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전자저널 논문

2020; 30(1): 111-129

Published online February 28, 2020 https://doi.org/10.29275/jerm.2020.02.30.1.111

Copyright © Korea Society of Education Studies in Mathematics.

A Study on the Datum Problem in Middle School Geometry

중학교 기하 영역 자료(Datum) 문제에 대한 분석 연구

Eun Mi Ko1, Bo Euk Suh2

* Teacher, Dong Daejeon Middle School, highsilver00@naver.com
**Professor, Chungnam National University, eukeuk@cnu.ac.kr

*동대전중학교 교사, **충남대학교 교수

Correspondence to:1) 본 논문은 2019년 8월 석사학위논문을 발췌 정리하였음.
corresponding author

Received: January 10, 2020; Revised: February 10, 2020; Accepted: February 10, 2020

The purpose of this study was to systematically analyze the problems with characteristics of data in the geometric domain of middle school textbooks to improve students" problem solving ability. Additionally, this study was conducted to facilitate an understanding of the problem solving tendency of students regarding the data problem. For this purpose, we analyzed the datum problems in the middle school textbook geometric domain, developed the questionnaires based on the data, and analyzed the problem solving characteristics of students. This study established the following research questions. First, what is the datum problem in the geometry of middle school textbooks, and what is the percentage of the total? Second, what are the characteristics of solving students" problems according to the type of datum problem? Third, what characteristics do students have in solving problems according to the format of the datum problem?
Through the analysis of the results, first, when comparing the overall average of the correct response rate, the correct response rate for the FD problems was the highest and the correct response rate for the RD problems was the lowest. Second, In the classification of forms, Form 1 and Form 3 have the same mathematical content to solve the problem and the same or similar procedures to solve the problem. But there was a difference in the correct response rate. Third, the correct answer rate for the RD problems of Form 2 and Form 4 was lower than that of Form 1 and Form 3. The RD problems of Form 2 and Form 4 required mathematical content beyond the curriculum of the school year. Although the content of the geometry is a key idea of problem solving, the mathematical the content of algebra required to solve the problem was at a high level compared to the FD problems.

KeywordsMathematics problems, Form of math problem, The data, Datum problem, Geometry problem

인류의 과학 기술은 급속도로 발전하고 있으며, 수학은 그 발전의 중심에서 여러 분야의 다양한 현상과 그것이 가지고 있는 복잡한 관계를 밝히는데 필수적인 수단으로 중요한 역할을 담당하고 있다. 과학 기술이 발전할수록 수학의 역할은 점점 확대되고 있으며 그러한 이유로 학교 에서의 수학 교육은 매우 중요한 의미를 지닌다. 전미수학교사협의회(National council of teachers of mathematics, NCTM)는 수학교육의 목표로 ‘학생들이 수학의 가치를 이해하고, 수학을 행하는 자신의 능력에 확신을 가지며, 수학 문제의 문제 해결자가 되고, 수학적으로 의사소통하는 것을 배우고, 수학적으로 추론 하는 것을 배워야 한다.’고 밝히고 있다(NCTM, 1989; 2000). 그 중에서 특히 문제해결을 강조하고 있는데 ‘문제해결은 학교수학의 초점이 되어야 하며 문제해결과정에서 학생들은 성공 경험을 통해 수학에 대한 자신감을 가질 것이며 수학적으로 의사소통하고 더 높은 단계의 사고과정을 사용하는 능력이 향상될 것이다. 그러므로 문제해결이 모든 수학 수업의 중요한 목적이 되어야 한다.’고 주장하고 있다(NCTM, 1989).

우리나라에서도 제4차 수학과 교육과정에서부터 문제해결력에 관심을 갖기 시작하였으며 제6차, 제7차 수학과 교육과정에서는 문제해결력 향상을 위한 교육이 본격적으로 이루어졌다. 또한 2007 개정 수학과 교육과정, 2009 개정 수학과 교육과정에서도 문제해결에 관한 내용이 명시되어 있으며, 현재 적용되어 실행중인 2015 개정 수학과 교육과정에서도 문제해결력의 신장을 매우 강조하고 있다. 2015 개정 수학과 교육과정은 6가지 교과역량의 구현을 주요 특징으로 하고 있는데, 그 중 첫 번째로 제시된 것이 문제해결 능력이다.

2015 개정 수학과 교육과정에서 정의하는 문제해결 능력이란 ‘해결 방법을 알고 있지 않은 문제 상황에서 수학의 지식과 기능을 활용하여 해결 전략을 탐색하고 최적의 해결 방안을 선택하여 주어진 문제를 해결하는 능력’을 의미한다 (The Ministry of Education, 2015). 문제해결의 하위요소에는 문제 이해 및 전략탐색, 계획 실행 및 반성, 협력적 문제해결, 수학적 모델링, 문제 만들기가 있다(The Ministry of Education, 2015). 그 중 문제해결에 가장 기본 요소는 문제 이해이며 수학 문제 구조의 분석은 문제 이해에 꼭 필요한 과정이다(Ko & Jeon, 2009; Seok, 2019; Yum, 2009). Han(2001; 2009)은 수학 문제는 외적인 특성과 내적인 특성을 가지고 있으며 이를 통해 수학 문제를 외적구조와 내적구조의 개념으로 나눌 수 있음을 설명하고 있다. 그 중 수학 문제의 외적구조를 나타낼 수 있는 외적인 특성을 ‘문제에서 주어진 것’, ‘풀이에 대해 근거가 되는 개념’, ‘풀이에 포함된 결론을 유도하는 절차’, ‘결과/결론’ 등으로 보았다.

문제의 구조에 대한 연구는 최근에 나타난 경향이 아니라는 것을 고대 문헌을 통해서도 확인 할 수 있다. 고대 그리스 수학자인 Euclid의 저작 중의 하나인 자료론(The Data)이 그 대표적인 결과물이다. 이 책에는 정의 15개와 명제 94개를 제시하고 있는데 그 중 94개의 명제들은 자료 (datum)라는 특별한 구조적인 특징을 보이고 있는 명제(문제)들만을 제시하고 있다(Yoon, Suh, & Kim, 2008). 자료론에서 제시하고 있는 명제들의 구조적인 특징인 자료(datum)는 문제의 외 적구조 측면에서 매우 특별한 의미를 지니고 있다(Suh, 2010). 자료론에 제시된 명제는 형식적인 측면에서 일관성을 가지는 명제들만 모아 놓았다는 점에서 문제의 외적인 형식을 분석하는데 매우 유용하다. 따라서 문제해결력의 향상을 매우 중요한 수학교육의 목적으로 하는 현재 이 시점에서 Euclid의 저작인 자료론에 기반을 둔 연구는 매우 의미 있는 연구라 할 수 있다. 게다가 자료(datum)의 개념을 기반으로 한 문제의 외적인 특성들의 분석은 다양한 문제들에 대한 이해에 도움을 주며, 이는 해결 방법이 보이지 않는 문제의 문제해결에 대한 아이디어를 제시한다(Suh, 2010). 또한 중학교 기하영역의 교과서 문제를 살펴보면 자료(datum)의 구조를 가진 문제들이 다수 제시되어 있다.

따라서 자료(datum)의 구조를 가진 문제에 대한 외적 특성의 분석을 통해 수학 교과서에 제시된 문제들이 가지는 특성을 살펴보는 것은 수학교육에서 학생들의 문제해결력 향상을 위해 필수적인 연구라고 볼 수 있다. 또한 자료 (datum)의 구조를 가진 문제를 해결하는 과정에 나타난 결과를 분석하여 자료문제(자료의 속성을 가지는 문제)들이 가지는 특성을 연구하는 것은 중학교 기하영역에서 문제해결력 향상 및 교수․학습 자료의 개발 방법 제시 등에 가치가 있으므로 이에 대한 연구의 필요성을 제기할 수 있다.

이에 본 연구는 자료(datum)의 구조적인 특징을 바탕으로 중학교 기하영역 문제의 외적인 특성(문제에서 주어진 것, 문제 해결에 필요한 개념, 풀이 절차, 결과/결론)을 분석하고, 이를 유형과 형식(Suh, 2010)에 따라 분류하여 유형별, 형식별 학생들의 문제해결에 나타나는 특성의 파악을 연구의 목적으로 한다. 이러한 본 연구의 목적을 달성하기 위해 연구문제를 세 가지로 구체화하였다. 첫째, 중학교 기하영역에서 자료문 제가 차지하는 비중이 얼마나 되는지를 분석한다. 둘째, 중학교 수학교과서 기하영역에 제시된 자료문제의 유형에 따른 문제해결 결과에 나타난 특성이 무엇인지 분석한다. 셋째, 중학교 수학교과서 기하영역에 제시된 자료문제의 형식에 따른 문제해결 결과에 나타난 특성이 무엇인지 분석한다.

중학교 기하영역에서 다루는 문제에는 자료문제가 차지하는 비중은 다소 높다(Suh, 2010). 따라서 자료문제의 해결결과에 나타난 특징을 파 악하는 것은 기하영역의 문제해결 및 교수․학습 방법 개선에 도움이 될 것으로 기대된다. 또한 수학교과서에 제시된 문제가 정형자료(FD) 문제라고 하면, 이로부터 파생되는 순행자료(DD) 문제, 역행자료(RD) 문제를 해결하기 위해서는 원래의 문제와는 다른 수준 혹은 차원의 수학 배경 지식을 필요로 하는 경우가 많고, 학생들에게 문제해결과정에서 좀 더 다양한 열린 사고의 기회를 제공할 수 있기 때문에, 한 문제에서 파생되는 세트문항(FD, DD, RD문제)을 함께 풀어 보는 활동은 수학적 사고 능력 향상과 문제해결력 향상을 가져올 수 있을 것으로 기대된다.

1. Euclid의 자료론

Euclid는 <원론>이라는 책으로 널리 알려져 있다. 대다수 사람들은 수학자 Euclid라고 하면<원론>을 떠올린다. 교과서 뿐 아니라, 청소년을 위한 교양수학 서적 등에서 언급되는 Euclid에 대한 이야기는 대부분 <원론>에 집중하고 있다. 그러나 Euclid의 저서는 <원론>만 있는 것은 아니다. 그 외에 다른 많은 저서들이 있지만 그것에 대한 정보는 거의 소개되지 않고 있다. 그것은 <원론>에 비해 연구가 활발히 이루어지지 않아 널리 알려져 있지 않았을 뿐, 수학적 의미가 없는 것은 아니다. 이처럼 수학적으로 의미 있는 저서이지만 널리 알려지지 않은 Euclid의 저작중의 하나가 <자료론(The data)>이다. <자료론>은 Pappus의 ‘분석의 보고(The treasury of analysis)’라는 고대 그리스의 위대한 수학책의 목록 33권 중 첫 번째로 제시된 책이다(Yoon, Suh, & Kim, 2008). 또한 Knorr(1986)는 Euclid와 그 당대의 수학자들에 의해 만들어진 기하학 연구에 적절한 계량적 척도는 <원론>이 아닌 <자료론>에서 찾을 수 있다고 하였고, Taisbak(2003)은 자신의 번역서에 <자료론>은 분석을 위한 충분한 가치가 있을 만큼 중대한 수학적 의미를 가지고 있다고 진술하고 있다(Suh & Kim, 2013, p2에서 재인용).

Suh & Kim(2013)의 <자료론>의 구성을 살펴보면 정의 15개, 명제 94개를 제시하고 있음을 알 수 있다. 정의 1∼4는 기초 도형에 대한 정의, 정의 5∼8은 원과 관련된 정의, 정의 9∼12는 주어진 것만큼 더 큰 크기와 관련된 정의, 정의 13∼15는 직선과 방향 등에 관련된 정의를 다루고 있다. 또한 명제 1∼24는 크기와 비에 대한 명제, 명제 25∼38은 거리, 방향, 평행 등 위 치에 대한 명제, 명제 39∼55는 삼각형과 다각형에 대한 명제, 명제 56은 등각평행사변형에 대한 명제, 명제 57∼62는 넓이의 활용에 대한 명제, 명제 63∼67은 비와 각에 대한 명제, 명제 68∼ 75는 등각 평행사변형에 대한 명제, 명제 76∼83은 중복 및 독립적 명제, 명제 84∼85는 넓이의 활용에 대한 명제, 명제 86은 쌍곡선의 절단에 대한 명제, 명제 87∼94는 원에 대한 명제를 제시하고 있다.

<자료론>에 대한 선행연구를 살펴보면 Taisbak (2003)은 아랍어로 된 <자료론>을 그리스어로 번역한 Menge의 번역본을 영어로 번역하고 이를 여러 보조정리들과 자신의 논문을 함께 제시하여 <자료론>의 이해를 도울 수 있도록 출판하였다. Suh & Kim(2013)은 국내에서 <자료론>의 다양한 연구를 할 수 있도록 Taisbak의 책을 한국어로 번역하였다. 번역 외의 국외연구로는 Herz-Fischler가 <자료론>의 명제 84와 명제 85의 의미에 대해 분석, Taisbak의 <자료론> 명제 86에 대한 수학적 가치에 대한 분석 등의 연구가 있다(Yoon, Suh, & Kim, 2008). 국내연구로는 Yoon, Suh, & Kim(2008)이 <자료론>의 내용구성, 형식적 체계, <자료론>이 가지는 수학적 의미를 분석하였으며, Suh(2010)는 <자료론>에 기초한 중학교 기하영역의 자료를 분석하여 <자료론>을 수학교육과 처음으로 접목시킨 연구를 수행하였다. Jung(2011)은 <자료론>을 이용하여 방심의 영재학생 지도방안에 대하여 연구하였다.

2. 자료(datum)와 자료문제

<자료론>에 제시된 94개의 명제는 모두 동일한 형식으로 기술되어 있다(Suh, 2010). 기술 방법의 특징을 살펴보면 ‘명제의 가정에서 수학적 대상 A, B가 주어져 있으면 결론의 수학적 대상 C는 반드시 구할 수 있다.’의 가정과 결론으로 이루어진 일반적인 명제의 기술 방법과 동일하다. 그런데, 이러한 명제에 특징적인 것은 가정에 항상 2개 또는 3개의 조건이 배치되어 있고 결론에는 항상 1개의 조건이 배치되어 있다는 것이다. 게다가 가정의 조건 2개(또는 3개), 결론의 조건 1개의 각각 대상 A, 대상 B, 대상 C(또는 대상 A, 대상 B, 대상 C, 대상 D)라 할 때 A, B, C 중 임의의 2개의 대상이 ‘가정’으로 주어지면(또는 A, B, C, D 중 임의의 3개의 대상이 주어지면), 나머지 하나의 대상은 반드시 구할 수 있다는 것이다. 이와 같은 속성을 가지는 수학적 대상 A, B, C(혹은 A, B, C, D)의 집합을 자료 (datum)라고 부른다.

<자료론>에서 제시하고 있는 명제를 예를 들어 살펴보자. 다음은 <자료론>에 제시되어져 있는 명제 57번으로, 평행사변형에 대한 명제를 소개하고 있다.

[명제57] 넓이가 주어져 있고, 한 변의 길이와 한각의 크기가 주어진 평행사변형이 있다면, 다른 한변의 길이는 주어진 것이다.

위 명제에서 평행사변형의 넓이, 한 변의 길이, 한 각의 크기가 명제의 가정 부분에 제시되어져 있고, 평행사변형의 또 다른 한 변의 길이가 결론에 제시되어져 있다. 여기서 평행사변형의 넓이를 대상 A, 한 변의 길이를 대상 B, 한 각의 크기를 대상 C, 평행사변형의 다른 한 변의 길이를 대상 D라 하자. 그러면, 위 명제는 수학적 대상 A, B, C가 주어지게 된다면, 대상 D를 반드시 구할 수 있음을 제시한다. 그런데 이 명제의 가정과 결론에 제시된 네 개의 수학적 대상 A, B, C, D는 특별한 속성을 지니고 있다. A, B, C, D 네 개의 대상에서 임의의 세 대상이 주어져 있으면, 반드시 나머지 하나의 대상을 구 할 수 있다는 점이다. 예를 들어 한 변의 길이 (대상 B)와 다른 한 변의 길이(대상 D), 한 각의 크기(대상 C)가 주어지면, 그 평행사변형의 넓이 (대상 A)를 구할 수 있다.

자료(dautm)의 속성을 지니는 수학적인 세 대상 혹은 네 대상의 집합을 D(A, B, C) 혹은 D(A, B, C, D)라고 표현하고, 이들의 대상을 자료(datum)라 하며, 이러한 자료(datum)의 구조적 속성을 가진 수학문제를 자료문제라 한다. 본 연구에서는 D(A, B, C)를 주로 다룬다.

3. 자료문제의 유형

주어진 자료문제가 수학적 세 대상 A, B, C로 이루어져 있을 때 그 배치를 바꾸어 A, B를 이용하여 C 구하기, A, C를 이용하여 B 구하기, B, C를 이용하여 A 구하기로 분류할 수 있다. Suh(2010)는 이렇게 분류된 세 가지를 정형자료 (FD, formal datum), 순행자료(DD, direct datum), 역행자료(RD, reverse datum)로 명명하고 이를 자료(datum)의 유형이라 하였다(Figure 1 참조).

Figure 1.Classification of datum

정형자료(FD), 순행자료(DD), 역행자료(RD)의 분류 기준은 친숙성이다(Suh, 2010). 문제가 일반 적으로 많이 다루어지는 익숙하고 보편적인 문제일 때 FD문제, FD문제에 비해 일반적이지는 않지만 종종 다루어질 수 있는 문제일 때 DD문제, 일반적으로 다루지 않아 생소한 문제일 때 RD문제로 분류한다.

본 연구에서는 주어진 수학적 대상이 3개일 때를 중심으로 이루어지고 있다. 주어진 수학적 대상을 A, B, C라 할 때, 즉, 주어진 문제가 D(A, B ,C)의 구조로 자료(datum)을 이루고 있을 때, 세 가지 유형을 FD(AB, C), DD(AC, B), RD(CB, A)이라고 표현한다. 아래 제시된 (문제1)을 바탕으로 이러한 분류의 구체적 예시를 제시 하면 다음과 같다.

(문제1)은 ΔABC의 한 변의 길이 a, 다른 한 변의 길이 b와 끼인 각의 크기 θ가 주어지면 ΔABC의 넓이 S를 구할 수 있으며 S=12absinθ이다. 즉 D(ab, θ, S)는 (문제1)의 자료(datum)가 된다. 이때, 가장 익숙한 문제 유형은 위 문제와 같이 ab, θ가 주어졌을 때 S를 구하는 것인데 이것을 FD(abθ,S) 로 나타낸다. 그 다음은 끼인 각의 크기, 넓이가 주어졌을 때, 두 변의 길이를 구하는 것인데 이것을 DD(θS,ab)로 나타낸다. 마지막으로 가장 익숙하지 않은 유형은 두 변의 길이와 넓이가 주어졌을 때, 끼인 각의 크기를 구하는 것인데 RD(abS,θ)로 나타낸다.

4. 자료문제의 형식

자료(daum)의 세 유형 FD(AB, C), DD(AC, B), RD(CB, A)을 바탕으로 해서, 자료문제에 대한 형식을 논의한 연구에서 Suh(2010)는 FD, DD, RD문제간의 상호관계에 따라 네 형식(type)으로 구분하였다. 형식1은 Figure 2와 같이 도식화하고 있는데, 이를 구체적으로 설명하면 DD문제와 RD문제는 본질적으로 동일한 문제이고 FD문제와 수평적인 관계를 가지는 경우이다. 여기서 대상 A와 대상 B가 대칭적인 구조를 지니고 있기 때문에서 이들 사이의 구분이 의미가 없다는 것 이다. 즉, (AC,B)와 (BC,A)는 본질적으로 동일한 문제라고 볼 수 있고, 풀이 과정이 동일한 절차를 가지고 있기 때문에 수평적인 관계를 가진다.

Figure 2.Type 1

형식2는 Figure 3과 같이 도식화하고 있는데 이를 구체적으로 설명하면, DD문제와 RD문제는 본질적으로 동일한 문제이고 FD문제와 수직적인 관계를 가지는 경우이다. 문제의 풀이 과정에서한 단계 높은 수학적 사고과정을 필요로 하므로, 수직적인 관계를 가진다.

Figure 3.Type 2

형식3은 Figure 4와 같이 도식화하고 있는데 이는 FD문제, DD문제, RD문제가 대상 A, 대상 B, 대상 C의 순서적 구분이 의미가 없어 모두 본질적으로 동일하며 풀이 과정도 동질적인 성격을 지닌다.

Figure 4.Type 3

형식4는 Figure 5와 같이 도식화하고 있는데이는 FD문제, DD문제, RD문제 세 유형 모두 수직적인 관계에 있다. 각각의 세 유형의 문제를 해결하는 과정에 독특한 특성이 있고, 그 사이의 난이도에도 상당한 차이가 있다.

Figure 5.Type 4

본 연구에서는 중학교 수학교과서 기하영역에서 다루는 문제를 자료(datum)라는 관점에서 그 구조적인 특징을 바탕으로 분석하고, 유형과 형식에 따라 문항을 개발하여 그 특징에 따른 학생들의 문제해결 결과에 나타난 특성을 파악하는 연구이다. 본 연구의 방법 및 절차는 다음과 같다.

1. 연구 방법

가. 문헌분석

자료(datum)에 해당하는 내용은 중학교 전체에서 나타나지만 기하영역에서 가장 많이 존재한다(Suh, 2010). 이를 근거로 본 연구는 기하영역의 자료문제 분석을 목표로 설정하였고, 본 연구자가 근무하는 학교에서 사용하는 교과서인 2009 개정 교육과정의 지학사(Shin et al., 2013)의 교과서를 분석하였다. 1, 2, 3학년 교과서에서 제시하는 기하단원의 문제, 즉 교과서 본문의 예제 및 문제, 중단원 연습문제, 대단원 연습문제 등 준비학습을 제외한 모든 문제를 분석 대상으로 설정하였다. 본 연구에서 2009 개정 교육과정의 교과서를 분석한 이유는 중학교 1학년, 2학년, 3학년 전체를 일관성 있게 분석하고 고찰하기 위해서이다. 본 연구에서는 수학교과서에 제시된 문제를 살펴보고 그 중에서 어떤 문제가 자료문제인지, 자료문제가 차지하고 있는 비중은 얼마나 되는지 고찰하였다. 또한 중학교 수학교과서 기하영역에 제시된 자료문제의 속성의 문제를 유형별(FD, DD, RD), 형식별(형식1, 형식2, 형식3, 형식4)로 분류하여 분석하였다. 선행연구 분석에 기초하여 유형과 형식에 따라 중학교 수학교과서의 기하영역에 제시된 문제를 분석한틀의 예시는 다음과 같다.

먼저 자료문제가 되는 문항을 추출하여 순서 대로 번호를 붙였고, 교과서에 한 자료(datum)에서 파생된 FD문제와 DD문제가 함께 제시된 경우 문항 번호 앞에 #을 붙여 세트문항임을 알 수 있도록 표시를 하였다. 문항번호 다음에는 구체적으로 문항의 내용을 제시하였다. 문항이 제시된 다음에는 그 문항이 자료문제가 되는 구체 적인 수학적 대상을 추출하여 D(A, B, C) 형식으로 표현하였다. 마지막으로는 해당 문제의 유형과 형식을 분류하여 제시하였다.

나. 검사지 개발

분류된 자료문제 중 유형과 형식의 특징이 명확한 문제를 선정하였다. 이 문제를 바탕으로 하여 유형별, 형식별로 세트문항을 개발하였다. 세트문항이란 교과서에 주어진 자료문제를 바탕으로 하여 그 문제에 제시되어져 있는 수학적 대상을 추출하고, 추출된 수학적 대상의 배치를 바꾸어 다른 유형의 자료문제를 만들 수 있게 되는데, 추출된 문제와 이 문제로부터 파생된 문제를 하나의 세트로 묶은 것을 말한다. 예를 들면, 다음은 중학교 1학년 수학교과서 입체도형 단원에서 제시하고 있는 문제이다. 이 문제에서 큰 원기둥과 작은 원기둥의 반지름의 길이를 각각 ‘r1, r2’라 하고, 원기둥의 높이를 ‘h’, 부피를 ‘V ’라 하면 자료(datum)는 (r1r2, h, V )이고, 주어진 문제는 ‘r1r2, h가 주어지면 V를 구할 수 있다.’로 표현할 수 있다(Table 1 문제3-1 참조). 여기서 자료(datum)의 배치를 바꾸면 다음과 같은 두 문제를 추가적으로 제시할 수 있다 (Table 1 문제3-2, 문제3-3 참조). Table 1의 (문제 3-2)는 ‘r1r2, V가 주어지면 h를 구할 수 있다.’로 표현 할 수 있고, (문제3-3)은 ‘V와 h가 주어지면 r1r2를 구할 수 있다.’로 표현할 수 있다.

Table 1 Example of questionnaire item

문제3-1) 다음은 반지름의 길이가 4cm인 원기둥에서 반지름의 길이가 2cm인 원기둥을 뺀 입체도형이다. 이 입체도형의 부피를 구하시오.
(문제3-2) 다음은 반지름의 길이가 4cm인 원기둥에서 반지름의 길이가 2cm인 원기둥을 뺀 입체도형이다. 이 입체도형의 부피가 96πcm3일 때, 이 입체도형의 높이 h를 구하시오.
(문제3-3) 다음은 반지름의 길이가 xcm인 원기둥에서 반지름의 길이가 ycm인 원기둥을 뺀 입체도형이다. 이 입체도형의 높이는 8cm이고 부피가 96πcm3 일 때, x, y의 값을 구하시오.(단, x, y는 자연수)


이와 같은 방법으로 학년별 8개의 문제를 선정하였고 그 문제를 이용하여 8세트(총 24문항)의 문항을 개발하였다. 이 24개의 문항을 검사지 간의 난이도가 비슷하도록 유형과 형식을 최대한 골고루 배치하여 학년별 3개의 검사지로 나누었다. 검사지는 수학교육학 전문가 1명, 수학 전문가 2명의 자문으로 확정되었다.

앞에서도 언급하였지만, 자료문제는 문제에 수학적 대상이 3개인 경우와 4개인 경우로 구분할 수 있다. 수학적 대상이 3개인 경우는 수학적 대상의 배치를 변경하여 (AB,C), (AC,B), (BC,A)로 구분할 수 있고 이를 친숙함에 기준을 두고 정형자료(FD), 순행자료(DD), 역행자료(RD)로 분류 할 수 있다. 그런데, 수학적 대상이 4개인 경우는 (ABC,D), (ABD,C), (ACD,B), (BCD,A)의 4가지로 구분할 수 있지만, Suh(2010)에 따르면 수학교과서에 제시된 대부분의 자료문제는 수학적 대상이 3개인 경우이므로, 본 연구에서는 FD,DD, RD의 세 가지 유형으로 분류하여 연구를 진행하였다.

다. 연구대상자 및 검사 실시

1) 연구 대상자

중학교 1학년, 2학년, 3학년 모두에서 상당한 분량이 기하영역이고, 모든 학년에서 다양한 자료문제를 포함하고 있다. 따라서 해당 학년의 기하영역의 학습을 모두 학습한 중학교 2학년, 3학년, 고등학교 1학년을 연구 대상자로 선정하였다. 본 연구는 대전광역시 소재 A중학교 2, 3학년 학년별 3개 반 학생, B고등학교 1학년 3개 반 학생을 대상으로 하였다(Table 2 참조).

Table 2 Study subjects and test types

검사 학년학생수(명)검사지
중학교 2학년A24중1과정 평가문제(1)
B24중1과정 평가문제(2)
C24중1과정 평가문제(3)
중학교 3학년A28중2과정 평가문제(1)
B28중2과정 평가문제(2)
C28중2과정 평가문제(3)
고등학교 1학년A25중3과정 평가문제(1)
B25중3과정 평가문제(2)
C27중3과정 평가문제(3)


2) 검사 방법 및 분석 방법

검사지는 서답형 각 8문항으로 이루어져 있으며 평가문제(1), 평가문제(2), 평가문제(3)으로 구분하였다. 평가문제(1)은 A반, 평가문제(2)는 B반, 평가문제(3)은 C반에게 제시하였으며(Table 2 참조), 정규 수학 수업 시간 1차시를 이용하여 검사를 실시하였다. 학생들이 자료문제를 해결한 결과를 분석하는 것이 연구의 목적이므로 평가의 시간은 정규수업 1차시 전체를 할애하여 문제해결에 충분한 시간을 제공하였다.

검사 실시후, 채점을 통해 정답률을 분석하였다. 서답형 평가로 진행하였지만, 풀이 결과의 옳고 그름이 중요하다고 판단하였기 때문에 채점의 부분점수는 부여하지 않았다. 채점의 결과는 문항의 유형별, 형식별로 분류하여 분석하였다.

2. 연구 절차

본 연구는 다음과 같은 절차로 진행되었다. 첫 째, 자료(datum)에서 나타나는 구조적인 특징을 바탕으로 중학교 1, 2, 3학년 기하영역의 교과서를 분석한다. 둘째, 분류된 자료문제 중 유형과 형식의 특징이 명확한 문제를 선정하였고, 이를 바탕으로 세트문항을 개발한다. 셋째, 개발된 문제를 각 유형과 형식에 따라 골고루 배치하여 각 학년별 3개의 검사지를 제작한다. 넷째, 중학교 2, 3학년 고등학교 1학년을 대상으로 검사를 실시한다. 다섯째, 실시된 검사결과를 분석하고, 이를 이용하여 유형별, 형식별 자료문제 해결의 특성을 고찰한다.

3. 검사지 구성 및 자료 수집

가. 검사지 구성

검사지 개발에 고려된 사항은 다음과 같다. 첫째, 각 학년별 세 검사지의 같은 문항번호의 문항들은 세트문항이다. 따라서 같은 문항번호는 같은 형식이지만 다른 유형의 문항으로 구성된다. 예를 들어 평가문제(1)의 1번이 형식1의 FD 문제이면, 평가문제(2)의 1번은 같은 자료(datum)로 만든 형식1의 DD문제, 평가문제(3)의 1번은 같은 자료(datum)로 만든 형식1의 RD문제이다. 둘째, 분석의 효율성을 위하여 문항코드를 ‘유형 -형식-학년/문항순서’로 정하였다. 예를 들면 문항코드 ‘FD-형식1-3a’는 유형은 FD, 형식은 형식 1, 학년은 3학년이며, 형식1의 FD문제 중 첫 번째 문제임을 의미한다. 셋째, 각 검사지는 형식과 유형을 최대한 골고루 배치하여 각 검사지간의 난이도를 동일하게 하였다. 각 학년에 배치된 형식별 문항수는 Table 3과 같고, 각 검사지에 배치된 유형별 문항수는 Table 4와 같다.

Table 3 Number of questions by test types

구분1형식2형식3형식4형식
중1과정3212
중2과정3212
중3과정2312

Table 4 Number of questions by test forms

구분FDDDRD
중1과정평가문제(1)422
평가문제(2)044
평가문제(3)422
중2과정평가문제(1)332
평가문제(2)431
평가문제(3)125
중3과정평가문제(1)332
평가문제(2)332
평가문제(3)224


나. 자료 수집 및 처리

검사는 학년별 3개 반을 대상으로 실시하였는데, 문제를 거의 풀지 않고 제출된 검사지 및 무의미하게 작성된 검사지를 제외한 각 반 20명의 검사지만을 분석 대상으로 하였다. 각 학년별 각 반별 20개의 검사지에 대한 정답률을 유형별, 형식별로 분석하였다. 각 문항의 정답률을 확인해본 결과 난이도 차에 따른 정답률이 이해가 되지 않는 변별도가 지나치게 낮게 나온 3세트문항(총9문항)은 분석에서 제외하였다. 첫 번째 제외 세트문항은 ‘FD-형식1-2a’, ‘DD-형식1-2a’, ‘RD-형식1-2’이다. 두 번째 제외 세트문항은 ‘FD-형식2-2a’, ‘DD-형식2-2a’, ‘RD-형식2-2a’이다. 세 번째 제외 세트문항은 ‘FD-형식4-3a’, ‘DD-형식4-3a’, ‘RD-형식4-3a’이다.

1. 중학교 교과서의 자료문제 분석

선행연구 분석에 기초하여 유형과 형식에 따라 중학교 수학교과서(2009 개정 교육과정의 지학사, Shin et al., 2013)의 기하영역에 제시된 문제를 분석하였다.

중학교 1학년 기하영역은 기본도형과 작도, 평면도형, 입체도형의 세 단원으로 이루어져 있다. 기본도형과 작도 단원의 총 문제 수는 80문제이고 자료문제는 9문제로 약 11.3%의 비율을 차지 한다. 평면도형 단원의 총 문제 수는 74문제이고 자료문제는 20문제로 약 27%의 비율을 차지한다. 입체도형 단원의 총 문제 수는 75문제이고 자료문제는 23문제로 약 30.7%의 비율을 차지한다. 여기에서의 문제 수는 본 논문에서 제시된 문제의 수보다 많은데 그 이유는 연구에 사용된 교과서에는 학생들의 개념 정립을 위하여 같은 내용의 문제를 숫자만 변형시켜 여러 문제로 제 시하고 있기 때문이다. 그런 문제는 자료문제 개수에는 포함시켰지만 동일 유형으로 분류하였기에 제시하지는 않았다.

중학교 2학년 기하영역은 도형의 성질, 도형의 닮음 두 단원으로 이루어져 있다. 도형의 성질 단원의 총 문제 수는 84문제이고 자료문제는 14 문제로 약 16.7%의 비율을 차지한다. 도형의 닮음 단원의 총 문제 수는 79문제이고 자료문제는 38문제로 약 48.1%의 비율을 차지한다. 도형의 닮음 단원의 자료문제의 비율이 다른 단원에 비해 비교적 높은 편이다.

중학교 3학년 기하영역은 피타고라스 정리, 삼각비, 원의 성질의 세 단원으로 이루어져 있다. 피타고라스 정리 단원의 총 문제 수는 68문제이고 자료문제는 33문제로 약 48.5%의 비율을 차지한다. 다른 단원에 비해 비교적 높은 비율이 나타나는데 그 이유는 피타고라스 정리를 이용한 계산의 연습을 위하여 유사한 문제를 다양하게 제시하고 있기 때문이다. 삼각비 단원의 총 문제 수는 66문제이고 자료문제는 24문제로 약 36.4%의 비율을 차지한다. 원의 성질 단원의 총 문제 수는 78문제이고 자료문제는 33문제로 약 42.3%의 비율을 차지한다.

결론적으로 중학교 1, 2, 3학년 교과서의 기하영역 자료문제를 분석해 본 결과는 다음과 같다.

첫째, FD문제, DD문제, RD문제의 분류 기준은 친숙성, 즉 익숙한 정도이고 일반적으로 교과서의 문제는 해당 학습 내용의 기본을 다루고 있으므로 대부분이 FD문제로 이루어져 있었다. DD문제는 매우 적었고 대부분이 FD문제와 함께제시되었으며, 형식1 또는 형식3으로 FD문제, DD문제, RD문제가 본질적으로 동일하거나 수평적 관계에 있어 난이도 차가 거의 없는 문제로, 개념 정립을 도와주는 문제로 제시되었다. RD문제는 중학교 3학년 과정에 한 문제 제시하고 있지만 이 문제 역시 형식1로 난이도 차가 없는 문제를 제시하고 있다. 둘째, 자료문제의 비율은 1학년 22.7%, 2학년 31.9%, 3학년 42.5%로 학년이 올라갈수록 그 비중이 좀 더 높게 나타났다. 셋째, 1학년에 입체도형 단원 30.7%, 2학년의 도형의 닮음 단원 48.1%, 3학년의 피타고라스의 정리 단원 48.5%는 학년의 다른 단원에 비해 자료 문제의 비율이 높게 나타났다. 단원별 전체 문항 수에 대한 자료문제의 비율은 Table 5와 같다.

Table 5 Percentage of datum problems by unit

학년대단원중단원전체 문항수Datum 문항수Datum 문항비율
1 학년Ⅴ. 기본도형과 작도1. 기본도형80911.3%
2. 작도와 합동
Ⅵ. 평면도형1. 다각형742027%
2. 부채꼴
Ⅶ. 입체도형1. 다면체와 회전체752330.7%
2. 입체도형의 겉넓이와 부피
소계2295222.7%
2 학년Ⅶ. 도형의 성질1. 삼각형의 성질841416.7%
2. 사각형의 성질
Ⅷ. 도형의 닮음1. 도형의 닮음793848.1%
2. 닮음의 활용
소계1635231.9%
3 학년Ⅴ.피타고라스의 정리1. 피타고라스 정리683348.5%
2. 피타고라스 정리의 활용
Ⅵ. 삼각비1. 삼각비662436.4%
2. 삼각비의 활용
Ⅶ. 원의 성질1. 원과 직선783342.3%
2. 원주각
소계2129042.5%
총 계60419432.1%


2. 유형별 문제해결 특성 분석

검사지 문항은 각 학년별로 FD, DD, RD의 각 8문항으로 구성되어 있으며, 2학년 1번과 4번, 3 학년 7번 문항은 분석에서 제외하였다. 유형에 따른 학생들의 문제해결 특성을 분석하면 다음과 같다.

첫째, 1, 2, 3학년 전체 정답률의 평균을 보면 FD문항의 정답률은 64.9%, DD문항의 정답률은 60.3%, RD문항의 정답률은 48.4%로 나타났다. 주어진 한 문항으로 만들어진 FD, DD, RD문항은 문제의 조건의 배치를 바꾼 것이므로 풀이과정 상에 수학적 지식이 좀 더 필요한 경우는 있지만 문제해결의 핵심적인 아이디어는 동일하다. 그럼에도 불구하고 이러한 정답률의 차를 보이는 것은 학생들이 많이 다루어 본 익숙한 문제는 비교적 쉽게 해결하지만 그렇지 않은 문제의 해결에는 어려움을 겪는다는 것을 보여준다. 유형별 문항 정답률의 전체 평균은 Table 6과 같다.

Table 6 Correct answer rate by grade & type(%)

유형FDDDRD
문항번호
1학년78.868.154.4
2학년67.557.550.0
3학년48.655.340.7
전체평균64.960.348.4


둘째, 1, 2, 3학년 전체 FD문항 정답률의 범위는 25.8%, DD문항 정답률의 범위는 27.3%, RD 문항 정답률의 범위는 29.5%으로 FD문항의 정답률이 DD문항, RD문항의 정답률에 비해 고르다. 1, 2, 3학년 각각의 표준편차를 보면 전 학년에서 FD문항의 표준편차가 RD문항의 표준편차 보다 작게 나타남을 확인할 수 있다. 이를 통해 FD문항은 일반적으로 교과서에서 다루는 문제이고 해당 교육과정의 수준을 넘어서지 않으므로 문항에 따른 정답률의 차가 크지 않지만 RD문항은 문항에 따른 정답률의 차가 크게 나타남을 알 수 있다.

셋째, 정답을 쓰지 못한 학생들의 검사지에 나타난 풀이과정을 보면 RD문항은 전혀 풀지 않은 학생이 많았다. 따라서 분석에서 나타난 정답률의 차는 문제 해결에 필요한 수학적 개념 및 풀이 절차의 증가로 인한 차이도 있겠으나 익숙하지 않은 문제에 대한 학생들의 심리적인 거부감도 한 요인으로 생각할 수 있다.

넷째, FD문항, DD문항, RD문항은 학생들에게 익숙한 정도에 따라 분류한 것으로 난이도 순은 아니다. 그러나 정답률의 전체 평균을 보면 일반적으로 익숙한 문제인 FD문항을 가장 쉽게 느끼고 그 다음은 DD문항, RD문항을 가장 어렵게 느끼는 것으로 판단할 수 있다. 그러나 분석 결과를 세부적으로 살펴보면 FD문항의 정답률보다 DD, RD문항의 정답률이 더 높게 나타나는 경우도 있으므로 모든 문항에서 학생들이 그렇게 느낀다고 할 수는 없다. 이를 통해 FD문항보다 익숙하진 않지만 더 쉽게 느껴지는 DD, RD문항이 있을 수 있음을 알 수 있다.

3. 형식별 문제해결 특성 분석

형식에 따른 학생들의 문제해결 특성을 분석 해보면 다음과 같다.

첫째, 형식1은 세 유형의 문제해결에 필요한 수학적 지식이 같고 풀이과정의 절차에서 그 수학적 지식이 이용되는 순서만 바뀌는 문제로, 난이도가 비슷한 수준이나 정답률의 차가 있었다. 이를 통해 조건의 배치에 따라 학생들이 느끼는 난이도는 다를 수 있음을 알 수 있다. 특히 문제 해결에 필요한 수학적 지식과 절차가 복잡할 경우 정답률에서 많은 차를 보였으며 이를 통해 자료(datum)의 배치 변경이 학생들에게 전혀 다른 문제로 인식될 수 있음을 확인할 수 있다. 형식1의 1, 2, 3학년 전체 평균을 보면 FD문항과 DD문항에 비해 RD문항의 정답률이 낮게 나타났다. 이는 같은 수학적 지식이 필요한 문제라도 익숙하지 않은 문제는 어렵게 느끼는 것으로 해석할 수 있다.

둘째, 형식2의 정답률을 보면 1학년은 DD문항, RD문항의 정답률이 50%, FD문항의 정답률이 72.5%로 FD문항을 DD문항과 RD문항보다 쉽게 느낀다는 것을 알 수 있다. 그러나 2학년의 경우 DD문항, RD문항의 정답률이 80%, FD문항의 정답률이 55%로 FD문항을 DD문항과 RD문항보다 어렵게 느낀다고 볼 수 있다. 형식2는 본질적으로 동일한 DD문제, RD문제가 FD문제와 수직적인 관계인 것으로 위의 정답률을 통해 FD 문제가 수직적인 위치에서 위에 위치할 수도, 아래에 위치할 수도 있다는 것을 알 수 있다. 즉, 형식2로 분류된 문제들을 보면 FD문제가 DD문제, RD문제보다 더 쉬운 문제도 있고 FD문제가 DD문제, RD문제보다 어려운 문제도 있다는 것이다.

셋째, 형식3은 세 유형이 문제해결에 필요한 수학적 지식과 풀이과정의 절차가 모두 같은 문제로 숫자만 바뀐 같은 문제로 볼 수 있다. 그러나 검사 결과 1, 2, 3학년 모두 세 유형의 정답률에 차가 있었으며 그 차는 불규칙하게 나타났다.

넷째, 형식4는 세 유형 사이에 필요한 수학적 내용과 절차에서 확실한 위계가 있으며 정답률도 FD문항 50%, DD문항 34.2%, RD문항 20.8%로 차가 나타났다. 문제해결에 필요한 수학적 내용이 FD문제, DD문제, RD문제 순으로 많아지므로 학생들이 느끼는 난이도도 이와 비슷한 것으로 보인다.

다섯째, 형식2의 RD문항은 정답률이 48.3%, 형식4의 RD문항은 정답률이 20.8%로 형식1의 RD 문항 66.1%, 형식3의 RD문항 75%에 비해 정답률이 낮게 나타났다. 형식2와 형식4의 RD문항은 문제해결과정에 해당 교육과정을 넘어서는 내용을 필요로 하는 것이 많아 학생들이 문제해결에 어려움이 있었을 것으로 판단된다. 예를 들어 문항코드 ‘RD-형식4-2b’의 경우 중학교 2학년 문제의 다른 유형으로 이 문제를 해결하기 위해 이차 방정식의 풀이가 이용되지만 이차방정식의 풀이는 중학교 3학년 교육과정에서 다루고 있다. 학년별 각 형식의 문항 정답률은 Table 7과 같다.

Table 7 Correct answer rate by grade & form(%)

학년형식1형식2형식3형식4
FDDDRDFDDDRDFDDDRDFDDDRD
188.388.368.372.550509010070654030
28582.56555808010065654017.512.5
375806526.735.715657590454520
평균82.883.666.151.455.248.38580755034.220.8


4. 자료문제의 형식의 확장 및 개선

자료문제에 대한 형식의 분류는 Suh(2010)의 연구에 기초하였다. 그런데, 본 연구의 결과를 바탕으로 이러한 형식의 분류에 대한 확장 및 개선이 필요하다는 결과를 도출하였다.

하나의 자료문제가 있으면 그것에서 파생되는 두 개의 문제(예를 들면 DD, RD)가 만들어 진다. 이러한 세트문항을 이루는 문제들을 보면, 어떤 경우에는 문제해결을 위해 필요한 수학적 지식, 문제 풀이의 절차가 동일하기도 하지만, 완전히 다르기도 하다. 형식 분류의 기준이 되는 것은 문제 풀이에 필요한 수학적 지식, 문제 풀 이의 절차이다(Suh, 2010). 자료(datum)를 이루고 있는 대상 A와 대상 B가 D(AC, B), D(BC, A)와 같이 그 배치를 바꾸어도 문제 풀이에 필요한 수학적 지식과 그것을 이용하여 답을 찾는 과정인 풀이 절차가 같은 경우 그 구분이 의미가 없으며, 이때 D(AC, B)와 D(BC, A)는 본질적으로 동일한 문제이다. 또한 세 유형의 풀이 과정에서 문제 풀이에 필요한 수학적 지식은 동일하나 풀 이의 절차가 바뀌는 경우 이 유형들은 수평적인 관계를 가진다. 세 유형의 풀이 과정에서 문제풀 이에 필요한 수학적 지식과 풀이의 절차가 모두 다른 경우 즉, 각 유형의 풀이 과정에 각각의 절차가 있고 그 문제를 해결하는데 요구되는 수학적 내용의 수준이 차가 있을 때 그 유형들은 수직적 관계를 가진다.

본 연구의 결과를 바탕으로 형식1을 재조직화하여 도식화하면 Figure 6과 같다. DD문제와 RD 문제가 본질적으로 동일하고, FD문제와 수평적인 관계를 가지는 것 또는 FD문제와 DD문제가 본질적으로 동일하고 RD문제와 수평적인 관계를 가지게 된다. 이러한 관계도 형식1로 분류할 수 있다.

Figure 6.Extension of form 1

형식1에 대한 구체적인 예는 검사지 문항코드 ‘FD-형식1-3b’, ‘DD-형식1-3b’, ‘RD-형식1-3b’이다. 중학교 3학년 피타고라스 정리의 활용 단원의 문제로 피타고라스 정리를 이용하여 문제를 해결할 수 있다. 이 문제에서 DD문제의 x2+122=132와 RD문제의 52+x2=132는 문제해 결에 필요한 수학적 지식과 그 절차가 동일하므로 본질적으로 동일하다고 볼 수 있고, FD문제의 풀이과정인 52+122=x2와 DD문제의 풀이과정인 x2+122=132은 문제해결에 필요한 수학적 지식은 동일하나 풀이의 절차가 다르므로 FD문제와 DD문제는 수평적인 관계를 가진다고 할 수 있다. 또한 검사지 문항코드 ‘FD-형식 1-2c’,‘DD-형식1-2c’,‘RD-형식1-2c’은 중학교 2학년 도형의 닮음 단원의 문제로 FD문제와 DD문제가 본질적으로 동일하고 RD문제가 이들 문제와 수평적인 관계를 가지는 예이다.

본 연구의 결과를 바탕으로 형식2를 재조직화하여 도식화하면 Figure 7과 같다. DD문제와 RD 문제가 본질적으로 동일하고 FD문제와 수직적인 관계를 가질 때 또는 FD문제와 DD문제가 본질적으로 동일하고 RD문제와 수직적인 관계를 가 질 때 형식2로 분류할 수 있다.

Figure 7.Extension of form 2

형식2에 대한 구체적인 예는 검사지 문항코드 ‘FD-형식2-1a’, ‘DD-형식2-1a’, ‘RD-형식2-1a’이다. 중학교 1학년 부채꼴 단원의 문제로 FD문제의 풀이 과정인 120°:30°=xcm:2cm와 DD문제의 120°:30°=8cm:xcm은 문제해결에 필요한 수학적 지식과 그 절차가 동일하여 본질적으로 동일한 문제이다. 그에 비해 RD문제는 호의 길이가 8cm인 부채꼴의 중심각의 크기를 x, 호의 길이가 2cm인 부채꼴의 중심각의 크기를 y라 할 때, 8:2=x:y이므로 x=4y이고, x+2y=180x=4y의 연립방정식의 풀이로 문제를 해결할 수 있다. RD문제는 FD문제, DD문제와 다른 절차를 가지고 있으며 문제를 해결하는데 요구되는 수학적 지식에도 분명한 차이가 존재한다. 따라서 RD문제는 FD문제, DD문제와 수직적인 관계를 가진 다고 할 수 있다. 또한 검사지 문항코드 ‘FD-형 식2-2a’, ‘DD-형식2-2a’, ‘RD-형식2-2a’는 중학교 2학년 삼각형의 성질 단원의 문제로 DD문제와 RD문제가 본질적으로 동일하며 FD문제가 이들 문제와 수직적인 관계를 가지는 예이다.

형식3과 형식4는 Suh(2010)의 분류와 동일하게 분류할 수 있는 것으로 나타났지만 두 가지 측면에서 부분적으로 개선할 부분이 있다.

첫째, FD문제, DD문제, RD문제의 문제해결에 필요한 수학적 지식과 그 풀이 절차가 모두 동일할 때 형식3으로 분류한다. 형식3의 예는 검사지 문항코드 ‘FD-형식3-3a’, ‘DD-형식3-3a’, ‘RD-형식3-3a’이다. 중학교 3학년 원과 직선 단원의 문제로 FD문제의 풀이 과정인 4+x=7+5, DD 문제의 풀이 과정인 4+8=x+5, RD문제의 풀이 과정인 4+8=7+x을 보면 문제를 이루고 있는 수학적인 대상들의 배치 변경이 풀이 식을 변형 시키지 않는다는 것을 알 수 있다. 따라서 FD문제, DD문제, RD문제의 문제해결에 필요한 수학적 지식, 문제 풀이의 절차 모두 동일하다.

둘째, FD문제, DD문제, RD문제의 문제해결에 필요한 수학적 지식의 차이가 존재하고 그 풀이 과정에도 각각의 다른 절차가 있을 때 형식4로 분류한다. 형식4의 예는 검사지 문항코드 ‘FD-형식4-2b’, ‘DD-형식4-2b’, ‘RD-형식4-2b’이다. 중학교 2학년 닮음의 활용 단원의 문제로 DD문제는 ΔAOD의 넓이를 x라 두고 방정식을 풀어야 하며 RD문제는 AD¯:BC¯x:y로 두고 미지수 2개를 이용하여 문제를 해결해야 한다. 따라서 FD문제, DD문제, RD문제는 풀이 과정에 각각의 절차가 있고 그 문제를 해결하는데 요구되는 수학적 내용에 대한 수준의 차이가 있다.

본 연구는 중학교 수학교과서 기하영역의 문제를 자료(datum)의 개념에 기반을 두고 문제의 외적구조를 분석한 연구로써, 자료문제에 주어진 수학적 대상이 조건이냐 구해야할 대상이냐에 따라 세 가지 ‘유형’으로 분류하였고, 문제해결에 요구되는 수학적 지식과 문제해결 절차에 따라 네 가지 ‘형식’으로 구분하였다. 또한 유형과 형식에 따른 문제해결에 나타난 특성을 분석하였고, 본 연구의 결론은 다음과 같다.

첫째, 교과서에 제시된 기하영역 자료문제의 비율은 학년이 올라갈수록 높아졌다는 점이다. 자료문제는 세트문항(FD문제, DD문제, RD문제)으로 구성할 수 있으므로 그 비율이 높다는 것은 학생들에게 다양한 문제를 제시할 수 있는 가능성이 높다는 것으로 해석할 수 있다.

기하영역에서 학생들은 학년이 올라갈수록 학습의 어려움이 있다. 이는 Skemp(1989)가 제시한 상위개념과 하위개념 사이의 연결성의 부족 혹은 개념들 사이의 수직적 관련성에 대한 이해의 부족이 심화되기 때문이다. 수업 상황에서 다양한 문제의 제시는 수학적 개념 정립 및 문제해결 능력 향상에 도움을 줄 수 있으므로 자료문제를 활용한다면 학생들의 수학 학습 능력 향상에 도움이 될 것으로 판단된다.

실제로 형식1과 형식3의 문제는 개념 정립을 위한 비슷한 문제의 반복적인 제시가 이루어질 수 있다. 특히 형식1로 분류된 문제는 문제에 필요한 수학적 내용은 같지만 문제의 풀이 순서가 바뀌는 문제이다. 완전히 똑같은 풀이 방법을 적용하는 상황에서 제시된 숫자만 바꾸어 문제를 푸는 학습은 학습자에게 지루함을 느끼게 할 수 있다. 하지만 형식1의 문제는 풀이과정의 순서가 바뀌어 다른 문제 같지만 같은 수학적 내용을 학습할 수 있어 지루하지 않게 그 단계의 학습 내용을 반복학습 할 수 있는 장점이 있다.

예를 들어 Ko(2019)의 문항코드 ‘FD-형식1-3a’, ‘DD-형식1-3a’, ‘RD-형식1-3a’의 경우, FD문항의 풀이방법을 보면 2ABP=AOB,2BDC=AOB,AOC=AOB+BOC이고, DD문항은 2BDC=BOC,AOC=AOB+BOC,2ABP=AOB+BOC,2BDC=BOC, RD문항은 2ABP=AOB,AOC=AOB+BOC,2BDC=BOC의 풀이 방법으로 문제를 해결할 수 있다. 세 유형은 풀이방법의 순서만 바뀌었을 뿐, 같은 내용을 이용하여 문제를 해결한다.

둘째, 형식2와 형식4의 문제는 같은 자료 (datum)를 가진 문제지만 문제해결에 요구되는 수학적 지식에 대한 수준의 차이가 있다는 점이다. 이러한 속성으로 인해 다양한 문제를 경험하 면서 사고의 확장을 가져올 수 있는 교육의 기회를 제공할 수 있다.

예를 들어 Ko(2019)의 중학교 1학년 [자료문제 30]의 경우, FD문제는 두 직사각형의 밑면의 모양, 두 높이를 제시하고 사각뿔대의 부피를 구하는 일반적인 문제이다. 그러나 RD문제로 제시할 경우, 두 높이와 사각뿔대의 부피를 제시하고 두 직사각형의 밑면의 모양을 찾는 문제로 바꿀 수 있다. 또한 이 경우 조건을 만족하는 다양한 직사각형의 모양을 얻을 수도 있다. 따라서 이러한 RD문제의 제시는 학생들에게 정답이 하나만 있는 것이 아니라, 다양한 정답이 나올 수 있다는 열린 사고의 기회를 제공할 수 있을 것이다.

셋째, 다른 문제처럼 보이지만 문제의 자료 (datum)를 찾아보면 같은 자료(datum)로 이루어진 문제가 있다는 점이다. 예를 들면 Ko(2019)에서 3학년 [자료문제26], [자료문제27]의 경우, 두 문제는 다른 그림이 주어져 있어 학생들은 다른 문제로 받아들이기 쉽다. 그러나 자료를 찾아보면 D(원의반지름의 길이, 원의 중심에서 수선의 발까지의 길이, 현의 길이)로 같은 자료(datum)로 이루어진 문제임을 알 수 있다. 두 문제는 형식1에 해당되는 문제이며, 그 중에서도 요구되는 수학적 지식과 풀이 절차가 같은 본질적으로 동일한 문제이다. 또한 형식3의 문제들은 세 유형의 문제가 본질적으로 동일하여 조건의 숫자만 바뀐 사실상 같은 문제로 볼 수 있음에도 불구하고, 학생들의 정답률에는 불규칙한 차이가 있었다. 이는 학생들이 같은 문제를 숫자만 바꿔도 다른 문제로 느낀다는 것이다. 따라서 학생들에게 무작정 많은 문제를 제시하는 것보다 문제의 자료(datum)를 찾는 활동을 통해 개념들 사이의 유사점을 파악하는 활동이 필요함을 알 수 있다. 실제로 Menchinskaya(1969)가 제시한 학생들이 어떤 수학적 대상을 둘 이상의 개념을 통해서 동시에 바라보는 데 곤란을 겪는다는 것과 동일한 맥락이다.

넷째, 형식2, 형식4의 경우 한 문제에서 파생된 FD문제, DD문제, RD문제해결을 위해 필요한 수학적 지식의 수준은 다르지만, 문제해결에 필요한 핵심적인 아이디어는 동일할 수 있다는 점이다. 세 유형의 문제 중 쉬운 문제를 학생들에게 먼저 제시하여 문제를 해결하도록 교육적 처치가 이루어진다면, 어려운 문제를 해결할 수 있는 가능성을 높여 줄 것이다. Polya(1945)는 주어진 것과 구하려는 것 사이의 관련성을 즉각적으로 발견할 수 없을 때, 즉 문제해결에 어려움이 있을 때 그 문제와 관련된 보조문제를 제시하는 문제해결 전략을 제시하였는데Hwang et al., 2004, p. 191에서 재인용), 자료문제도 이와 동일한 맥락으로 활용할 수 있음을 확인한 것이다. 자료문제를 통해 쉽고 단순한 문제를 먼저 해결 하도록 하면, 이 문제를 해결하는 경험이 어려운 또 다른 자료문제의 해결에 대한 실마리를 얻게 될 것이다.

실제로 교과서에 제시된 문제들은 대부분 가장 익숙한 문제인 FD문제로 분류할 수 있다. 그러나 교과서에 제시된 FD문제가 항상 가장 쉬운 것은 아니라는 점이다. 이 경우 교과서에 제시된 FD문제를 해결하기 위한 선행 문제로 DD문제를 제시하면, FD의 문제해결에 대한 아이디어를 얻어 스스로 문제를 해결 할 수 있도록 도움을 줄 수 있을 것이다.

예를 들어 Ko(2019)에서 문항코드 ‘FD-형식 2-3a’의 문제를 해결하기 위해 ‘DD-형식2-3a’를 사전 문제로 먼저 제시하면 DD문제의 해결 과정을 통해 삼각형의 높이를 나타내는 보조선을 긋는 아이디어와 피타고라스 정리의 이용에 대한 아이디어를 얻어 FD문제를 스스로 해결 할 수 있도록 도와줄 수 있다. 또한 DD, RD문제가 교과서의 FD문제보다 어려울 경우 교과서의 FD 문제를 해결하고, 그 문제를 쉽게 해결하는 학생들에게 심화문제로 DD, RD문제를 제시할 수도 있을 것이다.

다섯째, 형식2와 형식4의 경우, 유형에 따라 문제해결을 위해 요구되는 수학적 지식의 수준이 서로 다르다는 점이다. 이로 인해, 이러한 형식의 문제의 경우, 자료(datum)의 배치를 바꾸어보는 활동만으로 다양한 수학적 사고의 기회를 제공할 수 있다. 익숙한 문제들만을 반복해서 푸는 활동은 정형화된 방법으로 문제를 빨리 해결 할 수 있게 도와주지만, 사고의 범주가 제한된 영역을 벗어나지 못한다. 그러나 형식2와 형식4의 자료문제는 이러한 제약에서 벗어나게 하는 좋은 교수학적 소재가 될 수 있을 것이다. 즉, 교사는 자료문제를 학생들에게 제시하여 학생들이 스스로 문제의 자료(datum)를 찾아보고 그 배치를 바꾸어 세 유형의 문제를 개발하고 그 문제를 해결하는 활동할 수 있는 기회를 제공하는 것만으로도, 학생들에게 창의적이고 능동적인 사고의 기회를 제공하게 되는 것이다.

예를 들어 Ko(2019)에서 문항코드 ‘FD-형식 2-3b’와 ‘DD-형식2-3b’는 비교적 쉽게 해결 할 수 있으나 ‘RD-형식2-3b’는 쉽게 해결되지 않는다. 이 문제를 해결하는 과정에서 ‘중심각과 최단거리는 어떤 관계를 가지는가?’ ‘만약 중심각이 평각 또는 평각보다 큰 각이라면 최단거리는 어떻게 나타낼 수 있을까?’ 등의 사고의 확장을 가져올 수 있다. 일반적으로 문제를 해결할 때는 주어진 문제만 생각하며 문제를 해결하며 그 조건이 달라지는 경우를 생각하는 경우는 드물다. 원뿔의 최단거리 문제는 전개도의 중심각이 항상 평각보다 작은 부채꼴이 주어진다. 단순히 문제를 풀 때는 문제해결이 목적이므로 왜 평각인 부채꼴이 주어지지 않는지에 대하여 생각해보지 않는다. 따라서 자료(datum)의 배치를 바꿔 문제를 만들고 그 문제를 풀어보는 활동은 문제를 이루고 있는 조건들 사이의 관계를 찾아보고 어느 한 조건이 바뀜에 따라 다른 조건은 어떻게 달라지는지 등의 사고를 확장시킬 수 있는 기회를 제공할 수 있다.

여섯째, 형식2와 형식4의 문제 중 해당 학년의 교육과정을 넘어서는 문제들을 살펴보면 교과서의 FD문제는 기하영역의 지식을 요구하는 문제이나 DD문제, RD문제는 FD문제의 기하영역 지식에 해당 학년의 교육과정을 넘어서는 대수적 지식이 필요한 문제가 대부분이었다는 점이다. 이 경우 그 문제의 해결에 필요한 내용을 학습한 학년의 학생에게 제시한다면 학생들은 이전에 배운 내용을 상기시킬 수 있고 대수영역과 기하영역의 수학 영역간의 연계 학습이 가능하다.

예를 들어 Ko(2019)에서 문항코드 ‘FD-형식 4-2b’는 닮음인 도형의 넓이의 비를 이용하여 문제를 해결하는 중학교 2학년 2학기에 다루는 문제이다. 그러나 ‘RD-형식4-2b’는 FD문항의 기하 지식에 이차방정식의 풀이의 대수적 지식이 필요하다(Ko, 2019). 따라서 이 RD문항을 중학교 3학년의 이차방정식의 수업 상황에서 다룬다면 이전에 배운 도형의 닮음의 내용을 상기시키면서 이차방정식을 풀 수 있어 단순히 이차방정식을 푸는 문제보다 참신한 문제로 제시될 수 있을 것이다.

1) 본 논문은 2019년 8월 석사학위논문을 발췌 정리하였음.

  1. Ko, S. & Jeon, S. H. (2009). A Case Study on Students' Problem Solving in process of Problem Posing for Equation at the Middle School Level. Communications of mathematical education. 23(1), 109-129. 고상숙, 전성훈(2009). 방정식의 문제 만들기 활동에서 문제구조를 중심으로 문제해결에 관한 연구. 수학교육논문집, 23(1), 109-128.
  2. Ko, E. M. (2019). A Study on the Problem solving Characteristics of the Datum Problem in Middle School Geometry. Unpublished master's thesis, Chungnam National University of Education. 고은미(2019). 중학교 기하영역 자료문제에 대한 문제해결 특성 분석 연구. 충남대학교 교육대학원 석사학위논문.
  3. The Ministry of Education (2015). Mathematics curriculum. Sejong: MEST. 교육부(2015). 수학과 교육과정. 교육부 고시 제 2015-74호, 별책8.
  4. Suh, B. E. (2010). The Analysis study of "datum" in Middle School Geometry on the Basis of "The Data" of Euclid. Communications of mathematical education. 24(3), 691-708. 서보억(2010). 유클리드 자료론(The Data)에 기초한 중학교 기하영역의 '자료(datum)'분석 연구. 수학교육논문집, 24(3), 691-708.
  5. Suh, B. E. & Kim, D. G. (2013). Euclid data, a book hidden in the secret of what is given. Seoul: Kyung Moon Sa. 서보억, 김동근(2013). 주어진 것의 비밀이 숨겨진 책 유클리드 데이터. 서울: 경문사.
  6. Yoon, D. W., Suh, B. E. & Kim, D. G. (2008). On Euclid's data. Journal for history of mathematics. 21(2), 55-70. 윤대원, 서보억, 김동근(2008). 유클리드의 자료론(Euclid's Data)에 대하여. 한국수학사학회 논문집, 21(2), 55-70.
  7. Seok, E. M. (2019). Development and Application of Mathematical Gifted Teaching and Learning Materials Based on Euclid's Book on Divisions of Figures. Unpublished master's thesis, Korea National University of Education. 석은미(2019). 유클리드 분할론에 기반한 수학 영재 교수•학습 자료 개발 및 적용. 한국교원대학교 석사학위 논문.
  8. Shin, H. K., Hwang, H. J., Lee, K. Y., Kim, H. Y., Jeo, J. M., Choi, H. J. & Yoon, K. W. (2013a). Middle School Mathematics 1. Seoul: Ji Hak Sa. 신항균ㆍ황혜정ㆍ이광연ㆍ김화영ㆍ조준모ㆍ 최화정ㆍ윤기원(2013a). 중학교 수학1. 서울: 지학사.
  9. Shin, H. K., Hwang, H. J., Lee, K. Y., Kim, H. Y., Jeo, J. M., Choi, H. J. & Yoon, K. W. (2013b). Middle School Mathematics 2. Seoul: Ji Hak Sa. 신항균ㆍ황혜정ㆍ이광연ㆍ김화영ㆍ조준모ㆍ 최화정ㆍ윤기원(2013b). 중학교 수학2. 서울: 지학사.
  10. Shin, H. K., Hwang, H. J., Lee, K. Y., Kim, H. Y., Jeo, J. M., Choi, H. J. & Yoon, K. W. (2013c). Middle School Mathematics 3. Seoul: Ji Hak Sa. 신항균ㆍ황혜정ㆍ이광연ㆍ김화영ㆍ조준모ㆍ 최화정ㆍ윤기원(2013c). 중학교 수학3. 서울: 지학사.
  11. Yum, S. S. (2009). A Study on Analytical Skills Useful for MATH. Problem Solving. Communications of mathematical education. 23(4), 1015-1022. 염상섭(2009). 수학문제해결의 기법에 관한 고찰, 수학교육논문집, 23(4), 1015-1022.
  12. Jung, W. Y. (2011). A Study on how to teach gifted students "excenter" by using Euclid's Data. Unpublished master's thesis, Jeonnam National University.
  13. Han, I. K. (2001). A Study on the Structure of Mathematics Problems. Communications of mathematical education. 11, 279-290. 한인기(2001). 수학문제의 구조 규명에 대한 연구, 수학교육논문집, 11, 279-290.
  14. Han, I. K. (2009). An Analysis of Geometrical Differentiated Teaching and Learning Materials Using Inner Structure of Mathematics Problems. Communications of mathematical education. 23(2), 175-196. 한인기(2009). 수학 문제의 내적구조를 활용한 기하 영역의 수준별 교수-학습 자료의 분 석 연구. 수학교육논문집, 23(2), 175-196.
  15. Hwang, H. J., Na, G. S., Choi, S. H., Park, K. M., Lim, J. H. & Seo, D. Y. (2004). Theory of Mathematics Education. Seoul: Moon Um Sa. 황혜정ㆍ나귀수ㆍ최승현ㆍ박경미ㆍ임재훈ㆍ 서동엽(2004). 수학교육학 신론. 서울: 문음사.
  16. Eves, H. (1990). An introduction to the history of mathematics. Saunders College Publishing.
  17. Herz-Fischler, R. (1984). "What are propositions 84 and 85 of Data all about?". Historia Math.. 11, 86-91.
    CrossRef
  18. Knorr, Wilbur Richard (1986). The Ancient Tradition of Geometric Problems. Birkhäuser, Boston.
  19. Menchinskaya, N. A. (1969). The psychology of mastering concepts: fundamental problems and methods of research. Soviet studies in the psychology learning and teaching mathematics, 93-148.
  20. Skemp, R. R. (1989). Mathematics in the primary school. London: Routledge.
  21. The National Council of Teachers of Mathematics (1989). Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics. Virginia: NCTM, Inc.
  22. The National Council of Teachers of Mathematics (2000). Learning mathematics for a new century. Virginia: NCTM, Inc.
  23. Taisbak, Chr. Marinus (1996). Zeuthen and Euclid's 'Data' 86 algebra - or A lemma about intersecting hyperbolas? Centaurus. 38, 122-139.
    CrossRef
  24. Taisbak, Chr. Marinus (2003). Euclid's Data(ΔΕΔΟΜΕΝΑ) or The Importance of Being Given. Museum Tusculanum Press.

Article

전자저널 논문

2020; 30(1): 111-129

Published online February 28, 2020 https://doi.org/10.29275/jerm.2020.02.30.1.111

Copyright © Korea Society of Education Studies in Mathematics.

A Study on the Datum Problem in Middle School Geometry

Eun Mi Ko1, Bo Euk Suh2

* Teacher, Dong Daejeon Middle School, highsilver00@naver.com
**Professor, Chungnam National University, eukeuk@cnu.ac.kr

Correspondence to:1) 본 논문은 2019년 8월 석사학위논문을 발췌 정리하였음.
corresponding author

Received: January 10, 2020; Revised: February 10, 2020; Accepted: February 10, 2020

Abstract

The purpose of this study was to systematically analyze the problems with characteristics of data in the geometric domain of middle school textbooks to improve students" problem solving ability. Additionally, this study was conducted to facilitate an understanding of the problem solving tendency of students regarding the data problem. For this purpose, we analyzed the datum problems in the middle school textbook geometric domain, developed the questionnaires based on the data, and analyzed the problem solving characteristics of students. This study established the following research questions. First, what is the datum problem in the geometry of middle school textbooks, and what is the percentage of the total? Second, what are the characteristics of solving students" problems according to the type of datum problem? Third, what characteristics do students have in solving problems according to the format of the datum problem?
Through the analysis of the results, first, when comparing the overall average of the correct response rate, the correct response rate for the FD problems was the highest and the correct response rate for the RD problems was the lowest. Second, In the classification of forms, Form 1 and Form 3 have the same mathematical content to solve the problem and the same or similar procedures to solve the problem. But there was a difference in the correct response rate. Third, the correct answer rate for the RD problems of Form 2 and Form 4 was lower than that of Form 1 and Form 3. The RD problems of Form 2 and Form 4 required mathematical content beyond the curriculum of the school year. Although the content of the geometry is a key idea of problem solving, the mathematical the content of algebra required to solve the problem was at a high level compared to the FD problems.

Keywords: Mathematics problems, Form of math problem, The data, Datum problem, Geometry problem

I. 서론

인류의 과학 기술은 급속도로 발전하고 있으며, 수학은 그 발전의 중심에서 여러 분야의 다양한 현상과 그것이 가지고 있는 복잡한 관계를 밝히는데 필수적인 수단으로 중요한 역할을 담당하고 있다. 과학 기술이 발전할수록 수학의 역할은 점점 확대되고 있으며 그러한 이유로 학교 에서의 수학 교육은 매우 중요한 의미를 지닌다. 전미수학교사협의회(National council of teachers of mathematics, NCTM)는 수학교육의 목표로 ‘학생들이 수학의 가치를 이해하고, 수학을 행하는 자신의 능력에 확신을 가지며, 수학 문제의 문제 해결자가 되고, 수학적으로 의사소통하는 것을 배우고, 수학적으로 추론 하는 것을 배워야 한다.’고 밝히고 있다(NCTM, 1989; 2000). 그 중에서 특히 문제해결을 강조하고 있는데 ‘문제해결은 학교수학의 초점이 되어야 하며 문제해결과정에서 학생들은 성공 경험을 통해 수학에 대한 자신감을 가질 것이며 수학적으로 의사소통하고 더 높은 단계의 사고과정을 사용하는 능력이 향상될 것이다. 그러므로 문제해결이 모든 수학 수업의 중요한 목적이 되어야 한다.’고 주장하고 있다(NCTM, 1989).

우리나라에서도 제4차 수학과 교육과정에서부터 문제해결력에 관심을 갖기 시작하였으며 제6차, 제7차 수학과 교육과정에서는 문제해결력 향상을 위한 교육이 본격적으로 이루어졌다. 또한 2007 개정 수학과 교육과정, 2009 개정 수학과 교육과정에서도 문제해결에 관한 내용이 명시되어 있으며, 현재 적용되어 실행중인 2015 개정 수학과 교육과정에서도 문제해결력의 신장을 매우 강조하고 있다. 2015 개정 수학과 교육과정은 6가지 교과역량의 구현을 주요 특징으로 하고 있는데, 그 중 첫 번째로 제시된 것이 문제해결 능력이다.

2015 개정 수학과 교육과정에서 정의하는 문제해결 능력이란 ‘해결 방법을 알고 있지 않은 문제 상황에서 수학의 지식과 기능을 활용하여 해결 전략을 탐색하고 최적의 해결 방안을 선택하여 주어진 문제를 해결하는 능력’을 의미한다 (The Ministry of Education, 2015). 문제해결의 하위요소에는 문제 이해 및 전략탐색, 계획 실행 및 반성, 협력적 문제해결, 수학적 모델링, 문제 만들기가 있다(The Ministry of Education, 2015). 그 중 문제해결에 가장 기본 요소는 문제 이해이며 수학 문제 구조의 분석은 문제 이해에 꼭 필요한 과정이다(Ko & Jeon, 2009; Seok, 2019; Yum, 2009). Han(2001; 2009)은 수학 문제는 외적인 특성과 내적인 특성을 가지고 있으며 이를 통해 수학 문제를 외적구조와 내적구조의 개념으로 나눌 수 있음을 설명하고 있다. 그 중 수학 문제의 외적구조를 나타낼 수 있는 외적인 특성을 ‘문제에서 주어진 것’, ‘풀이에 대해 근거가 되는 개념’, ‘풀이에 포함된 결론을 유도하는 절차’, ‘결과/결론’ 등으로 보았다.

문제의 구조에 대한 연구는 최근에 나타난 경향이 아니라는 것을 고대 문헌을 통해서도 확인 할 수 있다. 고대 그리스 수학자인 Euclid의 저작 중의 하나인 자료론(The Data)이 그 대표적인 결과물이다. 이 책에는 정의 15개와 명제 94개를 제시하고 있는데 그 중 94개의 명제들은 자료 (datum)라는 특별한 구조적인 특징을 보이고 있는 명제(문제)들만을 제시하고 있다(Yoon, Suh, & Kim, 2008). 자료론에서 제시하고 있는 명제들의 구조적인 특징인 자료(datum)는 문제의 외 적구조 측면에서 매우 특별한 의미를 지니고 있다(Suh, 2010). 자료론에 제시된 명제는 형식적인 측면에서 일관성을 가지는 명제들만 모아 놓았다는 점에서 문제의 외적인 형식을 분석하는데 매우 유용하다. 따라서 문제해결력의 향상을 매우 중요한 수학교육의 목적으로 하는 현재 이 시점에서 Euclid의 저작인 자료론에 기반을 둔 연구는 매우 의미 있는 연구라 할 수 있다. 게다가 자료(datum)의 개념을 기반으로 한 문제의 외적인 특성들의 분석은 다양한 문제들에 대한 이해에 도움을 주며, 이는 해결 방법이 보이지 않는 문제의 문제해결에 대한 아이디어를 제시한다(Suh, 2010). 또한 중학교 기하영역의 교과서 문제를 살펴보면 자료(datum)의 구조를 가진 문제들이 다수 제시되어 있다.

따라서 자료(datum)의 구조를 가진 문제에 대한 외적 특성의 분석을 통해 수학 교과서에 제시된 문제들이 가지는 특성을 살펴보는 것은 수학교육에서 학생들의 문제해결력 향상을 위해 필수적인 연구라고 볼 수 있다. 또한 자료 (datum)의 구조를 가진 문제를 해결하는 과정에 나타난 결과를 분석하여 자료문제(자료의 속성을 가지는 문제)들이 가지는 특성을 연구하는 것은 중학교 기하영역에서 문제해결력 향상 및 교수․학습 자료의 개발 방법 제시 등에 가치가 있으므로 이에 대한 연구의 필요성을 제기할 수 있다.

이에 본 연구는 자료(datum)의 구조적인 특징을 바탕으로 중학교 기하영역 문제의 외적인 특성(문제에서 주어진 것, 문제 해결에 필요한 개념, 풀이 절차, 결과/결론)을 분석하고, 이를 유형과 형식(Suh, 2010)에 따라 분류하여 유형별, 형식별 학생들의 문제해결에 나타나는 특성의 파악을 연구의 목적으로 한다. 이러한 본 연구의 목적을 달성하기 위해 연구문제를 세 가지로 구체화하였다. 첫째, 중학교 기하영역에서 자료문 제가 차지하는 비중이 얼마나 되는지를 분석한다. 둘째, 중학교 수학교과서 기하영역에 제시된 자료문제의 유형에 따른 문제해결 결과에 나타난 특성이 무엇인지 분석한다. 셋째, 중학교 수학교과서 기하영역에 제시된 자료문제의 형식에 따른 문제해결 결과에 나타난 특성이 무엇인지 분석한다.

중학교 기하영역에서 다루는 문제에는 자료문제가 차지하는 비중은 다소 높다(Suh, 2010). 따라서 자료문제의 해결결과에 나타난 특징을 파 악하는 것은 기하영역의 문제해결 및 교수․학습 방법 개선에 도움이 될 것으로 기대된다. 또한 수학교과서에 제시된 문제가 정형자료(FD) 문제라고 하면, 이로부터 파생되는 순행자료(DD) 문제, 역행자료(RD) 문제를 해결하기 위해서는 원래의 문제와는 다른 수준 혹은 차원의 수학 배경 지식을 필요로 하는 경우가 많고, 학생들에게 문제해결과정에서 좀 더 다양한 열린 사고의 기회를 제공할 수 있기 때문에, 한 문제에서 파생되는 세트문항(FD, DD, RD문제)을 함께 풀어 보는 활동은 수학적 사고 능력 향상과 문제해결력 향상을 가져올 수 있을 것으로 기대된다.

II. 이론적 배경

1. Euclid의 자료론

Euclid는 <원론>이라는 책으로 널리 알려져 있다. 대다수 사람들은 수학자 Euclid라고 하면<원론>을 떠올린다. 교과서 뿐 아니라, 청소년을 위한 교양수학 서적 등에서 언급되는 Euclid에 대한 이야기는 대부분 <원론>에 집중하고 있다. 그러나 Euclid의 저서는 <원론>만 있는 것은 아니다. 그 외에 다른 많은 저서들이 있지만 그것에 대한 정보는 거의 소개되지 않고 있다. 그것은 <원론>에 비해 연구가 활발히 이루어지지 않아 널리 알려져 있지 않았을 뿐, 수학적 의미가 없는 것은 아니다. 이처럼 수학적으로 의미 있는 저서이지만 널리 알려지지 않은 Euclid의 저작중의 하나가 <자료론(The data)>이다. <자료론>은 Pappus의 ‘분석의 보고(The treasury of analysis)’라는 고대 그리스의 위대한 수학책의 목록 33권 중 첫 번째로 제시된 책이다(Yoon, Suh, & Kim, 2008). 또한 Knorr(1986)는 Euclid와 그 당대의 수학자들에 의해 만들어진 기하학 연구에 적절한 계량적 척도는 <원론>이 아닌 <자료론>에서 찾을 수 있다고 하였고, Taisbak(2003)은 자신의 번역서에 <자료론>은 분석을 위한 충분한 가치가 있을 만큼 중대한 수학적 의미를 가지고 있다고 진술하고 있다(Suh & Kim, 2013, p2에서 재인용).

Suh & Kim(2013)의 <자료론>의 구성을 살펴보면 정의 15개, 명제 94개를 제시하고 있음을 알 수 있다. 정의 1∼4는 기초 도형에 대한 정의, 정의 5∼8은 원과 관련된 정의, 정의 9∼12는 주어진 것만큼 더 큰 크기와 관련된 정의, 정의 13∼15는 직선과 방향 등에 관련된 정의를 다루고 있다. 또한 명제 1∼24는 크기와 비에 대한 명제, 명제 25∼38은 거리, 방향, 평행 등 위 치에 대한 명제, 명제 39∼55는 삼각형과 다각형에 대한 명제, 명제 56은 등각평행사변형에 대한 명제, 명제 57∼62는 넓이의 활용에 대한 명제, 명제 63∼67은 비와 각에 대한 명제, 명제 68∼ 75는 등각 평행사변형에 대한 명제, 명제 76∼83은 중복 및 독립적 명제, 명제 84∼85는 넓이의 활용에 대한 명제, 명제 86은 쌍곡선의 절단에 대한 명제, 명제 87∼94는 원에 대한 명제를 제시하고 있다.

<자료론>에 대한 선행연구를 살펴보면 Taisbak (2003)은 아랍어로 된 <자료론>을 그리스어로 번역한 Menge의 번역본을 영어로 번역하고 이를 여러 보조정리들과 자신의 논문을 함께 제시하여 <자료론>의 이해를 도울 수 있도록 출판하였다. Suh & Kim(2013)은 국내에서 <자료론>의 다양한 연구를 할 수 있도록 Taisbak의 책을 한국어로 번역하였다. 번역 외의 국외연구로는 Herz-Fischler가 <자료론>의 명제 84와 명제 85의 의미에 대해 분석, Taisbak의 <자료론> 명제 86에 대한 수학적 가치에 대한 분석 등의 연구가 있다(Yoon, Suh, & Kim, 2008). 국내연구로는 Yoon, Suh, & Kim(2008)이 <자료론>의 내용구성, 형식적 체계, <자료론>이 가지는 수학적 의미를 분석하였으며, Suh(2010)는 <자료론>에 기초한 중학교 기하영역의 자료를 분석하여 <자료론>을 수학교육과 처음으로 접목시킨 연구를 수행하였다. Jung(2011)은 <자료론>을 이용하여 방심의 영재학생 지도방안에 대하여 연구하였다.

2. 자료(datum)와 자료문제

<자료론>에 제시된 94개의 명제는 모두 동일한 형식으로 기술되어 있다(Suh, 2010). 기술 방법의 특징을 살펴보면 ‘명제의 가정에서 수학적 대상 A, B가 주어져 있으면 결론의 수학적 대상 C는 반드시 구할 수 있다.’의 가정과 결론으로 이루어진 일반적인 명제의 기술 방법과 동일하다. 그런데, 이러한 명제에 특징적인 것은 가정에 항상 2개 또는 3개의 조건이 배치되어 있고 결론에는 항상 1개의 조건이 배치되어 있다는 것이다. 게다가 가정의 조건 2개(또는 3개), 결론의 조건 1개의 각각 대상 A, 대상 B, 대상 C(또는 대상 A, 대상 B, 대상 C, 대상 D)라 할 때 A, B, C 중 임의의 2개의 대상이 ‘가정’으로 주어지면(또는 A, B, C, D 중 임의의 3개의 대상이 주어지면), 나머지 하나의 대상은 반드시 구할 수 있다는 것이다. 이와 같은 속성을 가지는 수학적 대상 A, B, C(혹은 A, B, C, D)의 집합을 자료 (datum)라고 부른다.

<자료론>에서 제시하고 있는 명제를 예를 들어 살펴보자. 다음은 <자료론>에 제시되어져 있는 명제 57번으로, 평행사변형에 대한 명제를 소개하고 있다.

[명제57] 넓이가 주어져 있고, 한 변의 길이와 한각의 크기가 주어진 평행사변형이 있다면, 다른 한변의 길이는 주어진 것이다.

위 명제에서 평행사변형의 넓이, 한 변의 길이, 한 각의 크기가 명제의 가정 부분에 제시되어져 있고, 평행사변형의 또 다른 한 변의 길이가 결론에 제시되어져 있다. 여기서 평행사변형의 넓이를 대상 A, 한 변의 길이를 대상 B, 한 각의 크기를 대상 C, 평행사변형의 다른 한 변의 길이를 대상 D라 하자. 그러면, 위 명제는 수학적 대상 A, B, C가 주어지게 된다면, 대상 D를 반드시 구할 수 있음을 제시한다. 그런데 이 명제의 가정과 결론에 제시된 네 개의 수학적 대상 A, B, C, D는 특별한 속성을 지니고 있다. A, B, C, D 네 개의 대상에서 임의의 세 대상이 주어져 있으면, 반드시 나머지 하나의 대상을 구 할 수 있다는 점이다. 예를 들어 한 변의 길이 (대상 B)와 다른 한 변의 길이(대상 D), 한 각의 크기(대상 C)가 주어지면, 그 평행사변형의 넓이 (대상 A)를 구할 수 있다.

자료(dautm)의 속성을 지니는 수학적인 세 대상 혹은 네 대상의 집합을 D(A, B, C) 혹은 D(A, B, C, D)라고 표현하고, 이들의 대상을 자료(datum)라 하며, 이러한 자료(datum)의 구조적 속성을 가진 수학문제를 자료문제라 한다. 본 연구에서는 D(A, B, C)를 주로 다룬다.

3. 자료문제의 유형

주어진 자료문제가 수학적 세 대상 A, B, C로 이루어져 있을 때 그 배치를 바꾸어 A, B를 이용하여 C 구하기, A, C를 이용하여 B 구하기, B, C를 이용하여 A 구하기로 분류할 수 있다. Suh(2010)는 이렇게 분류된 세 가지를 정형자료 (FD, formal datum), 순행자료(DD, direct datum), 역행자료(RD, reverse datum)로 명명하고 이를 자료(datum)의 유형이라 하였다(Figure 1 참조).

Figure 1. Classification of datum

정형자료(FD), 순행자료(DD), 역행자료(RD)의 분류 기준은 친숙성이다(Suh, 2010). 문제가 일반 적으로 많이 다루어지는 익숙하고 보편적인 문제일 때 FD문제, FD문제에 비해 일반적이지는 않지만 종종 다루어질 수 있는 문제일 때 DD문제, 일반적으로 다루지 않아 생소한 문제일 때 RD문제로 분류한다.

본 연구에서는 주어진 수학적 대상이 3개일 때를 중심으로 이루어지고 있다. 주어진 수학적 대상을 A, B, C라 할 때, 즉, 주어진 문제가 D(A, B ,C)의 구조로 자료(datum)을 이루고 있을 때, 세 가지 유형을 FD(AB, C), DD(AC, B), RD(CB, A)이라고 표현한다. 아래 제시된 (문제1)을 바탕으로 이러한 분류의 구체적 예시를 제시 하면 다음과 같다.

(문제1)은 ΔABC의 한 변의 길이 a, 다른 한 변의 길이 b와 끼인 각의 크기 θ가 주어지면 ΔABC의 넓이 S를 구할 수 있으며 S=12absinθ이다. 즉 D(ab, θ, S)는 (문제1)의 자료(datum)가 된다. 이때, 가장 익숙한 문제 유형은 위 문제와 같이 ab, θ가 주어졌을 때 S를 구하는 것인데 이것을 FD(abθ,S) 로 나타낸다. 그 다음은 끼인 각의 크기, 넓이가 주어졌을 때, 두 변의 길이를 구하는 것인데 이것을 DD(θS,ab)로 나타낸다. 마지막으로 가장 익숙하지 않은 유형은 두 변의 길이와 넓이가 주어졌을 때, 끼인 각의 크기를 구하는 것인데 RD(abS,θ)로 나타낸다.

4. 자료문제의 형식

자료(daum)의 세 유형 FD(AB, C), DD(AC, B), RD(CB, A)을 바탕으로 해서, 자료문제에 대한 형식을 논의한 연구에서 Suh(2010)는 FD, DD, RD문제간의 상호관계에 따라 네 형식(type)으로 구분하였다. 형식1은 Figure 2와 같이 도식화하고 있는데, 이를 구체적으로 설명하면 DD문제와 RD문제는 본질적으로 동일한 문제이고 FD문제와 수평적인 관계를 가지는 경우이다. 여기서 대상 A와 대상 B가 대칭적인 구조를 지니고 있기 때문에서 이들 사이의 구분이 의미가 없다는 것 이다. 즉, (AC,B)와 (BC,A)는 본질적으로 동일한 문제라고 볼 수 있고, 풀이 과정이 동일한 절차를 가지고 있기 때문에 수평적인 관계를 가진다.

Figure 2. Type 1

형식2는 Figure 3과 같이 도식화하고 있는데 이를 구체적으로 설명하면, DD문제와 RD문제는 본질적으로 동일한 문제이고 FD문제와 수직적인 관계를 가지는 경우이다. 문제의 풀이 과정에서한 단계 높은 수학적 사고과정을 필요로 하므로, 수직적인 관계를 가진다.

Figure 3. Type 2

형식3은 Figure 4와 같이 도식화하고 있는데 이는 FD문제, DD문제, RD문제가 대상 A, 대상 B, 대상 C의 순서적 구분이 의미가 없어 모두 본질적으로 동일하며 풀이 과정도 동질적인 성격을 지닌다.

Figure 4. Type 3

형식4는 Figure 5와 같이 도식화하고 있는데이는 FD문제, DD문제, RD문제 세 유형 모두 수직적인 관계에 있다. 각각의 세 유형의 문제를 해결하는 과정에 독특한 특성이 있고, 그 사이의 난이도에도 상당한 차이가 있다.

Figure 5. Type 4

III. 연구방법 및 절차

본 연구에서는 중학교 수학교과서 기하영역에서 다루는 문제를 자료(datum)라는 관점에서 그 구조적인 특징을 바탕으로 분석하고, 유형과 형식에 따라 문항을 개발하여 그 특징에 따른 학생들의 문제해결 결과에 나타난 특성을 파악하는 연구이다. 본 연구의 방법 및 절차는 다음과 같다.

1. 연구 방법

가. 문헌분석

자료(datum)에 해당하는 내용은 중학교 전체에서 나타나지만 기하영역에서 가장 많이 존재한다(Suh, 2010). 이를 근거로 본 연구는 기하영역의 자료문제 분석을 목표로 설정하였고, 본 연구자가 근무하는 학교에서 사용하는 교과서인 2009 개정 교육과정의 지학사(Shin et al., 2013)의 교과서를 분석하였다. 1, 2, 3학년 교과서에서 제시하는 기하단원의 문제, 즉 교과서 본문의 예제 및 문제, 중단원 연습문제, 대단원 연습문제 등 준비학습을 제외한 모든 문제를 분석 대상으로 설정하였다. 본 연구에서 2009 개정 교육과정의 교과서를 분석한 이유는 중학교 1학년, 2학년, 3학년 전체를 일관성 있게 분석하고 고찰하기 위해서이다. 본 연구에서는 수학교과서에 제시된 문제를 살펴보고 그 중에서 어떤 문제가 자료문제인지, 자료문제가 차지하고 있는 비중은 얼마나 되는지 고찰하였다. 또한 중학교 수학교과서 기하영역에 제시된 자료문제의 속성의 문제를 유형별(FD, DD, RD), 형식별(형식1, 형식2, 형식3, 형식4)로 분류하여 분석하였다. 선행연구 분석에 기초하여 유형과 형식에 따라 중학교 수학교과서의 기하영역에 제시된 문제를 분석한틀의 예시는 다음과 같다.

먼저 자료문제가 되는 문항을 추출하여 순서 대로 번호를 붙였고, 교과서에 한 자료(datum)에서 파생된 FD문제와 DD문제가 함께 제시된 경우 문항 번호 앞에 #을 붙여 세트문항임을 알 수 있도록 표시를 하였다. 문항번호 다음에는 구체적으로 문항의 내용을 제시하였다. 문항이 제시된 다음에는 그 문항이 자료문제가 되는 구체 적인 수학적 대상을 추출하여 D(A, B, C) 형식으로 표현하였다. 마지막으로는 해당 문제의 유형과 형식을 분류하여 제시하였다.

나. 검사지 개발

분류된 자료문제 중 유형과 형식의 특징이 명확한 문제를 선정하였다. 이 문제를 바탕으로 하여 유형별, 형식별로 세트문항을 개발하였다. 세트문항이란 교과서에 주어진 자료문제를 바탕으로 하여 그 문제에 제시되어져 있는 수학적 대상을 추출하고, 추출된 수학적 대상의 배치를 바꾸어 다른 유형의 자료문제를 만들 수 있게 되는데, 추출된 문제와 이 문제로부터 파생된 문제를 하나의 세트로 묶은 것을 말한다. 예를 들면, 다음은 중학교 1학년 수학교과서 입체도형 단원에서 제시하고 있는 문제이다. 이 문제에서 큰 원기둥과 작은 원기둥의 반지름의 길이를 각각 ‘r1, r2’라 하고, 원기둥의 높이를 ‘h’, 부피를 ‘V ’라 하면 자료(datum)는 (r1r2, h, V )이고, 주어진 문제는 ‘r1r2, h가 주어지면 V를 구할 수 있다.’로 표현할 수 있다(Table 1 문제3-1 참조). 여기서 자료(datum)의 배치를 바꾸면 다음과 같은 두 문제를 추가적으로 제시할 수 있다 (Table 1 문제3-2, 문제3-3 참조). Table 1의 (문제 3-2)는 ‘r1r2, V가 주어지면 h를 구할 수 있다.’로 표현 할 수 있고, (문제3-3)은 ‘V와 h가 주어지면 r1r2를 구할 수 있다.’로 표현할 수 있다.

Table 1 . Example of questionnaire item.

문제3-1) 다음은 반지름의 길이가 4cm인 원기둥에서 반지름의 길이가 2cm인 원기둥을 뺀 입체도형이다. 이 입체도형의 부피를 구하시오.
(문제3-2) 다음은 반지름의 길이가 4cm인 원기둥에서 반지름의 길이가 2cm인 원기둥을 뺀 입체도형이다. 이 입체도형의 부피가 96πcm3일 때, 이 입체도형의 높이 h를 구하시오.
(문제3-3) 다음은 반지름의 길이가 xcm인 원기둥에서 반지름의 길이가 ycm인 원기둥을 뺀 입체도형이다. 이 입체도형의 높이는 8cm이고 부피가 96πcm3 일 때, x, y의 값을 구하시오.(단, x, y는 자연수)


이와 같은 방법으로 학년별 8개의 문제를 선정하였고 그 문제를 이용하여 8세트(총 24문항)의 문항을 개발하였다. 이 24개의 문항을 검사지 간의 난이도가 비슷하도록 유형과 형식을 최대한 골고루 배치하여 학년별 3개의 검사지로 나누었다. 검사지는 수학교육학 전문가 1명, 수학 전문가 2명의 자문으로 확정되었다.

앞에서도 언급하였지만, 자료문제는 문제에 수학적 대상이 3개인 경우와 4개인 경우로 구분할 수 있다. 수학적 대상이 3개인 경우는 수학적 대상의 배치를 변경하여 (AB,C), (AC,B), (BC,A)로 구분할 수 있고 이를 친숙함에 기준을 두고 정형자료(FD), 순행자료(DD), 역행자료(RD)로 분류 할 수 있다. 그런데, 수학적 대상이 4개인 경우는 (ABC,D), (ABD,C), (ACD,B), (BCD,A)의 4가지로 구분할 수 있지만, Suh(2010)에 따르면 수학교과서에 제시된 대부분의 자료문제는 수학적 대상이 3개인 경우이므로, 본 연구에서는 FD,DD, RD의 세 가지 유형으로 분류하여 연구를 진행하였다.

다. 연구대상자 및 검사 실시

1) 연구 대상자

중학교 1학년, 2학년, 3학년 모두에서 상당한 분량이 기하영역이고, 모든 학년에서 다양한 자료문제를 포함하고 있다. 따라서 해당 학년의 기하영역의 학습을 모두 학습한 중학교 2학년, 3학년, 고등학교 1학년을 연구 대상자로 선정하였다. 본 연구는 대전광역시 소재 A중학교 2, 3학년 학년별 3개 반 학생, B고등학교 1학년 3개 반 학생을 대상으로 하였다(Table 2 참조).

Table 2 . Study subjects and test types.

검사 학년학생수(명)검사지
중학교 2학년A24중1과정 평가문제(1)
B24중1과정 평가문제(2)
C24중1과정 평가문제(3)
중학교 3학년A28중2과정 평가문제(1)
B28중2과정 평가문제(2)
C28중2과정 평가문제(3)
고등학교 1학년A25중3과정 평가문제(1)
B25중3과정 평가문제(2)
C27중3과정 평가문제(3)


2) 검사 방법 및 분석 방법

검사지는 서답형 각 8문항으로 이루어져 있으며 평가문제(1), 평가문제(2), 평가문제(3)으로 구분하였다. 평가문제(1)은 A반, 평가문제(2)는 B반, 평가문제(3)은 C반에게 제시하였으며(Table 2 참조), 정규 수학 수업 시간 1차시를 이용하여 검사를 실시하였다. 학생들이 자료문제를 해결한 결과를 분석하는 것이 연구의 목적이므로 평가의 시간은 정규수업 1차시 전체를 할애하여 문제해결에 충분한 시간을 제공하였다.

검사 실시후, 채점을 통해 정답률을 분석하였다. 서답형 평가로 진행하였지만, 풀이 결과의 옳고 그름이 중요하다고 판단하였기 때문에 채점의 부분점수는 부여하지 않았다. 채점의 결과는 문항의 유형별, 형식별로 분류하여 분석하였다.

2. 연구 절차

본 연구는 다음과 같은 절차로 진행되었다. 첫 째, 자료(datum)에서 나타나는 구조적인 특징을 바탕으로 중학교 1, 2, 3학년 기하영역의 교과서를 분석한다. 둘째, 분류된 자료문제 중 유형과 형식의 특징이 명확한 문제를 선정하였고, 이를 바탕으로 세트문항을 개발한다. 셋째, 개발된 문제를 각 유형과 형식에 따라 골고루 배치하여 각 학년별 3개의 검사지를 제작한다. 넷째, 중학교 2, 3학년 고등학교 1학년을 대상으로 검사를 실시한다. 다섯째, 실시된 검사결과를 분석하고, 이를 이용하여 유형별, 형식별 자료문제 해결의 특성을 고찰한다.

3. 검사지 구성 및 자료 수집

가. 검사지 구성

검사지 개발에 고려된 사항은 다음과 같다. 첫째, 각 학년별 세 검사지의 같은 문항번호의 문항들은 세트문항이다. 따라서 같은 문항번호는 같은 형식이지만 다른 유형의 문항으로 구성된다. 예를 들어 평가문제(1)의 1번이 형식1의 FD 문제이면, 평가문제(2)의 1번은 같은 자료(datum)로 만든 형식1의 DD문제, 평가문제(3)의 1번은 같은 자료(datum)로 만든 형식1의 RD문제이다. 둘째, 분석의 효율성을 위하여 문항코드를 ‘유형 -형식-학년/문항순서’로 정하였다. 예를 들면 문항코드 ‘FD-형식1-3a’는 유형은 FD, 형식은 형식 1, 학년은 3학년이며, 형식1의 FD문제 중 첫 번째 문제임을 의미한다. 셋째, 각 검사지는 형식과 유형을 최대한 골고루 배치하여 각 검사지간의 난이도를 동일하게 하였다. 각 학년에 배치된 형식별 문항수는 Table 3과 같고, 각 검사지에 배치된 유형별 문항수는 Table 4와 같다.

Table 3 . Number of questions by test types.

구분1형식2형식3형식4형식
중1과정3212
중2과정3212
중3과정2312

Table 4 . Number of questions by test forms.

구분FDDDRD
중1과정평가문제(1)422
평가문제(2)044
평가문제(3)422
중2과정평가문제(1)332
평가문제(2)431
평가문제(3)125
중3과정평가문제(1)332
평가문제(2)332
평가문제(3)224


나. 자료 수집 및 처리

검사는 학년별 3개 반을 대상으로 실시하였는데, 문제를 거의 풀지 않고 제출된 검사지 및 무의미하게 작성된 검사지를 제외한 각 반 20명의 검사지만을 분석 대상으로 하였다. 각 학년별 각 반별 20개의 검사지에 대한 정답률을 유형별, 형식별로 분석하였다. 각 문항의 정답률을 확인해본 결과 난이도 차에 따른 정답률이 이해가 되지 않는 변별도가 지나치게 낮게 나온 3세트문항(총9문항)은 분석에서 제외하였다. 첫 번째 제외 세트문항은 ‘FD-형식1-2a’, ‘DD-형식1-2a’, ‘RD-형식1-2’이다. 두 번째 제외 세트문항은 ‘FD-형식2-2a’, ‘DD-형식2-2a’, ‘RD-형식2-2a’이다. 세 번째 제외 세트문항은 ‘FD-형식4-3a’, ‘DD-형식4-3a’, ‘RD-형식4-3a’이다.

IV. 연구 결과 및 논의

1. 중학교 교과서의 자료문제 분석

선행연구 분석에 기초하여 유형과 형식에 따라 중학교 수학교과서(2009 개정 교육과정의 지학사, Shin et al., 2013)의 기하영역에 제시된 문제를 분석하였다.

중학교 1학년 기하영역은 기본도형과 작도, 평면도형, 입체도형의 세 단원으로 이루어져 있다. 기본도형과 작도 단원의 총 문제 수는 80문제이고 자료문제는 9문제로 약 11.3%의 비율을 차지 한다. 평면도형 단원의 총 문제 수는 74문제이고 자료문제는 20문제로 약 27%의 비율을 차지한다. 입체도형 단원의 총 문제 수는 75문제이고 자료문제는 23문제로 약 30.7%의 비율을 차지한다. 여기에서의 문제 수는 본 논문에서 제시된 문제의 수보다 많은데 그 이유는 연구에 사용된 교과서에는 학생들의 개념 정립을 위하여 같은 내용의 문제를 숫자만 변형시켜 여러 문제로 제 시하고 있기 때문이다. 그런 문제는 자료문제 개수에는 포함시켰지만 동일 유형으로 분류하였기에 제시하지는 않았다.

중학교 2학년 기하영역은 도형의 성질, 도형의 닮음 두 단원으로 이루어져 있다. 도형의 성질 단원의 총 문제 수는 84문제이고 자료문제는 14 문제로 약 16.7%의 비율을 차지한다. 도형의 닮음 단원의 총 문제 수는 79문제이고 자료문제는 38문제로 약 48.1%의 비율을 차지한다. 도형의 닮음 단원의 자료문제의 비율이 다른 단원에 비해 비교적 높은 편이다.

중학교 3학년 기하영역은 피타고라스 정리, 삼각비, 원의 성질의 세 단원으로 이루어져 있다. 피타고라스 정리 단원의 총 문제 수는 68문제이고 자료문제는 33문제로 약 48.5%의 비율을 차지한다. 다른 단원에 비해 비교적 높은 비율이 나타나는데 그 이유는 피타고라스 정리를 이용한 계산의 연습을 위하여 유사한 문제를 다양하게 제시하고 있기 때문이다. 삼각비 단원의 총 문제 수는 66문제이고 자료문제는 24문제로 약 36.4%의 비율을 차지한다. 원의 성질 단원의 총 문제 수는 78문제이고 자료문제는 33문제로 약 42.3%의 비율을 차지한다.

결론적으로 중학교 1, 2, 3학년 교과서의 기하영역 자료문제를 분석해 본 결과는 다음과 같다.

첫째, FD문제, DD문제, RD문제의 분류 기준은 친숙성, 즉 익숙한 정도이고 일반적으로 교과서의 문제는 해당 학습 내용의 기본을 다루고 있으므로 대부분이 FD문제로 이루어져 있었다. DD문제는 매우 적었고 대부분이 FD문제와 함께제시되었으며, 형식1 또는 형식3으로 FD문제, DD문제, RD문제가 본질적으로 동일하거나 수평적 관계에 있어 난이도 차가 거의 없는 문제로, 개념 정립을 도와주는 문제로 제시되었다. RD문제는 중학교 3학년 과정에 한 문제 제시하고 있지만 이 문제 역시 형식1로 난이도 차가 없는 문제를 제시하고 있다. 둘째, 자료문제의 비율은 1학년 22.7%, 2학년 31.9%, 3학년 42.5%로 학년이 올라갈수록 그 비중이 좀 더 높게 나타났다. 셋째, 1학년에 입체도형 단원 30.7%, 2학년의 도형의 닮음 단원 48.1%, 3학년의 피타고라스의 정리 단원 48.5%는 학년의 다른 단원에 비해 자료 문제의 비율이 높게 나타났다. 단원별 전체 문항 수에 대한 자료문제의 비율은 Table 5와 같다.

Table 5 . Percentage of datum problems by unit.

학년대단원중단원전체 문항수Datum 문항수Datum 문항비율
1 학년Ⅴ. 기본도형과 작도1. 기본도형80911.3%
2. 작도와 합동
Ⅵ. 평면도형1. 다각형742027%
2. 부채꼴
Ⅶ. 입체도형1. 다면체와 회전체752330.7%
2. 입체도형의 겉넓이와 부피
소계2295222.7%
2 학년Ⅶ. 도형의 성질1. 삼각형의 성질841416.7%
2. 사각형의 성질
Ⅷ. 도형의 닮음1. 도형의 닮음793848.1%
2. 닮음의 활용
소계1635231.9%
3 학년Ⅴ.피타고라스의 정리1. 피타고라스 정리683348.5%
2. 피타고라스 정리의 활용
Ⅵ. 삼각비1. 삼각비662436.4%
2. 삼각비의 활용
Ⅶ. 원의 성질1. 원과 직선783342.3%
2. 원주각
소계2129042.5%
총 계60419432.1%


2. 유형별 문제해결 특성 분석

검사지 문항은 각 학년별로 FD, DD, RD의 각 8문항으로 구성되어 있으며, 2학년 1번과 4번, 3 학년 7번 문항은 분석에서 제외하였다. 유형에 따른 학생들의 문제해결 특성을 분석하면 다음과 같다.

첫째, 1, 2, 3학년 전체 정답률의 평균을 보면 FD문항의 정답률은 64.9%, DD문항의 정답률은 60.3%, RD문항의 정답률은 48.4%로 나타났다. 주어진 한 문항으로 만들어진 FD, DD, RD문항은 문제의 조건의 배치를 바꾼 것이므로 풀이과정 상에 수학적 지식이 좀 더 필요한 경우는 있지만 문제해결의 핵심적인 아이디어는 동일하다. 그럼에도 불구하고 이러한 정답률의 차를 보이는 것은 학생들이 많이 다루어 본 익숙한 문제는 비교적 쉽게 해결하지만 그렇지 않은 문제의 해결에는 어려움을 겪는다는 것을 보여준다. 유형별 문항 정답률의 전체 평균은 Table 6과 같다.

Table 6 . Correct answer rate by grade & type(%).

유형FDDDRD
문항번호
1학년78.868.154.4
2학년67.557.550.0
3학년48.655.340.7
전체평균64.960.348.4


둘째, 1, 2, 3학년 전체 FD문항 정답률의 범위는 25.8%, DD문항 정답률의 범위는 27.3%, RD 문항 정답률의 범위는 29.5%으로 FD문항의 정답률이 DD문항, RD문항의 정답률에 비해 고르다. 1, 2, 3학년 각각의 표준편차를 보면 전 학년에서 FD문항의 표준편차가 RD문항의 표준편차 보다 작게 나타남을 확인할 수 있다. 이를 통해 FD문항은 일반적으로 교과서에서 다루는 문제이고 해당 교육과정의 수준을 넘어서지 않으므로 문항에 따른 정답률의 차가 크지 않지만 RD문항은 문항에 따른 정답률의 차가 크게 나타남을 알 수 있다.

셋째, 정답을 쓰지 못한 학생들의 검사지에 나타난 풀이과정을 보면 RD문항은 전혀 풀지 않은 학생이 많았다. 따라서 분석에서 나타난 정답률의 차는 문제 해결에 필요한 수학적 개념 및 풀이 절차의 증가로 인한 차이도 있겠으나 익숙하지 않은 문제에 대한 학생들의 심리적인 거부감도 한 요인으로 생각할 수 있다.

넷째, FD문항, DD문항, RD문항은 학생들에게 익숙한 정도에 따라 분류한 것으로 난이도 순은 아니다. 그러나 정답률의 전체 평균을 보면 일반적으로 익숙한 문제인 FD문항을 가장 쉽게 느끼고 그 다음은 DD문항, RD문항을 가장 어렵게 느끼는 것으로 판단할 수 있다. 그러나 분석 결과를 세부적으로 살펴보면 FD문항의 정답률보다 DD, RD문항의 정답률이 더 높게 나타나는 경우도 있으므로 모든 문항에서 학생들이 그렇게 느낀다고 할 수는 없다. 이를 통해 FD문항보다 익숙하진 않지만 더 쉽게 느껴지는 DD, RD문항이 있을 수 있음을 알 수 있다.

3. 형식별 문제해결 특성 분석

형식에 따른 학생들의 문제해결 특성을 분석 해보면 다음과 같다.

첫째, 형식1은 세 유형의 문제해결에 필요한 수학적 지식이 같고 풀이과정의 절차에서 그 수학적 지식이 이용되는 순서만 바뀌는 문제로, 난이도가 비슷한 수준이나 정답률의 차가 있었다. 이를 통해 조건의 배치에 따라 학생들이 느끼는 난이도는 다를 수 있음을 알 수 있다. 특히 문제 해결에 필요한 수학적 지식과 절차가 복잡할 경우 정답률에서 많은 차를 보였으며 이를 통해 자료(datum)의 배치 변경이 학생들에게 전혀 다른 문제로 인식될 수 있음을 확인할 수 있다. 형식1의 1, 2, 3학년 전체 평균을 보면 FD문항과 DD문항에 비해 RD문항의 정답률이 낮게 나타났다. 이는 같은 수학적 지식이 필요한 문제라도 익숙하지 않은 문제는 어렵게 느끼는 것으로 해석할 수 있다.

둘째, 형식2의 정답률을 보면 1학년은 DD문항, RD문항의 정답률이 50%, FD문항의 정답률이 72.5%로 FD문항을 DD문항과 RD문항보다 쉽게 느낀다는 것을 알 수 있다. 그러나 2학년의 경우 DD문항, RD문항의 정답률이 80%, FD문항의 정답률이 55%로 FD문항을 DD문항과 RD문항보다 어렵게 느낀다고 볼 수 있다. 형식2는 본질적으로 동일한 DD문제, RD문제가 FD문제와 수직적인 관계인 것으로 위의 정답률을 통해 FD 문제가 수직적인 위치에서 위에 위치할 수도, 아래에 위치할 수도 있다는 것을 알 수 있다. 즉, 형식2로 분류된 문제들을 보면 FD문제가 DD문제, RD문제보다 더 쉬운 문제도 있고 FD문제가 DD문제, RD문제보다 어려운 문제도 있다는 것이다.

셋째, 형식3은 세 유형이 문제해결에 필요한 수학적 지식과 풀이과정의 절차가 모두 같은 문제로 숫자만 바뀐 같은 문제로 볼 수 있다. 그러나 검사 결과 1, 2, 3학년 모두 세 유형의 정답률에 차가 있었으며 그 차는 불규칙하게 나타났다.

넷째, 형식4는 세 유형 사이에 필요한 수학적 내용과 절차에서 확실한 위계가 있으며 정답률도 FD문항 50%, DD문항 34.2%, RD문항 20.8%로 차가 나타났다. 문제해결에 필요한 수학적 내용이 FD문제, DD문제, RD문제 순으로 많아지므로 학생들이 느끼는 난이도도 이와 비슷한 것으로 보인다.

다섯째, 형식2의 RD문항은 정답률이 48.3%, 형식4의 RD문항은 정답률이 20.8%로 형식1의 RD 문항 66.1%, 형식3의 RD문항 75%에 비해 정답률이 낮게 나타났다. 형식2와 형식4의 RD문항은 문제해결과정에 해당 교육과정을 넘어서는 내용을 필요로 하는 것이 많아 학생들이 문제해결에 어려움이 있었을 것으로 판단된다. 예를 들어 문항코드 ‘RD-형식4-2b’의 경우 중학교 2학년 문제의 다른 유형으로 이 문제를 해결하기 위해 이차 방정식의 풀이가 이용되지만 이차방정식의 풀이는 중학교 3학년 교육과정에서 다루고 있다. 학년별 각 형식의 문항 정답률은 Table 7과 같다.

Table 7 . Correct answer rate by grade & form(%).

학년형식1형식2형식3형식4
FDDDRDFDDDRDFDDDRDFDDDRD
188.388.368.372.550509010070654030
28582.56555808010065654017.512.5
375806526.735.715657590454520
평균82.883.666.151.455.248.38580755034.220.8


4. 자료문제의 형식의 확장 및 개선

자료문제에 대한 형식의 분류는 Suh(2010)의 연구에 기초하였다. 그런데, 본 연구의 결과를 바탕으로 이러한 형식의 분류에 대한 확장 및 개선이 필요하다는 결과를 도출하였다.

하나의 자료문제가 있으면 그것에서 파생되는 두 개의 문제(예를 들면 DD, RD)가 만들어 진다. 이러한 세트문항을 이루는 문제들을 보면, 어떤 경우에는 문제해결을 위해 필요한 수학적 지식, 문제 풀이의 절차가 동일하기도 하지만, 완전히 다르기도 하다. 형식 분류의 기준이 되는 것은 문제 풀이에 필요한 수학적 지식, 문제 풀 이의 절차이다(Suh, 2010). 자료(datum)를 이루고 있는 대상 A와 대상 B가 D(AC, B), D(BC, A)와 같이 그 배치를 바꾸어도 문제 풀이에 필요한 수학적 지식과 그것을 이용하여 답을 찾는 과정인 풀이 절차가 같은 경우 그 구분이 의미가 없으며, 이때 D(AC, B)와 D(BC, A)는 본질적으로 동일한 문제이다. 또한 세 유형의 풀이 과정에서 문제 풀이에 필요한 수학적 지식은 동일하나 풀 이의 절차가 바뀌는 경우 이 유형들은 수평적인 관계를 가진다. 세 유형의 풀이 과정에서 문제풀 이에 필요한 수학적 지식과 풀이의 절차가 모두 다른 경우 즉, 각 유형의 풀이 과정에 각각의 절차가 있고 그 문제를 해결하는데 요구되는 수학적 내용의 수준이 차가 있을 때 그 유형들은 수직적 관계를 가진다.

본 연구의 결과를 바탕으로 형식1을 재조직화하여 도식화하면 Figure 6과 같다. DD문제와 RD 문제가 본질적으로 동일하고, FD문제와 수평적인 관계를 가지는 것 또는 FD문제와 DD문제가 본질적으로 동일하고 RD문제와 수평적인 관계를 가지게 된다. 이러한 관계도 형식1로 분류할 수 있다.

Figure 6. Extension of form 1

형식1에 대한 구체적인 예는 검사지 문항코드 ‘FD-형식1-3b’, ‘DD-형식1-3b’, ‘RD-형식1-3b’이다. 중학교 3학년 피타고라스 정리의 활용 단원의 문제로 피타고라스 정리를 이용하여 문제를 해결할 수 있다. 이 문제에서 DD문제의 x2+122=132와 RD문제의 52+x2=132는 문제해 결에 필요한 수학적 지식과 그 절차가 동일하므로 본질적으로 동일하다고 볼 수 있고, FD문제의 풀이과정인 52+122=x2와 DD문제의 풀이과정인 x2+122=132은 문제해결에 필요한 수학적 지식은 동일하나 풀이의 절차가 다르므로 FD문제와 DD문제는 수평적인 관계를 가진다고 할 수 있다. 또한 검사지 문항코드 ‘FD-형식 1-2c’,‘DD-형식1-2c’,‘RD-형식1-2c’은 중학교 2학년 도형의 닮음 단원의 문제로 FD문제와 DD문제가 본질적으로 동일하고 RD문제가 이들 문제와 수평적인 관계를 가지는 예이다.

본 연구의 결과를 바탕으로 형식2를 재조직화하여 도식화하면 Figure 7과 같다. DD문제와 RD 문제가 본질적으로 동일하고 FD문제와 수직적인 관계를 가질 때 또는 FD문제와 DD문제가 본질적으로 동일하고 RD문제와 수직적인 관계를 가 질 때 형식2로 분류할 수 있다.

Figure 7. Extension of form 2

형식2에 대한 구체적인 예는 검사지 문항코드 ‘FD-형식2-1a’, ‘DD-형식2-1a’, ‘RD-형식2-1a’이다. 중학교 1학년 부채꼴 단원의 문제로 FD문제의 풀이 과정인 120°:30°=xcm:2cm와 DD문제의 120°:30°=8cm:xcm은 문제해결에 필요한 수학적 지식과 그 절차가 동일하여 본질적으로 동일한 문제이다. 그에 비해 RD문제는 호의 길이가 8cm인 부채꼴의 중심각의 크기를 x, 호의 길이가 2cm인 부채꼴의 중심각의 크기를 y라 할 때, 8:2=x:y이므로 x=4y이고, x+2y=180x=4y의 연립방정식의 풀이로 문제를 해결할 수 있다. RD문제는 FD문제, DD문제와 다른 절차를 가지고 있으며 문제를 해결하는데 요구되는 수학적 지식에도 분명한 차이가 존재한다. 따라서 RD문제는 FD문제, DD문제와 수직적인 관계를 가진 다고 할 수 있다. 또한 검사지 문항코드 ‘FD-형 식2-2a’, ‘DD-형식2-2a’, ‘RD-형식2-2a’는 중학교 2학년 삼각형의 성질 단원의 문제로 DD문제와 RD문제가 본질적으로 동일하며 FD문제가 이들 문제와 수직적인 관계를 가지는 예이다.

형식3과 형식4는 Suh(2010)의 분류와 동일하게 분류할 수 있는 것으로 나타났지만 두 가지 측면에서 부분적으로 개선할 부분이 있다.

첫째, FD문제, DD문제, RD문제의 문제해결에 필요한 수학적 지식과 그 풀이 절차가 모두 동일할 때 형식3으로 분류한다. 형식3의 예는 검사지 문항코드 ‘FD-형식3-3a’, ‘DD-형식3-3a’, ‘RD-형식3-3a’이다. 중학교 3학년 원과 직선 단원의 문제로 FD문제의 풀이 과정인 4+x=7+5, DD 문제의 풀이 과정인 4+8=x+5, RD문제의 풀이 과정인 4+8=7+x을 보면 문제를 이루고 있는 수학적인 대상들의 배치 변경이 풀이 식을 변형 시키지 않는다는 것을 알 수 있다. 따라서 FD문제, DD문제, RD문제의 문제해결에 필요한 수학적 지식, 문제 풀이의 절차 모두 동일하다.

둘째, FD문제, DD문제, RD문제의 문제해결에 필요한 수학적 지식의 차이가 존재하고 그 풀이 과정에도 각각의 다른 절차가 있을 때 형식4로 분류한다. 형식4의 예는 검사지 문항코드 ‘FD-형식4-2b’, ‘DD-형식4-2b’, ‘RD-형식4-2b’이다. 중학교 2학년 닮음의 활용 단원의 문제로 DD문제는 ΔAOD의 넓이를 x라 두고 방정식을 풀어야 하며 RD문제는 AD¯:BC¯x:y로 두고 미지수 2개를 이용하여 문제를 해결해야 한다. 따라서 FD문제, DD문제, RD문제는 풀이 과정에 각각의 절차가 있고 그 문제를 해결하는데 요구되는 수학적 내용에 대한 수준의 차이가 있다.

V. 결론

본 연구는 중학교 수학교과서 기하영역의 문제를 자료(datum)의 개념에 기반을 두고 문제의 외적구조를 분석한 연구로써, 자료문제에 주어진 수학적 대상이 조건이냐 구해야할 대상이냐에 따라 세 가지 ‘유형’으로 분류하였고, 문제해결에 요구되는 수학적 지식과 문제해결 절차에 따라 네 가지 ‘형식’으로 구분하였다. 또한 유형과 형식에 따른 문제해결에 나타난 특성을 분석하였고, 본 연구의 결론은 다음과 같다.

첫째, 교과서에 제시된 기하영역 자료문제의 비율은 학년이 올라갈수록 높아졌다는 점이다. 자료문제는 세트문항(FD문제, DD문제, RD문제)으로 구성할 수 있으므로 그 비율이 높다는 것은 학생들에게 다양한 문제를 제시할 수 있는 가능성이 높다는 것으로 해석할 수 있다.

기하영역에서 학생들은 학년이 올라갈수록 학습의 어려움이 있다. 이는 Skemp(1989)가 제시한 상위개념과 하위개념 사이의 연결성의 부족 혹은 개념들 사이의 수직적 관련성에 대한 이해의 부족이 심화되기 때문이다. 수업 상황에서 다양한 문제의 제시는 수학적 개념 정립 및 문제해결 능력 향상에 도움을 줄 수 있으므로 자료문제를 활용한다면 학생들의 수학 학습 능력 향상에 도움이 될 것으로 판단된다.

실제로 형식1과 형식3의 문제는 개념 정립을 위한 비슷한 문제의 반복적인 제시가 이루어질 수 있다. 특히 형식1로 분류된 문제는 문제에 필요한 수학적 내용은 같지만 문제의 풀이 순서가 바뀌는 문제이다. 완전히 똑같은 풀이 방법을 적용하는 상황에서 제시된 숫자만 바꾸어 문제를 푸는 학습은 학습자에게 지루함을 느끼게 할 수 있다. 하지만 형식1의 문제는 풀이과정의 순서가 바뀌어 다른 문제 같지만 같은 수학적 내용을 학습할 수 있어 지루하지 않게 그 단계의 학습 내용을 반복학습 할 수 있는 장점이 있다.

예를 들어 Ko(2019)의 문항코드 ‘FD-형식1-3a’, ‘DD-형식1-3a’, ‘RD-형식1-3a’의 경우, FD문항의 풀이방법을 보면 2ABP=AOB,2BDC=AOB,AOC=AOB+BOC이고, DD문항은 2BDC=BOC,AOC=AOB+BOC,2ABP=AOB+BOC,2BDC=BOC, RD문항은 2ABP=AOB,AOC=AOB+BOC,2BDC=BOC의 풀이 방법으로 문제를 해결할 수 있다. 세 유형은 풀이방법의 순서만 바뀌었을 뿐, 같은 내용을 이용하여 문제를 해결한다.

둘째, 형식2와 형식4의 문제는 같은 자료 (datum)를 가진 문제지만 문제해결에 요구되는 수학적 지식에 대한 수준의 차이가 있다는 점이다. 이러한 속성으로 인해 다양한 문제를 경험하 면서 사고의 확장을 가져올 수 있는 교육의 기회를 제공할 수 있다.

예를 들어 Ko(2019)의 중학교 1학년 [자료문제 30]의 경우, FD문제는 두 직사각형의 밑면의 모양, 두 높이를 제시하고 사각뿔대의 부피를 구하는 일반적인 문제이다. 그러나 RD문제로 제시할 경우, 두 높이와 사각뿔대의 부피를 제시하고 두 직사각형의 밑면의 모양을 찾는 문제로 바꿀 수 있다. 또한 이 경우 조건을 만족하는 다양한 직사각형의 모양을 얻을 수도 있다. 따라서 이러한 RD문제의 제시는 학생들에게 정답이 하나만 있는 것이 아니라, 다양한 정답이 나올 수 있다는 열린 사고의 기회를 제공할 수 있을 것이다.

셋째, 다른 문제처럼 보이지만 문제의 자료 (datum)를 찾아보면 같은 자료(datum)로 이루어진 문제가 있다는 점이다. 예를 들면 Ko(2019)에서 3학년 [자료문제26], [자료문제27]의 경우, 두 문제는 다른 그림이 주어져 있어 학생들은 다른 문제로 받아들이기 쉽다. 그러나 자료를 찾아보면 D(원의반지름의 길이, 원의 중심에서 수선의 발까지의 길이, 현의 길이)로 같은 자료(datum)로 이루어진 문제임을 알 수 있다. 두 문제는 형식1에 해당되는 문제이며, 그 중에서도 요구되는 수학적 지식과 풀이 절차가 같은 본질적으로 동일한 문제이다. 또한 형식3의 문제들은 세 유형의 문제가 본질적으로 동일하여 조건의 숫자만 바뀐 사실상 같은 문제로 볼 수 있음에도 불구하고, 학생들의 정답률에는 불규칙한 차이가 있었다. 이는 학생들이 같은 문제를 숫자만 바꿔도 다른 문제로 느낀다는 것이다. 따라서 학생들에게 무작정 많은 문제를 제시하는 것보다 문제의 자료(datum)를 찾는 활동을 통해 개념들 사이의 유사점을 파악하는 활동이 필요함을 알 수 있다. 실제로 Menchinskaya(1969)가 제시한 학생들이 어떤 수학적 대상을 둘 이상의 개념을 통해서 동시에 바라보는 데 곤란을 겪는다는 것과 동일한 맥락이다.

넷째, 형식2, 형식4의 경우 한 문제에서 파생된 FD문제, DD문제, RD문제해결을 위해 필요한 수학적 지식의 수준은 다르지만, 문제해결에 필요한 핵심적인 아이디어는 동일할 수 있다는 점이다. 세 유형의 문제 중 쉬운 문제를 학생들에게 먼저 제시하여 문제를 해결하도록 교육적 처치가 이루어진다면, 어려운 문제를 해결할 수 있는 가능성을 높여 줄 것이다. Polya(1945)는 주어진 것과 구하려는 것 사이의 관련성을 즉각적으로 발견할 수 없을 때, 즉 문제해결에 어려움이 있을 때 그 문제와 관련된 보조문제를 제시하는 문제해결 전략을 제시하였는데Hwang et al., 2004, p. 191에서 재인용), 자료문제도 이와 동일한 맥락으로 활용할 수 있음을 확인한 것이다. 자료문제를 통해 쉽고 단순한 문제를 먼저 해결 하도록 하면, 이 문제를 해결하는 경험이 어려운 또 다른 자료문제의 해결에 대한 실마리를 얻게 될 것이다.

실제로 교과서에 제시된 문제들은 대부분 가장 익숙한 문제인 FD문제로 분류할 수 있다. 그러나 교과서에 제시된 FD문제가 항상 가장 쉬운 것은 아니라는 점이다. 이 경우 교과서에 제시된 FD문제를 해결하기 위한 선행 문제로 DD문제를 제시하면, FD의 문제해결에 대한 아이디어를 얻어 스스로 문제를 해결 할 수 있도록 도움을 줄 수 있을 것이다.

예를 들어 Ko(2019)에서 문항코드 ‘FD-형식 2-3a’의 문제를 해결하기 위해 ‘DD-형식2-3a’를 사전 문제로 먼저 제시하면 DD문제의 해결 과정을 통해 삼각형의 높이를 나타내는 보조선을 긋는 아이디어와 피타고라스 정리의 이용에 대한 아이디어를 얻어 FD문제를 스스로 해결 할 수 있도록 도와줄 수 있다. 또한 DD, RD문제가 교과서의 FD문제보다 어려울 경우 교과서의 FD 문제를 해결하고, 그 문제를 쉽게 해결하는 학생들에게 심화문제로 DD, RD문제를 제시할 수도 있을 것이다.

다섯째, 형식2와 형식4의 경우, 유형에 따라 문제해결을 위해 요구되는 수학적 지식의 수준이 서로 다르다는 점이다. 이로 인해, 이러한 형식의 문제의 경우, 자료(datum)의 배치를 바꾸어보는 활동만으로 다양한 수학적 사고의 기회를 제공할 수 있다. 익숙한 문제들만을 반복해서 푸는 활동은 정형화된 방법으로 문제를 빨리 해결 할 수 있게 도와주지만, 사고의 범주가 제한된 영역을 벗어나지 못한다. 그러나 형식2와 형식4의 자료문제는 이러한 제약에서 벗어나게 하는 좋은 교수학적 소재가 될 수 있을 것이다. 즉, 교사는 자료문제를 학생들에게 제시하여 학생들이 스스로 문제의 자료(datum)를 찾아보고 그 배치를 바꾸어 세 유형의 문제를 개발하고 그 문제를 해결하는 활동할 수 있는 기회를 제공하는 것만으로도, 학생들에게 창의적이고 능동적인 사고의 기회를 제공하게 되는 것이다.

예를 들어 Ko(2019)에서 문항코드 ‘FD-형식 2-3b’와 ‘DD-형식2-3b’는 비교적 쉽게 해결 할 수 있으나 ‘RD-형식2-3b’는 쉽게 해결되지 않는다. 이 문제를 해결하는 과정에서 ‘중심각과 최단거리는 어떤 관계를 가지는가?’ ‘만약 중심각이 평각 또는 평각보다 큰 각이라면 최단거리는 어떻게 나타낼 수 있을까?’ 등의 사고의 확장을 가져올 수 있다. 일반적으로 문제를 해결할 때는 주어진 문제만 생각하며 문제를 해결하며 그 조건이 달라지는 경우를 생각하는 경우는 드물다. 원뿔의 최단거리 문제는 전개도의 중심각이 항상 평각보다 작은 부채꼴이 주어진다. 단순히 문제를 풀 때는 문제해결이 목적이므로 왜 평각인 부채꼴이 주어지지 않는지에 대하여 생각해보지 않는다. 따라서 자료(datum)의 배치를 바꿔 문제를 만들고 그 문제를 풀어보는 활동은 문제를 이루고 있는 조건들 사이의 관계를 찾아보고 어느 한 조건이 바뀜에 따라 다른 조건은 어떻게 달라지는지 등의 사고를 확장시킬 수 있는 기회를 제공할 수 있다.

여섯째, 형식2와 형식4의 문제 중 해당 학년의 교육과정을 넘어서는 문제들을 살펴보면 교과서의 FD문제는 기하영역의 지식을 요구하는 문제이나 DD문제, RD문제는 FD문제의 기하영역 지식에 해당 학년의 교육과정을 넘어서는 대수적 지식이 필요한 문제가 대부분이었다는 점이다. 이 경우 그 문제의 해결에 필요한 내용을 학습한 학년의 학생에게 제시한다면 학생들은 이전에 배운 내용을 상기시킬 수 있고 대수영역과 기하영역의 수학 영역간의 연계 학습이 가능하다.

예를 들어 Ko(2019)에서 문항코드 ‘FD-형식 4-2b’는 닮음인 도형의 넓이의 비를 이용하여 문제를 해결하는 중학교 2학년 2학기에 다루는 문제이다. 그러나 ‘RD-형식4-2b’는 FD문항의 기하 지식에 이차방정식의 풀이의 대수적 지식이 필요하다(Ko, 2019). 따라서 이 RD문항을 중학교 3학년의 이차방정식의 수업 상황에서 다룬다면 이전에 배운 도형의 닮음의 내용을 상기시키면서 이차방정식을 풀 수 있어 단순히 이차방정식을 푸는 문제보다 참신한 문제로 제시될 수 있을 것이다.

Footnote

1) 본 논문은 2019년 8월 석사학위논문을 발췌 정리하였음.

Fig 1.

Figure 1. Classification of datum
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 111-129https://doi.org/10.29275/jerm.2020.02.30.1.111

Fig 2.

Figure 2. Type 1
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 111-129https://doi.org/10.29275/jerm.2020.02.30.1.111

Fig 3.

Figure 3. Type 2
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 111-129https://doi.org/10.29275/jerm.2020.02.30.1.111

Fig 4.

Figure 4. Type 3
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Fig 5.

Figure 5. Type 4
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Fig 6.

Figure 6. Extension of form 1
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Fig 7.

Figure 7. Extension of form 2
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 111-129https://doi.org/10.29275/jerm.2020.02.30.1.111

Table 1 Example of questionnaire item

문제3-1) 다음은 반지름의 길이가 4cm인 원기둥에서 반지름의 길이가 2cm인 원기둥을 뺀 입체도형이다. 이 입체도형의 부피를 구하시오.
(문제3-2) 다음은 반지름의 길이가 4cm인 원기둥에서 반지름의 길이가 2cm인 원기둥을 뺀 입체도형이다. 이 입체도형의 부피가 96πcm3일 때, 이 입체도형의 높이 h를 구하시오.
(문제3-3) 다음은 반지름의 길이가 xcm인 원기둥에서 반지름의 길이가 ycm인 원기둥을 뺀 입체도형이다. 이 입체도형의 높이는 8cm이고 부피가 96πcm3 일 때, x, y의 값을 구하시오.(단, x, y는 자연수)

Table 2 Study subjects and test types

검사 학년학생수(명)검사지
중학교 2학년A24중1과정 평가문제(1)
B24중1과정 평가문제(2)
C24중1과정 평가문제(3)
중학교 3학년A28중2과정 평가문제(1)
B28중2과정 평가문제(2)
C28중2과정 평가문제(3)
고등학교 1학년A25중3과정 평가문제(1)
B25중3과정 평가문제(2)
C27중3과정 평가문제(3)

Table 3 Number of questions by test types

구분1형식2형식3형식4형식
중1과정3212
중2과정3212
중3과정2312

Table 4 Number of questions by test forms

구분FDDDRD
중1과정평가문제(1)422
평가문제(2)044
평가문제(3)422
중2과정평가문제(1)332
평가문제(2)431
평가문제(3)125
중3과정평가문제(1)332
평가문제(2)332
평가문제(3)224

Table 5 Percentage of datum problems by unit

학년대단원중단원전체 문항수Datum 문항수Datum 문항비율
1 학년Ⅴ. 기본도형과 작도1. 기본도형80911.3%
2. 작도와 합동
Ⅵ. 평면도형1. 다각형742027%
2. 부채꼴
Ⅶ. 입체도형1. 다면체와 회전체752330.7%
2. 입체도형의 겉넓이와 부피
소계2295222.7%
2 학년Ⅶ. 도형의 성질1. 삼각형의 성질841416.7%
2. 사각형의 성질
Ⅷ. 도형의 닮음1. 도형의 닮음793848.1%
2. 닮음의 활용
소계1635231.9%
3 학년Ⅴ.피타고라스의 정리1. 피타고라스 정리683348.5%
2. 피타고라스 정리의 활용
Ⅵ. 삼각비1. 삼각비662436.4%
2. 삼각비의 활용
Ⅶ. 원의 성질1. 원과 직선783342.3%
2. 원주각
소계2129042.5%
총 계60419432.1%

Table 6 Correct answer rate by grade & type(%)

유형FDDDRD
문항번호
1학년78.868.154.4
2학년67.557.550.0
3학년48.655.340.7
전체평균64.960.348.4

Table 7 Correct answer rate by grade & form(%)

학년형식1형식2형식3형식4
FDDDRDFDDDRDFDDDRDFDDDRD
188.388.368.372.550509010070654030
28582.56555808010065654017.512.5
375806526.735.715657590454520
평균82.883.666.151.455.248.38580755034.220.8

References

  1. Ko, S. & Jeon, S. H. (2009). A Case Study on Students' Problem Solving in process of Problem Posing for Equation at the Middle School Level. Communications of mathematical education. 23(1), 109-129. 고상숙, 전성훈(2009). 방정식의 문제 만들기 활동에서 문제구조를 중심으로 문제해결에 관한 연구. 수학교육논문집, 23(1), 109-128.
  2. Ko, E. M. (2019). A Study on the Problem solving Characteristics of the Datum Problem in Middle School Geometry. Unpublished master's thesis, Chungnam National University of Education. 고은미(2019). 중학교 기하영역 자료문제에 대한 문제해결 특성 분석 연구. 충남대학교 교육대학원 석사학위논문.
  3. The Ministry of Education (2015). Mathematics curriculum. Sejong: MEST. 교육부(2015). 수학과 교육과정. 교육부 고시 제 2015-74호, 별책8.
  4. Suh, B. E. (2010). The Analysis study of "datum" in Middle School Geometry on the Basis of "The Data" of Euclid. Communications of mathematical education. 24(3), 691-708. 서보억(2010). 유클리드 자료론(The Data)에 기초한 중학교 기하영역의 '자료(datum)'분석 연구. 수학교육논문집, 24(3), 691-708.
  5. Suh, B. E. & Kim, D. G. (2013). Euclid data, a book hidden in the secret of what is given. Seoul: Kyung Moon Sa. 서보억, 김동근(2013). 주어진 것의 비밀이 숨겨진 책 유클리드 데이터. 서울: 경문사.
  6. Yoon, D. W., Suh, B. E. & Kim, D. G. (2008). On Euclid's data. Journal for history of mathematics. 21(2), 55-70. 윤대원, 서보억, 김동근(2008). 유클리드의 자료론(Euclid's Data)에 대하여. 한국수학사학회 논문집, 21(2), 55-70.
  7. Seok, E. M. (2019). Development and Application of Mathematical Gifted Teaching and Learning Materials Based on Euclid's Book on Divisions of Figures. Unpublished master's thesis, Korea National University of Education. 석은미(2019). 유클리드 분할론에 기반한 수학 영재 교수•학습 자료 개발 및 적용. 한국교원대학교 석사학위 논문.
  8. Shin, H. K., Hwang, H. J., Lee, K. Y., Kim, H. Y., Jeo, J. M., Choi, H. J. & Yoon, K. W. (2013a). Middle School Mathematics 1. Seoul: Ji Hak Sa. 신항균ㆍ황혜정ㆍ이광연ㆍ김화영ㆍ조준모ㆍ 최화정ㆍ윤기원(2013a). 중학교 수학1. 서울: 지학사.
  9. Shin, H. K., Hwang, H. J., Lee, K. Y., Kim, H. Y., Jeo, J. M., Choi, H. J. & Yoon, K. W. (2013b). Middle School Mathematics 2. Seoul: Ji Hak Sa. 신항균ㆍ황혜정ㆍ이광연ㆍ김화영ㆍ조준모ㆍ 최화정ㆍ윤기원(2013b). 중학교 수학2. 서울: 지학사.
  10. Shin, H. K., Hwang, H. J., Lee, K. Y., Kim, H. Y., Jeo, J. M., Choi, H. J. & Yoon, K. W. (2013c). Middle School Mathematics 3. Seoul: Ji Hak Sa. 신항균ㆍ황혜정ㆍ이광연ㆍ김화영ㆍ조준모ㆍ 최화정ㆍ윤기원(2013c). 중학교 수학3. 서울: 지학사.
  11. Yum, S. S. (2009). A Study on Analytical Skills Useful for MATH. Problem Solving. Communications of mathematical education. 23(4), 1015-1022. 염상섭(2009). 수학문제해결의 기법에 관한 고찰, 수학교육논문집, 23(4), 1015-1022.
  12. Jung, W. Y. (2011). A Study on how to teach gifted students "excenter" by using Euclid's Data. Unpublished master's thesis, Jeonnam National University.
  13. Han, I. K. (2001). A Study on the Structure of Mathematics Problems. Communications of mathematical education. 11, 279-290. 한인기(2001). 수학문제의 구조 규명에 대한 연구, 수학교육논문집, 11, 279-290.
  14. Han, I. K. (2009). An Analysis of Geometrical Differentiated Teaching and Learning Materials Using Inner Structure of Mathematics Problems. Communications of mathematical education. 23(2), 175-196. 한인기(2009). 수학 문제의 내적구조를 활용한 기하 영역의 수준별 교수-학습 자료의 분 석 연구. 수학교육논문집, 23(2), 175-196.
  15. Hwang, H. J., Na, G. S., Choi, S. H., Park, K. M., Lim, J. H. & Seo, D. Y. (2004). Theory of Mathematics Education. Seoul: Moon Um Sa. 황혜정ㆍ나귀수ㆍ최승현ㆍ박경미ㆍ임재훈ㆍ 서동엽(2004). 수학교육학 신론. 서울: 문음사.
  16. Eves, H. (1990). An introduction to the history of mathematics. Saunders College Publishing.
  17. Herz-Fischler, R. (1984). "What are propositions 84 and 85 of Data all about?". Historia Math.. 11, 86-91.
    CrossRef
  18. Knorr, Wilbur Richard (1986). The Ancient Tradition of Geometric Problems. Birkhäuser, Boston.
  19. Menchinskaya, N. A. (1969). The psychology of mastering concepts: fundamental problems and methods of research. Soviet studies in the psychology learning and teaching mathematics, 93-148.
  20. Skemp, R. R. (1989). Mathematics in the primary school. London: Routledge.
  21. The National Council of Teachers of Mathematics (1989). Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics. Virginia: NCTM, Inc.
  22. The National Council of Teachers of Mathematics (2000). Learning mathematics for a new century. Virginia: NCTM, Inc.
  23. Taisbak, Chr. Marinus (1996). Zeuthen and Euclid's 'Data' 86 algebra - or A lemma about intersecting hyperbolas? Centaurus. 38, 122-139.
    CrossRef
  24. Taisbak, Chr. Marinus (2003). Euclid's Data(ΔΕΔΟΜΕΝΑ) or The Importance of Being Given. Museum Tusculanum Press.

Journal Info

Korea Society of Education Studies in Mathematics

Vol.32 No.2
2020-02-28

pISSN 2288-7733
eISSN 2288-8357

Frequency : Quarterly

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