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전자저널 논문

2020; 30(4): 675-703

Published online November 30, 2020 https://doi.org/10.29275/jerm.2020.11.30.4.675

Copyright © Korea Society of Education Studies in Mathematics.

Exploring Ways to Improve Elementary School Statistics Education Through Analysis of Middle School Social Studies Textbooks: Focusing on Statistical Graph Teaching

중학교 사회 교과서 분석을 통한 초등학교 통계교육 개선 방안 탐색: 그래프 지도를 중심으로

Byungjoo Tak1, Eun-Sung Ko2

*Professor, Jeonju National University of Education, South Korea, bjtak@jnue.kr
**Professor, Jeonju National University of Education, South Korea, kes7402@jnue.kr

*전주교육대학교 교수, **전주교육대학교 교수

Correspondence to:corresponding author
1) 이 연구는 2020년 전주교육대학교 국립대학육성사업의 연구비 지원으로 수행하였음

Received: October 5, 2020; Revised: October 27, 2020; Accepted: October 28, 2020

In this study, in order to explore ways that statistical graphs teaching in elementary mathematics education can be improved, first, the types of statistical graphs that appear in middle school social textbooks were examined, and second, the characteristics that differentiated these from statistical graphs that appeared in elementary school mathematics were investigated. This analysis indicated that 88.2% of the graphs presented in the middle school social textbooks were addressed in the elementary mathematics curriculum. The frequency of use (excluding mixed graphs) was in the order of bar graphs, line graphs, ratio graphs, and picture graphs. However, most of the statistical graphs did not follow the standardized framework suggested in elementary school mathematics textbooks, as they were instead transformed in various ways. The features that differentiated middle school mathematics graphs from graphs experienced in elementary school mathematics differed for each type of graph. For example, in the case of bar graphs, there were the omission of axes, deformation of bars, and expression of multiple variables, while in the case of line graphs, there were expressions of multiple variables and accurate representations of variables.

Keywordsstatistical graph, middle school social studies textbook, graph teaching

수학 교과의 틀 안에서 수학적인 방식으로 이루어져 온 전통적인 통계교육에 지속적으로 제기되는 문제는 지나치게 인위적인 예를 바탕으로 자료 정리 기법을 절차적인 기능으로서만 익히고 맹목적으로 정보를 찾으며 지나치게 이상적이고 이론적인 상황만을 다루어왔다는 것이었다(Freudenthal, 1973; Woo, 2000). 이와 같은 전통적인 통계교육의 패러다임에서 벗어나 통계적 소양 교육을 실천하기 위해서 ‘통계적 문제해결교육’이 이루어질 필요가 선행연구에 의해 제기되어 왔다(e.g., Ko & Park, 2017; Wild & Pfannkuch, 1999, etc.). 즉, 문제 설정, 자료 수집, 자료 분석, 결과 해석의 단계로 이루어지는 일련의 과정을 학생들이 순환적으로 경험함으로써 통계 정보를 합리적으로 소비하고 윤리적으로 생산하는 데 필요한 지식과 태도를 기를 수 있어야 한다는 것이다(Franklin et al., 2007; Ko et al., 2017).

그래프는 초등학교 수학에서 다루어지는 통계 학습 내용의 대부분을 차지한다 해도 과언이 아닐 정도로 비중이 크다. 하나의 단원에서 하나의그래프를 집중적으로 지도할 만큼 그래프 학습은 그 비중이 크다. 그러나 그 동안 학교수학에서 그래프의 지도가 절차적인 기능과 맹목적인 읽기에만 집중되어 왔다는 비판이 지속적으로 제기되어 왔다(e.g., Lee & Ko, 2019; Pang, 2008; Tak & Kim, 2020; Woo, 2000). 이를 개선하고자 2015 개정 수학과 교육과정에서는 초중고 확률과 통계 영역의 교육 목표를 “미래를 예측하고합리적인 의사결정을 하는 민주 시민으로서의 기본 소양”을 기르는 것이라 밝히고 있다. UNESCO(2005)에서는 ‘소양’의 의미를 “개인과사회의 변혁을 위한 기반으로서 사회적 인식과 비판적 반성이 필요한 역량”으로 규정하고 있는데, 통계교육의 목표로서 지식이나 기능 대신 소양을 명시하였다는 것은, 통계적 소양이 현대 사회를 살아가는데 필수적임을 드러내는 것이라 볼 수 있다. 즉, 그래프 역시 인위적인 자료를가지고 기능적으로 다루는 것 외에, 실생활 문제상황에서 그래프를 통해 얻을 수 있는 다양한 통계 정보를 활용하고 문제를 해결하는 상황을 고려하여 지도되어야 한다. 가깝게는 이후 상위교육과정에서 이미 학습한 그래프를 이용해 자료를 요약하거나 그래프로 요약된 자료를 해석하는데 거리낌이 없도록 지도되어야 하며, 멀게는 실생활 문제 해결 상황에서 그래프를 이용하는데 어려움이 없도록 지도되어야 한다.

이러한 문제인식을 가지고 그동안 수학교육 연구자와 사회교육 연구자들에 의해 초등학교 사회 교과서에 등장하는 그래프를 분석한 연구는 비교적 꾸준히 이루어져 왔다(e.g., Han, 2006, Kim, 2013, 2018; Lee, Kim, & Tak, 2019; Park, 2019, etc.). 타 교과 중에서도 사회과는 그래프를사용하는 비중이 매우 높기 때문이다(Lee et al., 2019). 특히, 사회과는 정보를 획득하는 기능, 그정보를 조직하고 활용하는 기능, 나아가 대인관계와 사회적 참여 기능으로 그 기본 기능을 분류할 수 있는데(NCSS, 1994, p. 149), 이러한 기능 대부분은 통계 정보를 매개로 하며 그 통계 정보를 표현하고 전달하는 그래프에 상당히 의존하고 있음을 알 수 있다. 그러나 중학교 사회교과서에 등장하는 그래프를 분석하여 이로부터 수학과에서 이루어지는 통계교육에 시사점을 도출하고자 하는 연구는 그동안 이루어지지 않았는데, 이는 현재 우리나라 수학과 교육과정의 계열상 대부분의 전형적인 그래프 학습은 초등학교에서 마무리되고 중학교에서는 줄기와 잎 그림, 히스토그램, 도수분포다각형, 산점도와 같이 조금 더 수학적인 분석이 이루어져야 하는 그래프만 제한적으로 다루어지기 때문인 것으로 보인다. 그러나 이는 중학교 사회과 학습에 필요한그래프 관련 통계적 소양이 초등학교 수학과에서 이미 이루어진 통계교육에 기대고 있음을 의미하는 것이기도 하다. 즉, 중학교 사회 교과서에 등장하는 그래프의 특징을 분석함으로써, 초등학교 수학과에서 이루어지는 그래프 지도에 대한 시사점을 얻을 수 있을 것이라는 기대가 가능하다. 더욱이, 그래프를 해석하는 데 필요한수학 지식으로 인해 학생들이 어려움을 겪고 있어, 사회 교과서에 제시되어 있는 여러 시각 자료 중 그래프를 비롯한 도표에 대한 중학생들의 선호도가 매우 낮다는 연구 결과도 보고된 바 있다(Kim & Lee, 2011).

이에 본 연구에서는 중학교 사회 교과서에 등장하는 통계 그래프의 특성을 분석하고, 이를 초등학교 수학 교과서에서 다루었던 그래프와 비교함으로써 초등학교 수학과에서 이루어지는 그래프 지도의 개선 방향을 탐색하고 시사점을 도출하고자 한다. 이를 위해 첫째, 중학교 사회 교과서에 등장하는 통계 그래프에는 어떠한 유형이 있는지, 둘째, 초등학교 수학에서 경험하는 그래프와는 어떤 차별화된 특징이 있는지 분석한다.

1. 통계적 문제해결에서 그래프의 역할

그래프는 통계적 문제해결 과정에서 자료 분석을 위한 도구로 그 가치를 인정받는다. 통계정보의 소비자에게 그래프는 단순히 자룟값을 전달해주는 그림 이상의 것으로, 그래프에 기초하여 필요한 정보를 얻고 판단, 의사결정, 예측등의 활동을 한다. 통계 정보의 생산자에게 그래프는 단순히 자료를 정리하여 나타내는 시각적 표현 도구 이상으로 자료집합으로부터 얻어낼 수 있는 통계적 정보의 질과 양을 좌우하는 중요한 분석 도구이다.

학교수학에서 다루는 통계 영역의 내용 요소들은 대부분 통계적 문제해결 과정 중 자료 분석 단계에서 필요한 지식과 기능에 해당한다. 그중에서도 특히 그래프는 초등학교 수학과 교육과정 중 ‘자료와 가능성’ 영역의 대부분을 차지한다는 점에서 초등학교 통계교육의 중핵이 되는 요소라 할 수 있다. 또한, 그래프는 자료 분석의 결과를 시각화하여 드러낸다는 점에서 일상에서도 가장 많이 사용되는 통계적 표현 양식이라 할 수 있는데, 정작 그래프에 대한 합의된정의는 그다지 명확한 문장으로 합의되어 있지 않고, 다만 통계학에서 사용되는 여러 가지 그래프를 바탕으로 그 개념을 미루어 짐작할 뿐이다. 이는 Lee(2014)가 “어떠한 표현 목적을 가지고그 표현하려는 바가 잘 드러나도록 간결하게 만든 시각적 도구(p. 49)”라고 그래프의 개념을 설명한 데에서도 알 수 있듯이, 그래프를 만든 주체의 주관적인 목적에 의존하기 때문에 수학적 개념처럼 학계에서 통용되는 분명한 정의를 내리기 어렵기 때문이다.

다만, 그래프의 활용 목적에 비추어 그 개념을문장으로 설명하는 시도는 가능한데, 대표적으로Woo(2017)는 “자료에 내포된 관계의 경향성을비형식적으로 드러냄으로써 자료의 전반적인 특징을 한눈에 알아보기 쉽게 해주는 도구(p. 346)” 로 정의하였다. 즉, ‘자료집합의 특징’을 쉽게 확인할 수 있도록 자료에 내포된 관계의 경향성, 즉 자료의 ‘분포’를 시각화하여 표현하는 도구인것이다. 이렇게 자료를 정리하여 분포를 표현함으로써 그래프는 통계적으로 문제를 해결해야 하는 상황에서 자료의 특성을 바탕으로 합리적인 통계적 의사결정을 내릴 수 있게끔 하는 자료 분석과 결과 해석의 도구로서의 역할을 한다. 그리고 그 과정에서 통계 정보의 생산자와 소비자는 그래프를 매개로 통계적 의사소통을 하게 되는데, 이는 학교 통계교육을 통해 길러야 하는통계적 소양의 핵심적인 요소로 알려져 있다(Gal, 2002).

이렇듯 그래프는 통계학적 측면뿐만 아니라 교육적 측면에서도 그 중요성과 유용성이 명확히 드러나지만, 수학과 같이 형식의 엄밀함보다는 실용적인 합목적성을 추구하는 통계학의 특성으로 인해 정형화된 형태를 규정할 수는 없다. 하지만 Tak & Kim(2020)에 따르면 그래프는 어떤 것이든 기본적으로 범례나 범주를 표현하는 요소, 변량이나 빈도를 표현하는 요소, 그리고 맥락을 드러내는 요소로 구성되어 있으며, 이를통해 자료의 분포를 드러내고자 하는 공통의 목적을 지니고 있다. 따라서 본 연구에서는 ‘범례/범주, 변량/빈도, 맥락을 표현하는 요소를 바탕으로 자료의 분포를 시각화하여 자료집합의 특성을 드러내기 위한 도구’로 그래프를 정의하고자한다.

2. 학교수학에서의 그래프 지도

수학에서 다루어지는 함수 그래프는 수학적 엄밀성을 추구하는 데 반해, 통계 그래프는 비전문가인 일반인들에게 통계 정보를 조금 더 쉽게 전달하기 위한 목적으로 사용되며, 이 때문에 엄밀성보다는 시각적 직관성과 비형식성이 더욱 강조된다(Tak, 2018, p. 229). 이러한 특성으로 인해 그래프는 학교 교육에서 수학 교과만 전유하지 않고 사회나 과학 등 타 교과에서도 적극적으로 사용한다(Lee et al., 2019). 그러나 사회나 과학 교과에서는 그래프 자체를 지도하는 것이 아니라 그래프에서 전달하고자 하는 통계 정보를 지도하는 것이 목표인 반면, 수학 교과에서는그래프의 구성 요소, 그래프의 작성, 그래프의해석과 같은 기초적인 기능을 지도해야 한다. 물론, 이러한 기능이 그래프를 기계적으로 그리고맹목적으로 읽는 법에 국한되어서는 안 되며, 통계적 문제해결 과정에서 그래프를 활용하는 소양을 익히는 것이 중요하다. 구체적으로 그래프의 각 유형별로 어떠한 특징과 장점이 있는지, 각 유형별 그래프를 언제 사용하면 좋은지를 생각해보고 실제 자료를 조사하여 그래프로 나타내는 통계적 문제해결 과정을 경험하게끔 안내해야 한다.

구체적으로, 2015 개정 수학과 교육과정에서는그래프와 관련하여 성취기준을 제시함으로써 수학 교과에서 그래프의 지도 방향을 명시적으로 제시하고 있다. 이 중 특히 눈여겨 볼만한 성취기준은 다음과 같다(MOE, 2015).

  • [4수05-03] 여러 가지 자료를 수집, 분류, 정리하여 자료의 특성에 맞는 그래프로 나타내고,그래프를 해석할 수 있다.

  • [6수05-04] 자료를 수집, 분류, 정리하여 목적에 맞는 그래프로 나타내고, 그래프를 해석할 수 있다.

자료는 어느 특정한 범주에 속하는 정보만을 주는 ‘범주형 자료(categorical data)’와 연산이 가능하고 그 연산을 통해 또 다른 정보를 주는 ‘수치형 자료(numerical data)’로 분류된다. 이 중 범주형 자료는 자룟값을 나타내는 척도에 따라 개체의 특성을 분류하는 범주 정보만 주어지는 ‘명목척도’와 순서(서열)에 대한 정보를 더 갖는 ‘순서척도’로 구분된다. 또한, 수치형 자료의 척도는 등간격에 대한 정보를 더 갖는 ‘구간척도’ 와 그리고 비율을 비교할 수 있는 ‘비율척도’로구분된다. 2) 비록 초등학교 수학과에서 이러한내용을 구체적으로 다루지는 않지만 [4수05-03]은 이러한 자료의 특성을 고려하여 그에 적합한 그래프를 선택하는 소양을 요구하고 있다. 또한, 그래프는 자료의 분포를 통해 집단의 성질을 다른 사람에게 더 잘 드러내기 위한 목적으로 활용하는데, 이때 통계적으로 해결하고자 하는 문제의 특성에 따라 위의 목적에 더 잘 부합하는 유형의 그래프를 선택할 수 있어야 함을 강조하는 성취기준이 [6수05-04]이다. 이 두 성취기준은모두 자료의 수동적인 처리 대신 능동적인 의사결정과 통계적 소양을 강조하기 위한 것이라 할 수 있다.

그동안 우리나라의 통계교육에서 그래프 지도는 대체로 그래프를 그리는 절차와 순서에 치중하는 경향이 강하여, 수치나 시각적 요소의 지엽적인 부분에 치중하여 그래프의 의미와 내용을 파악하기 어렵게 한다는 측면이 있어왔다(Lee & Ko, 2019; Pang, 2008). 이로 인해 나타난 대표적인 현상 중 하나가 우리나라 초등학교 수학 교과서에 제시되는 그래프의 틀이 일상에서 찾아보기 어려운 표 형태로 정형화되어 있다는 것이다. 초등학교 수학 교과서에서 제시되는 그래프의 틀은 그래프의 구성 요소에 주목하게 하고, 직접 손으로 그래프를 쉽게 그릴 수 있도록 하는 보조적인 장치 역할을 한다(Tak, 2020). 문제는 그래프를 그리는 절차와 순서를 지도하는 데 지나치게 주목한 나머지, 일상에서 접할 수 있는다양한 그래프의 시각적 변이들을 경험하지 못하는 것으로 보인다. 수학 교과에서 학습한 그래프 관련 내용을 바탕으로 타 교과에서 활용되는 다양한 그래프를 올바르게 해석하고 그래프가 전달하고자 하는 통계 정보를 바탕으로 해당 교과 학습이 이루어져야 하기 때문에, 그래프의 형태적 유연성을 바탕으로 학교수학에서 그래프 지도에 대한 시사점을 도출할 필요가 있다.

3. 사회과에서 그래프의 활용

사회과에서는 그래프 자체를 지도하는 것이 아니라 주제에 따라 다양한 자료를 활용하여 교과 내용을 인식하는 데 초점을 두고 있으며, 학습 주제에 맞게 다양한 그래프를 활용하고 있기 때문에, 수학과처럼 그래프의 유형과 형태가 정형화되어 있지 않고 학년 계열 또한 정해져 있지 않다(Kim, 2013, p. 368). 특히 Choi(2016)는 사회과에서 그래프를 포함한 시각 매체를 읽을 때, (1) 다양한 형태의 정보를 읽을 수 있어야하며, (2) 복합 양식 자료를 논리적으로 조직하며 읽을 수 있어야 한다고 주장하였는데, 사회과에서 다루는 그래프가 대체로 다중 정보를 다루고 있는 다변수 그래프이며, 유형과 양식 또한 한 가지로 정형화된 것이 아니라 복합적인 형태를 띤다는 것을 암시한다.

이러한 특성으로 인해 사회 교과서에서 다루는 그래프는 형태 측면에서 수학 교과서의 그래프와 차이가 존재한다. Lee et al.(2019)은 사회, 과학을 비롯한 초등학교 타 교과의 교과서에 등장하는 그래프를 분석한 바 있는데, 시각적 형태가 수학 교과서에서 다루는 그래프와 다른 경우, 두 개 이상의 그래프가 하나의 지면에서 사용되는 복합적인 경우, 수학 교과서에서는 등장한 적이 없는 새로운 형태의 그래프가 제시되는 경우등 그래프를 둘러싼 수학과와 타 교과 간의 여러 가지 쟁점이 존재하고 있었다. 예를 들어, 초등학교와 중학교의 사회 교과서에는 Figure 1과같은 그래프가 등장하는데, 이는 수학 교과서에서 지도되는 그래프와 사뭇 다른 형태와 특성을 지니고 있다.

Figure 1.Examples of statistical graphs in elementary and middle school social studies textbooks(MOE, 2014, p. 49; Choi et al., 2018b, p. 13).

전술한 바와 같이 사회 교과에서는 여러 가지 통계 정보를 획득하고 조직하는 역량이 강조되는데, 이는 대개 그래프를 통해 매개된다. 그러나 중학생들이 사회 교과에서 다루어지는 그래프를 이해하는 데 어려움을 겪는다는 선행연구들이 보고된 바 있다(예를 들어 Harm, 2008; Park, 2002). 이에 대해 Kim & Lee(2011)는 “사회 교과서에 수록된 그래프 자료는 직관 효과가 뛰어나다는 장점도 있지만, 수량, 단위, 좌표 등 기초적인 수학적 개념이 요구되기 때문에 일부 학생들의 경우 그래프를 해석하거나 이해하는 데 어려움을 호소하는 경우가 있으며, 많은 장점이 있음에도 그래프는 종종 학습에 있어 장애 요인으로 작용하기도 한다(p. 92)”고 언급하였다. 즉, 중학생들이 사회 교과서에 수록된 그래프에 거부감을 느끼지 않고 올바르게 해석하는 역량을 갖추기 위해서는, 사회교육 내에서의 자체적인노력도 필요하지만 일차적으로 그래프를 지도하는 초등학교 수학교육에서의 개선 방향을 모색해볼 필요가 있다.

초등학교 수학 교과서에서 제시되는 그래프는 일상에서 접할 수 있는 다양한 그래프 틀과 구조적인 동형을 이룸으로써 수학 수업에서 학습한 그래프 관련 내용을 일상에 적용, 전이할 수 있도록 안내하는 역할을 해야 한다(Tak, 2020). 그러나실생활 중심의 통계 내용 재구성을 주요 개정 방향으로 설정한 2015 개정 수학 교과서에서도 통계 그래프의 형태적 고착화를 온전히 탈피하지는 못하였고, 이로 인해 그래프 지도가 여전히 타 교과와는 유리되는 경직성을 보인다는 비판이 제기되고 있다. 본고에서 통계교육의 개선 방향을 탐색하기 위해 사회 교과서에 등장하는 그래프를 연구 대상으로 선정한 동기이기도 하다.

1. 자료 수집 및 분석 대상

본 연구에서 자료 수집의 대상으로 선정한 교과서는 2015 개정 사회과 교육과정에 따라 개발된 중학교 사회 교과서이다. 중학교 사회 교과서는 사회①과 사회②, 그리고 사회과부도로 구성되어 있는데, 본 연구에서는 사회과부도를 제외하고 국내 7개 출판사에서 발행한 사회①과 사회② 교과서 각 8권씩 총 16권을 자료 수집의대상으로 선정하여 전수조사하였다.

본 연구의 분석 대상은 자료 수집 대상으로 선정된 총 16권의 중학교 사회 교과서에 등장하는 그래프이다. 중학교 사회 교과서에는 다양한시각 매체가 등장하는데, 본 연구에서는 통계 그래프를 Lee et al.(2019)에서 사용된 기준을 보완하여 (1) 자료의 정리 과정을 거친 것으로서 (2) 수치 형태로 된 통계량을 시각화하여 제시하고 있고(단, 범주 형태로 제시한 것은 제외), (3) 정보 전달의 목적을 가지고 있으며 시각적으로 정돈된 형태를 지니는 것, (4) 그리고 모델링의 결과를 나타내는 함수그래프가 아니라 실제 데이터를 기반으로 표현한 통계 그래프인 것으로서 조작적으로 정의하였다. 이에 따라 주제도(主題圖)의 경우 그래프로 분류된 것도 있고 분류되지 않은 것도 있는데, 예를 들어 Figure 2의 왼쪽은 하나의 개체에 대해 비교적 정확한 통계량과 이를 시각화한 아이콘을 사용하고 있기 때문에 그래프로 분류한 반면, 오른쪽은 통계량이 아니라 이를 범주화한 구간을 색으로 표현하고 있기 때문에 그래프로 분류하지 않았다. 이와 같은기준에 따라 교과서를 조사한 결과, 총 551개의그래프를 분석 대상으로 선정할 수 있었다.

Figure 2.An example and nonexample of thematic maps classified as statistical graphs in this study(Kim & Park et al., 2018a, p. 117; Kim & Park et al., 2018b, p. 85)

2. 분석 기준 및 분석 방법

본 연구에서는 먼저 중학교 사회 교과서에 등장하는 그래프를 종류별로 범주화한다. 중학교사회 교과서에 등장하는 그래프의 종류별 비중을 살펴봄으로써 사회과에서 주로 다루는 자료의 특성과 통계적 문제해결의 목적도 미루어 짐작해볼 수 있다. 초등학교 수학과 교육과정에 따르면 Table 1과 같이 우리나라 초등학생들은 학교수학을 통해 O, X, /를 이용한 비형식적인 그래프, 그림그래프, 막대그래프, 꺾은선그래프, 띠그래프, 원그래프를 학습하므로, 본 연구에서도이에 준하여 중학교 사회 교과서에 등장하는 그래프를 그림그래프, 막대그래프. 꺾은선그래프, 비율그래프(띠그래프, 원그래프), 그리고 이와 같은 그래프 중 두 가지 이상이 복합적으로 활용된 혼합형 그래프로 분류한다. 이러한 기준에 따라 분류를 시도한 결과, 산점도와 같이 중학교수학과 교육과정에서 다루는 유형의 그래프도있었고, 방사형 그래프와 인포그래픽처럼 수학과교육과정에서 다루어지지 않는 그래프도 있었는데, 이들은 모두 ‘기타’로 분류하였다.

Table 1 When each type of graphs are introduced by elementary school mathematics curriculum

교육과정교과서그래프 유형
1~2학년군2학년 2학기O, X, /를 이용한 그래프
3~4학년군3학년 2학기(표 형태의) 그림그래프
4학년 1학기막대그래프
4학년 2학기꺾은선그래프
5~6학년군6학년 1학기(지도 형태의) 그림그래프
띠그래프
원그래프


우리나라 초등학교 수학 교과서에서는 대개 Figure 3의 왼쪽과 같이 3학년에서 표 형태의 틀에 몇 가지 단위를 나타내는 그림을 그려넣는 간단한 형태의 그림그래프가 먼저 등장한다. 하지만 이는 단위를 나타내는 그림이 두 가지 이상 사용되어 있을 때 그래프에서 변량에 대한 정보를 빠르게 읽어내도록 하기 위한 인위적인 그래프이며, 초등학교 수학에서 다루어지는 전형적인 그림그래프는 Figure 3의 오른쪽과 같이 6학년에서 다루는 지도 형태의 그림그래프이다. 따라서 본 연구에서는 Figure 2의 왼쪽과 같이지도 위에 아이콘으로 변량을 나타내는 주제도를 그림그래프로 분류하였다. 즉, 단순히 그림을사용한 그래프라 하여 그림그래프로 분류한 것이 아니라, 그래프의 구성 요소인 범주와 빈도,맥락에 대한 정보가 종합적으로 시각화된 경우에 한하여 그림그래프로 분류하였다.

Figure 3.Examples of pictographs in elementary school mathematics textbooks(MOE, 2018a, p. 131; MOE, 2019, p. 94)

중학교 사회 교과서에 등장하는 그래프를 종류별로 범주화한 후에는, 각 범주별로 형태 측면에서 다시 기본형과 변이형으로 분류한다. 초등학교 수학 교과서에서 다루는 그래프는 기본적으로 범례나 범주, 변량이나 빈도, 그리고 맥락을 표현하는 구성 요소를 모두 갖추고 있으며 단일 변수를 다루고 있다. 그리고 통계량을 표현하는 아이콘에 따라 그래프의 이름이 정해져 있고 이 아이콘의 시각적 특징이 어느 정도 정형화되어 있는데, 이러한 모든 조건을 갖추는 경우에 한해 기본형으로 분류하였다. 즉, 초등학교수학 교과서에서 다룬 그래프와 시각적으로 완전히 일치하지는 않더라도 구성 요소를 모두 갖추고 있는 경우, 단일 변수를 다루는 경우, 수학교과서의 그래프와 동일한 아이콘을 사용하는 경우에는 기본형으로 분류하였고, 구성 요소가생략, 추가되거나 다중 변수를 다루거나 아이콘의 변형이 이루어진 경우는 변이형으로 분류하였다. Figure 4는 초등학교 수학 교과서에 제시된 전형적인 형태의 막대그래프, 꺾은선그래프, 원그래프, 띠그래프를 나타낸 것인데, 예컨대 초등학교 수학 교과서에서는 일반적으로 막대그래프의 틀이 표 형태로 제시되어 있지만 기본적으로 음영 처리된 표의 왼쪽 열과 아래 행이 축의 성질을 지니고 있으므로, 가로축과 세로축이 선분이나 직선 형태로 제시되어 있는 막대그래프는 기본형으로 분류하였다. 분석의 신뢰도와 타당도를 높이기 위하여 본 연구에서는 두 명의 저자가 각자 위의 기준에 따라 독립적으로 중학교 수학 교과서에 등장하는 그래프를 분류하였고, 그림그래프를 제외한 모든 유형은 각자의 분류 결과가 모두 일치하였다. 다만, 그림그래프는두 저자의 1차 분류 결과가 일치하지 않았는데, 이 문제는 전술한 바와 같이 통계 그래프의 조작적 정의에 “(2) 수치 형태로 된 통계량을 시각화하여 제시하고 있는 것(단, 범주 형태로 제시한 것은 제외)”을 포함함으로써 Figure 2에서처럼 그림그래프 분류 기준을 명확히 함으로써 해결하였다.

Figure 4.Examples of bar-graphs, line-graphs, circle-graphs, and band-graphs in elementary school mathematics textbooks(MOE, 2018b, p. 100; p. 101; MOE, 2019, p. 106; p. 107)

마지막으로 각 종류별 그래프 분석에서 변이형으로 분류된 그래프는 질적 분석을 시도한다. 수학과에서 그래프 작성의 엄밀한 절차적 과정을 학습해 온 학생들에게 그래프의 변이형은 인지적 갈등을 초래할 수도 있으나, 비전문가의 의사소통을 위해 활용되는 통계 그래프의 쓰임과 목적에 비추어볼 때, 이러한 변이형의 등장은 필연적이라 할 수 있다(Lee et al., 2019, p. 127). 본 연구에서는 각 종류별 그래프에서 주로 나타나는 변이의 형태를 유형화하고 사례와 함께 그 변이형이 지니는 의의를 논하면서 초등학교 수학 수업에서 그래프를 지도할 때 얻을 수 있는 교수학적 시사점을 도출하였다.

Table 2는 본 연구의 분석 대상이 되는 중학교사회 교과서 8종 16권에 사용된 그래프의 빈도를 정리하여 나타낸 것이다. 중학교 사회 교과서에서는 대부분 초등학교 수학과 교육과정에서 다루어진 그래프가 사용되고 있었다. 막대그래프가 30.1%로 가장 많이 사용되고 있었으며, 이어서 꺾은선그래프가 18.5%, 비율그래프가 12.9%를 차지하고 있었다. 19.8%를 차지하고 있는 혼합형 그래프 역시 ‘막대그래프와 꺾은선그래프’, ‘막대그래프와 원그래프’, ‘원그래프와 띠그래프’의 혼합으로 초등학교 교육과정에서 학습한 그래프의 혼합형으로 구성되어 있었다. 사회 교과서 중 지리 영역에서 주제도는 매우 다양한 형태로 사용되었는데, 이 중 Ⅲ장에서 조작적으로정의한 그래프의 조건에 부합하는 것만을 포함하면 그림그래프는 전체의 6.9% 비중을 차지하고 있음을 확인할 수 있었다.

Table 2 Frequency of types of statistical graphs in middle school social textbooks

막대꺾은선그림비율혼합형기타합계
사회①5826163610123260
사회②108762235842291
합계 (%)166 (30.1)102 (18.5)38 (6.9)71 (12.9)109 (19.8)65 (11.8)551 (100.1)


한편, 중학교 3학년 수학 교과서에서 다루는산점도가 사회② 교과서에서 사용된 사례가 확인되었으며, 수학과 교육과정에서는 다루고 있지 않은 방사형그래프, 그리고 정보를 다양한 형태로 시각화한 인포그래픽 등 기타로 분류되는 그래프들도 사회 교과서에서는 적지 않은 비중을 차지하고 있었다.

1. 막대그래프 사용의 특징

Table 3은 막대그래프의 기본형과 변이형 사용빈도를 정리하여 나타낸 것이다. 사용된 166개의막대그래프 중 기본형이 26개(15.8%), 변이형이139개(84.2%)로, 초등학교 수학 교과서에서 주로경험하는 기본형보다는 변이형이 더 많이 사용되고 있었다. 중학교 사회 교과서에서 확인할 수있는 막대그래프의 대표적인 변이 유형은 다음과 같다.

Table 3 Frequency of basic types and variant types of bar graphs in middle school social textbooks

구분사회①사회②합계(%)
기본형131326(15.7)
변이형4595140(84.3)
합계58108166(100.0)


가. 축의 생략

중학교 사회 교과서에서는 막대그래프가 다양한 형태로 변형되어 사용되고 있었는데, Figure 5의 사례에서 볼 수 있듯이 막대가 나타내는 통계치를 각 막대 위에 표시해 주는 형태로 막대그래프를 변형하여 사용하고 있었다. 초등학교수학에서는 막대의 길이를 세로축을 통해 읽어내는 것이 주요 활동이라면, 여기에서는 통계치를 각 막대 위에 표시해 줌으로써 세로축의 값을 읽어내는 것보다는 각 막대의 통계치를 이용해 자료를 분석하고 해석하는 활동에 주목할 수 있도록 유도하고 있음을 알 수 있다.

Figure 5.Examples of bar graphs omitted an axis(Kim & Park et al., 2018a, p. 191; Park et al., 2018a, p. 23)

막대그래프에서 확인할 수 있는 변이의 유형 중 하나는 막대그래프의 주요 구성 요소 중 하나인 축의 생략이다. Figure 5에서 확인할 수 있듯이, 통계치를 직접적으로 제공해주는 대신 발생하는 형태적 변이는 축의 생략이다. 막대의 통계치를 각 막대 위에 표시해주는 대신, 눈금을읽어 막대가 나타내는 통계치를 읽는 데 필요한 세로축을 생략한 것이다.

나. 막대의 변형

Figure 5에서는 통계치를 나타내는 아이콘, 즉막대의 시각적 형태를 변형한 막대그래프가 제시되어 있는데, 왼쪽과 같이 그래프가 나타내는자료의 맥락을 효과적으로 전달하고자 투표함 아이콘을 사용하는 경우도 있었고, 오른쪽과 같이 자료의 맥락과는 무관하게 아이콘을 변형하여 사용하는 경우도 있었다. 이와 같이 구성 요소를 나타내는 아이콘의 시각적 형태를 변형하는 것 또한 막대그래프에서 확인할 수 있는 또다른 변이의 유형이다.

막대그래프는 일반적으로 범주형 자료에서 범주별 빈도를 시각화하여 항목 간의 대소 관계를 한눈에 파악할 수 있도록 하기 위한 의도에서 사용되는 그래프로 알려져 있다. 초등학교 수학교과서에 등장하는 막대그래프의 대부분은 범주를 나타내는 척도가 명목척도이기에 그 순서가 그다지 중요하지 않았다. 그러나 Figure 6과 같이 범주를 나타내는 척도가 순서척도인 경우에는 순서에 대한 정보를 나타내기 위해 길이 순서대로 막대를 배치하였다. 이때, 특히 주목해야하는 항목에 해당하는 막대의 색을 달리 하는 방식으로 막대그래프를 변형하면, Figure 6에서처럼 대한민국은 해당 주제에서 전체의 몇 위인지 등을 확인하는 데 매우 용이하다.

Figure 6.Examples of bar graphs with changed bars(Kim & Park et al., 2018b, p. 171; Mo et al., 2018a, p. 107)

다. 다중변수의 표현

초등학교 수학 교과서에서는 기본적으로 하나의 막대그래프에서 하나의 변수만을 다루곤 한다. 하지만, 중학교 사회 교과서에서는 Figure 7과 같이 하나의 막대그래프에 두 가지 이상의 변수를 나타내는 사례를 확인할 수 있었다. 구체적으로 Figure 7의 첫 번째 막대그래프에서는 하나의 막대에 두 가지 이상의 변량을 표현하기 위한 누적형 막대그래프이다. 이는 두 가지 이상의 변량을 막대를 겹쳐 나타냄으로써 다양한 정보를 하나의 그래프에 표현할 수 있을 뿐만 아니라 필요에 따라 두 변량을 비교할 수 있는 장점이 있다. Figure 7의 두 번째와 같이 두 가지이상의 변량을 비교하기 위해 막대를 나란히 제시하는 형태로 겹막대그래프를 사용하는 경우도 있었으며, Figure 7의 세 번째와 같이 두 집단의분포의 특징을 비교하기 위해 막대를 양쪽에 배치하는 형태로 막대그래프를 변형하여 사용하는 경우도 있었다.

Figure 7.Examples of bar graphs representing multi-variables(Choi et al., 2018b, p. 191; Koo et al., 2018a, p. 229; Lee & Kwon et al., 2018b, p. 133)

라. 기타

초등학교 수학 교과서에서는 막대그래프에서 물결선이 사용되는 경우가 등장하지 않는다. 하지만 꺾은선그래프에서 물결선을 다루고 있기 때문에 학생들이 막대그래프에 등장하는 물결선을 해석하는 데 어려움을 겪지는 않는다. 다만, Figure 6의 왼쪽과 같이 물결선이 데이터 시트전반에 걸쳐 있지 않고 세로축 일부에만 표시되어 있는 경우가 존재하므로, 물결선의 사용 또한시각적으로 다양한 변이가 존재할 수 있음을 확인할 수 있다.

또한, 초등학교 수학과 교육과정에서 막대그래프는 범주형 변수를 나타내는 데 주로 사용되며, 심지어 범주형 자료를 나타내는 데에만 사용해야 하는 것처럼 지도하는 경향이 있다. 그러나중학교 사회 교과서에서는 Figure 7의 첫 번째와두 번째 사례처럼 시간에 따른 변화의 경향성을 파악하는 데 막대그래프를 이용하고 있다. 즉, 꺾은선그래프뿐만 아니라 막대그래프가 시계열 그래프로 사용되고 있는 사례를 중학교 사회 교과서에서 확인할 수 있는 것이다.

2. 꺾은선그래프 사용의 특징

Table 4는 꺾은선그래프의 기본형과 변이형 사용 빈도를 정리하여 나타낸 것이다. 사용된 102개의 꺾은선그래프 중 기본형이 27개(26.5%), 변이형이 75개(73.5%)로, 꺾은선그래프 역시 초등학교 수학 교과서에서 주로 경험하는 기본형보다는 변이형이 더 많이 사용되고 있었다. 중학교사회 교과서에서 확인할 수 있는 꺾은선그래프의 대표적인 변이 유형은 다음과 같다.

Table 4 Frequency of basic types and variant types of line graphs in middle school social textbooks

구분사회①사회②합계(%)
기본형72027(26.5)
변이형195675(73.5)
합계2676102(100.0)


가. 다중변수의 표현

꺾은선그래프의 장점 중 하나는 그래프가 선으로 이어져 있기 때문에 여러 개의 선을 한데 겹쳐 그려도 서로 가려지는 부분이 없다는 점이다(Lee, 2014, p. 54). 이러한 특성으로 하나의 맥락에서두 가지 이상의 정보를 담아야 할 때에는 꺾은선그래프가 매우 용이하다. 앞서 Figure 7에서처럼막대그래프 역시 다중변수의 상황에서 겹막대그래프나 누적형 막대그래프 형태로 사용되기는 하지만, 자료집합을 비교하는 맥락에서는 위와 같은꺾은선그래프의 시각적 장점이 매우 압도적이다. 이에 중학교 사회 교과서에서는 Figure 8과 같이자료를 효과적으로 비교할 수 있도록 여러 개의 꺾은선을 하나의 그래프에 나타내는 형태로 변형된 꺾은선그래프가 사용되고 있었다. 이를 통해세계의 여러 지역의 월별 기온이 어떻게 변화하고 있는지 한 눈에 파악하기 쉽기 때문이다.

Figure 8.Examples of line graphs representing multi-variables(Kim & Park et al., 2018a, p. 33; Park et al., 2018b, p. 230)

나. 정확한 변량의 표기

Figure 5와 같이 막대그래프에서는 막대 위에통계치를 나타내는 대신 축을 생략한 변이형이 중학교 사회 교과서에서 확인되었다. 이와 비슷하게 꺾은선그래프 역시 Figure 9의 왼쪽처럼 점위에 통계치가 표기되고 그 대신 세로축이 생략되는 경우를 확인할 수 있다.

Figure 9.Examples of line graphs marked values(Choi et al., 2018b, p. 89; Lee & Kwon et al., 2018a, p. 229)

그러나 범주형 자료를 표현하는 데 주로 사용되는 막대그래프와 달리, 꺾은선그래프는 주로시계열 그래프로 사용되기 때문에 가로축은 대개 연속량인 시간 변수를 나타내는 데 사용된다. 그래서 Figure 9의 오른쪽처럼 세로축에 대응되는 통계치가 아니라 가로축에 대응되는 시간이 점 위에 표기되는 경우도 존재한다. 이때 시간이지니고 있는 등간격의 속성을 고려하여 점과 점 사이의 가로 간격이 나타내는 의미를 이해할 수 있게끔 가로축은 생략하지 않았다. 즉, 꺾은선그래프는 대개 연속형 자료를 다루는 경우가 많아 가로축과 세로축 모두 축의 눈금만으로는 정확한 값을 읽을 수 없는 경우가 존재하기 때문에, 점 위에 정확한 변량을 표기하는 경우를 중학교 사회 교과서에서 확인할 수 있었다.

다. 기타

꺾은선그래프는 변량의 변화를 읽어내는 데 특화되어 있는 그래프이다. 이때, 그 변량이 최대/최소인 시점이나 특정 기준을 상회/하회하는경우가 자료의 맥락에서 중요한 의미를 차지하는 경우가 존재한다. 이러한 점을 반영하여Figure 10의 왼쪽에서처럼 꺾은선그래프는 특정지점의 변량만을 선택적으로 표기하거나, 혹은강조하고자 하는 중요한 지점에 이미지와 텍스트를 활용하여 그 의미까지 제시하는 경우도 존재한다.

Figure 10.Examples of other variant line graphs(Koo et al., 2018b, p. 87; Lee & Kwon et al., 2018a, p. 229)

한편, 꺾은선그래프의 가로축과 세로축이 나타내는 변수는 대부분 등간척도나 비율척도에 해당하기 때문에, 눈금의 간격이 실제 변량과 비례하는지의 여부가 매우 중요하다. 그러나 중학교사회 교과서 중에서는 Figure 10의 오른쪽과 같이 가로축의 척도가 등간격으로 제시되어 있지않은 경우가 존재한다. 1960년부터 2000년까지는10년 단위로, 2010년까지는 5년 단위로, 이후는1년 단위로 척도에 변화를 주고 있다. 이는 매년도시화율이 얼마인지에 주목하기보다는 2000년이후에 도시화율의 변화가 거의 없음을, 즉 변화의 경향성에 주목하도록 하려는 목적을 두고 변형된 것으로 볼 수 있으나 수학적인 관점에서는 그래프의 왜곡에 해당한다. 이는 Figure 9의 왼쪽에서도 확인할 수 있는데, 물결선이 존재하지않음에도 점의 높이가 변량에 비례하지 않는다. 초등학교 사회 교과서에서도 이와 같이 급간의 크기가 변량과 비례하지 않는 사례가 존재한다고 알려져 있는데(Kim, 2018), 중학교 사회 교과서에서도 역시 이와 같은 문제가 발견되었다. 막대그래프와 마찬가지로 꺾은선그래프에서도 물결선은 Figure 9의 오른쪽과 같이 초등학교 수학교과서에서 등장하는 것보다 축약된 형태가 사용되기도 한다.

3. 그림그래프 사용의 특징

Table 5는 그림그래프의 기본형과 변이형 사용빈도를 정리하여 나타낸 것이다. 사용된 40개의그림그래프 중 기본형이 1개(2.6%), 변이형이 39개(97.4%)로, 사실상 그림그래프는 초등학교 수학 교과서에서 경험하는 형태가 사회 교과서에서는 거의 사용되지 않고 있다고 볼 수 있다. 중학교 사회 교과서에서 확인할 수 있는 그림그래프의 대표적인 변이 유형은 다음과 같다.

Table 5 Frequency of basic types and variant types of pictographs in middle school social textbooks

구분사회①사회②합계(%)
기본형101(2.6)
변이형152237(97.4)
합계162238(100.0)


가. 단위 그림의 일원화

초등학교 수학 교과서를 기준으로 3학년에서다루는 표 형태의 그림그래프와 6학년에서 다루는 지도 형태의 그림그래프는 모두 단위를 나타내는 그림이 두 개 이상 사용된다는 공통점이 있다. 그러나 중학교 사회 교과서에서 확인한 그림그래프 중 두 개 이상의 그림으로 단위를 나타내는 그래프는 단 한 가지뿐이었다. 그 외의모든 그림그래프는 전부 단위를 나타내는 그림을 한 가지만 사용하거나, 아니면 통계치에 비례하여 그림의 크기로서 값을 나타내었다. Figure 11의 왼쪽에서는 10만 명 단위의 점을 이용하여위치별 인구를 나타내었고, Figure 11의 오른쪽에서는 60억 배럴 단위의 석유통을 이용하여 국가별 석유 매장량을 나타내었다. 특히, Figure 11의 오른쪽 그림그래프에서 석유 매장량을 나타낼 때 60억 배럴보다 적은 부분에 대해서는 석유통의 크기를 그에 비례하여 줄임으로써 국가별 석유 매장량을 조금 더 통계치에 근사하게 나타내고자 하였다.

Figure 11.Examples of pictographs using only one unit icon(Koo et al., 2018b, p. 129; Park et al., 2018a, p. 112)

중학교 사회 교과서에 제시된 그림그래프의 대다수 경우는 Figure 12와 같이 그림의 크기를 이용하여 통계치를 나타내었다. Figure 12의 왼쪽은 국가별 망명 신청자 수를 원의 크기로 나타내었고, Figure 12의 오른쪽은 사람을 상징하는 모양의 길이를 이용하여 우리나라 등록 외국인의 주요 출신 국가를 나타내었다. 특히, Figure 12의 오른쪽 그림그래프는 주한 중국 출신 외국인의 수를 나타내기 위해 물결선을 사용하기도 하여, 초등학교 수학 교과서에서는 꺾은선그래프에서만 등장했던 물결선이 그림그래프에서도 유연하게 사용될 수 있음을 보여주고 있다.

Figure 12.Examples of pictographs using the sizes of icons for representing values(Park et al., 2018b, p. 132; p. 131)

나. 다중변수의 표현

그림그래프 역시 막대그래프나 꺾은선그래프와 마찬가지로, 하나의 범주에 대한 두 가지 이상의 정보를 드러내는 경우가 중학교 사회 교과서에서 확인되었다. Figure 13의 왼쪽은 지도 위에 사람 모양의 그림을 그려 세계 도시 인구를 나타낸 그림그래프인데, 2014년도 인구와 2030년도 인구 예상치를 병렬적으로 비교하기 위해 각 범주마다 두 개의 그림을 나란히 제시하였다. Figure 13의 오른쪽은 국가별 유입 기업 수와 유출 기업 수를 함께 제시한 것인데, 유입과 유출의 방향성을 고려하여 각기 반대 방향의 화살표 길이로 기업의 수를 나타낸 것이 매우 특징적이다. 각각의 변수마다 별도의 그래프를 그리는 경우에는 자료집합을 비교해야 하는 상황에서 매우 비효율적이기 때문에, 중학교 사회 교과서에제시되어 있는 그림그래프에서도 이와 같이 다중변수를 표현하는 변이형을 쉽게 확인할 수 있었다.

Figure 13.Examples of pictographs representing multi-variables(Mo et al., 2018b, p. 148; p. 166)

4. 비율그래프 사용의 특징

Table 6Table 7은 각각 비율그래프의 원그래프와 띠그래프 사용 빈도와 비율그래프의 기본형과 변이형 사용 빈도를 정리하여 나타낸 것이다. 사용된 71개의 비율그래프 중 원그래프가53개(74.6%), 띠그래프가 18개(25.4%)로 원그래프의 사용 비율이 더 높았다. 사용된 71개의 비율그래프 중 기본형이 13개(18.3%), 변이형이 58개(81.7%)로, 비율그래프 역시 기본형보다는 변이형이 더 많이 사용되고 있었다. 중학교 사회 교과서에서 확인할 수 있는 비율그래프의 대표적인 변이 유형은 다음과 같다.

Table 6 Frequency of circle graphs and band graphs as ratio graphs in middle school social textbooks

구분사회①사회②합계(%)
원그래프282553(74.6)
띠그래프81018(25.4)
합계363571(100.0)

Table 7 Frequency of basic types and variant types of ratio graphs in middle school social textbooks

구분사회①사회②합계(%)
기본형8513(18.3)
변이형283058(81.7)
합계363571(100.0)


가. 원의 변형

초등학교 수학 교과서에서는 평면도형으로서의 정확한 원 모양으로 원그래프를 나타내는 반면, 일상에서는 Figure 14와 같이 도넛 모양이나입체 모양으로 변형된 원그래프를 사용한다. 특히, Figure 14의 왼쪽처럼 원 대신 도넛 모양을사용하여 원그래프를 나타내면 가운데 부분에 조사의 주제나 범위 등 맥락과 관련된 각종 정보를 텍스트나 이미지로 기입할 수 있다는 점에서 중학교 사회 교과서에서의 원그래프는 원 모양보다 도넛 모양이 훨씬 많이 사용되는 경향이 있다. Figure 14의 왼쪽에 있는 원그래프는 내부에 15~49세의 여성과 같은 정보를 추가함으로써그래프를 해석하는 데 필요한 맥락 정보를 제공하여 자료에 대한 이해를 돕고 있다.

Figure 14.Examples of circle graphs with changed circles(Koo et al., 2018b, p. 140; Mo et al., 2018b, p. 179)

또한, 막대그래프와 꺾은선그래프는 가로축과세로축이 정확히 직각을 이루는 형태로 존재해야 하는 틀의 고정성으로 인해, 대체적으로 막대나 선에 이미지를 덧씌우거나 그래프 한쪽에 조사 주제와 관련된 이미지를 추가하는 형태로 맥락에 대한 정보를 드러내곤 한다. 원그래프는 상대적으로 범용성이 높은 원 모양의 틀을 지니고있어, Figure 15와 같이 조사 주제나 내용을 반영하여 원 모양의 틀 자체를 변형하여 사용되기도 한다. Figure 15의 왼쪽은 영국의 정당별 확보 의석수를 나타내는 그래프인데, 의회의 좌석배치를 반영하여 원 대신 반원을 전체로 하여 자료를 나타내고 있다. 또한, Figure 15의 오른쪽은 공정 무역 커피의 수익 배분 구조를 나타내는 그래프로, 커피잔을 위에서 본 모양을 그래프형태로 사용하고 있다.

Figure 15.Examples of circle graphs representing contexts(Lee & Kwon et al., 2018a, p. 178; Lee & Kwon et al., 2018b, p. 235)

나. 다중변수의 표현

띠그래프는 원그래프에 비해 여러 개의 띠를 비교하여 같은 항목에 대한 비율의 변화를 관찰하기 좋다는 장점이 있다(Ko et al., 2017, p. 115). 원그래프는 그 형태상의 문제로 인해 여러개를 나열해놓고 비교하기가 어렵지만, 띠그래프는 띠를 나란하게 놓고 비교하기가 용이해서 자료집합을 비교해야 하는 맥락에서 더 효과적이다. 그러나 초등학교 수학 교과서에서 제시되는띠그래프는 하나의 띠만을 놓고 전체와 부분, 부분의 비율만을 확인하는 경향이 있어, 원그래프와 띠그래프의 용도별 차이가 잘 부각되지 않는다. 하지만 중학교 사회 교과서에서 제시되는 띠그래프 중에는 Figure 16과 같이 시간에 따른 변화를 알아보기 위해 여러 개의 띠를 함께 사용하는 변이형이 존재하였다.

Figure 16.Examples of band graphs representing multi-variables(Kim & Park et al., 2018a, p. 225; Kim & Park et al., 2018b, p. 136)

다. 절대도수 표기

원그래프와 띠그래프는 전체와 부분의 관계, 그리고 각 부분이 차지하는 비율을 확인하기 위한 용도로 사용되기 때문에 비율그래프라 불린다. 이러한 특성으로 인해 원그래프와 띠그래프에서는 상대도수로 각 범주별 변량을 표기하고 일상에서 친숙한 백분율의 형식으로 표기된다. 이 때문에 초등학교 수학 교과서에서는 절대도수를 알고 있어도 상대도수를 계산하고 백분율을 계산한 다음, 그 백분율을 원그래프와 띠그래프에 기재하도록 지도하고 있다. 그러나 중학교사회 교과서에서는 Figure 15, Figure 17에서처럼 비율에 대한 정보 대신 절대도수로 변량을 제시하는 사례가 다수 존재하였고, Figure 16의 오른쪽처럼 절대도수와 상대도수(비율)가 함께 표기되는 경우도 있었다. 비율 없이 절대도수만 제시하는 경우 독자는 띠의 길이의 비를 시각적으로 파악하여 각 범주가 전체에서 차지하는 정도를 가늠할 수 있어야 한다. 비율과 함께 빈도를 제시하는 경우 독자는 각 범주가 전체에서 차지하는 정도뿐만 아니라 범주의 절대적인 크기도 함께 알 수 있다.

Figure 17.Examples of ratio graphs marked frequencies(Lee & Cho et al., 2018a, p. 94; Choi et al., 2018b, p. 131)

5. 혼합형 그래프 사용의 특징

Table 8은 혼합형 그래프의 유형과 빈도를 정리하여 나타낸 것이다. 혼합형 그래프에는 ‘막대그래프와 꺾은선그래프’, ‘막대그래프와 원그래프’, ‘원그래프와 띠그래프’ 3가지 유형이 사용되고 있었다. 사용된 109개의 혼합형 그래프 중 막대그래프와 꺾은선그래프의 혼합형이 106개(97.2%)로 가장 많았으며, 막대그래프와 원그래프의 혼합형은 1개(0.9%), 원그래프와 띠그래프의 혼합형은 2개(1.8%) 사용되고 있었다.

Table 8 Frequency of types of mixed graphs in middle school social textbooks

구분사회①사회②합계(%)
막대+꺾은선988106(97.2)
막대+원101(0.9)
원+띠202(1.8)
합계1018109(100.0)


가장 많은 빈도를 차지하는 것이 Figure 18과같이 막대그래프와 꺾은선그래프의 혼합형 그래프이다. 중학교 사회① 교과서에서 주로 등장하는 기후 그래프가 Figure 18의 왼쪽처럼 기온을꺾은선으로, 강수량을 막대로 표현하는 것이 정형화되어 있어 그 빈도가 매우 높기는 하지만, 실제로 꺾은선그래프는 막대그래프와 함께 사용해도 서로를 가리지 않기 때문에 실생활에서도 그 사용 빈도가 높은 편이다. 이때, 특히 주목할만한 특징은 막대의 눈금을 읽을 때 사용하는 축과 꺾은선의 눈금을 읽을 때 사용하는 축이 서로 다르다는 것이다. 즉, 다중변수를 표현할때 사용하는 겹막대그래프나 겹꺾은선그래프와 달리, 막대그래프와 꺾은선그래프는 서로 다른척도를 지닌 두 변수를 나타낼 때 사용하는 것이다.

Figure 18.Examples mixed bar graphs and line graphs(Mo et al., 2018a, p. 39; Choi et al., 2018b, p. 225)

그 외에도 비록 빈도는 적지만 중학교 사회 교과서에서 Figure 19처럼 막대그래프와 원그래프, 혹은 원그래프와 띠그래프가 혼합되어 사용되는 경우를 확인할 수 있었다. Figure 19의 왼쪽은 자연재해 피해 발생률을 나타내는 원그래프의 각 범주 위에 피해액 규모를 나타내는 막대를 그려넣음으로써 원그래프에 나타난 각 범주의 위치가 막대그래프의 세로축 역할을 대신하였다. Figure 19의 오른쪽은 원그래프에서 하나의 범주인 재생에너지가 어떻게 구성되고 있는지를 띠그래프를 사용하여 나타냄으로써, 어떤항목의 하위 범주들을 나타내는 데 유용하게 사용될 수 있는 사례이다. 이와 같이 혼합형 그래프는 특정 유형의 그래프의 틀에 고착되기보다는 그래프가 나타내는 구성 요소를 유지하는 범위 내에서 유연하게 시각적으로 변형되어 사용되고 있었다.

Figure 19.Examples of other mixed graphs(Kim & Moon et al., 2018a, p. 93; Choi et al., 2018a, p. 124)

6. 기타로 분류된 그래프 사용의 특징

기타로 분류된 그래프의 주요 특징은 전달하고자 하는 정보에 좀 더 초점을 맞출 수 있도록 그래프가 유연하게 변형되었다는 점이다. Figure 20의 첫 번째 그래프는 주요 국가별 고령화 현황을 나타낸 그래프이다. 언뜻 보기에 띠그래프나 겹막대그래프처럼 보이지만 각 나라별로 고령화 사회, 고령 사회, 초고령 사회로 진입된 시점과 고령화 사회, 고령 사회, 초고령 사회가 얼마나 지속되었는지를 보여주는데 효과적인 방식으로 그래프를 변형하여 나타내고 있다. Figure 20의 두 번째 그래프는 노년 부양비의 변화를 나타낸 그래프이다. 2015년도의 18%는 5명이 노인 1명을 부양함을, 2040년의 57%는 2명이 1명을 힘겹게 부양함을 시각적으로 표현하고 있다. Figure 20의 세 번째 그래프는 산모의 평균 출산연령을 나타낸 그래프이다. 산모의 평균 출산 연령이 높아지고 있음을 계단을 사용하여 표현하고 있다. Figure 20의 네 번째 그래프는 북한과남한의 석탄과 철광석 생산량을 비교하는 그래프이다. 축은 생략하고 그림의 크기를 다르게 하여 값을 제시하고 있다.

Figure 20.Examples of graphs classified as others(Kim & Park et al., 2018a, p. 224; p. 225; Choi et al., 2018b, p. 135; p. 210)

1. 요약 및 논의

지금까지 중학교 사회 교과서에 제시되어 있는 통계 그래프를 종류별로 분류하고, 초등학교 수학 교과서에서 제시되어 있는 그래프의 원형을 기준으로 기본형과 변이형의 비중을 확인한 뒤, 각 종류별로 변이형이 지닌 특성을 유형화하였다. 연구 결과, 중학교 사회 교과서에 제시된그래프의 88.2%는 초등학교 수학과 교육과정에서 다루었던 것이었으며, 사용 빈도는 혼합형 그래프를 제외하면 막대그래프, 꺾은선그래프, 비율그래프, 그림그래프 순이었다. 그러나 대부분의 그래프가 초등학교 수학 교과서에서 제시된 정형화된 틀을 따르지 않고 다양한 방식으로 변형이 이루어져 사용되고 있었다.

막대그래프는 통계치가 직접 표기되는 대신 축이 생략되는 경우가 있었다. 이는 세로축을 읽을 때 범할 수 있는 오류에 대한 부담을 덜어줄 수 있고, 세로축의 값을 읽어내는 것보다 각 막대의 통계치를 이용해 자료를 분석하고 해석하는 활동에 주목하도록 한다는 데 의미가 있다. 또한, 자료의 맥락을 효과적으로 전달하기 위해, 혹은 시각적으로 시선을 끌기 위해, 또는 특정막대에 주목하도록 하는 등 다양한 목적에 의해 막대를 변형하는 경우가 있었다. 하나의 상황에서 두 가지 이상의 정보를 표현하기 위해 겹막대그래프, 누적형 막대그래프, 펼침형 막대그래프 등이 활용되는 사례도 확인할 수 있었다. 또한, 일반적으로 초등학교 수학과에서는 범주형자료를 나타내는 데에는 막대그래프, 수치형 자료의 시계열 변화를 나타내는 데에는 꺾은선그래프를 사용한다고 정형화하여 지도해왔으나, 중학교 사회 교과서에서는 막대그래프 역시 시간에 따른 변화를 나타내기 위한 목적으로 수치형 자료를 나타내는 데 활용되는 사례를 다수 확인할 수 있었다.

꺾은선그래프는 겹쳐서 그려도 서로를 가리지 않는다는 시각적인 특성으로 인해 다중변수를 표현하는 데 매우 활발하게 사용되었다. 이렇게 두 변량 또는 두 집단의 자료를 비교하는 활동은 실제로 자료집합에 대한 통계적 추리를 돕는다는 측면에서 교육적으로도 활용을 고려할 필요가 있다. 또한, 꺾은선그래프의 가로축과 세로축이 나타내는 변수가 대체로 등간척도이거나 비율척도이기 때문에, 경우에 따라서는 가로축또는 세로축에 해당하는 정확한 변량을 점 위에 표기하는 경우도 존재하였고, 이를 모든 점이 아니라 필요한 곳에 선택적으로 표기하는 경우도 있었다.

초등학교 수학 교과서에서 다루는 그림그래프는 예외 없이 단위를 나타내는 그림이 두 개 이상 사용되었으나, 중학교 사회 교과서에서는 그러한 경우를 찾아보기가 어려웠다. 대부분은 단위를 나타내는 그림을 하나만 이용하거나, 혹은그림의 개수가 아닌 크기로 통계치를 표현하였기 때문이다. 또한, 그림그래프에서도 두 가지이상의 정보를 표현하는 사례가 존재하였으며, 이러한 점에서 비추어볼 때 그림그래프는 초등학교 수학과에서 다루는 것과 중학교 사회과에서 사용되는 것 사이의 괴리가 매우 크다고 볼 수 있다.

원그래프는 원 대신 도넛 모양을 이용하여 가운데에 조사 주제나 총 도수를 제시하거나, 혹은맥락 정보를 반영한 형태로 원 모양의 틀을 변형하는 경우를 확인할 수 있었다. 띠그래프는 여러 개의 띠를 놓고 비율의 변화를 관찰하기에 용이하다는 장점으로 인해 여러 개의 조사 결과를 비교하는 형태로 주로 사용되었다. 초등학교수학 교과서에서 원그래프와 띠그래프는 모두 비율그래프로 분류되어 각 항목별 상대도수를 비율로 표기하는 경우만을 다루어왔으나, 중학교사회 교과서에서는 상대도수 대신 절대도수가 표기되는 경우도 확인할 수 있었다.

혼합형 그래프는 겹쳐 그려도 서로를 가리지 않는 막대그래프와 꺾은선그래프의 혼합이 가장 빈번하게 확인되었는데, 이때 막대의 눈금을 읽기 위한 축과 꺾은선의 눈금을 읽기 위한 축이 다른 경우가 있었으므로, 해석하는 과정에서 주의할 필요가 있다. 그 외의 혼합형 그래프, 그리고 인포그래픽을 비롯하여 기타로 분류된 그래프들은 대체로 그래프가 나타내고자 하는 구성 요소를 유지하는 범위 내에서 목적에 맞게끔 유연하게 변형되어 교과서에 제시되고 있었다.

2. 결론 및 제언

연구 결과에서 살펴본 바와 같이 중학교 사회 교과서에 등장하는 대부분의 그래프는 초등학교 수학과 교육과정에서 다루었다. 즉, 중학교 사회과에서 그래프를 읽고 해석하여 적절한 정보를 얻고 조직하고 활용하는 것의 기초는 초등학교 수학과에서 이루어진다고 볼 수 있다. 비록 초등학교 수학 수업에서 그래프는 통계적 소양 교육의 측면에서 볼 때 통계적 문제해결에서의 활용이 강조되어야 하지만, 각 종류별 그래프의 구성요소와 특징을 정확히 익히는 기초적인 기능(skill)을 외면해서도 안된다.

그러나 확인한 것처럼 중학교 사회 교과서에 등장하는 그래프의 시각적 특징과 활용 방식은 초등학교 수학 교과서와는 사뭇 다르다. 이러한점에 비추어볼 때, 초등학교 수학 수업에서 그래프의 지도가 정형화된 기능으로만 고착되는 것은 경계할 필요가 있다. 비록, 각 종류별 그래프의 구성 요소와 특징을 기능적 측면에서 학습하더라도, 이후에는 이를 바탕으로 다양한 맥락에 전이, 추론하는 유연성이 필요하기 때문이다. 이러한 유연성은 그래프의 시각적 직관성과 비형식성, 그리고 합목적성에 기인하므로, 이러한 측면에 비추어볼 때 초등학교 수학에서 다루는 그래프의 형태는 그 폭이 지금보다는 다소 넓어질 필요가 있어 보인다. 구체적으로 다음과 같이 제언하고자 한다.

첫째, 초등학교 수학 교과서에서는 ‘범주형 자료는 막대그래프, 시간에 따른 수치형 자료는 꺾은선그래프’를 사용하는 것으로 정형화하여 지도하고 있다. 그런데 여기에서 한발 더 나아가시간에 따른 수치형 자료를 나타내는 데 막대그래프가 적절하지 못하다, 혹은 꺾은선그래프가 더 낫다는 인식을 강요하는 것으로 보인다. 그러나 중학교 사회 교과서에서는 막대그래프 또한 꺾은선그래프처럼 시계열 자료를 나타내는 데 적극적으로 활용되고 있으며, 막대그래프를 이용하더라도 시간에 따른 자료의 변화를 확인하는 데 어려움이 없었다. 오히려 중학교 사회 교과서에 제시된 그래프의 예에 비추어보면, 꺾은선그래프는 막대그래프에 비해 다중변수를 표현하는 데 더 특화되어 사용되는 것으로 보인다.

현 2015 개정 수학과 교육과정에서는 성취기준 [4수05-03]과 [6수05-04]를 통해 자료의 특성과 목적에 적합한 그래프를 선택하는 소양을 강조하고 있으나, 이것이 마치 자료의 특성과 목적에 따라 사용해야 하는 그래프가 일대일대응이 되는 것처럼 인식되는 경우가 많다. 이를 극복하기 위해서는 실제 다양한 그래프를 활용하는 맥락에서 주관적인 상황과 편의에 따라 유연하게 적용할 수 있음을 이해하는 것이 필요하다. 이를위해 전술한 바와 같이 시계열 자료를 나타내는 막대그래프의 사례, 두 개 이상의 선을 겹쳐 그린 꺾은선그래프의 사례가 다루어질 수 있는 ‘여러 가지 그래프의 활용’과 관련된 단원이나 차시가 마련될 필요가 있어 보인다.

둘째, 중학교 사회 교과서에서의 그림그래프사례에서 볼 수 있듯이, 초등학교 수학 교과서에제시된 그림그래프는 실효성이 거의 없다. Figure 3에서 볼 수 있듯이, 현재 초등학교 수학교과서에 제시된 그림그래프의 공통적인 특징은 단위를 나타내는 그림이 두 종류 이상 사용된다는 것이다. 즉, 마치 단위가 두 개 이상 사용되어야 그림그래프인 것으로 인식될 우려가 있다. 하지만, 두 종류 이상의 단위를 나타내는 그림이 사용되는 그림그래프는 중학교 사회 교과서에 제시된 38개의 그림그래프 중 한 하나뿐이었다.

그림그래프의 실제 가치는 그림을 이용하여 조사한 주제나 내용과 같은 비수학적인 요소를 표현하는 데 있다. 즉, 그림그래프는 그래프의 시각적 특성에 대한 유연성, 특히 조사한 주제나 내용과 같은 비수학적인 요소를 드러내는 방식에 대해 정형화되어 있지 않은 융통성 있는 사고를 갖추도록 안내하는 목적으로 지도되어야 한다. 통계는 비결정론적 세계관 속에서 우연을 인정하고 불확실성을 다루는 학문이다. 무엇보다도 통계는 맥락의존적인 성격을 강하게 띠고 있으며, 그래프 역시 주어진 수치를 수학적으로 찾아 분석하는 것 외에 그 수치가 의미하는 바를통계적 문제해결의 맥락에 비추어 해석할 수 있어야 한다. 통계에서 사용되는 그래프는 통계 전문가를 위한 것이 아니라 일반인을 위한 것이기 때문에, 그래프에서는 조사 주제나 내용 등을 다양한 형식으로 드러내는 변형이 자주 이루어진다. 따라서 통계 포스터 만들기 활동 등 통계적 문제해결을 경험해보는 프로젝트 활동에서 단순한 수치 정보 외에 조사 주제와 같은 질적 정보를 그래프에서 어떻게 표현할 것인지에 대해, 학생들이 직접 고민해보는 경험이 필요하다고 할 수 있다.

셋째, 중학교 사회 교과서에 등장하는 모든 그래프의 형태를 초등학교 수학 교과서에서 다루는 것은 비현실적일뿐더러 바람직하지도 않다. 즉, 중학교 사회 교과서에 등장하는 수많은 변이형 그래프들을 초등학생들이 모두 경험할 필요는 없다. 그보다는 그래프가 시각적으로 얼마든지 변형될 수 있으며, 여러 가지 정보를 하나의 그래프에 담아내는 형식의 활용 또한 가능함을 초등학교 수학에서 인식할 필요가 있다. 그러나어떠한 시각적 변형이 이루어지더라도 공통적으로 그 그래프를 이루는 구성 요소는 필연적으로 존재할 수밖에 없기 때문에, 초등학교 수학에서 각 종류별로 그래프를 지도할 때 그 그래프를 이루는 구성 요소가 무엇인지에 주목하는 것으로 학습이 시작될 필요가 있다. 또한 앞서 선행연구 결과를 통해 언급했듯이 수량, 단위, 좌표등에 대한 이해 부족으로 사회 교과에서 그래프를 해석하는 데 어려움을 호소한다는 점을 고려했을 때, 초등학교 수학 교과에서 변이형 그래프를 통해 그래프에서의 수량, 단위, 좌표 등에 대한 이해를 견고히 하는 것도 고려해볼 필요가 있다. Figure 18과 같은 막대그래프와 꺾은선그래프의 혼합형 그래프는 막대의 눈금을 읽을 때 사용하는 축과 꺾은선의 눈금을 읽을 때 사용하는 축이 서로 다르다는 것, 하나의 그래프 상에서 단위가 서로 다르다는 것, 눈금 한 칸의 크기가 서로 다르다는 것 등을 고려하면서 그래프를 해석함으로써 수량, 단위, 좌표 등에 대한 기계적인 읽기 이상의 것을 필요로 한다.

Ⅱ장에서 확인한 바와 같이 그래프는 범례나 범주를 표현하는 요소, 변량이나 빈도를 표현하는 요소, 그리고 맥락을 드러내는 요소로 구성되어 있다(Tak & Kim, 2020). 그래프에 담긴 통계정보를 읽어낼 수 있음에 그치지 않고, 그래프읽기 과정을 반성적으로 되돌아보면서 그래프의 시각적 형태로부터 구성 요소를 찾아보는 경험이 초등학생들에게 필요하다고 볼 수 있다. 중학교 사회 교과서에 제시된 그래프 중에는 축이 없거나 심지어는 제시되어야 하는 물결선이 존재하지 않는 등, 구성 요소의 일부가 생략되는경우가 있는데, 이러한 생략이 의미하는 바를 그래프 해석의 관점에 비추어 되짚어볼 필요가 있다. 다만, 이를 위해서는 그래프를 이루는 구성요소의 형태가 최대한 단순할 필요가 있다. 현재초등학교 수학 교과서에 제시되어 있는 대다수의 그래프들이 교수학적인 이유에 의해 다소 복잡하고 정형화된 틀을 사용하고 있는데(Tak, 2020), 적어도 그 그래프를 학습하는 단원에서만큼은 틀이 간소화되어 형태가 변할 수 있음을 경험하는 것이 필요하다.

본 연구에서는 중학교 사회 교과서에 제시된 그래프를 분석하여 초등학교 그래프 지도에 대한 제언을 도출하였으나, 실제로 이러한 제언이좀 더 구체화되고 현실적인 것으로 다듬어지기 위해서는 실제 그래프를 해석하고 활용하는 학생들의 통계적 소양에 어떠한 영향을 미치는지에 대한 후속 연구가 필요할 것으로 보인다. 만약 이러한 후속 연구가 이루어져 그래프를, 나아가 통계적 사고에 필요한 유연성과 융통성을 기르는 방안이 제시된다면, 이는 수학 교수․학습뿐만 아니라 사회, 과학 등 여러 가지 그래프와 통계 정보를 활용하는 타 교과의 교수․학습에도 유의미한 시사점을 제공할 수 있을 것으로 기대된다.

2) 성별, 계절과 같이 범주가 다르다는 것만 나타내는 척도는 명목척도이고, 학년, 석차와 같이 대상의 순위 관계에 대한 정보를 포함하는 척도는 순서척도이다. 온도, 시력과 같이 등간격의 속성을 가지고는 있으나비율로 해석할 수 없는 척도(예: 20℃를 10℃의 두 배로 해석할 수 없다)는 구간척도이고, 길이나 무게와같이 비율에 대한 정보를 담고 있으면서 절대 영점(0이 실제로 아무 것도 없음을 의미)을 가지고 사칙연산이 가능한 척도는 비율척도이다(Lee et al., 2020, pp. 21-23).

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Article

전자저널 논문

2020; 30(4): 675-703

Published online November 30, 2020 https://doi.org/10.29275/jerm.2020.11.30.4.675

Copyright © Korea Society of Education Studies in Mathematics.

Exploring Ways to Improve Elementary School Statistics Education Through Analysis of Middle School Social Studies Textbooks: Focusing on Statistical Graph Teaching

Byungjoo Tak1, Eun-Sung Ko2

*Professor, Jeonju National University of Education, South Korea, bjtak@jnue.kr
**Professor, Jeonju National University of Education, South Korea, kes7402@jnue.kr

Correspondence to:corresponding author
1) 이 연구는 2020년 전주교육대학교 국립대학육성사업의 연구비 지원으로 수행하였음

Received: October 5, 2020; Revised: October 27, 2020; Accepted: October 28, 2020

Abstract

In this study, in order to explore ways that statistical graphs teaching in elementary mathematics education can be improved, first, the types of statistical graphs that appear in middle school social textbooks were examined, and second, the characteristics that differentiated these from statistical graphs that appeared in elementary school mathematics were investigated. This analysis indicated that 88.2% of the graphs presented in the middle school social textbooks were addressed in the elementary mathematics curriculum. The frequency of use (excluding mixed graphs) was in the order of bar graphs, line graphs, ratio graphs, and picture graphs. However, most of the statistical graphs did not follow the standardized framework suggested in elementary school mathematics textbooks, as they were instead transformed in various ways. The features that differentiated middle school mathematics graphs from graphs experienced in elementary school mathematics differed for each type of graph. For example, in the case of bar graphs, there were the omission of axes, deformation of bars, and expression of multiple variables, while in the case of line graphs, there were expressions of multiple variables and accurate representations of variables.

Keywords: statistical graph, middle school social studies textbook, graph teaching

I. 서론

수학 교과의 틀 안에서 수학적인 방식으로 이루어져 온 전통적인 통계교육에 지속적으로 제기되는 문제는 지나치게 인위적인 예를 바탕으로 자료 정리 기법을 절차적인 기능으로서만 익히고 맹목적으로 정보를 찾으며 지나치게 이상적이고 이론적인 상황만을 다루어왔다는 것이었다(Freudenthal, 1973; Woo, 2000). 이와 같은 전통적인 통계교육의 패러다임에서 벗어나 통계적 소양 교육을 실천하기 위해서 ‘통계적 문제해결교육’이 이루어질 필요가 선행연구에 의해 제기되어 왔다(e.g., Ko & Park, 2017; Wild & Pfannkuch, 1999, etc.). 즉, 문제 설정, 자료 수집, 자료 분석, 결과 해석의 단계로 이루어지는 일련의 과정을 학생들이 순환적으로 경험함으로써 통계 정보를 합리적으로 소비하고 윤리적으로 생산하는 데 필요한 지식과 태도를 기를 수 있어야 한다는 것이다(Franklin et al., 2007; Ko et al., 2017).

그래프는 초등학교 수학에서 다루어지는 통계 학습 내용의 대부분을 차지한다 해도 과언이 아닐 정도로 비중이 크다. 하나의 단원에서 하나의그래프를 집중적으로 지도할 만큼 그래프 학습은 그 비중이 크다. 그러나 그 동안 학교수학에서 그래프의 지도가 절차적인 기능과 맹목적인 읽기에만 집중되어 왔다는 비판이 지속적으로 제기되어 왔다(e.g., Lee & Ko, 2019; Pang, 2008; Tak & Kim, 2020; Woo, 2000). 이를 개선하고자 2015 개정 수학과 교육과정에서는 초중고 확률과 통계 영역의 교육 목표를 “미래를 예측하고합리적인 의사결정을 하는 민주 시민으로서의 기본 소양”을 기르는 것이라 밝히고 있다. UNESCO(2005)에서는 ‘소양’의 의미를 “개인과사회의 변혁을 위한 기반으로서 사회적 인식과 비판적 반성이 필요한 역량”으로 규정하고 있는데, 통계교육의 목표로서 지식이나 기능 대신 소양을 명시하였다는 것은, 통계적 소양이 현대 사회를 살아가는데 필수적임을 드러내는 것이라 볼 수 있다. 즉, 그래프 역시 인위적인 자료를가지고 기능적으로 다루는 것 외에, 실생활 문제상황에서 그래프를 통해 얻을 수 있는 다양한 통계 정보를 활용하고 문제를 해결하는 상황을 고려하여 지도되어야 한다. 가깝게는 이후 상위교육과정에서 이미 학습한 그래프를 이용해 자료를 요약하거나 그래프로 요약된 자료를 해석하는데 거리낌이 없도록 지도되어야 하며, 멀게는 실생활 문제 해결 상황에서 그래프를 이용하는데 어려움이 없도록 지도되어야 한다.

이러한 문제인식을 가지고 그동안 수학교육 연구자와 사회교육 연구자들에 의해 초등학교 사회 교과서에 등장하는 그래프를 분석한 연구는 비교적 꾸준히 이루어져 왔다(e.g., Han, 2006, Kim, 2013, 2018; Lee, Kim, & Tak, 2019; Park, 2019, etc.). 타 교과 중에서도 사회과는 그래프를사용하는 비중이 매우 높기 때문이다(Lee et al., 2019). 특히, 사회과는 정보를 획득하는 기능, 그정보를 조직하고 활용하는 기능, 나아가 대인관계와 사회적 참여 기능으로 그 기본 기능을 분류할 수 있는데(NCSS, 1994, p. 149), 이러한 기능 대부분은 통계 정보를 매개로 하며 그 통계 정보를 표현하고 전달하는 그래프에 상당히 의존하고 있음을 알 수 있다. 그러나 중학교 사회교과서에 등장하는 그래프를 분석하여 이로부터 수학과에서 이루어지는 통계교육에 시사점을 도출하고자 하는 연구는 그동안 이루어지지 않았는데, 이는 현재 우리나라 수학과 교육과정의 계열상 대부분의 전형적인 그래프 학습은 초등학교에서 마무리되고 중학교에서는 줄기와 잎 그림, 히스토그램, 도수분포다각형, 산점도와 같이 조금 더 수학적인 분석이 이루어져야 하는 그래프만 제한적으로 다루어지기 때문인 것으로 보인다. 그러나 이는 중학교 사회과 학습에 필요한그래프 관련 통계적 소양이 초등학교 수학과에서 이미 이루어진 통계교육에 기대고 있음을 의미하는 것이기도 하다. 즉, 중학교 사회 교과서에 등장하는 그래프의 특징을 분석함으로써, 초등학교 수학과에서 이루어지는 그래프 지도에 대한 시사점을 얻을 수 있을 것이라는 기대가 가능하다. 더욱이, 그래프를 해석하는 데 필요한수학 지식으로 인해 학생들이 어려움을 겪고 있어, 사회 교과서에 제시되어 있는 여러 시각 자료 중 그래프를 비롯한 도표에 대한 중학생들의 선호도가 매우 낮다는 연구 결과도 보고된 바 있다(Kim & Lee, 2011).

이에 본 연구에서는 중학교 사회 교과서에 등장하는 통계 그래프의 특성을 분석하고, 이를 초등학교 수학 교과서에서 다루었던 그래프와 비교함으로써 초등학교 수학과에서 이루어지는 그래프 지도의 개선 방향을 탐색하고 시사점을 도출하고자 한다. 이를 위해 첫째, 중학교 사회 교과서에 등장하는 통계 그래프에는 어떠한 유형이 있는지, 둘째, 초등학교 수학에서 경험하는 그래프와는 어떤 차별화된 특징이 있는지 분석한다.

II. 이론적 배경

1. 통계적 문제해결에서 그래프의 역할

그래프는 통계적 문제해결 과정에서 자료 분석을 위한 도구로 그 가치를 인정받는다. 통계정보의 소비자에게 그래프는 단순히 자룟값을 전달해주는 그림 이상의 것으로, 그래프에 기초하여 필요한 정보를 얻고 판단, 의사결정, 예측등의 활동을 한다. 통계 정보의 생산자에게 그래프는 단순히 자료를 정리하여 나타내는 시각적 표현 도구 이상으로 자료집합으로부터 얻어낼 수 있는 통계적 정보의 질과 양을 좌우하는 중요한 분석 도구이다.

학교수학에서 다루는 통계 영역의 내용 요소들은 대부분 통계적 문제해결 과정 중 자료 분석 단계에서 필요한 지식과 기능에 해당한다. 그중에서도 특히 그래프는 초등학교 수학과 교육과정 중 ‘자료와 가능성’ 영역의 대부분을 차지한다는 점에서 초등학교 통계교육의 중핵이 되는 요소라 할 수 있다. 또한, 그래프는 자료 분석의 결과를 시각화하여 드러낸다는 점에서 일상에서도 가장 많이 사용되는 통계적 표현 양식이라 할 수 있는데, 정작 그래프에 대한 합의된정의는 그다지 명확한 문장으로 합의되어 있지 않고, 다만 통계학에서 사용되는 여러 가지 그래프를 바탕으로 그 개념을 미루어 짐작할 뿐이다. 이는 Lee(2014)가 “어떠한 표현 목적을 가지고그 표현하려는 바가 잘 드러나도록 간결하게 만든 시각적 도구(p. 49)”라고 그래프의 개념을 설명한 데에서도 알 수 있듯이, 그래프를 만든 주체의 주관적인 목적에 의존하기 때문에 수학적 개념처럼 학계에서 통용되는 분명한 정의를 내리기 어렵기 때문이다.

다만, 그래프의 활용 목적에 비추어 그 개념을문장으로 설명하는 시도는 가능한데, 대표적으로Woo(2017)는 “자료에 내포된 관계의 경향성을비형식적으로 드러냄으로써 자료의 전반적인 특징을 한눈에 알아보기 쉽게 해주는 도구(p. 346)” 로 정의하였다. 즉, ‘자료집합의 특징’을 쉽게 확인할 수 있도록 자료에 내포된 관계의 경향성, 즉 자료의 ‘분포’를 시각화하여 표현하는 도구인것이다. 이렇게 자료를 정리하여 분포를 표현함으로써 그래프는 통계적으로 문제를 해결해야 하는 상황에서 자료의 특성을 바탕으로 합리적인 통계적 의사결정을 내릴 수 있게끔 하는 자료 분석과 결과 해석의 도구로서의 역할을 한다. 그리고 그 과정에서 통계 정보의 생산자와 소비자는 그래프를 매개로 통계적 의사소통을 하게 되는데, 이는 학교 통계교육을 통해 길러야 하는통계적 소양의 핵심적인 요소로 알려져 있다(Gal, 2002).

이렇듯 그래프는 통계학적 측면뿐만 아니라 교육적 측면에서도 그 중요성과 유용성이 명확히 드러나지만, 수학과 같이 형식의 엄밀함보다는 실용적인 합목적성을 추구하는 통계학의 특성으로 인해 정형화된 형태를 규정할 수는 없다. 하지만 Tak & Kim(2020)에 따르면 그래프는 어떤 것이든 기본적으로 범례나 범주를 표현하는 요소, 변량이나 빈도를 표현하는 요소, 그리고 맥락을 드러내는 요소로 구성되어 있으며, 이를통해 자료의 분포를 드러내고자 하는 공통의 목적을 지니고 있다. 따라서 본 연구에서는 ‘범례/범주, 변량/빈도, 맥락을 표현하는 요소를 바탕으로 자료의 분포를 시각화하여 자료집합의 특성을 드러내기 위한 도구’로 그래프를 정의하고자한다.

2. 학교수학에서의 그래프 지도

수학에서 다루어지는 함수 그래프는 수학적 엄밀성을 추구하는 데 반해, 통계 그래프는 비전문가인 일반인들에게 통계 정보를 조금 더 쉽게 전달하기 위한 목적으로 사용되며, 이 때문에 엄밀성보다는 시각적 직관성과 비형식성이 더욱 강조된다(Tak, 2018, p. 229). 이러한 특성으로 인해 그래프는 학교 교육에서 수학 교과만 전유하지 않고 사회나 과학 등 타 교과에서도 적극적으로 사용한다(Lee et al., 2019). 그러나 사회나 과학 교과에서는 그래프 자체를 지도하는 것이 아니라 그래프에서 전달하고자 하는 통계 정보를 지도하는 것이 목표인 반면, 수학 교과에서는그래프의 구성 요소, 그래프의 작성, 그래프의해석과 같은 기초적인 기능을 지도해야 한다. 물론, 이러한 기능이 그래프를 기계적으로 그리고맹목적으로 읽는 법에 국한되어서는 안 되며, 통계적 문제해결 과정에서 그래프를 활용하는 소양을 익히는 것이 중요하다. 구체적으로 그래프의 각 유형별로 어떠한 특징과 장점이 있는지, 각 유형별 그래프를 언제 사용하면 좋은지를 생각해보고 실제 자료를 조사하여 그래프로 나타내는 통계적 문제해결 과정을 경험하게끔 안내해야 한다.

구체적으로, 2015 개정 수학과 교육과정에서는그래프와 관련하여 성취기준을 제시함으로써 수학 교과에서 그래프의 지도 방향을 명시적으로 제시하고 있다. 이 중 특히 눈여겨 볼만한 성취기준은 다음과 같다(MOE, 2015).

  • [4수05-03] 여러 가지 자료를 수집, 분류, 정리하여 자료의 특성에 맞는 그래프로 나타내고,그래프를 해석할 수 있다.

  • [6수05-04] 자료를 수집, 분류, 정리하여 목적에 맞는 그래프로 나타내고, 그래프를 해석할 수 있다.

자료는 어느 특정한 범주에 속하는 정보만을 주는 ‘범주형 자료(categorical data)’와 연산이 가능하고 그 연산을 통해 또 다른 정보를 주는 ‘수치형 자료(numerical data)’로 분류된다. 이 중 범주형 자료는 자룟값을 나타내는 척도에 따라 개체의 특성을 분류하는 범주 정보만 주어지는 ‘명목척도’와 순서(서열)에 대한 정보를 더 갖는 ‘순서척도’로 구분된다. 또한, 수치형 자료의 척도는 등간격에 대한 정보를 더 갖는 ‘구간척도’ 와 그리고 비율을 비교할 수 있는 ‘비율척도’로구분된다. 2) 비록 초등학교 수학과에서 이러한내용을 구체적으로 다루지는 않지만 [4수05-03]은 이러한 자료의 특성을 고려하여 그에 적합한 그래프를 선택하는 소양을 요구하고 있다. 또한, 그래프는 자료의 분포를 통해 집단의 성질을 다른 사람에게 더 잘 드러내기 위한 목적으로 활용하는데, 이때 통계적으로 해결하고자 하는 문제의 특성에 따라 위의 목적에 더 잘 부합하는 유형의 그래프를 선택할 수 있어야 함을 강조하는 성취기준이 [6수05-04]이다. 이 두 성취기준은모두 자료의 수동적인 처리 대신 능동적인 의사결정과 통계적 소양을 강조하기 위한 것이라 할 수 있다.

그동안 우리나라의 통계교육에서 그래프 지도는 대체로 그래프를 그리는 절차와 순서에 치중하는 경향이 강하여, 수치나 시각적 요소의 지엽적인 부분에 치중하여 그래프의 의미와 내용을 파악하기 어렵게 한다는 측면이 있어왔다(Lee & Ko, 2019; Pang, 2008). 이로 인해 나타난 대표적인 현상 중 하나가 우리나라 초등학교 수학 교과서에 제시되는 그래프의 틀이 일상에서 찾아보기 어려운 표 형태로 정형화되어 있다는 것이다. 초등학교 수학 교과서에서 제시되는 그래프의 틀은 그래프의 구성 요소에 주목하게 하고, 직접 손으로 그래프를 쉽게 그릴 수 있도록 하는 보조적인 장치 역할을 한다(Tak, 2020). 문제는 그래프를 그리는 절차와 순서를 지도하는 데 지나치게 주목한 나머지, 일상에서 접할 수 있는다양한 그래프의 시각적 변이들을 경험하지 못하는 것으로 보인다. 수학 교과에서 학습한 그래프 관련 내용을 바탕으로 타 교과에서 활용되는 다양한 그래프를 올바르게 해석하고 그래프가 전달하고자 하는 통계 정보를 바탕으로 해당 교과 학습이 이루어져야 하기 때문에, 그래프의 형태적 유연성을 바탕으로 학교수학에서 그래프 지도에 대한 시사점을 도출할 필요가 있다.

3. 사회과에서 그래프의 활용

사회과에서는 그래프 자체를 지도하는 것이 아니라 주제에 따라 다양한 자료를 활용하여 교과 내용을 인식하는 데 초점을 두고 있으며, 학습 주제에 맞게 다양한 그래프를 활용하고 있기 때문에, 수학과처럼 그래프의 유형과 형태가 정형화되어 있지 않고 학년 계열 또한 정해져 있지 않다(Kim, 2013, p. 368). 특히 Choi(2016)는 사회과에서 그래프를 포함한 시각 매체를 읽을 때, (1) 다양한 형태의 정보를 읽을 수 있어야하며, (2) 복합 양식 자료를 논리적으로 조직하며 읽을 수 있어야 한다고 주장하였는데, 사회과에서 다루는 그래프가 대체로 다중 정보를 다루고 있는 다변수 그래프이며, 유형과 양식 또한 한 가지로 정형화된 것이 아니라 복합적인 형태를 띤다는 것을 암시한다.

이러한 특성으로 인해 사회 교과서에서 다루는 그래프는 형태 측면에서 수학 교과서의 그래프와 차이가 존재한다. Lee et al.(2019)은 사회, 과학을 비롯한 초등학교 타 교과의 교과서에 등장하는 그래프를 분석한 바 있는데, 시각적 형태가 수학 교과서에서 다루는 그래프와 다른 경우, 두 개 이상의 그래프가 하나의 지면에서 사용되는 복합적인 경우, 수학 교과서에서는 등장한 적이 없는 새로운 형태의 그래프가 제시되는 경우등 그래프를 둘러싼 수학과와 타 교과 간의 여러 가지 쟁점이 존재하고 있었다. 예를 들어, 초등학교와 중학교의 사회 교과서에는 Figure 1과같은 그래프가 등장하는데, 이는 수학 교과서에서 지도되는 그래프와 사뭇 다른 형태와 특성을 지니고 있다.

Figure 1. Examples of statistical graphs in elementary and middle school social studies textbooks(MOE, 2014, p. 49; Choi et al., 2018b, p. 13).

전술한 바와 같이 사회 교과에서는 여러 가지 통계 정보를 획득하고 조직하는 역량이 강조되는데, 이는 대개 그래프를 통해 매개된다. 그러나 중학생들이 사회 교과에서 다루어지는 그래프를 이해하는 데 어려움을 겪는다는 선행연구들이 보고된 바 있다(예를 들어 Harm, 2008; Park, 2002). 이에 대해 Kim & Lee(2011)는 “사회 교과서에 수록된 그래프 자료는 직관 효과가 뛰어나다는 장점도 있지만, 수량, 단위, 좌표 등 기초적인 수학적 개념이 요구되기 때문에 일부 학생들의 경우 그래프를 해석하거나 이해하는 데 어려움을 호소하는 경우가 있으며, 많은 장점이 있음에도 그래프는 종종 학습에 있어 장애 요인으로 작용하기도 한다(p. 92)”고 언급하였다. 즉, 중학생들이 사회 교과서에 수록된 그래프에 거부감을 느끼지 않고 올바르게 해석하는 역량을 갖추기 위해서는, 사회교육 내에서의 자체적인노력도 필요하지만 일차적으로 그래프를 지도하는 초등학교 수학교육에서의 개선 방향을 모색해볼 필요가 있다.

초등학교 수학 교과서에서 제시되는 그래프는 일상에서 접할 수 있는 다양한 그래프 틀과 구조적인 동형을 이룸으로써 수학 수업에서 학습한 그래프 관련 내용을 일상에 적용, 전이할 수 있도록 안내하는 역할을 해야 한다(Tak, 2020). 그러나실생활 중심의 통계 내용 재구성을 주요 개정 방향으로 설정한 2015 개정 수학 교과서에서도 통계 그래프의 형태적 고착화를 온전히 탈피하지는 못하였고, 이로 인해 그래프 지도가 여전히 타 교과와는 유리되는 경직성을 보인다는 비판이 제기되고 있다. 본고에서 통계교육의 개선 방향을 탐색하기 위해 사회 교과서에 등장하는 그래프를 연구 대상으로 선정한 동기이기도 하다.

III. 연구 방법

1. 자료 수집 및 분석 대상

본 연구에서 자료 수집의 대상으로 선정한 교과서는 2015 개정 사회과 교육과정에 따라 개발된 중학교 사회 교과서이다. 중학교 사회 교과서는 사회①과 사회②, 그리고 사회과부도로 구성되어 있는데, 본 연구에서는 사회과부도를 제외하고 국내 7개 출판사에서 발행한 사회①과 사회② 교과서 각 8권씩 총 16권을 자료 수집의대상으로 선정하여 전수조사하였다.

본 연구의 분석 대상은 자료 수집 대상으로 선정된 총 16권의 중학교 사회 교과서에 등장하는 그래프이다. 중학교 사회 교과서에는 다양한시각 매체가 등장하는데, 본 연구에서는 통계 그래프를 Lee et al.(2019)에서 사용된 기준을 보완하여 (1) 자료의 정리 과정을 거친 것으로서 (2) 수치 형태로 된 통계량을 시각화하여 제시하고 있고(단, 범주 형태로 제시한 것은 제외), (3) 정보 전달의 목적을 가지고 있으며 시각적으로 정돈된 형태를 지니는 것, (4) 그리고 모델링의 결과를 나타내는 함수그래프가 아니라 실제 데이터를 기반으로 표현한 통계 그래프인 것으로서 조작적으로 정의하였다. 이에 따라 주제도(主題圖)의 경우 그래프로 분류된 것도 있고 분류되지 않은 것도 있는데, 예를 들어 Figure 2의 왼쪽은 하나의 개체에 대해 비교적 정확한 통계량과 이를 시각화한 아이콘을 사용하고 있기 때문에 그래프로 분류한 반면, 오른쪽은 통계량이 아니라 이를 범주화한 구간을 색으로 표현하고 있기 때문에 그래프로 분류하지 않았다. 이와 같은기준에 따라 교과서를 조사한 결과, 총 551개의그래프를 분석 대상으로 선정할 수 있었다.

Figure 2. An example and nonexample of thematic maps classified as statistical graphs in this study(Kim & Park et al., 2018a, p. 117; Kim & Park et al., 2018b, p. 85)

2. 분석 기준 및 분석 방법

본 연구에서는 먼저 중학교 사회 교과서에 등장하는 그래프를 종류별로 범주화한다. 중학교사회 교과서에 등장하는 그래프의 종류별 비중을 살펴봄으로써 사회과에서 주로 다루는 자료의 특성과 통계적 문제해결의 목적도 미루어 짐작해볼 수 있다. 초등학교 수학과 교육과정에 따르면 Table 1과 같이 우리나라 초등학생들은 학교수학을 통해 O, X, /를 이용한 비형식적인 그래프, 그림그래프, 막대그래프, 꺾은선그래프, 띠그래프, 원그래프를 학습하므로, 본 연구에서도이에 준하여 중학교 사회 교과서에 등장하는 그래프를 그림그래프, 막대그래프. 꺾은선그래프, 비율그래프(띠그래프, 원그래프), 그리고 이와 같은 그래프 중 두 가지 이상이 복합적으로 활용된 혼합형 그래프로 분류한다. 이러한 기준에 따라 분류를 시도한 결과, 산점도와 같이 중학교수학과 교육과정에서 다루는 유형의 그래프도있었고, 방사형 그래프와 인포그래픽처럼 수학과교육과정에서 다루어지지 않는 그래프도 있었는데, 이들은 모두 ‘기타’로 분류하였다.

Table 1 . When each type of graphs are introduced by elementary school mathematics curriculum.

교육과정교과서그래프 유형
1~2학년군2학년 2학기O, X, /를 이용한 그래프
3~4학년군3학년 2학기(표 형태의) 그림그래프
4학년 1학기막대그래프
4학년 2학기꺾은선그래프
5~6학년군6학년 1학기(지도 형태의) 그림그래프
띠그래프
원그래프


우리나라 초등학교 수학 교과서에서는 대개 Figure 3의 왼쪽과 같이 3학년에서 표 형태의 틀에 몇 가지 단위를 나타내는 그림을 그려넣는 간단한 형태의 그림그래프가 먼저 등장한다. 하지만 이는 단위를 나타내는 그림이 두 가지 이상 사용되어 있을 때 그래프에서 변량에 대한 정보를 빠르게 읽어내도록 하기 위한 인위적인 그래프이며, 초등학교 수학에서 다루어지는 전형적인 그림그래프는 Figure 3의 오른쪽과 같이 6학년에서 다루는 지도 형태의 그림그래프이다. 따라서 본 연구에서는 Figure 2의 왼쪽과 같이지도 위에 아이콘으로 변량을 나타내는 주제도를 그림그래프로 분류하였다. 즉, 단순히 그림을사용한 그래프라 하여 그림그래프로 분류한 것이 아니라, 그래프의 구성 요소인 범주와 빈도,맥락에 대한 정보가 종합적으로 시각화된 경우에 한하여 그림그래프로 분류하였다.

Figure 3. Examples of pictographs in elementary school mathematics textbooks(MOE, 2018a, p. 131; MOE, 2019, p. 94)

중학교 사회 교과서에 등장하는 그래프를 종류별로 범주화한 후에는, 각 범주별로 형태 측면에서 다시 기본형과 변이형으로 분류한다. 초등학교 수학 교과서에서 다루는 그래프는 기본적으로 범례나 범주, 변량이나 빈도, 그리고 맥락을 표현하는 구성 요소를 모두 갖추고 있으며 단일 변수를 다루고 있다. 그리고 통계량을 표현하는 아이콘에 따라 그래프의 이름이 정해져 있고 이 아이콘의 시각적 특징이 어느 정도 정형화되어 있는데, 이러한 모든 조건을 갖추는 경우에 한해 기본형으로 분류하였다. 즉, 초등학교수학 교과서에서 다룬 그래프와 시각적으로 완전히 일치하지는 않더라도 구성 요소를 모두 갖추고 있는 경우, 단일 변수를 다루는 경우, 수학교과서의 그래프와 동일한 아이콘을 사용하는 경우에는 기본형으로 분류하였고, 구성 요소가생략, 추가되거나 다중 변수를 다루거나 아이콘의 변형이 이루어진 경우는 변이형으로 분류하였다. Figure 4는 초등학교 수학 교과서에 제시된 전형적인 형태의 막대그래프, 꺾은선그래프, 원그래프, 띠그래프를 나타낸 것인데, 예컨대 초등학교 수학 교과서에서는 일반적으로 막대그래프의 틀이 표 형태로 제시되어 있지만 기본적으로 음영 처리된 표의 왼쪽 열과 아래 행이 축의 성질을 지니고 있으므로, 가로축과 세로축이 선분이나 직선 형태로 제시되어 있는 막대그래프는 기본형으로 분류하였다. 분석의 신뢰도와 타당도를 높이기 위하여 본 연구에서는 두 명의 저자가 각자 위의 기준에 따라 독립적으로 중학교 수학 교과서에 등장하는 그래프를 분류하였고, 그림그래프를 제외한 모든 유형은 각자의 분류 결과가 모두 일치하였다. 다만, 그림그래프는두 저자의 1차 분류 결과가 일치하지 않았는데, 이 문제는 전술한 바와 같이 통계 그래프의 조작적 정의에 “(2) 수치 형태로 된 통계량을 시각화하여 제시하고 있는 것(단, 범주 형태로 제시한 것은 제외)”을 포함함으로써 Figure 2에서처럼 그림그래프 분류 기준을 명확히 함으로써 해결하였다.

Figure 4. Examples of bar-graphs, line-graphs, circle-graphs, and band-graphs in elementary school mathematics textbooks(MOE, 2018b, p. 100; p. 101; MOE, 2019, p. 106; p. 107)

마지막으로 각 종류별 그래프 분석에서 변이형으로 분류된 그래프는 질적 분석을 시도한다. 수학과에서 그래프 작성의 엄밀한 절차적 과정을 학습해 온 학생들에게 그래프의 변이형은 인지적 갈등을 초래할 수도 있으나, 비전문가의 의사소통을 위해 활용되는 통계 그래프의 쓰임과 목적에 비추어볼 때, 이러한 변이형의 등장은 필연적이라 할 수 있다(Lee et al., 2019, p. 127). 본 연구에서는 각 종류별 그래프에서 주로 나타나는 변이의 형태를 유형화하고 사례와 함께 그 변이형이 지니는 의의를 논하면서 초등학교 수학 수업에서 그래프를 지도할 때 얻을 수 있는 교수학적 시사점을 도출하였다.

IV. 연구 결과

Table 2는 본 연구의 분석 대상이 되는 중학교사회 교과서 8종 16권에 사용된 그래프의 빈도를 정리하여 나타낸 것이다. 중학교 사회 교과서에서는 대부분 초등학교 수학과 교육과정에서 다루어진 그래프가 사용되고 있었다. 막대그래프가 30.1%로 가장 많이 사용되고 있었으며, 이어서 꺾은선그래프가 18.5%, 비율그래프가 12.9%를 차지하고 있었다. 19.8%를 차지하고 있는 혼합형 그래프 역시 ‘막대그래프와 꺾은선그래프’, ‘막대그래프와 원그래프’, ‘원그래프와 띠그래프’의 혼합으로 초등학교 교육과정에서 학습한 그래프의 혼합형으로 구성되어 있었다. 사회 교과서 중 지리 영역에서 주제도는 매우 다양한 형태로 사용되었는데, 이 중 Ⅲ장에서 조작적으로정의한 그래프의 조건에 부합하는 것만을 포함하면 그림그래프는 전체의 6.9% 비중을 차지하고 있음을 확인할 수 있었다.

Table 2 . Frequency of types of statistical graphs in middle school social textbooks.

막대꺾은선그림비율혼합형기타합계
사회①5826163610123260
사회②108762235842291
합계 (%)166 (30.1)102 (18.5)38 (6.9)71 (12.9)109 (19.8)65 (11.8)551 (100.1)


한편, 중학교 3학년 수학 교과서에서 다루는산점도가 사회② 교과서에서 사용된 사례가 확인되었으며, 수학과 교육과정에서는 다루고 있지 않은 방사형그래프, 그리고 정보를 다양한 형태로 시각화한 인포그래픽 등 기타로 분류되는 그래프들도 사회 교과서에서는 적지 않은 비중을 차지하고 있었다.

1. 막대그래프 사용의 특징

Table 3은 막대그래프의 기본형과 변이형 사용빈도를 정리하여 나타낸 것이다. 사용된 166개의막대그래프 중 기본형이 26개(15.8%), 변이형이139개(84.2%)로, 초등학교 수학 교과서에서 주로경험하는 기본형보다는 변이형이 더 많이 사용되고 있었다. 중학교 사회 교과서에서 확인할 수있는 막대그래프의 대표적인 변이 유형은 다음과 같다.

Table 3 . Frequency of basic types and variant types of bar graphs in middle school social textbooks.

구분사회①사회②합계(%)
기본형131326(15.7)
변이형4595140(84.3)
합계58108166(100.0)


가. 축의 생략

중학교 사회 교과서에서는 막대그래프가 다양한 형태로 변형되어 사용되고 있었는데, Figure 5의 사례에서 볼 수 있듯이 막대가 나타내는 통계치를 각 막대 위에 표시해 주는 형태로 막대그래프를 변형하여 사용하고 있었다. 초등학교수학에서는 막대의 길이를 세로축을 통해 읽어내는 것이 주요 활동이라면, 여기에서는 통계치를 각 막대 위에 표시해 줌으로써 세로축의 값을 읽어내는 것보다는 각 막대의 통계치를 이용해 자료를 분석하고 해석하는 활동에 주목할 수 있도록 유도하고 있음을 알 수 있다.

Figure 5. Examples of bar graphs omitted an axis(Kim & Park et al., 2018a, p. 191; Park et al., 2018a, p. 23)

막대그래프에서 확인할 수 있는 변이의 유형 중 하나는 막대그래프의 주요 구성 요소 중 하나인 축의 생략이다. Figure 5에서 확인할 수 있듯이, 통계치를 직접적으로 제공해주는 대신 발생하는 형태적 변이는 축의 생략이다. 막대의 통계치를 각 막대 위에 표시해주는 대신, 눈금을읽어 막대가 나타내는 통계치를 읽는 데 필요한 세로축을 생략한 것이다.

나. 막대의 변형

Figure 5에서는 통계치를 나타내는 아이콘, 즉막대의 시각적 형태를 변형한 막대그래프가 제시되어 있는데, 왼쪽과 같이 그래프가 나타내는자료의 맥락을 효과적으로 전달하고자 투표함 아이콘을 사용하는 경우도 있었고, 오른쪽과 같이 자료의 맥락과는 무관하게 아이콘을 변형하여 사용하는 경우도 있었다. 이와 같이 구성 요소를 나타내는 아이콘의 시각적 형태를 변형하는 것 또한 막대그래프에서 확인할 수 있는 또다른 변이의 유형이다.

막대그래프는 일반적으로 범주형 자료에서 범주별 빈도를 시각화하여 항목 간의 대소 관계를 한눈에 파악할 수 있도록 하기 위한 의도에서 사용되는 그래프로 알려져 있다. 초등학교 수학교과서에 등장하는 막대그래프의 대부분은 범주를 나타내는 척도가 명목척도이기에 그 순서가 그다지 중요하지 않았다. 그러나 Figure 6과 같이 범주를 나타내는 척도가 순서척도인 경우에는 순서에 대한 정보를 나타내기 위해 길이 순서대로 막대를 배치하였다. 이때, 특히 주목해야하는 항목에 해당하는 막대의 색을 달리 하는 방식으로 막대그래프를 변형하면, Figure 6에서처럼 대한민국은 해당 주제에서 전체의 몇 위인지 등을 확인하는 데 매우 용이하다.

Figure 6. Examples of bar graphs with changed bars(Kim & Park et al., 2018b, p. 171; Mo et al., 2018a, p. 107)

다. 다중변수의 표현

초등학교 수학 교과서에서는 기본적으로 하나의 막대그래프에서 하나의 변수만을 다루곤 한다. 하지만, 중학교 사회 교과서에서는 Figure 7과 같이 하나의 막대그래프에 두 가지 이상의 변수를 나타내는 사례를 확인할 수 있었다. 구체적으로 Figure 7의 첫 번째 막대그래프에서는 하나의 막대에 두 가지 이상의 변량을 표현하기 위한 누적형 막대그래프이다. 이는 두 가지 이상의 변량을 막대를 겹쳐 나타냄으로써 다양한 정보를 하나의 그래프에 표현할 수 있을 뿐만 아니라 필요에 따라 두 변량을 비교할 수 있는 장점이 있다. Figure 7의 두 번째와 같이 두 가지이상의 변량을 비교하기 위해 막대를 나란히 제시하는 형태로 겹막대그래프를 사용하는 경우도 있었으며, Figure 7의 세 번째와 같이 두 집단의분포의 특징을 비교하기 위해 막대를 양쪽에 배치하는 형태로 막대그래프를 변형하여 사용하는 경우도 있었다.

Figure 7. Examples of bar graphs representing multi-variables(Choi et al., 2018b, p. 191; Koo et al., 2018a, p. 229; Lee & Kwon et al., 2018b, p. 133)

라. 기타

초등학교 수학 교과서에서는 막대그래프에서 물결선이 사용되는 경우가 등장하지 않는다. 하지만 꺾은선그래프에서 물결선을 다루고 있기 때문에 학생들이 막대그래프에 등장하는 물결선을 해석하는 데 어려움을 겪지는 않는다. 다만, Figure 6의 왼쪽과 같이 물결선이 데이터 시트전반에 걸쳐 있지 않고 세로축 일부에만 표시되어 있는 경우가 존재하므로, 물결선의 사용 또한시각적으로 다양한 변이가 존재할 수 있음을 확인할 수 있다.

또한, 초등학교 수학과 교육과정에서 막대그래프는 범주형 변수를 나타내는 데 주로 사용되며, 심지어 범주형 자료를 나타내는 데에만 사용해야 하는 것처럼 지도하는 경향이 있다. 그러나중학교 사회 교과서에서는 Figure 7의 첫 번째와두 번째 사례처럼 시간에 따른 변화의 경향성을 파악하는 데 막대그래프를 이용하고 있다. 즉, 꺾은선그래프뿐만 아니라 막대그래프가 시계열 그래프로 사용되고 있는 사례를 중학교 사회 교과서에서 확인할 수 있는 것이다.

2. 꺾은선그래프 사용의 특징

Table 4는 꺾은선그래프의 기본형과 변이형 사용 빈도를 정리하여 나타낸 것이다. 사용된 102개의 꺾은선그래프 중 기본형이 27개(26.5%), 변이형이 75개(73.5%)로, 꺾은선그래프 역시 초등학교 수학 교과서에서 주로 경험하는 기본형보다는 변이형이 더 많이 사용되고 있었다. 중학교사회 교과서에서 확인할 수 있는 꺾은선그래프의 대표적인 변이 유형은 다음과 같다.

Table 4 . Frequency of basic types and variant types of line graphs in middle school social textbooks.

구분사회①사회②합계(%)
기본형72027(26.5)
변이형195675(73.5)
합계2676102(100.0)


가. 다중변수의 표현

꺾은선그래프의 장점 중 하나는 그래프가 선으로 이어져 있기 때문에 여러 개의 선을 한데 겹쳐 그려도 서로 가려지는 부분이 없다는 점이다(Lee, 2014, p. 54). 이러한 특성으로 하나의 맥락에서두 가지 이상의 정보를 담아야 할 때에는 꺾은선그래프가 매우 용이하다. 앞서 Figure 7에서처럼막대그래프 역시 다중변수의 상황에서 겹막대그래프나 누적형 막대그래프 형태로 사용되기는 하지만, 자료집합을 비교하는 맥락에서는 위와 같은꺾은선그래프의 시각적 장점이 매우 압도적이다. 이에 중학교 사회 교과서에서는 Figure 8과 같이자료를 효과적으로 비교할 수 있도록 여러 개의 꺾은선을 하나의 그래프에 나타내는 형태로 변형된 꺾은선그래프가 사용되고 있었다. 이를 통해세계의 여러 지역의 월별 기온이 어떻게 변화하고 있는지 한 눈에 파악하기 쉽기 때문이다.

Figure 8. Examples of line graphs representing multi-variables(Kim & Park et al., 2018a, p. 33; Park et al., 2018b, p. 230)

나. 정확한 변량의 표기

Figure 5와 같이 막대그래프에서는 막대 위에통계치를 나타내는 대신 축을 생략한 변이형이 중학교 사회 교과서에서 확인되었다. 이와 비슷하게 꺾은선그래프 역시 Figure 9의 왼쪽처럼 점위에 통계치가 표기되고 그 대신 세로축이 생략되는 경우를 확인할 수 있다.

Figure 9. Examples of line graphs marked values(Choi et al., 2018b, p. 89; Lee & Kwon et al., 2018a, p. 229)

그러나 범주형 자료를 표현하는 데 주로 사용되는 막대그래프와 달리, 꺾은선그래프는 주로시계열 그래프로 사용되기 때문에 가로축은 대개 연속량인 시간 변수를 나타내는 데 사용된다. 그래서 Figure 9의 오른쪽처럼 세로축에 대응되는 통계치가 아니라 가로축에 대응되는 시간이 점 위에 표기되는 경우도 존재한다. 이때 시간이지니고 있는 등간격의 속성을 고려하여 점과 점 사이의 가로 간격이 나타내는 의미를 이해할 수 있게끔 가로축은 생략하지 않았다. 즉, 꺾은선그래프는 대개 연속형 자료를 다루는 경우가 많아 가로축과 세로축 모두 축의 눈금만으로는 정확한 값을 읽을 수 없는 경우가 존재하기 때문에, 점 위에 정확한 변량을 표기하는 경우를 중학교 사회 교과서에서 확인할 수 있었다.

다. 기타

꺾은선그래프는 변량의 변화를 읽어내는 데 특화되어 있는 그래프이다. 이때, 그 변량이 최대/최소인 시점이나 특정 기준을 상회/하회하는경우가 자료의 맥락에서 중요한 의미를 차지하는 경우가 존재한다. 이러한 점을 반영하여Figure 10의 왼쪽에서처럼 꺾은선그래프는 특정지점의 변량만을 선택적으로 표기하거나, 혹은강조하고자 하는 중요한 지점에 이미지와 텍스트를 활용하여 그 의미까지 제시하는 경우도 존재한다.

Figure 10. Examples of other variant line graphs(Koo et al., 2018b, p. 87; Lee & Kwon et al., 2018a, p. 229)

한편, 꺾은선그래프의 가로축과 세로축이 나타내는 변수는 대부분 등간척도나 비율척도에 해당하기 때문에, 눈금의 간격이 실제 변량과 비례하는지의 여부가 매우 중요하다. 그러나 중학교사회 교과서 중에서는 Figure 10의 오른쪽과 같이 가로축의 척도가 등간격으로 제시되어 있지않은 경우가 존재한다. 1960년부터 2000년까지는10년 단위로, 2010년까지는 5년 단위로, 이후는1년 단위로 척도에 변화를 주고 있다. 이는 매년도시화율이 얼마인지에 주목하기보다는 2000년이후에 도시화율의 변화가 거의 없음을, 즉 변화의 경향성에 주목하도록 하려는 목적을 두고 변형된 것으로 볼 수 있으나 수학적인 관점에서는 그래프의 왜곡에 해당한다. 이는 Figure 9의 왼쪽에서도 확인할 수 있는데, 물결선이 존재하지않음에도 점의 높이가 변량에 비례하지 않는다. 초등학교 사회 교과서에서도 이와 같이 급간의 크기가 변량과 비례하지 않는 사례가 존재한다고 알려져 있는데(Kim, 2018), 중학교 사회 교과서에서도 역시 이와 같은 문제가 발견되었다. 막대그래프와 마찬가지로 꺾은선그래프에서도 물결선은 Figure 9의 오른쪽과 같이 초등학교 수학교과서에서 등장하는 것보다 축약된 형태가 사용되기도 한다.

3. 그림그래프 사용의 특징

Table 5는 그림그래프의 기본형과 변이형 사용빈도를 정리하여 나타낸 것이다. 사용된 40개의그림그래프 중 기본형이 1개(2.6%), 변이형이 39개(97.4%)로, 사실상 그림그래프는 초등학교 수학 교과서에서 경험하는 형태가 사회 교과서에서는 거의 사용되지 않고 있다고 볼 수 있다. 중학교 사회 교과서에서 확인할 수 있는 그림그래프의 대표적인 변이 유형은 다음과 같다.

Table 5 . Frequency of basic types and variant types of pictographs in middle school social textbooks.

구분사회①사회②합계(%)
기본형101(2.6)
변이형152237(97.4)
합계162238(100.0)


가. 단위 그림의 일원화

초등학교 수학 교과서를 기준으로 3학년에서다루는 표 형태의 그림그래프와 6학년에서 다루는 지도 형태의 그림그래프는 모두 단위를 나타내는 그림이 두 개 이상 사용된다는 공통점이 있다. 그러나 중학교 사회 교과서에서 확인한 그림그래프 중 두 개 이상의 그림으로 단위를 나타내는 그래프는 단 한 가지뿐이었다. 그 외의모든 그림그래프는 전부 단위를 나타내는 그림을 한 가지만 사용하거나, 아니면 통계치에 비례하여 그림의 크기로서 값을 나타내었다. Figure 11의 왼쪽에서는 10만 명 단위의 점을 이용하여위치별 인구를 나타내었고, Figure 11의 오른쪽에서는 60억 배럴 단위의 석유통을 이용하여 국가별 석유 매장량을 나타내었다. 특히, Figure 11의 오른쪽 그림그래프에서 석유 매장량을 나타낼 때 60억 배럴보다 적은 부분에 대해서는 석유통의 크기를 그에 비례하여 줄임으로써 국가별 석유 매장량을 조금 더 통계치에 근사하게 나타내고자 하였다.

Figure 11. Examples of pictographs using only one unit icon(Koo et al., 2018b, p. 129; Park et al., 2018a, p. 112)

중학교 사회 교과서에 제시된 그림그래프의 대다수 경우는 Figure 12와 같이 그림의 크기를 이용하여 통계치를 나타내었다. Figure 12의 왼쪽은 국가별 망명 신청자 수를 원의 크기로 나타내었고, Figure 12의 오른쪽은 사람을 상징하는 모양의 길이를 이용하여 우리나라 등록 외국인의 주요 출신 국가를 나타내었다. 특히, Figure 12의 오른쪽 그림그래프는 주한 중국 출신 외국인의 수를 나타내기 위해 물결선을 사용하기도 하여, 초등학교 수학 교과서에서는 꺾은선그래프에서만 등장했던 물결선이 그림그래프에서도 유연하게 사용될 수 있음을 보여주고 있다.

Figure 12. Examples of pictographs using the sizes of icons for representing values(Park et al., 2018b, p. 132; p. 131)

나. 다중변수의 표현

그림그래프 역시 막대그래프나 꺾은선그래프와 마찬가지로, 하나의 범주에 대한 두 가지 이상의 정보를 드러내는 경우가 중학교 사회 교과서에서 확인되었다. Figure 13의 왼쪽은 지도 위에 사람 모양의 그림을 그려 세계 도시 인구를 나타낸 그림그래프인데, 2014년도 인구와 2030년도 인구 예상치를 병렬적으로 비교하기 위해 각 범주마다 두 개의 그림을 나란히 제시하였다. Figure 13의 오른쪽은 국가별 유입 기업 수와 유출 기업 수를 함께 제시한 것인데, 유입과 유출의 방향성을 고려하여 각기 반대 방향의 화살표 길이로 기업의 수를 나타낸 것이 매우 특징적이다. 각각의 변수마다 별도의 그래프를 그리는 경우에는 자료집합을 비교해야 하는 상황에서 매우 비효율적이기 때문에, 중학교 사회 교과서에제시되어 있는 그림그래프에서도 이와 같이 다중변수를 표현하는 변이형을 쉽게 확인할 수 있었다.

Figure 13. Examples of pictographs representing multi-variables(Mo et al., 2018b, p. 148; p. 166)

4. 비율그래프 사용의 특징

Table 6Table 7은 각각 비율그래프의 원그래프와 띠그래프 사용 빈도와 비율그래프의 기본형과 변이형 사용 빈도를 정리하여 나타낸 것이다. 사용된 71개의 비율그래프 중 원그래프가53개(74.6%), 띠그래프가 18개(25.4%)로 원그래프의 사용 비율이 더 높았다. 사용된 71개의 비율그래프 중 기본형이 13개(18.3%), 변이형이 58개(81.7%)로, 비율그래프 역시 기본형보다는 변이형이 더 많이 사용되고 있었다. 중학교 사회 교과서에서 확인할 수 있는 비율그래프의 대표적인 변이 유형은 다음과 같다.

Table 6 . Frequency of circle graphs and band graphs as ratio graphs in middle school social textbooks.

구분사회①사회②합계(%)
원그래프282553(74.6)
띠그래프81018(25.4)
합계363571(100.0)

Table 7 . Frequency of basic types and variant types of ratio graphs in middle school social textbooks.

구분사회①사회②합계(%)
기본형8513(18.3)
변이형283058(81.7)
합계363571(100.0)


가. 원의 변형

초등학교 수학 교과서에서는 평면도형으로서의 정확한 원 모양으로 원그래프를 나타내는 반면, 일상에서는 Figure 14와 같이 도넛 모양이나입체 모양으로 변형된 원그래프를 사용한다. 특히, Figure 14의 왼쪽처럼 원 대신 도넛 모양을사용하여 원그래프를 나타내면 가운데 부분에 조사의 주제나 범위 등 맥락과 관련된 각종 정보를 텍스트나 이미지로 기입할 수 있다는 점에서 중학교 사회 교과서에서의 원그래프는 원 모양보다 도넛 모양이 훨씬 많이 사용되는 경향이 있다. Figure 14의 왼쪽에 있는 원그래프는 내부에 15~49세의 여성과 같은 정보를 추가함으로써그래프를 해석하는 데 필요한 맥락 정보를 제공하여 자료에 대한 이해를 돕고 있다.

Figure 14. Examples of circle graphs with changed circles(Koo et al., 2018b, p. 140; Mo et al., 2018b, p. 179)

또한, 막대그래프와 꺾은선그래프는 가로축과세로축이 정확히 직각을 이루는 형태로 존재해야 하는 틀의 고정성으로 인해, 대체적으로 막대나 선에 이미지를 덧씌우거나 그래프 한쪽에 조사 주제와 관련된 이미지를 추가하는 형태로 맥락에 대한 정보를 드러내곤 한다. 원그래프는 상대적으로 범용성이 높은 원 모양의 틀을 지니고있어, Figure 15와 같이 조사 주제나 내용을 반영하여 원 모양의 틀 자체를 변형하여 사용되기도 한다. Figure 15의 왼쪽은 영국의 정당별 확보 의석수를 나타내는 그래프인데, 의회의 좌석배치를 반영하여 원 대신 반원을 전체로 하여 자료를 나타내고 있다. 또한, Figure 15의 오른쪽은 공정 무역 커피의 수익 배분 구조를 나타내는 그래프로, 커피잔을 위에서 본 모양을 그래프형태로 사용하고 있다.

Figure 15. Examples of circle graphs representing contexts(Lee & Kwon et al., 2018a, p. 178; Lee & Kwon et al., 2018b, p. 235)

나. 다중변수의 표현

띠그래프는 원그래프에 비해 여러 개의 띠를 비교하여 같은 항목에 대한 비율의 변화를 관찰하기 좋다는 장점이 있다(Ko et al., 2017, p. 115). 원그래프는 그 형태상의 문제로 인해 여러개를 나열해놓고 비교하기가 어렵지만, 띠그래프는 띠를 나란하게 놓고 비교하기가 용이해서 자료집합을 비교해야 하는 맥락에서 더 효과적이다. 그러나 초등학교 수학 교과서에서 제시되는띠그래프는 하나의 띠만을 놓고 전체와 부분, 부분의 비율만을 확인하는 경향이 있어, 원그래프와 띠그래프의 용도별 차이가 잘 부각되지 않는다. 하지만 중학교 사회 교과서에서 제시되는 띠그래프 중에는 Figure 16과 같이 시간에 따른 변화를 알아보기 위해 여러 개의 띠를 함께 사용하는 변이형이 존재하였다.

Figure 16. Examples of band graphs representing multi-variables(Kim & Park et al., 2018a, p. 225; Kim & Park et al., 2018b, p. 136)

다. 절대도수 표기

원그래프와 띠그래프는 전체와 부분의 관계, 그리고 각 부분이 차지하는 비율을 확인하기 위한 용도로 사용되기 때문에 비율그래프라 불린다. 이러한 특성으로 인해 원그래프와 띠그래프에서는 상대도수로 각 범주별 변량을 표기하고 일상에서 친숙한 백분율의 형식으로 표기된다. 이 때문에 초등학교 수학 교과서에서는 절대도수를 알고 있어도 상대도수를 계산하고 백분율을 계산한 다음, 그 백분율을 원그래프와 띠그래프에 기재하도록 지도하고 있다. 그러나 중학교사회 교과서에서는 Figure 15, Figure 17에서처럼 비율에 대한 정보 대신 절대도수로 변량을 제시하는 사례가 다수 존재하였고, Figure 16의 오른쪽처럼 절대도수와 상대도수(비율)가 함께 표기되는 경우도 있었다. 비율 없이 절대도수만 제시하는 경우 독자는 띠의 길이의 비를 시각적으로 파악하여 각 범주가 전체에서 차지하는 정도를 가늠할 수 있어야 한다. 비율과 함께 빈도를 제시하는 경우 독자는 각 범주가 전체에서 차지하는 정도뿐만 아니라 범주의 절대적인 크기도 함께 알 수 있다.

Figure 17. Examples of ratio graphs marked frequencies(Lee & Cho et al., 2018a, p. 94; Choi et al., 2018b, p. 131)

5. 혼합형 그래프 사용의 특징

Table 8은 혼합형 그래프의 유형과 빈도를 정리하여 나타낸 것이다. 혼합형 그래프에는 ‘막대그래프와 꺾은선그래프’, ‘막대그래프와 원그래프’, ‘원그래프와 띠그래프’ 3가지 유형이 사용되고 있었다. 사용된 109개의 혼합형 그래프 중 막대그래프와 꺾은선그래프의 혼합형이 106개(97.2%)로 가장 많았으며, 막대그래프와 원그래프의 혼합형은 1개(0.9%), 원그래프와 띠그래프의 혼합형은 2개(1.8%) 사용되고 있었다.

Table 8 . Frequency of types of mixed graphs in middle school social textbooks.

구분사회①사회②합계(%)
막대+꺾은선988106(97.2)
막대+원101(0.9)
원+띠202(1.8)
합계1018109(100.0)


가장 많은 빈도를 차지하는 것이 Figure 18과같이 막대그래프와 꺾은선그래프의 혼합형 그래프이다. 중학교 사회① 교과서에서 주로 등장하는 기후 그래프가 Figure 18의 왼쪽처럼 기온을꺾은선으로, 강수량을 막대로 표현하는 것이 정형화되어 있어 그 빈도가 매우 높기는 하지만, 실제로 꺾은선그래프는 막대그래프와 함께 사용해도 서로를 가리지 않기 때문에 실생활에서도 그 사용 빈도가 높은 편이다. 이때, 특히 주목할만한 특징은 막대의 눈금을 읽을 때 사용하는 축과 꺾은선의 눈금을 읽을 때 사용하는 축이 서로 다르다는 것이다. 즉, 다중변수를 표현할때 사용하는 겹막대그래프나 겹꺾은선그래프와 달리, 막대그래프와 꺾은선그래프는 서로 다른척도를 지닌 두 변수를 나타낼 때 사용하는 것이다.

Figure 18. Examples mixed bar graphs and line graphs(Mo et al., 2018a, p. 39; Choi et al., 2018b, p. 225)

그 외에도 비록 빈도는 적지만 중학교 사회 교과서에서 Figure 19처럼 막대그래프와 원그래프, 혹은 원그래프와 띠그래프가 혼합되어 사용되는 경우를 확인할 수 있었다. Figure 19의 왼쪽은 자연재해 피해 발생률을 나타내는 원그래프의 각 범주 위에 피해액 규모를 나타내는 막대를 그려넣음으로써 원그래프에 나타난 각 범주의 위치가 막대그래프의 세로축 역할을 대신하였다. Figure 19의 오른쪽은 원그래프에서 하나의 범주인 재생에너지가 어떻게 구성되고 있는지를 띠그래프를 사용하여 나타냄으로써, 어떤항목의 하위 범주들을 나타내는 데 유용하게 사용될 수 있는 사례이다. 이와 같이 혼합형 그래프는 특정 유형의 그래프의 틀에 고착되기보다는 그래프가 나타내는 구성 요소를 유지하는 범위 내에서 유연하게 시각적으로 변형되어 사용되고 있었다.

Figure 19. Examples of other mixed graphs(Kim & Moon et al., 2018a, p. 93; Choi et al., 2018a, p. 124)

6. 기타로 분류된 그래프 사용의 특징

기타로 분류된 그래프의 주요 특징은 전달하고자 하는 정보에 좀 더 초점을 맞출 수 있도록 그래프가 유연하게 변형되었다는 점이다. Figure 20의 첫 번째 그래프는 주요 국가별 고령화 현황을 나타낸 그래프이다. 언뜻 보기에 띠그래프나 겹막대그래프처럼 보이지만 각 나라별로 고령화 사회, 고령 사회, 초고령 사회로 진입된 시점과 고령화 사회, 고령 사회, 초고령 사회가 얼마나 지속되었는지를 보여주는데 효과적인 방식으로 그래프를 변형하여 나타내고 있다. Figure 20의 두 번째 그래프는 노년 부양비의 변화를 나타낸 그래프이다. 2015년도의 18%는 5명이 노인 1명을 부양함을, 2040년의 57%는 2명이 1명을 힘겹게 부양함을 시각적으로 표현하고 있다. Figure 20의 세 번째 그래프는 산모의 평균 출산연령을 나타낸 그래프이다. 산모의 평균 출산 연령이 높아지고 있음을 계단을 사용하여 표현하고 있다. Figure 20의 네 번째 그래프는 북한과남한의 석탄과 철광석 생산량을 비교하는 그래프이다. 축은 생략하고 그림의 크기를 다르게 하여 값을 제시하고 있다.

Figure 20. Examples of graphs classified as others(Kim & Park et al., 2018a, p. 224; p. 225; Choi et al., 2018b, p. 135; p. 210)

V. 논의 및 결론

1. 요약 및 논의

지금까지 중학교 사회 교과서에 제시되어 있는 통계 그래프를 종류별로 분류하고, 초등학교 수학 교과서에서 제시되어 있는 그래프의 원형을 기준으로 기본형과 변이형의 비중을 확인한 뒤, 각 종류별로 변이형이 지닌 특성을 유형화하였다. 연구 결과, 중학교 사회 교과서에 제시된그래프의 88.2%는 초등학교 수학과 교육과정에서 다루었던 것이었으며, 사용 빈도는 혼합형 그래프를 제외하면 막대그래프, 꺾은선그래프, 비율그래프, 그림그래프 순이었다. 그러나 대부분의 그래프가 초등학교 수학 교과서에서 제시된 정형화된 틀을 따르지 않고 다양한 방식으로 변형이 이루어져 사용되고 있었다.

막대그래프는 통계치가 직접 표기되는 대신 축이 생략되는 경우가 있었다. 이는 세로축을 읽을 때 범할 수 있는 오류에 대한 부담을 덜어줄 수 있고, 세로축의 값을 읽어내는 것보다 각 막대의 통계치를 이용해 자료를 분석하고 해석하는 활동에 주목하도록 한다는 데 의미가 있다. 또한, 자료의 맥락을 효과적으로 전달하기 위해, 혹은 시각적으로 시선을 끌기 위해, 또는 특정막대에 주목하도록 하는 등 다양한 목적에 의해 막대를 변형하는 경우가 있었다. 하나의 상황에서 두 가지 이상의 정보를 표현하기 위해 겹막대그래프, 누적형 막대그래프, 펼침형 막대그래프 등이 활용되는 사례도 확인할 수 있었다. 또한, 일반적으로 초등학교 수학과에서는 범주형자료를 나타내는 데에는 막대그래프, 수치형 자료의 시계열 변화를 나타내는 데에는 꺾은선그래프를 사용한다고 정형화하여 지도해왔으나, 중학교 사회 교과서에서는 막대그래프 역시 시간에 따른 변화를 나타내기 위한 목적으로 수치형 자료를 나타내는 데 활용되는 사례를 다수 확인할 수 있었다.

꺾은선그래프는 겹쳐서 그려도 서로를 가리지 않는다는 시각적인 특성으로 인해 다중변수를 표현하는 데 매우 활발하게 사용되었다. 이렇게 두 변량 또는 두 집단의 자료를 비교하는 활동은 실제로 자료집합에 대한 통계적 추리를 돕는다는 측면에서 교육적으로도 활용을 고려할 필요가 있다. 또한, 꺾은선그래프의 가로축과 세로축이 나타내는 변수가 대체로 등간척도이거나 비율척도이기 때문에, 경우에 따라서는 가로축또는 세로축에 해당하는 정확한 변량을 점 위에 표기하는 경우도 존재하였고, 이를 모든 점이 아니라 필요한 곳에 선택적으로 표기하는 경우도 있었다.

초등학교 수학 교과서에서 다루는 그림그래프는 예외 없이 단위를 나타내는 그림이 두 개 이상 사용되었으나, 중학교 사회 교과서에서는 그러한 경우를 찾아보기가 어려웠다. 대부분은 단위를 나타내는 그림을 하나만 이용하거나, 혹은그림의 개수가 아닌 크기로 통계치를 표현하였기 때문이다. 또한, 그림그래프에서도 두 가지이상의 정보를 표현하는 사례가 존재하였으며, 이러한 점에서 비추어볼 때 그림그래프는 초등학교 수학과에서 다루는 것과 중학교 사회과에서 사용되는 것 사이의 괴리가 매우 크다고 볼 수 있다.

원그래프는 원 대신 도넛 모양을 이용하여 가운데에 조사 주제나 총 도수를 제시하거나, 혹은맥락 정보를 반영한 형태로 원 모양의 틀을 변형하는 경우를 확인할 수 있었다. 띠그래프는 여러 개의 띠를 놓고 비율의 변화를 관찰하기에 용이하다는 장점으로 인해 여러 개의 조사 결과를 비교하는 형태로 주로 사용되었다. 초등학교수학 교과서에서 원그래프와 띠그래프는 모두 비율그래프로 분류되어 각 항목별 상대도수를 비율로 표기하는 경우만을 다루어왔으나, 중학교사회 교과서에서는 상대도수 대신 절대도수가 표기되는 경우도 확인할 수 있었다.

혼합형 그래프는 겹쳐 그려도 서로를 가리지 않는 막대그래프와 꺾은선그래프의 혼합이 가장 빈번하게 확인되었는데, 이때 막대의 눈금을 읽기 위한 축과 꺾은선의 눈금을 읽기 위한 축이 다른 경우가 있었으므로, 해석하는 과정에서 주의할 필요가 있다. 그 외의 혼합형 그래프, 그리고 인포그래픽을 비롯하여 기타로 분류된 그래프들은 대체로 그래프가 나타내고자 하는 구성 요소를 유지하는 범위 내에서 목적에 맞게끔 유연하게 변형되어 교과서에 제시되고 있었다.

2. 결론 및 제언

연구 결과에서 살펴본 바와 같이 중학교 사회 교과서에 등장하는 대부분의 그래프는 초등학교 수학과 교육과정에서 다루었다. 즉, 중학교 사회과에서 그래프를 읽고 해석하여 적절한 정보를 얻고 조직하고 활용하는 것의 기초는 초등학교 수학과에서 이루어진다고 볼 수 있다. 비록 초등학교 수학 수업에서 그래프는 통계적 소양 교육의 측면에서 볼 때 통계적 문제해결에서의 활용이 강조되어야 하지만, 각 종류별 그래프의 구성요소와 특징을 정확히 익히는 기초적인 기능(skill)을 외면해서도 안된다.

그러나 확인한 것처럼 중학교 사회 교과서에 등장하는 그래프의 시각적 특징과 활용 방식은 초등학교 수학 교과서와는 사뭇 다르다. 이러한점에 비추어볼 때, 초등학교 수학 수업에서 그래프의 지도가 정형화된 기능으로만 고착되는 것은 경계할 필요가 있다. 비록, 각 종류별 그래프의 구성 요소와 특징을 기능적 측면에서 학습하더라도, 이후에는 이를 바탕으로 다양한 맥락에 전이, 추론하는 유연성이 필요하기 때문이다. 이러한 유연성은 그래프의 시각적 직관성과 비형식성, 그리고 합목적성에 기인하므로, 이러한 측면에 비추어볼 때 초등학교 수학에서 다루는 그래프의 형태는 그 폭이 지금보다는 다소 넓어질 필요가 있어 보인다. 구체적으로 다음과 같이 제언하고자 한다.

첫째, 초등학교 수학 교과서에서는 ‘범주형 자료는 막대그래프, 시간에 따른 수치형 자료는 꺾은선그래프’를 사용하는 것으로 정형화하여 지도하고 있다. 그런데 여기에서 한발 더 나아가시간에 따른 수치형 자료를 나타내는 데 막대그래프가 적절하지 못하다, 혹은 꺾은선그래프가 더 낫다는 인식을 강요하는 것으로 보인다. 그러나 중학교 사회 교과서에서는 막대그래프 또한 꺾은선그래프처럼 시계열 자료를 나타내는 데 적극적으로 활용되고 있으며, 막대그래프를 이용하더라도 시간에 따른 자료의 변화를 확인하는 데 어려움이 없었다. 오히려 중학교 사회 교과서에 제시된 그래프의 예에 비추어보면, 꺾은선그래프는 막대그래프에 비해 다중변수를 표현하는 데 더 특화되어 사용되는 것으로 보인다.

현 2015 개정 수학과 교육과정에서는 성취기준 [4수05-03]과 [6수05-04]를 통해 자료의 특성과 목적에 적합한 그래프를 선택하는 소양을 강조하고 있으나, 이것이 마치 자료의 특성과 목적에 따라 사용해야 하는 그래프가 일대일대응이 되는 것처럼 인식되는 경우가 많다. 이를 극복하기 위해서는 실제 다양한 그래프를 활용하는 맥락에서 주관적인 상황과 편의에 따라 유연하게 적용할 수 있음을 이해하는 것이 필요하다. 이를위해 전술한 바와 같이 시계열 자료를 나타내는 막대그래프의 사례, 두 개 이상의 선을 겹쳐 그린 꺾은선그래프의 사례가 다루어질 수 있는 ‘여러 가지 그래프의 활용’과 관련된 단원이나 차시가 마련될 필요가 있어 보인다.

둘째, 중학교 사회 교과서에서의 그림그래프사례에서 볼 수 있듯이, 초등학교 수학 교과서에제시된 그림그래프는 실효성이 거의 없다. Figure 3에서 볼 수 있듯이, 현재 초등학교 수학교과서에 제시된 그림그래프의 공통적인 특징은 단위를 나타내는 그림이 두 종류 이상 사용된다는 것이다. 즉, 마치 단위가 두 개 이상 사용되어야 그림그래프인 것으로 인식될 우려가 있다. 하지만, 두 종류 이상의 단위를 나타내는 그림이 사용되는 그림그래프는 중학교 사회 교과서에 제시된 38개의 그림그래프 중 한 하나뿐이었다.

그림그래프의 실제 가치는 그림을 이용하여 조사한 주제나 내용과 같은 비수학적인 요소를 표현하는 데 있다. 즉, 그림그래프는 그래프의 시각적 특성에 대한 유연성, 특히 조사한 주제나 내용과 같은 비수학적인 요소를 드러내는 방식에 대해 정형화되어 있지 않은 융통성 있는 사고를 갖추도록 안내하는 목적으로 지도되어야 한다. 통계는 비결정론적 세계관 속에서 우연을 인정하고 불확실성을 다루는 학문이다. 무엇보다도 통계는 맥락의존적인 성격을 강하게 띠고 있으며, 그래프 역시 주어진 수치를 수학적으로 찾아 분석하는 것 외에 그 수치가 의미하는 바를통계적 문제해결의 맥락에 비추어 해석할 수 있어야 한다. 통계에서 사용되는 그래프는 통계 전문가를 위한 것이 아니라 일반인을 위한 것이기 때문에, 그래프에서는 조사 주제나 내용 등을 다양한 형식으로 드러내는 변형이 자주 이루어진다. 따라서 통계 포스터 만들기 활동 등 통계적 문제해결을 경험해보는 프로젝트 활동에서 단순한 수치 정보 외에 조사 주제와 같은 질적 정보를 그래프에서 어떻게 표현할 것인지에 대해, 학생들이 직접 고민해보는 경험이 필요하다고 할 수 있다.

셋째, 중학교 사회 교과서에 등장하는 모든 그래프의 형태를 초등학교 수학 교과서에서 다루는 것은 비현실적일뿐더러 바람직하지도 않다. 즉, 중학교 사회 교과서에 등장하는 수많은 변이형 그래프들을 초등학생들이 모두 경험할 필요는 없다. 그보다는 그래프가 시각적으로 얼마든지 변형될 수 있으며, 여러 가지 정보를 하나의 그래프에 담아내는 형식의 활용 또한 가능함을 초등학교 수학에서 인식할 필요가 있다. 그러나어떠한 시각적 변형이 이루어지더라도 공통적으로 그 그래프를 이루는 구성 요소는 필연적으로 존재할 수밖에 없기 때문에, 초등학교 수학에서 각 종류별로 그래프를 지도할 때 그 그래프를 이루는 구성 요소가 무엇인지에 주목하는 것으로 학습이 시작될 필요가 있다. 또한 앞서 선행연구 결과를 통해 언급했듯이 수량, 단위, 좌표등에 대한 이해 부족으로 사회 교과에서 그래프를 해석하는 데 어려움을 호소한다는 점을 고려했을 때, 초등학교 수학 교과에서 변이형 그래프를 통해 그래프에서의 수량, 단위, 좌표 등에 대한 이해를 견고히 하는 것도 고려해볼 필요가 있다. Figure 18과 같은 막대그래프와 꺾은선그래프의 혼합형 그래프는 막대의 눈금을 읽을 때 사용하는 축과 꺾은선의 눈금을 읽을 때 사용하는 축이 서로 다르다는 것, 하나의 그래프 상에서 단위가 서로 다르다는 것, 눈금 한 칸의 크기가 서로 다르다는 것 등을 고려하면서 그래프를 해석함으로써 수량, 단위, 좌표 등에 대한 기계적인 읽기 이상의 것을 필요로 한다.

Ⅱ장에서 확인한 바와 같이 그래프는 범례나 범주를 표현하는 요소, 변량이나 빈도를 표현하는 요소, 그리고 맥락을 드러내는 요소로 구성되어 있다(Tak & Kim, 2020). 그래프에 담긴 통계정보를 읽어낼 수 있음에 그치지 않고, 그래프읽기 과정을 반성적으로 되돌아보면서 그래프의 시각적 형태로부터 구성 요소를 찾아보는 경험이 초등학생들에게 필요하다고 볼 수 있다. 중학교 사회 교과서에 제시된 그래프 중에는 축이 없거나 심지어는 제시되어야 하는 물결선이 존재하지 않는 등, 구성 요소의 일부가 생략되는경우가 있는데, 이러한 생략이 의미하는 바를 그래프 해석의 관점에 비추어 되짚어볼 필요가 있다. 다만, 이를 위해서는 그래프를 이루는 구성요소의 형태가 최대한 단순할 필요가 있다. 현재초등학교 수학 교과서에 제시되어 있는 대다수의 그래프들이 교수학적인 이유에 의해 다소 복잡하고 정형화된 틀을 사용하고 있는데(Tak, 2020), 적어도 그 그래프를 학습하는 단원에서만큼은 틀이 간소화되어 형태가 변할 수 있음을 경험하는 것이 필요하다.

본 연구에서는 중학교 사회 교과서에 제시된 그래프를 분석하여 초등학교 그래프 지도에 대한 제언을 도출하였으나, 실제로 이러한 제언이좀 더 구체화되고 현실적인 것으로 다듬어지기 위해서는 실제 그래프를 해석하고 활용하는 학생들의 통계적 소양에 어떠한 영향을 미치는지에 대한 후속 연구가 필요할 것으로 보인다. 만약 이러한 후속 연구가 이루어져 그래프를, 나아가 통계적 사고에 필요한 유연성과 융통성을 기르는 방안이 제시된다면, 이는 수학 교수․학습뿐만 아니라 사회, 과학 등 여러 가지 그래프와 통계 정보를 활용하는 타 교과의 교수․학습에도 유의미한 시사점을 제공할 수 있을 것으로 기대된다.

Footnote

2) 성별, 계절과 같이 범주가 다르다는 것만 나타내는 척도는 명목척도이고, 학년, 석차와 같이 대상의 순위 관계에 대한 정보를 포함하는 척도는 순서척도이다. 온도, 시력과 같이 등간격의 속성을 가지고는 있으나비율로 해석할 수 없는 척도(예: 20℃를 10℃의 두 배로 해석할 수 없다)는 구간척도이고, 길이나 무게와같이 비율에 대한 정보를 담고 있으면서 절대 영점(0이 실제로 아무 것도 없음을 의미)을 가지고 사칙연산이 가능한 척도는 비율척도이다(Lee et al., 2020, pp. 21-23).

Fig 1.

Figure 1. Examples of statistical graphs in elementary and middle school social studies textbooks(MOE, 2014, p. 49; Choi et al., 2018b, p. 13).
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Fig 2.

Figure 2. An example and nonexample of thematic maps classified as statistical graphs in this study(Kim & Park et al., 2018a, p. 117; Kim & Park et al., 2018b, p. 85)
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Fig 3.

Figure 3. Examples of pictographs in elementary school mathematics textbooks(MOE, 2018a, p. 131; MOE, 2019, p. 94)
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Fig 4.

Figure 4. Examples of bar-graphs, line-graphs, circle-graphs, and band-graphs in elementary school mathematics textbooks(MOE, 2018b, p. 100; p. 101; MOE, 2019, p. 106; p. 107)
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Fig 5.

Figure 5. Examples of bar graphs omitted an axis(Kim & Park et al., 2018a, p. 191; Park et al., 2018a, p. 23)
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Fig 6.

Figure 6. Examples of bar graphs with changed bars(Kim & Park et al., 2018b, p. 171; Mo et al., 2018a, p. 107)
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Fig 7.

Figure 7. Examples of bar graphs representing multi-variables(Choi et al., 2018b, p. 191; Koo et al., 2018a, p. 229; Lee & Kwon et al., 2018b, p. 133)
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Fig 8.

Figure 8. Examples of line graphs representing multi-variables(Kim & Park et al., 2018a, p. 33; Park et al., 2018b, p. 230)
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Fig 9.

Figure 9. Examples of line graphs marked values(Choi et al., 2018b, p. 89; Lee & Kwon et al., 2018a, p. 229)
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Fig 10.

Figure 10. Examples of other variant line graphs(Koo et al., 2018b, p. 87; Lee & Kwon et al., 2018a, p. 229)
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Fig 11.

Figure 11. Examples of pictographs using only one unit icon(Koo et al., 2018b, p. 129; Park et al., 2018a, p. 112)
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Fig 12.

Figure 12. Examples of pictographs using the sizes of icons for representing values(Park et al., 2018b, p. 132; p. 131)
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Fig 13.

Figure 13. Examples of pictographs representing multi-variables(Mo et al., 2018b, p. 148; p. 166)
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Fig 14.

Figure 14. Examples of circle graphs with changed circles(Koo et al., 2018b, p. 140; Mo et al., 2018b, p. 179)
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Fig 15.

Figure 15. Examples of circle graphs representing contexts(Lee & Kwon et al., 2018a, p. 178; Lee & Kwon et al., 2018b, p. 235)
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Fig 16.

Figure 16. Examples of band graphs representing multi-variables(Kim & Park et al., 2018a, p. 225; Kim & Park et al., 2018b, p. 136)
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Fig 17.

Figure 17. Examples of ratio graphs marked frequencies(Lee & Cho et al., 2018a, p. 94; Choi et al., 2018b, p. 131)
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Fig 18.

Figure 18. Examples mixed bar graphs and line graphs(Mo et al., 2018a, p. 39; Choi et al., 2018b, p. 225)
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Fig 19.

Figure 19. Examples of other mixed graphs(Kim & Moon et al., 2018a, p. 93; Choi et al., 2018a, p. 124)
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Fig 20.

Figure 20. Examples of graphs classified as others(Kim & Park et al., 2018a, p. 224; p. 225; Choi et al., 2018b, p. 135; p. 210)
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Table 1 When each type of graphs are introduced by elementary school mathematics curriculum

교육과정교과서그래프 유형
1~2학년군2학년 2학기O, X, /를 이용한 그래프
3~4학년군3학년 2학기(표 형태의) 그림그래프
4학년 1학기막대그래프
4학년 2학기꺾은선그래프
5~6학년군6학년 1학기(지도 형태의) 그림그래프
띠그래프
원그래프

Table 2 Frequency of types of statistical graphs in middle school social textbooks

막대꺾은선그림비율혼합형기타합계
사회①5826163610123260
사회②108762235842291
합계 (%)166 (30.1)102 (18.5)38 (6.9)71 (12.9)109 (19.8)65 (11.8)551 (100.1)

Table 3 Frequency of basic types and variant types of bar graphs in middle school social textbooks

구분사회①사회②합계(%)
기본형131326(15.7)
변이형4595140(84.3)
합계58108166(100.0)

Table 4 Frequency of basic types and variant types of line graphs in middle school social textbooks

구분사회①사회②합계(%)
기본형72027(26.5)
변이형195675(73.5)
합계2676102(100.0)

Table 5 Frequency of basic types and variant types of pictographs in middle school social textbooks

구분사회①사회②합계(%)
기본형101(2.6)
변이형152237(97.4)
합계162238(100.0)

Table 6 Frequency of circle graphs and band graphs as ratio graphs in middle school social textbooks

구분사회①사회②합계(%)
원그래프282553(74.6)
띠그래프81018(25.4)
합계363571(100.0)

Table 7 Frequency of basic types and variant types of ratio graphs in middle school social textbooks

구분사회①사회②합계(%)
기본형8513(18.3)
변이형283058(81.7)
합계363571(100.0)

Table 8 Frequency of types of mixed graphs in middle school social textbooks

구분사회①사회②합계(%)
막대+꺾은선988106(97.2)
막대+원101(0.9)
원+띠202(1.8)
합계1018109(100.0)

References

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Journal Info

Korea Society of Education Studies in Mathematics

Vol.32 No.2
2020-11-30

pISSN 2288-7733
eISSN 2288-8357

Frequency : Quarterly

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