분수와 분수의 연산은 초등학교 학생들이 가장 이해하기 어렵고 오개념을 많이 드러내는 내용이다. 자연수로부터 형성된 개념이나 알고리즘이 분자와 분모의 순서쌍으로 구성된 분수에서적용되지 않기 때문에 학생들은 인지적 장애를 일으키기도 한다. 특히 분수의 나눗셈은 ‘피제수에 제수의 분자와 분모를 바꾸어 곱한다’는 매우 간단한 법칙에도 불구하고 그 원리를 이해하기는 매우 어려워 기계적으로 이해하는 경우가 많다. 수학의 많은 개념은 매우 다양한 의미를가지며 연산 역시 매우 다양한 상황에서 발생되고 적용된다. 분수의 곱셈과 나눗셈의 경우에는그러한 다양성이 다른 연산에서보다 더 크다고 할 수 있다. 이러한 점들이 분수의 연산을 관계적으로 이해하지 못하고 절차적 기능을 강조하여 여러 가지 면에서 학생들에게 부정적인 영향을 미치기도 한다(Kang et al., 2018).

수학에서 알고리즘은 매우 중요한 위치를 차지한다. 알고리즘은 그 자체도 중요하지만, 알고리즘을 탐구하는 과정에서 수학적으로 사고하는 힘을 기를 수 있다(Kang, 2004). 그러나 분수의나눗셈은 이해와 탐구의 과정보다는 암기하여 학습하는 경향이 많다. 학생들은 분수 나눗셈 알고리즘을 기계적으로 암기하고 있으며, 교사들역시 분수의 나눗셈에 대한 올바른 개념을 가지고 있지 않은 경우가 있다(Kang et al., 2018; Min, 2003). 이러한 이유는 교사교육의 문제일수도 있으나, 분수 나눗셈 알고리즘을 도입하는교과서의 기술 방식에 더 큰 문제가 있다고 생각된다. 그런 점에서 교과서에서 분수 나눗셈 알고리즘이 어떻게 기술되고 있는지를 분석할 필요가 있다. 특히 2019년에는 5, 6학년까지 2015 개정 교육과정에 따른 교과서가 전면적으로 보급되었으며, 2015 개정 교과서에서는 이전 교과서보다 다양한 나눗셈 상황을 다루고 있어서 이에 대해 분석할 필요가 있다.

이 연구에서 연구자는 우리나라 수학 교과서에서 분수 나눗셈이 어떻게 다루어지고 있는지를 분석하려고 한다. 이를 위해, 우리나라 교과서에 제시된 분수 나눗셈이 적용되는 다양한 상황과 그 상황에서 분수 나눗셈 알고리즘이 어떻게 개발되어지는지를 살펴보고, 1차 교육과정에서부터 2015 개정 교육과정까지의 교과서에서분수 나눗셈이 어떤 상황에서 어떤 과정으로 전개되고 있는지를 살펴볼 것이다.

1. 선행연구 분석

분수 나눗셈과 관련한 선행연구들은 비교적 많이 있으며 이를 다음의 몇 가지 분류에 의해 분석하면 다음과 같다.

첫째, 교사를 대상으로 한 연구로, 예비교사를대상으로 한 연구에는 Seo & Jeon(2000), Park, Song & Yim(2004), Park & Kwon(2011) 등이 있다. 이 연구들에 의하면, 예비 초등교사들은 포함제와 단위 비율의 결정이라는 분수 나눗셈의 의미를 충분히 이해하지 못하고 있다. 현직 교사를 대상으로 한 연구로는 교사들의 분수 나눗셈에 대한 내용지식을 분석한 연구(Kang, Cho & Kim, 2012)와 교사들의 등분제 분수 나눗셈 지식에 관한 연구(Lee, 2012) 등이 있다. 이러한 연구에서는 교사들의 포함제와 등분제에 대한 이해의 부족이 드러났는데, 자연수에서와는 달리분수에서는 등분제라는 개념 자체가 연구자에 따라 다양하게 해석할 수 있다는 점에서 연구 결과에 대한 해석의 여지가 있을 수 있다.

둘째, 초등학생을 대상으로 한 연구로, 초등학생들의 분수 나눗셈에서의 오류를 분석한 연구(Min, 2003; Kim & Kang, 2008)가 있는데, Kim & Kang(2008)의 연구에 의하면 학생들이 가장빈번하게 보이는 오류는 제수가 자연수인 나눗셈이다. 초등학생들을 대상으로 새로운 지도 방법을 적용한 연구(Jo & Hong, 2013; Park, 2016; Lim, 2019)들은 대부분 단위비율 결정 맥락으로지도하는 연구들이다.

셋째, 분수 나눗셈과 관련하여 교과서와 교육과정을 분석한 연구로, Pang & Lee(2009)은 분수의 곱셈과 나눗셈에 관하여 7차와 2007 개정 교과서 내용을 비교 분석하였으며, Shin(2019)는 2009 개정 교과서와 2015 개정 교과서에서의 분수 나눗셈에 대해서 비교 분석하였다.

넷째, 분수 나눗셈 알고리즘을 지도하는 방법에대한 연구로는 Kang(2004), Yim, Kim & Park (2005), Yim(2007), Kim & Chang(2009) 등의 연구들이 있다. 이 연구들은 분수 나눗셈 알고리즘을이끌어내기 위한 여러 방법들을 제시하고 있다.

마지막으로, 자연수의 나눗셈에서 사용되는 포함제와 등분제의 의미를 분수 나눗셈에서 새롭게 확장 적용하는 Kang(2014)의 연구와 초등학교수학 교과서에서 분수 나눗셈 알고리즘을 정당화해 가는 과정을 분석한 Park(2014)의 연구가 있다.

이러한 선행 연구의 결과 초등학생들은 분수 나눗셈 알고리즘을 적용하는 과정에서 많은 오류를 범하고 있으며, 교사들은 분수 나눗셈의 의미를 명확하게 이해하지 못한 경우들이 있음을 알 수 있었다. 또한 단위비율 결정 맥락으로 분수 나눗셈을 지도하려는 연구들이 시도되고 있음을 알 수 있었다. 그런 점에서 우리나라 초등 수학교과서가 어떠한 맥락에서 어떻게 분수 나눗셈을 지도하는지의 변천 과정을 분석하여 교육적 시사점을 얻을 필요가 있을 것이다.

2. 분수 나눗셈 상황과 알고리즘 개발 방법

분수의 나눗셈에 관한 많은 연구들이 있지만 본 연구는 교과서에서 분수 나눗셈 알고리즘을 어떻게 지도하는가 즉 분수 나눗셈 알고리즘 도입에 관한 연구에 초점을 둔다.

이와 관련한 연구는 Kang(2004), Yim, Kim & Park(2005), Park(2014) 등이 있다. 이를 살펴보니분수 나눗셈이 적용되는 문제 상황이 있고, 나눗셈 알고리즘을 개발하는 방법이 있다.¹⁾ 이를 정리하면 다음과 같다.

가. 포함제 상황

포함제는 한 수에 다른 수가 몇 번 포함되는가를 알아보는 나눗셈이다. 그러므로 포함제는 주어진 양을 일정한 양으로 계속해서 덜어내는 동수누감에 해당한다. 포함제는 여러 번 덜어내서여러 사람(곳)에게 ‘나누어 준다’는 점에서 나눗셈의 의미를 명확하게 드러내주기는 하지만 포함제는 제수와 피제수가 ‘같은 양’(단위)의 상황에국한되며, ‘몇 번’이므로 몫은 자연수가 된다. 경우에 따라서 덜어내고 남는 부분도 생기게 된다. 그러나 분수의 나눗셈은 그 몫이 분수로 나타내어지게 되므로 이와 같이 나머지가 생기는 경우에 이를 처리하는 과정이 문제가 되고 자연스럽지 못하게 된다. 이런 포함제에서는 동수누감이아니라 ‘몇 배’를 알아보는 활동이 된다.

1) 동수누감 방법

몇 ‘번’, 몇 ‘회’ 또는 몇 ‘배’와 같은 단어가포함된 나눗셈 상황은 제수를 반복해서 뺀다. 이러한 방법을 통해서 문제를 해결하게 되고 분모

가 같은 분수의 나눗셈의 경우에는 ‘분자끼리의나눗셈과 같다’는 결과를 얻을 수 있다. 물론 $\frac{5}{7}÷\frac{2}{7}$와 같은 나눗셈의 경우에는 몫이 2가 되고 나머지가 $\frac{1}{7}$이 된다. 이와 같이 나머지가 생기는 상황은 실생활에서 종종 나타나기는 하지만 수학적으로는 분수의 나눗셈은 몫이 분수가 되기 때문에 이런 경우 추가적인 작업이 필요하게 된다. 즉, 나머지가 제수의 몇 배인지, 나머지의 분자가 제수의 분자의 몇 배인지를 비교해서 나머지가 생길 때도 ‘분자끼리의 나눗셈과 같다’ 는 결과를 이끌어낸다.

분수의 포함제 상황에서 알고리즘을 도입하는 또 다른 방법을 Siebert는 다음과 같이 설명하고있다(Requotation from Yim, Kim & Park, 2005). 먼저, 1÷(분수)를 포함제 맥락에서 이해한다. 즉 1÷$\frac{3}{5}$의 경우 '1 안에는 $\frac{3}{5}$이 <1 번> 들어가고 $\frac{2}{5}$가 남는다. $\frac{2}{5}$ 안에는 $\frac{3}{5}$의 <$\frac{2}{3}$>만 들어가므로 1 안에는 $\frac{3}{5}$이 총 <$\frac{5}{3}$> 번 들어가는 셈이다.'와 같이 해석한다.

피제수가 1이 아닌 경우에는 피제수가 1인 경우에 대한 비례적 사고를 통해 해결한다. 예를 들어 $\frac{2}{3}$÷$\frac{3}{5}$의 경우 1÷$\frac{3}{5}$의 $\frac{2}{3}$배로 이해하면 $\frac{2}{3}$÷$\frac{3}{5}$=(1÷$\frac{3}{5}$)×$\frac{2}{3}$=$\frac{5}{3}$×$\frac{2}{3}$가 된다. Siebert의 설명에서 $\frac{5}{3}$은 $\frac{3}{5}$×$\frac{5}{3}$=1과 같은 관계에서 얻어지기 보다는 1+$\frac{2}{3}$=$\frac{5}{3}$와 같이 하여 얻어진 것이므로 $\frac{5}{3}$가 $\frac{3}{5}$의 역수라고 보기는 어렵다. 그러므로 여기서 얻어진 나눗셈 알고리즘은(제수의 분자와 분모를 바꾼 분수)×(피제수)라고할 수 있다. 이와 같이 도출된 알고리즘은 ‘피제수에 제수의 분자와 분모를 바꾸어서 곱한다’는 표준 알고리즘이 아니라는 점, 그리고 $\frac{5}{3}$번과 같이 받아들이기 어색한 결과가 도출된다는 점, 또한 피제수와 제수가 같은 ‘양’이어야 한다는점 등이 문제일 수 있다. 그러나 피제수와 제수가 분모가 같은 분수가 아니어도 적용될 수 있다는 장점이 있다.

2) 배의 방법

Siebert의 방법을 다음과 같이 변형하면 동수누감이 아니라 ‘배’의 개념으로 나눗셈을 처리할 수 있다. 먼저 1÷$\frac{3}{5}$은 1이 $\frac{3}{5}$의 몇 배인가 하는 문제이다. 수직선을 이용하여 1은 $\frac{3}{5}$의 $\frac{5}{3}$배 임을 알 수 있으며, 여기서 $\frac{3}{5}$과 $\frac{5}{3}$은 역수 관계임도 알 수 있다. 이제 위에서와 마찬가지로 $\frac{2}{3}$÷$\frac{3}{5}$을 1÷$\frac{3}{5}$의 $\frac{2}{3}$배로 이해하면 $\frac{2}{3}$÷$\frac{3}{5}$=(1÷$\frac{3}{5}$)×$\frac{2}{3}$=$\frac{5}{3}$×$\frac{2}{3}$이 된다. 물론 여기서 얻어진 알고리즘도 표준알고리즘이 아니라 (제수의 역수)×(피제수)라는 문제가 있기는 하다. 그러나 $\frac{5}{3}$ '번'과 같은 상황은 나타나지 않는다.

3) 비 또는 측정단위의 세분 방법

"$\frac{2}{3}$ m의 노끈을 $\frac{1}{5}$ m씩 자르면 몇 도막이 될까?"와 같이 포함제 맥락에서 피제수와 제수의 분모가 서로 다를 수 있다. 즉 측정 단위가다를 수 있다. 이 경우 각각의 측정 단위를 세분하여 측정 단위를 같게 만들 수 있다. 즉 피제수와 제수를 통분하여 분모를 갖게 만드는 것이다. 피제수와 제수의 측정 단위가 같게 되면 분수의 나눗셈은 분자끼리의 나눗셈, 즉 자연수의 나눗셈으로 환원되게 된다. 이와 같이 측정 단위를세분하여 자연수의 나눗셈으로 환원하는 것을 비 또는 측정단위를 세분하는 방법이라고 한다(Yim, Kim & Park, 2005).

나. 단위비율 결정 상황

단위비율 결정 상황은 제수가 1, 즉 단위에 대한 양을 구하는 나눗셈이다(Yim, Park & Kim 2005). 예를 들어 ‘철근 1 m의 무게는 얼마인가?’와 같이 단위에 대한 양을 구하는 나눗셈이다. 단위비율 결정 상황은 등분제와 밀접한 관련이 있지만 등분제는 자연수의 범위에서 한정되며 단위비율 결정 상황은 등분제가 분수의 범위로 확장한 것이라고 할 수 있을 것이다. 단위비율 결정 상황은 피제수와 제수가 나타내는 양이 다를 경우에 적용될 수 있다.

1) 번분수 이용 방법

단위비율을 결정하는 나눗셈 상황을 해결하려면 제수를 1로 만들어야 하며, 이를 위해서 다음과 같이 번분수로 처리할 수 있다.

$$\frac{2}{3}÷\frac{3}{4}=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{3}{4}}=\frac{\frac{2}{3}\times \frac{4}{3}}{\frac{3}{4}\times \frac{4}{3}}=\frac{\frac{2}{3}\times \frac{4}{3}}{1}=\frac{2}{3}\times \frac{4}{3}$$

다음과 같이 피제수와 제수에 같은 수를 곱하거나 나누는 방법도 있는데 이것은 표기의 문제일 뿐 번분수에서와 동일하다.

$$\frac{2}{3}÷\frac{3}{4}=(\frac{2}{3}\times \frac{4}{3})÷(\frac{3}{4}\times \frac{4}{3})=(\frac{2}{3}\times \frac{4}{3})÷1=\frac{2}{3}\times \frac{4}{3}$$

이러한 방법은 간단하면서도 제수의 역수를 곱한다는 표준 알고리즘을 도출하는 데 적합하다. 그러나 번분수는 초등학교 수준에서 다루어지지 않기 때문에 이런 과정으로 지도하기는 어렵다.

2) 줄이고 늘이기 방법

단위에 대한 양을 구하기 위해서 줄이고 늘이는(또는 늘이고 줄이는) 방법도 있다. 예를 들어, '철근 $\frac{3}{4}$ m의 무게가 $\frac{2}{3}$ kg이라면 철근 1m의 무게는 얼마인가?' 하는 문제에서는 $\frac{3}{4}$ m의 철근을 $\frac{1}{4}$ m로 그 길이를 줄이면 그 무게는 ($\frac{2}{3}$÷3) kg이 된다. $\frac{1}{4}$ m의 철근을 1 m의 철근으로 늘이면 그 무게는 ($\frac{2}{3}$÷3×4) kg이 된다. 즉, 길이를 늘이고 줄이는 과정을 통해 다음과같이 분수 나눗셈 알고리즘이 도출된다.

$$\frac{2}{3}÷\frac{3}{4}=\frac{2}{3}÷3\times 4=\frac{2}{3}\times \frac{4}{3}$$

이 때 $\frac{4}{3}$는 $\frac{3}{4}$ m를 1m로 변환하는 과정에서 나온 것이므로 $\frac{3}{4}$의 역수이다. 즉, 분수의 나눗셈은 제수의 역수를 곱하는 것과 같다는 표준알고리즘이 도출된다.

줄이고 늘이는 방법은 문제의 답을 쉽게 찾을 수 있다는 장점이 있으나, 단위비율을 결정하는상황은 이게 분수의 나눗셈 문제인지를 인식하기는 쉽지 않다는 문제점이 있다. 그래서 단위비율 결정 상황을 이용하여 분수 나눗셈 알고리즘을 도출하기 위해서는, 이런 상황을 먼저 곱셈식으로 나타내고 역연산 관계를 이용하여 나눗셈식을 만들거나 또는 문제에 포함된 분수를 자연수로 바꾸는 방식으로 문제를 단순화하여 나눗셈식을 찾고 이를 원문제에 적용하는 것과 같은 교수학적 장치가 필요하다.

다. 곱셈의 역연산 상황

포함제나 단위비율 결정 상황, 측정 단위의 세분 방법 등은 문제 상황에서 출발하게 되며 어떤 의미를 가지게 된다. 그러나 곱셈의 역연산은그러한 의미를 가지기 보다는 곱셈과 나눗셈의 역연산 관계를 이용하여 계산하는 방식이다. 즉, a÷b = c 이면 a=b×c라는 사실을 이용하여, 분수의 나눗셈을 분수의 곱셈으로 고쳐서 답을 구할 수 있다(Kang, 2004). 역연산 관계를 이용하는 것은 포함제 상황이든 단위비율을 결정하는 상황이든 적용 가능하다.

1) 수직선 이용

다음 수직선에서 알 수 있듯이, a×b=c는 a를 1로 보고 a의 b배에 해당되는 c를 구하는 것이다. 진분수의 곱셈의 경우 b가 0과 1 사이에위치하게 된다.

여기서 두 가지 나눗셈이 얻어진다. c÷a=b 와 c÷b=a가 그것이다. 먼저 c÷a=b를 살펴보자. c÷a=b는 'a를 1로 보고 b를 구하는 연산이 된다. 즉, a의 몇 배가 c인가' 하는 포함제 상황이다. 예를 들어, $\frac{3}{4}$÷$\frac{2}{7}$은 다음 수직선과 같이 생각할 수 있다. 즉, $\frac{3}{4}$÷$\frac{2}{7}$는 $\frac{2}{7}$를 1로 볼 때 $\frac{3}{4}$에는 $\frac{2}{7}$가 몇 개 포함되는가 혹은 $\frac{3}{4}$은 $\frac{2}{7}$의 몇 배인가를 값을 구하는 것이다.

이때, $\frac{2}{7}$는 전체 1을 4등분하고, 4등분한 각각을 또 7등분해서 각각의 $\frac{1}{4}$에서 두 개씩 취한 것이라고 할 수 있다. 그러므로 $\frac{2}{7}$는 작은 조각 8개이며, $\frac{3}{4}$에 해당되는 x는 작은 조각 21개이다. 따라서 x=$\frac{21}{8}$이 된다. 즉, $\frac{3}{4}$÷$\frac{2}{7}$=$\frac{21}{8}$이다.

이러한 과정을 통해 분수의 나눗셈은 ‘제수의 분자와 분모를 바꾸어서 곱한 것과 같다’는 알고리즘을 구하게 된다(Kang, 2004).

이번에는 c÷b=a를 살펴보자. 이것은 단위비율 결정 상황에 해당하는 것으로 b에 해당하는 값이 c라면 1에 해당하는 값은 얼마인지를 알아보는 나눗셈이다. 예를 들어, $\frac{3}{4}$÷$\frac{2}{7}$은 이 경우 다음 수직선과 같이 생각할 수 있다.

이 나눗셈을 하려면 먼저 $\frac{1}{7}$에 해당하는 값을 구해야 하며 이 값은 $\frac{3}{4}$÷2이다. 여기에 7을 곱하면 1에 해당하는 값을 구할 수 있다. 즉, $\frac{3}{4}$÷2×7=$\frac{3}{4}$×$\frac{7}{2}$가 되어, 제수의 분자와 분모를 바꾸어서 곱한다는 알고리즘을 얻게 된다.

이와 같이 곱셈의 역연산으로 얻어지는 나눗셈을 수직선을 이용하여 해결할 수 있다. 수직선은 포함제 상황이든 단위비율 결정 상황이든 어디에나 적용가능하다는 장점이 있다. 그러나 분수 나눗셈에서 수직선을 이용하는 것은 개념적으로는 이해하기 쉬울 수 있으나 나눗셈 알고리즘을 수직선을 이용하여 개발하는 과정을 초등학생들이 이해하기는 그리 쉽지 않아 보인다.

2) 직사각형의 넓이 이용

직사각형의 가로와 세로를 곱하면 넓이를 구할 수 있고, 넓이와 가로(세로)가 주어졌을 때세로(가로)를 구하는 것이 나눗셈이라는 사실을이용하여 분수의 나눗셈 알고리즘을 얻을 수 있다(Kang, 2004).

직사각형의 넓이를 이용하여 분수의 곱셈 알고리즘을 구하는 방법을 Lee(2001)이 제시하고 있다. 이 방법을 사용하면 $\frac{b}{a}÷\frac{d}{c}=\frac{b\times c}{a\times d}$ 와 같은 알고리즘을 얻게 된다. 그러나 이 방법에 따라 도형을 변형하는 과정은 매우 어렵다(Kang, 2004). Yim, Kim & Park(2005)이 제시한 방법이 이보다는 좀 더 간단해 보이므로 그 방법을 분수 나눗셈 $\frac{2}{5}$÷$\frac{3}{4}$에 적용해서 설명하면 다음 figure 1과 같다.

Figure 1. transformation of rectangle

먼저 넓이가 $\frac{2}{5}$cm²이고 가로가 $\frac{3}{4}$cm인 직사각형을 생각하자. 직사각형을 정확하게 그리는 것이 중요한 것이 아니라 가로와 세로, 넓이 관계를 반영한 직사각형을 생각하면 된다. 이 직사각형의 세로가 이 나눗셈 $\frac{2}{5}$÷$\frac{3}{4}$의 몫이다. 다음에는 이 직사각형을 이용하여 넓이가 1cm²인 직사각형을 만든다. 이 직사각형의 세로는 $\frac{4}{3}$cm가 될 것이 분명하다.

처음 나눗셈의 몫은 $\frac{4}{3}$의 $\frac{2}{5}$가 되므로 $\frac{2}{5}$÷$\frac{3}{4}$=$\frac{4}{3}$×$\frac{2}{5}$임을 알 수 있다. 또한 $\frac{4}{3}$는 가로가 $\frac{3}{4}$cm이고 넓이가 1 cm²인 직사각형을 만들기 위해 나타난 수이기 때문에 $\frac{3}{4}$의 역수이다. 그러므로 이 과정을 통해 얻어진 분수의 나눗셈 알고리즘은 ‘제수의 역수에 피제수를 곱한다’가된다. 이것은 일반적인 분수 나눗셈 알고리즘은아니지만, 이 방법은 도형의 변형이 비교적 쉽고역수 개념이 나타난다는 점이 장점이라고 할 수 있다.

3) 퍼즐 이용 방법

일종의 퍼즐 문제를 풀듯이 빈자리를 찾아가는 방법이다(Kang, 2004).

예를 들어, $\frac{3}{5}$÷$\frac{2}{7}$의 계산은 $\frac{3}{5}÷\frac{2}{7}=\frac{\square }{△}$라고 하자. 그러면 $\frac{3}{5}=\frac{\square }{△}\times \frac{2}{7}$이다. $\frac{\square }{△}$을 구하기 위해 $\frac{3}{5}$의 분자와 분모에 각각 2×7을 곱하면 $\frac{3}{5}=\frac{3\times 2\times 7}{5\times 2\times 7}=\frac{\square }{△}\times \frac{2}{7}$이므로 $\frac{\square }{△}=\frac{3\times 7}{5\times 2}$임을 알 수 있다. 따라서 $\frac{3}{5}÷\frac{2}{7}=\frac{3\times 7}{5\times 2}$이 된다.

이러한 방법은 일종의 퍼즐 문제이고, 퍼즐을해결한 결과 분수의 나눗셈 방법을 발견하게 된다. 그러나 이러한 퍼즐 문제를 해결하는 것이초등학교 수준에서 쉽지는 않다.

4) 유추를 이용한 방법

분수의 곱셈은 분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱한다. 여기서 유추하여 분수의 나눗셈은분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 나눌 것이라고 생각할 수 있다(Kang, 2004; Yim, Kim & Park, 2005). 이러한 유추를 가능하게 하려면 8/15÷4/5와 같이 분자끼리 나누고 분모끼리 나눌 수 있는 나눗셈 문제를 제시하여야 한다. 이어서분수 나눗셈 알고리즘을 개발하기 위해서 $\frac{3}{5}$÷$\frac{2}{7}$과 같은 나눗셈에 유추의 결과를 적용할 수 있는 방법을 찾아보게 해야 한다. 이 경우 다음과 같이 계산되며, 이 결과를 이용하여 제수의 분자와 분모를 바꾸어서 곱한다는 나눗셈 알고리즘을 얻게 된다.

$$\frac{3}{5}÷\frac{2}{7}=\frac{3\times 2\times 7}{5\times 2\times 7}÷\frac{2}{7}=\frac{3\times 7}{5\times 2}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 나눈다는 유추의 결과는 사실 맞는 결과이다. 그러나 왜이게 맞는 계산 방법인지의 정당화는 유추를 통해 얻어지지는 않는다. 정당화를 하기 위해서는곱셈과 나눗셈의 역연산 관계를 이용해서 추가적인 설명이 있어야 한다. 그러한 정당화가 어렵지도 않으며 이러한 유추적 방법은 학생들에게 유추적 사고를 경험시킬 수 있으며, 학생들의 흥미를 자극할 수도 있다는 장점이 있다.

1차 교육과정의 교과서부터 2015 개정 교육과정 교과서까지 분수의 나눗셈 내용을 분석한다. 분석 요소는 분수 나눗셈 문제 상황과 분수 나눗셈 알고리즘의 개발 방법이다. 앞서 이론적 고찰에서 살펴 본 3가지 나눗셈 문제 상황과 그에따른 알고리즘 개발 방법이 교과서에 어떻게 반영되는지를 분석하는 것이다. 분수 나눗셈 단원을 중심으로 분석하되, 분수와 소수의 혼합계산은 분수 나눗셈 알고리즘을 학습하고 나서 이를 활용하는 것이므로 분석에서 제외한다. (자연수)÷(자연수)나 (분수)÷(자연수)는 분수의 나눗셈을 모르더라도 등분할을 통해 해결할 수 있는 내용이지만 경우에 따라 자연수로 나누는 것을 $\frac{1}{(자연수)}$을 곱하는 것으로 변형함으로써 제수의 분자와 분모를 바꾸어서 곱한다는 나눗셈 알고리즘으로 이어지기도 하여 이 내용은 분석 대상에 포함시킨다.

교과서 분석을 통해 분수 나눗셈의 학습 시기와 내용을 살펴보고, 나눗셈을 지도할 때 사용하는 나눗셈 상황과 나눗셈 알고리즘을 개발하는 방법을 살펴볼 것이다. 다음 Table 1은 교과서를분석한 결과이다.

Table 1 . Factional division learning period, contents, context, algorithm development method.

교육 과정	5학년 1학기	5학년 2학기	6학년 1학기	6학년 2학기
1차	(자연수)÷(자연수) (분수)÷(자연수) -등분제	없음	(자연수)÷(분수) -포함제, 늘이기	없음
2차	(자연수)÷(자연수) -등분제	(분수)÷(자연수) -등분제	(자연수)÷(분수) -포함제, 동수누감 -단위비율 결정 (분수)÷(분수) -배, 측정단위 세분	없음
3	(자연수)÷(자연수) (분수)÷(자연수) (분수)÷(분수) (자연수)÷(단위 분수) -역연산관계	없음	없음	없음
4	없음	(자연수)÷(자연수) (분수)÷(자연수) -등분제	(자연수)÷(분수) (분수)÷(분수) -포함제, 측정단 위 세분	없음
5	없음	(자연수)÷(자연수) (분수)÷(자연수) -등분제	(자연수)÷(분수) (분수)÷(분수) -포함제, 측정단 위세분	없음
6	없음	(자연수)÷(자연수) (분수)÷(자연수) -등분제	(자연수)÷(분수) (분수)÷(분수) -포함제, 측정단 위세분	없음
7	없음	(자연수)÷(자연수) (분수)÷(자연수) -등분제	없음	(분수)÷(분수) -포함제, 측정단 위세분 (자연수)÷(분수)
2007	없음	(자연수)÷(자연수) (분수)÷(자연수) -등분제	(자연수)÷(단위 분수) (분수)÷(분수) (자연수)÷(진분수) -포함제, 측정단 위 세분	없음
2009	없음	(자연수)÷(자연수) (분수)÷(자연수) -등분제	(자연수)÷(단위 분수) (분수)÷(분수) (자연수)÷(진분 수) -포함제, 측정단 위 세분	없음
2015 개정	없음	없음	(자연수)÷(자연수) -등분제 (분수)÷(자연수) -등분제, 포함제 (배), 역연산(직사각형 넓이)	(분수)÷(분수) -포함제, 단위비율, 직사각형 넓이 (자연수)÷(분수) -단위비율, 줄이고 늘이기

1. 1차 교과서

5학년 1학기에서 (자연수)÷(자연수)와 (분수)÷(자연수)를 다루고 있다. (자연수)÷(자연수)는 등분제 상황에서 몫을 분수로 나타내고 있으며, 이것을 $(자연수)\times \frac{1}{(자연수)}$로 지도하지는 않고 있다. (분수)÷(자연수)는 어떤 상황 없이 곧바로 계산에 의해 지도한다. 분자가 제수인 자연수의 배수일 경우에는 분자를 자연수로 나누고, 배수가아닐 때는 피제수인 분수를 적절히 배분하여 분자를 자연수로 나누는 방법을 제시한 후에 이 보다는 자연수를 분모에 곱하면 더 간단히 셈을 할 수 있다고 설명한다(Ministry of Education, 1962a).

6학년 1학기에서는 자연수를 분수로 나누는방법을 다음 그림과 같이 설명한다. Figure 2에 있는 원을 보면 2에 $\frac{2}{3}$이 몇 개 포함되었는지를 알아보는 것처럼 보이나 그 다음에 이어지는 식은 일종의 ‘늘이기’ 방법으로 해석된다. 이러한방법을 통해 ‘제수의 분자와 분모를 바꾸어서곱한다’는 알고리즘을 얻어내고 있다.

Figure 2. mathematics textbook 6-1 of first curriculum(Ministry of Education, 1962b, p. 81)

1차 교과서에서는 (분수)÷(분수)가 어느 학년에서도 지도되지 않고 있다. 다만 6학년 2학기의1단원과 2단원, 5단원 등에서 연습문제로 진분수끼리의 나눗셈, 대분수끼리의 나눗셈이 몇 문제씩 등장한다(Ministry of Education, 1962c).

2. 2차 교과서

5학년 1학기에서 노끈을 분할하는 등분제로(자연수)÷(자연수)를 분수로 나타내고 있다(Ministry of Education, 1973a). 그러나 분수의 곱셈으로 바꾸지는 않고 있다.

5학년 2학기에서 분수 나누기 자연수를 다룬다. ‘3 사람이 맡은 일의 $\frac{1}{2}$만큼 하였다. 한 사람이 얼마씩 일을 하였는가’와 같은 등분제를이용하여 지도한다. 1차 교과서에서와 마찬가지로 분자를 제수인 자연수로 나누는 방법도 다루지만 그 보다는 자연수를 분모에 곱하는 방법을 강조하고 있다(Ministry of Education, 1972).

6학년 1학기에서는 제수가 분수인 나눗셈을지도한다. 먼저 (자연수)÷(분수)는 포함제 상황에서 6÷$\frac{2}{3}$을 "잘게 나누어진 6×3(개)를 2로 나누면 된다”(Ministry of Education, 1973b)고 하면 6÷$\frac{2}{3}$=6×3÷2를 통해 제수의 분자와 분모를 바꾸어서 곱하는 결과를 얻어낸다. 이것은 측정단위 세분 방법을 이용한 것이라고 할 수 있다. 이어서 리본의 길이의 $\frac{2}{3}$가 4m인 리본의 길이를 구하는데, (리본의 길이) × $\frac{2}{3}$ =4의 관계에서 나눗셈식을 제시하고 앞서 학습한 ‘분자와분모를 바꾸어서 곱한다’는 알고리즘을 곧바로적용하고 있다. 이것은 단위비율 결정 상황이지만 여기서 알고리즘을 도출하지는 않고 포함제에서 얻은 알고리즘을 적용한 것이다. (분수)÷(분수)는 figure 3에서 알 수 있는 것처럼 포함제 상황을 제시하고 분모를 통분하여 분자끼리의 나눗셈을 통해 분수 나눗셈 알고리즘을 도출한다. 이 과정은 측정단위 세분 방법이라고 할 수 있다. 분모가 같은 진분수의 나눗셈을 다루지 않고 ‘분모가 같을 때 분자끼리 나누는 것과 같다’는사실이 아무런 정당화 없이 사용되고 있는 점이 특이하다.

Figure 3. mathematics textbook 6-1 of second curriculum(Ministry of Education, 1973b p. 19)

3. 3차 교과서

3차 교육과정에서는 분수의 곱셈과 나눗셈이5학년 1학기에서 처음 다루어지면서 동시에 지도가 완성되고 있다는 점이 특징이다.

먼저 1페이지 분량에서 역수를 도입하고 자연수의 나눗셈은 피제수에 제수의 역수를 곱하는 것과 같음을 지도한다. 역수 개념은 3차 교과서에서 처음 등장한다. 다음 1 페이지에서 (분수)÷(자연수)를 등분할 활동을 통해 피제수에 제수의역수를 곱하는 것과 같음을 지도한다. 이어서(분수)÷(분수)를 지도하는데 Figure 4에서와 같이곱셈과 나눗셈의 관계를 이용하여, 분수의 나눗셈은 피제수에 제수의 역수를 곱하는 것과 같음을 설명한다.

Figure 4. mathematics textbook 5-1 of third curriculum (Ministry of Education, 1975, p. 82)

이어서 포함제를 이용하여 4÷$\frac{1}{2}$에서 위와 같은 계산 방법이 적용되는지를 확인하고 있다. 즉, (자연수)÷(분수)의 계산 방법을 이끌어 내거나 설명하는 것이 아니라 4÷$\frac{1}{2}$=4×$\frac{2}{1}$이 되는지를 포함제에서 확인하여 정당화하고 있다(Ministry of Education, 1975).

4. 4차 교과서

5학년 2학기에서 (자연수)÷(자연수)와 (분수)÷(자연수)를 다루는데, 모두 등분할을 통해서 $\frac{1}{(자연수)}$을 곱하는 것과 같음을 지도한다(Ministry of Education, 1989a).

6학년 1학기에서는 먼저 (자연수)÷(단위분수)를 포함제로 해결하지만 알고리즘을 도출하지는 않는다. 이어서 "3 l는 $\frac{3}{4}$ l가 4"임을 수직선을 이용하여 해결하면서 동시에 통분하여 분자끼리의 나눗셈으로 나눗셈 알고리즘을 이끌어내고 있다. 다음에는 분모가 같은 분수의 나눗셈을 하는데 제수가 단위분수로 주어진다. 수직선에서포함제로 해결하면서 단위분수의 분자와 분모를 바꾸어서 곱한다. 마지막으로 분모가 다른 분수의 나눗셈은 분모를 통분하여 분자끼리의 나눗셈을 하여 제수의 분자와 분모를 바꾸어서 곱하는 알고리즘을 이끌어낸다. 분모가 같은 분수의나눗셈은 분자끼리 나눗셈을 하는데 이 원리를 정당화하지는 않고 있으며, 분모가 같은 분수끼리의 나눗셈이나 분모가 다른 분수끼리의 나눗셈이나 모두 제수의 분자와 분모를 바꾸어서 곱한다는 결과만을 도출하고 있다(Ministry of Education, 1989b). 3차 교과서에서 도입되었던 ‘역수’는 등장하지 않는다.

포함제를 이용하여 분수 나눗셈 알고리즘을 전개하였지만 몇 개의 문장제는 단위비율 결정 상황으로 제시되고 있다.

5. 5차 교과서

5학년 2학기에서 (자연수)÷(자연수)와 (분수)÷(자연수)의 지도는 4차 교과서와 매우 유사하다. (Ministry of Education, 1990).

6학년 1학기에서는 제수가 분수인 나눗셈을 지도한다. 먼저 2 l에 $\frac{2}{3}$ l가 몇 번 들어가는지 를 그림을 이용해서 알아보고 나서, 측정단위를세분하여 분자끼리 나누는 방법을 이용하여 분수 나눗셈 알고리즘을 이끌어낸다. 이렇게 계산하여 그 몫이 자연수가 된다. 그 다음에는 이 알고리즘을 이용하여 몫이 분수가 되는 분수의 나눗셈 문제를 제시한다. 다음에는 분수를 단위분수로 나누는 나눗셈을 포함제로 제시하면서 이러한 나눗셈은 $\frac{(단위분수의분모)}{1}$를 곱하는 것과 같음을 보여준다. 이어서 $\frac{3}{5}$÷$\frac{2}{7}$를 분모를 통분하여 분자끼리 나눗셈을 하면서 분수 나눗셈 알고리즘을 얻는다. 이러한 방법은 측정단위세분 맥락을 적용한 것이다. 다루어지는 문제들은 모두 포함제이다(Ministry of Education, 1996).

6. 6차 교과서

5학년 2학기에서 (자연수)÷(자연수)와 (분수)÷(자연수)를 지도하는데, 모두 등분제를 이용하며, 이러한 나눗셈은 $\frac{1}{(자연수)}$를 곱하는 것과 같음을 지도한다. 연습문제에서 직사각형의 세로를구하는 문제가 제시되는데 이것은 내용에서 지도되었던 등분제가 적용되기 어려운 문제이다(Ministry of Education, 1997).

6학년 1학기에서 (자연수)÷(분수)를 지도하는데 그 방법은 들이와 길이라는 상황만 다를 뿐 5차와 거의 흡사하게 진행하며, 몫이 자연수가되는 상황에서 제수의 분자와 분모를 바꾸어서 곱한다는 결과를 얻어낸다. 주어진 연습 문제 3개 중 2개가 몫이 자연수가 되는 것이며, 한 문제만 몫이 분수가 되는 문제이다.

이어서 단위분수로 나누는 경우와 단위분수가 아닌 진분수로 나누는 문제를 다룬다. 이 경우모두 통분하여 분자끼리 나누어서 ‘제수의 분자와 분모를 바꾸어서 곱한다’는 알고리즘을 도출한다. 그러나 분모가 같을 때 분수의 나눗셈은분자끼리의 나눗셈과 같다는 사실을 정당화하지는 않고 이용하고 있다(Ministry of Education, 1999).

7. 7차 교과서

7차에서는 5학년 1학기가 아닌 5-나 단계(5학년 2학기)에서 제수가 자연수인 나눗셈을 지도한다. 먼저 1÷(자연수)를 등분제로 도입하여 $1\times \frac{1}{(자연수)}$로 나타내고 이어서 (자연수)÷(자연수)를 $(자연수)\times \frac{1}{(자연수)}$로 나타낸다. 다음 차시에서는 (분수)÷(자연수)를 직사각형을 등분할하는 활동을 통해 $(자연수)\times \frac{1}{(자연수)}$로 나타낸다(Ministry of Education & Human Resources Development, 2004a).

6-나 단계(6학년 2학기)에서는 제수가 분수인 나눗셈을 지도한다. 먼저 포함제로 분모가 같은 진분수끼리의 나눗셈을 알아본다. $\frac{5}{6}$ m를 $\frac{2}{6}$ m씩 잘라보고 5 m를 2 m씩 잘라보는 활동을 비교하여 $\frac{5}{6}$÷$\frac{2}{6}$와 5÷2의 몫이 같다는 설명을 한다. 여러 번 빼었을 때 자투리가 남는 상황을 곧바로 설정한 것이 이전의 교과서와 다른 점이다. 다음 차시에서는 분모가 다른 진분수끼리의나눗셈을 포함제로 설명하고 있다. 이 경우에는 통분하여 앞차시의 결과를 적용하여 분자끼리의 나눗셈을 하고 이를 통해 제수의 분자와 분모를 바꾸어서 곱한다는 알고리즘을 도출한다. 이러한과정은 측정단위 세분 방법을 적용한 것이다. 이어서 (자연수)÷(진분수), 피제수가 가분수나 대분수인 경우의 분수 나눗셈, (자연수)÷(단위분수) 순으로 지도한다(Ministry of Education & Human Resources Development, 2004b).

자연수를 단위분수나 진분수로 나누는 것은 이전 교과서에서는 분수를 분수로 나누기 전에 지도하던 내용인데, 7차에서는 그 순서가 바뀌었다. 자연수는 가분수로 볼 수 있기 때문에 수의 논리적 순서상 뒤로 미루어진 것으로 볼 수 있다. 그러나 학습의 난이도를 고려할 때 굳이 뒤에서 지도할 필요는 없어 보인다.

8. 2007 개정 교과서

5학년 2학기에서는 자연수 또는 분수를 등분제를 이용하여 자연수로 나누는 방법을 지도한다. 1, 2, 3차시에서는 자연수로 나누는 것은 $\frac{1}{(자연수)}$을 곱하는 것과 같음을 지도한다. 4, 5, 6차시에서는 가분수 또는 대분수를 자연수로 나누는 방법을 지도하는데 여기서는 $\frac{1}{(자연수)}$를 곱하기보다는 자연수를 피제수의 분모에 곱하는 방법을 지도한다(Ministry of Education, Science and Technology, 2011). 이러한 흐름은 일관성이 없어 보이며 자연수로 나누는 것을 지도하고자 하는 방향을 잊어버린 것 같다.

6학년 1학기에서는 먼저 포함제로 (자연수)÷(단위분수)를 다루면서 이것은 (자연수)×(단위분수의 분모)와 같음을 설명한다. 2차시에서는 분모가 같은 분수의 나눗셈을 다루는데, 피제수에서 제수를 몇 번 뺄 수 있는지와 같은 포함제에서 분모가 같을 때는 분자끼리의 나눗셈과 같다는 사실을 얻어낸다. 7차 교과서와는 달리 이 경우 몫이 자연수가 되는 경우만 다룬다. 3차시에서는 분모가 다른 분수의 나눗셈을 다루는데, 통분하여 분모가 같은 분수로 고친 후 분자끼리의 나눗셈을 하고 있다. 이것은 측정단위 세분 방법을 이용하는 것이다. 그 이후의 차시도 비슷하다. 이어서 (자연수)÷(진분수)를 다룬다. 6학년 1학기에서는 문제 상황을 가급적 드러내지 않고 나눗셈 식을 처리하고 있으며, 가끔 사용되는 문장제는 모두 같은 양을 사용하는 포함제이다(Ministry of Education, Science and Technology, 2012).

9. 2009 개정 교과서

5학년 2학기에서 (자연수)÷(자연수)를 등분제상황을 이용하여 나눗셈을 곱셈으로 나타낸다. 이어서 다음 차시에서 나눗셈의 몫을 분수로 나타내고 있다. 즉, 자연수의 나눗셈을 곱셈으로나타내고 이를 이용하여 분수로, 즉 몫분수로 표현하고 있다(Ministry of Education, 2015a).

2009 개정 교과서 이전에는 자연수와 자연수의 나눗셈을 몫분수로 나타내고 이어서 이를 $(자연수)\times \frac{1}{(자연수)}$로 나타냈는데, 2009 개정교과서에서는 이 순서가 바뀌었다. 이 부분에 대해서는 나중에 논의될 것이다.

이어서 가분수, 대분수 등을 자연수로 나눌 때는 (자연수)÷(자연수)에서 제수를 $\frac{1}{(자연수)}$로 고쳐서 곱셈으로 나타낸 방법을 그대로 적용하고 그림을 통해 이를 정당화하고 있다.

6학년 1학기에서는 (자연수)÷(단위분수)를 포함제를 이용하여 (자연수)×(단위분수의 분모)와같음을 보인다. 분모가 같은 진분수끼리의 나눗셈은 포함제를 이용하여 2개 차시에 걸쳐서 지도하는데 여기서 얻어진 알고리즘은 ‘분모가 같은 분수의 나눗셈은 분자끼리의 나눗셈과 같다’이다. 즉, $\frac{12}{13}÷\frac{3}{13}=\square ÷\square =\square$임을 보이고 있다. 이러한 알고리즘을 얻어내는 데 사용된 나눗셈 문제는 모두 분자끼리의 나눗셈이 나누어 떨어지는, 즉 몫이 자연수가 되는 경우들이다. 여기서 얻은 알고리즘은 ‘제수의 분자와 분모를바꾸어서 곱한다’는 표준 알고리즘은 아니다. 그래서 figure 5와 같이 마지막 활동 3을 추가하고있다.

Figure 5. mathematics textbook 6-1 of 2009 revised curriculum(Ministry of Education, 2015c, p. 47)

그러나 이러한 활동은 곧바로 이어지는 다음 차시 내용을 고려할 때 표준적인 알고리즘을 서둘러 도입하려는 성급함을 드러낸 것 같다.

이어서 분모가 다른 진분수끼리의 나눗셈은 포함제 상황에서 통분하고, 앞서 얻은 ‘분모가같은 분수의 나눗셈은 분자끼리의 나눗셈과 같다’는 원리를 적용하여 ‘제수의 분자와 분모를바꾸어서 곱한다’는 알고리즘을 얻어내고 있다. 계속해서 (자연수)÷(분수), 대분수의 나눗셈이 지도되는데 가분수의 나눗셈은 생략되어 있다.

10. 2015 개정 교과서

2015 개정 교육과정에서는 전통적으로 5학년2학기와 6학년 1학기에 지도하던 분수 나눗셈을한 학기씩 늦춰서 6학년 1학기와 2학기에 지도하고 있다.

6학년 1학기에서 (자연수)÷(자연수)의 몫을 분수로 나타내는 것을 2개 차시에 걸쳐서 등분제를 이용하여 지도한다. 이 경우 이전과 달리 이 나눗셈을 $(자연수)\times \frac{1}{(자연수)}$로 바꾸지는 않고 있다. 3차시에는 (분수)÷(자연수)를 등분제를이용하여 지도하는데, 먼저 피제수의 분자를 제수인 자연수로 나누는 방법을 제시하고 이것이 불가능한 상황에서는 피제수를 배분하여 분자를 제수인 자연수로 나눌 수 있게 변형한다. 이러한방법은 1차와 2차 교과서에 등장했던 방법 중하나이다. 4차시에 이르러서야 등분제를 이용하여 (분수)÷(자연수)를 분수의 곱셈으로 나타내고 있다. 5차시에는 '$4\frac{1}{3}$ m는 2 m의 몇 배’인지를 알아보는 문제를 통해 (대분수)÷(자연수)를 다루는데, 이미 학습한 두 가지 방법을 적용한다. 이문제는 몇 ‘배’인지를 알아보는 포함제이다. 이어서 직사각형의 넓이와 가로가 주어졌을 때 세로를 구하는 문제도 제시되는데, 이 문제는 분수를 자연수로 나누는 나눗셈이지만 이 나눗셈 알고리즘이 발생한 등분제 상황과는 다른 경우이다. 이러한 문제는 “알아볼까요”에서도 한 문제가 더 등장한다(Ministry of Education, 2019a).

6학년 2학기에서는 제수가 분수인 나눗셈을다룬다. 먼저 분모가 같은 분수의 나눗셈을 포함제를 이용하여 해결한다. 이때 제수가 단위분수인 경우를 살펴보고 이어서 자연수 회수만큼 덜어낼 수 있는 나눗셈을 하여 분자끼리의 나눗셈으로 바꿀 수 있음을 보여준다. 다음 차시에서는자연수 회수만큼 덜어내고 남는 경우의 나눗셈을 하면서 마차가지로 분자끼리의 나눗셈과 같음을 보여준다. 그 다음에는 분모가 다른 분수의나눗셈을 다루는데, 통분하여 분모를 같게 한 다음 분자끼리의 나눗셈을 한다. 여기서 나눗셈의몫을 구할 뿐 2009 개정 교과서와 달리 ‘제수의분자와 분모를 바꾸어서 곱한다’는 분수 나눗셈알고리즘을 도출하지는 않고 있다.

다음 차시에서는 자연수를 분수로 나누는데, 단위비율을 결정하는 상황으로 제시된다. “조개 6 kg을 캐는 데 $\frac{3}{4}$ 시간이 걸린다. 1시간 동안에 얼마나 캘 수 있는가”라는 문제를 제시하는데 이 문제를 보고 나눗셈 식을 만들기는 쉽지 않을 것이다. 그래서 자연수를 사용하는 문제로 단순화하여 여기서 나눗셈 식을 생각하는 장치를두고 있다. 이 문제를 이중수직선을 이용하여 줄이고 늘이는 방법을 통해 해결한다. 그러나 나눗셈 알고리즘으로 형식화하지는 않는다. 그 다음차시에서도 단위비율을 결정하는 상황을 제시하고, 이것이 나눗셈 문제임을 알 수 있는 장치를제공한다. 줄이고 늘이면서 이 문제를 해결한 다음 ‘제수의 분자와 분모를 바꾸어서 곱한다’는분수 나눗셈 알고리즘을 얻는다. 그 다음 차시에서는 직사각형의 넓이와 관련한 분수 나눗셈 문제를 해결한다(Ministry of Education, 2019b). 해결 방법은 이미 학습한 분수 나눗셈 방법을 이용하는데, 그러한 방법은 포함제나 단위비율 결정 맥락에서 이끌어낸 것이라 여기서 동일한 알고리즘이 적용된다고 보장할 수는 없다.

11. 결과 및 논의

지금까지 1차 교과서에서부터 현재 사용하고있는 2015 개정 교과서에 이르기까지 분수 나눗셈에 대해서 살펴보았다. 그 결과 다음과 같은사실을 확인할 수 있었다.

첫째, 분수 나눗셈은 역사적으로 5학년 1학기에서부터 지도되다가 4차 교육과정에서부터는 5학년 2학기에 (자연수)÷(자연수)와 (분수)÷(자연수)를, 6학년 1학기에 (자연수)÷(분수)와 (분수)÷(분수)를 지도하는 것으로 굳어지다가, 2015 개정 교육과정에서 이 지도 시기를 한 학기씩 늦추고 있다.

둘째, 제수가 자연수인 나눗셈은 등분제로, 제수가 분수인 나눗셈은 포함제로 지도한다.

셋째, 최근으로 올수록 분수 나눗셈 알고리즘을 논리적으로 정당화하는 경향이 강해진다. 제수가 자연수일 경우 이 나눗셈을 곱셈으로 바꾸는 내용이나 분모가 같은 분수의 나눗셈은 분자끼리의 나눗셈과 같다는 사실을 정당화하여 분모가 다른 분수의 나눗셈에 이를 적용하는 것은 분수 나눗셈 알고리즘의 정당성을 확보하려고 하는 것이다.

넷째, 논리적으로 정당화의 과정 때문인지, 분수 나눗셈을 지도하는 과정이 점점 상세화되고 복잡해지고 있다. 자연수를 단위분수로 나누고, 분수를 단위분수로 나누고, 분자끼리의 나눗셈에서도 나누어떨어지는 경우와 떨어지지 않는 경우 등으로 세분하고 있다.

다섯째, 2015 개정 교과서에서 제수가 분수인 나눗셈을 지도하면서 포함제뿐만 아니라 단위비율을 결정하는 문제 상황이 포함되었다. 단위비율 결정 문제가 이전에도 한두 문제 등장하기는 하였으나 지도 내용으로 이번에 본격적으로 등장한 것이다.

가. (자연수)÷(자연수)를 지도할 필요가 있을까? 또는 이 나눗셈을 곱셈으로 바꾸는 것을 지도할 필요가 있을까? 있다면 언제 지도할 것인가?

(자연수)÷(자연수)는 1차 교과서에서부터 다루어지는 내용이다. 그러나 1차와 2차 교과서에서는 몫분수를 구하는 것으로 그치고 있다. 3차 교과서부터 자연수의 나눗셈을 곱셈으로 고치고 있다. 여기서 두 가지 쟁점이 생긴다. 자연수 나눗셈을 곱셈으로 고칠 필요가 있을까와 고친다면 언제 지도할 것인가 하는 것이다. 먼저 지도시기를 살펴보자. 이 쟁점은 몫분수가 먼저인가 아니면 $(자연수)\times \frac{1}{(자연수)}$이 먼저인가 하는 점이다. 전통적으로 몫분수가 먼저 지도되어 왔다. 그러나 2009 개정 교과서에서는 몫분수보다곱셈으로 고치는 것이 먼저였다. “몫으로서의 분수 개념은 나눗셈의 곱셈 변환을 위한 선행 지식이 아니라 오히려 나눗셈의 곱셈 변환 방법이 몫으로서의 분수 개념 형성을 위한 선행 지식”(Ministry of Education, 2015b, p. 200)이라는 교사용지도서의 설명을 보면 이러한 순서의 뒤바뀜은 의도적이었음을 알 수 있다. 그러나 몫분수는 몇 개를 몇 사람에게 분배하는 방식으로 하여 얻어지는 것이므로 그 기원이 오래 되었다고 할 수 있다. 즉, 분수의 곱셈 이전에 이미 등장한 개념이라 할 수 있다. 특히, 나눗셈의 곱셈변환이 우선이라고 한 2009 개정 교과서에서조차 figure 6에서 알 수 있는 것처럼 1÷4를 1×$\frac{1}{4}$로 생각하기 전에 이미 나눗셈의 결과가 ‘전체의 몇 분의 몇’인지 분수로 인식이 될 것이기 때문에 몫분수가 곱셈으로 고치는 것에 선행한다고 해야 할 것이다.

Figure 6. mathematics textbook 5-2 of 2009 revised curriculum(Ministry of Education, 2015a, p. 88)

그러면, 자연수의 나눗셈을 곱셈으로 바꿀 필요가 있을까? 자연수의 나눗셈은 등분할 활동을통해 충분히 몫분수로 표현이 가능하다. 곱셈으로 고치는 이유는 아마도 분수 나눗셈이 ‘제수의 역수를 곱한다’는 알고리즘과 관련시키기 위함일 것이다. 그러나 실제로 자연수의 나눗셈을곱셈으로 고치는 방법, 즉 자연수로 나누는 것은 $\times \frac{1}{(자연수)}$와 같다는 사실은 그 이후에 분수 나눗셈 알고리즘을 개발하는 데 전혀 이용되지 않는다. 그러므로 자연수의 나눗셈을 곱셈으로고치는 방법을 지도할 필요가 없으며 만약 그런 사실을 지도할 필요가 있다면 분수 나눗셈을 배우고 나서 자연수는 $\frac{(자연수)}{1}$로 고칠 수 있다는 점을 지도하는 것이 좋을 것이다.

나. (자연수)÷(분수)를 지도할 필요가 있을까?

(자연수)÷(분수)는 그 지도 시기가 매우 다양하다. 1차와 2차에서는 (자연수)÷(분수)를 먼저 지도하고 이어서 (분수)÷(분수)를 지도하지만, 3차에서는 (분수)÷(분수)를 지도하고 분수 나눗셈알고리즘을 (자연수)÷(분수)에서 확인하고 있다. 4차와 5차, 6차에서도 (자연수)÷(분수)를 먼저 지도하고 있으나 7차에서는 그 순서가 바뀌었고2007 개정 교과서와 2009 개정 교과서에서는(자연수)÷(단위분수), (진분수)÷(진분수), (자연수)÷(진분수)의 순서로 지도하며, 2015 개정 교과서에서는 (분수)÷(분수)를 포함제로 지도하고 이어서 (자연수)÷(분수)와 (분수)÷(분수)를 단위비율 결정 상황으로 지도하면서 분수 나눗셈 알고리즘을 이끌어내고 있다.

일반적으로 (자연수)÷(분수)를 (분수)÷(분수)보다 먼저 지도할 때는 두 가지 내용 전개 방식이거의 비슷한 측면이 있으며 (자연수)÷(분수)를지도하지 않고서도 포함제나 단위비율을 결정하는 상황 모두에서 그리 어렵지 않게 (분수)÷(분수)의 알고리즘을 얻어낼 수 있다. 그런 점에서(자연수)÷(분수)는 분수 나눗셈 알고리즘을 이끌어내기 위한 필수적인 과정으로보다는 (분수)÷(분수)의 알고리즘을 개발하고 그 알고리즘의 적용 또는 정당화 차원에서 (자연수)÷(분수)를 지도하는 것도 괜찮은 지도 순서라고 생각한다. 그점이 전개 과정에서 보다 단순하고 좋을 것이다.

그러나 초등학생들이 곧바로 (분수)÷(분수) 상황을 접하는 것이 부담스러울 것으로 생각된다면 (자연수)÷(분수)를 먼저 다루면서 제수인 분수의 분자와 분모를 바꾸어서 곱하는 원리를 이끌어내고 이어서 유사하게 (분수)÷(분수)를 지도하는 것도 나쁜 방법은 아니라고 생각한다.

다. 분수 나눗셈을 어떤 문제 상황으로 지도할 것인가? 분수 나눗셈 알고리즘을 어떤 방법으로 이끌어낼 것인가?

분수 나눗셈은 전통적으로 포함제를 이용하여 알고리즘을 개발하였다. 그런 까닭에 분수 나눗셈이 적용되는 문제 상황에 많은 제약이 있었다. 간혹 단위비율 결정 상황이나 직사각형 넓이 상황이 제시되기도 하지만 이는 매우 드문 경우이며 일관성이 없다.

분수 나눗셈이 적용되는 상황은 포함제, 단위비율 결정 상황, 곱셈의 역연산 상황 등이 있으며 이런 다양한 상황이 다루어질 필요가 있다. 2015 개정 교과서에서 이런 다양한 문제 상황이다루어지고 있다는 점은 바람직하다.

그러나 2015 개정 교과서에서 분수 나눗셈은매우 복잡하게 전개되는 느낌이다. 포함제 상황을 여러 차시로 상세화하여 전개하면서도 나눗셈 알고리즘을 이끌어내지는 않는다. 다음에는단위비율을 결정하는 상황에서 자연수를 분수로 나누고, 분수를 분수로 나누면서 나눗셈 알고리즘을 이끌어낸다. 이러한 복잡한 전개 과정에서몇 가지 문제가 발생한다.

첫째, 단위비율 결정 상황에서만 분수 나눗셈알고리즘을 형식화함으로써 이 알고리즘이 다른 상황에서도 적용될 수 있는가 하는 문제이다. 이로 인해 이전 교과서에서 포함제 상황에서 알고리즘을 전개하고 포함제가 아닌 다른 문제 상황을 제시한 것과 동일한 지적에 직면하게 된다. 또한 3학년 교과서에서 자연수의 나눗셈을 이전과 달리 포함제와 등분제 모두에서 정의한 흐름과 배치되어 교과서 집필의 일관성이 떨어진다고 할 수 있다.

둘째, 단위비율 결정 상황은 나눗셈 문제로 인식되기 어렵다는 단점이 있다. 2012년 7월에 진행된 어느 조사(Kang, unpublished)에 의하면, 우리나라 초등학교 교사 30명을 대상으로 “$\frac{3}{4}$ m의 무게가 $\frac{2}{5}$ kg인 파이프 1 m의 무게는 몇 kg인가?"와 같은 문제를 풀게 하였을 때 3명의 교사가 분수의 나눗셈으로 이 문제를 해결하였고, 나머지 27명은 $\frac{3}{4}$÷$\frac{2}{5}$=1:x와 같은 비례식을 이용하여 풀었다. 이런 유형의 문제를 6학년에갓 진입하여 분수의 나눗셈을 정상 교육과정에서는 학습하지 않은 초등학교 학생 18명에게 해결하도록 하였더니, 3명은 비례식을 이용하여 해결하였으며, 8명은 분수의 나눗셈을 이용하여 해결하였다. 이 중에서 피젯수와 제수를 바꿔서 문제를 해결한 학생도 2명이 된다. 2015 개정 교과서에서는 Figure 7에서처럼 ‘문제에 포함된 분수를 자연수로 바꾸어서 나눗셈식을 발견’하도록하는 장치를 추가한 것도 이런 문제점 때문일 것이다.

Figure 7. mathematics 6-2 of 2015 revised curriculum(Ministry of Education, 2019b, p. 18)

단위비율을 결정하기 위해서 이중수직선을 이용한 것도 새롭게 등장한 것이라 이중수직선을 이해하는 것이 오히려 메타-인지적 이동이라는극단적인 교수학적 변환일 수도 있다(Chang et al., 2018).

결국, 나눗셈의 다양한 상황을 제공하는 것은바람직하지만 상황에 따라 그 의미와 해결 과정이 다르기 때문에(Park, 2016), 다양한 상황에서의 알고리즘 개발의 문제와 교과서 전개의 복잡성, 교사와 학생의 이해 등을 고려한 연구가 있어야 할 것이다.

라. 분수 나눗셈 알고리즘을 번분수나 형식적 방식으로 도입할 수 있지 않을까?

분수의 나눗셈 알고리즘 자체는 매우 간단하지만 그 알고리즘을 개발하고 정당화하는 과정은 쉽지 않다. 그것은 분수의 나눗셈이 적용되는 상황이 다양하기 때문이다. 초등학교에서 개념이나 알고리즘은 학생들의 현실 맥락에서 추상화, 형식화되어야 하겠으나, 분수 나눗셈은 현실 의미에서 전개하기가 쉽지 않고 또한 학생들의 수학 학습 경험이 많아지는 만큼 비례식을 먼저 지도한 후, 번분수나 곱셈의 역연산 관계에근거하여 형식적으로 도입하는 방법도 고려할 수 있을 것이다.

현실 맥락과 무관하게 곱셈과 나눗셈의 관계를 이용하여 분수 나눗셈 알고리즘을 도입하는 것은 3차 교과서에서 이미 시행된 바 있다. 곱셈과 나눗셈의 관계를 이용하면 분수 곱셈이 적용되는 다양한 상황(Kang & Kim, 2018)을 분수의나눗셈에서 그대로 이용할 수 있으며 ‘제수의분자와 분모를 바꾸어서 곱한다’는 알고리즘도단번에 얻을 수 있는 장점이 있다. 또는 자연수의 나눗셈을 몫분수로 나타내는 것을 학습한 후에 분수의 나눗셈도 몫분수(즉, 번분수)로 나타내면 번분수의 분모의 역수를 분자와 분모에 곱함으로써 분수 나눗셈 알고리즘을 쉽게 얻을 수도 있다. 번분수를 이용하는 것은 교육과정에서규정해야 하는 절차가 필요하지만 곱셈과 나눗셈의 관계를 이용하는 것은 그런 절차 없이도 충분히 가능할 것이다.

이 연구는 우리나라 수학 교과서에서 분수 나눗셈이 어떻게 다루어지고 있는지를 분석하려고 하는 것이다. 이를 위해, 분수 나눗셈이 적용되는 다양한 상황과 그 상황에서 분수 나눗셈 알고리즘이 어떻게 개발되어지는지를 살펴보았다. 그리고 1차 교육과정에서부터 2015 개정 교육과정까지의 교과서에서 분수 나눗셈이 어떤 상황에서 어떤 과정으로 전개되고 있는지를 살펴보았다.

선행 연구들을 분석하여 분수 나눗셈이 사용되는 상황에 배 상황을 포함한 포함제, 단위비율을 결정하는 상황, 곱셈의 역연산 상황 등이 있음을 보았다. 분수 나눗셈 알고리즘을 개발하는방법으로는 포함제에서는 동수누감과 배의 방법, 비 또는 측정단위 세분 방법이 있다. 단위비율결정 상황에서는 번분수를 이용하거나 줄이고 늘이기 방법이 있다. 역연산 상황에서는 수직선을 이용하거나 직사각형 넓이를 이용하는 방법, 퍼즐을 이용하거나 곱셈 알고리즘에서 유추하는 방법 등이 있다. 상황에 따른 적합한 선택을 필요로 한다.

이러한 나눗셈 상황이나 알고리즘 개발 방법들이 교과서에 어떻게 반영되어 기술되었는지를 알아보기 위해 우리나라 초등 수학 교과서를 1차 교육과정에서부터 2015 개정 교육과정까지의교과서를 분석하였으며, 그 결과를 바탕으로 몇가지 논의를 하였다.

교과서 분석과 논의를 근거로 하여 분수의 나눗셈과 관련한 연구자의 결론은 다음과 같다.

첫째, 분수 나눗셈의 학습 요소가 지나치게 상세화되어 있으며 주로 포함제 상황만 다루는 한계가 있기 때문에, 자연수로 나누거나 (자연수)÷(분수)와 같이 지도 요소를 상세화하기보다는 분수 나눗셈이 사용되는 문제 상황을 좀더 다양화할 필요가 있다.

둘째, 2015 개정 교과서에서 단위비율 결정 상황을 이용하여 분수 나눗셈을 지도하는 것은 나눗셈 문제 상황을 다양화한다는 장점을 가진다.

셋째, 단위비율 결정 상황을 이용하면 나눗셈알고리즘을 개발하기 쉽다는 점이 있으나 단위비율 결정 상황을 분수의 나눗셈으로 인식하기 쉽지 않다는 점에서 보다 신중하게 접근할 필요가 있다.

넷째, 포함제 상황과 단위비율 결정 상황에서 분수 나눗셈 알고리즘을 개발하는 방식이 다르기 때문에 이 두 가지 상황을 이용한다면 교과서가 매우 복잡하고 이해하기 어려울 수 있으므로 이를 효과적으로 통합할 수 있는 아이디어를 개발할 필요가 있다.

1) Yim, Kim & Park(2005)에서는 맥락이란 용어를 사용하고 있으나 여기서는 분수 나눗셈이 적용되는 ‘상황’, 분수 나눗셈 ‘알고리즘 개발 방법’으로 구분하여 사용한다.