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Ex) Article Title, Author, Keywords

## 전자저널 논문

2020; 30(1): 39-66

Published online February 28, 2020 https://doi.org/10.29275/jerm.2020.02.30.1.39

## 표현 유창성의 렌즈로 본 대학생들의 미분계수 과정-대상 구조 이해

Jihyun Lee

* Professor, Incheon National University, South Korea, jihyunlee@inu.ac.kr

*인천대학교 교수

Received: January 10, 2020; Revised: February 10, 2020; Accepted: February 18, 2020

### Abstract

Representational fluency refers to the ability to easily and accurately interact with multiple representations of a concept. This study focused on a specific representation fluency about derivatives at a point: the ability to represent derivatives at a point algebraically, graphically, numerically, and verbally from the functions given by formulas, graphs, tables, and verbal descriptions. Thirty-four Korean university students participated in the representational fluency assessment consisting of 16 tasks, and their written responses were analyzed by using the qualitative content analysis method to explore their understanding of the process-object layers of derivatives at a point from their interactions with given representations of each task. The emergent students’ derivative conception categories indicate that a substantial portion of the students did not fully understand a derivative as a rate of change of a dependent variable with respect to an independent variable, and lacked understanding of the ratio, limit, and function process underlying the concept of the derivative. Students’ diverse responses to the representational fluency tasks and qualitative analysis of such tasks demonstrate what students’ interactions with the given multiple representations of derivatives involve and what possibilities multiple representations tasks have as a tool for assessing and facilitating students’ understanding of the complex concept structure of derivatives.

Keywordsderivatives, multiple representations, representational fluency, process-object theory, a rate of change

미분계수는 ‘대수적-기호적’으로 평균 변화율의 극한, ‘그래프적’으로 접선의 기울기, (오차를수반하는) ‘수치적’ 근삿값으로서의 평균 변화율, ‘언어적’으로 순간 변화율로의 해석이라는 표현을 갖는다. 이와 같은 다양한 표현들은 학습자의인지에 입력되는 시각 정보 혹은 외적 자극으로, 각 외적 표현은 한 개념에 대한 ‘다른 정보’를제공 혹은 부각하며 ‘다른 인지적 과정’을 유도할 수 있다(Zhang, 1997). 다양한 표현을 갖는 개념을 일관적으로 이해하기 위해서는, 각 표현 사이의 연결을 형성해야 한다(Santos & Thomas, 2003). 표현 사이의 연결과 관련하여, Janvier (1987)등 여러 연구자들이 개념의 한 표현으로부터 다른 표현으로 ‘이동’하는 인지적·심리적 과정인 표현 번역(translation)에 주목해왔다. ‘표현유창성(representational fluency)’은 개념의 다양한표현과 정확하고 용이하게 상호 작용할 수 있는 능력으로, 각 표현의 해석·구성 및 표현 사이의번역 능력 등을 포함한다(Acevedo Nistal, Van Dooren, Clarebout, Elen, & Verschaffel, 2010, p. 74).

표현 유창성은 함수와 미분 이해의 핵심적인 부분으로 간주되어 왔다(Even, 1998; Kendal & Stacey, 2003; Lesh & Doerr, 2003). 그러나 함수와 미분 개념에 대하여 여러 연구들이 학생들이 주로 대수적(혹은 기호적)표현에 과도하게 의존하는 경향이 있으며(Knuth, 2000; Sullivan, 1995), 특정 표현에서 함수 혹은 미분에 대한 지식을 적용할 수 있었던 학생들이 다른 표현이 주어지면 동일한 지식의 적용에 종종 실패한다는 점을 보고하고 있다(Elia, Panaoura, Eracleous, & Gagatsis, 2007; Gerson, 2001). 많은 학생들이 함수 혹은 미분 개념의 다양한 표현 간 번역을 정확하게 수행하지 못한다(Even, 1998; Kendal & Stacey, 2003; Knuth, 2000). 특히 여러 연구자들이 학생들의 낮은 혹은 비 일관적인 표현 간 번역 능력으로부터 학생들의 해당 개념에 대한 인지구조에서 이러한 표현 사이의 연결이 약하며 일관적인 전체로 통합되어 있지 않음을 추론하였다(Elia & Gagatsis, 2008; Elia, Gagatsis, & Gras, 2005; Kendal & Stacey, 2003).

그러나 표현 번역 과정에서 ‘번역’의 대상은, 외적 표현 자체보다는 외적 표현이 전달하는 아이디어 혹은 개념이다(Adu‐Gyamfi, Stiff, & Bossé, 2012). 한편, 대부분의 수학 개념은 하나의 인지적 존재자라기보다는 여러 지식 요소들의 복합체이다. 예를 들어 Zandieh(2000)는 미분개념을 각각 ‘과정’이자 ‘대상’으로써 인식할 수있는 ‘비율’, ‘극한’, ‘함수’로 이루어진 다층 구조로 보았다. 특히 서로 다른 표현은 개념을 이루는 다른 지식 요소 및 한 지식 요소의 다른 측면을 부각하거나 활성화할 수 있다(diSessa, 2004; Jones, 2018; Zbiek, Heid, Blume, & Dick, 2007). 따라서 표현 번역은 두 표현의 단순한 연합 과정이 아니라, 한 표현에 투영된 지식 요소로부터 다른 표현에 투영된 상응하는 지식 요소로의 전환을 수반하는 과정이다(Adu‐Gyamfi et al., 2012; Superfine, Canty, & Marshall, 2009).

학생들의 미분 개념에 관한 다양한 표현 사이의 번역 능력을 조사한 여러 연구자들이 학생들이 어떠한 표현 간의 연결 혹은 어떤 표현을 상대적으로 더 어려워하는지를 보고하였다(Amoah & Laridon, 2004; Goerdt, 2007; Kendal & Stacey, 2003; Lee, 2018). 그러나 Even(1998, p. 119)이 지적하였듯이, 학생들이 특정 표현의 조작 혹은 표현 간의 연결을 어려워한다는 사실보다 더 중요한 것은 외적 표현과의 상호작용 과정에서, 학생들이 표현으로 전달되는 개념에 대해 ‘무엇을’ 또한 ‘어떻게’ 사고하는지를 이해하는 것이다. 그러나 학생들의 미분에 관한 표현 간 번역 능력을 조사한 연구들은, 외적 표현에 대한 반응으로부터 학생들이 미분 개념에 대해 ‘무엇을’ 또한 ‘어떻게’ 사고하는가에 대하여 충분한 설명을제공하지는 못했다. 또한 많은 연구들이 학생들의 미분 이해의 양상을 보고해왔으나, 대수적·그래프·수치적·언어적 표현이라는 대표적인 네 외적 표현과의 상호 작용 양상과 미분의 과정-대상 구조에 대한 이해가 ‘어떻게’ 얽혀있는지를 탐색한 연구는 부족하다.

이 연구는 수학교육을 전공하는 대학생들을 대상으로, “다양한 표현(함수 식·그래프·수치적 표·언어적 기술)으로 주어진 함수에 대하여, 미분계수를 대수적·그래프적·수치적·언어적으로 번역하는” 표현 유창성 문항 해결 능력을양적으로 분석한 Lee (2018)의 후속 연구이다. 본 연구에서는 다음의 연구 질문과 관련하여 16개의 표현 유창성 문항에 대한 대학생 34명의반응을 질적 내용 분석 방법을 사용하여 분석하였다.

다양한 표현과의 상호 작용에서 드러난 대학생들의 미분계수의 과정-대상 구조에 대한 인식은무엇인가?

### 1. 다양한 표현

수학적 표현이란 수학 개념 혹은 수학적 관계를 기호화·묘사·부호화하는, 식·그래프·표·다이어그램·이미지·언어적 기술·구체적 모델과 같은 기호·글자·대상들의 배열이다(Stacey & Turner, 2014, pp. 96, 112; Goldin & Shteingold, 2001, p. 5). 우리는 의식 중 혹은 무의식중에 개념의 어느 한 표현에 의존하여 미분계수와 같은 추상적인 수학 개념에 접근하고 사고하며 의사소통하고 조작한다(Duval, 2006).

특히 한 개념에 대한 다양한 표현은, 개념의특정 지식 구성 요소(혹은 정보) 및 측면을 (그외의 다른 지식 구성 요소와 측면은 덜 강조하면서)부각하며, 결과적으로 다른 인지 과정을 유도할 수 있는 어포던스(affordance)1)를 가지고 있다(Ainsworth, 2006; Zbiek et al., 2007; Zhang, 1997). 예를 들어 대수 식·그래프·수치적 표·언어적 기술은 함수에 대해 각각 다른 정보를 제공하며, 이러한 정보의 차이는 미분계수를 구하거나 사고할 때 다른 인지 과정을 유도할 수 있다. 대수식으로 제시된 함수에서는 한 점에서의 미분계수를 구하기 위하여, 도함수를 계산하는 알고리즘을 사용할 수 있다. 반면 함수의 독립 및 종속변수 순서쌍을 좌표평면의 기하학적 점으로 나타내는 그래프 표현은 미분계수를 한 점에서의 접선의 기울기라는 기하학적 이미지로 다룰 수 있게 한다. 반면 함수를 유한 개 순서쌍(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn)으로 나타내는 수치적 표 혹은 언어적으로 서술된 함수 관계는 특정 점에서 미분계수를 계산하는 데 필요한 정보를 충분히 제공할 수 없다. 그 대신 수치 표로 제시된 함수에서는 해당 점을 포함한 작은 근방에서의 평균 변화율 값으로 미분계수 값을 근사할 수 있다. 또한 실세계 맥락의 함수 현상에 대한언어적 기술은 순간 속도와 같이 일상생활에서 경험한 순간변화율에 대한 직관을 토대로 미분계수를 이해하게 하며, 알고리즘을 이용한 계산이 아닌 일상 언어를 사용한 의미 해석을 유도할 수 있다.

이와 같이 (어떤 개념이 수반하는) 표현과의상호작용에서, 각 표현은 개인이 해당 개념 구조에서 ‘무엇을’ 보며 ‘무엇을’ 할 것인지를 유도하고 제약할 수 있는 잠재력을 가지고 있다. 그러나 표현과 개인의 인지 사이의 상호 작용은 일방향이 아닌 양 방향인데, 그 개념에 대해 개인이 ‘무엇을’ 알고 있는 가 역시 주어진 표현에서다른 것을 읽고 다르게 사용할 수 있게 한다(Even, 1998; Superfine et al., 2009). 따라서 표현과의 상호 작용 과정에서 개인이 표현에서 ‘무엇을’ 보며 표현에 대해 ‘무엇을’ 하는가는 그표현의 잠재적인 어포던스 뿐만 아니라 개인이해당 개념에 대해 ‘무엇을’ 알고 있는 가에도 의존한다. 한 개념의 서로 다른 표현들이 해당 개념과 인지 과정에 상이한 어포던스를 제공한다는 점은 다양한 표현 사이의 연결 형성이 중요한 이유이자 이러한 연결 형성이 쉽지 않은 이유이기도 하다.

Kendal과 Stacey(2003)는 기호적·그래프적·수치적 표현 내 및 간에서의 18개 미분 표현-해석능력으로 구성한 미분 역량 틀(differentiation competency framework)로 11학년 호주 고등학생들의 다양한 표현에 걸친 미분 이해를 평가하였다. 연구 결과, 수업에서 다양한 표현을 강조했음에도 불구하고 18개 표현 역량 문항에 대한학생들의 성취도는 전반적으로 저조하였으며, 소수 학생들만이 세 미분 표현 간 번역에 성공하였다. 또한 학생들의 성취도는 기호적 표현을 수반하는 표현 역량 문항 군에서 가장 높았으며, 수치적 표현을 수반하는 문항 군에서 가장 낮았다. 세 표현 간 번역 중 학생들은 기호적-그래프표현 사이의 번역을 가장 성공적으로 수행했던 반면, 수치적-그래프 표현 사이의 번역에서 가장낮은 성취도를 보였다. 이들 연구자들은 이와 같은 학생들의 표현 역량 양상이 미적분 수업에서의 각 표현에 대한 상대적인 강조를 보여주는 결과라고 해석하였다.

Goerdt(2007)는 미적분 개념의 다양한 표현 및표현 간 번역 활동과 응용을 강조하는 개혁 지향적 교육과정과, 미적분 개념의 다양한 표현을소개하지만 주로 기호적 표현의 조작에 치중하는 전통적 미적분 교육과정이 대학생들의 미분 이해에 미치는 영향을 탐색하기 위하여, 개혁 지향적 미적분 강의를 수강한 대학생들과 전통적 미적분 수업을 수강한 대학생들을 대상으로 미분 개념의 기호적·그래프적·수치적·언어적 표현 사이의 번역 능력을 비교 분석하였다. 조사결과 개혁 지향적 미적분 강의를 수강한 학생들이 전통적 미적분 수업을 수강했던 학생들보다표현 번역 능력 평가에서 우수한 성취를 보였다.

Superfine et al. (2009, p. 218)은 학생들의 표현 번역 능력을 조사했던 여러 경험 연구들이 학생들의 표현 번역 반응을, 흔히 표현 번역을 정확하게 수행했는지 아닌지의 여부에 따라 정답 혹은 오답으로 평가함으로써, 표현 번역을 전통적으로 “전부 혹은 전무 활동(all-or-none activity)” 으로 취급해왔다고 지적하였다. 특히 해당 개념에 대한 이해는 주어진 외적 표현과의 상호 작용에 영향을 미치는 중요한 요인 중 하나이지만, 학생들의 표현 번역 능력을 조사한 많은 연구들이 표현 번역 반응을 단순하게 평가하는 데 그쳤으며 학생들의 구체적인 표현 번역 행동이 해당 개념에 대한 학생들의 이해에 대해 무엇을 함의하는 지에 대해서는 충분히 탐색하지 못했다(Superfine et al., 2009). 앞에서 소개한 미분 개념에 대한 표현 번역 능력을 조사한 연구(Goerdt, 2007; Kendal & Stacey, 2003)들도 학생들의 각 표현에 따른 성취도 혹은 학생집단 간 표현 번역 능력의 차이를, 교육과정 및 수업에서 제공한다양한 표현에 대한 학습 기회/강조의 차이라는교수학적 변인으로 설명하였으나, 학생들이 문제에서 주어진 표현과 ‘어떻게’ 상호작용하는지, 또한 표현과의 상호작용에서 학생들이 개념에 대하여 ‘무엇을’ 인식하는지, 그리고 표현과의상호작용에서 겪는 개념적 어려움이 무엇인지에 대해서는 충분한 설명을 제공하지 않았다.

### 2. 수학 개념의 과정-대상 이중성

Sfard(1991)는 수·함수와 같은 많은 수학 개념이, ‘과정으로부터 대상으로의 추상화’라는 수학개념 고유의 추상화 과정에서 비롯된 ‘구조적인대상’과 ‘조작적 과정’이라는 이중적 속성을 가지고 있다고 보았다. ‘구조적 대상’과 ‘조작적 과정’은 수학 개념의 다른 존재 양식이자, 수학 개념에 대한 다른 인식의 방법(ways of conception)이다. 어떤 수학적 개념을 ‘대상’으로 구조적으로 인식한다는 것은, 개념을 마치 시 공간 어딘가에 실제로 존재하는 사물과 같이 정적인 구조로 참조하는 것을 말한다(Sfard, 1991, p. 4). 반면어떤 개념을 조작적인 ‘과정’으로 인식한다는 것은 그것을 정적인 대상보다는 “과정, 알고리즘, 행동 자체 혹은 그 결과(Sfard, 1991, pp. 4, 33)” 로 보는 것이다. 구조적인 인식이 “정적이고, 즉각적이며, 통합적인” 반면 조작적 인식은 “동적이고, 순차적이며 상세한” 특징이 있다(Sfard, 1991, p. 4). 개념이 제시되는 표현 역시 그 개념이 조작적 혹은 구조적으로 인식되는가에 영향을 미칠 수 있는데(Sfard, 1991, pp. 5-6), 예를 들어 함수의 그래프는 함수를 한눈에 볼 수 있는시각적 대상으로 조작가능하게 함으로써 구조적인식을 촉진할 수 있다. 그래프와 달리 함수 관계에 대한 언어적 기술은 즉각적으로 파악하기 어려우며 순차적으로 처리되므로, 상대적으로 함수에 대한 조작적 인식을 유도할 수 있다. Sfard(1991, pp. 4-5)는 한 개념에 대한 조작적-구조적 인식은, 양자 역학에서 빛이 “파동”과 “입자”라는 이중성을 가지고 있듯이 문제 해결과이해에서 서로 상보적인 역할을 한다고 지적하면서, 어떤 수학 개념을 조작적인 과정인 동시에정적인 구조로 유연하게 사고할 수 있을 때 그 개념을 완전히 이해했다고 보았다.

Sfard는 수·함수 개념에 대한 역사 발생적·인지 심리적 분석을 통하여, 많은 수학적 개념이처음에는 조작적인 과정으로 인지되며 차후 더 상위 단계에서의 수학적 필요로 인해 조작적인 과정이 구조적 대상으로 전환된다는 점에 주목하였다. Sfard는 학습자의 자연스러운 개념 발달과정에서도 일반적으로 개념에 대한 조작적 인식이 구조적 인식보다 선행하며, 조작적 인식으로부터 구조적 인식으로의 이행 과정을, 실제적인 수행 없이도 과정에 대한 사고가 가능해지는 ‘내면화(interiorization)’, 여러 과정 단계를 하나로축약하는 ‘압축(condensation)’, 이전 단계의 과정이 하나의 완전한 정적 구조로서의 대상으로 굳어지고 이 대상을 사용한 새로운 과정의 내면화가 시작되는 ‘실재화(reification)’의 세 단계로 설명하였다(Sfard, 1991, pp. 18-20). 그러나 교수학습에서 구조적 정의로 어떤 개념의 조작적 근원을 생략한 채 추상적인 대상으로서의 개념을 학생들에게 바로 제시하면, 학생들은 과정으로부터의 실재화 과정을 제대로 밟지 못한 채 그 대상의 특정 외적 표현(예를 들어 식·그래프·기호·명칭)을 대상 그 자체로 간주할 수 있다(Sfard, 1991, pp. 21-23; Sfard & Linchevski, 1994, pp. 220-222). Sfard와 Linchevski (1994, p. 220)는 어떤 수학 개념을 특정 표현에 의존하여 대상처럼 조작하나, 대상이 나오는 조작적 과정을 결여한개념 인식을 “의미론적으로 역전된(semantically debased)”, “의사 구조적 인식(pseudostructural conception)”이라고 불렀다.

### 3. 미분의 개념적 분석과 과정-대상 다층구조

우리는 일상경험에 기초하여, 순간속력이 무엇을 의미하는지를 직관적으로 이해한다. 그러나 순간속력, 더 일반적으로 어떤 물리량의 시간에대한 ‘순간변화율’이라는 관념은, ‘순간’에서는시간의 변화가 없으나 ‘변화율’을 생각하기 위해서는 시간의 변화가 필요하다는 점에서 모순을 내포하고 있다. Newton이 직면했던 수학적 과제중 하나는, 이와 같이 일견 직관적이나 동시에모순적인 대상인 ‘순간변화율’이 나오는 ‘동적과정’을 규명하는 것이었다.

특정 시간 구간에서 f(t)가 시간 t의 함수인 어떤 물리량이라고 하면, tt + Δt사이의 함수의 평균변화율은 f(t+Δt)f(t)Δt이다. 이때 시간 변화량 Δt가 0에 가까워지나 0은 아니라면, 평균변화율 f(t+Δt)f(t)Δt은 시각 t에서의 순간변화율이라고 할 수 없다. 또한 시각 t에서는 Δt가 0이 되므로 변화율을 정의할 수 없다. Newton은 이와 같은 순간변화율 개념의 “변화율이 정의되기 위해 0이 아닌 시간 변화량 Δt를유지해야 하며”, “순간이기 위해 시간 변화량 Δt를 0처럼 취급할 수 있어야” 한다는 상호 충돌하는 요구를 동시에 만족하기 위하여 다음과 같은 극한 과정을 생각해냈다(Belding & Mitchell, 2008, p. 53). Newton은 Δt가 0이 되지는 않으면서 점점 작아질 때, (평균)변화율의 분모 Δt와 분자 Δf가 모두 0에 가까워지지만, 이두 수의 비율은 고정된 어떤 수에 한없이 다가가는 것을 관찰하였으며, 이 값을 이러한 무한과정의 최종 상태인 극한(Newton의 표현을 따르면, “사라지는 양들의 최종 비(the ultimate ratio of vanishing quantities; Newton, 1999, p. 442)”로간주하였다. Newton은 위와 같이 순간변화율에내재된 극한 과정을 규명하였으나, 극한을 명확하게 정의하는 대신 그 의미를 물리적 직관에 의존하여 기술하였다. 특히 y=t2와 같은 함수에 대해 Δt가 0에 가까워질 때 평균변화율의 극한을 계산하는 과정에서, Newton은 Δt를 극한 과정에서는 Δt에 대한 Δy의 비율을 생각할 수 있는 ‘0 아닌 것’으로, 또한 최종 극한값을 취할때에는 ‘0’으로 취급하였다. Berkeley는 뉴턴의계산에서 Δt의 모순적인 취급을 비판하면서, 뉴턴의 “사라지는 양들의 최종 비”를 “사라진 값들의 유령(ghosts of departed quantities)”이라고비판하였다(Grattan-Guinness & Bos, 2000, pp. 88-89). 버클리의 이와 같은 비판에 대해 방어하기 위해 논리적으로 엄밀한 극한 이론의 필요성이 대두되었으며, 마침내 1820년경 Cauchy는 미분에 대한 εδ정의를 제시하였다. 특히 Cauchy의 정의는, 뉴턴의 “점점 작아진다”, “한 없이 가까워진다”와 같은 극한에 대한 운동학적 서술을 δε에 대한 부등식들의 대수적 조작으로 대체하여 극한의 의미를 대수적으로 엄밀하게 정의하였다(Grabiner, 1978). 한편, Lagrange는 미분계수 개념을 도함수로 확장하였다(Grabiner, 1983).

오늘날 미적분 교과서에서는 미분을 각 점에서의 함숫값이 평균변화율(독립변수 변화량에대한 종속변수 변화량의 비율)의 극한으로 정의되는 함수로 정의한다. Zandieh(2000)는 미분 정의에서 각각 ‘과정’이자 ‘대상’으로 인식할 수 있는 ‘비율’, ‘극한’, ‘함수’의 세 지식 요소를 포착하고, 이 세 요소를 미분의 개념 구조를 이루는 ‘과정-대상 층(process-object layers)’이라고 불렀다. Zandieh(2000)에 따르면, 첫 번째 층의 비율과정은 “두 대상(독립 및 종속변수 변화량)을 취해 나누는 과정(Ibid, p. 107)” 을 의미한다. 비율과정에서 실재화된 비율에 적용되는 두 번째 극한 과정은, “무수히 많은 비율 값을 거쳐 어떤한 값에 다가가는 과정(Ibid, p. 107)”이다. 극한과정에서 실재화된 순간변화율에 작용하는 세 번째 함수 과정은, “각 독립변수 값에 대하여, 그 점에서의 순간변화율(비율(평균변화율)의 극한값)을 대응시키는 과정(Ibid, p. 107)”으로, 함수과정의 결과 새로운 함수인 도함수 f'(x)를 얻게된다. 학생들의 미분 이해를 탐색하기 위하여, Zandieh는 비율-극한-함수층을 행으로, 이러한 세층을 생각할 수 있는 그래프적·언어적·물리적·기호적 표현을 열로 고려한 2차원 분석틀을제시하였다. 이 2차원 분석틀의 각 셀은 조작적과정이자 구조적 대상으로 인식할 수 있는데, Zandieh(2000, p. 107)는 조작적 ‘과정’을 결여한채 “의사 구조적(Sfard, 1991)”으로 인식된 ‘대상’ 을 “의사 대상(pseudo-object)”이라고 불렀다. 예를 들어 어떤 비율을 이 값이 나온 두 양을 나누는 과정에 대한 고려 없이, 시각적인 ‘기울기’ 혹은 ‘어떤 수’로만 인식하는 것이 ‘의사 대상’으로서의 비율 인식이다. 의사 극한 대상은 극한과정을 생각하지 못한 채, 해당 점에서의 접선의기울기·순간 속도와 같은 최종 극한 값만을 조작하는 것이다. 의사 대상 혹은 의사 구조적 인식은 마치 “(전체를 구성하는) 부분 없이 전체를이해하는 것(Zandieh, 2000, p. 108)”과 같이, 과정과 대상의 양면을 가진 수학 개념에 대하여 “과정이라는 내적 구조 없이 ‘(의사)대상’을 다루는 이해(Ibid, p. 107)”이다. Zandieh(1997, 2000)는12학년 고교생 9명을 대상으로, 여러 차례의 인터뷰를 통하여 “미분이 무엇이라고 생각하나요?” 와 같이 미분에 대한 개념 이미지를 환기하는 질문 및 문제에 대한 각 학생들의 응답을 2차원분석틀을 이용하여 분석하였다. 연구 참여자들이AP미적분 BC과정을 학습 중인 우수한 고교생들이었음에도 불구하고, 그 중 여러 학생들이 위와같은 인터뷰 질문에 대하여 비율·극한·함수 대상의 바탕이 되는 ‘과정’에 대해서는 설명하지못한 채 대상만 언급하는 의사 구조적 인식을 드러냈다. Zandieh(1997, 2000)는 학생들이 이러한 ‘의사 대상’에 의존하여 ‘비율→극한→함수’, ‘과정으로부터 대상’이라는 자연스러운 학습순서와 상관없이 임의의 순서로 미분 개념을 학습할 수 있음을 지적하였다.

본 연구에서는 미분계수가 초점이므로, Zandieh (1997, 2000)가 설명했던 비율 및 극한 과정에대해 보다 자세히 살펴보고자 한다. 앞서 소개했듯이 Zandieh(1997, 2000)은 비율 과정을 나눗셈과정(division process)으로 설명하고, 학생들이 어떤 비율 값을 두 양을 나눈 결과로 볼 수 있는지의 여부로 비율에 대한 과정 인식을 평가하였다. 특히 미분계수 맥락에서의 비율은 독립변수에 대한 종속변수 변화량의 비율인 변화율이다. 여러연구들이 학생 혹은 교사들이 두 변화량을 ‘나누어’ 변화율을 계산한다는 것은 잘 알고 있었지만, 이 나눗셈이 ‘독립 변수 변화량에 대한 종속 변수 변화량의 상대적인 크기’를 구하기 위한 혹은 ‘두 변화량을 곱셈적으로 비교’하기 위한 연산이라는 점은 잘 모르고 있음을 지적하고 있다(Byerley, Hatfield, & Thompson, 2012; Byerley & Thompson, 2014; Byerley & Thompson, 2017; Coe, 2007). 따라서 비율에 대한 과정 인식은 비율 값이 나눗셈으로 얻어진다는 점뿐만 아니라, 두 양을 곱셈적으로 비교한 값이라는 점을 이해하는 것까지 포함하여 살펴볼 필요가 있다.

한편 Zandieh(1997, 2000)는 극한 과정을 단일과정으로 설명하였다. 그러나 Cottrill et al. (1996)은 발생적 분해를 통하여, 함수의 극한 과정(limxaf(x)=L)을 하나의 단일 과정이라기보다는 함수 f에 의해 조정되는 정의역과 공역의 두 극한 과정(“정의역에서 xxa이면서 a에 가까이 가는 과정: xa”; “공역에서의 함숫값 f(x)가 극한값 L에 가까워지는 과정: f(x)L”)으로 보았다(Cottrill et al., 1996, pp. 177-178). Cottrill et al. (1996)의 관점을 미분계수에 적용하면, 미분계수의 극한 과정은 “독립변수 변화량이 0은아니면서 0에 한없이 가까워지는 정의역의 극한과정” 및 “각 독립 변수 변화량에 대한 종속 변수 변화량의 비율을 계산하는 공역의 극한 과정”의 조정으로 볼 수 있다.

Zandieh (1997, 2000)는 비율 층 다음에 극한 층이 순차적으로 작용하는 것으로 보았으나, 이와 같은 Cottrill et al. (1996)의 관점을 적용하면, 비율 층은 극한 과정의 부분 과정(공역의 극한 과정)으로 볼 수 있다. 또한 정의역과 공역의 극한과정은 미분계수가 ‘순간변화율’이기 위한 두 요구, ‘분모(독립변수 변화량)를 0처럼 취급할 수 있어야 하며’와 ‘분모는 0이 아니어야한다’를 각각반영하고 있다는 점에서, 미분계수의 극한 과정에대한 이해는 이와 같이 상호 충돌하는 정의역과 공역의 극한 과정 사이의 조정을 필요로 한다.

여러 연구자(예를 들어, Jones & Watson, 2017; Likwambe & Christiansen, 2008)들이 Zandieh의 이차원 분석틀을 바탕으로 학생들의 미분 이해를 조사하였는데, 이들 연구자들은 Zandieh의 연구 방법을 따라 소수(보통 10명 이하)의 학생을 대상으로, 미분에 대한 개념이미지를 환기하는일련의 인터뷰 질문들에 대한 각 학생의 반응을 분석하였다. 이러한 인터뷰는 개별 학생의 이해에 대한 심도 있고 광범위한 정보를 수집할 수 있는 장점을 가지고 있으나, 다수의 학생들을 대상으로 실시하기는 어려우며 미적분 강의자가 학생들의 미분계수의 다양한 표현과 과정-대상다층 구조에 대한 이해를 파악할 수 있는 일상적인 도구로 사용하기는 어렵다. 본 연구에서는인터뷰 대신 표현 유창성 설문문항에 대한 대학생들의 응답을 분석하여, 학생들의 미분계수에대한 이해를 탐색하고자 한다.

### 1. 표현 유창성 문항 설계

이 연구에서 다룰 미분계수 개념의 표현 유창성은, “다양한 표현으로 제시된 함수에 대하여, 미분계수를 대수적·그래프적·수치적·언어적으로 표현하는 능력”이다. 부록에 제시된 16개의표현 유창성 문항은 ‘함수(입력 표현)’와 ‘미분계수(출력 표현)’의 표현으로 확인할 수 있다2). 각문항에서는 함수를, (a) 대수적 식, (b) 좌표 평면위의 그래프, (c) 수치적인 표, (d) 함수관계에 대한 언어적 기술 중 한 표현으로 제시하였다. 또한 각 문항은 미분계수에 대하여, (a)대수적으로 평균변화율의 극한 혹은 f'(a)·dydxx=a, (b) 그래프로 해당 점에서의 접선의 기울기, (c) 해당 점근방에서의 평균변화율을 이용한 수치적 근사, (d) 언어적으로 해당 점에서 종속 변수의 독립변수에 대한 순간변화율로 표현(혹은 계산)하게하였다.

각 함수 표현은 미분계수를 표현 혹은 구하기 위해 이용 가능한 정보와 사고 과정에 대한 다른 어포던스를 제공한다. 또한 대수 식·그래프·표·언어적 기술의 각 함수 표현은 같은 유형의 미분계수 표현과 자연스럽게 연결되므로, 입출력 표현이 다른 표현 유창성 문항(예를 들어 A-G 문항)에서 주어진 두 표현과의 상호 작용은 미분계수의 두 표현 사이의 번역 활동을 수반하고 있다.

### 2. 연구 참여자 및 연구 맥락

수도권 소재 대학 수학교육과 재학 중인 대학교 1·4학년 학생 34명(1/4학년 각 17명)을 대상으로 IRB 연구 참여 동의서를 획득한 후, 약 1시간동안 표현 유창성 문항 조사를 실시하였다. 검사 당시 1학년 학생들은 대학 미적분 강의에서 미분을 학습한 상태였으며, 4학년 학생들은일변수 및 다변수 미적분, 해석학 등 대부분의수학교육과 전공 필수 수학 과목을 모두 이수한 상태였다. 연구 참여자들이 수강했던 미적분 강의는 미적분 개념의 대수적(혹은 기호적)·그래프적·수치적·언어적 표현을 소개하나, 과제 혹은 시험에서 학생들이 접했던 거의 대부분의 문제들은 대수적 혹은 그래프적 표현의 조작에 치중하는 전통적인 방식의 강의였다.

### 3. 자료 수집

이 연구는 표현 유창성 문항에 대한 설문 조사 및 이 설문 문항에 대한 후속 인터뷰를 실시하였다. 설문 조사 후, 가채점을 통하여 각 문항응답에 0점에서 4점의 성취 수준을 부여하였다. 가채점 결과 많은 학생들이 낮은 성취 수준에 머물렀던 6문항(2(a-b), 2(c-d), 4, 7, 10, 13번; 각G-N·G-V·N-A·V-V·A-V·V-A문항)에 대하여, 각 0, 1, 2, 3, 4점의 성취 수준을 나타낸 학생을 적어도 한 명씩은 포함하도록 20명의 후속인터뷰 대상자를 선정하였다.

인터뷰 시작 전, 학생이 각자에게 선택된 문항(들)에 대하여 자신이 쓴 답안을 다시 살펴볼 수있는 시간을 부여한 뒤, 문제를 ‘어떻게’, ‘왜’ 그렇게 해결했는지 설명해달라고 요청하였다. 학생의 답변을 바탕으로, 필요한 경우 연구자는 해당문항과 관련된 기본 개념에 대한 추가 질문을 하였다. 이와 같은 인터뷰 과정에서, 연구자는각 문항에서 주어진 표현과의 상호작용의 양상과 그 이유에 대한 추가적인 정보를 수집하였으며, 연구자가 답안에서 추론했던 미분계수의 과정-대상 다층 구조에 대한 학생들의 이해가 실제 학생들의 생각과 일치하는지를 확인하였다. 각 학생과의 인터뷰는 녹화 및 전사한 후, 추가적인 자료로 해당 학생의 지필 답안과 함께 분석하였다.

### 4. 자료 분석 방법

16개의 표현 유창성 문항에 대한 각 학생의응답을 다음의 여러 단계를 거쳐 코딩하였다. 먼저 표현 유창성 문항에 대한 각 학생의 응답을 0-4점의 성취 수준으로 양적으로 코딩한 후3), 각문항에서 주어진 표현과의 ‘불완전한’ 혹은 ‘부정확한’ 상호작용 양상을 탐색하기 위하여 표현과의 상호작용 오류에 대한 질적 내용 분석 (qualitative content analysis) 을 실시하였다. 여기서 표현과의 상호작용(많은 경우 표현 번역)에서의 오류란, ‘옳지 않은 표현 해석(혹은 구성)행동혹은 문항에서 요구된 표현 해석(혹은 구성)행동의 부재’를 의미한다.

연구자는 ‘완전한 상호작용(4점)’ 및 무응답을제외한 모든 답안의 오류를 2단계에 걸쳐 분석하였다. 첫 단계에서는 각 답안의 주된 오류의성격에 따라 각 답안을 구조적(structural)·임의적(arbitrary)·실행적(executive)오류로 분류하였다. 두 번째 단계에서는 구조적 오류로 분류된 응답에 대하여, 구조적 오류의 세부 범주를 미분계수의 과정-대상 구조에 대한 구체적인 이해와 관련하여 분류하였다.

각 문항에서 주어진 표현과 상호작용 오류에 대한 질적 내용 분석은 (가)일차 코딩 틀 구축, (나)자료 일부의 코딩 후 코딩 틀 평가 및 수정, (다)최종 코딩 틀로 전체 자료 분석 및 코딩 신뢰도 평가의 절차에 따라 수행하였다(DeCuir-Gunby, Marshall, & McCulloch, 2010; Neuendorf, 2002; Schreier, 2014).

#### 가. 일차 코딩 틀 구축

오류 분석 첫 단계에서는, Donaldson(1963)의 구조적·임의적·실행적 오류 분류에 근거하여 표현과의 ‘불완전한’ 혹은 ‘부정확한’ 상호작용의 성격 혹은 원인을 코딩하였다. Donaldson (1963, pp. 183-184)에 따르면, 구조적 오류는 문제 해결에 핵심적인 개념 및 원리 이해 부족에 기인하는 오류이다. 반면 실행적 오류는 문제 해결의 핵심 개념에 대한 이해에도 불구하고 절차를 정확하게 수행하는 데 실패한 오류이다. 한편임의적 오류는, 문제의 진술 혹은 제약 조건에충분한 주의를 기울이지 않고 문제를 자의적으로 해석하거나 접근하여 발생하는 오류이다. Table 1Donaldson (1963)의 분류를 적용하여, 표현과의 ‘불완전한’ 혹은 ‘부정확한’ 상호작용을 구조적·임의적·실행적 오류로 분류한 코딩 틀이다.

Structural, executive and arbitrary error categories in the interactions with representations

오류 범주범주 설명
구조적 오류입력 및 출력 표현에 투영된 미분계수 과정-대상 구조에 대한 오개념 혹은 이해 부족으로 인한 표현과의 상호 작용 (혹은 번역)오류
실행적 오류입력 및 출력 표현에 투영된 미분계수 과정-대상 구조에 대한 상당한 이해에도 불구하고, 계산 실수를 범하거나 애매한 언어적 표현을 제시하는 등 요구된 표현 번역 절차를 정확하게 실행하지 못한 오류
임의적 오류문제 의도, 문제 상황, 수치 등 문제 진술에 포함된 정보에 대한 충분한 이해 및 주의 부족으로 발생한 표현과의 상호 작용 (혹은 번역)오류

학생 응답이 여러 오류 혹은 다른 성격의 오류들을 포함하는 경우, 연구자는 해당 응답에서어떤 성격의 오류가 주어진 표현과의 상호작용 실패의 주된 원인인지를 판단하여 그 응답의 오류 범주를 결정하였다.

오류 분석 두 번째 단계에서는 첫 단계에서 구조적 오류로 분류된 응답, 즉 미분계수개념의이해 부족으로 인한 주어진 표현과의 ‘불완전한’ 혹은 ‘부정확한’ 상호작용에서 드러난 미분 이해를 분석하는 것이 초점이었다. 연구자는 오픈코딩으로 표현과의 ‘불완전한’ 혹은 ‘부정확한’ 상호 작용 유형의 목록을 생성하였다. 한편, 각 학생의 응답을 같은 문항에 대한 다른 학생들의 응답 및 관련된 다른 문항들에 대한 응답과 계속적으로 비교 및 대조하면서, 유사한 응답 양상을 한 범주로 묶어 구조적 오류의 세부 범주를 귀납적으로 생성하였다. 이와 같이 ‘자료에서 유도된(data-driven)’ 세부 범주를 구조화하기 위하여, 연구자는 각 세부 범주와 관련된 미분계수의과정-대상 구조에 대한 이해를 고려하였으며, 같은 혹은 유사한 과정-대상 구조의 이해 부족에기인한 오류들을 하나의 미분 인식 범주로 묶어 미분 인식에 대한 일차 코딩 틀을 구성하였다.

#### 나. 자료 일부 코딩 후 코딩 틀 평가 및 수정

연구자와 다른 분석자가 일차 코딩 틀을 이용하여 자료 일부를 코딩하면서 각 범주를 검토하고 개선하였다. 수정한 코딩 틀의 평가를 위하여, 두 분석자가 자료의 일부(10명(29%)학생 응답)를 수정한 코딩 틀을 이용하여 독립적으로코딩하였다. 독립적 코딩 결과에 대한 토론, 분석자 간 코딩 신뢰도 확인 및 수정 및 보완 작업을 거쳐 최종 코딩 틀을 구축하였다.

#### 다. 최종 코딩 틀로 전체 자료 분석 및 코딩 신뢰도 평가

분석자 간 코딩 신뢰도(inter-rater reliability) 평가를 위하여, 두 분석자는 (나)의 파일럿 코딩에서 사용하지 않은 자료 중 임의로 선택한 일부 자료(12명(35%)학생 응답)를 최종 코딩 틀로 독립적으로 코딩하였다. 분석자 간 코딩 신뢰도의척도로 Kappa 통계량을 계산한 결과, 거의 완벽한 일치 (첫 번째 차원의 구조적·임의적·실행적 오류 코딩은 κ=. 911; 두 번째 차원의 6개 미분 인식 범주(구조적 오류 세부 범주 코딩에서는 κ=. 872)로 나타났다. 분석자 간 코딩 신뢰도를 검증한 후, 두 분석자는 최종 코딩 틀로 전체학생의 응답을 재 코딩하였다.

16문항에 대한 34명 학생 응답에서 만점을 제외한 235개 응답 중, 무응답이 16.6%(39응답), 구조적 오류가 47.7%(112응답), 임의적 오류가10.2% (24응답), 실행적 오류가 25.5%(60응답) 로나타났다. 다양한 표현과의 상호 작용 과정에서드러난 대학생들의 미분계수 개념의 과정-대상구조에 대한 이해를 탐색하기 위하여, 연구결과에서는 학생 응답에 대하여 이상과 같은 다단계의 코딩 절차를 통해 도출한 6개의 미분 인식범주에 대해 자세히 살펴보고자 한다.

### IV. 연구결과

미분계수에 대한 개념적 이해 부족으로 인한 표현과의 불완전 혹은 부정확한 상호작용(구조적 오류)에 대한 내용 분석 결과, Table 2의 여섯 미분 인식 범주를 도출하였다.

The summary of students’ derivative conceptions from incomplete or incorrect interactions with multiple representations

누락 혹은 잘못 번역된 지식요소/측면미분 인식 범주표현과의 상호작용(번역)행동관련 문항 (각 범주로 코딩된 학생 응답 수)
극한과정 비율과정의사 대상 변화율미분계수 혹은 평균변화율 값의 의미를 언어적 으로 해석하는 문항에서, 독립변수와 종속변수 의 공변 관계 혹은 이 값을 지칭하는 용어를 언급하지만, 두 변화량의 곱셈적 관계를 읽어내 지 못함G-V(15), A-V(12), V-V(11), N-V(1)
비율-극한 층변화율과 변화량 사이의 혼동표현 번역 과정에서 (순간)변화율을 종속변수의 (순간)변화량으로 잘못 해석하거나 계산V-V(9), V-A(12), G-V(9), N-V(4), N-A(3), N-N(1)
극한 층의사 대상 극한 극한대상 이면의 극한 과정에 대한 고려 없이 극한 대상만을 번역G-N(11)
극한 층극한의 과정-대상 이중성 이해 부족극한 과정과 극한 대상을 유연하게 연결하지 못함A-N(5), V-A(7)
함수 과정함수 과정 이해 부족독립변수와 변화율의 공변 관계를 잘못 번역V-G(2) N-G(3)
함수 과정의사 대상 함수한 점에서의 접선 방정식과 도함수를 혼동G-A(4), A-G(2)

각 범주에 대하여, 주어진 표현과의 상호작용에서 학생들이 미분계수 과정-대상 구조에 대하여 ‘무엇을’ ‘어떻게’ 생각했으며 또한 생각하지못했던 것은 무엇인지를 살펴본다. 또한 주어진표현과 다른 상호작용 사례에 대한 비교 분석을 통하여, 다양한 표현과의 상호작용이 미분계수의과정-대상 구조에 대한 이해의 차이를 어떻게드러내는지 살펴본다.

### 1. 의사 대상 극한

G-N 문항은 모눈 위의 그래프로 제시된 함수(임신 주수에 따른 태아 몸무게)에 대하여, 주어진 점(t=25,35)에서의 접선 기울기의 근삿값을계산하도록 하였다. Figure 12는 G-N 문항에대한 두 학생의 응답으로, 표현 번역 결과는 유사하나 접선의 기울기라는 미분계수의 그래프 표현을 수치적 근삿값으로 번역하는 방식은 몇 가지 점에서 차이가 있음을 관찰할 수 있다. 학생 A는 그래프에 해당 점에서의 접선을 그은 다음, 접선 위의 두 점을 선택해 그 사이의 기울기를 계산하였는데(Figure 1), 인터뷰에서 자신의표현 번역 과정에 대해 다음과 같이 설명하였다.

Figure 1.Student A’s response (coded as “pseudo object for limit”)
Figure 2.Student B’s response to G-N task

A: t는 25에서 접하는 직선을 그린 다음에, 접하는 직선의 기울기의 근삿값을 구하는 거니까, 두 점을 잡고, 두 점사이의 기울기를 구할려고 했어요. 그래서 t는 20하고, t는 30일때 두 점을 잡아서 x변화량은 t는 20에서 30이니까 10이고, y변화량은 30일 때 0.9고, 20일 때 0.32니까 y변화량은 대충 0.58이 돼서, 기울기는 x증가량 분의 y증가량이니까 x변화량 분의 y변화량 해서 10분의 0.058로구했구요.

I: 접선을 그려서 했군요. 그럼 얘가 혹시 왜 접선이에요?

A: 음 ...그 점에서 그 그래프에 접하도록 비슷하게 그렸어요.

I: 아, 그럼 접한다는 게 뭐에요?

A: 한 점에서만 만나도록 하는,.. 딱 그 점에서만 만나도록 하는...

I: 아, 그 점에서만 만나도록 하는..., 그래서 그 점에서만 만나도록 이렇게 그린 거에요?

A: 네

I: 혹시 얘가 접선이라는 다른 근거는 없어요?

A: 음, 다른 근거는 딱히 없었던 것 같아요.

학생 A는 함수의 한 점에서의 접선이 “(함수그래프와) 딱 그 점에서만 만나는” 직선임을 알고 있었으며, 시각적 이미지를 근거로 자신이 그린 직선이 접선임을 확신하고 있었다. 이렇게 그린 직선 위의 해당 점으로부터 다소 떨어져있는 두 점을 선택하여 접선의 기울기를 계산한 학생 A의 표현 번역 행동은 접선의 기울기가 나오는극한 과정에 대해서는 생각하지 못하고 있음을 보여주고 있다. 다음은 Figure 2와 같이 이 문항을 해결한 학생 B와의 인터뷰이다.

B: 접선의 기울기의 근삿값이잖아요, 그러니까.. 한 마디로 미분한 값인데, 그냥 봐서는 알수 없으니까… 이게 그 (본인이 쓴 평균 변화율 식을 가르키며) 미분의 정의잖아요? f(b)f(a)ba, ba에 가까워질 때요. 제가 알 수 있는 구간 중에, 25를 포함하는 구간중 제일 작은 구간을 골라서 그 구간에서 평균 변화율을 구한 거에요. 물론 원래 접선의정확한 정의는 순간 변화율이 그걸 의미하는데, 그런데 그건 지금 구하기... 지금 함수의그래프도 모르고, 아니 함수의 그래프는 알지만 함수의 식을 모르고, 그래서 순간 변화율은 구하기 힘드니까 평균 변화율로 그 근삿값을 구한 거죠.

I: 순간 변화율을 이야기 했는데, 여기서 순간변화율이 뭐에요?

B: 순간 변화율은 여기서(평균 변화율 식을 가르키며) 이 차이를 엄청 좁힌 거죠, 극한을이용해서. 여기서 26에서 24는 2라는 저희눈에 보일 만큼 차이가 나는데, 순간 변화율은 극한 값을 이용하여 이 차이를 거의 없게 만든 거죠.

접선부터 그렸던 학생 A와 달리, 학생 B와 같이 번역한 학생들은 해당 점에서의 접선을 그리지 않았거나 그렸던 경우에도 이러한 시각적인 이미지에만 의존하여 문제에서 요구하는 접선인지 아닌지 판단할 수는 없다고 생각하였다. 접선의 시각적 이미지를 이용하는 대신, 학생 B는모눈에서 주어진 점(t=25)과 가장 가까운 두 점(t=24,26)을 택하여 그 사이의 평균변화율로 접선 기울기의 근삿값을 계산하였다.

학생 B가 함수 그래프에서 접선의 기울기라는 ‘극한 대상’ 뿐 아니라 ‘극한 과정’을 읽어냈으며이를 번역과정에서 사용했던 반면, 같은 상황에서 접선의 기하학적 이미지라는 극한 대상만을 보았던 학생 A의 번역과정은 극한에 대한 의사 구조적 인식을 드러내고 있다. G-N 문항에서 18명(53%)의 학생들이 번역 과정에서 접선의 기울기 이면의 극한 과정에 대한 이해를 보였으나, 11명(32%)의 학생은 ‘의사 대상’으로서의 극한에대한 인식을 드러냈다.

### 2. 의사 대상 변화율

V-V 문항은 언어적으로 제시된 함수 맥락에서구체적인 미분계수 값을 해석하는 문항으로, 많은 학생들이 미분계수가 정의되는 점 근방에서의 함숫값의 변화를 예측하였다. Figure 34는V-V 문항에 대한 두 학생의 응답이다.

Figure 3.Student C’s verbalization about the meaning of the derivative value
Figure 4.Student D’s verbalization (coded as “pseudo object for rate of change”)

학생 C는 미분계수 값(f'(60) = 6)을 60kg근방에서 독립 변수(몸무게) 1단위 증가에 대한 종속변수(약 복용량)의 증가량으로 해석하여, 미분계수가 정의되는 점 근방에서 독립 및 종속 변수 변화량의 비례 관계를 양적으로 기술하였다(Figure 3). 한편 학생 D는 미분계수 부호로부터미분계수가 정의되는 점 근방에서 독립변수가 변화하면 종속변수가 어떻게 변하는지를 질적으로 기술하였으며(Figure 4), 다음 발췌문은 학생D와의 인터뷰이다.

D: 미분계수가 0보다 크기 때문에, 함수가 60에서 증가상태인 것을 알 수 있습니다. 몸무게가 60보다 조금 더 큰 사람이 약의 적정 복용량은 60kg에서의 복용량인 40mg보다 더크다고 예상을 할 수 있는 것이지요. 왜냐하면 60에서의 미분계수가 0보다 크기 때문에,이 말을 반대로 하면 60보다 몸무게가 더작은 사람의 약의 복용량은 40mg보다 더 작다는 것도 예상할 수 있고...

I: 저, 질문이, 6이 양수일 뿐만 아니라 구체적인 숫자잖아요. 여기서 6이 의미하는 것은뭘까요?

D: 이건 좀 어려운데, 60에서 아주 조그만 숫자, 0.01이라든지 0.1? 60.1, 60.001kg 같은 미세한, 엄청나게 구분하기 힘든, 아주 작은차이로 약의 복용량을 비교를 했을 때 약 6mg이 차이가 난다로 해석할 수 있지 않을까?

I: 아 그래요? 그럼 만약 60.001kg인 사람은 약을 얼마나 먹어야 하나요?

D: 이 문제에서 정확한 값은 알 수 없을 것 같아요. 60.001은 아주 미세한 차이니까 그냥40mg을 먹어도 되지 않을까요?(중략)

학생 C가 주어진 미분계수 값으로 해당 점에서 함수의 증가·감소뿐만 아니라 독립변수와 종속변수 변화량의 크기를 곱셈적으로 비교했으나, 학생 D는 부호를 이용하여 독립변수와 종속변수 변화의 방향만을 비교하는 데 그쳤음을 관찰할 수 있다.

언어적 표현으로의 번역을 수반하는 표현 유창성 문항에서는 구체적인 미분계수(A-V, G-V, V-V 문항)혹은 평균변화율 값(N-V 문항)이 주어진 맥락에서 무엇을 의미하는지를 일상 언어로 설명하도록 하였다. 이러한 과제 요구에 대하여, 일부 학생들은 ‘몸무게(독립변수)에 따른 약의복용량(종속변수)변화율’, ‘(종속변수의)순간변화율’, 특히 독립변수가 시간인 경우(G-V, N-V 문항) ‘증가속도’, ‘(종속변수가)얼마나 빨리 증가하는지’ 등 맥락에서 주어진 값을 지시하는 용어를 어떤 두 양이 어떻게 비교되는지에 대한 구체적인 언급 없이 제시하였다.

이와 같은 미분계수 혹은 평균변화율 값의 의미 해석 문항(A-V, G-V, N-V, V-V 문항)에서, 여러 학생들이 ‘순간변화율’과 같은 미분계수의 동의어를 언급하거나, 접선의 기울기를 떠올려 학생 D와 같이 주어진 점 근방에서 함수의 증감을질적으로 기술하였다. 변화율 값의 의미에 대한 이러한 제한적인 해석은 이 학생들이 용어 혹은 기하학적 이미지로 대상으로서의 변화율을 지시했으나, 그 이면에 있는 두 양의 곱셈적 관계는읽어내지 못했다는 점에서 ‘의사 대상’으로서의변화율 인식을 보여주고 있다. 12명(35%)의 학생들이 두 표현 유창성 문항 이상에서 ‘의사 대상으로서의 변화율’ 인식을 드러냈다.

### 3. (순간)변화율과 (순간)변화량 사이의 혼동

수치 표로 제시된 함수로부터 미분계수를 근사하는 N-A 문항 및 평균변화율을 계산하는N-N 문항에 대하여, 몇몇 학생들은 평균변화율이 아닌 (해당 구간에서의) 종속변수 변화량을계산하였다. 또한 두 학생은 평균변화율을 정확히 계산했으나, N-V 문항에서 평균변화율 값의의미를 종속변수의 증가량으로 해석하였다.

이와 같은 변화량과 변화율 사이의 혼동은 극한 과정에서 0에 가까이 가는 독립변수 변화량에 대한 종속변수 변화량의 비율을 생각하는 순간변화율에서 더욱 심화되는 경향을 관찰할 수 있었다. Figure 56은 앞서 다룬 V-V 문항에대한 학생 B와 D의 응답으로, 두 응답에서 미분계수의 극한 과정에 대한 미묘한 이해 차이를 관찰할 수 있었다.

Figure 5.Student B’s verbalization about the meaning of the derivative value in the V-V task
Figure 6.Student E’s verbalization (coded as “confusion between amount of change and rate of change”)

학생 B는 학생 D와 유사하게 60kg 근방에서는 몸무게가 증가하면 약의 복용량도 증가한다고 예측하였으며, 또한 M=60(kg)에서의 미분계수 값 6을 ‘몸무게 증가량에 대한 약의 복용량증가량의 비율’이라고 해석하였다(Figure 5). 학생 B는 이와 같은 해석에 도달한 추론을 인터뷰에서 다음과 같이 설명하였다.

학생 B: f(60)이 40이라는 건, M이 60인 환자가 40mg을 복용해야 한다는 거잖아요. 이거는 그냥 그렇다는 사실인데, f'(60)이 6이라는 말은 DM의 관계를 함수로 나타냈을 때 환자의 몸무게가 60kg에서 약의 복용량의순간변화율이 6이라는 뜻이잖아요. 그러니까일단 양수니까 약의 순간변화율은, 60일 때를 전후로, 복용량은 계속 증가하고 있다는걸 알 수 있겠죠? 물론 멀리 떨어지면 잘 모르겠지만.. 함수는 막 변할 수 있으니깐... 일단 이 전후로는 약의 복용량이 증가한다고 말할 수 있을 거 에요.

아까 말했듯이 순간 변화율의 의미가, 60kg일 때만 기준으로 보면, 환자의 몸무게가1kg 늘어날 때 약의 복용량의 증가량은 6mg인데, 여기서 순간변화율이니까 환자의 몸무게가 60 아주 조금 전에서 아주 조금 너머로넘어갈 때, 그거의, 예를 들어 0.1만큼 변화했다고 치면, 이것도 M이 1 증가할 때 6만큼 D가 증가해야 하니까, 만약에 거기서 ‘순간’? 순간이라는 말의 의미가 계속 이상해지는데, 그 순간을 제가 0.1로 가정할께요. 0.1로 가정하면, 0.6만큼 증가한다, 그런 의미로말할 수 있겠죠. 물론 다음 순간이 되면, 이변화율도 변할 테니까, 지금 말한 가정처럼되지는 않겠지만요. 전달을 위해 가정하자면요.

학생 B는 미분계수가 정의되는 60kg근방에서, 몸무게가 (아주 작은 변화량, ‘순간’의 예로) 0.1kg만큼 변한다고 가정했을 때, 주어진 미분계수 값 6을 독립변수(몸무게) 변화량에 대한 종속변수(약복용량) 변화량의 비율(즉, 60kg근방에서정의된 평균변화율)과 연결하여 이에 대응하는약 복용량의 증가량은 0.6mg일 것이라고 추론하였다. 이와 같이 학생 B는 미분계수를 해석하기위해, 주어진 미분계수 값이 나오는 극한과정으로 되돌아가 해당 점 근방의 평균변화율을 떠올렸으며, 평균변화율을 통해 해당 점 근방의 작은독립변수 변화량에 대응하는 (근사적인) 종속변수 변화량을 곱셈적으로 추론하였다.

한편, 학생 E는 주어진 미분계수 값 6을, 몸무게의 특정되지 않은 작은 변화에 대응하는(“60kg 근방에서 몸무게가 변화할 때”) ‘약 복용량의 변화량’으로 해석하였다(Figure 6). 학생 E와의 인터뷰에서 연구자는 “60kg 근방에서 몸무게가 변화할 때”에 대한 부연 설명을 요청하였다.

E: 이 사람이 60kg일 때, 복용량이 40이잖아요. 60kg일 때 변화량이 6이었으니까, 60kg근방에서 몸무게가 변할 때 약의 복용량이 6mg씩 계속 달라진다는 것을 말하는 것 같아서 이렇게 해석했어요.

I: 몸무게가 변화할 때라는 게 구체적으로 뭐에요? 구체적으로?

E: 60kg에서 59.99나, 60.**에서 왔다 갔다 할 때, 약의 변화량이 달라질 때 그 변화량이6mg이라고 생각했어요.

I: 아, 그럼 예를 들어 59.5일 때는, 그(약의) 변화량이 어떻게 되요?

E: 그거는 알 수 없어요.

I: 아, 59.5일 때는 얼마큼 변화할지는 알 수 없는 건가요?

E: 그 근방이라는 게, 엄청 작은 부분이라서, 0.5여도 차이가 많이 난다고 생각할 수 있어서, 알 수 없다고 생각해요.

학생 E의 응답 및 인터뷰는, 학생 E역시 학생B와 마찬가지로 독립변수 변화량이 0에 가까이가는 정의역의 극한과정 및 미분계수가 독립과 종속변수의 두 변화량에 관련된 값이라는 점을 어느 정도 의식하고 있음을 보여주고 있다. 그러나 학생 E는 독립변수의 특정할 수 없는 작은 변화량은 무시해 버린 채, 미분계수 값 6을 (독립변수의 작은 변화량에 대응하는) 종속변수의변화량으로 해석하였다. 함수가 해당 점에서 연속이므로 독립변수 변화량이 0에 가까워지면 대응하는 종속변수 변화량도 0에 가까워지지만, 학생 E는 이점을 깨닫지 못한 채 주어진 미분계수값 6을 (0에 가까이 가는 독립 변수 변화량에 대응하는)종속변수의 변화량으로 생각하고 있었다. V-V 문항에서 9명(24%)의 학생들이 학생 E와같이 주어진 미분계수 값을 종속변수의 변화량으로 해석하였다.

다음 V-A 문항에 대한 응답(Figure 78)은, ‘율’과 ‘양’에 대한 학생들의 혼동을 보다 분명하게 보여주고 있다. V-A 문항은 일상 언어로 제시된 뉴스평점(독립변수)과 수익(종속변수)의 함수 정보를 미분계수로 대수적으로 번역하는 문항이었다. 뉴스 평점이 4.3점에서 0.1점 상승할때 500만원의 수익이 증가한다는 정보로부터, 주어진 0.1의 평점 차이를 충분히 작다고 가정하면, f'(a)(여기서 a는 4.3과 4.4 사이의 임의의 수가 될 수 있다)의 값은 제시된 두 평점 사이의 평균변화율 5000.1=5,000(/)으로 근사적으로 나타낼 수 있다. 다음은 위 정보를 “f'(4.4)≒5000000(원)”으로 번역한 학생 G(Figure 7)와의 인터뷰이다.

Figure 7.Student G’s response (coded as “confusion between amount of change and rate of change”)
Figure 8.Student C’s response (coded as “confusion between amount of change and rate of change”)

G: 우선은, 이 함수를 정의부터 했어야 했잖아요? 그래서 평점에서 돈의 수익으로 가는 이함수를 먼저 생각을 한 거죠. 그래서, 평점이0점에서 10점까지, 그래서 수익으로 가는, 그래서 얘(f식을 가르키며)가 평점에서 수익으로 가는 함수니까, f'은 수익의 변화량을 나타내는 거라는 생각을 했어요.

I: 수익의 변화량

G: 네, f'은 이거의(수익을 가르키며) 변화량을 나타내는 거라서, 수익의 변화량을 나타내는것이라고 생각했어요. 그래서 500만원이 증가한다고 했잖아요? 그래서 일단 f'은 500만원이다 먼저 생각을 했었고, 그 다음에 4.3에서 0.1점 상승했다고 했잖아요? 그래서 4.4를 썼어요.

I: 그럼 여기 혹시, 문제에 미분계수의 단위도 쓰라고 했잖아요. 단위는 뭐가 될까요?

G: 만원, 아니 원.

학생 G는 ‘평점’과 ‘평점 변화량’중 무엇을 함수의 독립변수로 생각해야 하는지도 고민했다. 학생 G는 주어진 함수 정보에서 평점을 독립변수, 수익을 종속변수로 옳게 선택하고, 평점과수익사이의 공변 관계도 이해했으나, 평점 변화량에 대한 수익 변화량의 비율 대신 요구된 미분계수 값을 “종속변수의 변화량(500만원)”으로, 이 미분계수 값을 취하는 독립변수 값은 주어진평점 4.3에서 0.1을 더해 4.4로 구했다. 다음은 학생 G와 유사하게, 주어진 정보를 “f'(4.3)≒500(만원)”이라고 번역한 학생 C(Figure 8)와의인터뷰이다.

C: 저는 이걸 0.1점이 상승하면 500만원이 수익이 난다고 했으니깐, 이거를 작은 계수로 봐서(0.1을 가르킴), 음, 이거 정도면 작은 값으로 생각해서 프라임 값으로 어느 정도로 나타낼 수 있다고 생각해서 f'(4.3)≒500(만원)이라고 했는데..

학생 C는 미분계수의 의미를 언어적으로 해석하는 다른 문항(G-V, V-V)에서, 미분계수 값을독립변수의 1 단위 변화에 대응하는 종속변수의변화량으로 잘 해석했던 학생이었다(Figure 3 참조). 그러나 학생 C는 독립변수의 1이 아닌 0.1 변화량이 주어진 V-A 문항에서는 두 변화량의비율을 생각하는 대신, 독립변수의 0.1 변화량은무시한 채 종속변수 변화량이 미분계수 값을 근사적으로 나타낸다고 번역하였다. 학생 C의 V-A에 대한 번역은, 임의의 독립변수 변화량이 아닌1이라는 특정 덩어리(chunk)에 대해서만 이에 해당하는 종속변수 변화량과의 비율을 생각했음을 보여주고 있다.

학생 C의 추론에서, 변화율로서의 미분계수에대한 “덩어리 의미(chunky meaning; Byerley & Thompson, 2017, pp. 172-174)”가 어떻게 표출되었는지도 주목할 필요가 있다. 미분계수의 극한과정은 ‘각 독립변수와 종속변수 변화량을 곱셈적으로 비교하는 공역의 비율 과정’과 ‘독립변수변화량이 점점 더 0에 가까워지는 정의역의 극한과정’의 조정을 수반한다. 그런데 학생 C는 정의역의 극한 과정에서 독립변수의 0.1이라는 작은 변화량을 “이거 정도면 (비율에서 누락 가능한) 작은 값이라고 생각하여”, 이에 대한 종속변수 변화량의 비율을 생각하지 않았다.

두 학생 C와 G 모두 평균변화율의 극한이라는 미분계수 정의를 잘 알고 있었으며 정의를 그래프 맥락에서 설명할 수도 있었으나, 두 학생모두 미분계수 정의와 종속변수의 변화량이라는 해석 사이의 모순을 깨닫지 못했다.

V-A문항에서 미분계수 값과 단위를 모두 정확히 번역한 학생은 34명 중 두 명에 그쳤다. 대부분의 학생들이 미분계수 단위를 누락하거나 ‘원/점(종속 변수(수익)단위/독립 변수(평점) 단위)’이아닌 ‘’이라고 생각하고 있었다. 미분계수를‘(종속변수의) 순간 변화량’으로 생각하여 f'(4.3)의 값을 500만원으로 계산한 C나 G와 같은 학생들뿐만 아니라, 정확하게 평균변화율을 5000.1=50,000,000으로 계산했던 인터뷰 학생들중에서도 미분계수의 단위를 ‘종속변수의 단위’ 로 생각했던 학생들이 있었다. 특히 이 학생들은평균변화율 값 50,000,000을 “(독립변수가) 1단위만큼 증가했을 때 (종속변수의) 증가량”이라고 해석하여, 그 단위는 ‘원’이라고 생각하였다. 이와같은 미분계수(혹은 평균변화율) 단위 오류 역시학생 C와 유사하게 변화율로서의 미분계수에 대한 “덩어리 의미”를 표출하고 있으며, 변화율을정확히 계산했으나 변화율이 “한 변화량의 다른변화량에 대한 상대적 크기(Byerley & Thompson, 2017, p. 173)”라는 점을 충분히 이해하지 못하고있음을 보여주고 있다. 10명(29%)의 학생들이 두문항 이상에서 변화율과 변화량을 혼동하였다.

### 4. 극한의 과정-대상 이중성 이해 부족

A-N 문항은 함수 f(x)=x3f(1.99)와 f(2.01)의 근삿값을 f'(2)를 이용하여 구하는 문제이다. x=2 근방에서 함수의 평균변화율은 f'(2)값으로 근사할 수 있으므로, 이 문항은 미분계수의 대수적 표현 f'(2)으로부터 x=2근방의 평균변화율이라는 수치적 표현으로의 번역을 수반한다. 특히 수치적 표현이 극한 과정을 투영하는 반면 대수적 표현은 극한 대상을 투영하므로, 이러한 두표현사이의 번역은 두 입출력 표현에 투영된 극한 대상과 과정의 연결을 필요로 한다. Figure 910은 A-N 문항에 대한 학생 K와 H의 응답이다.

Figure 9.Student K’s response to A-N task
Figure 10.Student H’s response to A-N task (coded as “weak understanding of process-object duality of the limit)

학생 K는 먼저 미분계수 정의를 상기한 후, 주어진 함수의 구간 [1.99, 2]과 [2, 2.01]에서의평균변화율 값은 f'(2)와 근사적으로 같다고 생각하였다. 이러한 추론을 바탕으로, f'(2)의 값12를 주어진 구간에서의 평균변화율의 근삿값으로 사용하여, f'(1.99)와 f'(2.01)의 근삿값을 계산해냈다(Figure 9). 일부 학생들은 f'(2)를 x=2에서의 접선의 기울기로 번역하여, 접선의 방정식 L(x)을 계산한 후 L(x)에 1.99와 2.01의 값을 대입하여 f(1.99)와 f(2.01)의 근삿값을 계산하였다.

학생 H역시 미분계수의 정의를 떠올렸으며, f'(2)를 x=2에서의 접선의 기울기로 번역하였다(Figure 10). 학생 H는 f(x) = x3x=2에서의 접선의 그래프를 그린 후, 각 그래프에서 x가 1.99 (또한 2.01)일 때의 값을 찍어 비교해보기도하였다. 이러한 노력에도 불구하고 학생 H는 x=2에서의 접선의 방정식으로 x=2근방에서의 함숫값을 근사할 수 있음을 확신하지 못해 더 이상의 시도를 포기하였다.

학생 K의 표현 번역은 f'(2)값을 원래 주어진극한 ‘대상’뿐만 아니라, 해당 점 근방의 평균변화율이라는 극한 ‘과정’으로 보았음을 보여주고있다. 극한 과정과 대상의 차이에도 불구하고, 학생 K는 이러한 극한 과정과 대상을 “같은 동전의 다른 면(Sfard, 1991)”으로 유연하게 연결했던 반면, 학생 H는 극한 과정과 대상의 연결에실패하였다. 34명 중 반 이상의 학생이 A-N 표현 번역을 성공적으로 수행했으나, 다섯 학생은학생 H의 응답과 같이 ‘극한에 대한 과정-대상이중성 이해 부족’을 드러냈다.

한편, 앞서 살펴본 V-A 문항에서 일곱 학생이함수의 언어적 정보로부터 평균변화율을 옳게 계산했으나, 평균변화율을 미분계수의 근삿값으로 연결하지 못했다. V-A 문항에 대한 이러한응답 역시 마찬가지로 극한에 대한 과정-대상이중성에 대한 약한 이해를 드러내고 있으며, 같은 미분 인식 범주로 코딩하였다.

### 5. 함수 과정에 대한 부족한 이해

이 연구의 초점은 미분계수였으나, 일부 표현유창성 문항에서는 함수층에 대한 이해도 관찰할 수 있었다. V-G 문항은 언어적 기술, N-G 문항은 수치적 표로 제시된 함수로부터 그래프 표현으로의 번역 문항이었다. 두 과제에서 다섯 학생이 독립변수의 변화에 따른 변화율의 공변(즉, 함수의 오목·볼록)를 잘못 번역하였으며, 이 중두 학생은 주어진 함수의 증감(즉, 독립변수와종속변수의 공변)도 잘못 번역하였다. 이와 같은번역 오류를 ‘함수 과정에 대한 이해 부족’ 범주로 코딩하였다.

### 6. 의사 대상 함수

다음 G-A 문항(Figure 11)은 그래프 정보를 g'(2)값으로 대수적으로 표현하는 과제였다. 학생 L은 주어진 두 점의 좌표로 접선의 기울기를 계산하고, x=2에서의 접선의 방정식을 구했다. 그러나 학생 L은 이렇게 구한 접선의 방정식을원함수의 도함수 g'(x)와 동일시했으며, 접선의 방정식에 다시 x=2를 대입하여 g'(2)값을 계산했다. G-A 문항에서 네 학생이 이와 같이 ‘한점에서의 접선의 방정식’과 ‘(원함수의) 도함수’ 를 혼동하였다.

Figure 11.Student L’s response to G-A task (coded as “pseudo object for function”)

대수식으로 주어진 함수의 한 점에서의 접선 위에 있는 점들의 좌표를 구하는 A-G 문항에서도 두 학생이 주어진 함수식으로부터 계산한 도함수를 해당 점에서의 접선의 방정식으로 간주하여 번역 과제를 해결하였다.

위와 같은 ‘한 점에서의 접선의 방정식’과 ‘도함수’의 혼동은, 이 학생들이 도함수를 계산하고도함수 기호 g'(x)를 사용하고 있음에도 불구하고, 도함수 기호 g'(x)가 나타내는 함수 과정을이해하지 못한 ‘의사 대상’으로서의 함수층에 대한 인식을 표출하고 있다.

표현 유창성 문항 응답에 대한 내용 분석으로 도출한 여섯 미분 인식 범주는, 상당수 연구 참여자들이 미분계수를 그 점에서의 변화율로 해석하지 못했으며(‘의사 대상 변화율’, ‘변화율과변화량 사이의 혼동’), 미분계수의 비율-극한-함수 과정에 대한 의식이 부족함을 보여주고 있다(‘의사 대상 변화율·극한·함수’, ‘과정-대상 이중성 이해 부족’, ‘함수 과정 이해 부족’).

여러 학생들이 미분계수 값을 해당 점 근방의 ‘(종속변수의)변화량’으로 해석하였다. 무한소를 이용하여 미분계수를 독립변수와 종속변수의 무한소 변화량의 ‘비율’로 정의하는 비표준 해석학과 달리, 표준해석학에서는 극한을 통하여 미분계수를 독립변수의 변화량이 0이 되지 않으면서0에 한없이 가까워질 때, 독립변수와 종속변수변화량의 ‘비율(평균변화율)의 극한’으로 정의한다. 따라서 미분계수 값을 해당 점 근방의 독립변수 변화량에 대한 종속변수 변화량의 상대적 크기를 말해주는 변화율로 해석하기 위해서는, 최종적인 미분계수 값에 도달하는 극한 과정에 대한 이해를 필요로 한다. 미분계수를 해석하거나 이산적인 함수 값 정보로부터 미분계수를 표현하는 표현 유창성 문항(V-V, G-V, V-A)에 대한 학생들의 응답은, 주어진 표현과의 상호작용이 극한 과정에 대한 순차적인 사고를 요구하며,학생들이 미분계수의 극한 과정을 (함수식이 없어 극한값을 계산하는 알고리즘에 의존할 수 없을 때) 어떻게 인식하고 있는지를 보여주고 있다. 적지 않은 학생들이 0에 다가가는 독립변수변화량을 생각하면서, 미분계수 값을 해당 점 근방에서의 두 변화량의 비율()이 아닌 ‘(0에 다가가는 독립변수 변화량에 대응하는)종속변수 변화량’으로 생각하고 있었다.

한편, 많은 학생들이 다양한 표현과의 상호작용에서 미분을 구성하는 비율·극한·함수의 과정 측면에 대한 부족한 이해를 표출하였다. 여러학생들이 주어진 미분계수 값에 대해 이를 지칭하는 용어 혹은 접선의 기울기라는 기하학적 이미지는 상기했으나, 두 변화량의 곱셈적 관계를읽어내지는 못했다(‘의사 대상 변화율’). 또한 접선의 기울기, 또한 f'(x)라는 도함수 기호를 참조하면서도 이러한 대상이 나오는 과정에 대해서는 알고 있지 못했거나 잘못 이해하고 있었다(‘의사 대상 극한 및 함수’).

특히 이 연구의 참여자들이 미적분 개념의 대수적·그래프 표현에 치중한 전통적인 미적분학 교육을 받은 학생들이었다는 점을 고려한다면, 이와 같은 학생들의 미분 인식 양상은 다양한 표현에 대한 학습 기회가 부족한 전통적 미적분학 교육에서 학생들이 미분계수에 대해 무엇을, 어떻게이해했으며 무엇을 이해하지 못하고 있는지를 보여주고 있다.

### VI. 결론

함수 및 미분계수의 대수적·그래프·수치적·언어적 표현을 조합한 16개 표현 유창성 문항에서 나타난 미분 인식 범주 및 그 분포(Table 2 & 3)는 각 표현과의 상호작용이 미분계수의 어떤 지식 요소 혹은 측면을 부각하며, 학생들이이에 대해 어떻게 생각했는지를 보여주고 있다. 여러 연구자들이 학생들이 미분에 대하여 수치적·언어적 표현을 수반하는 번역을 잘 수행하지 못함을 보고하였다(Bezuidenhout, 1998; Jones, 2017; Romero, 2012, Tyne, 2016). 이 연구에 참여한 학생들도 수치적·언어적 표현을 수반하는 문항에서 상대적으로 낮은 성취도를 보였으며, 상당수 학생들이 ‘의사 대상 변화율’, ‘변화율과변화량 사이의 혼동’ 인식을 드러냈다. 이는 학생들의 미분계수의 비율 및 극한 층에 대한 의사 구조적 이해가 수치적·언어적 표현에 대한 낮은 표현 능력의 원인 중 하나임을 보여주고 있다.

Distribution of students’ derivative conceptions across the representational fluency tasks

미분 출력 표현대수적 미분(A)그래프적 미분(G)수치적 미분(N)언어적 미분(V)
함수 입력 표현
대수식으로 주어진 함수(A)의사 대상 함수(2)극한 과정-대상 이해 부족(5)의사 대상 변화율(12)
그래프로 주어진 함수(G)의사 대상 함수(4)의사 대상 극한(11)의사 대상 변화율(15) 변화율-변화량 혼동(9)
수치(표)로 주어진 함수(N)변화율-변화량 혼동(3)함수 과정 이해 부족(3)변화율-변화량 혼동(1)의사 대상 변화율(1) 변화율-변화량 혼동(4)
언어적으로 기술된 함수(V)변화율-변화량 혼동(12) 극한 과정-대상 이해 부족(7)함수 과정 이해 부족(2)의사 대상 변화율(11), 변화율-변화량 혼동(9)

Zandieh(2000, p. 125)는 학생들이 흔히 접하는미분 문제들은 비율-극한-함수의 과정에 대한 이해 없이 의사 대상 인식만으로도 충분히 해결할 수 있음을 지적하였다. 그러나 표현 유창성 문항에 대한 학생들의 다양한 응답과 그에 대한 질적 분석은, 미분계수를 이루는 여러 지식 요소의대상-과정 측면에 대한 학생들의 이해를 진단할뿐만 아니라 촉진할 수 있는 도구로서의 다양한 표현을 수반하는 과제의 가능성을 보여주고 있다.

그러나 다양한 표현을 수반하는 과제 사용 그 자체가 개념 구조에 대한 학생들의 이해를 증진시킬 수 있는 것은 아니다. 미적분학을 가르치는교사가 다양한 표현을 사용하여 학생들의 개념적 이해를 증진하기 위해서는, 주어진 학습 목표와 관련하여 개념의 다양한 외적 표현이 제공하는 다른 학습 기회, 즉 각 표현이 해당 개념 구조에서 무엇을 부각하며, 표현과의 상호작용이학생들에게 유발하는 인지과정은 무엇인지 알아야 할 필요가 있다. 또한 이 연구의 분석을 바탕으로, “학생들의 표현과의 불완전한 혹은 부정확한 상호작용을 미분계수의 구조적 인식 발달을 위한 발판으로 어떻게 사용할 수 있는가?”, “표현과의 상호작용을 어떻게 스캐폴딩할 수 있는가?”, “학생들의 각 과정-대상 구조에 대한 의사구조적 인식을 다양한 표현의 어포던스를 이용하여 어떻게 드러내고 도전할 수 있는가?”, “표현 번역 과제에 대한 교실 토론을 어떻게 진행할 수 있는가?”와 같은 교수학적 질문에 대하여보다 나은 대안을 탐색할 수 있을 것이다.

### Footnote

1) Fredlund, Airey, & Linder(2013)은 주어진 표현의 “학문적 어포던스(disciplinary affordance)”를, “그 표현이 학문적 지식에 접근하는 데 제공하는 내적 잠재력(p. 658)”으로 정의하였다.

2) 앞으로 각 표현 유창성 문항을 표현할 때, ‘A-G 문항’과 같이 해당 문항의 입-출력 표현의 조합기호(대수적 (Algebraic; A)ㆍ그래프적(Graphical; G)ㆍ수치적(Numerical; N)ㆍ언어적(Verbal; V)를 이용하여 지칭한다. 표현 유창성 문항 설계에 대한 보다 자세한 설명은 본 연구의 선행 연구인 Lee(2018, pp. 578-580)을 참고하기 바란다

3) 각 문항은 주어진 표현과 ‘완전한 상호작용(complete interaction, 4점)’, ‘거의 완전한 상호작용(nearly complete interaction, 3점)’, ‘부분적(으로 옳은) 상호작용(partial or partially correct interaction, 2점)’, ‘제한적인 상호작용 (limited interaction, 1점)’, ‘미약한 상호작용 혹은 상호작용의 결여(No or a little interaction, 0점)’으로 양적으로 코딩하였다.

Lee(2018)에서는 양적코딩결과(성취 수준)를 이용하여, 각 표현 유창성 문항에 대한 학생들의 반응을 양적으로 분석하였다. 학생들은 미분계수의 언어적 표현을 요구하는 문항(A-V, G-V, V-V), 비대수적 함수 표현으로부터 미분계수를 표현하는 문항(V-A, N-A, G-N)에서 상대적으로 성취도가 낮았다. 또한 함수의 입력표현을 공유하거나 혹은 미분계수의 출력 표현을 공유하는 여러 표현 번역 문항 간 학생 성취 수준 양상이 일관적이지 않음을 관찰하였다.

### References

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### Article

#### 전자저널 논문

2020; 30(1): 39-66

Published online February 28, 2020 https://doi.org/10.29275/jerm.2020.02.30.1.39

## University Students’ Understanding of the Process-object Layers of Derivatives at a Point Through the Lens of Representational Fluency

Jihyun Lee

* Professor, Incheon National University, South Korea, jihyunlee@inu.ac.kr

Received: January 10, 2020; Revised: February 10, 2020; Accepted: February 18, 2020

### Abstract

Representational fluency refers to the ability to easily and accurately interact with multiple representations of a concept. This study focused on a specific representation fluency about derivatives at a point: the ability to represent derivatives at a point algebraically, graphically, numerically, and verbally from the functions given by formulas, graphs, tables, and verbal descriptions. Thirty-four Korean university students participated in the representational fluency assessment consisting of 16 tasks, and their written responses were analyzed by using the qualitative content analysis method to explore their understanding of the process-object layers of derivatives at a point from their interactions with given representations of each task. The emergent students’ derivative conception categories indicate that a substantial portion of the students did not fully understand a derivative as a rate of change of a dependent variable with respect to an independent variable, and lacked understanding of the ratio, limit, and function process underlying the concept of the derivative. Students’ diverse responses to the representational fluency tasks and qualitative analysis of such tasks demonstrate what students’ interactions with the given multiple representations of derivatives involve and what possibilities multiple representations tasks have as a tool for assessing and facilitating students’ understanding of the complex concept structure of derivatives.

Keywords: derivatives, multiple representations, representational fluency, process-object theory, a rate of change

### I. 서론

미분계수는 ‘대수적-기호적’으로 평균 변화율의 극한, ‘그래프적’으로 접선의 기울기, (오차를수반하는) ‘수치적’ 근삿값으로서의 평균 변화율, ‘언어적’으로 순간 변화율로의 해석이라는 표현을 갖는다. 이와 같은 다양한 표현들은 학습자의인지에 입력되는 시각 정보 혹은 외적 자극으로, 각 외적 표현은 한 개념에 대한 ‘다른 정보’를제공 혹은 부각하며 ‘다른 인지적 과정’을 유도할 수 있다(Zhang, 1997). 다양한 표현을 갖는 개념을 일관적으로 이해하기 위해서는, 각 표현 사이의 연결을 형성해야 한다(Santos & Thomas, 2003). 표현 사이의 연결과 관련하여, Janvier (1987)등 여러 연구자들이 개념의 한 표현으로부터 다른 표현으로 ‘이동’하는 인지적·심리적 과정인 표현 번역(translation)에 주목해왔다. ‘표현유창성(representational fluency)’은 개념의 다양한표현과 정확하고 용이하게 상호 작용할 수 있는 능력으로, 각 표현의 해석·구성 및 표현 사이의번역 능력 등을 포함한다(Acevedo Nistal, Van Dooren, Clarebout, Elen, & Verschaffel, 2010, p. 74).

표현 유창성은 함수와 미분 이해의 핵심적인 부분으로 간주되어 왔다(Even, 1998; Kendal & Stacey, 2003; Lesh & Doerr, 2003). 그러나 함수와 미분 개념에 대하여 여러 연구들이 학생들이 주로 대수적(혹은 기호적)표현에 과도하게 의존하는 경향이 있으며(Knuth, 2000; Sullivan, 1995), 특정 표현에서 함수 혹은 미분에 대한 지식을 적용할 수 있었던 학생들이 다른 표현이 주어지면 동일한 지식의 적용에 종종 실패한다는 점을 보고하고 있다(Elia, Panaoura, Eracleous, & Gagatsis, 2007; Gerson, 2001). 많은 학생들이 함수 혹은 미분 개념의 다양한 표현 간 번역을 정확하게 수행하지 못한다(Even, 1998; Kendal & Stacey, 2003; Knuth, 2000). 특히 여러 연구자들이 학생들의 낮은 혹은 비 일관적인 표현 간 번역 능력으로부터 학생들의 해당 개념에 대한 인지구조에서 이러한 표현 사이의 연결이 약하며 일관적인 전체로 통합되어 있지 않음을 추론하였다(Elia & Gagatsis, 2008; Elia, Gagatsis, & Gras, 2005; Kendal & Stacey, 2003).

그러나 표현 번역 과정에서 ‘번역’의 대상은, 외적 표현 자체보다는 외적 표현이 전달하는 아이디어 혹은 개념이다(Adu‐Gyamfi, Stiff, & Bossé, 2012). 한편, 대부분의 수학 개념은 하나의 인지적 존재자라기보다는 여러 지식 요소들의 복합체이다. 예를 들어 Zandieh(2000)는 미분개념을 각각 ‘과정’이자 ‘대상’으로써 인식할 수있는 ‘비율’, ‘극한’, ‘함수’로 이루어진 다층 구조로 보았다. 특히 서로 다른 표현은 개념을 이루는 다른 지식 요소 및 한 지식 요소의 다른 측면을 부각하거나 활성화할 수 있다(diSessa, 2004; Jones, 2018; Zbiek, Heid, Blume, & Dick, 2007). 따라서 표현 번역은 두 표현의 단순한 연합 과정이 아니라, 한 표현에 투영된 지식 요소로부터 다른 표현에 투영된 상응하는 지식 요소로의 전환을 수반하는 과정이다(Adu‐Gyamfi et al., 2012; Superfine, Canty, & Marshall, 2009).

학생들의 미분 개념에 관한 다양한 표현 사이의 번역 능력을 조사한 여러 연구자들이 학생들이 어떠한 표현 간의 연결 혹은 어떤 표현을 상대적으로 더 어려워하는지를 보고하였다(Amoah & Laridon, 2004; Goerdt, 2007; Kendal & Stacey, 2003; Lee, 2018). 그러나 Even(1998, p. 119)이 지적하였듯이, 학생들이 특정 표현의 조작 혹은 표현 간의 연결을 어려워한다는 사실보다 더 중요한 것은 외적 표현과의 상호작용 과정에서, 학생들이 표현으로 전달되는 개념에 대해 ‘무엇을’ 또한 ‘어떻게’ 사고하는지를 이해하는 것이다. 그러나 학생들의 미분에 관한 표현 간 번역 능력을 조사한 연구들은, 외적 표현에 대한 반응으로부터 학생들이 미분 개념에 대해 ‘무엇을’ 또한 ‘어떻게’ 사고하는가에 대하여 충분한 설명을제공하지는 못했다. 또한 많은 연구들이 학생들의 미분 이해의 양상을 보고해왔으나, 대수적·그래프·수치적·언어적 표현이라는 대표적인 네 외적 표현과의 상호 작용 양상과 미분의 과정-대상 구조에 대한 이해가 ‘어떻게’ 얽혀있는지를 탐색한 연구는 부족하다.

이 연구는 수학교육을 전공하는 대학생들을 대상으로, “다양한 표현(함수 식·그래프·수치적 표·언어적 기술)으로 주어진 함수에 대하여, 미분계수를 대수적·그래프적·수치적·언어적으로 번역하는” 표현 유창성 문항 해결 능력을양적으로 분석한 Lee (2018)의 후속 연구이다. 본 연구에서는 다음의 연구 질문과 관련하여 16개의 표현 유창성 문항에 대한 대학생 34명의반응을 질적 내용 분석 방법을 사용하여 분석하였다.

다양한 표현과의 상호 작용에서 드러난 대학생들의 미분계수의 과정-대상 구조에 대한 인식은무엇인가?

### 1. 다양한 표현

수학적 표현이란 수학 개념 혹은 수학적 관계를 기호화·묘사·부호화하는, 식·그래프·표·다이어그램·이미지·언어적 기술·구체적 모델과 같은 기호·글자·대상들의 배열이다(Stacey & Turner, 2014, pp. 96, 112; Goldin & Shteingold, 2001, p. 5). 우리는 의식 중 혹은 무의식중에 개념의 어느 한 표현에 의존하여 미분계수와 같은 추상적인 수학 개념에 접근하고 사고하며 의사소통하고 조작한다(Duval, 2006).

특히 한 개념에 대한 다양한 표현은, 개념의특정 지식 구성 요소(혹은 정보) 및 측면을 (그외의 다른 지식 구성 요소와 측면은 덜 강조하면서)부각하며, 결과적으로 다른 인지 과정을 유도할 수 있는 어포던스(affordance)1)를 가지고 있다(Ainsworth, 2006; Zbiek et al., 2007; Zhang, 1997). 예를 들어 대수 식·그래프·수치적 표·언어적 기술은 함수에 대해 각각 다른 정보를 제공하며, 이러한 정보의 차이는 미분계수를 구하거나 사고할 때 다른 인지 과정을 유도할 수 있다. 대수식으로 제시된 함수에서는 한 점에서의 미분계수를 구하기 위하여, 도함수를 계산하는 알고리즘을 사용할 수 있다. 반면 함수의 독립 및 종속변수 순서쌍을 좌표평면의 기하학적 점으로 나타내는 그래프 표현은 미분계수를 한 점에서의 접선의 기울기라는 기하학적 이미지로 다룰 수 있게 한다. 반면 함수를 유한 개 순서쌍$(x1,y1),(x2,y2),⋯(xn,yn)$으로 나타내는 수치적 표 혹은 언어적으로 서술된 함수 관계는 특정 점에서 미분계수를 계산하는 데 필요한 정보를 충분히 제공할 수 없다. 그 대신 수치 표로 제시된 함수에서는 해당 점을 포함한 작은 근방에서의 평균 변화율 값으로 미분계수 값을 근사할 수 있다. 또한 실세계 맥락의 함수 현상에 대한언어적 기술은 순간 속도와 같이 일상생활에서 경험한 순간변화율에 대한 직관을 토대로 미분계수를 이해하게 하며, 알고리즘을 이용한 계산이 아닌 일상 언어를 사용한 의미 해석을 유도할 수 있다.

이와 같이 (어떤 개념이 수반하는) 표현과의상호작용에서, 각 표현은 개인이 해당 개념 구조에서 ‘무엇을’ 보며 ‘무엇을’ 할 것인지를 유도하고 제약할 수 있는 잠재력을 가지고 있다. 그러나 표현과 개인의 인지 사이의 상호 작용은 일방향이 아닌 양 방향인데, 그 개념에 대해 개인이 ‘무엇을’ 알고 있는 가 역시 주어진 표현에서다른 것을 읽고 다르게 사용할 수 있게 한다(Even, 1998; Superfine et al., 2009). 따라서 표현과의 상호 작용 과정에서 개인이 표현에서 ‘무엇을’ 보며 표현에 대해 ‘무엇을’ 하는가는 그표현의 잠재적인 어포던스 뿐만 아니라 개인이해당 개념에 대해 ‘무엇을’ 알고 있는 가에도 의존한다. 한 개념의 서로 다른 표현들이 해당 개념과 인지 과정에 상이한 어포던스를 제공한다는 점은 다양한 표현 사이의 연결 형성이 중요한 이유이자 이러한 연결 형성이 쉽지 않은 이유이기도 하다.

Kendal과 Stacey(2003)는 기호적·그래프적·수치적 표현 내 및 간에서의 18개 미분 표현-해석능력으로 구성한 미분 역량 틀(differentiation competency framework)로 11학년 호주 고등학생들의 다양한 표현에 걸친 미분 이해를 평가하였다. 연구 결과, 수업에서 다양한 표현을 강조했음에도 불구하고 18개 표현 역량 문항에 대한학생들의 성취도는 전반적으로 저조하였으며, 소수 학생들만이 세 미분 표현 간 번역에 성공하였다. 또한 학생들의 성취도는 기호적 표현을 수반하는 표현 역량 문항 군에서 가장 높았으며, 수치적 표현을 수반하는 문항 군에서 가장 낮았다. 세 표현 간 번역 중 학생들은 기호적-그래프표현 사이의 번역을 가장 성공적으로 수행했던 반면, 수치적-그래프 표현 사이의 번역에서 가장낮은 성취도를 보였다. 이들 연구자들은 이와 같은 학생들의 표현 역량 양상이 미적분 수업에서의 각 표현에 대한 상대적인 강조를 보여주는 결과라고 해석하였다.

Goerdt(2007)는 미적분 개념의 다양한 표현 및표현 간 번역 활동과 응용을 강조하는 개혁 지향적 교육과정과, 미적분 개념의 다양한 표현을소개하지만 주로 기호적 표현의 조작에 치중하는 전통적 미적분 교육과정이 대학생들의 미분 이해에 미치는 영향을 탐색하기 위하여, 개혁 지향적 미적분 강의를 수강한 대학생들과 전통적 미적분 수업을 수강한 대학생들을 대상으로 미분 개념의 기호적·그래프적·수치적·언어적 표현 사이의 번역 능력을 비교 분석하였다. 조사결과 개혁 지향적 미적분 강의를 수강한 학생들이 전통적 미적분 수업을 수강했던 학생들보다표현 번역 능력 평가에서 우수한 성취를 보였다.

Superfine et al. (2009, p. 218)은 학생들의 표현 번역 능력을 조사했던 여러 경험 연구들이 학생들의 표현 번역 반응을, 흔히 표현 번역을 정확하게 수행했는지 아닌지의 여부에 따라 정답 혹은 오답으로 평가함으로써, 표현 번역을 전통적으로 “전부 혹은 전무 활동(all-or-none activity)” 으로 취급해왔다고 지적하였다. 특히 해당 개념에 대한 이해는 주어진 외적 표현과의 상호 작용에 영향을 미치는 중요한 요인 중 하나이지만, 학생들의 표현 번역 능력을 조사한 많은 연구들이 표현 번역 반응을 단순하게 평가하는 데 그쳤으며 학생들의 구체적인 표현 번역 행동이 해당 개념에 대한 학생들의 이해에 대해 무엇을 함의하는 지에 대해서는 충분히 탐색하지 못했다(Superfine et al., 2009). 앞에서 소개한 미분 개념에 대한 표현 번역 능력을 조사한 연구(Goerdt, 2007; Kendal & Stacey, 2003)들도 학생들의 각 표현에 따른 성취도 혹은 학생집단 간 표현 번역 능력의 차이를, 교육과정 및 수업에서 제공한다양한 표현에 대한 학습 기회/강조의 차이라는교수학적 변인으로 설명하였으나, 학생들이 문제에서 주어진 표현과 ‘어떻게’ 상호작용하는지, 또한 표현과의 상호작용에서 학생들이 개념에 대하여 ‘무엇을’ 인식하는지, 그리고 표현과의상호작용에서 겪는 개념적 어려움이 무엇인지에 대해서는 충분한 설명을 제공하지 않았다.

### 2. 수학 개념의 과정-대상 이중성

Sfard(1991)는 수·함수와 같은 많은 수학 개념이, ‘과정으로부터 대상으로의 추상화’라는 수학개념 고유의 추상화 과정에서 비롯된 ‘구조적인대상’과 ‘조작적 과정’이라는 이중적 속성을 가지고 있다고 보았다. ‘구조적 대상’과 ‘조작적 과정’은 수학 개념의 다른 존재 양식이자, 수학 개념에 대한 다른 인식의 방법(ways of conception)이다. 어떤 수학적 개념을 ‘대상’으로 구조적으로 인식한다는 것은, 개념을 마치 시 공간 어딘가에 실제로 존재하는 사물과 같이 정적인 구조로 참조하는 것을 말한다(Sfard, 1991, p. 4). 반면어떤 개념을 조작적인 ‘과정’으로 인식한다는 것은 그것을 정적인 대상보다는 “과정, 알고리즘, 행동 자체 혹은 그 결과(Sfard, 1991, pp. 4, 33)” 로 보는 것이다. 구조적인 인식이 “정적이고, 즉각적이며, 통합적인” 반면 조작적 인식은 “동적이고, 순차적이며 상세한” 특징이 있다(Sfard, 1991, p. 4). 개념이 제시되는 표현 역시 그 개념이 조작적 혹은 구조적으로 인식되는가에 영향을 미칠 수 있는데(Sfard, 1991, pp. 5-6), 예를 들어 함수의 그래프는 함수를 한눈에 볼 수 있는시각적 대상으로 조작가능하게 함으로써 구조적인식을 촉진할 수 있다. 그래프와 달리 함수 관계에 대한 언어적 기술은 즉각적으로 파악하기 어려우며 순차적으로 처리되므로, 상대적으로 함수에 대한 조작적 인식을 유도할 수 있다. Sfard(1991, pp. 4-5)는 한 개념에 대한 조작적-구조적 인식은, 양자 역학에서 빛이 “파동”과 “입자”라는 이중성을 가지고 있듯이 문제 해결과이해에서 서로 상보적인 역할을 한다고 지적하면서, 어떤 수학 개념을 조작적인 과정인 동시에정적인 구조로 유연하게 사고할 수 있을 때 그 개념을 완전히 이해했다고 보았다.

Sfard는 수·함수 개념에 대한 역사 발생적·인지 심리적 분석을 통하여, 많은 수학적 개념이처음에는 조작적인 과정으로 인지되며 차후 더 상위 단계에서의 수학적 필요로 인해 조작적인 과정이 구조적 대상으로 전환된다는 점에 주목하였다. Sfard는 학습자의 자연스러운 개념 발달과정에서도 일반적으로 개념에 대한 조작적 인식이 구조적 인식보다 선행하며, 조작적 인식으로부터 구조적 인식으로의 이행 과정을, 실제적인 수행 없이도 과정에 대한 사고가 가능해지는 ‘내면화(interiorization)’, 여러 과정 단계를 하나로축약하는 ‘압축(condensation)’, 이전 단계의 과정이 하나의 완전한 정적 구조로서의 대상으로 굳어지고 이 대상을 사용한 새로운 과정의 내면화가 시작되는 ‘실재화(reification)’의 세 단계로 설명하였다(Sfard, 1991, pp. 18-20). 그러나 교수학습에서 구조적 정의로 어떤 개념의 조작적 근원을 생략한 채 추상적인 대상으로서의 개념을 학생들에게 바로 제시하면, 학생들은 과정으로부터의 실재화 과정을 제대로 밟지 못한 채 그 대상의 특정 외적 표현(예를 들어 식·그래프·기호·명칭)을 대상 그 자체로 간주할 수 있다(Sfard, 1991, pp. 21-23; Sfard & Linchevski, 1994, pp. 220-222). Sfard와 Linchevski (1994, p. 220)는 어떤 수학 개념을 특정 표현에 의존하여 대상처럼 조작하나, 대상이 나오는 조작적 과정을 결여한개념 인식을 “의미론적으로 역전된(semantically debased)”, “의사 구조적 인식(pseudostructural conception)”이라고 불렀다.

### 3. 미분의 개념적 분석과 과정-대상 다층구조

우리는 일상경험에 기초하여, 순간속력이 무엇을 의미하는지를 직관적으로 이해한다. 그러나 순간속력, 더 일반적으로 어떤 물리량의 시간에대한 ‘순간변화율’이라는 관념은, ‘순간’에서는시간의 변화가 없으나 ‘변화율’을 생각하기 위해서는 시간의 변화가 필요하다는 점에서 모순을 내포하고 있다. Newton이 직면했던 수학적 과제중 하나는, 이와 같이 일견 직관적이나 동시에모순적인 대상인 ‘순간변화율’이 나오는 ‘동적과정’을 규명하는 것이었다.

특정 시간 구간에서 f(t)가 시간 t의 함수인 어떤 물리량이라고 하면, tt + Δt사이의 함수의 평균변화율은 $f(t+Δt)−f(t)Δt$이다. 이때 시간 변화량 Δt가 0에 가까워지나 0은 아니라면, 평균변화율 $f(t+Δt)−f(t)Δt$은 시각 t에서의 순간변화율이라고 할 수 없다. 또한 시각 t에서는 Δt가 0이 되므로 변화율을 정의할 수 없다. Newton은 이와 같은 순간변화율 개념의 “변화율이 정의되기 위해 0이 아닌 시간 변화량 Δt를유지해야 하며”, “순간이기 위해 시간 변화량 Δt를 0처럼 취급할 수 있어야” 한다는 상호 충돌하는 요구를 동시에 만족하기 위하여 다음과 같은 극한 과정을 생각해냈다(Belding & Mitchell, 2008, p. 53). Newton은 Δt가 0이 되지는 않으면서 점점 작아질 때, (평균)변화율의 분모 Δt와 분자 Δf가 모두 0에 가까워지지만, 이두 수의 비율은 고정된 어떤 수에 한없이 다가가는 것을 관찰하였으며, 이 값을 이러한 무한과정의 최종 상태인 극한(Newton의 표현을 따르면, “사라지는 양들의 최종 비(the ultimate ratio of vanishing quantities; Newton, 1999, p. 442)”로간주하였다. Newton은 위와 같이 순간변화율에내재된 극한 과정을 규명하였으나, 극한을 명확하게 정의하는 대신 그 의미를 물리적 직관에 의존하여 기술하였다. 특히 $y=t2$와 같은 함수에 대해 Δt가 0에 가까워질 때 평균변화율의 극한을 계산하는 과정에서, Newton은 Δt를 극한 과정에서는 Δt에 대한 Δy의 비율을 생각할 수 있는 ‘0 아닌 것’으로, 또한 최종 극한값을 취할때에는 ‘0’으로 취급하였다. Berkeley는 뉴턴의계산에서 Δt의 모순적인 취급을 비판하면서, 뉴턴의 “사라지는 양들의 최종 비”를 “사라진 값들의 유령(ghosts of departed quantities)”이라고비판하였다(Grattan-Guinness & Bos, 2000, pp. 88-89). 버클리의 이와 같은 비판에 대해 방어하기 위해 논리적으로 엄밀한 극한 이론의 필요성이 대두되었으며, 마침내 1820년경 Cauchy는 미분에 대한 $ε−δ$정의를 제시하였다. 특히 Cauchy의 정의는, 뉴턴의 “점점 작아진다”, “한 없이 가까워진다”와 같은 극한에 대한 운동학적 서술을 δε에 대한 부등식들의 대수적 조작으로 대체하여 극한의 의미를 대수적으로 엄밀하게 정의하였다(Grabiner, 1978). 한편, Lagrange는 미분계수 개념을 도함수로 확장하였다(Grabiner, 1983).

오늘날 미적분 교과서에서는 미분을 각 점에서의 함숫값이 평균변화율(독립변수 변화량에대한 종속변수 변화량의 비율)의 극한으로 정의되는 함수로 정의한다. Zandieh(2000)는 미분 정의에서 각각 ‘과정’이자 ‘대상’으로 인식할 수 있는 ‘비율’, ‘극한’, ‘함수’의 세 지식 요소를 포착하고, 이 세 요소를 미분의 개념 구조를 이루는 ‘과정-대상 층(process-object layers)’이라고 불렀다. Zandieh(2000)에 따르면, 첫 번째 층의 비율과정은 “두 대상(독립 및 종속변수 변화량)을 취해 나누는 과정(Ibid, p. 107)” 을 의미한다. 비율과정에서 실재화된 비율에 적용되는 두 번째 극한 과정은, “무수히 많은 비율 값을 거쳐 어떤한 값에 다가가는 과정(Ibid, p. 107)”이다. 극한과정에서 실재화된 순간변화율에 작용하는 세 번째 함수 과정은, “각 독립변수 값에 대하여, 그 점에서의 순간변화율(비율(평균변화율)의 극한값)을 대응시키는 과정(Ibid, p. 107)”으로, 함수과정의 결과 새로운 함수인 도함수 $f'(x)$를 얻게된다. 학생들의 미분 이해를 탐색하기 위하여, Zandieh는 비율-극한-함수층을 행으로, 이러한 세층을 생각할 수 있는 그래프적·언어적·물리적·기호적 표현을 열로 고려한 2차원 분석틀을제시하였다. 이 2차원 분석틀의 각 셀은 조작적과정이자 구조적 대상으로 인식할 수 있는데, Zandieh(2000, p. 107)는 조작적 ‘과정’을 결여한채 “의사 구조적(Sfard, 1991)”으로 인식된 ‘대상’ 을 “의사 대상(pseudo-object)”이라고 불렀다. 예를 들어 어떤 비율을 이 값이 나온 두 양을 나누는 과정에 대한 고려 없이, 시각적인 ‘기울기’ 혹은 ‘어떤 수’로만 인식하는 것이 ‘의사 대상’으로서의 비율 인식이다. 의사 극한 대상은 극한과정을 생각하지 못한 채, 해당 점에서의 접선의기울기·순간 속도와 같은 최종 극한 값만을 조작하는 것이다. 의사 대상 혹은 의사 구조적 인식은 마치 “(전체를 구성하는) 부분 없이 전체를이해하는 것(Zandieh, 2000, p. 108)”과 같이, 과정과 대상의 양면을 가진 수학 개념에 대하여 “과정이라는 내적 구조 없이 ‘(의사)대상’을 다루는 이해(Ibid, p. 107)”이다. Zandieh(1997, 2000)는12학년 고교생 9명을 대상으로, 여러 차례의 인터뷰를 통하여 “미분이 무엇이라고 생각하나요?” 와 같이 미분에 대한 개념 이미지를 환기하는 질문 및 문제에 대한 각 학생들의 응답을 2차원분석틀을 이용하여 분석하였다. 연구 참여자들이AP미적분 BC과정을 학습 중인 우수한 고교생들이었음에도 불구하고, 그 중 여러 학생들이 위와같은 인터뷰 질문에 대하여 비율·극한·함수 대상의 바탕이 되는 ‘과정’에 대해서는 설명하지못한 채 대상만 언급하는 의사 구조적 인식을 드러냈다. Zandieh(1997, 2000)는 학생들이 이러한 ‘의사 대상’에 의존하여 ‘비율→극한→함수’, ‘과정으로부터 대상’이라는 자연스러운 학습순서와 상관없이 임의의 순서로 미분 개념을 학습할 수 있음을 지적하였다.

본 연구에서는 미분계수가 초점이므로, Zandieh (1997, 2000)가 설명했던 비율 및 극한 과정에대해 보다 자세히 살펴보고자 한다. 앞서 소개했듯이 Zandieh(1997, 2000)은 비율 과정을 나눗셈과정(division process)으로 설명하고, 학생들이 어떤 비율 값을 두 양을 나눈 결과로 볼 수 있는지의 여부로 비율에 대한 과정 인식을 평가하였다. 특히 미분계수 맥락에서의 비율은 독립변수에 대한 종속변수 변화량의 비율인 변화율이다. 여러연구들이 학생 혹은 교사들이 두 변화량을 ‘나누어’ 변화율을 계산한다는 것은 잘 알고 있었지만, 이 나눗셈이 ‘독립 변수 변화량에 대한 종속 변수 변화량의 상대적인 크기’를 구하기 위한 혹은 ‘두 변화량을 곱셈적으로 비교’하기 위한 연산이라는 점은 잘 모르고 있음을 지적하고 있다(Byerley, Hatfield, & Thompson, 2012; Byerley & Thompson, 2014; Byerley & Thompson, 2017; Coe, 2007). 따라서 비율에 대한 과정 인식은 비율 값이 나눗셈으로 얻어진다는 점뿐만 아니라, 두 양을 곱셈적으로 비교한 값이라는 점을 이해하는 것까지 포함하여 살펴볼 필요가 있다.

한편 Zandieh(1997, 2000)는 극한 과정을 단일과정으로 설명하였다. 그러나 Cottrill et al. (1996)은 발생적 분해를 통하여, 함수의 극한 과정$(limx→af(x)=L)$을 하나의 단일 과정이라기보다는 함수 f에 의해 조정되는 정의역과 공역의 두 극한 과정(“정의역에서 xxa이면서 a에 가까이 가는 과정: xa”; “공역에서의 함숫값 f(x)가 극한값 L에 가까워지는 과정: f(x)L”)으로 보았다(Cottrill et al., 1996, pp. 177-178). Cottrill et al. (1996)의 관점을 미분계수에 적용하면, 미분계수의 극한 과정은 “독립변수 변화량이 0은아니면서 0에 한없이 가까워지는 정의역의 극한과정” 및 “각 독립 변수 변화량에 대한 종속 변수 변화량의 비율을 계산하는 공역의 극한 과정”의 조정으로 볼 수 있다.

Zandieh (1997, 2000)는 비율 층 다음에 극한 층이 순차적으로 작용하는 것으로 보았으나, 이와 같은 Cottrill et al. (1996)의 관점을 적용하면, 비율 층은 극한 과정의 부분 과정(공역의 극한 과정)으로 볼 수 있다. 또한 정의역과 공역의 극한과정은 미분계수가 ‘순간변화율’이기 위한 두 요구, ‘분모(독립변수 변화량)를 0처럼 취급할 수 있어야 하며’와 ‘분모는 0이 아니어야한다’를 각각반영하고 있다는 점에서, 미분계수의 극한 과정에대한 이해는 이와 같이 상호 충돌하는 정의역과 공역의 극한 과정 사이의 조정을 필요로 한다.

여러 연구자(예를 들어, Jones & Watson, 2017; Likwambe & Christiansen, 2008)들이 Zandieh의 이차원 분석틀을 바탕으로 학생들의 미분 이해를 조사하였는데, 이들 연구자들은 Zandieh의 연구 방법을 따라 소수(보통 10명 이하)의 학생을 대상으로, 미분에 대한 개념이미지를 환기하는일련의 인터뷰 질문들에 대한 각 학생의 반응을 분석하였다. 이러한 인터뷰는 개별 학생의 이해에 대한 심도 있고 광범위한 정보를 수집할 수 있는 장점을 가지고 있으나, 다수의 학생들을 대상으로 실시하기는 어려우며 미적분 강의자가 학생들의 미분계수의 다양한 표현과 과정-대상다층 구조에 대한 이해를 파악할 수 있는 일상적인 도구로 사용하기는 어렵다. 본 연구에서는인터뷰 대신 표현 유창성 설문문항에 대한 대학생들의 응답을 분석하여, 학생들의 미분계수에대한 이해를 탐색하고자 한다.

### 1. 표현 유창성 문항 설계

이 연구에서 다룰 미분계수 개념의 표현 유창성은, “다양한 표현으로 제시된 함수에 대하여, 미분계수를 대수적·그래프적·수치적·언어적으로 표현하는 능력”이다. 부록에 제시된 16개의표현 유창성 문항은 ‘함수(입력 표현)’와 ‘미분계수(출력 표현)’의 표현으로 확인할 수 있다2). 각문항에서는 함수를, (a) 대수적 식, (b) 좌표 평면위의 그래프, (c) 수치적인 표, (d) 함수관계에 대한 언어적 기술 중 한 표현으로 제시하였다. 또한 각 문항은 미분계수에 대하여, (a)대수적으로 평균변화율의 극한 혹은 $f'(a)·dydxx=a$, (b) 그래프로 해당 점에서의 접선의 기울기, (c) 해당 점근방에서의 평균변화율을 이용한 수치적 근사, (d) 언어적으로 해당 점에서 종속 변수의 독립변수에 대한 순간변화율로 표현(혹은 계산)하게하였다.

각 함수 표현은 미분계수를 표현 혹은 구하기 위해 이용 가능한 정보와 사고 과정에 대한 다른 어포던스를 제공한다. 또한 대수 식·그래프·표·언어적 기술의 각 함수 표현은 같은 유형의 미분계수 표현과 자연스럽게 연결되므로, 입출력 표현이 다른 표현 유창성 문항(예를 들어 A-G 문항)에서 주어진 두 표현과의 상호 작용은 미분계수의 두 표현 사이의 번역 활동을 수반하고 있다.

### 2. 연구 참여자 및 연구 맥락

수도권 소재 대학 수학교육과 재학 중인 대학교 1·4학년 학생 34명(1/4학년 각 17명)을 대상으로 IRB 연구 참여 동의서를 획득한 후, 약 1시간동안 표현 유창성 문항 조사를 실시하였다. 검사 당시 1학년 학생들은 대학 미적분 강의에서 미분을 학습한 상태였으며, 4학년 학생들은일변수 및 다변수 미적분, 해석학 등 대부분의수학교육과 전공 필수 수학 과목을 모두 이수한 상태였다. 연구 참여자들이 수강했던 미적분 강의는 미적분 개념의 대수적(혹은 기호적)·그래프적·수치적·언어적 표현을 소개하나, 과제 혹은 시험에서 학생들이 접했던 거의 대부분의 문제들은 대수적 혹은 그래프적 표현의 조작에 치중하는 전통적인 방식의 강의였다.

### 3. 자료 수집

이 연구는 표현 유창성 문항에 대한 설문 조사 및 이 설문 문항에 대한 후속 인터뷰를 실시하였다. 설문 조사 후, 가채점을 통하여 각 문항응답에 0점에서 4점의 성취 수준을 부여하였다. 가채점 결과 많은 학생들이 낮은 성취 수준에 머물렀던 6문항(2(a-b), 2(c-d), 4, 7, 10, 13번; 각G-N·G-V·N-A·V-V·A-V·V-A문항)에 대하여, 각 0, 1, 2, 3, 4점의 성취 수준을 나타낸 학생을 적어도 한 명씩은 포함하도록 20명의 후속인터뷰 대상자를 선정하였다.

인터뷰 시작 전, 학생이 각자에게 선택된 문항(들)에 대하여 자신이 쓴 답안을 다시 살펴볼 수있는 시간을 부여한 뒤, 문제를 ‘어떻게’, ‘왜’ 그렇게 해결했는지 설명해달라고 요청하였다. 학생의 답변을 바탕으로, 필요한 경우 연구자는 해당문항과 관련된 기본 개념에 대한 추가 질문을 하였다. 이와 같은 인터뷰 과정에서, 연구자는각 문항에서 주어진 표현과의 상호작용의 양상과 그 이유에 대한 추가적인 정보를 수집하였으며, 연구자가 답안에서 추론했던 미분계수의 과정-대상 다층 구조에 대한 학생들의 이해가 실제 학생들의 생각과 일치하는지를 확인하였다. 각 학생과의 인터뷰는 녹화 및 전사한 후, 추가적인 자료로 해당 학생의 지필 답안과 함께 분석하였다.

### 4. 자료 분석 방법

16개의 표현 유창성 문항에 대한 각 학생의응답을 다음의 여러 단계를 거쳐 코딩하였다. 먼저 표현 유창성 문항에 대한 각 학생의 응답을 0-4점의 성취 수준으로 양적으로 코딩한 후3), 각문항에서 주어진 표현과의 ‘불완전한’ 혹은 ‘부정확한’ 상호작용 양상을 탐색하기 위하여 표현과의 상호작용 오류에 대한 질적 내용 분석 (qualitative content analysis) 을 실시하였다. 여기서 표현과의 상호작용(많은 경우 표현 번역)에서의 오류란, ‘옳지 않은 표현 해석(혹은 구성)행동혹은 문항에서 요구된 표현 해석(혹은 구성)행동의 부재’를 의미한다.

연구자는 ‘완전한 상호작용(4점)’ 및 무응답을제외한 모든 답안의 오류를 2단계에 걸쳐 분석하였다. 첫 단계에서는 각 답안의 주된 오류의성격에 따라 각 답안을 구조적(structural)·임의적(arbitrary)·실행적(executive)오류로 분류하였다. 두 번째 단계에서는 구조적 오류로 분류된 응답에 대하여, 구조적 오류의 세부 범주를 미분계수의 과정-대상 구조에 대한 구체적인 이해와 관련하여 분류하였다.

각 문항에서 주어진 표현과 상호작용 오류에 대한 질적 내용 분석은 (가)일차 코딩 틀 구축, (나)자료 일부의 코딩 후 코딩 틀 평가 및 수정, (다)최종 코딩 틀로 전체 자료 분석 및 코딩 신뢰도 평가의 절차에 따라 수행하였다(DeCuir-Gunby, Marshall, & McCulloch, 2010; Neuendorf, 2002; Schreier, 2014).

#### 가. 일차 코딩 틀 구축

오류 분석 첫 단계에서는, Donaldson(1963)의 구조적·임의적·실행적 오류 분류에 근거하여 표현과의 ‘불완전한’ 혹은 ‘부정확한’ 상호작용의 성격 혹은 원인을 코딩하였다. Donaldson (1963, pp. 183-184)에 따르면, 구조적 오류는 문제 해결에 핵심적인 개념 및 원리 이해 부족에 기인하는 오류이다. 반면 실행적 오류는 문제 해결의 핵심 개념에 대한 이해에도 불구하고 절차를 정확하게 수행하는 데 실패한 오류이다. 한편임의적 오류는, 문제의 진술 혹은 제약 조건에충분한 주의를 기울이지 않고 문제를 자의적으로 해석하거나 접근하여 발생하는 오류이다. Table 1Donaldson (1963)의 분류를 적용하여, 표현과의 ‘불완전한’ 혹은 ‘부정확한’ 상호작용을 구조적·임의적·실행적 오류로 분류한 코딩 틀이다.

Structural, executive and arbitrary error categories in the interactions with representations.

오류 범주범주 설명
구조적 오류입력 및 출력 표현에 투영된 미분계수 과정-대상 구조에 대한 오개념 혹은 이해 부족으로 인한 표현과의 상호 작용 (혹은 번역)오류
실행적 오류입력 및 출력 표현에 투영된 미분계수 과정-대상 구조에 대한 상당한 이해에도 불구하고, 계산 실수를 범하거나 애매한 언어적 표현을 제시하는 등 요구된 표현 번역 절차를 정확하게 실행하지 못한 오류
임의적 오류문제 의도, 문제 상황, 수치 등 문제 진술에 포함된 정보에 대한 충분한 이해 및 주의 부족으로 발생한 표현과의 상호 작용 (혹은 번역)오류

학생 응답이 여러 오류 혹은 다른 성격의 오류들을 포함하는 경우, 연구자는 해당 응답에서어떤 성격의 오류가 주어진 표현과의 상호작용 실패의 주된 원인인지를 판단하여 그 응답의 오류 범주를 결정하였다.

오류 분석 두 번째 단계에서는 첫 단계에서 구조적 오류로 분류된 응답, 즉 미분계수개념의이해 부족으로 인한 주어진 표현과의 ‘불완전한’ 혹은 ‘부정확한’ 상호작용에서 드러난 미분 이해를 분석하는 것이 초점이었다. 연구자는 오픈코딩으로 표현과의 ‘불완전한’ 혹은 ‘부정확한’ 상호 작용 유형의 목록을 생성하였다. 한편, 각 학생의 응답을 같은 문항에 대한 다른 학생들의 응답 및 관련된 다른 문항들에 대한 응답과 계속적으로 비교 및 대조하면서, 유사한 응답 양상을 한 범주로 묶어 구조적 오류의 세부 범주를 귀납적으로 생성하였다. 이와 같이 ‘자료에서 유도된(data-driven)’ 세부 범주를 구조화하기 위하여, 연구자는 각 세부 범주와 관련된 미분계수의과정-대상 구조에 대한 이해를 고려하였으며, 같은 혹은 유사한 과정-대상 구조의 이해 부족에기인한 오류들을 하나의 미분 인식 범주로 묶어 미분 인식에 대한 일차 코딩 틀을 구성하였다.

#### 나. 자료 일부 코딩 후 코딩 틀 평가 및 수정

연구자와 다른 분석자가 일차 코딩 틀을 이용하여 자료 일부를 코딩하면서 각 범주를 검토하고 개선하였다. 수정한 코딩 틀의 평가를 위하여, 두 분석자가 자료의 일부(10명(29%)학생 응답)를 수정한 코딩 틀을 이용하여 독립적으로코딩하였다. 독립적 코딩 결과에 대한 토론, 분석자 간 코딩 신뢰도 확인 및 수정 및 보완 작업을 거쳐 최종 코딩 틀을 구축하였다.

#### 다. 최종 코딩 틀로 전체 자료 분석 및 코딩 신뢰도 평가

분석자 간 코딩 신뢰도(inter-rater reliability) 평가를 위하여, 두 분석자는 (나)의 파일럿 코딩에서 사용하지 않은 자료 중 임의로 선택한 일부 자료(12명(35%)학생 응답)를 최종 코딩 틀로 독립적으로 코딩하였다. 분석자 간 코딩 신뢰도의척도로 Kappa 통계량을 계산한 결과, 거의 완벽한 일치 (첫 번째 차원의 구조적·임의적·실행적 오류 코딩은 κ=. 911; 두 번째 차원의 6개 미분 인식 범주(구조적 오류 세부 범주 코딩에서는 κ=. 872)로 나타났다. 분석자 간 코딩 신뢰도를 검증한 후, 두 분석자는 최종 코딩 틀로 전체학생의 응답을 재 코딩하였다.

16문항에 대한 34명 학생 응답에서 만점을 제외한 235개 응답 중, 무응답이 16.6%(39응답), 구조적 오류가 47.7%(112응답), 임의적 오류가10.2% (24응답), 실행적 오류가 25.5%(60응답) 로나타났다. 다양한 표현과의 상호 작용 과정에서드러난 대학생들의 미분계수 개념의 과정-대상구조에 대한 이해를 탐색하기 위하여, 연구결과에서는 학생 응답에 대하여 이상과 같은 다단계의 코딩 절차를 통해 도출한 6개의 미분 인식범주에 대해 자세히 살펴보고자 한다.

### IV. 연구결과

미분계수에 대한 개념적 이해 부족으로 인한 표현과의 불완전 혹은 부정확한 상호작용(구조적 오류)에 대한 내용 분석 결과, Table 2의 여섯 미분 인식 범주를 도출하였다.

The summary of students’ derivative conceptions from incomplete or incorrect interactions with multiple representations.

누락 혹은 잘못 번역된 지식요소/측면미분 인식 범주표현과의 상호작용(번역)행동관련 문항 (각 범주로 코딩된 학생 응답 수)
극한과정 비율과정의사 대상 변화율미분계수 혹은 평균변화율 값의 의미를 언어적 으로 해석하는 문항에서, 독립변수와 종속변수 의 공변 관계 혹은 이 값을 지칭하는 용어를 언급하지만, 두 변화량의 곱셈적 관계를 읽어내 지 못함G-V(15), A-V(12), V-V(11), N-V(1)
비율-극한 층변화율과 변화량 사이의 혼동표현 번역 과정에서 (순간)변화율을 종속변수의 (순간)변화량으로 잘못 해석하거나 계산V-V(9), V-A(12), G-V(9), N-V(4), N-A(3), N-N(1)
극한 층의사 대상 극한 극한대상 이면의 극한 과정에 대한 고려 없이 극한 대상만을 번역G-N(11)
극한 층극한의 과정-대상 이중성 이해 부족극한 과정과 극한 대상을 유연하게 연결하지 못함A-N(5), V-A(7)
함수 과정함수 과정 이해 부족독립변수와 변화율의 공변 관계를 잘못 번역V-G(2) N-G(3)
함수 과정의사 대상 함수한 점에서의 접선 방정식과 도함수를 혼동G-A(4), A-G(2)

각 범주에 대하여, 주어진 표현과의 상호작용에서 학생들이 미분계수 과정-대상 구조에 대하여 ‘무엇을’ ‘어떻게’ 생각했으며 또한 생각하지못했던 것은 무엇인지를 살펴본다. 또한 주어진표현과 다른 상호작용 사례에 대한 비교 분석을 통하여, 다양한 표현과의 상호작용이 미분계수의과정-대상 구조에 대한 이해의 차이를 어떻게드러내는지 살펴본다.

### 1. 의사 대상 극한

G-N 문항은 모눈 위의 그래프로 제시된 함수(임신 주수에 따른 태아 몸무게)에 대하여, 주어진 점(t=25,35)에서의 접선 기울기의 근삿값을계산하도록 하였다. Figure 12는 G-N 문항에대한 두 학생의 응답으로, 표현 번역 결과는 유사하나 접선의 기울기라는 미분계수의 그래프 표현을 수치적 근삿값으로 번역하는 방식은 몇 가지 점에서 차이가 있음을 관찰할 수 있다. 학생 A는 그래프에 해당 점에서의 접선을 그은 다음, 접선 위의 두 점을 선택해 그 사이의 기울기를 계산하였는데(Figure 1), 인터뷰에서 자신의표현 번역 과정에 대해 다음과 같이 설명하였다.

Figure 1. Student A’s response (coded as “pseudo object for limit”)
Figure 2. Student B’s response to G-N task

A: t는 25에서 접하는 직선을 그린 다음에, 접하는 직선의 기울기의 근삿값을 구하는 거니까, 두 점을 잡고, 두 점사이의 기울기를 구할려고 했어요. 그래서 t는 20하고, t는 30일때 두 점을 잡아서 x변화량은 t는 20에서 30이니까 10이고, y변화량은 30일 때 0.9고, 20일 때 0.32니까 y변화량은 대충 0.58이 돼서, 기울기는 x증가량 분의 y증가량이니까 x변화량 분의 y변화량 해서 10분의 0.058로구했구요.

I: 접선을 그려서 했군요. 그럼 얘가 혹시 왜 접선이에요?

A: 음 ...그 점에서 그 그래프에 접하도록 비슷하게 그렸어요.

I: 아, 그럼 접한다는 게 뭐에요?

A: 한 점에서만 만나도록 하는,.. 딱 그 점에서만 만나도록 하는...

I: 아, 그 점에서만 만나도록 하는..., 그래서 그 점에서만 만나도록 이렇게 그린 거에요?

A: 네

I: 혹시 얘가 접선이라는 다른 근거는 없어요?

A: 음, 다른 근거는 딱히 없었던 것 같아요.

학생 A는 함수의 한 점에서의 접선이 “(함수그래프와) 딱 그 점에서만 만나는” 직선임을 알고 있었으며, 시각적 이미지를 근거로 자신이 그린 직선이 접선임을 확신하고 있었다. 이렇게 그린 직선 위의 해당 점으로부터 다소 떨어져있는 두 점을 선택하여 접선의 기울기를 계산한 학생 A의 표현 번역 행동은 접선의 기울기가 나오는극한 과정에 대해서는 생각하지 못하고 있음을 보여주고 있다. 다음은 Figure 2와 같이 이 문항을 해결한 학생 B와의 인터뷰이다.

B: 접선의 기울기의 근삿값이잖아요, 그러니까.. 한 마디로 미분한 값인데, 그냥 봐서는 알수 없으니까… 이게 그 (본인이 쓴 평균 변화율 식을 가르키며) 미분의 정의잖아요? $f(b)−f(a)b−a$, ba에 가까워질 때요. 제가 알 수 있는 구간 중에, 25를 포함하는 구간중 제일 작은 구간을 골라서 그 구간에서 평균 변화율을 구한 거에요. 물론 원래 접선의정확한 정의는 순간 변화율이 그걸 의미하는데, 그런데 그건 지금 구하기... 지금 함수의그래프도 모르고, 아니 함수의 그래프는 알지만 함수의 식을 모르고, 그래서 순간 변화율은 구하기 힘드니까 평균 변화율로 그 근삿값을 구한 거죠.

I: 순간 변화율을 이야기 했는데, 여기서 순간변화율이 뭐에요?

B: 순간 변화율은 여기서(평균 변화율 식을 가르키며) 이 차이를 엄청 좁힌 거죠, 극한을이용해서. 여기서 26에서 24는 2라는 저희눈에 보일 만큼 차이가 나는데, 순간 변화율은 극한 값을 이용하여 이 차이를 거의 없게 만든 거죠.

접선부터 그렸던 학생 A와 달리, 학생 B와 같이 번역한 학생들은 해당 점에서의 접선을 그리지 않았거나 그렸던 경우에도 이러한 시각적인 이미지에만 의존하여 문제에서 요구하는 접선인지 아닌지 판단할 수는 없다고 생각하였다. 접선의 시각적 이미지를 이용하는 대신, 학생 B는모눈에서 주어진 점(t=25)과 가장 가까운 두 점(t=24,26)을 택하여 그 사이의 평균변화율로 접선 기울기의 근삿값을 계산하였다.

학생 B가 함수 그래프에서 접선의 기울기라는 ‘극한 대상’ 뿐 아니라 ‘극한 과정’을 읽어냈으며이를 번역과정에서 사용했던 반면, 같은 상황에서 접선의 기하학적 이미지라는 극한 대상만을 보았던 학생 A의 번역과정은 극한에 대한 의사 구조적 인식을 드러내고 있다. G-N 문항에서 18명(53%)의 학생들이 번역 과정에서 접선의 기울기 이면의 극한 과정에 대한 이해를 보였으나, 11명(32%)의 학생은 ‘의사 대상’으로서의 극한에대한 인식을 드러냈다.

### 2. 의사 대상 변화율

V-V 문항은 언어적으로 제시된 함수 맥락에서구체적인 미분계수 값을 해석하는 문항으로, 많은 학생들이 미분계수가 정의되는 점 근방에서의 함숫값의 변화를 예측하였다. Figure 34는V-V 문항에 대한 두 학생의 응답이다.

Figure 3. Student C’s verbalization about the meaning of the derivative value
Figure 4. Student D’s verbalization (coded as “pseudo object for rate of change”)

학생 C는 미분계수 값(f'(60) = 6)을 60kg근방에서 독립 변수(몸무게) 1단위 증가에 대한 종속변수(약 복용량)의 증가량으로 해석하여, 미분계수가 정의되는 점 근방에서 독립 및 종속 변수 변화량의 비례 관계를 양적으로 기술하였다(Figure 3). 한편 학생 D는 미분계수 부호로부터미분계수가 정의되는 점 근방에서 독립변수가 변화하면 종속변수가 어떻게 변하는지를 질적으로 기술하였으며(Figure 4), 다음 발췌문은 학생D와의 인터뷰이다.

D: 미분계수가 0보다 크기 때문에, 함수가 60에서 증가상태인 것을 알 수 있습니다. 몸무게가 60보다 조금 더 큰 사람이 약의 적정 복용량은 60kg에서의 복용량인 40mg보다 더크다고 예상을 할 수 있는 것이지요. 왜냐하면 60에서의 미분계수가 0보다 크기 때문에,이 말을 반대로 하면 60보다 몸무게가 더작은 사람의 약의 복용량은 40mg보다 더 작다는 것도 예상할 수 있고...

I: 저, 질문이, 6이 양수일 뿐만 아니라 구체적인 숫자잖아요. 여기서 6이 의미하는 것은뭘까요?

D: 이건 좀 어려운데, 60에서 아주 조그만 숫자, 0.01이라든지 0.1? 60.1, 60.001kg 같은 미세한, 엄청나게 구분하기 힘든, 아주 작은차이로 약의 복용량을 비교를 했을 때 약 6mg이 차이가 난다로 해석할 수 있지 않을까?

I: 아 그래요? 그럼 만약 60.001kg인 사람은 약을 얼마나 먹어야 하나요?

D: 이 문제에서 정확한 값은 알 수 없을 것 같아요. 60.001은 아주 미세한 차이니까 그냥40mg을 먹어도 되지 않을까요?(중략)

학생 C가 주어진 미분계수 값으로 해당 점에서 함수의 증가·감소뿐만 아니라 독립변수와 종속변수 변화량의 크기를 곱셈적으로 비교했으나, 학생 D는 부호를 이용하여 독립변수와 종속변수 변화의 방향만을 비교하는 데 그쳤음을 관찰할 수 있다.

언어적 표현으로의 번역을 수반하는 표현 유창성 문항에서는 구체적인 미분계수(A-V, G-V, V-V 문항)혹은 평균변화율 값(N-V 문항)이 주어진 맥락에서 무엇을 의미하는지를 일상 언어로 설명하도록 하였다. 이러한 과제 요구에 대하여, 일부 학생들은 ‘몸무게(독립변수)에 따른 약의복용량(종속변수)변화율’, ‘(종속변수의)순간변화율’, 특히 독립변수가 시간인 경우(G-V, N-V 문항) ‘증가속도’, ‘(종속변수가)얼마나 빨리 증가하는지’ 등 맥락에서 주어진 값을 지시하는 용어를 어떤 두 양이 어떻게 비교되는지에 대한 구체적인 언급 없이 제시하였다.

이와 같은 미분계수 혹은 평균변화율 값의 의미 해석 문항(A-V, G-V, N-V, V-V 문항)에서, 여러 학생들이 ‘순간변화율’과 같은 미분계수의 동의어를 언급하거나, 접선의 기울기를 떠올려 학생 D와 같이 주어진 점 근방에서 함수의 증감을질적으로 기술하였다. 변화율 값의 의미에 대한 이러한 제한적인 해석은 이 학생들이 용어 혹은 기하학적 이미지로 대상으로서의 변화율을 지시했으나, 그 이면에 있는 두 양의 곱셈적 관계는읽어내지 못했다는 점에서 ‘의사 대상’으로서의변화율 인식을 보여주고 있다. 12명(35%)의 학생들이 두 표현 유창성 문항 이상에서 ‘의사 대상으로서의 변화율’ 인식을 드러냈다.

### 3. (순간)변화율과 (순간)변화량 사이의 혼동

수치 표로 제시된 함수로부터 미분계수를 근사하는 N-A 문항 및 평균변화율을 계산하는N-N 문항에 대하여, 몇몇 학생들은 평균변화율이 아닌 (해당 구간에서의) 종속변수 변화량을계산하였다. 또한 두 학생은 평균변화율을 정확히 계산했으나, N-V 문항에서 평균변화율 값의의미를 종속변수의 증가량으로 해석하였다.

이와 같은 변화량과 변화율 사이의 혼동은 극한 과정에서 0에 가까이 가는 독립변수 변화량에 대한 종속변수 변화량의 비율을 생각하는 순간변화율에서 더욱 심화되는 경향을 관찰할 수 있었다. Figure 56은 앞서 다룬 V-V 문항에대한 학생 B와 D의 응답으로, 두 응답에서 미분계수의 극한 과정에 대한 미묘한 이해 차이를 관찰할 수 있었다.

Figure 5. Student B’s verbalization about the meaning of the derivative value in the V-V task
Figure 6. Student E’s verbalization (coded as “confusion between amount of change and rate of change”)

학생 B는 학생 D와 유사하게 60kg 근방에서는 몸무게가 증가하면 약의 복용량도 증가한다고 예측하였으며, 또한 M=60(kg)에서의 미분계수 값 6을 ‘몸무게 증가량에 대한 약의 복용량증가량의 비율’이라고 해석하였다(Figure 5). 학생 B는 이와 같은 해석에 도달한 추론을 인터뷰에서 다음과 같이 설명하였다.

학생 B: f(60)이 40이라는 건, M이 60인 환자가 40mg을 복용해야 한다는 거잖아요. 이거는 그냥 그렇다는 사실인데, f'(60)이 6이라는 말은 DM의 관계를 함수로 나타냈을 때 환자의 몸무게가 60kg에서 약의 복용량의순간변화율이 6이라는 뜻이잖아요. 그러니까일단 양수니까 약의 순간변화율은, 60일 때를 전후로, 복용량은 계속 증가하고 있다는걸 알 수 있겠죠? 물론 멀리 떨어지면 잘 모르겠지만.. 함수는 막 변할 수 있으니깐... 일단 이 전후로는 약의 복용량이 증가한다고 말할 수 있을 거 에요.

아까 말했듯이 순간 변화율의 의미가, 60kg일 때만 기준으로 보면, 환자의 몸무게가1kg 늘어날 때 약의 복용량의 증가량은 6mg인데, 여기서 순간변화율이니까 환자의 몸무게가 60 아주 조금 전에서 아주 조금 너머로넘어갈 때, 그거의, 예를 들어 0.1만큼 변화했다고 치면, 이것도 M이 1 증가할 때 6만큼 D가 증가해야 하니까, 만약에 거기서 ‘순간’? 순간이라는 말의 의미가 계속 이상해지는데, 그 순간을 제가 0.1로 가정할께요. 0.1로 가정하면, 0.6만큼 증가한다, 그런 의미로말할 수 있겠죠. 물론 다음 순간이 되면, 이변화율도 변할 테니까, 지금 말한 가정처럼되지는 않겠지만요. 전달을 위해 가정하자면요.

학생 B는 미분계수가 정의되는 60kg근방에서, 몸무게가 (아주 작은 변화량, ‘순간’의 예로) 0.1kg만큼 변한다고 가정했을 때, 주어진 미분계수 값 6을 독립변수(몸무게) 변화량에 대한 종속변수(약복용량) 변화량의 비율(즉, 60kg근방에서정의된 평균변화율)과 연결하여 이에 대응하는약 복용량의 증가량은 0.6mg일 것이라고 추론하였다. 이와 같이 학생 B는 미분계수를 해석하기위해, 주어진 미분계수 값이 나오는 극한과정으로 되돌아가 해당 점 근방의 평균변화율을 떠올렸으며, 평균변화율을 통해 해당 점 근방의 작은독립변수 변화량에 대응하는 (근사적인) 종속변수 변화량을 곱셈적으로 추론하였다.

한편, 학생 E는 주어진 미분계수 값 6을, 몸무게의 특정되지 않은 작은 변화에 대응하는(“60kg 근방에서 몸무게가 변화할 때”) ‘약 복용량의 변화량’으로 해석하였다(Figure 6). 학생 E와의 인터뷰에서 연구자는 “60kg 근방에서 몸무게가 변화할 때”에 대한 부연 설명을 요청하였다.

E: 이 사람이 60kg일 때, 복용량이 40이잖아요. 60kg일 때 변화량이 6이었으니까, 60kg근방에서 몸무게가 변할 때 약의 복용량이 6mg씩 계속 달라진다는 것을 말하는 것 같아서 이렇게 해석했어요.

I: 몸무게가 변화할 때라는 게 구체적으로 뭐에요? 구체적으로?

E: 60kg에서 59.99나, 60.**에서 왔다 갔다 할 때, 약의 변화량이 달라질 때 그 변화량이6mg이라고 생각했어요.

I: 아, 그럼 예를 들어 59.5일 때는, 그(약의) 변화량이 어떻게 되요?

E: 그거는 알 수 없어요.

I: 아, 59.5일 때는 얼마큼 변화할지는 알 수 없는 건가요?

E: 그 근방이라는 게, 엄청 작은 부분이라서, 0.5여도 차이가 많이 난다고 생각할 수 있어서, 알 수 없다고 생각해요.

학생 E의 응답 및 인터뷰는, 학생 E역시 학생B와 마찬가지로 독립변수 변화량이 0에 가까이가는 정의역의 극한과정 및 미분계수가 독립과 종속변수의 두 변화량에 관련된 값이라는 점을 어느 정도 의식하고 있음을 보여주고 있다. 그러나 학생 E는 독립변수의 특정할 수 없는 작은 변화량은 무시해 버린 채, 미분계수 값 6을 (독립변수의 작은 변화량에 대응하는) 종속변수의변화량으로 해석하였다. 함수가 해당 점에서 연속이므로 독립변수 변화량이 0에 가까워지면 대응하는 종속변수 변화량도 0에 가까워지지만, 학생 E는 이점을 깨닫지 못한 채 주어진 미분계수값 6을 (0에 가까이 가는 독립 변수 변화량에 대응하는)종속변수의 변화량으로 생각하고 있었다. V-V 문항에서 9명(24%)의 학생들이 학생 E와같이 주어진 미분계수 값을 종속변수의 변화량으로 해석하였다.

다음 V-A 문항에 대한 응답(Figure 78)은, ‘율’과 ‘양’에 대한 학생들의 혼동을 보다 분명하게 보여주고 있다. V-A 문항은 일상 언어로 제시된 뉴스평점(독립변수)과 수익(종속변수)의 함수 정보를 미분계수로 대수적으로 번역하는 문항이었다. 뉴스 평점이 4.3점에서 0.1점 상승할때 500만원의 수익이 증가한다는 정보로부터, 주어진 0.1의 평점 차이를 충분히 작다고 가정하면, f'(a)(여기서 a는 4.3과 4.4 사이의 임의의 수가 될 수 있다)의 값은 제시된 두 평점 사이의 평균변화율 $500만원0.1점=5,000(만원/점)$으로 근사적으로 나타낼 수 있다. 다음은 위 정보를 “f'(4.4)≒5000000(원)”으로 번역한 학생 G(Figure 7)와의 인터뷰이다.

Figure 7. Student G’s response (coded as “confusion between amount of change and rate of change”)
Figure 8. Student C’s response (coded as “confusion between amount of change and rate of change”)

G: 우선은, 이 함수를 정의부터 했어야 했잖아요? 그래서 평점에서 돈의 수익으로 가는 이함수를 먼저 생각을 한 거죠. 그래서, 평점이0점에서 10점까지, 그래서 수익으로 가는, 그래서 얘(f식을 가르키며)가 평점에서 수익으로 가는 함수니까, f'은 수익의 변화량을 나타내는 거라는 생각을 했어요.

I: 수익의 변화량

G: 네, f'은 이거의(수익을 가르키며) 변화량을 나타내는 거라서, 수익의 변화량을 나타내는것이라고 생각했어요. 그래서 500만원이 증가한다고 했잖아요? 그래서 일단 f'은 500만원이다 먼저 생각을 했었고, 그 다음에 4.3에서 0.1점 상승했다고 했잖아요? 그래서 4.4를 썼어요.

I: 그럼 여기 혹시, 문제에 미분계수의 단위도 쓰라고 했잖아요. 단위는 뭐가 될까요?

G: 만원, 아니 원.

학생 G는 ‘평점’과 ‘평점 변화량’중 무엇을 함수의 독립변수로 생각해야 하는지도 고민했다. 학생 G는 주어진 함수 정보에서 평점을 독립변수, 수익을 종속변수로 옳게 선택하고, 평점과수익사이의 공변 관계도 이해했으나, 평점 변화량에 대한 수익 변화량의 비율 대신 요구된 미분계수 값을 “종속변수의 변화량(500만원)”으로, 이 미분계수 값을 취하는 독립변수 값은 주어진평점 4.3에서 0.1을 더해 4.4로 구했다. 다음은 학생 G와 유사하게, 주어진 정보를 “f'(4.3)≒500(만원)”이라고 번역한 학생 C(Figure 8)와의인터뷰이다.

C: 저는 이걸 0.1점이 상승하면 500만원이 수익이 난다고 했으니깐, 이거를 작은 계수로 봐서(0.1을 가르킴), 음, 이거 정도면 작은 값으로 생각해서 프라임 값으로 어느 정도로 나타낼 수 있다고 생각해서 f'(4.3)≒500(만원)이라고 했는데..

학생 C는 미분계수의 의미를 언어적으로 해석하는 다른 문항(G-V, V-V)에서, 미분계수 값을독립변수의 1 단위 변화에 대응하는 종속변수의변화량으로 잘 해석했던 학생이었다(Figure 3 참조). 그러나 학생 C는 독립변수의 1이 아닌 0.1 변화량이 주어진 V-A 문항에서는 두 변화량의비율을 생각하는 대신, 독립변수의 0.1 변화량은무시한 채 종속변수 변화량이 미분계수 값을 근사적으로 나타낸다고 번역하였다. 학생 C의 V-A에 대한 번역은, 임의의 독립변수 변화량이 아닌1이라는 특정 덩어리(chunk)에 대해서만 이에 해당하는 종속변수 변화량과의 비율을 생각했음을 보여주고 있다.

학생 C의 추론에서, 변화율로서의 미분계수에대한 “덩어리 의미(chunky meaning; Byerley & Thompson, 2017, pp. 172-174)”가 어떻게 표출되었는지도 주목할 필요가 있다. 미분계수의 극한과정은 ‘각 독립변수와 종속변수 변화량을 곱셈적으로 비교하는 공역의 비율 과정’과 ‘독립변수변화량이 점점 더 0에 가까워지는 정의역의 극한과정’의 조정을 수반한다. 그런데 학생 C는 정의역의 극한 과정에서 독립변수의 0.1이라는 작은 변화량을 “이거 정도면 (비율에서 누락 가능한) 작은 값이라고 생각하여”, 이에 대한 종속변수 변화량의 비율을 생각하지 않았다.

두 학생 C와 G 모두 평균변화율의 극한이라는 미분계수 정의를 잘 알고 있었으며 정의를 그래프 맥락에서 설명할 수도 있었으나, 두 학생모두 미분계수 정의와 종속변수의 변화량이라는 해석 사이의 모순을 깨닫지 못했다.

V-A문항에서 미분계수 값과 단위를 모두 정확히 번역한 학생은 34명 중 두 명에 그쳤다. 대부분의 학생들이 미분계수 단위를 누락하거나 ‘원/점(종속 변수(수익)단위/독립 변수(평점) 단위)’이아닌 ‘’이라고 생각하고 있었다. 미분계수를‘(종속변수의) 순간 변화량’으로 생각하여 f'(4.3)의 값을 500만원으로 계산한 C나 G와 같은 학생들뿐만 아니라, 정확하게 평균변화율을 $500만원0.1점=50,000,000$으로 계산했던 인터뷰 학생들중에서도 미분계수의 단위를 ‘종속변수의 단위’ 로 생각했던 학생들이 있었다. 특히 이 학생들은평균변화율 값 50,000,000을 “(독립변수가) 1단위만큼 증가했을 때 (종속변수의) 증가량”이라고 해석하여, 그 단위는 ‘원’이라고 생각하였다. 이와같은 미분계수(혹은 평균변화율) 단위 오류 역시학생 C와 유사하게 변화율로서의 미분계수에 대한 “덩어리 의미”를 표출하고 있으며, 변화율을정확히 계산했으나 변화율이 “한 변화량의 다른변화량에 대한 상대적 크기(Byerley & Thompson, 2017, p. 173)”라는 점을 충분히 이해하지 못하고있음을 보여주고 있다. 10명(29%)의 학생들이 두문항 이상에서 변화율과 변화량을 혼동하였다.

### 4. 극한의 과정-대상 이중성 이해 부족

A-N 문항은 함수 f(x)=x3f(1.99)와 f(2.01)의 근삿값을 f'(2)를 이용하여 구하는 문제이다. x=2 근방에서 함수의 평균변화율은 f'(2)값으로 근사할 수 있으므로, 이 문항은 미분계수의 대수적 표현 f'(2)으로부터 x=2근방의 평균변화율이라는 수치적 표현으로의 번역을 수반한다. 특히 수치적 표현이 극한 과정을 투영하는 반면 대수적 표현은 극한 대상을 투영하므로, 이러한 두표현사이의 번역은 두 입출력 표현에 투영된 극한 대상과 과정의 연결을 필요로 한다. Figure 910은 A-N 문항에 대한 학생 K와 H의 응답이다.

Figure 9. Student K’s response to A-N task
Figure 10. Student H’s response to A-N task (coded as “weak understanding of process-object duality of the limit)

학생 K는 먼저 미분계수 정의를 상기한 후, 주어진 함수의 구간 [1.99, 2]과 [2, 2.01]에서의평균변화율 값은 f'(2)와 근사적으로 같다고 생각하였다. 이러한 추론을 바탕으로, f'(2)의 값12를 주어진 구간에서의 평균변화율의 근삿값으로 사용하여, f'(1.99)와 f'(2.01)의 근삿값을 계산해냈다(Figure 9). 일부 학생들은 f'(2)를 x=2에서의 접선의 기울기로 번역하여, 접선의 방정식 L(x)을 계산한 후 L(x)에 1.99와 2.01의 값을 대입하여 f(1.99)와 f(2.01)의 근삿값을 계산하였다.

학생 H역시 미분계수의 정의를 떠올렸으며, f'(2)를 x=2에서의 접선의 기울기로 번역하였다(Figure 10). 학생 H는 f(x) = x3x=2에서의 접선의 그래프를 그린 후, 각 그래프에서 x가 1.99 (또한 2.01)일 때의 값을 찍어 비교해보기도하였다. 이러한 노력에도 불구하고 학생 H는 x=2에서의 접선의 방정식으로 x=2근방에서의 함숫값을 근사할 수 있음을 확신하지 못해 더 이상의 시도를 포기하였다.

학생 K의 표현 번역은 f'(2)값을 원래 주어진극한 ‘대상’뿐만 아니라, 해당 점 근방의 평균변화율이라는 극한 ‘과정’으로 보았음을 보여주고있다. 극한 과정과 대상의 차이에도 불구하고, 학생 K는 이러한 극한 과정과 대상을 “같은 동전의 다른 면(Sfard, 1991)”으로 유연하게 연결했던 반면, 학생 H는 극한 과정과 대상의 연결에실패하였다. 34명 중 반 이상의 학생이 A-N 표현 번역을 성공적으로 수행했으나, 다섯 학생은학생 H의 응답과 같이 ‘극한에 대한 과정-대상이중성 이해 부족’을 드러냈다.

한편, 앞서 살펴본 V-A 문항에서 일곱 학생이함수의 언어적 정보로부터 평균변화율을 옳게 계산했으나, 평균변화율을 미분계수의 근삿값으로 연결하지 못했다. V-A 문항에 대한 이러한응답 역시 마찬가지로 극한에 대한 과정-대상이중성에 대한 약한 이해를 드러내고 있으며, 같은 미분 인식 범주로 코딩하였다.

### 5. 함수 과정에 대한 부족한 이해

이 연구의 초점은 미분계수였으나, 일부 표현유창성 문항에서는 함수층에 대한 이해도 관찰할 수 있었다. V-G 문항은 언어적 기술, N-G 문항은 수치적 표로 제시된 함수로부터 그래프 표현으로의 번역 문항이었다. 두 과제에서 다섯 학생이 독립변수의 변화에 따른 변화율의 공변(즉, 함수의 오목·볼록)를 잘못 번역하였으며, 이 중두 학생은 주어진 함수의 증감(즉, 독립변수와종속변수의 공변)도 잘못 번역하였다. 이와 같은번역 오류를 ‘함수 과정에 대한 이해 부족’ 범주로 코딩하였다.

### 6. 의사 대상 함수

다음 G-A 문항(Figure 11)은 그래프 정보를 g'(2)값으로 대수적으로 표현하는 과제였다. 학생 L은 주어진 두 점의 좌표로 접선의 기울기를 계산하고, x=2에서의 접선의 방정식을 구했다. 그러나 학생 L은 이렇게 구한 접선의 방정식을원함수의 도함수 g'(x)와 동일시했으며, 접선의 방정식에 다시 x=2를 대입하여 g'(2)값을 계산했다. G-A 문항에서 네 학생이 이와 같이 ‘한점에서의 접선의 방정식’과 ‘(원함수의) 도함수’ 를 혼동하였다.

Figure 11. Student L’s response to G-A task (coded as “pseudo object for function”)

대수식으로 주어진 함수의 한 점에서의 접선 위에 있는 점들의 좌표를 구하는 A-G 문항에서도 두 학생이 주어진 함수식으로부터 계산한 도함수를 해당 점에서의 접선의 방정식으로 간주하여 번역 과제를 해결하였다.

위와 같은 ‘한 점에서의 접선의 방정식’과 ‘도함수’의 혼동은, 이 학생들이 도함수를 계산하고도함수 기호 g'(x)를 사용하고 있음에도 불구하고, 도함수 기호 g'(x)가 나타내는 함수 과정을이해하지 못한 ‘의사 대상’으로서의 함수층에 대한 인식을 표출하고 있다.

### V. 논의

표현 유창성 문항 응답에 대한 내용 분석으로 도출한 여섯 미분 인식 범주는, 상당수 연구 참여자들이 미분계수를 그 점에서의 변화율로 해석하지 못했으며(‘의사 대상 변화율’, ‘변화율과변화량 사이의 혼동’), 미분계수의 비율-극한-함수 과정에 대한 의식이 부족함을 보여주고 있다(‘의사 대상 변화율·극한·함수’, ‘과정-대상 이중성 이해 부족’, ‘함수 과정 이해 부족’).

여러 학생들이 미분계수 값을 해당 점 근방의 ‘(종속변수의)변화량’으로 해석하였다. 무한소를 이용하여 미분계수를 독립변수와 종속변수의 무한소 변화량의 ‘비율’로 정의하는 비표준 해석학과 달리, 표준해석학에서는 극한을 통하여 미분계수를 독립변수의 변화량이 0이 되지 않으면서0에 한없이 가까워질 때, 독립변수와 종속변수변화량의 ‘비율(평균변화율)의 극한’으로 정의한다. 따라서 미분계수 값을 해당 점 근방의 독립변수 변화량에 대한 종속변수 변화량의 상대적 크기를 말해주는 변화율로 해석하기 위해서는, 최종적인 미분계수 값에 도달하는 극한 과정에 대한 이해를 필요로 한다. 미분계수를 해석하거나 이산적인 함수 값 정보로부터 미분계수를 표현하는 표현 유창성 문항(V-V, G-V, V-A)에 대한 학생들의 응답은, 주어진 표현과의 상호작용이 극한 과정에 대한 순차적인 사고를 요구하며,학생들이 미분계수의 극한 과정을 (함수식이 없어 극한값을 계산하는 알고리즘에 의존할 수 없을 때) 어떻게 인식하고 있는지를 보여주고 있다. 적지 않은 학생들이 0에 다가가는 독립변수변화량을 생각하면서, 미분계수 값을 해당 점 근방에서의 두 변화량의 비율($종속변수변화량독립변수변화량$)이 아닌 ‘(0에 다가가는 독립변수 변화량에 대응하는)종속변수 변화량’으로 생각하고 있었다.

한편, 많은 학생들이 다양한 표현과의 상호작용에서 미분을 구성하는 비율·극한·함수의 과정 측면에 대한 부족한 이해를 표출하였다. 여러학생들이 주어진 미분계수 값에 대해 이를 지칭하는 용어 혹은 접선의 기울기라는 기하학적 이미지는 상기했으나, 두 변화량의 곱셈적 관계를읽어내지는 못했다(‘의사 대상 변화율’). 또한 접선의 기울기, 또한 f'(x)라는 도함수 기호를 참조하면서도 이러한 대상이 나오는 과정에 대해서는 알고 있지 못했거나 잘못 이해하고 있었다(‘의사 대상 극한 및 함수’).

특히 이 연구의 참여자들이 미적분 개념의 대수적·그래프 표현에 치중한 전통적인 미적분학 교육을 받은 학생들이었다는 점을 고려한다면, 이와 같은 학생들의 미분 인식 양상은 다양한 표현에 대한 학습 기회가 부족한 전통적 미적분학 교육에서 학생들이 미분계수에 대해 무엇을, 어떻게이해했으며 무엇을 이해하지 못하고 있는지를 보여주고 있다.

### VI. 결론

함수 및 미분계수의 대수적·그래프·수치적·언어적 표현을 조합한 16개 표현 유창성 문항에서 나타난 미분 인식 범주 및 그 분포(Table 2 & 3)는 각 표현과의 상호작용이 미분계수의 어떤 지식 요소 혹은 측면을 부각하며, 학생들이이에 대해 어떻게 생각했는지를 보여주고 있다. 여러 연구자들이 학생들이 미분에 대하여 수치적·언어적 표현을 수반하는 번역을 잘 수행하지 못함을 보고하였다(Bezuidenhout, 1998; Jones, 2017; Romero, 2012, Tyne, 2016). 이 연구에 참여한 학생들도 수치적·언어적 표현을 수반하는 문항에서 상대적으로 낮은 성취도를 보였으며, 상당수 학생들이 ‘의사 대상 변화율’, ‘변화율과변화량 사이의 혼동’ 인식을 드러냈다. 이는 학생들의 미분계수의 비율 및 극한 층에 대한 의사 구조적 이해가 수치적·언어적 표현에 대한 낮은 표현 능력의 원인 중 하나임을 보여주고 있다.

Distribution of students’ derivative conceptions across the representational fluency tasks.

미분 출력 표현대수적 미분(A)그래프적 미분(G)수치적 미분(N)언어적 미분(V)
함수 입력 표현
대수식으로 주어진 함수(A)의사 대상 함수(2)극한 과정-대상 이해 부족(5)의사 대상 변화율(12)
그래프로 주어진 함수(G)의사 대상 함수(4)의사 대상 극한(11)의사 대상 변화율(15) 변화율-변화량 혼동(9)
수치(표)로 주어진 함수(N)변화율-변화량 혼동(3)함수 과정 이해 부족(3)변화율-변화량 혼동(1)의사 대상 변화율(1) 변화율-변화량 혼동(4)
언어적으로 기술된 함수(V)변화율-변화량 혼동(12) 극한 과정-대상 이해 부족(7)함수 과정 이해 부족(2)의사 대상 변화율(11), 변화율-변화량 혼동(9)

Zandieh(2000, p. 125)는 학생들이 흔히 접하는미분 문제들은 비율-극한-함수의 과정에 대한 이해 없이 의사 대상 인식만으로도 충분히 해결할 수 있음을 지적하였다. 그러나 표현 유창성 문항에 대한 학생들의 다양한 응답과 그에 대한 질적 분석은, 미분계수를 이루는 여러 지식 요소의대상-과정 측면에 대한 학생들의 이해를 진단할뿐만 아니라 촉진할 수 있는 도구로서의 다양한 표현을 수반하는 과제의 가능성을 보여주고 있다.

그러나 다양한 표현을 수반하는 과제 사용 그 자체가 개념 구조에 대한 학생들의 이해를 증진시킬 수 있는 것은 아니다. 미적분학을 가르치는교사가 다양한 표현을 사용하여 학생들의 개념적 이해를 증진하기 위해서는, 주어진 학습 목표와 관련하여 개념의 다양한 외적 표현이 제공하는 다른 학습 기회, 즉 각 표현이 해당 개념 구조에서 무엇을 부각하며, 표현과의 상호작용이학생들에게 유발하는 인지과정은 무엇인지 알아야 할 필요가 있다. 또한 이 연구의 분석을 바탕으로, “학생들의 표현과의 불완전한 혹은 부정확한 상호작용을 미분계수의 구조적 인식 발달을 위한 발판으로 어떻게 사용할 수 있는가?”, “표현과의 상호작용을 어떻게 스캐폴딩할 수 있는가?”, “학생들의 각 과정-대상 구조에 대한 의사구조적 인식을 다양한 표현의 어포던스를 이용하여 어떻게 드러내고 도전할 수 있는가?”, “표현 번역 과제에 대한 교실 토론을 어떻게 진행할 수 있는가?”와 같은 교수학적 질문에 대하여보다 나은 대안을 탐색할 수 있을 것이다.

### Footnote

1) Fredlund, Airey, & Linder(2013)은 주어진 표현의 “학문적 어포던스(disciplinary affordance)”를, “그 표현이 학문적 지식에 접근하는 데 제공하는 내적 잠재력(p. 658)”으로 정의하였다.

2) 앞으로 각 표현 유창성 문항을 표현할 때, ‘A-G 문항’과 같이 해당 문항의 입-출력 표현의 조합기호(대수적 (Algebraic; A)ㆍ그래프적(Graphical; G)ㆍ수치적(Numerical; N)ㆍ언어적(Verbal; V)를 이용하여 지칭한다. 표현 유창성 문항 설계에 대한 보다 자세한 설명은 본 연구의 선행 연구인 Lee(2018, pp. 578-580)을 참고하기 바란다

3) 각 문항은 주어진 표현과 ‘완전한 상호작용(complete interaction, 4점)’, ‘거의 완전한 상호작용(nearly complete interaction, 3점)’, ‘부분적(으로 옳은) 상호작용(partial or partially correct interaction, 2점)’, ‘제한적인 상호작용 (limited interaction, 1점)’, ‘미약한 상호작용 혹은 상호작용의 결여(No or a little interaction, 0점)’으로 양적으로 코딩하였다.

Lee(2018)에서는 양적코딩결과(성취 수준)를 이용하여, 각 표현 유창성 문항에 대한 학생들의 반응을 양적으로 분석하였다. 학생들은 미분계수의 언어적 표현을 요구하는 문항(A-V, G-V, V-V), 비대수적 함수 표현으로부터 미분계수를 표현하는 문항(V-A, N-A, G-N)에서 상대적으로 성취도가 낮았다. 또한 함수의 입력표현을 공유하거나 혹은 미분계수의 출력 표현을 공유하는 여러 표현 번역 문항 간 학생 성취 수준 양상이 일관적이지 않음을 관찰하였다.

### Fig 1.

Figure 1. Student A’s response (coded as “pseudo object for limit”)
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 39-66https://doi.org/10.29275/jerm.2020.02.30.1.39

### Fig 2.

Figure 2. Student B’s response to G-N task
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 39-66https://doi.org/10.29275/jerm.2020.02.30.1.39

### Fig 3.

Figure 3. Student C’s verbalization about the meaning of the derivative value
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 39-66https://doi.org/10.29275/jerm.2020.02.30.1.39

### Fig 4.

Figure 4. Student D’s verbalization (coded as “pseudo object for rate of change”)
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 39-66https://doi.org/10.29275/jerm.2020.02.30.1.39

### Fig 5.

Figure 5. Student B’s verbalization about the meaning of the derivative value in the V-V task
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 39-66https://doi.org/10.29275/jerm.2020.02.30.1.39

### Fig 6.

Figure 6. Student E’s verbalization (coded as “confusion between amount of change and rate of change”)
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 39-66https://doi.org/10.29275/jerm.2020.02.30.1.39

### Fig 7.

Figure 7. Student G’s response (coded as “confusion between amount of change and rate of change”)
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 39-66https://doi.org/10.29275/jerm.2020.02.30.1.39

### Fig 8.

Figure 8. Student C’s response (coded as “confusion between amount of change and rate of change”)
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 39-66https://doi.org/10.29275/jerm.2020.02.30.1.39

### Fig 9.

Figure 9. Student K’s response to A-N task
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 39-66https://doi.org/10.29275/jerm.2020.02.30.1.39

### Fig 10.

Figure 10. Student H’s response to A-N task (coded as “weak understanding of process-object duality of the limit)
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 39-66https://doi.org/10.29275/jerm.2020.02.30.1.39

### Fig 11.

Figure 11. Student L’s response to G-A task (coded as “pseudo object for function”)
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 39-66https://doi.org/10.29275/jerm.2020.02.30.1.39

Table 1 Structural, executive and arbitrary error categories in the interactions with representations

오류 범주범주 설명
구조적 오류입력 및 출력 표현에 투영된 미분계수 과정-대상 구조에 대한 오개념 혹은 이해 부족으로 인한 표현과의 상호 작용 (혹은 번역)오류
실행적 오류입력 및 출력 표현에 투영된 미분계수 과정-대상 구조에 대한 상당한 이해에도 불구하고, 계산 실수를 범하거나 애매한 언어적 표현을 제시하는 등 요구된 표현 번역 절차를 정확하게 실행하지 못한 오류
임의적 오류문제 의도, 문제 상황, 수치 등 문제 진술에 포함된 정보에 대한 충분한 이해 및 주의 부족으로 발생한 표현과의 상호 작용 (혹은 번역)오류

Table 2 The summary of students’ derivative conceptions from incomplete or incorrect interactions with multiple representations

누락 혹은 잘못 번역된 지식요소/측면미분 인식 범주표현과의 상호작용(번역)행동관련 문항 (각 범주로 코딩된 학생 응답 수)
극한과정 비율과정의사 대상 변화율미분계수 혹은 평균변화율 값의 의미를 언어적 으로 해석하는 문항에서, 독립변수와 종속변수 의 공변 관계 혹은 이 값을 지칭하는 용어를 언급하지만, 두 변화량의 곱셈적 관계를 읽어내 지 못함G-V(15), A-V(12), V-V(11), N-V(1)
비율-극한 층변화율과 변화량 사이의 혼동표현 번역 과정에서 (순간)변화율을 종속변수의 (순간)변화량으로 잘못 해석하거나 계산V-V(9), V-A(12), G-V(9), N-V(4), N-A(3), N-N(1)
극한 층의사 대상 극한 극한대상 이면의 극한 과정에 대한 고려 없이 극한 대상만을 번역G-N(11)
극한 층극한의 과정-대상 이중성 이해 부족극한 과정과 극한 대상을 유연하게 연결하지 못함A-N(5), V-A(7)
함수 과정함수 과정 이해 부족독립변수와 변화율의 공변 관계를 잘못 번역V-G(2) N-G(3)
함수 과정의사 대상 함수한 점에서의 접선 방정식과 도함수를 혼동G-A(4), A-G(2)

Table 3 Distribution of students’ derivative conceptions across the representational fluency tasks

미분 출력 표현대수적 미분(A)그래프적 미분(G)수치적 미분(N)언어적 미분(V)
함수 입력 표현
대수식으로 주어진 함수(A)의사 대상 함수(2)극한 과정-대상 이해 부족(5)의사 대상 변화율(12)
그래프로 주어진 함수(G)의사 대상 함수(4)의사 대상 극한(11)의사 대상 변화율(15) 변화율-변화량 혼동(9)
수치(표)로 주어진 함수(N)변화율-변화량 혼동(3)함수 과정 이해 부족(3)변화율-변화량 혼동(1)의사 대상 변화율(1) 변화율-변화량 혼동(4)
언어적으로 기술된 함수(V)변화율-변화량 혼동(12) 극한 과정-대상 이해 부족(7)함수 과정 이해 부족(2)의사 대상 변화율(11), 변화율-변화량 혼동(9)

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### Vol.32 No.2 2020-02-28

pISSN 2288-7733
eISSN 2288-8357

Frequency : Quarterly