vargas, 2019; Selden & Selden, 2003). 이는 국내외 연구에서증명에 대한 관점에 차이가 있다고 볼 수 있으며, 국외의 경우 국내와 비교하여 과정에 중점을두고 있는 것으로 보인다. 또한, 추측하기는 수학적 추론 과정에서 매우 중요한 활동이지만, 국내에서는 관련 연구가 매우 드물었다. 반면 국외의 경우 추측하기와 관련한 연구가 많이 이루어진 것을 확인할 수 있었다(Baccaglini-Frank, 2019; Mariotti & Pedemonte, 2019). 이에 국내에서도 수학적 추론의 과정에 중점을 둔 연구가 필요해 보인다.

셋째, 국내의 수학적 추론 연구가 최근 다변화되고 있다는 점은 의미가 있었다. 2000년대에는기하증명과 관련한 연구가 주를 이루었다면, 2010년대 들어 통계적 추론과 같은 새로운 연구주제들이 나타나기 시작하였고, 연구주제별 비율도 특정 주제에 치우치지 않고 고르게 나타나는 것으로 조사되었다. 또한, 2016~2020년에는 수와연산, 교과서를 대상으로 한 연구가 연구주제로나타났다. 이는 2015 개정 교육과정이 등장하면서 교과서 및 수와 연산 영역에서 변화된 내용을 연구주제로 다룬 것으로 보인다. 특히 2015 개정 수학과 교육과정에서 추론 능력이 교과 역량으로 강조되면서 더욱 관심이 커진 것으로 보인다. 더불어 2016~2020년에 ‘covariational, quantiative’ 등의 단어들이 새롭게 나타났다. 이는 공변 추론과 양적 추론에 관한 연구가 최근 들어 활발하게 이루어지고 있는 것으로 해석된다. 이러한 특징들은 국내의 수학적 추론 연구가다변화되고 있다는 사실을 뒷받침해준다.

넷째, 최근 국외 연구에서 새로운 특징이 나타났다. 교사 교육의 경우 ‘design’이라는 단어가처음으로 나타났는데, 이는 수업 설계, 과제 설계 등과 관련된다고 해석할 수 있다(Lithner, 2017). 또한, 통계적 추론의 경우 ‘context’가 나타났는데, 이는 수학적 모델링의 영향을 받아 실생활 맥락을 바탕으로 수학적 추론 연구가 이루어지고 있음을 확인하였다(Wilkerson & Laina, 2018). 또한, 학생에게 수학적 추론을 지도하기위한 교수학적 개입 방안에 대한 연구가 활발하게 이루어지고 있었다(Hilton & Hilton, 2019; Hunt & Silva, 2020; Powell, Berry, & Barnes, 2020). 예를 들어, Powell et al. (2020)은 문장제를 어려워하는 초등학생들을 대상으로 교수학적 개입을 하여 초기 대수적 추론 능력을 신장하게 하는 연구를 하였다. 이처럼 국외 연구에서는 수학적 추론과 관련한 연구주제가 새롭게 등장하고 있다는 측면에서 국내에서도 이와 관련한 연구에 관심을 가질 필요가 있다.

한편, 본 연구는 지난 20년간 국내외 수학적추론 연구의 동향을 살펴보고, 앞으로 수학적 추론 연구에서 관심을 가져야 할 연구주제를 제안하였다. 더불어 본 연구에서는 LDA 기반 토픽모델링을 활용하여 방대한 양의 텍스트에서 유의미한 주제를 용이하게 산출하였으나, 몇 가지 제한점이 드러나기도 하였다. 먼저, 토픽별로 나타나는 단어들의 맥락을 완전히 이해하기 어렵다는 한계가 있었다. 이는 LDA 알고리즘이 텍스트의 맥락을 고려하지 않은 채 단어들을 산출하기 때문이다. 이 문제를 해결하기 위해 관련 단어들이 나타난 논문들을 확인하여 맥락을 이해하는작업이 필요하였다. 또한, 본 연구처럼 특정 주제에 대한 데이터를 수집하는 것은 많은 시간이소요되었다. 한 학술지에서 전체 논문을 수집하는 경우 크롤링(crawling)을 하면 손쉽게 데이터를 수집할 수 있으나, 특정 주제의 데이터를 수집하기 위해서는 경우의 수를 입력하고 수집할논문들을 일일이 확인하는 작업이 필요하였다.이후 토픽모델링을 활용한 후속연구에서는 이러한 어려움에 대해 보다 효율적이고 체계적인 방안이 심도 있게 논의되기를 기대한다.

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Article

전자저널 논문

2020; 30(4): 625-648

Published online November 30, 2020 https://doi.org/10.29275/jerm.2020.11.30.4.625

Copyright © Korea Society of Education Studies in Mathematics.

An Analysis of Domestic and International Research Trends of Mathematical Reasoning through Topic Modeling

JiNam Hwang1, JeongSuk Pang2

*Graduate Student, Korea National University of Education, South Korea, whiyoung10@naver.com
**Professor, Korea National University of Education, South Korea, jeongsuk@knue.ac.kr

Correspondence to:corresponding author

Received: September 28, 2020; Revised: November 5, 2020; Accepted: November 5, 2020

Abstract

In order to understand the research trends in mathematical reasoning since 2000, this study analyzed 262 papers published in seven KCI journals and 381 papers published in five SSCI journals via topic modeling. The overall research topics were compared and contrasted between domestic journals and international journals. A more detailed analysis was conducted by considering different publication periods. The results showed that the main domestic research topics included, in order, geometry proof, mathematical justification, problem solving, pattern generalization, proportional reasoning, and statistical reasoning, whereas the main international research topics included, in order, proof and argument, teacher education, geometric reasoning, pattern generalization, problem solving, and statistical reasoning. The results of this study also showed that gifted students represented the most popular research target of domestic studies, while the process of mathematical reasoning was the main focus of international studies. This paper closes with implications on research targets including teachers, attention to the mathematical reasoning process, diversity of research topics, and new research topics that may guide future research on mathematical reasoning.

Keywords: mathematical reasoning, topic modeling, research trends

I. 서론

수학적 추론은 수학을 학습하는 과정에서 핵심적인 사고 방법 중 하나이다. 학생들은 수학을학습하는 과정에서 과연 그러한가, 왜 그러한가등의 추론을 경험하는데, 이는 특정한 예를 넘어일반적인 관계를 인식하는 것에 도움이 된다(Lannin, Ellis, & Elliott, 2011). 또한, 추론은 수학 수업에서 개념, 원리, 법칙, 문제해결, 계산기능을 다루는 기본 바탕이 된다(Lee, Kim, Kim, & Kim, 2017). 이처럼 수학적 추론은 수학을 학습할 때 중요한 역할을 담당하며, 학생들의 사고력을 신장하는 데 도움을 준다.

이러한 이유로 여러 나라의 수학과 교육과정에서는 수학적 추론을 핵심역량 중의 하나로 강조하고 있다(Kwon, 2020). 예를 들어, 미국의 CCSSI(2010)에서는 학생들의 인지적 활동을 수학적 실천으로 명명하고, 수학적 실천의 8가지기준 중 추론과 관련된 내용을 ‘추상적, 양적으로 추론하기’, ‘논증을 구성하고 다른 사람의 추론을 비판하기’, ‘구조를 찾고 사용하기’, ‘반복되는 추론에서 규칙성을 찾고 표현하기’의 4가지로 언급하고 있다. 또한, 호주에서는 추론을 학년별로 다루는 수학 내용과 결합하여 제시하는데, 예를 들어, 초등학교 1학년에서는 ‘자료의 표현을 정당화하며, 패턴을 만들고 설명하는 것’이포함된다(ACARA, 2015). 한편 우리나라 2015 개정 수학과 교육과정에서 추론은 “수학적 사실을추측하고 논리적으로 분석하고 정당화하며 그 과정을 반성하는 능력”을 의미한다(Ministry of Education, 2015, p. 4). 이렇듯 수학과 교육과정에서 추론은 학생들이 수행하는 사고 활동의 전반을 의미하는 것으로 보이며, 더불어 미래 사회를 위해 준비해야 할 소양(literacy)으로서 다루어지고 있다.

이러한 흐름에 맞추어 국내외 많은 연구자들은 수학적 추론에 관심을 가지고 연구를 진행하였다. 예를 들어, 수학적 추론의 교수ㆍ학습에관한 연구(Kim & Kim, 2009; Reid & Vallejo Vargas, 2019), 수학적 추론의 수준에 관한 연구(Mouhayar, 2018; Park & Kim, 2016), 수학적 추론의 과제에 관한 연구(Byun & Chang, 2017; Mkhatshwa, 2020), 수학적 추론의 과정을 분석한연구(Mariotti & Pedemonte, 2019; Mata-Pereira & Da Ponte, 2017) 등이 국내외에서 다양하게 이루어졌다.

그러나 수학적 추론 연구의 전반적인 동향을 파악한 연구는 별반 없다. 수학교육에서 수학적 추론의 중요성을 감안하고, 최근에 특히 다양하게 이루어지고 있는 추론 연구의 주제를 파악하는 것이 필요하다. 더불어 국내외 연구 동향을비교 및 대조하여 살펴보는 것은 국내 연구의 특징과 시사점을 보다 분명하게 확인할 수 있다는 점에서 장점이 있다. 이와 관련하여 Shin (2020)은 국내외 수학교육 연구의 동향을 비교하였는데 특히 수학적 추론과 관련하여 국외의 경우 대수적 추론과 통계적 추론을 강조하는 것과 달리, 국내의 경우 그렇지 않다는 결과를 토대로관련 연구의 필요성을 언급하였다. 이 연구는 국내외 수학교육 연구의 전반적인 동향을 체계적으로 분석했다는 점에서 의의가 있지만, 수학적추론의 동향을 구체적으로 파악하는 데는 어려움이 있다.

한편, 기존의 동향 연구에서는 방대한 양의 데이터를 연구자가 설정한 분석틀(framework)에 따라 수작업으로 분류하고, 교차검토를 통해 신뢰도를 확보하는 방법을 사용하였다(Pang et al., 2019). 이는 맥락에 대한 이해를 바탕으로 데이터를 구체적으로 분석할 수 있다는 장점이 있으나, 많은 시간과 노력이 필요하다는 어려움이 있다. 최근 방대한 양의 텍스트에서 숨겨진 주제를발견하는 텍스트마이닝의 한 형태인 토픽모델링이 주목을 받고 있다(Maier et al., 2018).

이와 같은 연구 배경을 바탕으로 본 연구에서는 토픽모델링을 활용하여 지난 20년간 국내외수학교육 전문 학술지에 게재된 수학적 추론 관련 논문을 대상으로 연구 동향을 분석하였다. 먼저 토픽모델링을 활용하여 국내외 연구주제를 비교·분석하였다. 또한 국내외 연구의 변화 및추이를 살펴보기 위해 5년 단위로 나누어 토픽모델링을 수행하고, 시기별 흐름을 자세히 분석하였다. 이를 통해 수학적 추론에 관한 국내 연구의 발전 방향을 모색하고자 한다. 나아가 수학적 추론과 같은 특정 주제에 대한 토픽모델링 연구의 시사점을 논의하고자 한다.

II. 이론적 배경

1. 수학적 추론

수학적 추론은 수학 교육자들 사이에도 합의된 정의가 존재하지 않는다(Conner, Singletary, Smith, Wagner, & Francisco, 2014). 예를 들어 Russell(1999)은 수학적 추론을 수학적 일반화를위한 정당화의 과정으로 설명하였다. Park et al.(2015)은 수학적 추론을 ‘관찰과 추측, 논리적절차 수행, 수학적 사실 분석, 정당화, 추론 과정의 반성’의 하위 요소로 나누었으며, 이를 구현하는 기능을 제시하였다. Lannin et al.(2011, p. 10)은 수학적 추론을 추측하고, 일반화하고, 왜그런지에 대해 탐구하고, 논증을 발전시키고 평가하는 점진적인 개선과정으로 정의하였다. Lannin et al.(2011)이 설명한 수학적 추론의 활동은 Figure 1과 같다.

Figure 1. Activities of mathematical reasoning (Lannin et al., 2011, p. 11)

Figure 1과 같이 수학적 추론의 활동은 서로양방향적인 관계를 보인다. 수학적 추론은 주로추측하기(conjecturing)와 일반화하기(generalizing)부터 시작된다. 이후 자신의 추측이 왜 타당한지혹은 타당하지 않은지 그 이유를 다양하게 탐구(investigating why)한다. 이 지점에서 자신의 추측을 정당화하거나(justifying), 처음에 했던 추측을 반박할(refuting) 수도 있다. Lannin et al.(2011)이 말한 수학적 추론의 활동은 추론에 대한 핵심 아이디어를 제공하면서, Russell(1999)의 설명과 Park et al.(2015)의 수학적 추론을 구현하는 기능을 포함한다(Table 1 참조).

Table 1 . Comparison of the activities of mathematical reasoning.

Russell(1999)Lannin et al.(2011)Park et al.(2015)
일반화하기추측하기추측하기
일반화하기일반화하기
왜 그런지 탐구하기탐구하기
정당화하기정당화하기정당화하기
반박하기증명하기


본 연구에서는 수학적 추론의 필수적인 활동으로 추측하기, 일반화하기, 정당화하기, 증명하기, 반박하기를 선정하였다. 추측하기는 수학적추론으로 들어가는 출발점의 역할을 한다는 점에서 중요하다(Lannin et al., 2011). 또한 일반화하기와 정당화하기는 수학적 추론을 수학적 일반화와 이를 정당화하기 위한 전개 과정이라고 설명할 만큼 핵심적인 활동이다(Lannin et al., 2011; Mata-Pereira & Da Ponte, 2017; Russell, 1999). 더불어 엄격한 수준의 정당화를 증명이라고 한다는 점에서 증명하기 역시 수학적 추론의 활동으로 포함할 수 있다(Park et al., 2015; Stylianides, Stylianides, & Weber, 2017). 반박하기

는 추측하기를 통해 참과 거짓이 모두 도출될 가능성이 있기 때문에 이를 반박하고 타당화하는 활동에서 중요한 역할을 한다(Lannin et al., 2011). 왜 그런지 탐구하기는 수학적 추론에서중요하지만, 문제해결에서도 나타나는 등 사용되는 범위가 넓어 제외하였다(Park et al., 2015). 본연구에서는 앞서 선정한 수학적 추론의 필수적인 활동을 기준으로 수학적 추론과 관련된 논문을 수집하였다.

2. 토픽모델링 및 이를 활용한 선행연구 고찰

LDA(Latent Dirichlet Allocation) 기반 토픽모델링은 구조화되지 않은 방대한 텍스트 모음에서 숨겨진 주제를 발견하는 내용분석 기법이다(Blei, Ng, & Jordan, 2003). LDA는 토픽모델링에 사용되는 통계 알고리즘 중의 하나이며, 일반적으로가장 널리 통용되고 있다(Blei, 2012). 이에 본 연구에서는 LDA를 기반으로 토픽모델링을 실시하였다. 토픽모델링에서 모델링을 할 텍스트 모음을 말뭉치(corpus)라고 하고, 이 말뭉치는 여러개의 문서(document)로 이루어지며, 문서는 다시여러 개의 단어(term)로 이루어지기 때문에, 말뭉치는 문서를 내포하고, 문서는 단어를 내포한다(Maier et al., 2018).

LDA 알고리즘은 말뭉치에서 주제를 유추하고, 주제와 관련한 단어들을 확률값으로 표현한다. Figure 2에서 θ는 문서에서 토픽을 생성하는 모수로서 토픽의 개수(K)만큼의 차원을 갖는 디리클레 랜덤 변수이며, 이는 분석 대상인 말뭉치의토픽을 생성시키는 역할을 한다. θ에서 생성되는 토픽들은 랜덤 형태의 변수 발생 과정을 따른다. 이를 수식으로 표현하면 다음과 같다.

Figure 2. Application of LDA(Maier et al., 2018, p. 94)

  • θd: d번째 문서의 토픽을 생성하는 모수

  • Tdk: d번째 문서의 k번째 토픽

  • Wdk: Tdk를 반영하는 단어

  • βdk: Wdk의 가중치

βdkWdkTdkWdk를 확률로 나타내면p(Wdk|Tdk,βdk)이다. 이는 토픽 관련 모수와 가중치 관련 모수가 알려진 조건에서 특정 문서에서 발견된 특정 단어가 특정 토픽을 반영할 확률을 의미한다. θdTdk를 확률로 나타내면p(Tdk|θd)이다. 이는 특정 문서에서 특정 토픽이등장할 확률을 의미한다. 이때 p(Wdk|Tdk,βdkp(Tdk|θd)는 문서 d에서 토픽 k가 특정 단어 W로 나타날 확률값이다.

Figure 2에서 ϕ는 단어에서 주제를 생성하는모수로서 θ와 마찬가지로 토픽의 개수(K)만큼의차원을 갖는 변수이다. 이를 통해 단어들이 각토픽에서 갖는 확률값을 알 수 있다. 확률값이높을수록 특정 토픽을 대표하는 단어라고 할 수 있다. 본 연구에서는 토픽별로 나타나는 상위 10개의 단어를 바탕으로 연구주제를 분석하였다. 토픽모델링은 주제와 관련한 단어들을 한눈에 볼 수 있다는 장점이 있지만, 주제에 대한 명확한 정의가 없다는 단점이 있다(Günther & Domahidi, 2017). 또한 단어들이 주제를 직관적으로 표현할 때도 있지만, 다소 추상적으로 나타날 때도 있다(Blei et al., 2003). 본 연구에서는이러한 문제를 해결하기 위해 주제와 관련한 예시 논문을 찾고, 해당 단어가 어떠한 맥락에서사용되었는지를 확인하였다.

토픽모델링은 방대한 텍스트를 효율적으로 분석할 수 있고, 전통적인 내용분석 방법과 비교하여 연구자의 주관을 어느 정도 배제할 수 있다는 점에서 교육 분야에서 많은 주목을 받고 있다. 최근 수학교육에서도 토픽모델링을 활용한연구들이 이루어지고 있다. Choi & Kwak(2019)은 JRME, ESM, JMB에 30년간 게재된 2,556개의논문을 5년 단위로 나누어 시기별로 주제들이어떻게 변하였는지를 분석하였다. Jin & Ko(2019)는 2016년부터 2018년까지 5종의 국내수학교육 학술지에 게재된 460편의 논문을 대상으로 국내 수학교육 연구 동향을 주제별로 분석하였다. Shin(2020)은 2000년부터 2019년까지 7종의 국내 수학교육 학술지, 5종의 국외 수학교육학술지에 게재된 4,750편의 논문을 대상으로 국내외 수학교육의 연구 동향을 비교ㆍ분석하였다.

다만 토픽모델링을 활용한 선행연구에서는 수학교육의 전반적인 연구 동향을 살펴보았을 뿐, 수학교육의 특정 연구주제에 대하여 동향 분석을 수행한 연구는 별로 없었다. 따라서 특정 연구주제에 대한 경향을 자세히 파악하기에는 어려움이 있었다. 이에 본 연구에서는 수학교육에서 핵심적인 사고 방법인 수학적 추론을 주제로 지난 20년간 국내외 연구가 어떻게 이루어지고있는지 토픽모델링 기법을 통해 비교ㆍ분석하여, 수학적 추론 연구의 방향을 제공한다.

III. 연구 방법

1. 분석 대상

본 연구에서는 2000년 1월부터 2020년 6월까지 KCI(Korea Citation Index)에 등재된 국내 수학교육 학술지와 SSCI(Social Sciences Citation Index)에 등재된 국외 수학교육 학술지를 분석대상으로 선정하였다. 수학교육을 포함하는 교과교육 학술지는 분석 대상에서 제외하였고, 수학교육에 특화된 학술지만을 분석 대상으로 하였다. 2020년 기준으로 KCI에 등재된 국내 수학교육 학술지는 총 7종, SSCI에 등재된 국외 수학교육 학술지는 총 5종이었다. 또한, <JRME>를제외한 국내외 수학교육 학술지가 2000년 이후KCI 또는 SSCI에 등재되었다는 점에서 논문 수집 시기를 2000년으로 설정하였다.

수학적 추론과 관련한 논문을 수집하기 위해 제목에 ‘reasoning’, ‘conjecture’, ‘generalization’, ‘justification’, ‘proof’, ‘refutation’이 들어간 논문을 분석 대상으로 선정하였다. 이는 수학적 추론과 관련한 문헌 검토에서 공통적으로 명시된 활동이었다. 그리고 해당 단어가 제목에는 없지만, 영문초록과 키워드에 동시에 들어갔다면 이 논문들도 분석 대상에 포함하였다. 최종 분석에 선정된 학술지별 논문 수는 Table 2와 같다. 본 연구에서는 국내외 연구 동향을 비교하기 위해 공통의 언어로 기술된 영문 제목과 영문 초록을 분석하였다. 이는 텍스트마이닝의 전처리(pre-processing) 과정을 동일한 기준에서 적용할 수있다는 점에서 연구의 신뢰도를 높일 수 있다는 장점이 있다.

Table 2 . The number of domestic and international papers analyzed in each journal.

색인학술지명
KCI수학교육학연구73
학교수학66
수학교육31
초등수학교육16
수학교육논문집25
한국초등수학교육학회지23
한국학교수학회논문집28
합계262
SSCIJRME61
JMTE49
ESM126
MTL41
ZDM104
합계381


2. 분석방법

토픽모델링에 적용되는 말뭉치를 정형화된 데이터 집합으로 수정하기 위해 전처리 과정을 수행하였다. 먼저, 대문자를 소문자로 변환하였다. 국외 학술지의 경우 영문 제목이 프랑스어, 독일어 등으로 되어있는 경우가 있어 이를 제거하였다. 그리고 숫자, 문장부호, 특수문자를 제거하였다. 불용어 리스트는 텍스트 마이닝 패키지NLTK를 기준으로 선정하였다(Perkins, 2010). 예를 들어, 대명사(I, you, we 등), 관사, 조동사, 접속사, 전치사, 부사 등은 의미를 부여하기 힘든 단어이므로 제외하였다. 이후 복수형을 단수형으로, 과거형과 현재분사를 현재형으로 변환하였다.

예비분석 결과를 바탕으로 동의어 처리를 수행하였다. 예를 들어, generalise를 generalize로, pre service를 preservice로, primary를 elementary 등으로 변환하였다. 이처럼 의미는 같지만, 형태가 조금씩 다른 단어들의 경우 프로그램이 각기 다른 단어로 인식하기 때문에 전처리가 필요하였다. 또한, 영문 초록에서 연구주제와 관련 없이 자주 등장하는 단어(예: paper, study, article, research, result 등)를 제외하였다. 그리고 거의모든 논문에 포함되어 의미상 불필요하다고 판단한 단어(예, mathematics, use, have, make, education 등)를 제외하였다. 최종적으로 출현 빈도가 5회 미만인 단어를 제외하고 토픽모델링을실행하였다.

LDA 기반 토픽모델링은 Netminer 4.4.3에서 제공하는 패키지를 사용하였다. LDA 분석 시에는연구자가 매개변수, 반복 수행 횟수, 토픽의 개수를 사전에 설정해야 한다. 본 연구는 선행연구를 기반으로 디리클레 분포(Dirichlet distribution)의 매개변수인 토픽 간 사전확률분포인 α를 0.1, 토픽 내 사전확률분포인 β를 0.01로 설정하였고, 반복 수행 횟수는 깁스 샘플링(Gibbs sampling) 기법으로 1000회를 반복하였다(Jin & Ko, 2019; Shin, 2020).

본 연구에서는 전반적인 연구 동향 및 시기별 동향을 살펴보기 때문에 각각에 알맞은 토픽의 개수를 설정해야 했다. 이를 위해 2D Spring Map과 코사인 유사도를 확인하였다. 토픽의 개수는 그 수를 여러 차례 조정하여 토픽 내 단어가 유의미하거나 정확성을 높게 가지는 결과를 선택하였다(Griffiths & Steyvers, 2004). 2D Spring Map을 확인한 결과 전반적인 동향은 Figure 3과같이 K값이 6일 때 토픽 내 단어들이 유의미하였고, 시기별 동향은 Figure 4와 같이 K값이 5일때 토픽 내 단어들이 유의미하였다.

Figure 3. Example of 2D Spring Map with K=6

Figure 4. Example of 2D Spring Map with K=5

또한, 코사인 유사도는 두 벡터 간 각도의 코사인값을 이용하여 측정된 벡터 간의 유사한 정도를 의미한다. 코사인 유사도가 낮으면 토픽 간 중복되는 단어가 적어 분류가 잘되었다고 할 수 있다.

cos(θ)=A·BAB= i=1nAi×Bi i=1nAi 2× i=1nBi 2

전반적인 국내외 연구의 경우 K값이 6일 때코사인 유사도가 0.1 이하로 나타났고, 시기별국내외 연구의 경우 K값이 5일 때 코사인 유사도가 0.1 이하로 나타나 토픽의 개수로 적절하다고 판단하였다.

토픽모델링을 통해 도출된 결과를 바탕으로 각 주제를 구성하고 있는 상위 10개의 단어와해당 주제를 대표하는 논문들을 검토하여 적절한 주제명을 결정하였다(Shin, 2020). 예를 들어, 특정 연구주제의 상위 10개 단어가 ‘generalization, student, pattern, algebraic, representation, problem, relationship, strategy, function, linear’이면  관련단어가 많이 포함된 논문(Nathan & Kim, 2007; Radford, 2008; Warren & Cooper, 2008)을 살펴본후, 주제명을 패턴 일반화(pattern generalization)로 정했다.

IV. 결과 분석

1. 국내외 연구주제 비교·분석

수학적 추론과 관련된 국내외 연구의 경향성을 파악하기 위해 연구에서 자주 사용된 단어를 분석하였다. 연구에서 많이 언급된 단어들을 시각적으로 확인하기 위해 Figure 5, Figure 6과 같이 워드 클라우드로 나타냈다.

Figure 5. Word cloud from domestic papers

Figure 6. Word cloud from international papers

국내의 경우 ‘student, reasoning, proof, problem, school’ 순으로 빈도수가 많고, 국외의 경우 ‘student, proof, reasoning, teacher, teaching’ 순으로 빈도수가 많다. ‘student’는 국내 연구에서 가장 많이 사용된 단어로 수학적 추론 연구에서 학생을 대상으로 한 연구가 많다는 것을 알 수 있다. 한편 국외의 경우 ‘teacher, teaching’도 많이 언급된 것으로 보아 학생뿐 아니라 교사를대상으로 한 연구도 많다는 것을 알 수 있다. 연구주제와 관련해서는 국내외 모두 ‘proof’가 많이 언급된 것으로 볼 때 증명과 관련한 연구가많다는 것을 알 수 있다.

수학적 추론과 관련한 국내외 연구주제를 토픽모델링으로 도출한 결과는 Table 3과 같다. 국내외 연구주제를 6개 선정하였고, 연구주제별 출현 빈도가 높은 상위 10개의 단어를 순서대로정리하였다. 수학적 추론에 대한 국내외 연구를주제별로 자세하게 비교하면 다음과 같다.

Table 3 . Analysis of domestic and international research topics related to mathematical reasoning.

색인주제단어(상위 10개)논문 예시
KCIgeometry proofproof, geometry, student, school, middle, teaching, triangle, method, theorem, textbookSeventh graders' proof schemes and their characteristics in geometric tasks (Byun & Chang, 2017)
justification (gifted student)*student, justification, gifted, ability, learning, elementary, reasoning, activity, school, groupA study on the effective use of tangrams for the mathematical justification of the gifted elementary students (Hwang, 2015)
problem solvingproblem, solving, reasoning, student, analogical, abduction, process, inductive, creative, findingHigh school students' reasoning characteristics in problem solving (Kang & Kim, 2013)
pattern generalizationgeneralization, student, pattern, number, teaching, process, algebraic, school, learning, modelA study on the 6th graders' learning algebra through generalization of mathematical patterns (Kim & Kim, 2009)
proportional reasoningreasoning, proportional, problem, task, elementary, textbook, level, type, student, multiplicationAn analysis on the proportional reasoning understanding of 6th graders of elementary school: focusing to ‘comparison' situations (Park&Kim, 2016)
statistical reasoning (teacher)*student, teacher, understanding, statistical, preservice, representation, data, concept, thinking, taskStudy on pre-service teacher' statistics reasoning ability (Lee, 2011)
SSCIproof and argumentproof, student, argument, theory, statement, teaching, school, mathematician, understanding, validityValidations of proofs considered as texts: Can undergraduates tell whether an argument proves a theorem? (Selden & Selden, 2003)
teacher educationteacher, teaching, knowledge, preservice, development, elementary, school, instruction, learning, reasoningUpper primary school teachers' mathematical knowledge for teaching functional thinking in algebra (Wilkie, 2014)
geometric reasoninggeometry, student, process, conjecture, problem, learning, justification, cognitive, classroom, dynamicDragging, instrumented abduction and evidence, in processes of conjecture generation in a dynamic geometry environment (Baccaglini-Frank, 2019)
pattern generalizationstudent, generalization, algebraic, pattern, representation, function, change, level, problem, relationshipAn early algebra approach to pattern generalisation: Actualising the virtual through words, gestures and toilet paper (Ferrara & Sinclair, 2016)
problem solvingreasoning, student, problem, strategy, task, understanding, concept, grade, solving, typeCalculus students' quantitative reasoning in the context of solving related rates of change problems (Mkhatshwa, 2020)
statistical reasoningreasoning, student, data, statistical, task, learning, inference, model, development, sampleThe role of context in developing informal statistical inferential reasoning: A classroom study (Pfannkuch, 2011)

*대부분의 주제에서 주요 연구대상은 일반 학생이지만, 그렇지 않은 경우에 연구대상을 구분하여 강조하기 위해 제시함.



국내외 유사한 연구주제로는 문제해결(problem solving)과 패턴 일반화(pattern generalization)가있다. 문제해결은 분석 결과 ‘problem, solving, reasoning, student’가 공통 단어로 나타났다. 국내의 경우 ‘analogical, abduction, inductive’가 함께제시되는 것으로 보아 문제해결을 통해 유추, 가추, 귀납 등 다양한 추론을 연구하는 논문이 다수 존재한다는 것을 알 수 있다. 예를 들어, Kang & Kim(2013)은 고등학생을 대상으로 개방형 문제를 해결하는 과정에서 나타나는 추론 특성을 알아보았다. 문제해결이 추론 방법과 관련된 단어들과 함께 제시된 국내와 달리, 국외의경우 ‘strategy, task’와 같이 문제해결과 직접적으로 관련된 단어들이 제시되었다. 예를 들어, Mkhatshwa(2020)는 대학생을 대상으로 변화율과 관련된 미적분학 문제를 해결하는 과정에서 드러나는 양적 추론을 알아보았다.

또 다른 국내외 유사한 연구주제인 패턴 일반화에서는 ‘generalization, student, pattern, algebraic’ 이 공통 단어로 나타났다. 국내 연구의 경우 ‘teaching, learning’이 함께 제시된다는 점에서 교수·학습과 관련된 연구가 많다는 것을 유추할수 있다. 예를 들어, Kim & Kim(2009)은 초등학교 6학년 학생을 대상으로 패턴 일반화 과제를제시하고, 대수적인 관점에서 이를 지도하였다.국외의 경우 패턴 일반화가 ‘representation, function, change, level’ 등의 단어와 함께 제시되었다. 이는 ‘패턴 일반화’가 표현, 함수, 변화, 학생 수준 등을 주제로 연구된 것으로 보인다. 예를 들어, Ferrara & Sinclair(2016)는 초등학교 저학년 학생을 대상으로 패턴 일반화 과제를 초기대수(early algebra) 관점에서 접근하는 연구를 하였다.

국내외에서 연구된 주제 중 부분적으로 유사한 연구주제로는 증명(proof)과 통계적 추론(statistical reasoning)이 있다. 증명에 관한 국내외공통 단어는 ‘proof, student, school’로 나타났다. 국내 연구는 ‘geometry, triangle’과 같이 기하와관련된 연구가 많았지만, 국외 연구의 경우 ‘argument’와 같이 논증에 관한 연구가 많았다. 이는 증명에 관한 관심 주제가 국내외별로 상이함을 나타낸다. 이에 증명과 관련한 국내 연구는 기하증명(geometry proof)으로 명명하고, 국외연구는 증명과 논증(proof and argument)으로 명명하였다. 또한, 국내에서 증명과 관련된 연구는 ‘student, school, middle, textbook’과 함께 제시된 것으로 볼 때 중학생 또는 교과서를 대상으로 한 연구가 많다는 것을 알 수 있다. 예를 들어, Byun & Chang(2017)은 중학생을 대상으로 기하증명 문제를 해결하는 과정에서 스키마의 유형과 특징을 조사하였다. 국외의 경우 증명이 ‘student, understanding’ 등과 같이 제시된 것으로 볼 때, 증명에 대한 학생의 이해와 관련한 연구가 이루어지고 있음을 알 수 있다. 예를 들어, Seldon & Selden(2003)은 수학적 논증을 바탕으로 대학생들이 증명을 어떻게 인식하는지를 분석하였다.

통계적 추론은 국내외 유사한 연구주제로 나타났지만, 맥락상의 차이가 존재한다. ‘student, statistical, task, data’가 공통 단어로 나타났고, 그외 단어들은 맥락상의 차이가 있다. 국내의 경우 ‘teacher’와 ‘statistical’이 관련이 있다. 이는 국내에서 교사를 대상으로 한 연구가 많이 이루어지지않았기 때문에, 그나마 연구가 이루어진 통계적추론과 연관성을 나타내는 것으로 해석할 수 있다. 따라서 국내 연구주제를 ‘statistical reasoning (teacher)’로 제시하였다. 예를 들어, Lee(2011)는 중등 예비교사를 대상으로 통계적 추론 능력에 대한 분석과 오개념을 탐색하였다. 한편 국외의통계적 추론은 ‘statistical, data, inference, sample’과 같이 통계와 관련 있는 단어들이 함께 제시된다. 관련한 연구로 Pfannkuch(2011)는 중학생을대상으로 자료의 맥락을 제시하여 비형식적 통계적 추리의 발달 과정을 살펴보았다.

국내 연구주제인 정당화(justification)는 영재학생(gifted student)과 관련이 있다. 이에 연구주제를 ‘justification (gifted student)’으로 제시하였다. ‘justification’은 국외 연구주제 중 하나인 기하 추론(geometric reasoning)에서 나타나는 단어이지만, ‘gifted’는 국내 연구에서만 나타나는 단어이다. 또한 ‘student, gifted, elementary, school’의 단어를 통해 정당화 연구의 대상이 초등학생 또는 영재인 경우가 다수 있음을 알 수 있다. 예를 들어, Hwang(2015)은 초등수학영재를 대상으로 칠교판 과제를 통해 수학적 정당화를 경험할 수 있는 프로그램을 개발하였다.

또 다른 국내 연구주제로는 비례 추론(proportional reasoning)이 있다. 국외에서는 주된 연구주제가아니지만, 국내에서 활발하게 연구되는 분야이다. 비례 추론과 관련된 단어를 살펴보면 다음과 같다. ‘problem, task’를 통해 비례 추론 문제 및 과제를 해결하는 연구, ‘elementary, textbook, student’를 통해 연구대상이 초등학생 또는 교과서인 연구, ‘level, type’을 통해 수준과 유형에 관련된 연구가 있음을 알 수 있다. 관련한 연구로Park & Kim(2016)은 비례 추론 문제를 개발하고, 문제 유형에 따라 나타나는 초등학교 6학년 학생들의 비례 추론 수준을 확인하였다.

국외 연구주제인 교사 교육(teacher education)은국내 연구와 비교했을 때 가장 큰 차이점을 보이는 연구 분야이다. 국외 연구에서 ‘teacher’와 ‘teaching’이 가장 빈번하게 사용된 단어 중 하나라는 점은 수학적 추론에서 교사 교육과 관련한 연구가 활발하게 이루어지고 있음을 의미한다(Figure 6 참조). 교사 교육과 관련된 단어를 살펴보면 다음과 같다. ‘teaching, learning, instruction’을통해 교수·학습과 관련된 연구, ‘teacher, preservice, elementary, school’을 통해 예비교사 또는 초등교사를 대상으로 한 연구, ‘knowledge’를 통해 교사 지식에 관련한 연구 등이 있음을 알 수 있었다. 예를들어, Wilkie(2014)는 초등교사의 함수적 사고와 관련한 교수학적 내용지식(PCK)을 조사하였다.

또 다른 국외 연구주제로는 기하 추론(geometric reasoning)이 있다. 연구주제와 관련한 단어를 살펴보면 ‘conjecture, justification’과 같이 수학적 추론의 주요 활동들과 관련이 있다. 또한 ‘dynamic’의경우 DGE(dynamic geometry environment)와 같이기하 소프트웨어와 관련이 있는 단어이다. 예를들어, Baccaglini-Frank(2019)는 DGE에서 나타나는학생들의 추측 과정을 살펴보았다.

2. 시기별 국내 연구주제 분석

앞서 실시하였던 토픽모델링의 결과를 바탕으로 국내 연구주제의 비율을 살펴보면 Figure 7과 같다. 기하증명이 23%, 정당화(영재)가 17%, 문제해결이 13%, 패턴 일반화가 11%, 비례 추론이 11%, 통계적 추론(교사)이 5% 순으로 나타났다. 국내에서는 기하증명, 정당화, 영재와 관련된 연구가 많이 이루어지고 있다. 비례 추론과 통계적 추론의경우 전체에서 차지하는 비율은 낮았지만, 다양한종류의 추론 중에서 주요 연구주제로 범주화되었다는 것에 의의가 있다.

Figure 7. Domestic research trends

수학적 추론의 연구 동향을 자세히 살펴보기 위해 5년 단위로 국내 연구주제를 살펴보았다. 시기별 국내 연구주제의 비율은 Figure 8과 같다.

Figure 8. Domestic research trends by period

기하증명(topic 1)은 전체에서 가장 많은 비율을 차지하는 연구주제였으나, 시기별로 살펴보면비율이 점차 줄어들고 있다. 2000~2005년에는 약40%를 차지하였으나, 이후 점차 감소하여2016~2020년에는 10% 이내를 차지하고 있다.

비례 추론(topic 5)은 2000~2005년에 연구가 이루어지지 않았지만, 2006~2010년 이후 10% 내외로 연구가 꾸준히 이루어지고 있다. 통계적 추론(topic 6) 역시 2000~2005년에 연구가 없었지만, 2006~2010년에 연구가 시작된 이후로 지속해서연구가 이루어지고 있다.

2016~2020년의 경우, 6개의 연구주제가 고르게 분포하고 있었으나 기타 영역이 다른 시기와 비교하여 차지하는 비율이 높다. 이는 최근 수학적추론에 관한 연구주제가 다변화되고 있기 때문으로 해석된다.

수학적 추론에 대한 시기별 연구의 동향을 더 자세하게 살펴보기 위해 토픽모델링으로 분석한 결과는 Table 4와 같다. 시기별로 5개의 연구주제를 선정하고, 연구주제별 출현 빈도가 높은 상위 10개의 단어를 순서대로 정리하였다. Table 4를 살펴보면, Table 3에서는 확인할 수 없었던시기별 특정 주제를 확인할 수 있다.

Table 4 . Analysis of domestic research topics related to mathematical reasoning by period.

시기주제단어(상위 10개)논문 예시
2000 ~ 2005geometry proofproof, teaching, geometry, mean, understanding, method, grade, experiment, preformal, geneticAn analysis of proof factors in the intuitive geometry for seventh grade (Cho & Jung, 2003)
justificationreasoning, elementary, ability, student, justification, school, apply, deductive, example, inductiveA study on mathematical justification activities in elementary school (Kwon, 2003)
pattern generalizationgeneralization, school, teacher, relationship, algebraic, pattern, student, teaching, tool, methodA study on approaches to algebra focusing on patterns and generalization (Kim, 2003)
Pythagorean theoremproof, Pythagorean, school, theorem, angle, know, middle, term, text, relationshipVarious proofs and educational applications of Pythagorean theorem (Hong, 2003)
instructional modelstudent, model, activity, problem, development, process, generate, comvergent, solving, spreadsheetDevelopment and applications of mathematical proof learning-teaching methods: The generative-convergent mode (Lee & Kim, 2004)
2006 ~ 2010geometry proofproof, student, geometry, learning, school, development, method, activity, teaching, understandingTeaching geometry proof with focus on the analysis (Na, 2009)
pattern generalizationgeneralization, pattern, unit, student, school, teacher, finding, elementary, teaching, processGeneralization and symbol expression through pattern research: Focusing on pictorial/geometric pattern (Kang, 2007)
justificationjustification, reasoning, ability, level, type, figure, child, inductive, student, identifyAnalysis on the types of mathematically gifted students' justification on the tasks of figure division (Song et al., 2006)
proportional reasoningproportional, problem, reasoning, student, multiplication, solving, situation, test, concept, typeAnalysis on elementary students' proportional thinking: A case study with two 6-graders (Ko & Lee, 2007)
spatial reasoningstudent, thinking, spatial, visual, reasoning, solving, representation, problem, gifted, variationAn investigation on 6th grade students' spatial sense and spatial reasoning (Kim & Pang, 2007)
2011 ~ 2015geometry proofproof, geometry, student, number, school, property, middle, grade, method, textbookExploring students' thinking in proof production in geometry (An & Kim, 2014)
problem solvingproblem, reasoning, solving, student, school, type, process, thinking, development, creativeAn analysis on the 4th graders' ill-structured problem solving and reasoning (Kim, Heo, Cho, &Park, 2012)
proportional reasoningreasoning, proportional, student, creative, strategy, development, task, elementary, abduction, levelThe analysis of 6th-grade elementary school student's proportional reasoning ability and strategy according to academic achievement (Eom & Kwean, 2011)
pattern generalizationgeneralization, student, proportional, pattern, algebraic, task, reasoning, strategy, process, representationExamining the students' generalization method in relation with the forms of pattern: Focused on the 6th grade students (Lee & Na, 2012)
justification (gifted student)*student, gifted, justification, elementary, ability, learning, process, lesson, compare, errorAn analysis of justification process in the proofs by mathematically gifted elementary students (Kim & Park, 2011)
2016 ~ 2020.06number and operation (textbook)*textbook, fraction, number, division, addition, digit, argument, unit, structure, modelA comparative analysis of fraction multiplication in Korean and Japanese elementary mathematics textbooks: Focused on quantitative reasoning (Lee &Pang, 2019)
problem solvingproblem, solving, reasoning, student, task, process, abduction, level, geometry, typeAnalysis of abduction in mathematics problem posing and solving (Lee & Kim, 2020)
proportional reasoningstudent, proportional, reasoning, strategy, covariational, situation, grader, gragh, quantitative, quantityRelationship between proportional reasoning and covariational reasoning of 7th grade students (Park & Lee, 2020)
justification (gifted student)*student, learning, generalization, gifted, proof, finding, justification, school, class, characteristicComparative analysis of generalization and justification of the mathematically gifted 6th graders by learning styles (Yu & Chang, 2017)
statistical reasoning (teacher)*teacher, reasoning, elementary, task, statistical, preservice, ability, concept, teaching, questionStatistical reasoning of preservice elementary school teachers engaged in statistical problem solving: Focused on question posing stage (Lee & Park, 2019)

*대부분의 주제에서 주요 연구대상은 일반 학생이지만, 그렇지 않은 경우에 연구대상을 구분하여 강조하기 위해 제시함.



2000~2005년에는 기하증명, 정당화, 패턴 일반화의 연구주제가 국내의 전반적인 연구주제와 유사한 양상을 보인다. 다만 정당화는 영재 학생이 아닌, ‘deductive, inductive’와 같은 단어들과 함께 나타나는 것으로 볼 때 귀납적 정당화, 연역적 정당화와 관련한 연구가 이루어졌음을 알 수 있다. 이 시기에는 기하와 증명에 관련된주제가 많이 나타나는데, 특히 피타고라스의 정리(Pythagorean theorem)가 연구주제로 나타날 만큼 기하증명과 관련된 연구가 많이 이루어졌다. 관련 연구로 Cho & Jung(2003)은 중학교 1학년교과서에 제시된 기하 관련 증명요소를 분석하였다.

또한, 수업 모델(instructional model)과 관련된주제도 나타났다. 이는 2000~2005년의 경우 총논문 편수가 34편밖에 되지 않은 상황에서 수업모델과 관련한 연구가 다수 존재하여 연구주제로 나타난 것으로 보인다. 관련 연구로 Lee & Kim(2004)은 중학생을 대상으로 증명학습 및 지도를 하기 위한 수업 모델을 개발하였다.

2006~2010년에는 정당화의 경우 ‘level, type’이관련 단어로 나타났는데, 이는 정당화의 유형 및수준에 관한 연구가 있음을 의미한다. 관련 연구로 Song, Heo, & Yim(2006)은 초등수학영재들이 도형의 최대 분할 과제에서 보이는 정당화 유형을 분석하였다. 그리고 비례 추론과 공간 추론이새로운 연구주제로 나타났다. 특히 비례 추론의경우 2010년 이후에도 연구주제로 꾸준히 다루어진다. 공간 추론은 2006~2010년에 많이 다루어진주제이다. 관련 연구로 Kim & Pang(2007)은 초등학교 6학년 학생들의 공간 감각 및 공간 추론 능력 사용형태를 분석하였다.

2011~2015년의 주제들은 통계적 추론을 제외하고 국내의 전반적인 연구주제와 유사하게 나타났다. 이 시기부터 ‘gifted’와 ‘justification’이 함께 나타났다. 또 다른 특징으로 2011~2015년에 ‘task’라는 단어가 비례 추론과 패턴 일반화 연구주제에서 처음으로 나타났다. 이는 비례 추론, 패턴 일반화를 연구할 때 특정 과제 맥락을 중요하게 다루고 있다고 해석된다. 예를 들어, Lee & Na(2012)는 초등학교 6학년 학생들을 대상으로 6가지 패턴 유형 과제를 제공하고 이를 일반화할 수 있는지 조사하였다. ‘task’는 이후 2016~2020년연구주제인 문제해결과 통계적 추론(교사)에서도나타났다.

2016~2020년에는 문제해결, 비례 추론, 정당화(영재) 등이 연구주제로 나타났다. 주목할 만한 특징은 수와 연산(교과서)이 새로운 연구주제로 나타났다는 점이다. 이 연구주제에서는 ‘fraction, number, division, addition, digit’ 등과 같이 수와 연산에 관한 단어들이 많이 나타났다. 특히 교과서와 분수가 대표적인 단어로 나타났다. 이는 2015 개정 수학과 교육과정이 적용되면서 관련 교과서 및 교육과정에 대한 연구가 증가하면서 나타난 영향으로 보인다. 관련 연구로 Lee & Pang(2019)은한국과 일본 수학 교과서의 분수의 곱셈 단원을 양적 추론을 중심으로 비교·분석하였다.

또한, 매 시기별로 등장했던 기하증명이2016~2020년에는 연구주제로 나타나지 않았다. ‘geometry’는 문제해결에서 나타났고, ‘proof’는정당화에서 나타났다. 이는 기하증명이 차지하는비율이 높던 2000년대와 비교하여, 현재 수학적추론의 연구주제가 다양하게 변화하고 있다는 것을 의미한다. 더불어 통계적 추론(교사)이 연구주제로 새롭게 나타났다. 이 연구주제에서는 ‘teacher, reasoning, statistical, preservice, teaching’ 등과 같이 교사 및 통계와 관련한 단어들이 나타났다. 관련 연구로 Lee & Park(2019)은 예비초등교사를 대상으로 통계 문제해결 과정에서 나타나는 통계적 추론을 분석하였다. 비례 추론의 경우 ‘covariational’이라는 단어가 나타난다는특징이 있다. 이는 공변 추론 연구가 최근 국내에서 이루어지고 있다는 것을 의미한다. 관련 연구로 Park & Lee(2020)는 중학생을 대상으로 비례 추론과 공변 추론과의 관련성을 질적으로 분석하였다.

정리하면, 2000~2005년에는 기하증명에 관한연구가 많이 이루어졌고, 2006~2010년에는 비례추론과 공간 추론이 주요 연구주제로 새롭게 나타났다. 2011~2015년에는 영재를 대상으로 하는연구가 많이 이루어졌고, 2016~2020년에는 수와연산(교과서)과 통계적 추론(교사)이 주요 연구주제로 새롭게 나타났다.

3. 시기별 국외 연구주제 분석

Table 3의 토픽모델링 결과를 바탕으로 국외연구주제의 비율을 살펴보면 Figure 9와 같다. 증명과 논증이 25%, 교사 교육이 17%, 기하 추론이 15%, 패턴 일반화가 12%, 문제해결이 9%, 통계적 추론이 7% 순으로 나타났다. 국외에서는증명과 논증, 교사 교육과 관련된 연구가 많이이루어지고 있다.

Figure 9. International research trends

이어서 국외 연구 동향을 자세히 살펴보기 위해 5년 단위로 연구주제를 살펴보았다. 시기별국외 연구주제의 비율은 Figure 10과 같다.

Figure 10. International research trends by period

전반적으로 증명과 논증(topic 1)이 매 시기별로 가장 많은 부분을 차지하고 있으나, 2011~ 2015년에는 교사 교육(topic 2)이 가장 많은 부분을 차지한다. 교사 교육의 경우 2000~2005년에는 10% 내의 비율로 나타났지만, 이후 20% 내외의비율을 유지하는 것으로 변화하였다. 통계적 추론(topic 6)의 경우 2000년대에는 논문 편수가 많지 않았으나, 2010년대에는 연구가 활발히 이루어졌다. 이는 타 연구주제와 비교하여, 통계적추론이 최근 들어 양적인 성장을 했다는 것을 의미한다. 기하 추론(topic 3), 패턴 일반화(topic 4), 문제해결(topic 5)은 시기별로 약간의 차이는있지만, 전반적으로 고르게 나타나는 것을 확인할 수 있다.

더불어 시기별 국외 연구주제를 토픽모델링으로 도출한 결과는 Table 5와 같다. 국내 연구주제 분석과 마찬가지로 5개의 연구주제를 선정하였고, 연구주제별 출현 빈도가 높은 상위 10개의단어를 순서대로 정리하였다. 시기별 국외 연구주제는 전반적인 국외 연구주제와 유사하지만, 맥락상의 차이가 존재한다. 예를 들어, 기하 관련 연구의 경우 2000~2005년에는 ‘dynamic, software, environment’ 등의 단어들로 볼 때 소프트웨어 프로그램을 활용한 연구가 주를 이루었다면, 2016~2020년에는 ‘conjecture, intervention’ 등의 단어들로 볼 때 추측 혹은 개입에 관한 연구가 이루어지고 있다고 해석할 수 있다.

Table 5 . Analysis of international research topics related to mathematical reasoning by period.

시기주제단어(상위 10개)논문 예시
2000 ~ 2005proof and argumentproof, school, concept, secondary, argument, student, idea, understanding, limit, validityTeachers' conceptions of proof in the context of secondary school mathematics (Knuth, 2002)
geometrystudent, geometry, dynamic, explanation, apply, diagram, software, environment, high, constructProviding a foundation for deductive reasoning: Students' interpretations when using dynamic geometry software and their evolving mathematical explanations (Jones, 2000)
pattern generalizationreasoning, student, concept, algebraic, definition, generalization, type, instruction, grade, patternGeneralization and justification: The challenge of introducing algebraic reasoning through patterning activities (Lannin, 2005)
teacher educationteacher, teaching, classroom, development, role, understanding, context, support, explore, situationHelping elementary teachers build mathematical generality into curriculum and instruction (Blanton & Kaput, 2005)
problem solvingstudent, problem, reasoning, example, data, interview, solving, level, learning, findingDidactical handling of students' reasoning processes in problem solving situations (Brousseau & Gibel, 2005)
2006 ~ 2010proof and argumentproof, argument, structure, model, validity, episode, notion, conceptualization, theory, statementA method for revealing structures of argumentations in classroom proving processes (Knipping, 2008)
teacher educationteacher, teaching, preservice, knowledge, student, understanding, discuss, mean, learning, developmentProspective teachers' reasoning and response to a student's non-traditional strategy when dividing fractions (Son & Crespo, 2009)
pattern generalizationgeneralization, student, pattern, algebraic, representation, problem, relationship, strategy, function, linearPattern generalization with graphs and words: A cross-sectional and longitudinal analysis of middle school students' representational fluency (Nathan & Kim, 2007)
geometric reasoningreasoning, student, task, understanding, problem, geometry, examine, relationship, representation, identifyStudents' coordination of geometric reasoning and measuring strategies on a fixed perimeter task: Developing mathematical understanding of linear measurement (Barrett et al, 2006)
justificationstudent, reasoning, justification, process, relate, support, point, model, development, strategyConnections between generalizing and justifying: Students' reasoning with linear relationships (Ellis, 2007)
2011 ~ 2015teacher educationteacher, student, learning, knowledge, teaching, school, understanding, development, instruction, classroomThe mediating role of a teacher's use of semiotic resources in pupils' early algebraic reasoning (Bjuland, 2012)
proof and argumentproof, example, argument, read, mathematician, finding, student, validity, strategy, statementWhy and how mathematicians read proofs: Further evidence from a survey study (Mejia-Ramos & Weber, 2014)
geometric reasoningreasoning, task, student, geometry, spatial, concept, engage, conjecture, design, childFirst-graders' spatial-mathematical reasoning about plane and solid shapes and their representations (Hallowell et al, 2015)
statistical reasoningstudent, reasoning, inference, number, statistical, sample, development, context, data, actionDeveloping students' reasoning about samples and sampling variability as a path to expert statistical thinking (Garfield et al, 2015)
problem solvingproblem, child, cognitive, solving, process, thinking, reasoning, relationship, strategy, typePrimary school children's strategies in solving contingency table problems: The role of intuition and inhibition (Obersteiner et al, 2015)
2016 ~ 2020.06proof and argumentproof, argument, evidence, teaching, theory, accept, construct, aspect, examine, contextEvidence and argument in a proof based teaching theory (Reid & Vallejo Vargas, 2019)
teacher educationteacher, teaching, reasoning, knowledge, elementary, development, preservice, design, task, learningPrimary school teachers implementing structured mathematics interventions to promote their mathematics knowledge for teaching proportional reasoning (Hilton & Hilton, 2019)
geometric reasoningstudent, problem, conjecture, geometry, solving, write, learning, intervention, response, cognitiveIntuition and proof in the solution of conjecturing problems (Mariotti & Pedemonte, 2019)
statistical reasoningreasoning, student, model, statistical, change, graph, understanding, context, thinking, supportThe role of model comparison in young learners' reasoning with statistical models and modeling (Dvir & Ben-Zvi, 2018)
pattern generalizationstudent, reasoning, generalization, algebraic, understanding, pattern, grade, relationship, level, functionTrends of progression of student level of reasoning and generalization in numerical and figural reasoning approaches in pattern generalization (Mouhayar, 2018)


2000~2005년에는 증명과 논증, 교사 교육, 문제해결, 패턴 일반화가 연구주제로 나타났다. 다만 앞서 언급했듯 기하 관련 연구의 경우 소프트웨어를 활용한 연구가 많이 이루어졌다. 따라서 주제명을 광의의 관점에서 ‘geometry’로 정했다. 관련 연구로 Jones(2000)는 초등학생을 대상으로 동적기하 프로그램을 활용하여 연역적 추론을 경험하는 프로그램을 개발하였다. 증명과논증의 경우 ‘proof, school, concept, secondary’ 등이 상위 단어로 나타났는데, 이는 중등학교 혹은 수학적 개념을 주제로 한 연구가 많다고 해석할 수 있다. 예를 들어, Knuth(2002)는 중등교사가 학교 수학에서 증명에 대한 개념을 어떻게 바라보고 있는지를 조사하였다.

2006~2010년에도 증명과 논증, 교사 교육, 기하 추론, 패턴 일반화의 유사한 연구주제가 나타났다. 다만 정당화가 새로운 주제로 나타날 만큼이 시기에 정당화에 관한 연구가 많이 이루어졌음을 알 수 있다. 관련 연구로 Ellis(2007)는 일차함수 과제에서 중학생들이 나타내는 일반화 및정당화 사이의 관계를 조사하였다. 또한, 교사교육의 경우 2000~2005년에는 보이지 않았던 ‘preservice, knowledge’ 등의 단어가 나타났다. 이는 예비교사를 대상으로 한 연구와 교사 지식에관한 연구가 이 시기부터 활발히 이루어졌음을 의미한다. 예를 들어, Son & Crespo(2009)는 학생들이 분수의 나눗셈 문제를 비정형적 전략으로 해결할 때 초ㆍ중등 예비교사들이 보이는 교수 반응과 추론 능력을 살펴보았다.

2011~2015년의 경우 교사 교육, 증명과 논증, 기하 추론, 통계적 추론, 문제해결이 연구주제로나타났다. 통계적 추론은 이 시기에 처음으로 나타난 주제였다. 통계적 추론에서는 ‘inference’라는 단어가 나타났다. 이는 모집단에서 추출한 표본으로 모집단의 특성을 추론할 때 ‘inference’라는 통계적인 용어를 사용하기 때문이다. 또한 ‘sample, data’와 같이 통계와 밀접한 관련이 있는 단어들이 나타났다. 관련 연구로 Garfield, Zieffler, & Ben-Zvi(2015)는 학생들이 표본 추출변동성을 통해 통계적 추론 능력을 어떻게 개발하는지 분석하였다.

증명과 논증의 경우 ‘read, mathematician’과 같은 단어들이 나타났다. 관련 연구로 Mejia-Ramos & Weber(2014)는 수학자들이 증명을 읽는 이유와 방법을 설문 조사하였다. 기하 추론의 경우 ‘spatial’이 나타났는데, 이는 기하와 공간 추론연구가 함께 이루어졌음을 의미한다. 예를 들어, Hallowell, Okamoto, Romo, & La Joy(2015)는 초등학교 1학년 학생들이 평면 및 입체 도형을 표현하는 과정에서 나타나는 공간 추론을 분석하였다. 문제해결의 경우 ‘child’가 나타났는데, 어린 학습자를 대상으로 연구가 이루어졌음을 의미한다. 관련 연구로 Obersteiner, Bernhard, & Reiss(2015)는 초등학교 2학년 학생들이 분할표관련 문제를 해결하기 위한 전략을 세울 때, 직관과 억제가 어떤 역할을 하는지 살펴보았다.

2016~2020년의 경우 증명과 논증, 교사 교육, 기하 추론, 통계적 추론, 패턴 일반화가 주제로나타났다. 증명과 논증에서는 2016~2020년에 처음으로 ‘teaching’이 나타났다. 이는 최근 들어 증명과 논증을 어떻게 가르칠 것인가에 대한 연구가 이루어지고 있음을 의미한다. 예를 들어, Reid & Vallejo Vargas(2019)는 증명 기반 교수이론에서 증거와 논증의 역할을 설명하였다. 교사 교육에서는 ‘elementary’가 나타났다. 이를 통해 교사 교육에서 초등교사 혹은 초등 예비교사를 대상으로 다수의 연구가 이루어졌다는 것을 알 수 있다. 관련 연구로 Hilton & Hilton(2019)은초등교사의 비례 추론에 대한 교수학적 내용지식에서 개입이 미치는 영향을 조사하였다. 통계적 추론에서는 ‘model’이 나타났는데, 이는 최근통계 모델과 관련한 연구가 진행되고 있음을 나타낸다. 관련 연구로 Dvir & Ben-Zvi(2018)는 초등학생을 대상으로 비형식적 통계 추리의 주요 활동인 통계 모델을 비교하는 연구를 진행하였다. 기하 추론에서는 ‘problem, conjecture, geometry, solving’ 등의 단어가 나타났다. 이는 기하와 문제해결이 관련이 있다는 것을 의미한다. 예를 들어, Mariotti & Pedemonte(2019)는 개방형 기하문제를 해결하는 과정에서 추측이 어떤 역할을 하는지 살펴보았다.

정리하면, 2000~2005년에는 증명과 논증, 공학적 도구를 활용한 기하 연구가 주로 이루어졌다. 2006~2010년에는 정당화가 주요 연구주제로 새롭게 나타났고, 2011~2015년에는 통계적 추론이주요 연구주제로 새롭게 나타났다. 2016~2020년에는 증명과 논증, 통계적 추론 등에서 세부적인변화가 나타났다.

V. 결론 및 제언

본 연구는 수학적 추론 연구의 동향을 분석하기 위해 2000년부터 2020년 6월까지 국내 7종, 국외 5종의 수학교육 전문 학술지에 등재된 643편의 논문을 대상으로 토픽모델링 분석을 수행하였다. 분석 결과, 국내 연구주제는 기하증명, 정당화, 문제해결, 패턴 일반화, 비례 추론, 통계적 추론 순으로 나타났다. 국외 연구주제는 증명과 논증, 교사 교육, 기하 추론, 패턴 일반화, 문제해결, 통계적 추론 순으로 나타났다. 또한, 시기별로 살펴보면 국내의 경우 2000~2005년에는기하증명이 주요 연구주제였지만, 2006~2010년에는 비례 추론이 새로운 연구주제로 나타났고, 2011~2015년에는 영재 학생을 대상으로 한 연구가, 2016~2020년에는 교과서를 대상으로 한 연구가 많이 이루어졌다. 국외의 경우 시기별로 큰변화 없이 증명과 논증, 교사 교육, 기하 추론,패턴 일반화, 문제해결이 주요 연구주제로 나타났고, 2011~2015년에는 통계적 추론이 새로운 연구주제로 나타났다. 이를 바탕으로 결론 및 제언을 하면 다음과 같다.

첫째, 국내 연구에서 교사 교육과 관련한 연구가 상대적으로 부족하였다. 국외의 경우 교사 교육과 관련한 연구는 지난 20년간 꾸준히 이루어졌다. 특히 2011~2015년에는 교사 교육이 전체연구주제에서 가장 많은 부분을 차지하기도 하였다. 또한, 교사 전문성 신장에 관한 연구(Blanton & Kaput, 2005; Steele, 2005), 교사 지식에 관한 연구(Stylianides & Ball, 2008), 교수·학습에 관한 연구(Bjuland, 2012), 초등교사 및 예비교사에 관한 연구(Biehler, Frischemeier, & Podworny, 2018; Hilton & Hilton, 2019) 등의 다양한 연구 동향을 확인할 수 있었다. 하지만 국내에서는 교사 교육과 관련한 연구주제가 2016~2020년에 처음으로 나타났다. 눈에 띄는 것은 교사 교육이 통계적 추론과 연관되어 나타났다는 점이다. 이는 국내의 교사 교육 연구가 아직 다양한 추론 영역에서 이루어지고 있지 않다는 것을 의미한다. 최근 우리나라에서 교사 교육연구가 확대되고 있다는 점에서, 수학적 추론 연구와 관련해서도 교사 교육이 보다 다양한 측면에서 확장될 필요가 있어 보인다.

둘째, 국외 연구에서는 논증하기, 추측하기와같은 수학적 추론의 과정에 중점을 둔 연구가 많았다. 국내에서는 증명이 기하와 함께 연구되는 경향이 있는 반면, 국외에서는 증명이 논증과함께 연구되는 경향이 있었다. 예를 들어, Stylianides et al.(2017)은 수학교육에서 증명이 서로 다른 관점에서 다루어지고 있으며, 문제해결로 바라보는 관점과 설득의 과정으로 바라보는 관점이 있다고 설명하였다. 국내의 경우 증명을문제해결의 관점에서 주로 다루고 있었지만(Byun & Chang, 2017; Song et al., 2006), 국외의경우 증명을 설득의 과정, 다시 말해 논증을 통해 이루어지는 것으로 보고 있는 경우가 많았다(Knipping, 2008; Reid & Vallejo Vargas, 2019; Selden & Selden, 2003). 이는 국내외 연구에서증명에 대한 관점에 차이가 있다고 볼 수 있으며, 국외의 경우 국내와 비교하여 과정에 중점을두고 있는 것으로 보인다. 또한, 추측하기는 수학적 추론 과정에서 매우 중요한 활동이지만, 국내에서는 관련 연구가 매우 드물었다. 반면 국외의 경우 추측하기와 관련한 연구가 많이 이루어진 것을 확인할 수 있었다(Baccaglini-Frank, 2019; Mariotti & Pedemonte, 2019). 이에 국내에서도 수학적 추론의 과정에 중점을 둔 연구가 필요해 보인다.

셋째, 국내의 수학적 추론 연구가 최근 다변화되고 있다는 점은 의미가 있었다. 2000년대에는기하증명과 관련한 연구가 주를 이루었다면, 2010년대 들어 통계적 추론과 같은 새로운 연구주제들이 나타나기 시작하였고, 연구주제별 비율도 특정 주제에 치우치지 않고 고르게 나타나는 것으로 조사되었다. 또한, 2016~2020년에는 수와연산, 교과서를 대상으로 한 연구가 연구주제로나타났다. 이는 2015 개정 교육과정이 등장하면서 교과서 및 수와 연산 영역에서 변화된 내용을 연구주제로 다룬 것으로 보인다. 특히 2015 개정 수학과 교육과정에서 추론 능력이 교과 역량으로 강조되면서 더욱 관심이 커진 것으로 보인다. 더불어 2016~2020년에 ‘covariational, quantiative’ 등의 단어들이 새롭게 나타났다. 이는 공변 추론과 양적 추론에 관한 연구가 최근 들어 활발하게 이루어지고 있는 것으로 해석된다. 이러한 특징들은 국내의 수학적 추론 연구가다변화되고 있다는 사실을 뒷받침해준다.

넷째, 최근 국외 연구에서 새로운 특징이 나타났다. 교사 교육의 경우 ‘design’이라는 단어가처음으로 나타났는데, 이는 수업 설계, 과제 설계 등과 관련된다고 해석할 수 있다(Lithner, 2017). 또한, 통계적 추론의 경우 ‘context’가 나타났는데, 이는 수학적 모델링의 영향을 받아 실생활 맥락을 바탕으로 수학적 추론 연구가 이루어지고 있음을 확인하였다(Wilkerson & Laina, 2018). 또한, 학생에게 수학적 추론을 지도하기위한 교수학적 개입 방안에 대한 연구가 활발하게 이루어지고 있었다(Hilton & Hilton, 2019; Hunt & Silva, 2020; Powell, Berry, & Barnes, 2020). 예를 들어, Powell et al. (2020)은 문장제를 어려워하는 초등학생들을 대상으로 교수학적 개입을 하여 초기 대수적 추론 능력을 신장하게 하는 연구를 하였다. 이처럼 국외 연구에서는 수학적 추론과 관련한 연구주제가 새롭게 등장하고 있다는 측면에서 국내에서도 이와 관련한 연구에 관심을 가질 필요가 있다.

한편, 본 연구는 지난 20년간 국내외 수학적추론 연구의 동향을 살펴보고, 앞으로 수학적 추론 연구에서 관심을 가져야 할 연구주제를 제안하였다. 더불어 본 연구에서는 LDA 기반 토픽모델링을 활용하여 방대한 양의 텍스트에서 유의미한 주제를 용이하게 산출하였으나, 몇 가지 제한점이 드러나기도 하였다. 먼저, 토픽별로 나타나는 단어들의 맥락을 완전히 이해하기 어렵다는 한계가 있었다. 이는 LDA 알고리즘이 텍스트의 맥락을 고려하지 않은 채 단어들을 산출하기 때문이다. 이 문제를 해결하기 위해 관련 단어들이 나타난 논문들을 확인하여 맥락을 이해하는작업이 필요하였다. 또한, 본 연구처럼 특정 주제에 대한 데이터를 수집하는 것은 많은 시간이소요되었다. 한 학술지에서 전체 논문을 수집하는 경우 크롤링(crawling)을 하면 손쉽게 데이터를 수집할 수 있으나, 특정 주제의 데이터를 수집하기 위해서는 경우의 수를 입력하고 수집할논문들을 일일이 확인하는 작업이 필요하였다.이후 토픽모델링을 활용한 후속연구에서는 이러한 어려움에 대해 보다 효율적이고 체계적인 방안이 심도 있게 논의되기를 기대한다.

Fig 1.

Figure 1. Activities of mathematical reasoning (Lannin et al., 2011, p. 11)
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 625-648https://doi.org/10.29275/jerm.2020.11.30.4.625

Fig 2.

Figure 2. Application of LDA(Maier et al., 2018, p. 94)
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 625-648https://doi.org/10.29275/jerm.2020.11.30.4.625

Fig 3.

Figure 3. Example of 2D Spring Map with K=6
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 625-648https://doi.org/10.29275/jerm.2020.11.30.4.625

Fig 4.

Figure 4. Example of 2D Spring Map with K=5
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 625-648https://doi.org/10.29275/jerm.2020.11.30.4.625

Fig 5.

Figure 5. Word cloud from domestic papers
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Fig 6.

Figure 6. Word cloud from international papers
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 625-648https://doi.org/10.29275/jerm.2020.11.30.4.625

Fig 7.

Figure 7. Domestic research trends
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Fig 8.

Figure 8. Domestic research trends by period
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 625-648https://doi.org/10.29275/jerm.2020.11.30.4.625

Fig 9.

Figure 9. International research trends
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 625-648https://doi.org/10.29275/jerm.2020.11.30.4.625

Fig 10.

Figure 10. International research trends by period
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 625-648https://doi.org/10.29275/jerm.2020.11.30.4.625

Table 1 Comparison of the activities of mathematical reasoning

Russell(1999)Lannin et al.(2011)Park et al.(2015)
일반화하기추측하기추측하기
일반화하기일반화하기
왜 그런지 탐구하기탐구하기
정당화하기정당화하기정당화하기
반박하기증명하기

Table 2 The number of domestic and international papers analyzed in each journal

색인학술지명
KCI수학교육학연구73
학교수학66
수학교육31
초등수학교육16
수학교육논문집25
한국초등수학교육학회지23
한국학교수학회논문집28
합계262
SSCIJRME61
JMTE49
ESM126
MTL41
ZDM104
합계381

Table 3 Analysis of domestic and international research topics related to mathematical reasoning

색인주제단어(상위 10개)논문 예시
KCIgeometry proofproof, geometry, student, school, middle, teaching, triangle, method, theorem, textbookSeventh graders' proof schemes and their characteristics in geometric tasks (Byun & Chang, 2017)
justification (gifted student)*student, justification, gifted, ability, learning, elementary, reasoning, activity, school, groupA study on the effective use of tangrams for the mathematical justification of the gifted elementary students (Hwang, 2015)
problem solvingproblem, solving, reasoning, student, analogical, abduction, process, inductive, creative, findingHigh school students' reasoning characteristics in problem solving (Kang & Kim, 2013)
pattern generalizationgeneralization, student, pattern, number, teaching, process, algebraic, school, learning, modelA study on the 6th graders' learning algebra through generalization of mathematical patterns (Kim & Kim, 2009)
proportional reasoningreasoning, proportional, problem, task, elementary, textbook, level, type, student, multiplicationAn analysis on the proportional reasoning understanding of 6th graders of elementary school: focusing to ‘comparison' situations (Park&Kim, 2016)
statistical reasoning (teacher)*student, teacher, understanding, statistical, preservice, representation, data, concept, thinking, taskStudy on pre-service teacher' statistics reasoning ability (Lee, 2011)
SSCIproof and argumentproof, student, argument, theory, statement, teaching, school, mathematician, understanding, validityValidations of proofs considered as texts: Can undergraduates tell whether an argument proves a theorem? (Selden & Selden, 2003)
teacher educationteacher, teaching, knowledge, preservice, development, elementary, school, instruction, learning, reasoningUpper primary school teachers' mathematical knowledge for teaching functional thinking in algebra (Wilkie, 2014)
geometric reasoninggeometry, student, process, conjecture, problem, learning, justification, cognitive, classroom, dynamicDragging, instrumented abduction and evidence, in processes of conjecture generation in a dynamic geometry environment (Baccaglini-Frank, 2019)
pattern generalizationstudent, generalization, algebraic, pattern, representation, function, change, level, problem, relationshipAn early algebra approach to pattern generalisation: Actualising the virtual through words, gestures and toilet paper (Ferrara & Sinclair, 2016)
problem solvingreasoning, student, problem, strategy, task, understanding, concept, grade, solving, typeCalculus students' quantitative reasoning in the context of solving related rates of change problems (Mkhatshwa, 2020)
statistical reasoningreasoning, student, data, statistical, task, learning, inference, model, development, sampleThe role of context in developing informal statistical inferential reasoning: A classroom study (Pfannkuch, 2011)

*대부분의 주제에서 주요 연구대상은 일반 학생이지만, 그렇지 않은 경우에 연구대상을 구분하여 강조하기 위해 제시함


Table 4 Analysis of domestic research topics related to mathematical reasoning by period

시기주제단어(상위 10개)논문 예시
2000 ~ 2005geometry proofproof, teaching, geometry, mean, understanding, method, grade, experiment, preformal, geneticAn analysis of proof factors in the intuitive geometry for seventh grade (Cho & Jung, 2003)
justificationreasoning, elementary, ability, student, justification, school, apply, deductive, example, inductiveA study on mathematical justification activities in elementary school (Kwon, 2003)
pattern generalizationgeneralization, school, teacher, relationship, algebraic, pattern, student, teaching, tool, methodA study on approaches to algebra focusing on patterns and generalization (Kim, 2003)
Pythagorean theoremproof, Pythagorean, school, theorem, angle, know, middle, term, text, relationshipVarious proofs and educational applications of Pythagorean theorem (Hong, 2003)
instructional modelstudent, model, activity, problem, development, process, generate, comvergent, solving, spreadsheetDevelopment and applications of mathematical proof learning-teaching methods: The generative-convergent mode (Lee & Kim, 2004)
2006 ~ 2010geometry proofproof, student, geometry, learning, school, development, method, activity, teaching, understandingTeaching geometry proof with focus on the analysis (Na, 2009)
pattern generalizationgeneralization, pattern, unit, student, school, teacher, finding, elementary, teaching, processGeneralization and symbol expression through pattern research: Focusing on pictorial/geometric pattern (Kang, 2007)
justificationjustification, reasoning, ability, level, type, figure, child, inductive, student, identifyAnalysis on the types of mathematically gifted students' justification on the tasks of figure division (Song et al., 2006)
proportional reasoningproportional, problem, reasoning, student, multiplication, solving, situation, test, concept, typeAnalysis on elementary students' proportional thinking: A case study with two 6-graders (Ko & Lee, 2007)
spatial reasoningstudent, thinking, spatial, visual, reasoning, solving, representation, problem, gifted, variationAn investigation on 6th grade students' spatial sense and spatial reasoning (Kim & Pang, 2007)
2011 ~ 2015geometry proofproof, geometry, student, number, school, property, middle, grade, method, textbookExploring students' thinking in proof production in geometry (An & Kim, 2014)
problem solvingproblem, reasoning, solving, student, school, type, process, thinking, development, creativeAn analysis on the 4th graders' ill-structured problem solving and reasoning (Kim, Heo, Cho, &Park, 2012)
proportional reasoningreasoning, proportional, student, creative, strategy, development, task, elementary, abduction, levelThe analysis of 6th-grade elementary school student's proportional reasoning ability and strategy according to academic achievement (Eom & Kwean, 2011)
pattern generalizationgeneralization, student, proportional, pattern, algebraic, task, reasoning, strategy, process, representationExamining the students' generalization method in relation with the forms of pattern: Focused on the 6th grade students (Lee & Na, 2012)
justification (gifted student)*student, gifted, justification, elementary, ability, learning, process, lesson, compare, errorAn analysis of justification process in the proofs by mathematically gifted elementary students (Kim & Park, 2011)
2016 ~ 2020.06number and operation (textbook)*textbook, fraction, number, division, addition, digit, argument, unit, structure, modelA comparative analysis of fraction multiplication in Korean and Japanese elementary mathematics textbooks: Focused on quantitative reasoning (Lee &Pang, 2019)
problem solvingproblem, solving, reasoning, student, task, process, abduction, level, geometry, typeAnalysis of abduction in mathematics problem posing and solving (Lee & Kim, 2020)
proportional reasoningstudent, proportional, reasoning, strategy, covariational, situation, grader, gragh, quantitative, quantityRelationship between proportional reasoning and covariational reasoning of 7th grade students (Park & Lee, 2020)
justification (gifted student)*student, learning, generalization, gifted, proof, finding, justification, school, class, characteristicComparative analysis of generalization and justification of the mathematically gifted 6th graders by learning styles (Yu & Chang, 2017)
statistical reasoning (teacher)*teacher, reasoning, elementary, task, statistical, preservice, ability, concept, teaching, questionStatistical reasoning of preservice elementary school teachers engaged in statistical problem solving: Focused on question posing stage (Lee & Park, 2019)

*대부분의 주제에서 주요 연구대상은 일반 학생이지만, 그렇지 않은 경우에 연구대상을 구분하여 강조하기 위해 제시함


Table 5 Analysis of international research topics related to mathematical reasoning by period

시기주제단어(상위 10개)논문 예시
2000 ~ 2005proof and argumentproof, school, concept, secondary, argument, student, idea, understanding, limit, validityTeachers' conceptions of proof in the context of secondary school mathematics (Knuth, 2002)
geometrystudent, geometry, dynamic, explanation, apply, diagram, software, environment, high, constructProviding a foundation for deductive reasoning: Students' interpretations when using dynamic geometry software and their evolving mathematical explanations (Jones, 2000)
pattern generalizationreasoning, student, concept, algebraic, definition, generalization, type, instruction, grade, patternGeneralization and justification: The challenge of introducing algebraic reasoning through patterning activities (Lannin, 2005)
teacher educationteacher, teaching, classroom, development, role, understanding, context, support, explore, situationHelping elementary teachers build mathematical generality into curriculum and instruction (Blanton & Kaput, 2005)
problem solvingstudent, problem, reasoning, example, data, interview, solving, level, learning, findingDidactical handling of students' reasoning processes in problem solving situations (Brousseau & Gibel, 2005)
2006 ~ 2010proof and argumentproof, argument, structure, model, validity, episode, notion, conceptualization, theory, statementA method for revealing structures of argumentations in classroom proving processes (Knipping, 2008)
teacher educationteacher, teaching, preservice, knowledge, student, understanding, discuss, mean, learning, developmentProspective teachers' reasoning and response to a student's non-traditional strategy when dividing fractions (Son & Crespo, 2009)
pattern generalizationgeneralization, student, pattern, algebraic, representation, problem, relationship, strategy, function, linearPattern generalization with graphs and words: A cross-sectional and longitudinal analysis of middle school students' representational fluency (Nathan & Kim, 2007)
geometric reasoningreasoning, student, task, understanding, problem, geometry, examine, relationship, representation, identifyStudents' coordination of geometric reasoning and measuring strategies on a fixed perimeter task: Developing mathematical understanding of linear measurement (Barrett et al, 2006)
justificationstudent, reasoning, justification, process, relate, support, point, model, development, strategyConnections between generalizing and justifying: Students' reasoning with linear relationships (Ellis, 2007)
2011 ~ 2015teacher educationteacher, student, learning, knowledge, teaching, school, understanding, development, instruction, classroomThe mediating role of a teacher's use of semiotic resources in pupils' early algebraic reasoning (Bjuland, 2012)
proof and argumentproof, example, argument, read, mathematician, finding, student, validity, strategy, statementWhy and how mathematicians read proofs: Further evidence from a survey study (Mejia-Ramos & Weber, 2014)
geometric reasoningreasoning, task, student, geometry, spatial, concept, engage, conjecture, design, childFirst-graders' spatial-mathematical reasoning about plane and solid shapes and their representations (Hallowell et al, 2015)
statistical reasoningstudent, reasoning, inference, number, statistical, sample, development, context, data, actionDeveloping students' reasoning about samples and sampling variability as a path to expert statistical thinking (Garfield et al, 2015)
problem solvingproblem, child, cognitive, solving, process, thinking, reasoning, relationship, strategy, typePrimary school children's strategies in solving contingency table problems: The role of intuition and inhibition (Obersteiner et al, 2015)
2016 ~ 2020.06proof and argumentproof, argument, evidence, teaching, theory, accept, construct, aspect, examine, contextEvidence and argument in a proof based teaching theory (Reid & Vallejo Vargas, 2019)
teacher educationteacher, teaching, reasoning, knowledge, elementary, development, preservice, design, task, learningPrimary school teachers implementing structured mathematics interventions to promote their mathematics knowledge for teaching proportional reasoning (Hilton & Hilton, 2019)
geometric reasoningstudent, problem, conjecture, geometry, solving, write, learning, intervention, response, cognitiveIntuition and proof in the solution of conjecturing problems (Mariotti & Pedemonte, 2019)
statistical reasoningreasoning, student, model, statistical, change, graph, understanding, context, thinking, supportThe role of model comparison in young learners' reasoning with statistical models and modeling (Dvir & Ben-Zvi, 2018)
pattern generalizationstudent, reasoning, generalization, algebraic, understanding, pattern, grade, relationship, level, functionTrends of progression of student level of reasoning and generalization in numerical and figural reasoning approaches in pattern generalization (Mouhayar, 2018)

References

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Journal Info

Korea Society of Education Studies in Mathematics

Vol.32 No.1
2020-11-30

pISSN 2288-7733
eISSN 2288-8357

Frequency : Quarterly

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