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전자저널 논문

2020; 30(1): 1-17

Published online February 28, 2020 https://doi.org/10.29275/jerm.2020.02.30.1.1

Copyright © Korea Society of Education Studies in Mathematics.

A Semiotic Analysis of the Characteristics of Communicational Thinking in Collaborative Problem Solving

협력적 문제 해결을 위한 소통적 사고의 특성에 대한 기호학적 분석1)

Su Min Kim1, Sun Hee Kim2

* Lecturer, Kangwon National University, South Korea, tnt3030@hanmail.net
** Professor, Kangwon National University, South Korea, mathsun@kangwon.ac.kr

*강원대학교 강사, **강원대학교 교수

Correspondence to:corresponding author
1) 이 논문은 김수민의 박사학위논문의 일부를 요약, 정리한 것임.

Received: December 31, 2019; Revised: February 4, 2020; Accepted: February 12, 2020

The purpose of this study was to analyze the characteristics of communicational thinking in successful collaborative problem solving. In collaborative problem solving communication, the sender and receiver infer meaning to all mathematical objects and interpret them. From the semiotic perspective, this study reached the following results by analyzing the interpretants formed from the objects. First, in the early stages of problem solving, immediate interpretant were formed from the communicational thinking of students’ guesses, hypotheses, and perceptions, revealing the purpose-oriented characteristics of communicational thinking. Second, many dynamic interpretants were made in the communicational thinking, allowing the sign to perform practically. Third, the final interpretant obtained as a result of the students’ communicational thinking confirmed that the problem solving result has a universal character that can be recognized by anyone. Based on these findings, it is suggested that teachers must design tasks that allow them to use a variety of mathematical approaches on their own. And it is suggested that affective as well as cognitive domain should be achieved and that studies to examine students’ thinking process by applying semiotics should be activated.

Keywordscommunicational thinking, oriented characteristics, interpretant, semiotics, collaborative problem solving

문제 해결은 수학을 가르치고 배우는 방법이 됨과 동시에, 그 활동 자체가 수학적 사고 활동의 본질이고 수학을 가르치고 배우는 목적이며 수학교육의 요체이다(Paik, 2016, p. 8). 최근의 수학교육 동향은 협력적 문제 해결을 강조하면서 학생들이 동료와 함께 문제를 해결해 나가는 과정을 중시한다. 협력적 문제 해결 상황에서 학생들은 혼자만의 사고뿐 아니라 동료 학생과의 상호작용을 통해 사고를 발전시키며, 이 상호작용에서 학생들 간의 의사소통은 사고와 밀접한 관련이 있다. 즉 사고를 통해 소통이 일어나고 소통의 결과로 사고가 진행된다. 본 연구는 문제해결에서 학생들의 소통과 사고를 동떨어져 생각할 수 없다는 점에서 이를 소통적 사고라 칭하고, 이 소통적 사고에서 학생들이 어떤 해석체를 생성하는지를 기호학적으로 분석하여 성공적인 문제 해결을 이끄는 소통적 사고의 특성을 살펴보고자 한다.

해석체는 Peirce의 기호학에서 등장한 것으로, Peirce는 대상체, 표현체, 해석체의 삼원론적 관계를 가지고 사고 과정과 인간을 둘러싼 주변의 모든 사물과 현상을 설명하려 하였다. 선행 연구에서 기호학은 사고 활동에 초점을 맞춰 학생들이 수학을 어떻게 다루고, 어떤 방법으로 이해하고, 어떻게 사용하는지 등을 분석하는 도구로 사용되었다(Kim, 2004; Lee, 2016; Perry et al., 2016; Presmeg, 2002, 2006; Sáenz-Ludlow & Kadunz, 2016; Sáenz-Ludlow & Zellweger, 2016; Schreiber, 2016). 하지만 대부분 개념 형성을 설명한 연구가 이루어져(Dubinsky, 1986; Font, Godino & Gallardo, 2013; Gray & Tall, 1994; Sfard, 1991) 학생들의 문제 해결 활동에서의 사고를미시적으로 살피는 연구는 발전하지 못했다.

Kim & Kim(2018)은 기호의 삼원체가 반드시독립된 관계를 갖는 것은 아니며, 고정된 하나의표현체로 여러 대상체들이 발생하는 과정을 통해 학생들의 의사소통을 세밀하게 분석하는 것이 가능함을 알려주었다. 특히 의사소통에서 기호 운반체의 해석을 통해 만들어진 대상체를 직접적 대상체(io; immediate object), 역동적 대상체(do; dynamic object), 실제 대상체(ro: real object)로 구분하여(Sáenz-Ludlow & Zellweger, 2016), 문제 해결 단계의 의사소통 유형에 따라대상체가 어떻게 형성되는지를 분석하였다. 하지만 이들의 연구는 삼원론적 관계에서 대상체에만 집중하였기 때문에 성공적인 문제 해결을 위해 소통적 사고가 어떤 특성을 갖는지는 설명하지 못하였다. 사고를 통해 문제 해결이 일어난다고 가정했을 때, 사고를 이끌고 사고를 유발하는것이 무엇인지 파악한다면 문제 해결의 성공에 대한 파악이 가능하며, 본 연구는 이를 해석체로설명해 보고자 한다.

해석체는 일반적으로 기호의 번역이라고 할 수 있다(Liszka, 1996/2013, p. 78). 기호는 더 충분하게 발전되는 다른 기호로 번역할 수 있어야 기호가 된다(CP 5.594). 모든 사고가 연속적으로기호로 번역되거나 해석된다는 법칙에 예외란 없다(CP 5.284). Kim & Kim(2018)에서는 문제 해결과 실행 단계에서 생성된 여러 가지 대상체가 문제 해결의 방향을 정해주는 역할을 하였음을 확인하였고, 해석체는 여러 가지 대상체를 품는 것으로 대상체 형성 모델을 제안하였다. 그렇다면 여러 가지 대상체를 종합하여 어떤 해석체가 생겨나는지를 살펴봄으로써 기호가 어떻게번역되는지 파악하고, 이것이 성공적인 문제 해결을 어떻게 이끌었는지 설명할 수 있을 것이다.이에 본 연구는 대학생들이 협력적 문제 해결을하는 상황에서 나타나는 해석체를 분석하여, 성공적인 문제 해결로 이끄는 소통적 사고의 특성을 파악하고자 한다.

이 장에서는 본 연구를 위해 소통적 사고를 정의하고 Peirce의 기호학에서 설명하는 해석체를 자세히 살펴봄으로써, 학생들의 소통적 사고를 미시적으로 분석할 수 있는 이론적 틀을 제시한다.

1. 소통적 사고

의사소통은 단순한 언어의 교환을 의미하지 않기 때문에 이에 대한 의미를 알기 위한 다양한 연구들이 있어 왔다(Maturana & Varela, 1987; Na, 2000; Schramm & Porter, 1982/1990). 본 연구에서는 의사소통을 현상학적 관점으로 접근한 Takeda(2001/2005)의 ‘언어적 행위’에 주목하였다. Takeda는 언어적 행위의 ‘출발’을 대상(사실, 사태)의 이해로 보았다. 발신자가 자신이 처한 상황을 얼마나 잘 이해하고 이를 어떻게 표현할 수 있느냐에 대한 인식의 문제를 의사소통의 출발로 본 것이다. 언어적 행위의 두 번째 단계는발신자가 표현한 언어의 의미가 수신자에게 전달되는 의미 전달이고, 세 번째 단계는 수신자가대상의 의미를 해석하는 의미 해석이다. 이 과정은 Peirce의 대상체와 기호 운반체와 연결된다. Peirce의 직접적 대상체는 발신자가 갖는 의도이며, 이것은 Takeda의 언어적 행위의 출발이 되는인식의 문제이다. 그리고 발신자의 의도를 품고수신자에게 전달되는 기호 운반체는 Takeda의언어 표현인 의미 전달이 된다. 전달된 기호 운반체를 통해 수신자가 자신만의 경험으로 한정하여 형성하는 역동적 대상체는 Takeda의 의미해석이 된다. 이는 의사소통의 과정을 언어적 행위와 기호학적 측면으로 통합하여 해석하는 것이 가능함을 시사한다. 즉 언어를 통해 드러나는사고 과정을 의사소통으로도 분석하는 것이 가능하다는 것이다.

한편, Sfard(2001, 2008, 2012, 2015)는 수학 수업에 참여하는 학생들이 다양한 언어적, 비언어적 행위를 통해 의사소통을 하면서 자신의 사고를 변경·확장한다고 하였다. 여기서 사고는 의사소통의 개별화된 형태이며 자신과의 대화이고, 의사소통에서 발신자와 수신자가 반드시 분리될 필요는 없다. 의사소통은 한 개인 내에서 또는개인 간에서 이루어질 수 있으며, 우리는 의사소통을 통해 사고를 관찰할 수 있다. 본 연구는 이를 사고와 소통을 결합한 소통적 사고라고 지칭하고, ‘수학 문제 해결에서 수신자와 발신자가 의미를 생성하고 전달하고 해석하는 언어적 활동’ 으로 정의한다(Kim, 2019).

2. Peirce의 기호학

Peirce는 세상 만물을 기호로 보고 기호를 세가지 측면으로 정리하였다(Liszka, 1996/2013). 첫번째는 기호 문법이다. 기호 문법은 기호가 되기위한 조건으로 표현체, 대상체, 해석체의 구성요소들을 말한다. 두 번째는 비판 논리학이다. 기호는 기호를 사용하는 방식이 있는데, 비판 논리학은 기호로 어떻게 사고하는지와 관련된 것을 다룬다. 즉 우리가 무언가를 사고할 때 추론하는 방법인 연역, 귀납, 가추가 비판 논리학에속하는 기호의 사용 방식이다. 세 번째는 보편수사학이다. 기호는 공동체에서 소통하고 의사를표시하는 데 사용된다. 기호를 사용하는 방식에대한 연구가 보편 수사학이다. 기호로 발생되는 의미는 다시 기호가 되어 한 사람의 정신에서 다른 사람의 정신으로 전달되는데, 이런 의사소통의 기능이 기호의 가장 필수적인 조건이다.

본 연구는 기호의 세 가지 측면 중에서 마지막 보편 수사학의 관점으로 수학적 문제 해결의 과정을 분석할 것이다. 보편 수사학 관점으로 살펴보기 위해서는 표현체, 대상체, 해석체를 구분하는 기존의 삼원론을 넘어서는 체계가 필요하다. 이에 Peirce의 파네론에 근거하여, 해석체를분류하고 이를 소통적 사고의 분석에 적용할 수 있는 체계를 살피고자 한다.

가. 파네론(Phaneron)

파네론은 ‘보이는 것’을 의미하는 그리스어이다(Kim, 2006). Peirce는 자신만의 철학으로 기호를범주화하였는데, 그것을 뒷받침하는 이론이 파네론이다. 파네론은 현상학의 일종이지만 현상학으로 대표되는 Husserl과는 차이가 있다. Husserl의현상학은 지금 현재의 존재론적 의미를 사태로 설명하려는 ‘환원’의 의미이고, Peirce는 존재하는것에 대한 ‘관찰’의 의미이다. 즉 무엇이든지 존재하고 있다면 그 존재로 인해 나는 관찰하는 것이 가능하다. 이것이 Peirce의 파네론의 시작이다. Peirce에게 파네론은 기호의 가장 일반적인 범주를 만드는 것이 목적이기 때문에 현상학적 관찰이 파네론을 설명하기 위한 초석이 된다.

파네론을 토대로 Perice는 기호를 일차성, 이차성, 삼차성의 세 가지 범주로 구분하였다. 일차성은 인간의 관념과는 무관하게 존재하는 것이다. 즉 관찰의 시작이다. 이차성은 일차성에 대한 관념을 제거하지 않으면서 일차성 없이는 존재할 수 없다. 즉 관계, 종속, 독립, 발생, 결과같은 사실로 나타난다. 삼차성은 일차성과 이차성의 관계를 통해 구성되는 것으로 사고와 밀접하게 관련되어 있고, 세 범주를 통합시키는 역할을 한다(Cho, 2014). 예를 들어, “불이 났다. 불이나서 집이 탔다. 불이 나서 집이 탔고, 집주인은재산을 잃었을 것이다”. 이 문장을 통해 일차성, 이차성, 삼차성을 볼 수 있다. ‘불이 났다’는 것은 일차성의 범주에 속한다. 실제적인 것으로, 관찰을 통해 인지할 수 있다. ‘불이 나서 집이탔다’는 인과 관계를 통해 얻어지는 문장이며, 이차성이다. ‘불이 나서 집이 탔고 집주인은 재산을 잃었을 것이다’는 일차성과 이차성의 관계를 통해 관찰자가 얻어낸 결론이다. 즉 해석의결과로 얻어낸 파네론의 삼차성이 된다.

나. 해석체

해석체는 Peirce에게 있어서 가장 중요한 기호의 구성 요소이다. 보편 수사학의 측면에서 대상체와 표현체는 해석체를 한정하는 데 필요한 부수적인 요건들에 불과하다. 소통적 사고의 과정적 측면에서 발신자의 의도, 발신자의 의도를 품고 전달되는 기호 운반체, 기호 운반체를 통한해석은 모두 해석체 형성에 관여한다.

파네론에 의해 Peirce는 해석체를 세 가지로구분하였다. 일차성의 성질을 갖는 직접적 해석체(ii; immediate interpretant)는 기호로 인해 생산된 바로 그 최초의 느낌이며, 분석 이전의 효과이다(CP 5.475). 예를 들어 누군가를 처음 만났을 때 첫인상이나 어떤 음악을 처음 들었을 때 받았던 느낌은 논리적으로 설명할 수 없는 것이다. 역동적 해석체(di; dynamic interpretant)는 기호가 해석자에게 가하는 작용으로 나타나는 효과이다. 즉 구체적이고 실제적인 효과이며, 이차성의 성질을 갖는다. 예를 들어, 고속도로를 달리고 있을 때 과속 감지 카메라를 보고 속도를 줄이는 행동, 옆 사람이 고함을 쳤을 때 그 소리를 듣고 깜짝 놀라 벌떡 일어난다면 역동적 해석체가 형성된 기호의 효과로 얻어진 결과이다. 즉 어떤 행동을 직접적으로 이끌어낸다(CP 5.475). 최종적 해석체(fi; final interpretant)는 해석자에게 미치는 규칙이나 법칙과 같은 것으로 습관적이고 의도된, 형식적인 성격을 갖는다. 이것은 기호 번역의 결과물이다(Liszka, 1996/2013).

즉각적으로 떠오르는 무언가는 일차성에 속하며 직접적 해석체를 형성하게 하고, 해석자의 수동적이거나 능동적인 결과물로 얻어지는 기호의 산물은 이차성인 역동적 해석체를 형성하게 하며, 기호와 관계적 성질을 통해 모든 기호 해석의 완성으로 그리고 상황적 맥락의 한정으로 생성되는 사고의 결론은 삼차성의 산물이며 최종적 해석체를 형성하게 한다.

1. 연구 대상

연구 대상은 K대학교 사범대학 수학교육과 1학년 학생E, 학생N, 학생R의 3명이다. 이들은 평소 친한 사이로 활발한 소통적 사고를 보여주었다. 협력적 문제 해결에서 학생N은 문제 해결을위한 적극적인 모습을 보이지는 않았지만, 동료학생들의 의견을 들어주고 의견을 묻는 역할을 주로 하였다. 학생E는 평소 수학을 좋아하고 수학교사로서 사명감이 있는 학생이다. 실험 과정에서도 적극적으로 문제를 해결하려는 노력을 많이 하였고, 자신이 가진 사전 지식을 많이 활용하는 모습을 보였다. 학생R는 수학보다는 과학 분야에 관심이 많은 학생이지만 수학을 싫어하거나 기피하는 것은 아니며 앞으로 교사로서 학생들에게 어떤 것을 가르쳐야 하는지에 대한 생각이 많았다. 이들에게 실험에 대한 전반적인설명과 목적을 설명해 주었고 학생과 학부모의 동의 하에 실험이 진행되었다.

2. 실험 과제

비판적 수학교육에서는 이 세상의 모든 것들이 수학 문제가 될 수 있다(Wager & Stinson, 2012). 이에 연구자는 수학이 보이지 않는 신문기사를 각색하여 학생들에게 과제를 제시하였다.신문기사를 읽고 생각을 표현하게 하고 그들이문제를 해결하기 위해 어떤 소통적 사고를 하는지 살펴본 뒤, 탄소 반감기와 관련된 내용 또는수학과 과학의 외적 연결성을 살피는 소통적 사고가 드러나게 되었을 때 연구자가 문제를 해결하기 위한 자료를 제시하는 과정으로 실험을 설계하였다. Figure 1은 학생들에게 제시된 신문기사와 문제이다. 학생들은 기사를 읽고 기사에서밝힌 외치맨의 사망년도를 어떻게 추정할 수 있는지를 알아내야 한다.

Figure 1.Oetzi task for students (Kim, 2019, p. 62)

이 문제는 1계 선형미분방정식의 풀이 중 변수분리 문제로 자주 제시된다(Kreyszig, 2010). 실험에 참가한 학생들은 변수분리법을 배우기 전이므로 시간을 t, 방사성 물질의 양을 y라 하였을 때, y'(t)=-ky(t)(k>0)을 통해 식 y'(t)y(t)=k(k>0)을 이용하여 적분을 할 것으로 예상되었다. 방사성 원소의 반감기에 대한 개념과 시간과 방사성 물질의 변화량에 대한 원리를 이해한다면 기초 미분적분학 지식만으로도 문제 해결이 가능하다. Figure 2는 문제 해결을 위해필요한 정보를 담은 자료이다. 문제 해결 중간에이를 학생들에게 제시하였다.

Figure 2.Data for students (Kim, 2019, p. 63)

문제의 타당성 검증을 위해 수학과 박사과정 수료자 2명과 수학교육과 박사과정 수료자 1명에게 문제의 적합성을 검토받았다. 과학 분야에대한 부분은 공대 박사과정 1명에게 자문을 구하였다.

3. 연구 절차

방해를 받지 않고 집중할 수 있는 시ㆍ공간적 환경에서 실험을 하였고, 협력적 문제 해결의 소요시간은 약 1시간 40분 정도였다. Table 1은 연구 절차를 나타낸 것이다.

Table 1 Research procedure (Kim, 2019, p. 65)

연구 절차시기수집 자료
외치맨 실험 문제 설계2018. 04문제 선정, 문제 검토 의뢰, 학생 선정
외치맨 과제 실험2018. 5. 14영상, 음성 녹음, 활동지
외치맨 과제 전사2018. 5. 14 - 20학생들의 음성 자료 파일
외치맨 과제 학생 면담2018. 5. 21, 25학생들의 음성 자료 파일
외치맨 과제 해석체 분석2018. 05 - 2018. 08사례를 통한 해석체 분석


연구자는 실험에 참여하는 학생들에게 자신이 생각하고 있는 모든 것을 되도록 말로 표현하도록 요청하였다. 실험 상황은 학생들의 대화가 주를 이루었고, 연구자는 참여 학생들이 서로 의견을 주고받다가 문제 해결에 대한 진행이 전혀 이루어지지 않고 침묵의 시간이 길어지는 경우나 문제 해결의 진척이 전혀 이루어지지 않는경우에 연구 진행을 위한 발문을 하는 정도로 관여하였다.

실험 상황을 기록하기 위해 학생들의 목소리를 녹음하는 보이스레코더, 학생 활동 전체를 영상으로 촬영하는 태블릿을 사용하였다. 실험 중에 연구에 의미가 있다고 생각되는 학생들의 특정한 발언이나 연구자의 관찰만으로는 판단할 수 없는 내용 등을 현장에서 기록하였다. 학생들이 문제를 수행하면서 사용한 활동지도 문제 분석을 위해 수집하였다.

실험이 끝난 직후 연구자는 녹음된 음성 파일과 촬영 영상을 반복하여 보고 들으면서 전사하였다. 연구 분석을 위해 연구자의 판단만으로 해석할 수 없는 의문이 드는 내용은 녹화된 영상과 현장에서 관찰하며 기록한 기록물을 통해 다시 검증하는 단계를 거쳤고, 마지막으로 학생들과의 개인 면담을 통해 확인하였다. 개인 면담은실험에 대한 기억이 되도록 잊히지 않는다고 판단되는 실험 후 일주일 이내에 이루어졌다. 면담은 연구자가 작성한 전사 자료를 토대로 하여 ‘왜 그런 발언을 했는지, 어떤 생각으로 그렇게말했는지, 상대 학생의 발언이 자신의 생각에 어떤 영향을 미치지는 않았는지’ 등과 같이 학생들의 사고 과정이나 생각을 구체적으로 질문하였다. 연구자의 주관적인 해석에 따른 분석을 막기 위해 음성과 영상 자료(전사 자료), 관찰 기록물, 학생들의 활동지, 학생과의 개인 면담으로여러 측면에서 객관성을 확보할 수 있었다(Yin, 2014/2016).

4. 분석 도구

분석 도구는 Kim & Kim(2018)에 제시된 대상체 형성 모델을 기반으로 하며, 소통적 사고의분석틀은 Figure 3과 같다. 이 틀은 수학 교실상황에서 학생들의 소통적 사고를 분석할 수 있도록 발신자와 수신자의 관계를 통해 대상체(io, do), 기호 운반체(sv), 해석체(ii di, fi)의 관계를보여준다.

Figure 3.Analytical framework of communicational thinking (Kim & Kim, 2018, p. 135)

소통적 사고의 분석 틀은 발신자의 의미 생성에서 만들어진 해석체와 수신자가 발신자의 기호 운반체를 해석하는 과정에서 나타난 해석체를 보여준다. 발신자는 대상의 해석으로 직접적대상체(io)를 형성하고 그 의미를 기호 운반체(sv)로 표현한다. 수신자는 전달받은 기호 운반체를 해석하여 자신의 역동적 대상체(do)를 만들어낸다. 해석자의 대상의 해석으로 형성된 직접적대상체와 이를 암호화하는 기호 운반체에 대한 해석으로 형성된 해석자의 역동적 대상체가 해석체를 이루게 된다. 따라서 해석체 안에 역동적대상체와 직접적 대상체가 자리할 수 있다. 때로는 직접적 대상체가 역동적 대상체에 포함되기도 하고 일치하기도 한다(Kim & Kim, 2018). 수신자가 역동적 대상체를 만들 때 직접적 대상체와 독립적인 무언가를 창조하지는 않기 때문이다. 해석체는 대상의 해석 결과로, 발신자와 수신자가 동일할 경우 하나로 합쳐져서 나타나며, 동일하게 형성되지 못하는 경우는 분리되어 나타난다.

소통적 사고의 분석 틀은 발신자가 처한 상황에서 대상에 대한 의미를 생성하고, 그 의미를수신자에게 기호 운반체로 전달하고, 발신자의기호 운반체를 수신자 입장에서 어떻게 받아들이는지에 대한 기호의 해석 활동이 어떻게 이루어지는지를 보여줄 수 있다.

이 장에서는 학생들이 과제를 협력적으로 해결하면서 등장한 직접적 해석체, 역동적 해석체, 최종적 해석체의 사례를 하나씩 제시하고, 각 해석체가 문제 해결의 성공을 위해 어떤 특성을 나타냈는지 보여준다.

1. 직접적 해석체 사례

학생들은 외치맨 과제를 읽고 난 뒤 문제를 읽으면서 떠올랐던 것들을 소통하였다.

9. 학생R: 하하하 그냥 뺀 줄 알았어. 아...어떻게 찾아냈는지~ 아하!!! 나는 생각을 했던 게 이 사람들이 과학자들이 얘는 타박상을 입었네. 화상을 입었네. 라고 말할 수 있는 건. 이 사람 몸에 상처가 남았는데 이 사람은 꽁꽁 얼었으니까 보존이 됐겠지. 얼어가지고어느 정도 보존이 될 수 있는지 사람이 얼었는데 어느 정도 보존이 될 수 있는지는 지금 냉동인간 같은 거 나오고 있는 상태에서는 그게 다 연구가 됐을 거라고 생각했단 말이야. 그러니까 그런 지식이 있으면 구할 수있지 않을까 생각을 했어.

10. 학생N: 응. 근데 이거를 풀 때 그냥 수학적인 것 갖고 푼 건가?

학생R는 자신의 생각을 공표하지만 다른 학생들의 동의를 얻지 못하였다. 다른 학생들은 학생R의 발언이 끝났음에도 불구하고 학생R의 의견에 동의하지 않고, 어떻게 해결해야 할지에 대해개인적인 질문만 하였다. 학생R와 학생N의 의견은 연결되지 않아 대화가 완성되지 못하였다. 학생R의 소통적 사고가 어떻게 이루어지는지Figure 4로 나타내본다.

Figure 4.Communicational thinking of student R forming immediate interpretant (Kim, 2019, p. 92)

외치맨 과제는 문제 자체로서 의도를 가지며, 학생들에게 외치맨이 살았던 연대를 알아내라는 목표를 부여한다. 그리고 기사의 여러 가지 조건들을 기호 운반체로 학생들에게 보낸다. 즉 외치맨 과제는 발신자가 되고, 학생들은 수신자의 입장에서 발신자가 보내는 기호 운반체들을 통해 그 의도를 파악하고 해석해야 한다. 외치맨 과제의 직접적 대상체(io)는 기사에 제시된 외치맨이 살았던 시대가 5300여 년 전이라는 것을 어떻게알아낼 수 있는지 그 해결 방법을 학생들에게 묻는 것이었다. 학생R는 발신자인 외치맨 과제가 보내는 기호 운반체(sv; 외치맨에 관한 기사자료)를 대상으로 하여, 기호 운반체(sv)의 여러가지 측면 중에서 ‘냉동 인간’이라는 것에 초점을 두고 생물학적 지식으로 해결할 수 있을 것이라는 한정의 결과로 역동적 대상체(do)를 형성한다. 즉 학생R의 소통적 사고는 발신자가 보내는 기호 운반체(sv) 중에서 ‘냉동 인간’이라는 대상에 의미를 부여하여 자신의 경험적 지식으로과학자들이 알아낸 생물학적인 어떤 정보가 필요하다는 결론에 이른 것이다. 학생R에게 전달된 외치맨 과제의 기호 운반체(sv)는 소통적 사고를 하는 데 있어서 변하지 않는 의미로 학생들에게 전달되고, 학생R뿐만 아니라 나머지 두명의 학생들에게도 기호 운반체(sv)로 계속 작용하게 되었다. 그러나 학생R이 선택한 기호 운반체(sv)의 의미 해석으로 형성된 역동적 대상체(do)는 학생R의 소통적 사고가 진전되는 방향으로 발전되지 못하였다. 이 상황에서 소통적 사고가 어떻게 발생하였는지는 확인할 수 있으나, 그소통적 사고가 발전적인 양상을 보이지 못한다는 것도 확인할 수 있다. 주어진 대상의 해석을수학이 아닌 비수학적 상황에서 끌어내려고 했기 때문에 학생들 모두 문제 해결에 어려움을겪게 되었다.

학생R의 소통적 사고는 다른 학생들의 동의를얻지 못하였고, 문제를 해결하기 위한 여러 가지방법 중 생물학적 지식으로 해결할 수 있다는 추측에만 머물렀다. 이 추측은 문제에 대한 어떤구체적인 해결 방법이나 행동을 유발하지 못하였고 다만 생물학적 지식이 쓰일 수 있다는 가능성을 생각해내게 하였다. 문제 이해 단계에서구체적인 인과 관계나 해결을 위한 논리는 없이 문제에 대한 전체적인 느낌이나 문제가 학생들에게 주는 막연함만 강하게 드러났다. 즉 분석되지 않은 초기 상태의 온전함에서 즉각적으로 관련성을 갖고 일어날 수 있는 결과가 강한 일차성의 성격이 나타나(De Waal, 2013, p. 136), 학생R의 역동적 대상체(do)는 직접적 해석체(ii)를형성했다고 할 수 있다. 학생R는 수학적이지 않은 상황에서 수학적인 요소를 찾아가고자 하는 소통적 사고를 하였다. 이 과정에서 일차성의 성격을 갖는 직접적 해석체(ii)를 형성하게 되었는데, 수학적으로 무언가를 해결하겠다는 목적을갖고 자신의 수학적 경험을 이용하는 소통적 사고를 한 것이다. 물론 이 과정에서 자신의 목적에 맞지 않으면 소통적 사고를 누락시킬 수도 있다. 학생R의 소통적 사고는 이런 목적을 갖는 소통적 사고의 목적 지향적 특성을 보였으나 수학적인 해결을 위한 소통적 사고는 되지 못하였다.

2. 역동적 해석체 사례

다음은 세 학생들이 문제를 해결하기 위해 수학적 모델을 만든 뒤, 어떤 전략으로 해결해야할지를 고민하는 상황이다.

392. 학생 N: 아니 그럼. 아 그럼 f(t) 는 그냥 뭐... k,f'(t) 한 다음에 f'(t)f(t)하고 k라고 했을 때 그럼 적분하면은 아닌가?

393. 학생 R: 응? 적분?

394. 학생N: f'(t)f(t)... 무슨 모양 있지 않냐?

395. 학생E: 이거 적분하면은 lnf(t)가 나오잖아.

세 학생은 f′(t)f(t)가 비례한다는 수학적 모델을 수립한 뒤 이것을 어떻게 풀어내야 할지 고민하였다. 그러던 중 학생N은 소통적 사고를 통해 자신의 경험에 따른 수학적 지식과 f'(t)f(t)를 동일시하는 기호 운반체를 동료 학생들에게 건넸다. 학생N은 이 풀이에 대해 자신이 없지만동료 학생들이 해결해 줄 수 있으리라는 기대로 문제 해결의 힌트가 될 수 있는 새로운 기호를 형성하여 전달하였다. Figure 5는 이 과정에 대한 소통적 사고를 분석한 것이다.

Figure 5.Communication thinking of student E and student N forming dynamic interpretant(Kim, 2019, p. 98)

학생N은 f'(t)f(t)=k으로 무언가를 해결할 수 있을 것이라는 직접적 대상체(io)를 형성하였다. 이식을 예전 문제 해결에서 본 적이 있었지만 어떻게 해결했었는지에 대해서는 구체적으로 생각나지 않았다. 이것을 동료 학생에게 전달하여 문제 해결을 위한 실마리를 찾겠다는 의도가 학생 N의 직접적 대상체(io)를 형성하게 하였다. 정확한 해결에 자신이 없었던 학생N은 자신의 의도를 품은 기호 운반체(sv)를 동료 학생들에게 전하며 그들이 해석을 위한 대상으로 받아들여 주기를 바랐다. 학생N의 의도를 파악한 학생E는자신이 알고 있는 적분에 대한 사전 지식을 통해 N의 기호 운반체 sv(N)을 해석하였고, 그 의미를 한정한 소통적 사고의 결과로 do(E)를 형성하였다. 결과적으로, 학생E는 그 식을 적분하면해결할 수 있는 방법을 구체적으로 제시할 수 있었다. 학생N의 io(N)은 문제 해결의 결정적인단서가 되어 주었다. 협력적 문제 해결 상황에서동일한 기호 운반체(sv)를 보고 학생N은 직접적대상체(io)를, 학생E는 역동적 대상체(do)를 각기형성하였지만, 서로의 대상체를 공유함으로써 두학생은 역동적 해석체(di)를 형성할 수 있었다. 주어진 기호와 동료 학생들의 소통적 사고의 결과물 등 모든 대상들이 학생들에게 소통적 사고로 이어졌고, 그 결과물로 문제 해결 전략을 수립할 수 있었다.

역동적 해석체(di)는 직접적 해석체(ii)와는 달리 어떤 전체적인 느낌이나 추측과 관계없이 수학적 탐구를 통해 능동적인 수행을 한 결과였고, Peirce 이론에서 이차성의 성격을 갖는다. 자료를통해 실제적인 수행의 결과로 얻어낸 역동적 해석체(di)는 기호가 해석자에게 가하는 작용의 결과이기 때문에(CP 5.475) 주어진 기호가 학생들에게 소통적 사고의 근원이 될 수 있는 대상이 되었다. 그리고 이 해석체는 sv(N)을 통한 소통적 사고 활동의 결과로 얻어진 정신적인 산물로 실행 지향적 성격이 드러났다. 주어진 기호가 갖는 수학적인 요소를 찾고 그 해석을 통해 구체적인 수학적 모델을 수립하거나 또다른 기호를 만들어 내거나 만든 기호에 의미를 부여하는 등은 실행에 의해 또다른 실행을 유발한다는 점에서 실행 지향적이라 할 수 있다.

3. 최종적 해석체 사례

학생들은 여러 절차를 통해 외치맨 과제 해결을 위한 수학적 모델을 수립하고 이에 대한 전략을 세워 실행에 옮겼고 그 결과 문제를 해결할 수 있었다. 이 과정에서 소통적 사고는 온전히 문제 해결을 위한 각자의 소통적 사고로 이어졌다. 외치맨 과제를 해결하면서 세 학생들은90분이 넘는 시간 동안 서로의 소통적 사고를공유하며 다양한 대상체들을 생성하였다. 이들이생성한 대상체들이 문제 해결에 방해되는 순간도 있었고, 대상의 해석이 올바르지 못한 경우의소통적 사고는 동료 학생들의 인정을 받지 못하여 더는 소통적 사고가 전개되지 못하기도 하였다. 이렇게 생성된 대상체들을 통해 학생들은 Figure 6과 같은 수학적 해결을 얻었다.

Figure 6.Communication thinking of student R forming final interpretant (Kim, 2019, p. 103)

세 학생은 적분과 관련된 수학적 지식, 지수와로그에 대한 개념과 공식들 그리고 계산기를 사용한 여러 가지 방법으로 함께 문제를 풀었다. 물론 그 풀이 과정에 있어서 개인 내에서 이루어지는 소통적 사고는 계속 진행되었다. 풀이 과정을 기록하면서 학생 각자는 적분의 법칙과 규칙들을 적절히 사용하여 자신들이 의도한 결과를 찾아내었다. 수학적 모델을 수립하고 전략을세운 뒤의 행동들은 연역적으로 막힘없이 문제를 해결하는 경향을 보였다. 이들이 얻어낸 약5300여 년이라는 결과는 Figure 6과 같이 담화에참여하지 않은 사람도 인정할 수 있는 수학적 풀이 방법이 적용된 결과이며, 최종적 해석체(fi)를 형성하였다. 문제 해결의 모든 과정은 최종적해석체(fi)를 형성하기 위한 소통적 사고를 통해이루어지며, 최종적 해석체(fi)는 해석자가 도달하고자 하는 해석체이다(De Waal, p. 136).

여기서 삼차성의 성격을 갖는 최종적 해석체(fi)는 주어진 문제라는 기호 번역의 최종 결과물로 나온 문제 해결의 답이다. 일련의 소통적 사고에서 나타나는 모든 특성들을 종합하여 얻어낼 수 있는 문제 해결의 결과이다. 학생들은 자신의 수학적 경험을 끌어내고 정리하면서 문제를 해결해 나간다. 만약 기호 번역의 결과물을얻어내기 위한 문제 해결의 논리가 적절하지 못하거나 잘못된 답을 얻게 된다면 반성의 단계를 거치게 되고, 이 과정에서 소통적 사고의 목적지향적 특성, 실행 지향적 특성이 다시 나타날수도 있다. 하지만 최종적으로 도출된 답은 문제해결이 인정받을 수 있도록 계속된 기호 번역 작업을 거쳐 도출된 것이며, 다른 사람에게 인정받을 수 있다는 점에서 개인적인 성격보다 보편 지향적 특성을 가진다.

4. 성공적인 문제 해결을 위한 소통적 사고의 특성

지금까지 문제 해결에서 나타난 직접적 해석체, 역동적 해석체, 최종적 해석체의 예를 살펴보았다. 앞 절에서는 학생들의 소통적 사고의 과정에서 성공적인 문제 해결 흐름과 관련된 에피소드만 추출하여 해석체를 분석하여 제시하였으나 이 절에서는 이러한 해석체의 형성이 성공적인 문제 해결에서 어떤 특성으로 나타나는지를 파악해볼 것이다.

먼저, 직접적 해석체는 문제해결의 초반과 중간에 나타났다. 문제 해결 초반에는 문제를 어떻게 해결해야 할지에 대한 고민과 추측 등의 의미를 갖고 수학적 상황으로 이끌어야겠다는 목적을 드러내는 사고의 특성이 보였다. 중반 이후에 나타난 직접적 해석체의 경우는 문제 해결의 방향이 잘 가고 있는지 점검하면서 등장하였다. 직접적 해석체는 학생들의 사고나 탐구의 결과와 별개로, 느낌이나 직관으로 나타났다. 그리고체계적인 해결 방안을 찾기 위한 목적을 갖고 있을 때 등장하였다. 하지만 그 결과는 모두가인정하는 상황으로 발전하지 못하였다.

역동적 해석체는 문제 해결 과정에서 여러 번 등장했는데, 사고와 탐구가 실행되고 있을 때 나타났다. 학생들은 문제가 주는 힌트 등을 통해구체적인 전략을 세우고 기호 조작이나 수식을 세웠다. 협력적 문제 해결 상황이었기 때문에 학생들 각자가 가진 대상체를 공유함으로써 역동적 해석체를 형성할 수 있었다.

최종적 해석체는 문제 해결의 결과로 형성되었고, 습관적, 논리적, 법칙과 규칙들을 이용하여형성된 보편적 특성을 가졌다. 문제 해결을 위해세운 수학적 식을 해결하는 과정은 보편적으로 수학에서 쓰이는 공식이 이용되고 그 답은 누구에게나 인정되는 해결이 되었다.

이를 정리하면 성공적인 문제 해결을 위한 최종적 해석체는 보편적 특성을 가졌고, 이를 위해학생들은 문제 해결 과정에서 일차성과 이차성의 관계를 통해 문제(발신자)의 의도를 포함한결론에 해당하는 최종적 해석체를 형성할 수 있어야 했다. 최종적 해석체가 형성되기 위해서 학생들은 문제를 보고 직관이나 점검 등의 노력을 하는 일차성을 가진 직접적 해석체나, 동료의 대상체를 파악하고 자신의 대상체도 공유함으로써 등장하는 역동적 해석체를 먼저 형성할 수 있어야 했다. 직접적 해석체는 문제 해결이라는 목적을 지향하면서 관찰에 따른 직관이나 느낌으로 등장했고, 역동적 해석체는 복잡한 수학적 모델링 상황의 문제 해결에서 학생들이 형성하는 사례에서 관찰되었다. 최종적 해석체는 직접적 해석체와 역동적 해석체를 근거로 나타났다. 이러한 점에서 각 해석체는 일차성, 이차성, 삼차성을 가진다.

본 연구에서 학생들이 외치맨 과제 전체를 해결하면서 학생들의 소통적 사고는 Table 2의 순서와 특성으로 나타났다. 특성을 기록하지 않은부분은 문제 해결의 성공과 관련 없는 대화이다.

Table 2 Analysis of oriented characteristics (Kim, 2019, pp. 125-129)2)

전사 번호특성
1-8
9-61목적
62-80
81-92실행
93-99
100실행
102-145
146-155실행
156-165
166-210실행
211-225
226-239실행
243-246
249실행
252-257
267-279실행
283-320
321-328목적
330-345
346-387실행
388-391
392-395실행
396-480보편

본 연구는 협력적 문제 해결에서 소통적 사고를 분석하여 성공적인 문제 해결을 이끄는 소통적 사고의 특성을 살펴보았다. Peirce의 파네론적관점으로 구분한 해석체를 통해 소통적 사고가 어떤 특성을 갖는지를 알아보았는데, 학생들의소통적 사고는 문제 해결 과정마다 대상의 해석의 결과물들이 다른 성격을 가짐을 살펴볼 수 있다. 보편적 성격을 가진 최종적 해석체를 형성하기 위해 문제를 해결하려는 목적을 가질 때 학생들은 직접적 해석체를 형성할 수 있고, 실행지향적으로 역동적 해석체를 형성할 수 있었다. 소통적 사고를 통해 이루어지는 협력적 문제 해결은 이러한 세 가지 성격의 해석체가 형성될 때 가능한 것이다. 그리고 단순한 느낌이나 직관보다는 관찰을 통해 사고가 진행시킬 수 있는 역동적 해석체가 문제 해결 과정에서 지속적으로 나타나야 하고, 이 때 발신자와 수신자의 대상체가 공유될 필요가 있었다. 그리고 결국 최종적 해석체가 등장함으로써 문제가 해결될 수 있다. 연구 결과를 정리하면 다음과 같다.

첫째, 협력적 문제 해결에서 소통적 사고는 목적 지향성을 갖는다. 학생들은 수학적 문제를 해결하기 위해 올바른 해를 찾아야겠다는 목적을 갖고 과제를 수행한다. 학생들은 자신의 수학적경험을 통해 소통적 사고를 하여 동료 학생들에게 발언하고 타인의 소통적 사고를 경청한다. 때로 엉뚱한 소통적 사고에 대해서는 서로 동의하지 않으면서 자연스럽게 폐기되기도 한다. 이런특성을 갖는 소통적 사고는 ‘이거 아닌가?’라는추측, 가설, 느낌 등의 소통적 사고로 진행된다. 직접적 해석체로 나타난 소통적 사고의 목적 지향성은 주로 수학적 문제 해결 초기에 그리고 문제 해결 과정 중 점검을 위한 목적을 가질 때 나타났다.

둘째, 협력적 문제 해결에서 소통적 사고는 실행 지향성을 갖는다. 소통적 사고의 실행 지향성이란 구체적인 수학의 조작이 수행되는 소통적 사고의 특성을 말한다. 학생들은 문제 해결을 위해 수학 기호를 만들고, 그 기호에 의미를 부여한다. 예를 들어, 학생들은 동일한 과제에서 ‘감소하는 양’이라는 제시어를 통해 등차수열을 적용한 일반항을 만드는 소통적 사고를 하기도 하고, ‘시간도 변하고, 양도 변한다’는 것에 집중하여 미분의 개념을 적용하는 소통적 사고를 하기도 한다. 이런 구체적인 수학적 개념이나 기호조작의 실행이 이루어지는 소통적 사고는 실행 지향적인 특성을 갖는다. 실행 지향성을 갖는 소통적 사고는 대상의 해석을 통해 좀 더 깊이 있는 결과물을 얻는다. 실행 지향성은 주로 수학적문제 해결의 중간 과정에서 나타난다.

셋째, 협력적 문제 해결에서 소통적 사고는 보편 지향성을 갖는다. 소통적 사고의 보편 지향성이란 수학적 문제가 정확한 해결이 이루어지는 것이고, 그 결과가 누구나 인정할 수 있는 소통적 사고의 특성을 말한다. 학생들은 수학적 해결과정에서 수학 공식과 원리를 적용하는 등의 일반적인 규칙들을 적용한다. 그리고 오류 없이 얻어낸 수학적 해결이 누구나 인정할 수 있는 사실로 기능할 수 있는 일반적 규칙이 되기를 원한다. 만약, 이들의 소통적 사고가 보편 지향적특성을 갖지 않게 된다면 즉 오류가 있는 문제 해결이 된다면, 학생들은 다시 처음으로 돌아가목적 지향적인 사고와 실행 지향적 사고를 거치게 될 것이고 다시 보편 지향적인 사고를 하게 될 것이다. 외치맨 과제에서 소통적 사고의 결과로 얻어낸 약 라는 수치는 소통적 사고의 보편적 특성으로 얻어낸 결과이다. 보편 지향성은 수학적 문제 해결의 전 과정을 통해 얻어지는 대상의 해석들을 종합하는 과정에서 나타나는 소통적 사고의 특성으로 보통 마지막 단계에서 관찰된다. 이전에 시도했던 다양한 소통적 사고들이 여러 가지 대상체를 형성하게 하였고, 이단계에서 이루어지는 소통적 사고는 다른 사람도 인정할 수 있는 보편적인 성격을 갖게 된다.

이러한 연구 결과를 바탕으로 다음의 제언을 하고자 한다.

첫째, 학생들 스스로 다양한 수학적 접근을 할수 있는 과제를 설계해야 한다. 학생들에게 주어지는 과제는 의도를 갖는 발신자이며 과제가 갖는 의도 또는 의미는 수학 기호, 표, 다이어그램등으로 표현되어 수신자인 학생들에게 전달된다. 학생들은 수신자로서 과제가 의도하는 것이 무엇인지를 자신만의 수학적 지식과 경험으로 해석한다. 따라서 과제가 갖는 의도에 따라 과제의수준이 달라질 수 있고, 과제가 제시하는 언어적표현들을 학생들이 어떻게 해석하느냐에 따라 성공적인 문제 해결로 이어질 수도, 오류가 있는문제 해결로 이어질 수도 있다. 즉 과제가 전달하는 의미가 학생들에게는 수학적 대상이 된다. 학생들이 전달된 의미를 어떻게 해석하느냐는 문제 해결에 있어 다양한 수학적 사고를 할 수 있게 하는 근간이 된다.

둘째, 의사소통 역량을 강화시키고자 하는 많은 연구와 더불어 정의적인 영역과 인지적인 영역을 함께 증진시킬 수 있는 교육적 방안이 마련되어야 한다. 소통적 사고는 단순 메시지 전달을 목적으로 하는 주입식 교육이 아닌 교육 환경에서 학생들이 스스로 활동하여 구성하는 의미 분석에 대한 역동적 해석을 위해 중요하다. 협력의 과정에서 이루어지는 소통적 사고는 한 개인이 수학적 대상을 해석하는 것도 중요하지만, 타인의 소통적 사고와 수학적 상황에 많은영향을 받을 수도 있다. 이것은 정의적 영역과연결되어 설명될 수 있는데, 수업 분위기나 성격적 요인으로 인해 자신의 소통적 사고를 자신 있게 주장하지 못하는 경우가 관찰되기도 한다. 본 연구에서도 실험을 진행하면서 한 학생은 인터뷰를 통해 다른 두 학생의 주장이 너무 강하여 자신의 생각이 틀렸다고 생각한 부분이 있음을 말하였다. 이 학생이 했던 생각은 올바른 문제 해결을 위한 과정에서 필요한 것이었고, 이것이 동료 학생들과의 소통적 사고로 이어지지 못하면서 문제 해결에 많은 시간이 지체되었다.

셋째, 기호학을 적용하여 학생들의 사고 과정을 살펴보는 분석 연구가 다양한 상황에서 활성화되어야 한다. 본 연구는 소통적 사고의 특성을분석하기 위해 Peirce의 파네론을 근거로 하였다. 파네론을 근거로 하는 기호학적 분석은 학생들의 사고 활동을 분석할 수 있는 모든 수학 과제에 적용될 수 있다. 본 연구에서는 문제 해결의과정에서 소통적 사고를 분석하였지만 개념 학습의 수학적 상황에서 이루어지는 학생들의 사고를 분석하는 도구로도 활용이 가능하다. 예를들어, Perry et al.(2016)이 적용한 대상체 접근은수학적 개념을 확인하고 복습하는 과정에 적용되었다. 수학 교실에서 기호학은 교사가 의도하는 수학 개념이 학생들에게 올바르게 전달되어 적절한 수학적 지식을 구성하였는지를 관찰할 수 있게 하고, 동료 학생들의 언어적 표현이 한개인에게 수학적 개념이 잘 형성되도록 돕는지 그렇지 않은지를 관찰할 수 있게 하여 학생들에게 더 나은 수학 학습 환경을 제공하는 도구로 사용될 수 있다.

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Article

전자저널 논문

2020; 30(1): 1-17

Published online February 28, 2020 https://doi.org/10.29275/jerm.2020.02.30.1.1

Copyright © Korea Society of Education Studies in Mathematics.

A Semiotic Analysis of the Characteristics of Communicational Thinking in Collaborative Problem Solving

Su Min Kim1, Sun Hee Kim2

* Lecturer, Kangwon National University, South Korea, tnt3030@hanmail.net
** Professor, Kangwon National University, South Korea, mathsun@kangwon.ac.kr

Correspondence to:corresponding author
1) 이 논문은 김수민의 박사학위논문의 일부를 요약, 정리한 것임.

Received: December 31, 2019; Revised: February 4, 2020; Accepted: February 12, 2020

Abstract

The purpose of this study was to analyze the characteristics of communicational thinking in successful collaborative problem solving. In collaborative problem solving communication, the sender and receiver infer meaning to all mathematical objects and interpret them. From the semiotic perspective, this study reached the following results by analyzing the interpretants formed from the objects. First, in the early stages of problem solving, immediate interpretant were formed from the communicational thinking of students’ guesses, hypotheses, and perceptions, revealing the purpose-oriented characteristics of communicational thinking. Second, many dynamic interpretants were made in the communicational thinking, allowing the sign to perform practically. Third, the final interpretant obtained as a result of the students’ communicational thinking confirmed that the problem solving result has a universal character that can be recognized by anyone. Based on these findings, it is suggested that teachers must design tasks that allow them to use a variety of mathematical approaches on their own. And it is suggested that affective as well as cognitive domain should be achieved and that studies to examine students’ thinking process by applying semiotics should be activated.

Keywords: communicational thinking, oriented characteristics, interpretant, semiotics, collaborative problem solving

I. 서 론

문제 해결은 수학을 가르치고 배우는 방법이 됨과 동시에, 그 활동 자체가 수학적 사고 활동의 본질이고 수학을 가르치고 배우는 목적이며 수학교육의 요체이다(Paik, 2016, p. 8). 최근의 수학교육 동향은 협력적 문제 해결을 강조하면서 학생들이 동료와 함께 문제를 해결해 나가는 과정을 중시한다. 협력적 문제 해결 상황에서 학생들은 혼자만의 사고뿐 아니라 동료 학생과의 상호작용을 통해 사고를 발전시키며, 이 상호작용에서 학생들 간의 의사소통은 사고와 밀접한 관련이 있다. 즉 사고를 통해 소통이 일어나고 소통의 결과로 사고가 진행된다. 본 연구는 문제해결에서 학생들의 소통과 사고를 동떨어져 생각할 수 없다는 점에서 이를 소통적 사고라 칭하고, 이 소통적 사고에서 학생들이 어떤 해석체를 생성하는지를 기호학적으로 분석하여 성공적인 문제 해결을 이끄는 소통적 사고의 특성을 살펴보고자 한다.

해석체는 Peirce의 기호학에서 등장한 것으로, Peirce는 대상체, 표현체, 해석체의 삼원론적 관계를 가지고 사고 과정과 인간을 둘러싼 주변의 모든 사물과 현상을 설명하려 하였다. 선행 연구에서 기호학은 사고 활동에 초점을 맞춰 학생들이 수학을 어떻게 다루고, 어떤 방법으로 이해하고, 어떻게 사용하는지 등을 분석하는 도구로 사용되었다(Kim, 2004; Lee, 2016; Perry et al., 2016; Presmeg, 2002, 2006; Sáenz-Ludlow & Kadunz, 2016; Sáenz-Ludlow & Zellweger, 2016; Schreiber, 2016). 하지만 대부분 개념 형성을 설명한 연구가 이루어져(Dubinsky, 1986; Font, Godino & Gallardo, 2013; Gray & Tall, 1994; Sfard, 1991) 학생들의 문제 해결 활동에서의 사고를미시적으로 살피는 연구는 발전하지 못했다.

Kim & Kim(2018)은 기호의 삼원체가 반드시독립된 관계를 갖는 것은 아니며, 고정된 하나의표현체로 여러 대상체들이 발생하는 과정을 통해 학생들의 의사소통을 세밀하게 분석하는 것이 가능함을 알려주었다. 특히 의사소통에서 기호 운반체의 해석을 통해 만들어진 대상체를 직접적 대상체(io; immediate object), 역동적 대상체(do; dynamic object), 실제 대상체(ro: real object)로 구분하여(Sáenz-Ludlow & Zellweger, 2016), 문제 해결 단계의 의사소통 유형에 따라대상체가 어떻게 형성되는지를 분석하였다. 하지만 이들의 연구는 삼원론적 관계에서 대상체에만 집중하였기 때문에 성공적인 문제 해결을 위해 소통적 사고가 어떤 특성을 갖는지는 설명하지 못하였다. 사고를 통해 문제 해결이 일어난다고 가정했을 때, 사고를 이끌고 사고를 유발하는것이 무엇인지 파악한다면 문제 해결의 성공에 대한 파악이 가능하며, 본 연구는 이를 해석체로설명해 보고자 한다.

해석체는 일반적으로 기호의 번역이라고 할 수 있다(Liszka, 1996/2013, p. 78). 기호는 더 충분하게 발전되는 다른 기호로 번역할 수 있어야 기호가 된다(CP 5.594). 모든 사고가 연속적으로기호로 번역되거나 해석된다는 법칙에 예외란 없다(CP 5.284). Kim & Kim(2018)에서는 문제 해결과 실행 단계에서 생성된 여러 가지 대상체가 문제 해결의 방향을 정해주는 역할을 하였음을 확인하였고, 해석체는 여러 가지 대상체를 품는 것으로 대상체 형성 모델을 제안하였다. 그렇다면 여러 가지 대상체를 종합하여 어떤 해석체가 생겨나는지를 살펴봄으로써 기호가 어떻게번역되는지 파악하고, 이것이 성공적인 문제 해결을 어떻게 이끌었는지 설명할 수 있을 것이다.이에 본 연구는 대학생들이 협력적 문제 해결을하는 상황에서 나타나는 해석체를 분석하여, 성공적인 문제 해결로 이끄는 소통적 사고의 특성을 파악하고자 한다.

II. 이론적 배경

이 장에서는 본 연구를 위해 소통적 사고를 정의하고 Peirce의 기호학에서 설명하는 해석체를 자세히 살펴봄으로써, 학생들의 소통적 사고를 미시적으로 분석할 수 있는 이론적 틀을 제시한다.

1. 소통적 사고

의사소통은 단순한 언어의 교환을 의미하지 않기 때문에 이에 대한 의미를 알기 위한 다양한 연구들이 있어 왔다(Maturana & Varela, 1987; Na, 2000; Schramm & Porter, 1982/1990). 본 연구에서는 의사소통을 현상학적 관점으로 접근한 Takeda(2001/2005)의 ‘언어적 행위’에 주목하였다. Takeda는 언어적 행위의 ‘출발’을 대상(사실, 사태)의 이해로 보았다. 발신자가 자신이 처한 상황을 얼마나 잘 이해하고 이를 어떻게 표현할 수 있느냐에 대한 인식의 문제를 의사소통의 출발로 본 것이다. 언어적 행위의 두 번째 단계는발신자가 표현한 언어의 의미가 수신자에게 전달되는 의미 전달이고, 세 번째 단계는 수신자가대상의 의미를 해석하는 의미 해석이다. 이 과정은 Peirce의 대상체와 기호 운반체와 연결된다. Peirce의 직접적 대상체는 발신자가 갖는 의도이며, 이것은 Takeda의 언어적 행위의 출발이 되는인식의 문제이다. 그리고 발신자의 의도를 품고수신자에게 전달되는 기호 운반체는 Takeda의언어 표현인 의미 전달이 된다. 전달된 기호 운반체를 통해 수신자가 자신만의 경험으로 한정하여 형성하는 역동적 대상체는 Takeda의 의미해석이 된다. 이는 의사소통의 과정을 언어적 행위와 기호학적 측면으로 통합하여 해석하는 것이 가능함을 시사한다. 즉 언어를 통해 드러나는사고 과정을 의사소통으로도 분석하는 것이 가능하다는 것이다.

한편, Sfard(2001, 2008, 2012, 2015)는 수학 수업에 참여하는 학생들이 다양한 언어적, 비언어적 행위를 통해 의사소통을 하면서 자신의 사고를 변경·확장한다고 하였다. 여기서 사고는 의사소통의 개별화된 형태이며 자신과의 대화이고, 의사소통에서 발신자와 수신자가 반드시 분리될 필요는 없다. 의사소통은 한 개인 내에서 또는개인 간에서 이루어질 수 있으며, 우리는 의사소통을 통해 사고를 관찰할 수 있다. 본 연구는 이를 사고와 소통을 결합한 소통적 사고라고 지칭하고, ‘수학 문제 해결에서 수신자와 발신자가 의미를 생성하고 전달하고 해석하는 언어적 활동’ 으로 정의한다(Kim, 2019).

2. Peirce의 기호학

Peirce는 세상 만물을 기호로 보고 기호를 세가지 측면으로 정리하였다(Liszka, 1996/2013). 첫번째는 기호 문법이다. 기호 문법은 기호가 되기위한 조건으로 표현체, 대상체, 해석체의 구성요소들을 말한다. 두 번째는 비판 논리학이다. 기호는 기호를 사용하는 방식이 있는데, 비판 논리학은 기호로 어떻게 사고하는지와 관련된 것을 다룬다. 즉 우리가 무언가를 사고할 때 추론하는 방법인 연역, 귀납, 가추가 비판 논리학에속하는 기호의 사용 방식이다. 세 번째는 보편수사학이다. 기호는 공동체에서 소통하고 의사를표시하는 데 사용된다. 기호를 사용하는 방식에대한 연구가 보편 수사학이다. 기호로 발생되는 의미는 다시 기호가 되어 한 사람의 정신에서 다른 사람의 정신으로 전달되는데, 이런 의사소통의 기능이 기호의 가장 필수적인 조건이다.

본 연구는 기호의 세 가지 측면 중에서 마지막 보편 수사학의 관점으로 수학적 문제 해결의 과정을 분석할 것이다. 보편 수사학 관점으로 살펴보기 위해서는 표현체, 대상체, 해석체를 구분하는 기존의 삼원론을 넘어서는 체계가 필요하다. 이에 Peirce의 파네론에 근거하여, 해석체를분류하고 이를 소통적 사고의 분석에 적용할 수 있는 체계를 살피고자 한다.

가. 파네론(Phaneron)

파네론은 ‘보이는 것’을 의미하는 그리스어이다(Kim, 2006). Peirce는 자신만의 철학으로 기호를범주화하였는데, 그것을 뒷받침하는 이론이 파네론이다. 파네론은 현상학의 일종이지만 현상학으로 대표되는 Husserl과는 차이가 있다. Husserl의현상학은 지금 현재의 존재론적 의미를 사태로 설명하려는 ‘환원’의 의미이고, Peirce는 존재하는것에 대한 ‘관찰’의 의미이다. 즉 무엇이든지 존재하고 있다면 그 존재로 인해 나는 관찰하는 것이 가능하다. 이것이 Peirce의 파네론의 시작이다. Peirce에게 파네론은 기호의 가장 일반적인 범주를 만드는 것이 목적이기 때문에 현상학적 관찰이 파네론을 설명하기 위한 초석이 된다.

파네론을 토대로 Perice는 기호를 일차성, 이차성, 삼차성의 세 가지 범주로 구분하였다. 일차성은 인간의 관념과는 무관하게 존재하는 것이다. 즉 관찰의 시작이다. 이차성은 일차성에 대한 관념을 제거하지 않으면서 일차성 없이는 존재할 수 없다. 즉 관계, 종속, 독립, 발생, 결과같은 사실로 나타난다. 삼차성은 일차성과 이차성의 관계를 통해 구성되는 것으로 사고와 밀접하게 관련되어 있고, 세 범주를 통합시키는 역할을 한다(Cho, 2014). 예를 들어, “불이 났다. 불이나서 집이 탔다. 불이 나서 집이 탔고, 집주인은재산을 잃었을 것이다”. 이 문장을 통해 일차성, 이차성, 삼차성을 볼 수 있다. ‘불이 났다’는 것은 일차성의 범주에 속한다. 실제적인 것으로, 관찰을 통해 인지할 수 있다. ‘불이 나서 집이탔다’는 인과 관계를 통해 얻어지는 문장이며, 이차성이다. ‘불이 나서 집이 탔고 집주인은 재산을 잃었을 것이다’는 일차성과 이차성의 관계를 통해 관찰자가 얻어낸 결론이다. 즉 해석의결과로 얻어낸 파네론의 삼차성이 된다.

나. 해석체

해석체는 Peirce에게 있어서 가장 중요한 기호의 구성 요소이다. 보편 수사학의 측면에서 대상체와 표현체는 해석체를 한정하는 데 필요한 부수적인 요건들에 불과하다. 소통적 사고의 과정적 측면에서 발신자의 의도, 발신자의 의도를 품고 전달되는 기호 운반체, 기호 운반체를 통한해석은 모두 해석체 형성에 관여한다.

파네론에 의해 Peirce는 해석체를 세 가지로구분하였다. 일차성의 성질을 갖는 직접적 해석체(ii; immediate interpretant)는 기호로 인해 생산된 바로 그 최초의 느낌이며, 분석 이전의 효과이다(CP 5.475). 예를 들어 누군가를 처음 만났을 때 첫인상이나 어떤 음악을 처음 들었을 때 받았던 느낌은 논리적으로 설명할 수 없는 것이다. 역동적 해석체(di; dynamic interpretant)는 기호가 해석자에게 가하는 작용으로 나타나는 효과이다. 즉 구체적이고 실제적인 효과이며, 이차성의 성질을 갖는다. 예를 들어, 고속도로를 달리고 있을 때 과속 감지 카메라를 보고 속도를 줄이는 행동, 옆 사람이 고함을 쳤을 때 그 소리를 듣고 깜짝 놀라 벌떡 일어난다면 역동적 해석체가 형성된 기호의 효과로 얻어진 결과이다. 즉 어떤 행동을 직접적으로 이끌어낸다(CP 5.475). 최종적 해석체(fi; final interpretant)는 해석자에게 미치는 규칙이나 법칙과 같은 것으로 습관적이고 의도된, 형식적인 성격을 갖는다. 이것은 기호 번역의 결과물이다(Liszka, 1996/2013).

즉각적으로 떠오르는 무언가는 일차성에 속하며 직접적 해석체를 형성하게 하고, 해석자의 수동적이거나 능동적인 결과물로 얻어지는 기호의 산물은 이차성인 역동적 해석체를 형성하게 하며, 기호와 관계적 성질을 통해 모든 기호 해석의 완성으로 그리고 상황적 맥락의 한정으로 생성되는 사고의 결론은 삼차성의 산물이며 최종적 해석체를 형성하게 한다.

III. 연구 방법

1. 연구 대상

연구 대상은 K대학교 사범대학 수학교육과 1학년 학생E, 학생N, 학생R의 3명이다. 이들은 평소 친한 사이로 활발한 소통적 사고를 보여주었다. 협력적 문제 해결에서 학생N은 문제 해결을위한 적극적인 모습을 보이지는 않았지만, 동료학생들의 의견을 들어주고 의견을 묻는 역할을 주로 하였다. 학생E는 평소 수학을 좋아하고 수학교사로서 사명감이 있는 학생이다. 실험 과정에서도 적극적으로 문제를 해결하려는 노력을 많이 하였고, 자신이 가진 사전 지식을 많이 활용하는 모습을 보였다. 학생R는 수학보다는 과학 분야에 관심이 많은 학생이지만 수학을 싫어하거나 기피하는 것은 아니며 앞으로 교사로서 학생들에게 어떤 것을 가르쳐야 하는지에 대한 생각이 많았다. 이들에게 실험에 대한 전반적인설명과 목적을 설명해 주었고 학생과 학부모의 동의 하에 실험이 진행되었다.

2. 실험 과제

비판적 수학교육에서는 이 세상의 모든 것들이 수학 문제가 될 수 있다(Wager & Stinson, 2012). 이에 연구자는 수학이 보이지 않는 신문기사를 각색하여 학생들에게 과제를 제시하였다.신문기사를 읽고 생각을 표현하게 하고 그들이문제를 해결하기 위해 어떤 소통적 사고를 하는지 살펴본 뒤, 탄소 반감기와 관련된 내용 또는수학과 과학의 외적 연결성을 살피는 소통적 사고가 드러나게 되었을 때 연구자가 문제를 해결하기 위한 자료를 제시하는 과정으로 실험을 설계하였다. Figure 1은 학생들에게 제시된 신문기사와 문제이다. 학생들은 기사를 읽고 기사에서밝힌 외치맨의 사망년도를 어떻게 추정할 수 있는지를 알아내야 한다.

Figure 1. Oetzi task for students (Kim, 2019, p. 62)

이 문제는 1계 선형미분방정식의 풀이 중 변수분리 문제로 자주 제시된다(Kreyszig, 2010). 실험에 참가한 학생들은 변수분리법을 배우기 전이므로 시간을 t, 방사성 물질의 양을 y라 하였을 때, y'(t)=-ky(t)(k>0)을 통해 식 y'(t)y(t)=k(k>0)을 이용하여 적분을 할 것으로 예상되었다. 방사성 원소의 반감기에 대한 개념과 시간과 방사성 물질의 변화량에 대한 원리를 이해한다면 기초 미분적분학 지식만으로도 문제 해결이 가능하다. Figure 2는 문제 해결을 위해필요한 정보를 담은 자료이다. 문제 해결 중간에이를 학생들에게 제시하였다.

Figure 2. Data for students (Kim, 2019, p. 63)

문제의 타당성 검증을 위해 수학과 박사과정 수료자 2명과 수학교육과 박사과정 수료자 1명에게 문제의 적합성을 검토받았다. 과학 분야에대한 부분은 공대 박사과정 1명에게 자문을 구하였다.

3. 연구 절차

방해를 받지 않고 집중할 수 있는 시ㆍ공간적 환경에서 실험을 하였고, 협력적 문제 해결의 소요시간은 약 1시간 40분 정도였다. Table 1은 연구 절차를 나타낸 것이다.

Table 1 . Research procedure (Kim, 2019, p. 65).

연구 절차시기수집 자료
외치맨 실험 문제 설계2018. 04문제 선정, 문제 검토 의뢰, 학생 선정
외치맨 과제 실험2018. 5. 14영상, 음성 녹음, 활동지
외치맨 과제 전사2018. 5. 14 - 20학생들의 음성 자료 파일
외치맨 과제 학생 면담2018. 5. 21, 25학생들의 음성 자료 파일
외치맨 과제 해석체 분석2018. 05 - 2018. 08사례를 통한 해석체 분석


연구자는 실험에 참여하는 학생들에게 자신이 생각하고 있는 모든 것을 되도록 말로 표현하도록 요청하였다. 실험 상황은 학생들의 대화가 주를 이루었고, 연구자는 참여 학생들이 서로 의견을 주고받다가 문제 해결에 대한 진행이 전혀 이루어지지 않고 침묵의 시간이 길어지는 경우나 문제 해결의 진척이 전혀 이루어지지 않는경우에 연구 진행을 위한 발문을 하는 정도로 관여하였다.

실험 상황을 기록하기 위해 학생들의 목소리를 녹음하는 보이스레코더, 학생 활동 전체를 영상으로 촬영하는 태블릿을 사용하였다. 실험 중에 연구에 의미가 있다고 생각되는 학생들의 특정한 발언이나 연구자의 관찰만으로는 판단할 수 없는 내용 등을 현장에서 기록하였다. 학생들이 문제를 수행하면서 사용한 활동지도 문제 분석을 위해 수집하였다.

실험이 끝난 직후 연구자는 녹음된 음성 파일과 촬영 영상을 반복하여 보고 들으면서 전사하였다. 연구 분석을 위해 연구자의 판단만으로 해석할 수 없는 의문이 드는 내용은 녹화된 영상과 현장에서 관찰하며 기록한 기록물을 통해 다시 검증하는 단계를 거쳤고, 마지막으로 학생들과의 개인 면담을 통해 확인하였다. 개인 면담은실험에 대한 기억이 되도록 잊히지 않는다고 판단되는 실험 후 일주일 이내에 이루어졌다. 면담은 연구자가 작성한 전사 자료를 토대로 하여 ‘왜 그런 발언을 했는지, 어떤 생각으로 그렇게말했는지, 상대 학생의 발언이 자신의 생각에 어떤 영향을 미치지는 않았는지’ 등과 같이 학생들의 사고 과정이나 생각을 구체적으로 질문하였다. 연구자의 주관적인 해석에 따른 분석을 막기 위해 음성과 영상 자료(전사 자료), 관찰 기록물, 학생들의 활동지, 학생과의 개인 면담으로여러 측면에서 객관성을 확보할 수 있었다(Yin, 2014/2016).

4. 분석 도구

분석 도구는 Kim & Kim(2018)에 제시된 대상체 형성 모델을 기반으로 하며, 소통적 사고의분석틀은 Figure 3과 같다. 이 틀은 수학 교실상황에서 학생들의 소통적 사고를 분석할 수 있도록 발신자와 수신자의 관계를 통해 대상체(io, do), 기호 운반체(sv), 해석체(ii di, fi)의 관계를보여준다.

Figure 3. Analytical framework of communicational thinking (Kim & Kim, 2018, p. 135)

소통적 사고의 분석 틀은 발신자의 의미 생성에서 만들어진 해석체와 수신자가 발신자의 기호 운반체를 해석하는 과정에서 나타난 해석체를 보여준다. 발신자는 대상의 해석으로 직접적대상체(io)를 형성하고 그 의미를 기호 운반체(sv)로 표현한다. 수신자는 전달받은 기호 운반체를 해석하여 자신의 역동적 대상체(do)를 만들어낸다. 해석자의 대상의 해석으로 형성된 직접적대상체와 이를 암호화하는 기호 운반체에 대한 해석으로 형성된 해석자의 역동적 대상체가 해석체를 이루게 된다. 따라서 해석체 안에 역동적대상체와 직접적 대상체가 자리할 수 있다. 때로는 직접적 대상체가 역동적 대상체에 포함되기도 하고 일치하기도 한다(Kim & Kim, 2018). 수신자가 역동적 대상체를 만들 때 직접적 대상체와 독립적인 무언가를 창조하지는 않기 때문이다. 해석체는 대상의 해석 결과로, 발신자와 수신자가 동일할 경우 하나로 합쳐져서 나타나며, 동일하게 형성되지 못하는 경우는 분리되어 나타난다.

소통적 사고의 분석 틀은 발신자가 처한 상황에서 대상에 대한 의미를 생성하고, 그 의미를수신자에게 기호 운반체로 전달하고, 발신자의기호 운반체를 수신자 입장에서 어떻게 받아들이는지에 대한 기호의 해석 활동이 어떻게 이루어지는지를 보여줄 수 있다.

IV. 연구 결과

이 장에서는 학생들이 과제를 협력적으로 해결하면서 등장한 직접적 해석체, 역동적 해석체, 최종적 해석체의 사례를 하나씩 제시하고, 각 해석체가 문제 해결의 성공을 위해 어떤 특성을 나타냈는지 보여준다.

1. 직접적 해석체 사례

학생들은 외치맨 과제를 읽고 난 뒤 문제를 읽으면서 떠올랐던 것들을 소통하였다.

9. 학생R: 하하하 그냥 뺀 줄 알았어. 아...어떻게 찾아냈는지~ 아하!!! 나는 생각을 했던 게 이 사람들이 과학자들이 얘는 타박상을 입었네. 화상을 입었네. 라고 말할 수 있는 건. 이 사람 몸에 상처가 남았는데 이 사람은 꽁꽁 얼었으니까 보존이 됐겠지. 얼어가지고어느 정도 보존이 될 수 있는지 사람이 얼었는데 어느 정도 보존이 될 수 있는지는 지금 냉동인간 같은 거 나오고 있는 상태에서는 그게 다 연구가 됐을 거라고 생각했단 말이야. 그러니까 그런 지식이 있으면 구할 수있지 않을까 생각을 했어.

10. 학생N: 응. 근데 이거를 풀 때 그냥 수학적인 것 갖고 푼 건가?

학생R는 자신의 생각을 공표하지만 다른 학생들의 동의를 얻지 못하였다. 다른 학생들은 학생R의 발언이 끝났음에도 불구하고 학생R의 의견에 동의하지 않고, 어떻게 해결해야 할지에 대해개인적인 질문만 하였다. 학생R와 학생N의 의견은 연결되지 않아 대화가 완성되지 못하였다. 학생R의 소통적 사고가 어떻게 이루어지는지Figure 4로 나타내본다.

Figure 4. Communicational thinking of student R forming immediate interpretant (Kim, 2019, p. 92)

외치맨 과제는 문제 자체로서 의도를 가지며, 학생들에게 외치맨이 살았던 연대를 알아내라는 목표를 부여한다. 그리고 기사의 여러 가지 조건들을 기호 운반체로 학생들에게 보낸다. 즉 외치맨 과제는 발신자가 되고, 학생들은 수신자의 입장에서 발신자가 보내는 기호 운반체들을 통해 그 의도를 파악하고 해석해야 한다. 외치맨 과제의 직접적 대상체(io)는 기사에 제시된 외치맨이 살았던 시대가 5300여 년 전이라는 것을 어떻게알아낼 수 있는지 그 해결 방법을 학생들에게 묻는 것이었다. 학생R는 발신자인 외치맨 과제가 보내는 기호 운반체(sv; 외치맨에 관한 기사자료)를 대상으로 하여, 기호 운반체(sv)의 여러가지 측면 중에서 ‘냉동 인간’이라는 것에 초점을 두고 생물학적 지식으로 해결할 수 있을 것이라는 한정의 결과로 역동적 대상체(do)를 형성한다. 즉 학생R의 소통적 사고는 발신자가 보내는 기호 운반체(sv) 중에서 ‘냉동 인간’이라는 대상에 의미를 부여하여 자신의 경험적 지식으로과학자들이 알아낸 생물학적인 어떤 정보가 필요하다는 결론에 이른 것이다. 학생R에게 전달된 외치맨 과제의 기호 운반체(sv)는 소통적 사고를 하는 데 있어서 변하지 않는 의미로 학생들에게 전달되고, 학생R뿐만 아니라 나머지 두명의 학생들에게도 기호 운반체(sv)로 계속 작용하게 되었다. 그러나 학생R이 선택한 기호 운반체(sv)의 의미 해석으로 형성된 역동적 대상체(do)는 학생R의 소통적 사고가 진전되는 방향으로 발전되지 못하였다. 이 상황에서 소통적 사고가 어떻게 발생하였는지는 확인할 수 있으나, 그소통적 사고가 발전적인 양상을 보이지 못한다는 것도 확인할 수 있다. 주어진 대상의 해석을수학이 아닌 비수학적 상황에서 끌어내려고 했기 때문에 학생들 모두 문제 해결에 어려움을겪게 되었다.

학생R의 소통적 사고는 다른 학생들의 동의를얻지 못하였고, 문제를 해결하기 위한 여러 가지방법 중 생물학적 지식으로 해결할 수 있다는 추측에만 머물렀다. 이 추측은 문제에 대한 어떤구체적인 해결 방법이나 행동을 유발하지 못하였고 다만 생물학적 지식이 쓰일 수 있다는 가능성을 생각해내게 하였다. 문제 이해 단계에서구체적인 인과 관계나 해결을 위한 논리는 없이 문제에 대한 전체적인 느낌이나 문제가 학생들에게 주는 막연함만 강하게 드러났다. 즉 분석되지 않은 초기 상태의 온전함에서 즉각적으로 관련성을 갖고 일어날 수 있는 결과가 강한 일차성의 성격이 나타나(De Waal, 2013, p. 136), 학생R의 역동적 대상체(do)는 직접적 해석체(ii)를형성했다고 할 수 있다. 학생R는 수학적이지 않은 상황에서 수학적인 요소를 찾아가고자 하는 소통적 사고를 하였다. 이 과정에서 일차성의 성격을 갖는 직접적 해석체(ii)를 형성하게 되었는데, 수학적으로 무언가를 해결하겠다는 목적을갖고 자신의 수학적 경험을 이용하는 소통적 사고를 한 것이다. 물론 이 과정에서 자신의 목적에 맞지 않으면 소통적 사고를 누락시킬 수도 있다. 학생R의 소통적 사고는 이런 목적을 갖는 소통적 사고의 목적 지향적 특성을 보였으나 수학적인 해결을 위한 소통적 사고는 되지 못하였다.

2. 역동적 해석체 사례

다음은 세 학생들이 문제를 해결하기 위해 수학적 모델을 만든 뒤, 어떤 전략으로 해결해야할지를 고민하는 상황이다.

392. 학생 N: 아니 그럼. 아 그럼 f(t) 는 그냥 뭐... k,f'(t) 한 다음에 f'(t)f(t)하고 k라고 했을 때 그럼 적분하면은 아닌가?

393. 학생 R: 응? 적분?

394. 학생N: f'(t)f(t)... 무슨 모양 있지 않냐?

395. 학생E: 이거 적분하면은 lnf(t)가 나오잖아.

세 학생은 f′(t)f(t)가 비례한다는 수학적 모델을 수립한 뒤 이것을 어떻게 풀어내야 할지 고민하였다. 그러던 중 학생N은 소통적 사고를 통해 자신의 경험에 따른 수학적 지식과 f'(t)f(t)를 동일시하는 기호 운반체를 동료 학생들에게 건넸다. 학생N은 이 풀이에 대해 자신이 없지만동료 학생들이 해결해 줄 수 있으리라는 기대로 문제 해결의 힌트가 될 수 있는 새로운 기호를 형성하여 전달하였다. Figure 5는 이 과정에 대한 소통적 사고를 분석한 것이다.

Figure 5. Communication thinking of student E and student N forming dynamic interpretant(Kim, 2019, p. 98)

학생N은 f'(t)f(t)=k으로 무언가를 해결할 수 있을 것이라는 직접적 대상체(io)를 형성하였다. 이식을 예전 문제 해결에서 본 적이 있었지만 어떻게 해결했었는지에 대해서는 구체적으로 생각나지 않았다. 이것을 동료 학생에게 전달하여 문제 해결을 위한 실마리를 찾겠다는 의도가 학생 N의 직접적 대상체(io)를 형성하게 하였다. 정확한 해결에 자신이 없었던 학생N은 자신의 의도를 품은 기호 운반체(sv)를 동료 학생들에게 전하며 그들이 해석을 위한 대상으로 받아들여 주기를 바랐다. 학생N의 의도를 파악한 학생E는자신이 알고 있는 적분에 대한 사전 지식을 통해 N의 기호 운반체 sv(N)을 해석하였고, 그 의미를 한정한 소통적 사고의 결과로 do(E)를 형성하였다. 결과적으로, 학생E는 그 식을 적분하면해결할 수 있는 방법을 구체적으로 제시할 수 있었다. 학생N의 io(N)은 문제 해결의 결정적인단서가 되어 주었다. 협력적 문제 해결 상황에서동일한 기호 운반체(sv)를 보고 학생N은 직접적대상체(io)를, 학생E는 역동적 대상체(do)를 각기형성하였지만, 서로의 대상체를 공유함으로써 두학생은 역동적 해석체(di)를 형성할 수 있었다. 주어진 기호와 동료 학생들의 소통적 사고의 결과물 등 모든 대상들이 학생들에게 소통적 사고로 이어졌고, 그 결과물로 문제 해결 전략을 수립할 수 있었다.

역동적 해석체(di)는 직접적 해석체(ii)와는 달리 어떤 전체적인 느낌이나 추측과 관계없이 수학적 탐구를 통해 능동적인 수행을 한 결과였고, Peirce 이론에서 이차성의 성격을 갖는다. 자료를통해 실제적인 수행의 결과로 얻어낸 역동적 해석체(di)는 기호가 해석자에게 가하는 작용의 결과이기 때문에(CP 5.475) 주어진 기호가 학생들에게 소통적 사고의 근원이 될 수 있는 대상이 되었다. 그리고 이 해석체는 sv(N)을 통한 소통적 사고 활동의 결과로 얻어진 정신적인 산물로 실행 지향적 성격이 드러났다. 주어진 기호가 갖는 수학적인 요소를 찾고 그 해석을 통해 구체적인 수학적 모델을 수립하거나 또다른 기호를 만들어 내거나 만든 기호에 의미를 부여하는 등은 실행에 의해 또다른 실행을 유발한다는 점에서 실행 지향적이라 할 수 있다.

3. 최종적 해석체 사례

학생들은 여러 절차를 통해 외치맨 과제 해결을 위한 수학적 모델을 수립하고 이에 대한 전략을 세워 실행에 옮겼고 그 결과 문제를 해결할 수 있었다. 이 과정에서 소통적 사고는 온전히 문제 해결을 위한 각자의 소통적 사고로 이어졌다. 외치맨 과제를 해결하면서 세 학생들은90분이 넘는 시간 동안 서로의 소통적 사고를공유하며 다양한 대상체들을 생성하였다. 이들이생성한 대상체들이 문제 해결에 방해되는 순간도 있었고, 대상의 해석이 올바르지 못한 경우의소통적 사고는 동료 학생들의 인정을 받지 못하여 더는 소통적 사고가 전개되지 못하기도 하였다. 이렇게 생성된 대상체들을 통해 학생들은 Figure 6과 같은 수학적 해결을 얻었다.

Figure 6. Communication thinking of student R forming final interpretant (Kim, 2019, p. 103)

세 학생은 적분과 관련된 수학적 지식, 지수와로그에 대한 개념과 공식들 그리고 계산기를 사용한 여러 가지 방법으로 함께 문제를 풀었다. 물론 그 풀이 과정에 있어서 개인 내에서 이루어지는 소통적 사고는 계속 진행되었다. 풀이 과정을 기록하면서 학생 각자는 적분의 법칙과 규칙들을 적절히 사용하여 자신들이 의도한 결과를 찾아내었다. 수학적 모델을 수립하고 전략을세운 뒤의 행동들은 연역적으로 막힘없이 문제를 해결하는 경향을 보였다. 이들이 얻어낸 약5300여 년이라는 결과는 Figure 6과 같이 담화에참여하지 않은 사람도 인정할 수 있는 수학적 풀이 방법이 적용된 결과이며, 최종적 해석체(fi)를 형성하였다. 문제 해결의 모든 과정은 최종적해석체(fi)를 형성하기 위한 소통적 사고를 통해이루어지며, 최종적 해석체(fi)는 해석자가 도달하고자 하는 해석체이다(De Waal, p. 136).

여기서 삼차성의 성격을 갖는 최종적 해석체(fi)는 주어진 문제라는 기호 번역의 최종 결과물로 나온 문제 해결의 답이다. 일련의 소통적 사고에서 나타나는 모든 특성들을 종합하여 얻어낼 수 있는 문제 해결의 결과이다. 학생들은 자신의 수학적 경험을 끌어내고 정리하면서 문제를 해결해 나간다. 만약 기호 번역의 결과물을얻어내기 위한 문제 해결의 논리가 적절하지 못하거나 잘못된 답을 얻게 된다면 반성의 단계를 거치게 되고, 이 과정에서 소통적 사고의 목적지향적 특성, 실행 지향적 특성이 다시 나타날수도 있다. 하지만 최종적으로 도출된 답은 문제해결이 인정받을 수 있도록 계속된 기호 번역 작업을 거쳐 도출된 것이며, 다른 사람에게 인정받을 수 있다는 점에서 개인적인 성격보다 보편 지향적 특성을 가진다.

4. 성공적인 문제 해결을 위한 소통적 사고의 특성

지금까지 문제 해결에서 나타난 직접적 해석체, 역동적 해석체, 최종적 해석체의 예를 살펴보았다. 앞 절에서는 학생들의 소통적 사고의 과정에서 성공적인 문제 해결 흐름과 관련된 에피소드만 추출하여 해석체를 분석하여 제시하였으나 이 절에서는 이러한 해석체의 형성이 성공적인 문제 해결에서 어떤 특성으로 나타나는지를 파악해볼 것이다.

먼저, 직접적 해석체는 문제해결의 초반과 중간에 나타났다. 문제 해결 초반에는 문제를 어떻게 해결해야 할지에 대한 고민과 추측 등의 의미를 갖고 수학적 상황으로 이끌어야겠다는 목적을 드러내는 사고의 특성이 보였다. 중반 이후에 나타난 직접적 해석체의 경우는 문제 해결의 방향이 잘 가고 있는지 점검하면서 등장하였다. 직접적 해석체는 학생들의 사고나 탐구의 결과와 별개로, 느낌이나 직관으로 나타났다. 그리고체계적인 해결 방안을 찾기 위한 목적을 갖고 있을 때 등장하였다. 하지만 그 결과는 모두가인정하는 상황으로 발전하지 못하였다.

역동적 해석체는 문제 해결 과정에서 여러 번 등장했는데, 사고와 탐구가 실행되고 있을 때 나타났다. 학생들은 문제가 주는 힌트 등을 통해구체적인 전략을 세우고 기호 조작이나 수식을 세웠다. 협력적 문제 해결 상황이었기 때문에 학생들 각자가 가진 대상체를 공유함으로써 역동적 해석체를 형성할 수 있었다.

최종적 해석체는 문제 해결의 결과로 형성되었고, 습관적, 논리적, 법칙과 규칙들을 이용하여형성된 보편적 특성을 가졌다. 문제 해결을 위해세운 수학적 식을 해결하는 과정은 보편적으로 수학에서 쓰이는 공식이 이용되고 그 답은 누구에게나 인정되는 해결이 되었다.

이를 정리하면 성공적인 문제 해결을 위한 최종적 해석체는 보편적 특성을 가졌고, 이를 위해학생들은 문제 해결 과정에서 일차성과 이차성의 관계를 통해 문제(발신자)의 의도를 포함한결론에 해당하는 최종적 해석체를 형성할 수 있어야 했다. 최종적 해석체가 형성되기 위해서 학생들은 문제를 보고 직관이나 점검 등의 노력을 하는 일차성을 가진 직접적 해석체나, 동료의 대상체를 파악하고 자신의 대상체도 공유함으로써 등장하는 역동적 해석체를 먼저 형성할 수 있어야 했다. 직접적 해석체는 문제 해결이라는 목적을 지향하면서 관찰에 따른 직관이나 느낌으로 등장했고, 역동적 해석체는 복잡한 수학적 모델링 상황의 문제 해결에서 학생들이 형성하는 사례에서 관찰되었다. 최종적 해석체는 직접적 해석체와 역동적 해석체를 근거로 나타났다. 이러한 점에서 각 해석체는 일차성, 이차성, 삼차성을 가진다.

본 연구에서 학생들이 외치맨 과제 전체를 해결하면서 학생들의 소통적 사고는 Table 2의 순서와 특성으로 나타났다. 특성을 기록하지 않은부분은 문제 해결의 성공과 관련 없는 대화이다.

Table 2 . Analysis of oriented characteristics (Kim, 2019, pp. 125-129)2).

전사 번호특성
1-8
9-61목적
62-80
81-92실행
93-99
100실행
102-145
146-155실행
156-165
166-210실행
211-225
226-239실행
243-246
249실행
252-257
267-279실행
283-320
321-328목적
330-345
346-387실행
388-391
392-395실행
396-480보편

V. 결론 및 제언

본 연구는 협력적 문제 해결에서 소통적 사고를 분석하여 성공적인 문제 해결을 이끄는 소통적 사고의 특성을 살펴보았다. Peirce의 파네론적관점으로 구분한 해석체를 통해 소통적 사고가 어떤 특성을 갖는지를 알아보았는데, 학생들의소통적 사고는 문제 해결 과정마다 대상의 해석의 결과물들이 다른 성격을 가짐을 살펴볼 수 있다. 보편적 성격을 가진 최종적 해석체를 형성하기 위해 문제를 해결하려는 목적을 가질 때 학생들은 직접적 해석체를 형성할 수 있고, 실행지향적으로 역동적 해석체를 형성할 수 있었다. 소통적 사고를 통해 이루어지는 협력적 문제 해결은 이러한 세 가지 성격의 해석체가 형성될 때 가능한 것이다. 그리고 단순한 느낌이나 직관보다는 관찰을 통해 사고가 진행시킬 수 있는 역동적 해석체가 문제 해결 과정에서 지속적으로 나타나야 하고, 이 때 발신자와 수신자의 대상체가 공유될 필요가 있었다. 그리고 결국 최종적 해석체가 등장함으로써 문제가 해결될 수 있다. 연구 결과를 정리하면 다음과 같다.

첫째, 협력적 문제 해결에서 소통적 사고는 목적 지향성을 갖는다. 학생들은 수학적 문제를 해결하기 위해 올바른 해를 찾아야겠다는 목적을 갖고 과제를 수행한다. 학생들은 자신의 수학적경험을 통해 소통적 사고를 하여 동료 학생들에게 발언하고 타인의 소통적 사고를 경청한다. 때로 엉뚱한 소통적 사고에 대해서는 서로 동의하지 않으면서 자연스럽게 폐기되기도 한다. 이런특성을 갖는 소통적 사고는 ‘이거 아닌가?’라는추측, 가설, 느낌 등의 소통적 사고로 진행된다. 직접적 해석체로 나타난 소통적 사고의 목적 지향성은 주로 수학적 문제 해결 초기에 그리고 문제 해결 과정 중 점검을 위한 목적을 가질 때 나타났다.

둘째, 협력적 문제 해결에서 소통적 사고는 실행 지향성을 갖는다. 소통적 사고의 실행 지향성이란 구체적인 수학의 조작이 수행되는 소통적 사고의 특성을 말한다. 학생들은 문제 해결을 위해 수학 기호를 만들고, 그 기호에 의미를 부여한다. 예를 들어, 학생들은 동일한 과제에서 ‘감소하는 양’이라는 제시어를 통해 등차수열을 적용한 일반항을 만드는 소통적 사고를 하기도 하고, ‘시간도 변하고, 양도 변한다’는 것에 집중하여 미분의 개념을 적용하는 소통적 사고를 하기도 한다. 이런 구체적인 수학적 개념이나 기호조작의 실행이 이루어지는 소통적 사고는 실행 지향적인 특성을 갖는다. 실행 지향성을 갖는 소통적 사고는 대상의 해석을 통해 좀 더 깊이 있는 결과물을 얻는다. 실행 지향성은 주로 수학적문제 해결의 중간 과정에서 나타난다.

셋째, 협력적 문제 해결에서 소통적 사고는 보편 지향성을 갖는다. 소통적 사고의 보편 지향성이란 수학적 문제가 정확한 해결이 이루어지는 것이고, 그 결과가 누구나 인정할 수 있는 소통적 사고의 특성을 말한다. 학생들은 수학적 해결과정에서 수학 공식과 원리를 적용하는 등의 일반적인 규칙들을 적용한다. 그리고 오류 없이 얻어낸 수학적 해결이 누구나 인정할 수 있는 사실로 기능할 수 있는 일반적 규칙이 되기를 원한다. 만약, 이들의 소통적 사고가 보편 지향적특성을 갖지 않게 된다면 즉 오류가 있는 문제 해결이 된다면, 학생들은 다시 처음으로 돌아가목적 지향적인 사고와 실행 지향적 사고를 거치게 될 것이고 다시 보편 지향적인 사고를 하게 될 것이다. 외치맨 과제에서 소통적 사고의 결과로 얻어낸 약 라는 수치는 소통적 사고의 보편적 특성으로 얻어낸 결과이다. 보편 지향성은 수학적 문제 해결의 전 과정을 통해 얻어지는 대상의 해석들을 종합하는 과정에서 나타나는 소통적 사고의 특성으로 보통 마지막 단계에서 관찰된다. 이전에 시도했던 다양한 소통적 사고들이 여러 가지 대상체를 형성하게 하였고, 이단계에서 이루어지는 소통적 사고는 다른 사람도 인정할 수 있는 보편적인 성격을 갖게 된다.

이러한 연구 결과를 바탕으로 다음의 제언을 하고자 한다.

첫째, 학생들 스스로 다양한 수학적 접근을 할수 있는 과제를 설계해야 한다. 학생들에게 주어지는 과제는 의도를 갖는 발신자이며 과제가 갖는 의도 또는 의미는 수학 기호, 표, 다이어그램등으로 표현되어 수신자인 학생들에게 전달된다. 학생들은 수신자로서 과제가 의도하는 것이 무엇인지를 자신만의 수학적 지식과 경험으로 해석한다. 따라서 과제가 갖는 의도에 따라 과제의수준이 달라질 수 있고, 과제가 제시하는 언어적표현들을 학생들이 어떻게 해석하느냐에 따라 성공적인 문제 해결로 이어질 수도, 오류가 있는문제 해결로 이어질 수도 있다. 즉 과제가 전달하는 의미가 학생들에게는 수학적 대상이 된다. 학생들이 전달된 의미를 어떻게 해석하느냐는 문제 해결에 있어 다양한 수학적 사고를 할 수 있게 하는 근간이 된다.

둘째, 의사소통 역량을 강화시키고자 하는 많은 연구와 더불어 정의적인 영역과 인지적인 영역을 함께 증진시킬 수 있는 교육적 방안이 마련되어야 한다. 소통적 사고는 단순 메시지 전달을 목적으로 하는 주입식 교육이 아닌 교육 환경에서 학생들이 스스로 활동하여 구성하는 의미 분석에 대한 역동적 해석을 위해 중요하다. 협력의 과정에서 이루어지는 소통적 사고는 한 개인이 수학적 대상을 해석하는 것도 중요하지만, 타인의 소통적 사고와 수학적 상황에 많은영향을 받을 수도 있다. 이것은 정의적 영역과연결되어 설명될 수 있는데, 수업 분위기나 성격적 요인으로 인해 자신의 소통적 사고를 자신 있게 주장하지 못하는 경우가 관찰되기도 한다. 본 연구에서도 실험을 진행하면서 한 학생은 인터뷰를 통해 다른 두 학생의 주장이 너무 강하여 자신의 생각이 틀렸다고 생각한 부분이 있음을 말하였다. 이 학생이 했던 생각은 올바른 문제 해결을 위한 과정에서 필요한 것이었고, 이것이 동료 학생들과의 소통적 사고로 이어지지 못하면서 문제 해결에 많은 시간이 지체되었다.

셋째, 기호학을 적용하여 학생들의 사고 과정을 살펴보는 분석 연구가 다양한 상황에서 활성화되어야 한다. 본 연구는 소통적 사고의 특성을분석하기 위해 Peirce의 파네론을 근거로 하였다. 파네론을 근거로 하는 기호학적 분석은 학생들의 사고 활동을 분석할 수 있는 모든 수학 과제에 적용될 수 있다. 본 연구에서는 문제 해결의과정에서 소통적 사고를 분석하였지만 개념 학습의 수학적 상황에서 이루어지는 학생들의 사고를 분석하는 도구로도 활용이 가능하다. 예를들어, Perry et al.(2016)이 적용한 대상체 접근은수학적 개념을 확인하고 복습하는 과정에 적용되었다. 수학 교실에서 기호학은 교사가 의도하는 수학 개념이 학생들에게 올바르게 전달되어 적절한 수학적 지식을 구성하였는지를 관찰할 수 있게 하고, 동료 학생들의 언어적 표현이 한개인에게 수학적 개념이 잘 형성되도록 돕는지 그렇지 않은지를 관찰할 수 있게 하여 학생들에게 더 나은 수학 학습 환경을 제공하는 도구로 사용될 수 있다.

Footnote

2) 음영은 앞에서 분석한 예시임

Fig 1.

Figure 1. Oetzi task for students (Kim, 2019, p. 62)
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 1-17https://doi.org/10.29275/jerm.2020.02.30.1.1

Fig 2.

Figure 2. Data for students (Kim, 2019, p. 63)
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 1-17https://doi.org/10.29275/jerm.2020.02.30.1.1

Fig 3.

Figure 3. Analytical framework of communicational thinking (Kim & Kim, 2018, p. 135)
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 1-17https://doi.org/10.29275/jerm.2020.02.30.1.1

Fig 4.

Figure 4. Communicational thinking of student R forming immediate interpretant (Kim, 2019, p. 92)
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 1-17https://doi.org/10.29275/jerm.2020.02.30.1.1

Fig 5.

Figure 5. Communication thinking of student E and student N forming dynamic interpretant(Kim, 2019, p. 98)
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 1-17https://doi.org/10.29275/jerm.2020.02.30.1.1

Fig 6.

Figure 6. Communication thinking of student R forming final interpretant (Kim, 2019, p. 103)
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 1-17https://doi.org/10.29275/jerm.2020.02.30.1.1

Table 1 Research procedure (Kim, 2019, p. 65)

연구 절차시기수집 자료
외치맨 실험 문제 설계2018. 04문제 선정, 문제 검토 의뢰, 학생 선정
외치맨 과제 실험2018. 5. 14영상, 음성 녹음, 활동지
외치맨 과제 전사2018. 5. 14 - 20학생들의 음성 자료 파일
외치맨 과제 학생 면담2018. 5. 21, 25학생들의 음성 자료 파일
외치맨 과제 해석체 분석2018. 05 - 2018. 08사례를 통한 해석체 분석

Table 2 Analysis of oriented characteristics (Kim, 2019, pp. 125-129)2)

전사 번호특성
1-8
9-61목적
62-80
81-92실행
93-99
100실행
102-145
146-155실행
156-165
166-210실행
211-225
226-239실행
243-246
249실행
252-257
267-279실행
283-320
321-328목적
330-345
346-387실행
388-391
392-395실행
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Korea Society of Education Studies in Mathematics

Vol.32 No.2
2020-02-28

pISSN 2288-7733
eISSN 2288-8357

Frequency : Quarterly

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