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전자저널 논문

2020; 30(1): 153-175

Published online February 28, 2020 https://doi.org/10.29275/jerm.2020.02.30.1.153

Copyright © Korea Society of Education Studies in Mathematics.

Non-mathematical Discourse and Private Discourse in Mathematics Instruction

수학 수업에서 비수학적 담론과 사적 담론

Jinwoo Cho1, Yeon Kim2

* Lecturer, Gyeongin National University of Education, South Korea, jinwoo1987@hanmail.net
** Professor, Silla University, South Korea, yeonkim10@silla.ac.kr

*경인교육대학교 강사, **신라대학교 교수

Correspondence to:corresponding author

Received: January 10, 2020; Revised: February 4, 2020; Accepted: February 15, 2020

The purpose of this study was to focus on non-mathematical discourse and private discourse as a way to identify the dynamics of interactions in mathematics instruction. The data for this study comprised a series of four lessons about the inverse function of a high school teacher. The findings report that mathematics instruction includes diverse kinds of discourse. Also, non-mathematical discourse and private discourse have their own roles and features and have combinations with mathematical discourse for the purposes of mathematics lessons. Based on results, the analysis of non-mathematical discourse and private discourse would contribute to expanding the understanding of mathematics instruction. This study discusses the roles of different kinds of discourses in mathematics instruction.

Keywordsdiscourse in mathematics instruction, discourse analysis, mathematical discourse, non-mathematical Discourse, private discourse

수업은 학생의 지식과 능력을 발전시키기 위해의도된 교수 활동으로, 교사와 학생 그리고 교과의 상호작용에 기초한다(Cohen, Raudenbush, & Ball, 2003). 구체적으로, 교사는 학생들에게 교과내용을 담은 과제를 제시하거나 설명을 제공하며, 학생은 교사의 말과 행위, 판서 및 동료의말, 그리고 교과서의 내용 등을 해석하고, 반응한다. 다시 교사는 학생들의 반응을 해석하고, 이에 뒤따르는 언어적 또는 비언어적 행위를 한다. 그리고 교실 공동체 구성원 각각의 행위와이들 간의 상호작용은 시간에 따라 반복적으로 나타난다(Lampert, 2001). 이와 같이 반복적으로나타나고 변화하는 다양한 상호작용은 교수-학습 활동을 특징짓고 구성하는 수업의 특징으로, Ball & Forzami(2007)는 이를 교수학적 역학(instructional dynamic)이라고 하였다.

교실에서의 상호작용에 초점을 둔 연구들이 이론적 측면과 실천적 측면 모두에서 풍부하게 수행되어 왔다(Ball & Forzami, 2007; Cohen, Raudenbush, & Ball, 2003; Herbst & Chazan, 2012; Hiebert, Capenter, Fennema, Fuson, Wearne, Murray, et al., 1997; Hiebert & Morris, 2012; Lampert, 2001; Lampert, Frank, Kazemi, Ghousseini, Turrou, Beasley et al. 2013; Rezat & Sträßer, 2012; Stigler & Hiebert, 1999). 이론적 측면에서 접근한 연구로는 교실 상호작용을 규정하고 기술하는 데 사용할 수 있는 틀을 제안하고자 하는 시도들(Cohen, Raudenbush, & Ball, 2003; Herbst & Chazan, 2012; Rezat & Sträßer, 2012)이 대표적이다. 실천적 측면에서 접근한 대표적인 예로는 교수 과업(work of teaching)에 주목한 연구들이 있다. 이 연구들은 교수 과업을규정하고, 주요 과업을 확인하고, 과업을 수행하는 교사의 실천을 이해하고 증진시키고자 하였다 (Lampert, 2001; Lampert et al., 2013). Ball(1993)은 수업의 상호작용에 동원되는 교사의 지식과 판단의 중요성에 주목하였고, 학교에서 다루는수학 주제에 대한 세밀한 분석을 통해 교수학적인 상황에서만 요구되는 교사들의 독특한 과업을 확인할 수 있으며, 교사가 해야 하는 과업을규정할 수 있다고 하였다. 또한, Lampert(2001)는 교사이면서 연구자로서 시행한 수학 수업들을 분석하여 교사가 수행해야 하는 주요 과업을 보고하고, 초임교사들을 대상으로 그러한 주요 과업을 실제 교실에서 충실하게 실현할 수 있도록 교육하는 방법을 제안하였다(Lampert et al., 2013).

MKT(Mathematical knowledge for teaching)로 알려진 교수를 위한 내용지식의 실천 기반 이론은 수학 수업과 관련된 실제 기록들을 이용한 연구로, 수학 수업의 실제에 기반을 두면서도 수학의 학문적 근거에 기초하여 이론적 측면과 실천적 측면 모두를 아우르는 방식으로 교수 행위의 본질을 풀어내고자 하였다(Ball, Thames, & Phelps, 2008). 예를 들어, 학생들의 소수에 대한이해를 평가하기 위하여 문제를 선택해야하는 상황에서 교사가 무엇을 고려해야 하고, 그 판단의 과정은 어떠해야 하는가에 대한 실제적이고 규범적인 과정을 파악하고 규정했다(Ball & Bass, 2003). 이러한 작업들을 기초로 수업의 질과 학생들의 학업성취도에 MKT가 미치는 영향력을 보고하였고(Hill, Rowan, & Ball, 2005; Hill, Blunk, Charalambous, Lewis, Phelps, Sleep, et al., 2008), 최근에는 교수 행위가 왜 전문적인 행위인지를 명시하였다(Ball & Forzani, 2009).

한편, 일상적인 수학 수업은 다양한 면모를 가지고 있다. 교수 과업의 측면에서 수학 수업을보면, 교사와 학생이 수학에 대해 중요한 대화를 나누는 순간에 주로 주목하게 되고, 그 순간 교사가 무엇을 하고 있는지 그리고 그러한 교수 행위의 의미가 무엇인지를 상세하게 분석하는 데 초점을 두게 된다. 그러나 이와 같이 수학 수업의 특정 순간에만 주목하는 것은 역설적이게도 오히려 수학 수업의 이해를 제한할 수 있다(Seeger, 2001). 한 발 떨어져 일상적인 수학 수업을 떠올려 보면, 교사와 학생 사이의 말 그대로의 “일상적인” 대화와 같이 다양한 상호작용또한 이루어지고 있음을 알 수 있다. 이와 같은 “일상적인” 대화도 엄연히 수업의 일부분임에도불구하고, 연구의 초점이 중요한 수학적 내용이다루어지는 순간에 주로 주목함에 따라 의도적으로 연구의 대상에서 소외되어 왔다. 수학 수업은 일종의 교수학적 계약으로 맺어진 상황으로 수학 수업에서 교사와 학생들이 나누는 대화는 목적 지향적 특징을 갖고 있기 때문에(Brousseau, 1997), 일상적인 대화 또한 수학 수업에서 어떤역할을 할 것이라 추측할 수 있다.

그런데 일상적인 대화와 수학 학습 사이의 관계를 어떻게 기술할 수 있는가? 이 질문은 대화와 수학 학습 사이의 관계를 규정하는 관점을 선택하는 것과 관련된다. 본 연구에서는 Sfard의수학 학습에 대한 담론적 접근(Sfard, 2008)과 Bakhtin의 대화 이론(Bakhtin, 1981)을 채택함으로써, 수학 학습을 의사소통의 변화로 그리고 대화에 포함된 담론들의 관계를 변증법적인 것이 아닌 대화적인 것으로 보는 관점1)에 기초한다.

본 연구는 수학 수업에서 일상적인 대화의 특징과 역할들을 주목하는 것이 수학 수업의 중요한 면모와 특징을 드러낼 수 있는 기회가 될 수 있다는 추측에 기초한다. 수업의 일상적인 측면은 기존 연구 프로그램에서 의도적으로 제외되었기에, 소수의 연구들(예를 들어, Maheux & Roth, 2014)에서만 대화의 일상적인 측면에 대한분석이 일부 다루어졌을 뿐, 이를 주제로 한 선행연구는 Langer-Osuna(2018) 외에는 찾아보기힘들다. 또한, 이 주제에 대한 국내 연구는 거의찾을 수 없고, 고등학교 수학 수업을 사례로 수학 수업의 대화를 분석하는 경우는 특히 드물다. 본 논문은 기존에 주목받지 않았던 수학 수업의 일상적인 측면을 기술하여 수학 수업에 대한 이해를 개선하는 데 기여하는 것을 목적으로 하는 탐색적인 성격의 사례연구이다. 이를 위해, 담론적 접근의 이론적 관점과 도구를 이용하여 한 교사의 4차시의 수업을 분석하고, 분석 결과를바탕으로 비수학적 담론과 사적 담론을 수학 수업의 한 측면으로 포함하여 분석하는 것의 필요성과 의의에 대해 논의하고자 한다. 본 연구에서다루는 연구 문제는 다음과 같다.

  • 수학 수업에서 비수학적 담론과 사적 담론은어떤 양상으로 나타나는가?

  • 수학 수업에서 비수학적 담론과 사적 담론의역할은 무엇인가?

1. 수학 교수ㆍ학습과 담론

수학 학습은 인식론적 입장과 학습 이론에 따라 다양하게 정의된다(Simon, 2009). 플라톤의 인식론에서 학습은 인식 상태의 변화로, 피아제의관점에서는 인지구조의 변화로, Dewey의 관점에서는 경험의 변화로 정의된다. 일반적으로 학습은 언어에 의해 규정되고 개념화되며, 개념화된학습을 이론적으로 실천적으로 이용하는 것 또한언어에 기초한다(Sfard, 1998). Sfard(1998)는 학습에 관한 다양한 문헌들을 고찰하여, 학습을 기술하고 설명하는 데 주로 습득과 참여의 두 가지의 은유가 사용된다고 하였다. 습득 은유는 학습을 무엇인가의 습득으로 보는 반면, 참여 은유는학습을 활동 또는 공동체에 대한 참여로 본다.예를 들어, 학습을 지식을 전달하고 전달받는 것또는 어떤 지식이나 개념을 구성하는 것이라고말하는 것은 습득 은유를 사용한 것이다. 참여은유를 이용하여 학습을 기술하고 설명하는 것은 Lave & Wenger(1991, 1998)의 관점을 따르는 것으로, 이들은 학습을 어떤 공동체의 초보자가 합법적인 주변적 참여를 통해 완전한 참여자가 되어가는 과정으로 본다(Lave & Wenger, 1991). 수학 학습에 대한 담론적 접근을 제안한 Sfard(2008)는 참여 은유를 사용하여, 수학 학습을수학적 담론에 참여하는 방식의 양적ㆍ질적 변화로 보았다. 이와 같은 수학 학습을 보는 관점의전환은 수학 학습에서 의사소통의 역할에 대한 이해를 확장할 기회를 제공한다.

수학적 지식에 대한 관점이 절대주의에서 비-절대주의로 변화하면서 그리고 심리에 관한 연구가 철학을 벗어나 하나의 독립된 영역을 이루면서 교육적 상황에서의 언어와 의사소통에 주목하기 시작했다. 인식 결과인 지식(knowledge)에대해 주목하던 것에서 인식 과정인 앎(knowing)으로 초점이 이동하게 되었고, 심리적 과정에 대한 독립된 연구로부터 학생의 능동적 활동과 언어의 역할이 강조되었다. 특히, 인간의 고등정신 기능의 기원이 사회적 상호작용에 있고, 언어와기호 등의 심리적 도구는 내적 방향으로의 사용이라는 점에서 특징적이라는 Vygotsky의 주장(Vygotsky, 1980; Wertsch, 2014)은 학습에서 언어와 의사소통의 역할에 대해 주목하게 하였다. 수학 학습을 수학적 담론과 연결하는 것은 이러한 배경에서 시작되었다. 수학교육에서 언어의 역할에 대한 인식은 1950년대에도 있었지만, 본격적인 연구는 1980년대부터 수행되기 시작하였는데(Ellerton & Clarkson, 1996), 최근 언어와 의사소통에 대한 연구는 정체성, 권력, 공평성 등의 문제를 다루는 윤리적 그리고 정치적 관점까지 확장되었다(Gutierrez, 2013).

일반적으로 수학 학습과 의사소통과의 관계는 인식론적 입장과 학습 이론에 따라 다르게 기술되고 설명되지만, 공통적으로 의사소통이 수학학습을 돕는 것으로 간주된다(Sfard, Nesher, Streefland, Cobb, & Mason, 1998). 수학 교수·학습 과정에서 교사와 학생 간 그리고 학생들 사이의 활발한 의사소통을 통해 학생은 무엇인가를 배울 기회를 얻고, 교사는 무엇인가를 지도할 기회를 얻는 것으로 보는 것이다. 한편, 수학 학습에서 수학적 언어는 학습의 대상이기도 하다 (Arzarello, 1998; Pimm, 1987; Chapman, 1993). 이와 같은 입장은 교육과정 문서에서도 확인할 수 있는데, 우리나라 교육과정과 NCTM의 규준은모두 수학적 표현을 적절히 사용하는 것과 수학적 표현과 개념들을 적절히 사용하여 다른 사람과 효과적으로 의사소통하는 것 또한 학생들이 갖추어야 하는 능력으로 본다(교육부, 2015; NCTM, 2007).

Sfard et al. (1998)은 수학 학습과 의사소통 사이의 관계를 여러 측면에서 조망하였다. 이들의공통의견 중 하나는 어떤 의사소통이 어떻게 학습에 기여하는지에 보다 주목해야 한다는 것이었다(Sfard et al., 1998). 그리고 Sfard는 이 문제를 보다 정확하게 이해하기 위해서는 수학 학습과 의사소통 사이의 관계를 다르게 보는 새로운 이론적 관점이 필요하다는 주장을 제기했다 (Sfard, 2001; Sfard & Kieran, 2001; Sfard, 2008). Sfard는 의사소통이 수학 학습을 도우며 수학적언어 사용이 수학 학습의 일부라고 보는 것 이상으로 수학 학습과 의사소통 사이의 관계를 고려하는 것이 필요하다고 보았다(Sfard & Kieran, 2001). 이에, Sfard(2008)는 수학 학습을 의사소통의 변화로 정의할 것을 제안하였다. Sfard가 제안한 수학 학습에 대한 담론적 관점에서 의사소통은 집단적으로 수행되어온 유형화된 활동으로 정의되고, 사고는 의사소통의 한 방식으로서 (개인 간) 의사소통이 개별화된 형태로 정의되며, 수학 학습은 수학에 관한 의사소통 방식의 변화로 정의되고, 수학 학습은 수학적 담론의 적법한참여자가 되어가는 과정으로 기술된다(Sfard, 2008).

2. 수학적 담론과 비수학적 담론

수학교실에서 이루어지는 대화를 지칭하기 위해, 대화, 의사소통, 담론 등의 다양한 용어를 사용할 수 있다. 어떤 단어를 사용하는가 하는 것은 이 현상을 이해하는 이론적 관점과 가정들을 선택하는 것과 관련된다는 점을 고려하여(Sfard, 1998; Barwell, 2009), 본 연구에서는 의도적으로담론이라는 단어를 선택하여 사용한다. 담론(discourse)은 일반적으로 언어(language)와 다른것으로 여겨진다. 특히, 기표와 기의가 관계를중심으로 언어를 보는 관점(예: 소쉬르의 언어학)에서는 체계로서의 언어(langue)에 주목하는반면, 담론(discourse)은 사용으로서의 언어(parole, language in use)에 주목한다는 점에서 차이가 있다. 사용으로서의 언어에 주목하는 담론적 관점은 각 발화들을 일종의 사회적 실천(social practice)으로 보는 가정을 포함한다(Ryve, 2011). 이 가정은 Austin(1962)Searle(1969)의 화행이론(speech-act theory)에서 제안된 것으로, 발화가 단순히 의미를 전달하는 것을 넘어서 행위로서 기능한다고 본다. 이러한 가정은 수학 수업에서교사의 발화가 학생들의 후속 행위를 지시하고, 교사와 학생 사이의 관계를 수립하는 것으로 해석될 수 있도록 하는 토대가 된다.

수학적 담론과 비수학적 담론은 몇 가지 측면들에서 구분된다. 비수학적 담론의 대표적인 예는 일상적 담론으로, 일상적 담론과 수학적 담론은 사용되는 단어와 시각적 매개체 그리고 문장들에 따라 구분될 수 있다(Sfard, 2008). 단어와관련하여 일상적 담론과 수학적 담론은 사용되는 단어와 단어의 사용 방식에 의해서 구분된다. 예를 들어, 일상적으로 모양을 기술하기 위해서는 세모, 네모, 동그라미와 같은 단어가 사용되지만 수학적으로는 삼각형, 사각형, 원과 같은단어가 사용된다. 또한, 수학적 담론에서는 일상적 담론에서 사용하는 단어와 동일한 단어를 다른 방식으로 사용하기도 한다. Pimm(1987)은 일상적 언어와 수학적 언어를 구분하기 위해 Halliday(1978)의 언어학에서 사용역(Register)라는개념을 도입하여, 일상적 언어와 수학적 언어가각각의 사용역(Register)에서 차이가 있으며 이차이를 바탕으로 일상적인지 그리고 수학적인지를 구분할 수 있다고 설명한다. Pimm(1987)은 수학을 일종의 언어로 보았고, 이에 따라 수학에는특수한 용어를 사용하는 의미-만들기 체계, 일상단어들의 수학적 의미로의 사용, 수학에 특수한표현들, 수학에 특수한 문장 구성 등의 언어적 측면들이 포함된다고 보았다(Temple & Doerr, 2012).

일상적 담론과 수학적 담론 사이의 관계를 수학 학습과 관련하여 생각해 볼 수 있다. 이 관계에 대한 가장 기본적인 관점은 일상적 담론에서 수학적 담론으로의 이행을 수학 학습으로 보는 것이다. 이 관점에서는 일상적 담론에서 수학적담론의 이행을 일종의 수준 상승으로 본다. 예를들어, Freudenthal(1978)은 수학적 언어를 네 가지수준인 명시적 언어 수준, 관계적 언어 수준, 대상 지표의 수준, 관계적 상징의 수준으로 구분하였다. 여기에서 첫 번째 수준과 두 번째 수준은모두 일상적 언어를 사용하여 표현한다는 공통점을 갖는다. 반면, 세 번째 수준은 수학적 대상을 일상적 언어가 아닌 지표로 나타내고, 네 번째 수준은 수학적 관계를 상징을 통해 나타내는 것으로 이들은 일상적 언어를 사용하지 않는다는 공통점이 있다. Arzarello(1998)는 대수 학습에있어서 일상적 언어가 수학적 언어보다 비효율적이고, 양적 관계를 표현하는 데 적절하지 못하며, 대수적 표현에서 표현 가능하지만 일상적 언어에서는 표현 가능하지 않은 것이 있다는 점을 지적하고, 산술에서 대수로 이행하기 위해서는일상적 담론에서 수학적 담론으로 이행하는 것이 필요하다고 보았다. 이와 같은 관점은 일상적 담론과 수학적 담론 사이의 관계를 상하 관계로 두고, 수학 학습을 수학적 언어의 습득을 포함하는 수학적 언어로의 이행으로 설명하는 것이다.

한편, Barwell(2016)Llewellyn(2016)은 일상적 담론과 수학적 담론 사이의 관계를 상하 또는 우열의 관계로 보는 것에 대해 의문을 제기했다. 특히, Barwell(2016)은 Bakhtin의 관점(Bakhtin, 1981, 1986)을 차용하여, 일상적 담론과 수학적담론의 관계를 일종의 이항 대립 관계로 두 관점이 통합되어 상승하는 변증법적인 관계가 아닌 대화적 관계에 놓여 있는 것으로 보는 수학 수업에서의 대화를 이해하는 새로운 해석을 제시했다. 이를 바탕으로 수학교실담론이 복수의담론들이 공존하는 것으로, 그리고 담론들로부터수학적 의미가 발생하는 것으로 해석하는 것이 가능함을 보였다. Barwell(2016)에 따르면, 수학적 의미는 대립이 아닌 대화적 관계에서 나타나고, 일상적 담론은 수학적 담론이 형성되고 발전되고 유지되는 과정에서도 여전히 공존한다. 이관점에서는 수학 학습을 일상적 담론에서 수학적 담론으로의 이행이 아니라 말하는 래퍼토리가 늘어나는 것으로 설명하고, 일상적 담론과 수학적 담론 사이의 관계는 상하 관계가 아닌 수평적인 것으로 기술된다.

일상적 담론과 수학적 담론 사이의 관계를 보는 방식에 따라 수학 학습에서 일상적 담론의 역할을 다르게 이해하게 된다. 두 담론 사이의관계를 변증법적인 구도로 보는 관점에서는 교사가 일상적 표현을 사용하여 수학적 대상을 기술하고 설명하는 행위는 학생들의 학습을 돕는 도구의 역할을 하는 것으로 이해되며, 수학적 담론을 만들거나 생산하는 역할을 한다고 해석되지 않는다. 그러나 두 담론 사이의 관계를 대화적인 구도에서 보는 관점에서는 일상적 담론이 수학적 담론으로 조직될 대상이나 수학 학습을 돕는 도구로서의 역할을 하는 것으로 다루어지지 않고, 오히려 수학적 담론을 수학적 담론으로규정할 수 있도록 하고, 수학적 담론에서 의미를생산하는 역할을 하는 것으로 해석할 수 있다 (Barwell, 2016).

3. 수학 수업에서 공적 담론과 사적 담론

수학 수업에서 교사는 학생들과 다양한 종류의 대화를 나눈다. 때로 교사는 학생들에게 날씨에 관한 이야기를 하기도 하고, 학생들에게 건강에 유의하라는 조언을 하기도 하며, 학생들의 관심사에 대해 묻기도 한다. 또한, 수학 교수ㆍ학습을 위한 활동들에서 학생들에게 수학적 내용을 가르치기 위한 대화를 나누기도 하고, 학생들의 수업 태도를 관리하기 위한 대화를 나누기도 한다. 수학 수업에서 이루어지는 대화 중 대부분은 교사의 역할을 수행하는 것과 관련되지만, 일부 대화들은 교사의 역할과 무관한 것으로 보인다. 대화참여자 사이에 형성되는 관계에 따라 그리고 대화가 이루어지는 상황과 맥락에 따라 대화는 공적 담론과 사적 담론으로 구분될 수 있는데, 관계의 ‘공공성’이 이를 구분하는 기준으로 사용될 수 있다(Seo & Kim, 2005). 예를 들어, 수학 수업에서 대화참여자들은 교사와 학생으로, 이들의 관계가 수학을 가르치고 배우는 것일 때 공공성을 갖는다고 할 수 있다.

수학 수업에서는 학생들을 수업에 참여하도록장려하고 중요한 수학적 내용을 지도하기 위한 다양한 대화가 발생하는데, 이 대화들은 공적 담론에 해당한다. 특히, 설명하기와 논증하기 등특정한 활동 등이 포함된 수학적 담론은 학생들에게 수학 학습을 위한 양질의 기회를 제공하는 것으로 알려져 있다(Walshaw & Anthony, 2008). Ing, Webb, Frank, Torrou, Wong, shin, et al. (2015)은 학생들이 수학적 논의에 참여하도록 안내하고, 학생들의 참여를 지원하는 교사의 실천이 학생들의 성취에 유의미한 영향을 미친다는것을 보고하였는데, 이는 공적 담론에서 교사 역할의 중요성을 뒷받침한다.

Walshaw & Anthony(2008)는 교사의 역할에 대한 문헌들을 체계적으로 분석하여, 수학 수업의공적 담론에서 학생들을 수학적 담론에 참여하도록 하는 것, 학생들의 사고를 정교화하는 것, 언어를 통해 수학적 사고를 미세하게 조정하는 것, 수학적 논증을 만드는 것과 관련된 교사의중요한 역할들이 있다고 보고하였다. 한편, Langer-Osuna(2018)는 수학 수업에서 과제와 무관한 상호작용이 참여와 학생의 정체성 형성에 관여할 수 있고, 참여와 학생의 정체성은 수학학습과 관련되기 때문에, 이와 같은 상호작용의역할에 주목할 것을 제안하였다. Walshaw & Anthony(2008)의 연구는 사적 담론을 고려하지않았다는 점에서 그리고 Langer-Osuna(2018)의연구는 학생 간의 사적 담론만 고려했다는 점에서 각각 제한적이지만, 이 연구물들을 함께 고려하는 것은 수학 수업에서의 공적 담론 내에서 수행되는 교사의 역할을 사적 담론으로 확장하여 보는 것이 수학 학습에 관한 추가적인 관찰들을 제공해 줄 수 있음을 시사한다.

Jeon(2014)은 공적 담론과 사적 담론을 분석하여, 이들이 내용어와 기능어에 있어서 큰 차이가있다고 보고하였다. 예를 들어, 사적 담론에서는고유명사가 빈번히 사용되고, 나, 너, 그거와 같은 대명사가 주로 사용되는 반면, 공적 담론에서는 제, 저희, 여러분과 같은 대명사가 주로 사용된다. 이와 같은 차이는 언어의 격식성 또는 형식성과 관련되는 것으로, Noh(1996)는 존대를 나타내지 않거나 예의를 갖추지 않고 친근하게 쓰는 말을 비격식적 구어로, 공식적인 장소에서 존대와 예절을 갖추어 사용하는 말을 격식적 구어로 구분하였다.

본 연구에서는 수학교실은 수학 교수학습을 위한 공간이라는 점을 고려하여, 수학교실에서이루어지는 대화에서 다루어지는 주제 그리고 사용되는 단어를 바탕으로 상정되는 교사와 학생 사이의 관계에 기초해 공적 담론과 사적 담론을 구분한다. 수학적 주제를 다루는 대화들은일반적인 경우 수학 교수ㆍ학습과 관련되기 때문에 주로 공적 담론으로 구분되지만, 교사가 자신의 개인적인 경험을 공유하는 것과 같이 수업에서 가르치고자 하는 수학적 내용과 관련이 없거나 적은 경우는 사적 담론으로 구분될 수 있다. 또한, 수학적 주제를 다루지 않는 비수학적담론이라고 하더라도 수업 관리에 관한 대화들과 학생들의 수행에 대한 평가에 관한 대화들이 많기 때문에, 비수학적 담론에 대해서는 대화 참여자들에 의해 사용되는 단어와 표현에 기초해 공적 담론과 사적 담론을 구분한다. 공적 담론과사적 담론의 구분은 대화의 맥락, 주제, 표현 등을 모두 고려하여 이루어지는 것으로, 예를 들어비형식적인 표현의 사용은 교수학습을 위해 사용되는지와 수학적 주제를 다루고 있는지에 따라 공적 담론으로 구분될 수도 있고 사적 담론으로 구분될 수도 있다.

1. 자료 수집

고등학교의 수학 수업을 3년간 추적하는 프로젝트에서 수집된 자료의 일부가 본 연구에 사용되었다. 프로젝트의 1년차에는 연구자가 직접 교실을 방문하여 수업을 촬영하고 협의회를 녹음하였지만, 2년차와 3년차에는 교사들이 스스로수업을 연구하고 촬영하고, 그 자료를 연구자들과 공유하는 방식으로 자료가 수집되었다. 이 두해 동안 연구자의 개입은 교사들이 송부한 영상과 음성파일에 대해 이메일로 의견을 보내는 것이 유일했는데, 연구자의 의견이나 자료에 대한 평가와 수용여부는 전적으로 교사들이 결정하였다. 이러한 방식은 상대적으로 교사들의 의도가강하게 반영된 수업 자료를 수집하는데 용이하다. 본 연구의 주요 자료는 2년차에 1학년을 대상으로 시행된 역함수에 관한 연속된 네 수업을 촬영한 영상과 그 전사이다. 이 수업의 준비과정에서 교사들이 함께 운영했던 세 번의 수업설계 협의회와 한 번의 수업 반성 협의회의 음성 녹음도 수집되었고, 그 전사도 본 연구에 이용되었다. 그러나 교사들의 협의회는 수업을 시행한 교사가 어떠한 의도를 가지고 수업을 준비하고 자신의 수업을 어떻게 반성하였는가에 대한 전반적인 파악하기 위하여 이용되었다. 따라서 본 논문에서는 수업 장면에서 교사와 학생들의 대화의 분석을 주로 보고한다. 수업을 시행한 교사는약 20년의 경력을 갖고 있고, 교육청에서 실시하는 각종 수학교육 관련 사업에 적극적으로 참여하고 있으며, 자신의 수업의 성장을 위해 다양한노력을 하고 있다. 이 교사의 MKT(mathematical knowledge for teaching)를 Measures of Effective Teaching Project에서 개발한 Algebra I 문항으로평가했을 때, 27점 만점에 26점으로 MKT의 수준이 매우 높다 할 수 있다. 이 학교의 학생들은수학성취도가 전국 평균보다 높다 할 수는 없으나, 국가수준 학업성취도 평가의 정의적 영역에서 전국 평균을 상회하는 높은 결과가 나왔다. 즉, 학생들이 수학 교과와 수학 학습에 대한 관심이 다른 학교에 비해 상대적으로 높다고 할 수 있다.

2. 자료 맥락

본 연구에서 분석한 수업의 주요 주제는 역함수였다. 역함수는 주어진 함수가 일대일 대응일때 존재하고, 대응 관계를 역으로 취한 함수를뜻한다. 그리고 주어진 함수 f(x)에 대하여 그역함수를 f-(x)으로 나타낸다. 주어진 함수 f(x)와 역함수 f-(x)는 정의에 따라, 좌표평면위에서 그 그래프들이 직선 에 대해 대칭이 된다. 2015 개정 교육과정은 역함수의 성취기준으로 “역함수의 의미를 이해하고 주어진 함수의역함수를 구할 수 있다.”고 제시하고 있으며, “역함수의 의미는 구체적인 예를 통해 이해하도록 한다.”를 교수학습 방법으로 제시하고 있다(MOE, 2015). 2015 개정 교육과정에서는 역함수를 구하기 위해 제공되는 함수의 범위를 구체적으로 제시하고 있지 않지만, 많은 교과서들이 일차함수를 주로 다루고 있다. 이러한 역함수의 학습은 이후 다양한 주제의 학습과 관련이 있다. 예를 들어, 무리함수를 일정 범위에서 정의된 이차함수의 역함수를 이용하여 안내하고, 로그함수는 지수함수의 역함수라는 점을 이용하여 그래프를 그릴 뿐만 아니라 로그 함수의 성질과 점근선을 학습한다(Kim, Na, Park, Lee, Chung, Hong, 2006). 미적분에서는 주어진 함수의 미분과 그 역함수의 미분 사이의 관계를 탐구할 뿐만 아니라, 주어진 함수의 정적분 값과 역함수에서의 정적분 값 사이의 관계를 파악하기도 한다 (Hwang, Kang, Kim, Yun, Kim, Song, et al, 2014). 이처럼 역함수는 고등학교에서 함수 및미적분의 학습에 중요한 역할을 한다. 더욱이, 역함수는 함수의 다양한 측면들에 주목할 수 있게 하는 기회를 제공하고, 함수를 종속과 대응두 측면에서 모두 보도록 하는데 특히 대응과 관련된 다양한 표상들(다이어그램, 그래프, 대수식)을 사용하고 연결하는 기회를 제공한다.

역함수를 지도하기 위해 본 연구의 수업 교사는 네 차시의 수업을 계획하고, 실행하였다. 수업들은 역함수의 뜻과 기호를 도입하기, 역함수가존재할 조건을 알고 이를 증명하기, 역함수를구하기, 함수와 역함수의 그래프를 그리고 그래프에서 나타나는 성질을 찾기라는 수업 목표를중심으로 수행되었다. 특히, 수업 교사는 역함수를 구하고 정리하는 것과 관련하여, 역함수를 구하는 방법이 왜 성립하는지 그리고 왜 역함수를 x에 대한 y의 함수로 다시 정리하는 것이 필요한지를 학생들이 알도록 하고자 하였고, 역함수를 구하는 방법이 함수와 역함수의 그래프가 y=x에 대칭인 것과 연결된다는 것을 학생들이알도록 하고자 하였다. 각 차시 수업의 구체적인내용은 다음 Table 1과 같다.

Table 1 Contents of each lesson

차시날짜수업 내용
12017. 9. 12첫 번째 수업은 역함수 개념과 기호를 도입하는 시간이었다. 첫 번째로, 이전 차시 학습 내용이었던 일대일함수와 일대일대응을 다이어그램을 이용해 집합 X, Y의 대응 관계라는 점을 언급하여 복습하였다. 동일한 다이어그램을 이용하여, 역함수 개념을 화살표가 “거꾸로 가는 것” 이라는 일상적 언어를 이용해 비형식적으로 도입한 후, 역함수 개념과 기호를 설명하였다. 이후 역함수가 안 되는 예를 만들어 보기, 좌표평면에 직선으로 표현된 함수를 제시하고, 역함수가 존재하는지를 결정하기, f(x)=x+2의 역함수의 존재여부를 결정하기 등의 세 가지 과제를 학생들에게 제시하였다. 각 과제는 학생들이 개별로 수행하고, 모둠으로 논의하고, 이어 전체 논의를 통해 교사가 학생들의 반응을 공유하고 설명하는 패턴을 통해 다루어졌다.
22017. 9. 13두 번째 수업은 교사가 수행평가 결과를 환류하고, 이와 관련한 설명을 5분정도 하는 것으로 시작되었다. 지난 시간 내용 중 역함수가 존재하는 조건이 주어진 함수가 일대일대응이라는 것이었음을 학생들과 짧은 문답을 통해 복습하였다. 이어 임의의 함수와 그 역함수의 합성함수가 무엇인지를 예를 바탕으로 살펴본 후, 학생들에게 역함수가 존재할 조건이 주어진 함수가 일대일대응이라는 것을 증명하도록 하였고, 마지막으로 교과서의 두 문제를 풀도록 하였다. 첫 번째 수업과 마찬가지로 각 내용들은 학생들이 개별적으로 수행한 후, 모둠별로 논의하고, 이어 전체 논의를 통해 학생들과 함께 정리하는 순서로 수업이 진행되었다.
32017. 9. 14세 번째 수업은 y=x+2의 역함수를 구하는 것으로 시작하였다. 이 함수의 역함수를 구하는 과정에서 자연스럽게 이전 수업 내용들을 복습하였는데, 이 과정에서 교사는 주어진 함수의 정의역과 공역이었던 집합 X와 집합 Y가 역함수에서는 각각 공역과 정의역이 된다는 것을 강조하였다. 이후 교과서의 두 문제를 개별 활동, 모둠별 논의, 전체 논의의 과정으로 다루었다. 마지막으로 교사는 수행평가를 위한 과제로 예 만들기 과제를 제시했는데, 이 과제는 임의의 일차함수식을 제시하고, 자신이 제시한 함수의 역함수를 구하도록 하는 것이었다. 또한, 이 과제에는 역함수를 구할 때 왜 xy의 위치를 바꾸고, x로 정리하는 것이 필요한지에 대해 생각 해보고 정리하는 것이 포함되었다.
42017.9. 18역함수에 대한 마지막 수업인 네 번째 수업은 y=2x+1, y=1/3x-2, y=x의 그래프와 각각의 역함수의 그래프를 그리는 것을 활동지로 학생들에게 제시하고, 개별로 수행하도록 하였다. 개별 활동을 하는 동안 교사는 순회하며 학생들이 발견한 성질들을 물어가며 학생들의 반응을 수집하고, 어려움을 겪는 학생들을 도왔다. 수업이 시작된 이후로 15분 정도 지난 후, 교사는 모둠별로 학생들이 발견한 성질들을 공유하도록 하였고, 이어 전체 논의를 통해 학생들이 발견한 함수와 역함수의 그래프가 만난다는 것(거짓 명제)과 y=x에 대칭한다는 것(참인 명제)을 공유하였다. 교사는 y=x에 대칭이라는 성질이 정말 성립하는지 모둠별로 의논하도록 하고, 역함수를 구하는 과정과 이 성질이 관련이 있다는 단서를 제공하였다. 수업이 시작된지 30분 정도 경과했을 때, 전체논의를 통해 교사는 학생들이 찾은 성질이 성립하는 이유를 공유하고, 이에 대한 설명을 제공하였다. 마지막으로, y=x+2의 그래프와 이 함수의 역함수의 그래프를 그려보도록 하고, 이 예에서 두 그래프가 만나는지를 발문하여, 학생들이 앞서 찾은 성질에 대해서 반증하였다.


3. 자료 분석

분석을 위해 수업 영상과 음성 파일을 이용하여 수업에서의 대화를 전사하였고, 각 수업의 전사를 말차례를 기준으로 줄을 구분하여 전사 자료를 만들었다. 전사 자료와 수업 영상을 함께보면서 전사의 각 줄을 <Figure 1>와 같이 수학적 담론과 비수학적 담론으로 구분함과 동시에 관계의 공공성에 따라 대화의 맥락, 주제, 표현을 고려하여 공적 담론과 사적 담론으로 구분하였다. 즉, 전사 자료의 각 줄을 <Figure 1>의 A, B, C 또는 D로 구분하였다. 수학적 담론과 비수학적 담론의 구분과 공적 담론과 사적 담론의 구분을 두 축으로 한 것은 수학 수업을 수학에 관한 것과 수업에 관한 것으로 구분하는 것과 대응된다. 수학 수업에서 많은 대화들은 수학적대상에 대해 말하거나 수학적으로 말하는 것으로, 이들은 수학적 담론에 해당된다. 그러나 수학 수업에서는 수업 시작과 마침 인사와 같은 다른 대화들도 존재하고, 이들은 비수학적 담론에 해당된다. 그러나 수업 시작과 마침 인사와같은 비수학적 담론은 수업과 관련된 것으로 공적 담론에 해당된다.

Figure 1.Two axes of analysis to describe the characteristics of discourse

<Figure 1>의 A, 즉 공적 수학적 담론의 예는교사가 y=x+2의 역함수가 존재하는가에 대해 설명하는 상황에서 “f(x1)f(x2)가 같은 거예요. 자, x1, x2는 정의역에서 가져오는 겁니다. 정의역은 여기서 무엇인가요? 네. 실수 전체 집합입니다. …”라고 발화하는 경우이다. 이 발언은 교사와 학생의 관계가 ‘공공성’을 전제하고일어나고 있을 뿐만 아니라, 사용하는 용어와 그사용 체계가 수학적인 것이기 때문에 공적 수학적 담론으로 구분되었다. <Figure 1>의 B, 즉 공적 비수학적 담론의 예는 교사가 수학 수행평가에 대해 설명하는 상황에서 “(어떤 학생의 답변을 소개하면서) 이러한 답변은 4점이 되고, 이경우에는 가중치를 부여해서 16점입니다.”라고말하는 것이다. A와 마찬가지로 교사와 학생의관계는 여전히 ‘공공성’을 전제하고 있지만, 담론의 대상은 수업에서 다루어지는 수학적인 내용이 아니라 평가 기준에 대한 대화이기 때문에 공적 비수학적 담론으로 구분되었다. <Figure 1>의 C, 즉 사적 비수학적 담론의 예는 교사가 학생들과 자신의 말습관에 대해 대화를 나누는 경우로 교사가 “핵심이라고 하는 단어를 내가 많이 쓰나(사투리 억양)? 또 뭐 많이 쓰지? (학생이 “그게 뭐냐 하면”이라고 답하자) 그게 뭐냐하면 많이 써? (또 다른 학생이 “자, 봅시다.”라고 하자, 모든 학생들이 크게 웃는다) 아, 제일많이 쓰나 보네.”라고 말하는 경우이다. 이 대화는 수학적인 내용을 담고 있지 않을 뿐만 아니라 교사와 학생의 관계가 일반적으로 교실에서기대되는 것과 다르게 ‘사적’ 관계에 해당되어사적 비수학적 담론인 C로 구분되었다. <Figure 1>의 D, 즉 사적 수학적 담론은 교사가 공적인일(수학을 지도하고자 하는 것, 수업을 관리하고자 하는 것 등)을 수행하지 않고, 학생과 나누는사적인 대화가 수학적인 담론인 경우이다. 예를들어, 수업 시간에 학생과 교사가 학생 개인의여행 계획에 대한 대화를 나누면서 경우의 수,평균 등과 같은 수학적 용어를 사용하는 것이이에 해당된다. 그러나 본 연구의 자료에서는 D에 해당되는 대화가 나타나지 않았고, 이것이 본연구의 제한점이 될 수 있다.

각 범주의 이분법적 구분은 수업의 대화가 가진 성격을 명확히 하는데 도움이 되었다. 연구자들이 각자 코딩을 한 후에 비교하여, 불일치한 부분에 대해서 다시 조정하는 과정을 반복하여 최종 분석 결과를 얻었다. 최종 분석 결과를 통해 <Figure 1>의 A, B, C간에 담론이 변화하는양상을 파악하였다. 비수학적 담론과 사적 담론에 주목하여 담론이 변화하는 사례들을 확인하고, 해당 사례 중에서 담론의 변화 양상이 수학교실담론의 특징을 잘 드러내주는 에피소드들을 선정하였다. 이러한 과정으로 수행된 본 연구는자료의 이용 방식에 따라 사례연구에 해당되고(Yin, 2003), 현상이 담고 있는 구조적 특징을 파악하는 것을 목적으로 하기 때문에 해석적 방법(Erickson, 2003)이며, 분석에 있어서 정의된 자료를 이용하여 코딩을 하는 방법으로 기본 분석을 하기 때문에 질적 연구(Miles, Huberman, & Saldaña, 2014)에 해당된다.

수학 수업에서의 교사와 학생 간 대화는 수학 교수ㆍ학습 활동을 중심으로 발생하고, 일반적으로 수학 수업의 수학교실담론에서는 수학적 담론과 공적 담론이 지배적이다. 본 연구의 분석결과 수학적 담론과 공적 담론이 지배적인 한편 다양한 비수학적 담론과 사적 담론 또한 나타나는 것을 확인하였고, 상이한 양상의 담론 사이의전환이 일어나고 담론들 사이의 관계가 형성되는 장면들을 확인할 수 있었다. Ⅳ장에서는 비수학적 담론과 사적 담론이 나타난 장면들 중 이들의 역할이 의미 있는 것으로 해석될 수 있는 8개 에피소드들을 제시하고, 이에 대한 상세한분석을 통해 비수학적 담론과 사적 담론이 수학 교수ㆍ학습에서 역할을 수행하고 있다는 것을 확인하고자 한다. 이와 같은 분석 결과를 바탕으로 다음 Ⅴ장에서는 비수학적 담론과 사적 담론의 역할을 구체화한다.

1. 공적 수학적 담론과 사적 비수학적 담론 사이의 전환

공적 수학적 담론에서 사적 비수학적 담론으로 그리고 다시 사적 비수학적 담론에서 공적 수학적 담론으로 전환된 양상이 나타난 에피소드들에서 사적 비수학적 담론의 역할은 단순하게는 교사가 자신의 실수에 대한 해명을 하거나 중요한 수학적 내용에 주목하도록 하기 위한 것에서부터 다루어지는 수학적 주제를 바꾸는 것까지 다양하게 나타났다.

가. 에피소드 1: 사적 비수학적 담론을 통한 수학적 담론의 이동

첫 번째 에피소드는 첫 차시 수업에서 역함수 개념을 도입하고, 역함수의 기호를 소개하는 장면에서 나타났다. 교사는 역함수의 기호를 도입하고, 역함수의 영어 표현을 학생들에게 안내하면서 수학적 언어의 보편적인 특징을 설명하고자 하였다. 에피소드 1는 다음과 같은 교사와 학생들 사이의 대화로 이루어졌다.

1 T 이게 거꾸로 가는 게 역함수입니다. 쉽지?

(학생들이 끄덕인다.) 쉽죠. 어 역함수에요. 자 기호를 표기할 겁니다. 역함수 f랑 관련이 되어 있잖아. 그래서 f는 살려두고 싶어.그래서 여기다가 이제 어떻게 할까 여기다가 뭐 여러 가지 이렇게 표기를 할까 여러가지 논의가 있었겠지 역사적으로? 논의를했는데 결론적으로는 이렇게 적기로 했습니다. 마치 –1 제곱 (손으로 –1를 표시하며) 제곱 적듯이 이렇게 적고 읽을 때는 f의 역함수라고 읽으면 돼요. 영어로 f inverse라고 읽기도 합니다.

2 S1 오~

3 T 아 영어 쓰니까 역시 (웃으며) 영어로 수업을 해볼까 수학을?

4 SS 네 좋아요.

Let’s get it.

5 T 어 Let’s get it. 어.. Let it (웃으며) (학생들 다 같이 웃으며) One, Two, Three Thank you.

6 SS (박수를 치며) Bravo

7 T 어 쌤이 실제 학부 때랑 대학원 대 영어 수업을 들어 본적이 있거든. 신기하게 수학영어수업은 알아들을 수가 있어. 왜냐하면 기호는 공용 기호거든 전부다. 그래서 뭔 말인지 영어는 잘 안 들려도 또 영어가 우리가 쓰는 inverse 이런 몇 가지간단한 것, f, f inverse 이런 거 알잖아. 그러니까 알아들을 수 있어. …

이 에피소드는 수학적 공적 담론으로 시작되었다. 그러나 학생1의 교사의 영어 사용에 대한반응(줄 2)은 교사가 이를 이용하여 이 담론을사적 담론으로 전환하도록 하는 계기가 되었다. 또한 이와 동시에 교사와 학생의 대화에서의 초점은 수학적 대상인 역함수에서 영어 사용 자체에 대한 것으로 이동하였다(줄3-6). 교사는 자신의 개인적 경험인 대학에서의 영어 수업을 소재로 이용하면서 개인적 경험을 학생들과 공유하였는데, 이를 이용하여 학생들에게 수학 기호의 특징을 언급하는 방식으로 수학적 공적 담론으로 다시 전환하였다(줄 7). 이 에피소드에서 사적 비수학적 담론의 출현은 역함수에 대한 초점에서 수학적 기호의 특징에 대한 초점으로 자연스럽게 이동하여 수학적 기호의 특징을 학생들과 공유할 수 있는 기회를 마련하는데 기여하였다.

나. 에피소드 2: 중요한 수학적 주제를 강조하기

두 번째 에피소드는 첫 차시 수업에서 다루어지는 중요한 주제인 역함수의 존재성을 판단하는 것을 다루는 장면에서 나타난 대화이다. 교사는 역함수의 존재성을 판단하는 것이 중요하다는 것을 학생들에게 가르치고자 하였다. 에피소드 2는 다음과 같은 교사와 학생들 사이의 대화로 이루어졌다.

8 T 어 바뀌었다. 그지? 바뀌었어요. 이게 바뀌었어요. 자 그러면 질문을 하나 해 보죠. 자 이게 오늘 수업 시간에 가장 중요한 질문입니다. 자 이게 오늘 할 내용의 자 핵심입니다, 핵심, 핵심. (한 학생이 필기하는 것을 관찰하고) 아 그럴 줄 알아서 쓴 거야?

9 SS (크게 웃음)

10 T 핵심이라고 할 줄 알았어? 핵심이라고 하는 단어를 내가 많이 쓰나?

11 SS 네

12 T 또 뭐 많이 쓰지?

13 S2 그게 뭐냐 하면

14 T 그게 뭐냐 하면 많이 써?

15 S2 이게 무슨 말인가 하면

16 T (교사가 웃으면서 따라 말하며) 이게 무슨말인가 하면

17 S3 (교사의 말투를 따라하며) 이게 무슨 말인가 하면~

18 T 어. 또?

19 S2 이게 무슨 말인고 하니

20 T 이게 무슨 말인고 하니. 또 뭐 많이 쓰는 거 있어?

21 S3 자, 봅시다.

22 SS (모두 크게 웃는다.)

23 T 아니 이게 이게 제일 많이 쓰나보네. 어 애들 다 웃는 거 보니까. 그럼 또 한 번 해줘야지. (웃으며) 자 봅시다.

24 SS (학생들이 크게 웃는다.)

25 T 선생님이 함수 하나를 적을 건데. 함수 하나를 적을 거예요. 자 요고 함수 하나 적었어. 함수 돼요 한 돼요?

교사는 수업의 주된 수학적 내용을 강조하기 위한 발화를 하던 중 한 학생의 행동을 관찰하고, 대화의 초점을 비수학적인 담론으로 전환하였다(줄 8). 이러한 전환은 교사와 학생들이 웃는 계기가 되었고, 교사와 학생이 서로 공감할기회를 제공하였다. 교사는 학생들에게 자신이자주 사용하는 언어 표현에 대해 묻고(줄 10, 12), 학생들은 그 예들을 제시하였다(줄 13, 15, 17, 19, 21). 이 과정에서 대화의 초점이 수학적대용에서 교사가 자주 사용하는 언어적 표현으로 이동하였는데, 이 일련의 발화들은 교사가 학생들에게 수학적 내용을 지도하는 공적 관계에서 벗어났다는 것을 보여준다. 교사와 학생은 수업과 무관한 교사의 말투와 자주 사용하는 표현에 대한 대화를 나누었다. 교사는 자신이 자주사용하는 표현을 사용하면서 학생들에게 웃을 기회를 제공하였고(줄 23, 24), 자연스럽게 다시수학적 공적 담론으로 이동하였다. 이와 같이 수학적 공적 담론에서 사적 비수학적 담론으로 이동하고, 다시 수학적 공적 담론으로 이동하는 과정을 통해 다루고자 하는 수학적 내용의 중요성을 강조하고 학생들의 주의를 끌고, 중요한 수학적 내용에 주목시키는 장치로 사적 비수학적 담론을 사용하였다. 이 에피소드에서는 다루고자하는 수학적 내용과 직접적으로 연관되지 않는 대화라고 하더라도(줄 10-23), 중요한 수학적 내용을 강조하는 배경으로 사용될 수 있음을 확인 하였다.

다. 에피소드 3과 4: 실수와 이에 대한 교사의 대처

분석 과정에서 관찰된 대표적인 사적 비수학적 담론의 사례는 교사가 자신의 실수를 대처하는 상황에서 발생한 것으로, 사례에서 두 번 등장하였다. 이는 첫 번째 차시와 두 번째 차시 수업에서 각각 한 번씩 등장한 두 번의 짧은 대화로 다음과 같다.

84 T 5는 어디로 가야 해요.

85 SS 2로

86 T 2로 가고 3으로도 가야해요? 아니다.

87 SS 선생님 뭐하세요?

88 T 쌤이 오늘 좀 피곤해서 그래. 하루 종일 쉬는 시간이 없었어. 너무 바빠 가지고. 자잘 봐야 해. 오늘 이상하게 될 수도 있어.

위 대화에서 교사는 자신의 실수를 인정하지만, 실수를 한 원인으로 개인적인 배경을 언급하여 사적 담론을 이끌어오는 것을 확인할 수 있다(줄 88). 이는 두 번째 차시 수업에서 나타난다음 대화에서도 마찬가지이다(줄 90).

89 S 2가 아니라 6이 되어야 해요.

90 T 맞아요, 6. 이렇게 다 이런 거 하기 위해서 그런 거지. 선생님이 옛날에는 계산 실수를 거의 안 했거든? 근데 요즘 들어서 그래. 슬프게도나이가 들수록 오늘 계산 실수 몇 번 했지? 여기서도 한 번 …

이 장면들에서 교사는 단순하게 실수였음을인정하고 수정하는 것과 같이 다르게 대처할 수 있음에도 불구하고, 왜 실수를 했는지에 대한 배경이 되는 정보를 제공하는 방식으로 대처하였다. 교사는 공적 수학적 담론에서 나타난 자신의 실수에 대해 그 원인이 자신의 하루 일정 또는 나이에 의한 것임을 언급하는 방식으로 사적 비수학적 담론으로 이동하였다. 여기에서 실수의원인은 공적 수학적 담론이 아닌 사적 비수학적 담론에 위치한다. 이와 같은 방식으로 사적 담론을 사용하는 것은 수학에 대한 교사의 권위를 유지하기 위한 장치로 기능할 수 있다.

2. 공적 담론 내에서 수학적 담론과 비 수학적 담론 사이의 전환

공적 담론 내에서 수학적 담론에서 비수학적 담론으로 다시 비수학적 담론에서 수학적 담론으로 전환된 양상이 나타난 에피소드들에서 공적 비수학적 담론은 사적 비수학적 담론에 비해 수학 교수학습 과정에 보다 직접적으로 관여하였다.

가. 에피소드 5: 과제 수행에 대한 대화에서 나타난 비수학적 담론의 역할

다섯 번째 에피소드는 두 번째 차시의 수업에서 학생들의 개별 과제 채점 결과를 나누어 주고, 학생들의 과제 수행에 대한 피드백을 제공하는 장면에서 나타난 대화이다.

26 T … 아 한 번 잘못 눌러가지고 바로 중지가 되어 가지고. 모른 채. 자 얘들아 이거 누구 글씨일까?

27 SS 진희요.

28 T 친구들 글씨 알아? 누구 글씨일까~? 누구 글씨인 것 같아요?

29 SS 진희요.

30 T 맞아요. 진희 맞아요. 맞아. 진희~ 어 왜 안 보여? 어? 어 그래 따라 와야지. 자 그래 진희 글씨야. 자 얘들아 쌤이 채점을 했어. 채점을 해서줄 거예요. 요고 4점이라고 적었는데, 사실가중치 부여되죠? 곱하기 4할 겁니다. 16점입니다. 4라고 적어놨는데 편의상 16 적고12적고 하면 헷갈려서 적어 놓은거지 이거나중에 가중치가 4가 됩니다. 알겠죠? 자그리고 여기 보면 이번 시간에 깨달은 중요한 점을 써보세요. 자 어떻게 써서 4점을받았냐 하면, 저번 시간에 우리 배운 거 뭐였어요?

31 SS 역함수

32 T 역함수 개념. 역함수가 뭔지도 배웠고, 굉장히 오랫동안 많이 했던 이야기들은 뭐였어요?

33 SS 역함수가 언제 존재하는가

34 T 어 역함수가 언제 존재하는가?

35 SS 일대일 대응

36 T 일대일 대응. 그거를 그림으로도 하고, 그래프로도 하고, 식으로도 했잖아. 그러니까여기에 적힌 내용은 가장 핵심이 되는 내용은 역함수가, 역함수에 대해서 알았고 뭐이런 것도 물론 이건 굳이 없어도 되지만. 역함수가 언제 존재하는지를 알게 되었다는 건 적어야 되겠지. 근데 여러분 3점을받은 친구들은 이렇게 적었어. 역함수가 언제 존재하는지를 알게 되었다 이런 게 없어. 명확하게 수학적 표현을 해줘야 돼요. 일대일 대응일 때 역함수가 존재한다는 사실을 알게 되었다. 우리 그거 논의도 하고했잖아. 그렇게 명확하게 해줘야 됩니다. …

이 에피소드에서는 공적 담론인 채로 수학적 담론과 비수학적 담론 사이의 전환이 나타났다. 두 번째 차시의 수업 시작 국면에서 교사는 학생들에게 개별 과제를 채점한 결과를 나누어주고, 구체적인 사례를 이용하여 전체 학생들에게과제 수행에 대한 피드백을 제공했다. 교사는 사례가 어떤 학생의 것인지를 명확히 하고(줄 26-30), 해당 사례의 점수를 언급한 후, 점수 체계에 대해 설명하였다(줄 30). 과제에 대한 피드백을 제공하는 것은 수학교실에서 교사가 수행할 과업이기에 이에 관한 교사와 학생의 대화는 공적 담론으로 구분되지만, 항상 수학적 담론인것은 아니다. 이 에피소드에서 교사와 학생의 대화의 초반부는 어떤 수학적 대상이나 개념과 무관한 대화가 이어졌다(줄 26-30). 교사는 왜 이 학생이 좋은 평가를 받게 되었는지를 학생들에게 묻는 것을 통해, 비수학적 담론을 수학적 담론으로 전환하였다(줄 30-31). 이어진 대화에서 교사는피드백을 하고자 하는 부분을 역함수에서 역함수의 존재로, 역함수의 존재에서 역함수가 존재할조건으로 범위를 좁히며 분명히 했다(줄 32-35). 마지막으로 교사는 다른 사례를 제시하여 이를 비교하고, 각 사례의 점수가 다른 이유를 설명할때 정확한 수학적 표현을 사용하는 것이 중요하다는 점을 강조했다(줄 36). 비수학적 담론에서수학적 담론으로의 전환이 여러 차례 일어났고, 이러한 전환은 수학적 담론과 비수학적 담론이 어떻게 상호적으로 얽혀 수학 학습에 기여할 수 있는지를 설명할 수 있도록 한다. 학생들의 과제수행에 대한 점수 차이와 상대적으로 높은 점수에 대한 언급은 학생들에게 자신의 과제 수행을 모범적인 사례와 비교하고, 이와 유사하게 자신의과제 수행을 바꾸도록 하는 동인을 제공했다. 그리고 점수가 다른 이유가 수학적 내용과 표현에 관련됨을 언급함으로써, 학생들의 변화 방향을 수학에 관련된 변화가 되도록 만들었다.

나. 에피소드 6: 새로운 수학적 용어 도입과 의미 부여를 위한 비수학적 담론의 사용

여섯 번째 에피소드는 세 번째 수업에서 역함수의 식을 구하는 것이 중요함을 학생들이 알도록 하는 장면에서 나타났다. 교사는 함수를 왜 y=[x에대한식] 과 같이 정리하는 지를 학생들에게 묻고, 함수를 파악하기 위해 그래프를 이용할 수 있다는 것을 언급한 후, 그래프를 그리기위해서 두 변수의 종속관계에 주목하여 변수의 역할을 구분하는 것이 필요하다는 것을 학생들에게 공유시킨 후 다음과 같이 대화를 이어갔다.

37 T 그렇죠. y를 구하게 하기 쉽지?

여기 있는 것은 정의역이고, 여기 있는 것은 치역이 되겠죠? 치역이 되겠죠.

그래서 이거를 x를 독립변수 y를 종속변수 이런 이야기들도 합니다. 그러니까 쉽게이야기해서, 독립이라는 이야기는 여러분실험할 때 먼저 투여를 하잖아요, 먼저. 예를 들면 뭐, PBL할 때 했던 거 뭐였지? 여기 콩나물 했나? 콩나물팀 있나 여기?

38 SS (고개를 옆으로 돌리면서 없음을 나타냄) 39 T 성보는 뭐했지? 아 너 식충생물 했지. 아 영상으로 때운 저 조. 아이 너 식충생물 왔다며 식충생물. 근데 안 왔다 했잖아 근데. 40 SS 아니 그거는 (대답하지만 분명하게 들리지 않음) 애벌레.

41 T 아 애벌레가 안 왔다고.

42 SS 엄청 재밌었는데.

43 T 재밌었나. 그거 잘 키우지 왜 다 죽여 버렸어.

44 S 물을 안 줘요 애들이

45 T 물을 안 줘 애들이?

46 …

47 T 봐 실험할 때, 아 뭐 이렇게 합시다. 성보라는 실험대상이 있다 합시다.

48 SS (학생들 웃음)

49 T 자 성보, 아 두 개가 있어야 하는데 성보가.

50 SS 민찬이요.

51 T 민찬이? 좀 다르긴 하지만. 이게 실험이 아니지만 그냥 간단하게. 아주 과학적이지않지만, 궁금한거야. 성보 뭐 좋아하노 과자 중에.

52 S 바나나킥

53 T 바나나킥. 어. 그러면 또 누가 하자고, 현준이 하자고?

54 S 민찬이

55 T 민찬이 하자고? 어 민찬이 하자. 민찬이 뭐 좋아하노? 과자 중에?

56 S (다른 학생들이 대답하고) 아 그거 포카칩57 T 아 포카집. 아 바나나킥 대 포카칩. 자 실험을 합니다. 실험을 해요. 두 명을 데리고, 밥을 급식소에서 똑같은 양만큼 먹이고, 그외적으로 성보한테는 바나나칩만 같은 양을 계속 먹여, 그리고 민찬이한테는 포카칩만 계속 먹여. 누가 살이 빨리 찌나?

58 SS 포카칩/바나나킥

59 T 뭐가 빨리 찔 것 같나, 예상컨대. 뭐가 칼로리가 더 높니?

60 SS 포카칩이 나트륨이 많아서.

61 T 그러면 봐봐 아까 얘기한 건 뭐야. 독립변수라는 것은 투입하는 거야. 뭐였어? 바나나칩이나 포카칩 이게 인제 먼저 결정이 되는 거야. 그리고 뒤에 따라오는 건 뭐야? 살이지 살. 그러면 이게 뭐야 x가 뭐야 x가 바로 그런 거예요. (y를 가리키며) 그리고 얘들은따라오는 거야. 이해 돼요? 근데 봐봐. 자 여기 봐요. (역함수로 이동하여) 자 여기 이거는? 이거는 뭐가 결정이먼저 되어야 해? 역함수에서는

62 SS 정의역

63 T 정의역이 뭔데?

64 SS 살

65 T 살, 밥 이거 (웃음) 아이고. 살, 밥 말고 여기 있는 거. 아직 거기서 못 벗어났네. 여기 있는 것 중에서 뭐에요?

이 대화에서 교사는 두 변수를 구분하기 위해 독립변수와 종속변수를 도입하였다. 그리고 이용어들의 의미를 학생들이 알게 하기 위해서 학생들에게 친숙한 맥락을 이용하고자 하였다. 이 과정에서 대화는 수학적 담론에서 비수학적 담론으로 전환되었고(줄 37), 비수학적 담론에서독립변수와 종속변수로 설명할 수 있는 맥락을 학생들의 실제 경험에서 가져오고자 하였다(줄38-45). 그러나 이 시도는 실패했고, 결과적으로가상의 상황을 이용하되 학생들이 쉽게 공유할 수 있도록 특정 학생들과 이 학생들이 좋아하는 과자를 소재로 한 맥락을 선택했다(줄 46-60). 교사는 비수학적 담론에서 형성된 맥락을 이용하여, 학생들에게 독립변수와 종속변수를 직관적으로 구분하도록 하였고, 유추를 통해 역함수에서두 변수를 구분하고, 정의역과 공역을 인식하게하였다. 여기에서 비수학적 담론은 가르치고자하는 수학적 내용에 관한 새로운 용어의 의미를 짧은 시간에 학생들이 파악할 수 있도록 하는 장치로 사용되었다.

3. 논의

분석 결과로부터 수학교실에서 이루어지는 대화는 주로 공적이고 수학적이지만, 사적이거나비수학적인 담론들 또한 존재하는 것을 확인할 수 있었다. 수업에서 실세계 상황이나 맥락 등을이용하여 수학적 개념을 도입하는 상황(예를 들어, 에피소드 6)은 빈번히 일어나며, 교사의 말습관에 대한 대화(에피소드 2)와 같이 비수학적이면서도 사적인 담론도 종종 등장한다. 여기서제기할 수 있는 질문은 다음과 같다: 사적 담론과 비수학적 담론을 수학 수업의 한 측면으로 포함하여 분석하는 것은 필요한가? 이를 분석하는 것은 어떤 의의가 있는가?

만약, 사적 담론과 비수학적 담론이 수학 교수-학습 과정에 기여하지 않거나 기여하는 바가무시할 수 있을 만큼 작다면, 이들에 주목하여수학 수업을 이해하는 것이 필요하지 않을 수있다. 반면, 사적 담론과 비수학적 담론이 어떤 고유한 역할을 하며 수학 교수-학습 과정에 유의미하게 기여한다면, 이를 주목하여 분석하는것은 필요할 것이다.

사적 비수학적 담론은 수학적 담론에서의 주제를 다른 주제로 자연스럽게 이행할 수 있도록 하거나, 수학 수업에서 교사와 학생 사이의 관계를 만들거나 유지하도록 하는 방식으로 수학 교수 학습 과정에 기여할 수 있는 것으로 보인다. 구체적으로 살펴보면, 말 습관에 대한 대화(에피소드 2)에서 교사와 학생 모두 여러 차례 크게웃는 것을 관찰할 수 있었는데, 이러한 웃음은학생이 타자의 관점을 내면화하여 교사와 대화적 관계를 형성할 수 있게 하여(Kazak, Wegerif, & Fujita, 2015), 수학 학습을 도울 수 있다.

공적 비수학적 담론 또한 수업 관리를 위한 것과 수학 교수ㆍ학습을 위한 것으로 크게 구분되는 다양한 역할을 통해 수학 교수 학습에 기여할 수 있는 것으로 보인다. 구체적인 예로, 공적 비수학적 담론은 학생들에게 바람직한 과제 수행을 안내하는 것을 통해 학생들이 자신과 동료의 수학적 실천을 인식하고, 개선할 수 있는기회를 제공하기 위해 사용되기도 하고(에피소드 5), 독립변수와 종속변수와 같은 수학적 개념으로 조직될 수 있는 맥락을 제공하기 위해서 사용되기도 하였다(에피소드 6). 이 사례들은 사적 담론과 비수학적 담론을 수학 수업의 한 측면으로 포함하여 분석하는 것이 수업에 대한 이해를 확장시키는 데 기여할 수 있음을 보여준다.

본 연구에서는 비수학적 담론과 사적 담론의 역할과 특징에 주목하여 수학교실담론을 분석하였다. 담론 분석을 통해 다양한 비수학적 담론과 사적 담론이 수학 수업에서 나타난다는 것을 확인하였고, 그 중 6개의 에피소드들에 대한 보다세밀한 분석을 바탕으로 비수학적 담론과 사적 담론이 수학 교수ㆍ학습에 관한 몇 가지 역할을 수행할 수 있음을 확인하였다. 또한, 비수학적담론과 사적 담론에 관한 몇 가지 특징적인 양상을 확인하였다. 일반적으로 수학 수업에서는공적인 수학적 담론이 수학교실담론의 대부분을 이루고 있고, 기존 연구들은 공적 수학적 담론에초점을 두어 수학 수업에서 나타나는 대화의 양상과 특징을 분석해 왔다. 이 경향과 다르게 본연구에서는 Seeger(2001)의 추측에 기초하여 비수학적 담론과 사적 담론이 수학 수업을 이해하는데 기여하는지를 탐색해 보았다. 본 논문의 결론은 다음과 같다.

첫째, 수학 수업에서 종종 나타나는 비수학적담론은 수업 관리를 위한 것과 수학 교수ㆍ학습을 위한 것 등으로 구분되는 다양한 역할들을 수행하고 있음을 확인하였다. 비수학적 담론은수업의 국면(수업 시작, 개별 또는 조별 활동, 수업 마침), 활동의 유형(개별, 조별, 전체), 학생 관리 등과 같이 수업 관리를 위한 역할을 수행하기도 하고, 새로운 수학적 용어의 이해를 돕는맥락을 제공하거나 학생들이 중요한 수학적 내용에 주목할 수 있도록 하는 등 수학 교수ㆍ학습 과정에 관여하는 역할을 수행하기도 하였다. 첫 번째 에피소드에서 확인할 수 있는 바와 같이 비수학적 담론은 수학적 담론에서의 대화 주제가 자연스럽게 다른 주제로 이동할 수 있도록 하는 역할을 수행하기도 하였고, 학생들에게 바람직한 과제 수행을 안내함으로써 학생들이 자신과 동료의 수학적 실천을 인식하고, 개선할 수있도록 하는 기회를 제공하는 역할 또한 수행하였다.

이와 관련하여 수학적 담론에서 비수학적 담론으로의 전환은 주로 교사에 의해 이루어지는 양상을 보였다. 수학적 담론에서의 이동이 학생들의 발화를 중심으로 이루어질 수 있는 것과 달리, 비수학적 담론으로의 전환은 교사에 의해서 결정되었다. 교사는 자신의 의도에 따라 바로비수학적 담론으로 이동하기도 하고(에피소드 1에서의 줄 3), 학생의 행위 또는 발화를 관찰하고 이를 이용하여 비수학적인 담론으로 전환하기도 하였다(에피소드 2의 줄 8-10). 특히, 학생들의 과제에 대한 피드백을 제공하는 과정에서 교사에 의해 의도적으로 사용된 비수학적 담론은 학생들의 수학적 실천들을 직접적으로 조정할 수 있는 기회를 제공하는 것으로 보인다. Yackel과 Cobb(1996)은 수학 교수-학습 과정의심리적 차원과 사회적 차원이 서로 결부되어 있다고 보는 관점에서, 교실에서의 규범들이 학생들의 심리적 구성에 관여할 수 있다고 주장하였다. 이러한 주장은 담론의 관점에서 새롭게 해석될 수 있다. 이 두 차원들은 수학적 담론과 비수학적 담론이라는 상이한 담론들에 걸쳐 있는 것으로, 이 차원들 사이의 관계는 담론 사이의 전환을 동반한다는 해석이 가능해진다. 이는 교사가 비수학적 담론과 수학적 담론 사이의 전환을조율하고 이들 사이의 관계를 설정하는 것이 교실에서의 규범을 형성하고, 유지하고, 변화시키는 교사의 역할과 어떻게 관련되는지를 생각해 볼 기회를 제공할 수 있다.

둘째, 수학 수업에서의 대화에는 교사-학생 관계를 바탕으로 하는 공적 담론 이외에 교사-학생 관계가 분명하지 않고 모호한 사적 담론이 나타나는 것을 확인하였고, 사적 담론 중 일부는수학 교수ㆍ학습을 위한 몇 가지 역할을 수행할 수 있음을 확인하였다. 일반적으로 사적 담론은교사가 자신의 개인적인 경험이나 상황을 학생들과 공유하는 것과 관련되고, 이러한 교사의 개인적 경험과 상황은 교사의 주장에 학생들이 동감하도록 하거나 교사의 설명에 학생들이 주목하게 하도록 하는 방식으로 사용되었다. 이 연구에서 분석한 교사의 실수에 관한 에피소드에서는 이와 다른 양상의 사적 담론의 사용이 확인되었는데, 교사는 수학적 내용에 있어서 실수를했을 때, 자신의 개인적인 상황을 학생들에게 말하는 방식으로 대처하였다. 이 사례에서 교사는실수의 원인이 수학적 담론이 아닌 다른 담론에 위치하도록 함으로써 실수가 발생한 담론과 실수의 원인을 제공한 담론을 구분하였는데, 이는수학 수업에서 수학에 대한 교사로서의 권위를 유지하도록 하는 장치가 될 수 있다.

이와 관련하여 사적 담론은 비수학적 담론에 비해 나타나는 빈도가 낮은 양상을 보였고, 모든경우에서 사적 담론은 비수학적 담론으로 나타나는 것을 확인할 수 있었다. 또한, 수학 수업에서 사적이면서 수학적인 담론은 거의 등장하지 않는 반면, 공적 비수학적 담론은 자주 등장하는양상을 보였다. 이는 수업 관리 등과 같은 고유한 역할을 하는 비수학적 담론과 다르게 사적 담론이 수업에서 맡는 고유한 역할이 분명하지 않다는 것과 관련되는 것으로 보인다.

본 연구는 다양한 담론들 사이의 관계를 기술하고, 분석하는 것이 수학교사의 수업을 전체적으로 이해하고 수업의 특징을 포착하는 데 도움이 된다는 것을 사례 수준에서 확인했다. 본 연구는 사례 연구라는 점에서 분명한 제한점이 있다. 후속 연구를 통해 사적 담론과 비수학적 담론이 수학 수업에서 나타나는 양상과 역할을 체계적으로 조사하는 것이 필요하다. 이 주제에 대한 연구는 교사와 학생의 관계, 교사의 권위, 학생의 정체성과 같은 수학교실담론의 사회-정치적 차원(Gutiérrez, 2013)을 기술하는 방식으로 수학 수업을 이해하는 이론적 관점을 확장하는 데 기여할 수 있을 것이다. 구체적으로, 수학교실담론을 조율하는 교사의 역할과 관련하여 서로 다른 담론들 사이의 전환 장면에서 교사의 행위를 교사와 학생의 관계 측면에서 분석함으로써 어떻게 교실에서 교사의 권위와 학생의 정체성이 재생산되는지를 확인할 수 있을 것이다. 또한, 실천적인 면에서 교사와 학생 사이의 사적인 대화가 교육적으로 어떤 잠재력을 가질 수 있는지 확인하여, 수학 교사의 수업 전문성을 제고하는데 기여할 수 있을 것이다.

1) Vygotsky(1980)Bakhtin(1981)은 모두 공통적으로 대화와 수학 학습 사이의 관계를 보는 관점을 제공하지만, Vygotsky(1980)는 일상적 언어에서 수학적 언어로의 이행을 일종의 상승으로, 즉 비형식적 언어를 구사하는 것이 형식적 언어를 사용하는 것에 변증법적으로 통합되는 것으로 학습을 본 반면, Bakhtin(1981)은 하나의 언어에서 다른 언어로의 이행을 상승이 아닌 전환으로, 다양한 이질적인 복수의 담론들이 공존하여 대화적인 관계를 맺는 것을 학습으로 본다(Barwell, 2016).

  1. Arzarello, F. (1998). The role of natural language in prealgebraic and algebraic thinking. In H. Steinbring, M. Bussi & A. Sierpinska (Eds.), Language and communication in the mathematics classroom. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.
  2. Austin, J. L. (1962). How to do things with words. Cambridge: Havard University Press.
  3. Ball, D. L. (1993). With an eye on the mathematical horizon: Dilemmas of teaching elementary school mathematics. The Elementary School Journal. 93(4), 373-397.
    CrossRef
  4. Ball, D. L. & Bass, H. (2003). Toward a practice-based theory of mathematical knowledge for teaching. In B. Davis & E. Simmt (Eds.), Proceedings of the 2002 annual meeting of the Canadian Mathematics Association Study Group. Edmonton, AB: CMESG/GDEDM.
  5. Ball, D. L. & Forzani, F. (2007). What makes education research "educational"? Educational Research. 36(9), 529-540.
    CrossRef
  6. Ball, D. L. & Forzani, F. (2009). The work of teaching and the challenge for teacher education. Journal of Teacher Education. 60(5), 497-511.
    CrossRef
  7. Ball, D. L., Thames, M. H. & Phelps, G. (2008). Content knowledge for teaching: What makes it special? Journal of Teacher Education. 59(5), 389-407.
    CrossRef
  8. Bakhtin, M. M. (1981). The dialogic imagination: Four essays . In M. Holquist, C. Emerson & M. Holquist (Eds.). Austin, TX: University of Texas Press.
  9. Bakhtin, M. M. (1986). Speech genres and other late essays . In Trs., W. McGee, C. Emerson & M. Holquist (Eds.). Austin, TX: University of Texas Press.
  10. Barwell, R. (2009). Researchers' descriptions and the construction of mathematical thinking. Educational Studies in Mathematics. 72(2), 255-269.
    CrossRef
  11. Barwell, R. (2016). Formal and informal mathematical discourses: Bakhtin and Vygotsky, dialogue and dialectic. Educational Studies in Mathematics. 92(3), 331-345.
    CrossRef
  12. Brousseau, G. (1997). Theory of didactical situations in mathematics. Dordrecht, The Netherlands: Kluwer Academic Publishers.
    CrossRef
  13. Chapman, A. (1993). Language and learning in school mathematics: A social semiotic perspective. Issues in educational research. 3(1), 35-46.
  14. Cohen, D. K., Raudenbush, S. W. & Ball, D. L. (2003). Resources, instruction, and research. Educational Evaluation and Policy Analysis. 25(2), 119-142.
    CrossRef
  15. Cohen, D. K. (2011). Teaching and its predicaments. Cambridge, MA: Harvard University Press.
    CrossRef
  16. Ellerton, N. F. & Clarkson, P. C. (1996). Language factors in mathematics teaching and learning. In International handbook of mathematics education. Dordrecht: Springer.
    CrossRef
  17. Erickson, F. (1986). Qualitative methods in research on teaching. In M. C. Wittrock (Ed.), Handbook of research on teaching. New York: Macmillan, pp.
  18. Freudenthal, H. (1978). Weeding and sowing: Preface to a science of mathematical education. Dordrecht, The Netherlands: Reidel.
  19. Gutiérrez, R. (2013). The sociopolitical turn in mathematics education. Journal for Research in Mathematics Education. 44(1), 37-68.
    CrossRef
  20. Halliday, M. (1978). Language as social semiotic. Arnold: London.
    CrossRef
  21. Hiebert, J., Carpenter, T. P., Fennema, E., Fuson, K. C., Wearne, D., Murray, H., Olivier, A. & Human, P. (1997). Making sense: Teaching and learning mathematics with understanding. Portsmouth, NH: Heinemann.
    CrossRef
  22. Hiebert, J. & Morris, A. K. (2012). Teaching, rather than teachers, as a path toward improving classroom instruction. Journal of Teacher Education. 63(2), 92-102.
    CrossRef
  23. Hill, H. C., Rowan, B. & Ball, D. L. (2005). Effects of teachers' mathematical knowledge for teaching on student achievement. American Educational Research Journal. 42, 371-406.
    CrossRef
  24. Hill, H. C., Blunk, M. L., Charalambous, C. Y., Lewis, J. M., Phelps, G. C., Sleep, L. & Ball, D. L. (2008). Mathematical knowledge for teaching and the mathematical quality of instruction: An exploratory study. Cognition and Instruction. 26(4), 430-511.
    CrossRef
  25. Hwang, S. W., Kang, B. G., Kim, Y. R., Yun, G., Kim, S. Y., Song, M. H., Lee, S. W., Do, J., Lee, M-H., Park, H. J. & Park, J. H. (2014). Calculus 2. Seoul: Sinsago. 황선욱, 강병개, 김영록, 윤갑진, 김수영, 송 미현, 이성원, 도종훈, 이문호, 박효정, 박진호(2014). 미적분 2. 서울: ㈜ 좋은책신사고.
  26. Ing, M., Webb, N. M., Franke, M. L., Turrou, A. C., Wong, J., Shin, N. & Fernandez, C. H. (2015). Student participation in elementary mathematics classrooms: the missing link between teacher practices and student achievement? Educational Studies in Mathematics. 90(3), 341-356.
    CrossRef
  27. Jeon, J. (2014). A study on key words analysis of the public and private discourse in Korean spoken language. Discourse and Cognition. 21(1), 105-126. 전지은(2014). 핵심어 분석을 통한 구어 공적/사적 담화 특징 연구. 담화와 인지, 21(1), 105-126.
    CrossRef
  28. Kazak, S., Wegerif, R. & Fujita, T. (2015). The importance of dialogic processes to conceptual development in mathematics. Educational Studies in Mathematics. 90(2), 105-120.
    CrossRef
  29. Kim, N. H., Na, G. S., Park, K. M., Lee, K. H., Chung, Y. O. & Hong, J. G. (2006). Mathematics Curriculum and Textbook Research. Seoul: Kyung-Mun-SA. 김남희, 나귀수, 박경미, 이경화, 정영옥, 홍진곤(2006). 수학교육과정과 교재연구. 서울: 경문사.
    CrossRef
  30. Lampert, M. (2001). Teaching problems and the problems in teaching. New Haven, CT: Yale University Press.
    CrossRef
  31. Lampert, M., Franke, M. L., Kazemi, E., Ghousseini, H., Turrou, A. C., Beasley, H., Cunard, A. & Crowe, K. (2013). Keeping it complex: Using rehearsals to support novice teacher learning of ambitious teaching. Journal of Teacher Education. 64(3), 226-243.
    CrossRef
  32. Langer-Osuna, J. (2018). Productive disruptions: Rethinking the role of off-task interactions in collaborative mathematics learning. Education Sciences. 8(2), 87.
    CrossRef
  33. Lave, J. & Wenger, E. (1991). Situated learning: Legitimate peripheral participation. Cambridge: Cambridge university press.
    CrossRef
  34. Llewellyn, A. (2016). Problematising the pursuit of progress in mathematics education. Educational Studies in Mathematics. 92(3), 299-314.
    CrossRef
  35. Miles, M. B., Huberman, A. M. & Saldaña, J. (2014). Qualitative data analysis: a methods sourcebook. Thousand Oaks, CA: SAGE. http://mirlyn.lib.umich.edu/Record/012444368.
    CrossRef
  36. Ministry of Education (2015). Mathematics Curriculum. Notification of the Ministry of Education No. 2015-74. [Vol 8]. Seoul: Author. 교육부. (2015). 수학과 교육과정. 교육부 고시 제 2015-74 호 [별책 8].
    CrossRef
  37. Morris, A. K., Hiebert, J. & Spitzer, S. (2009). Mathematical knowledge for teaching in planning and evaluating instruction: What can preservice teachers learn? Journal for Research in Mathematics Education. 40(5), 491-529.
    CrossRef
  38. Morris, A. K. & Hiebert, J. (2017). Effects of Teacher Preparation Courses: Do Graduates Use What They Learned to Plan Mathematics Lessons? American Educational Research Journal. 54(3), 524-567.
    CrossRef
  39. NCTM (2007). 학교수학을 위한 원리와 규준, (류희찬 외 5인, 역), 서울: 경문사.
  40. Noh, D. K. (1996). Korean spoken language and written language. Goyang: Kookhak. 노대규(1996). 한국어의 입말과 글말. 국학자료원.
  41. Pimm, D. (1987). Speaking mathematically: Communication in mathematics classrooms. London, UK: Routledge.
  42. Ryve, A. (2011). Discourse research in mathematics education: A critical evaluation of 108 journal articles. Journal for research in mathematics education. 42(2), 167-199.
    CrossRef
  43. Searle, J. R. (1969). Speech acts: An essay in the philosophy of language. Cambridge: Cambridge university press.
    CrossRef
  44. Sfard, A. (1998). On two metaphors for learning and the dangers of choosing just one. Educational researcher. 27(2), 4-13.
    CrossRef
  45. Sfard, A. (2001). There is more to discourse than meets the ears: Looking at thinking as communicating to learn more about mathematical learning. Educational studies in mathematics. 46(1-3), 13-57.
    CrossRef
  46. Sfard, A. & Kieran, C. (2001). Cognition as communication: Rethinking learning-by-talking through multi-faceted analysis of students' mathematical interactions. Mind, Culture, and Activity. 8(1), 42-76.
    CrossRef
  47. Sfard, A. (2008). Thinking as communicating: Human development, the growth of discourses, and mathematizing. Cambridge: Cambridge University Press.
    CrossRef
  48. Sfard, A., Nesher, P., Streefland, L., Cobb, P. & Mason, J. (1998). Learning mathematics through conversation: Is it as good as they say? For the learning of mathematics. 18(1), 41-51.
  49. Seo, S. K. & Kim, H. J. (2005). On some Practical Conditions for Developing Spoken Language Corpus. Language Facts and Perspectives. 16, 5-29. 서상규, 김형정(2005). 구어 말뭉치 설계의 몇 가지 조건. 언어사실과 관점, 16, 5-29.
  50. Simon, M. A. (2009). Amidst multiple theories of learning in mathematics education. Journal for Research in Mathematics Education. 40(5), 477-490.
    CrossRef
  51. Stigler, J. W. & Hiebert, J. (1999). The teaching gap: Best ideas from the world's teachers for improving education in the classroom. New York: Free Press.
    CrossRef
  52. Temple, C. & Doerr, H. M. (2012). Developing fluency in the mathematical register through conversation in a tenth-grade classroom. Educational Studies in Mathematics. 81(3), 287-306.
    CrossRef
  53. Vygotsky, L. S. (1980). Mind in society: The development of higher psychological processes. Harvard university press.
    CrossRef
  54. Walshaw, M. & Anthony, G. (2008). The teacher's role in classroom discourse: A review of recent research into mathematics classrooms. Review of educational research. 78(3), 516-551.
    CrossRef
  55. Wenger, E. (1998). Communities of practice: Learning, meaning and identity. Cambridge, UK: Cambridge University Press.
    CrossRef
  56. Wertsch, J. (2014). 보이스 오브 마인드: 매개된 행위에 대한 사회문화적 접근, (박동섭 역). 서울: 학이시습. (영어초판은 1991년 출판).
  57. Yackel, E. & Cobb, P. (1996). Sociomathematical norms, argumentation, and autonomy in mathematics. Journal for research in mathematics education. 27(4), 458-477.
    CrossRef
  58. Yin, R. K. (2003). Case study research: Design and methods. Thousand Oaks, CA: Sage Publications.
    CrossRef

Article

전자저널 논문

2020; 30(1): 153-175

Published online February 28, 2020 https://doi.org/10.29275/jerm.2020.02.30.1.153

Copyright © Korea Society of Education Studies in Mathematics.

Non-mathematical Discourse and Private Discourse in Mathematics Instruction

Jinwoo Cho1, Yeon Kim2

* Lecturer, Gyeongin National University of Education, South Korea, jinwoo1987@hanmail.net
** Professor, Silla University, South Korea, yeonkim10@silla.ac.kr

Correspondence to:corresponding author

Received: January 10, 2020; Revised: February 4, 2020; Accepted: February 15, 2020

Abstract

The purpose of this study was to focus on non-mathematical discourse and private discourse as a way to identify the dynamics of interactions in mathematics instruction. The data for this study comprised a series of four lessons about the inverse function of a high school teacher. The findings report that mathematics instruction includes diverse kinds of discourse. Also, non-mathematical discourse and private discourse have their own roles and features and have combinations with mathematical discourse for the purposes of mathematics lessons. Based on results, the analysis of non-mathematical discourse and private discourse would contribute to expanding the understanding of mathematics instruction. This study discusses the roles of different kinds of discourses in mathematics instruction.

Keywords: discourse in mathematics instruction, discourse analysis, mathematical discourse, non-mathematical Discourse, private discourse

I. 서론

수업은 학생의 지식과 능력을 발전시키기 위해의도된 교수 활동으로, 교사와 학생 그리고 교과의 상호작용에 기초한다(Cohen, Raudenbush, & Ball, 2003). 구체적으로, 교사는 학생들에게 교과내용을 담은 과제를 제시하거나 설명을 제공하며, 학생은 교사의 말과 행위, 판서 및 동료의말, 그리고 교과서의 내용 등을 해석하고, 반응한다. 다시 교사는 학생들의 반응을 해석하고, 이에 뒤따르는 언어적 또는 비언어적 행위를 한다. 그리고 교실 공동체 구성원 각각의 행위와이들 간의 상호작용은 시간에 따라 반복적으로 나타난다(Lampert, 2001). 이와 같이 반복적으로나타나고 변화하는 다양한 상호작용은 교수-학습 활동을 특징짓고 구성하는 수업의 특징으로, Ball & Forzami(2007)는 이를 교수학적 역학(instructional dynamic)이라고 하였다.

교실에서의 상호작용에 초점을 둔 연구들이 이론적 측면과 실천적 측면 모두에서 풍부하게 수행되어 왔다(Ball & Forzami, 2007; Cohen, Raudenbush, & Ball, 2003; Herbst & Chazan, 2012; Hiebert, Capenter, Fennema, Fuson, Wearne, Murray, et al., 1997; Hiebert & Morris, 2012; Lampert, 2001; Lampert, Frank, Kazemi, Ghousseini, Turrou, Beasley et al. 2013; Rezat & Sträßer, 2012; Stigler & Hiebert, 1999). 이론적 측면에서 접근한 연구로는 교실 상호작용을 규정하고 기술하는 데 사용할 수 있는 틀을 제안하고자 하는 시도들(Cohen, Raudenbush, & Ball, 2003; Herbst & Chazan, 2012; Rezat & Sträßer, 2012)이 대표적이다. 실천적 측면에서 접근한 대표적인 예로는 교수 과업(work of teaching)에 주목한 연구들이 있다. 이 연구들은 교수 과업을규정하고, 주요 과업을 확인하고, 과업을 수행하는 교사의 실천을 이해하고 증진시키고자 하였다 (Lampert, 2001; Lampert et al., 2013). Ball(1993)은 수업의 상호작용에 동원되는 교사의 지식과 판단의 중요성에 주목하였고, 학교에서 다루는수학 주제에 대한 세밀한 분석을 통해 교수학적인 상황에서만 요구되는 교사들의 독특한 과업을 확인할 수 있으며, 교사가 해야 하는 과업을규정할 수 있다고 하였다. 또한, Lampert(2001)는 교사이면서 연구자로서 시행한 수학 수업들을 분석하여 교사가 수행해야 하는 주요 과업을 보고하고, 초임교사들을 대상으로 그러한 주요 과업을 실제 교실에서 충실하게 실현할 수 있도록 교육하는 방법을 제안하였다(Lampert et al., 2013).

MKT(Mathematical knowledge for teaching)로 알려진 교수를 위한 내용지식의 실천 기반 이론은 수학 수업과 관련된 실제 기록들을 이용한 연구로, 수학 수업의 실제에 기반을 두면서도 수학의 학문적 근거에 기초하여 이론적 측면과 실천적 측면 모두를 아우르는 방식으로 교수 행위의 본질을 풀어내고자 하였다(Ball, Thames, & Phelps, 2008). 예를 들어, 학생들의 소수에 대한이해를 평가하기 위하여 문제를 선택해야하는 상황에서 교사가 무엇을 고려해야 하고, 그 판단의 과정은 어떠해야 하는가에 대한 실제적이고 규범적인 과정을 파악하고 규정했다(Ball & Bass, 2003). 이러한 작업들을 기초로 수업의 질과 학생들의 학업성취도에 MKT가 미치는 영향력을 보고하였고(Hill, Rowan, & Ball, 2005; Hill, Blunk, Charalambous, Lewis, Phelps, Sleep, et al., 2008), 최근에는 교수 행위가 왜 전문적인 행위인지를 명시하였다(Ball & Forzani, 2009).

한편, 일상적인 수학 수업은 다양한 면모를 가지고 있다. 교수 과업의 측면에서 수학 수업을보면, 교사와 학생이 수학에 대해 중요한 대화를 나누는 순간에 주로 주목하게 되고, 그 순간 교사가 무엇을 하고 있는지 그리고 그러한 교수 행위의 의미가 무엇인지를 상세하게 분석하는 데 초점을 두게 된다. 그러나 이와 같이 수학 수업의 특정 순간에만 주목하는 것은 역설적이게도 오히려 수학 수업의 이해를 제한할 수 있다(Seeger, 2001). 한 발 떨어져 일상적인 수학 수업을 떠올려 보면, 교사와 학생 사이의 말 그대로의 “일상적인” 대화와 같이 다양한 상호작용또한 이루어지고 있음을 알 수 있다. 이와 같은 “일상적인” 대화도 엄연히 수업의 일부분임에도불구하고, 연구의 초점이 중요한 수학적 내용이다루어지는 순간에 주로 주목함에 따라 의도적으로 연구의 대상에서 소외되어 왔다. 수학 수업은 일종의 교수학적 계약으로 맺어진 상황으로 수학 수업에서 교사와 학생들이 나누는 대화는 목적 지향적 특징을 갖고 있기 때문에(Brousseau, 1997), 일상적인 대화 또한 수학 수업에서 어떤역할을 할 것이라 추측할 수 있다.

그런데 일상적인 대화와 수학 학습 사이의 관계를 어떻게 기술할 수 있는가? 이 질문은 대화와 수학 학습 사이의 관계를 규정하는 관점을 선택하는 것과 관련된다. 본 연구에서는 Sfard의수학 학습에 대한 담론적 접근(Sfard, 2008)과 Bakhtin의 대화 이론(Bakhtin, 1981)을 채택함으로써, 수학 학습을 의사소통의 변화로 그리고 대화에 포함된 담론들의 관계를 변증법적인 것이 아닌 대화적인 것으로 보는 관점1)에 기초한다.

본 연구는 수학 수업에서 일상적인 대화의 특징과 역할들을 주목하는 것이 수학 수업의 중요한 면모와 특징을 드러낼 수 있는 기회가 될 수 있다는 추측에 기초한다. 수업의 일상적인 측면은 기존 연구 프로그램에서 의도적으로 제외되었기에, 소수의 연구들(예를 들어, Maheux & Roth, 2014)에서만 대화의 일상적인 측면에 대한분석이 일부 다루어졌을 뿐, 이를 주제로 한 선행연구는 Langer-Osuna(2018) 외에는 찾아보기힘들다. 또한, 이 주제에 대한 국내 연구는 거의찾을 수 없고, 고등학교 수학 수업을 사례로 수학 수업의 대화를 분석하는 경우는 특히 드물다. 본 논문은 기존에 주목받지 않았던 수학 수업의 일상적인 측면을 기술하여 수학 수업에 대한 이해를 개선하는 데 기여하는 것을 목적으로 하는 탐색적인 성격의 사례연구이다. 이를 위해, 담론적 접근의 이론적 관점과 도구를 이용하여 한 교사의 4차시의 수업을 분석하고, 분석 결과를바탕으로 비수학적 담론과 사적 담론을 수학 수업의 한 측면으로 포함하여 분석하는 것의 필요성과 의의에 대해 논의하고자 한다. 본 연구에서다루는 연구 문제는 다음과 같다.

  • 수학 수업에서 비수학적 담론과 사적 담론은어떤 양상으로 나타나는가?

  • 수학 수업에서 비수학적 담론과 사적 담론의역할은 무엇인가?

II. 이론적 배경

1. 수학 교수ㆍ학습과 담론

수학 학습은 인식론적 입장과 학습 이론에 따라 다양하게 정의된다(Simon, 2009). 플라톤의 인식론에서 학습은 인식 상태의 변화로, 피아제의관점에서는 인지구조의 변화로, Dewey의 관점에서는 경험의 변화로 정의된다. 일반적으로 학습은 언어에 의해 규정되고 개념화되며, 개념화된학습을 이론적으로 실천적으로 이용하는 것 또한언어에 기초한다(Sfard, 1998). Sfard(1998)는 학습에 관한 다양한 문헌들을 고찰하여, 학습을 기술하고 설명하는 데 주로 습득과 참여의 두 가지의 은유가 사용된다고 하였다. 습득 은유는 학습을 무엇인가의 습득으로 보는 반면, 참여 은유는학습을 활동 또는 공동체에 대한 참여로 본다.예를 들어, 학습을 지식을 전달하고 전달받는 것또는 어떤 지식이나 개념을 구성하는 것이라고말하는 것은 습득 은유를 사용한 것이다. 참여은유를 이용하여 학습을 기술하고 설명하는 것은 Lave & Wenger(1991, 1998)의 관점을 따르는 것으로, 이들은 학습을 어떤 공동체의 초보자가 합법적인 주변적 참여를 통해 완전한 참여자가 되어가는 과정으로 본다(Lave & Wenger, 1991). 수학 학습에 대한 담론적 접근을 제안한 Sfard(2008)는 참여 은유를 사용하여, 수학 학습을수학적 담론에 참여하는 방식의 양적ㆍ질적 변화로 보았다. 이와 같은 수학 학습을 보는 관점의전환은 수학 학습에서 의사소통의 역할에 대한 이해를 확장할 기회를 제공한다.

수학적 지식에 대한 관점이 절대주의에서 비-절대주의로 변화하면서 그리고 심리에 관한 연구가 철학을 벗어나 하나의 독립된 영역을 이루면서 교육적 상황에서의 언어와 의사소통에 주목하기 시작했다. 인식 결과인 지식(knowledge)에대해 주목하던 것에서 인식 과정인 앎(knowing)으로 초점이 이동하게 되었고, 심리적 과정에 대한 독립된 연구로부터 학생의 능동적 활동과 언어의 역할이 강조되었다. 특히, 인간의 고등정신 기능의 기원이 사회적 상호작용에 있고, 언어와기호 등의 심리적 도구는 내적 방향으로의 사용이라는 점에서 특징적이라는 Vygotsky의 주장(Vygotsky, 1980; Wertsch, 2014)은 학습에서 언어와 의사소통의 역할에 대해 주목하게 하였다. 수학 학습을 수학적 담론과 연결하는 것은 이러한 배경에서 시작되었다. 수학교육에서 언어의 역할에 대한 인식은 1950년대에도 있었지만, 본격적인 연구는 1980년대부터 수행되기 시작하였는데(Ellerton & Clarkson, 1996), 최근 언어와 의사소통에 대한 연구는 정체성, 권력, 공평성 등의 문제를 다루는 윤리적 그리고 정치적 관점까지 확장되었다(Gutierrez, 2013).

일반적으로 수학 학습과 의사소통과의 관계는 인식론적 입장과 학습 이론에 따라 다르게 기술되고 설명되지만, 공통적으로 의사소통이 수학학습을 돕는 것으로 간주된다(Sfard, Nesher, Streefland, Cobb, & Mason, 1998). 수학 교수·학습 과정에서 교사와 학생 간 그리고 학생들 사이의 활발한 의사소통을 통해 학생은 무엇인가를 배울 기회를 얻고, 교사는 무엇인가를 지도할 기회를 얻는 것으로 보는 것이다. 한편, 수학 학습에서 수학적 언어는 학습의 대상이기도 하다 (Arzarello, 1998; Pimm, 1987; Chapman, 1993). 이와 같은 입장은 교육과정 문서에서도 확인할 수 있는데, 우리나라 교육과정과 NCTM의 규준은모두 수학적 표현을 적절히 사용하는 것과 수학적 표현과 개념들을 적절히 사용하여 다른 사람과 효과적으로 의사소통하는 것 또한 학생들이 갖추어야 하는 능력으로 본다(교육부, 2015; NCTM, 2007).

Sfard et al. (1998)은 수학 학습과 의사소통 사이의 관계를 여러 측면에서 조망하였다. 이들의공통의견 중 하나는 어떤 의사소통이 어떻게 학습에 기여하는지에 보다 주목해야 한다는 것이었다(Sfard et al., 1998). 그리고 Sfard는 이 문제를 보다 정확하게 이해하기 위해서는 수학 학습과 의사소통 사이의 관계를 다르게 보는 새로운 이론적 관점이 필요하다는 주장을 제기했다 (Sfard, 2001; Sfard & Kieran, 2001; Sfard, 2008). Sfard는 의사소통이 수학 학습을 도우며 수학적언어 사용이 수학 학습의 일부라고 보는 것 이상으로 수학 학습과 의사소통 사이의 관계를 고려하는 것이 필요하다고 보았다(Sfard & Kieran, 2001). 이에, Sfard(2008)는 수학 학습을 의사소통의 변화로 정의할 것을 제안하였다. Sfard가 제안한 수학 학습에 대한 담론적 관점에서 의사소통은 집단적으로 수행되어온 유형화된 활동으로 정의되고, 사고는 의사소통의 한 방식으로서 (개인 간) 의사소통이 개별화된 형태로 정의되며, 수학 학습은 수학에 관한 의사소통 방식의 변화로 정의되고, 수학 학습은 수학적 담론의 적법한참여자가 되어가는 과정으로 기술된다(Sfard, 2008).

2. 수학적 담론과 비수학적 담론

수학교실에서 이루어지는 대화를 지칭하기 위해, 대화, 의사소통, 담론 등의 다양한 용어를 사용할 수 있다. 어떤 단어를 사용하는가 하는 것은 이 현상을 이해하는 이론적 관점과 가정들을 선택하는 것과 관련된다는 점을 고려하여(Sfard, 1998; Barwell, 2009), 본 연구에서는 의도적으로담론이라는 단어를 선택하여 사용한다. 담론(discourse)은 일반적으로 언어(language)와 다른것으로 여겨진다. 특히, 기표와 기의가 관계를중심으로 언어를 보는 관점(예: 소쉬르의 언어학)에서는 체계로서의 언어(langue)에 주목하는반면, 담론(discourse)은 사용으로서의 언어(parole, language in use)에 주목한다는 점에서 차이가 있다. 사용으로서의 언어에 주목하는 담론적 관점은 각 발화들을 일종의 사회적 실천(social practice)으로 보는 가정을 포함한다(Ryve, 2011). 이 가정은 Austin(1962)Searle(1969)의 화행이론(speech-act theory)에서 제안된 것으로, 발화가 단순히 의미를 전달하는 것을 넘어서 행위로서 기능한다고 본다. 이러한 가정은 수학 수업에서교사의 발화가 학생들의 후속 행위를 지시하고, 교사와 학생 사이의 관계를 수립하는 것으로 해석될 수 있도록 하는 토대가 된다.

수학적 담론과 비수학적 담론은 몇 가지 측면들에서 구분된다. 비수학적 담론의 대표적인 예는 일상적 담론으로, 일상적 담론과 수학적 담론은 사용되는 단어와 시각적 매개체 그리고 문장들에 따라 구분될 수 있다(Sfard, 2008). 단어와관련하여 일상적 담론과 수학적 담론은 사용되는 단어와 단어의 사용 방식에 의해서 구분된다. 예를 들어, 일상적으로 모양을 기술하기 위해서는 세모, 네모, 동그라미와 같은 단어가 사용되지만 수학적으로는 삼각형, 사각형, 원과 같은단어가 사용된다. 또한, 수학적 담론에서는 일상적 담론에서 사용하는 단어와 동일한 단어를 다른 방식으로 사용하기도 한다. Pimm(1987)은 일상적 언어와 수학적 언어를 구분하기 위해 Halliday(1978)의 언어학에서 사용역(Register)라는개념을 도입하여, 일상적 언어와 수학적 언어가각각의 사용역(Register)에서 차이가 있으며 이차이를 바탕으로 일상적인지 그리고 수학적인지를 구분할 수 있다고 설명한다. Pimm(1987)은 수학을 일종의 언어로 보았고, 이에 따라 수학에는특수한 용어를 사용하는 의미-만들기 체계, 일상단어들의 수학적 의미로의 사용, 수학에 특수한표현들, 수학에 특수한 문장 구성 등의 언어적 측면들이 포함된다고 보았다(Temple & Doerr, 2012).

일상적 담론과 수학적 담론 사이의 관계를 수학 학습과 관련하여 생각해 볼 수 있다. 이 관계에 대한 가장 기본적인 관점은 일상적 담론에서 수학적 담론으로의 이행을 수학 학습으로 보는 것이다. 이 관점에서는 일상적 담론에서 수학적담론의 이행을 일종의 수준 상승으로 본다. 예를들어, Freudenthal(1978)은 수학적 언어를 네 가지수준인 명시적 언어 수준, 관계적 언어 수준, 대상 지표의 수준, 관계적 상징의 수준으로 구분하였다. 여기에서 첫 번째 수준과 두 번째 수준은모두 일상적 언어를 사용하여 표현한다는 공통점을 갖는다. 반면, 세 번째 수준은 수학적 대상을 일상적 언어가 아닌 지표로 나타내고, 네 번째 수준은 수학적 관계를 상징을 통해 나타내는 것으로 이들은 일상적 언어를 사용하지 않는다는 공통점이 있다. Arzarello(1998)는 대수 학습에있어서 일상적 언어가 수학적 언어보다 비효율적이고, 양적 관계를 표현하는 데 적절하지 못하며, 대수적 표현에서 표현 가능하지만 일상적 언어에서는 표현 가능하지 않은 것이 있다는 점을 지적하고, 산술에서 대수로 이행하기 위해서는일상적 담론에서 수학적 담론으로 이행하는 것이 필요하다고 보았다. 이와 같은 관점은 일상적 담론과 수학적 담론 사이의 관계를 상하 관계로 두고, 수학 학습을 수학적 언어의 습득을 포함하는 수학적 언어로의 이행으로 설명하는 것이다.

한편, Barwell(2016)Llewellyn(2016)은 일상적 담론과 수학적 담론 사이의 관계를 상하 또는 우열의 관계로 보는 것에 대해 의문을 제기했다. 특히, Barwell(2016)은 Bakhtin의 관점(Bakhtin, 1981, 1986)을 차용하여, 일상적 담론과 수학적담론의 관계를 일종의 이항 대립 관계로 두 관점이 통합되어 상승하는 변증법적인 관계가 아닌 대화적 관계에 놓여 있는 것으로 보는 수학 수업에서의 대화를 이해하는 새로운 해석을 제시했다. 이를 바탕으로 수학교실담론이 복수의담론들이 공존하는 것으로, 그리고 담론들로부터수학적 의미가 발생하는 것으로 해석하는 것이 가능함을 보였다. Barwell(2016)에 따르면, 수학적 의미는 대립이 아닌 대화적 관계에서 나타나고, 일상적 담론은 수학적 담론이 형성되고 발전되고 유지되는 과정에서도 여전히 공존한다. 이관점에서는 수학 학습을 일상적 담론에서 수학적 담론으로의 이행이 아니라 말하는 래퍼토리가 늘어나는 것으로 설명하고, 일상적 담론과 수학적 담론 사이의 관계는 상하 관계가 아닌 수평적인 것으로 기술된다.

일상적 담론과 수학적 담론 사이의 관계를 보는 방식에 따라 수학 학습에서 일상적 담론의 역할을 다르게 이해하게 된다. 두 담론 사이의관계를 변증법적인 구도로 보는 관점에서는 교사가 일상적 표현을 사용하여 수학적 대상을 기술하고 설명하는 행위는 학생들의 학습을 돕는 도구의 역할을 하는 것으로 이해되며, 수학적 담론을 만들거나 생산하는 역할을 한다고 해석되지 않는다. 그러나 두 담론 사이의 관계를 대화적인 구도에서 보는 관점에서는 일상적 담론이 수학적 담론으로 조직될 대상이나 수학 학습을 돕는 도구로서의 역할을 하는 것으로 다루어지지 않고, 오히려 수학적 담론을 수학적 담론으로규정할 수 있도록 하고, 수학적 담론에서 의미를생산하는 역할을 하는 것으로 해석할 수 있다 (Barwell, 2016).

3. 수학 수업에서 공적 담론과 사적 담론

수학 수업에서 교사는 학생들과 다양한 종류의 대화를 나눈다. 때로 교사는 학생들에게 날씨에 관한 이야기를 하기도 하고, 학생들에게 건강에 유의하라는 조언을 하기도 하며, 학생들의 관심사에 대해 묻기도 한다. 또한, 수학 교수ㆍ학습을 위한 활동들에서 학생들에게 수학적 내용을 가르치기 위한 대화를 나누기도 하고, 학생들의 수업 태도를 관리하기 위한 대화를 나누기도 한다. 수학 수업에서 이루어지는 대화 중 대부분은 교사의 역할을 수행하는 것과 관련되지만, 일부 대화들은 교사의 역할과 무관한 것으로 보인다. 대화참여자 사이에 형성되는 관계에 따라 그리고 대화가 이루어지는 상황과 맥락에 따라 대화는 공적 담론과 사적 담론으로 구분될 수 있는데, 관계의 ‘공공성’이 이를 구분하는 기준으로 사용될 수 있다(Seo & Kim, 2005). 예를 들어, 수학 수업에서 대화참여자들은 교사와 학생으로, 이들의 관계가 수학을 가르치고 배우는 것일 때 공공성을 갖는다고 할 수 있다.

수학 수업에서는 학생들을 수업에 참여하도록장려하고 중요한 수학적 내용을 지도하기 위한 다양한 대화가 발생하는데, 이 대화들은 공적 담론에 해당한다. 특히, 설명하기와 논증하기 등특정한 활동 등이 포함된 수학적 담론은 학생들에게 수학 학습을 위한 양질의 기회를 제공하는 것으로 알려져 있다(Walshaw & Anthony, 2008). Ing, Webb, Frank, Torrou, Wong, shin, et al. (2015)은 학생들이 수학적 논의에 참여하도록 안내하고, 학생들의 참여를 지원하는 교사의 실천이 학생들의 성취에 유의미한 영향을 미친다는것을 보고하였는데, 이는 공적 담론에서 교사 역할의 중요성을 뒷받침한다.

Walshaw & Anthony(2008)는 교사의 역할에 대한 문헌들을 체계적으로 분석하여, 수학 수업의공적 담론에서 학생들을 수학적 담론에 참여하도록 하는 것, 학생들의 사고를 정교화하는 것, 언어를 통해 수학적 사고를 미세하게 조정하는 것, 수학적 논증을 만드는 것과 관련된 교사의중요한 역할들이 있다고 보고하였다. 한편, Langer-Osuna(2018)는 수학 수업에서 과제와 무관한 상호작용이 참여와 학생의 정체성 형성에 관여할 수 있고, 참여와 학생의 정체성은 수학학습과 관련되기 때문에, 이와 같은 상호작용의역할에 주목할 것을 제안하였다. Walshaw & Anthony(2008)의 연구는 사적 담론을 고려하지않았다는 점에서 그리고 Langer-Osuna(2018)의연구는 학생 간의 사적 담론만 고려했다는 점에서 각각 제한적이지만, 이 연구물들을 함께 고려하는 것은 수학 수업에서의 공적 담론 내에서 수행되는 교사의 역할을 사적 담론으로 확장하여 보는 것이 수학 학습에 관한 추가적인 관찰들을 제공해 줄 수 있음을 시사한다.

Jeon(2014)은 공적 담론과 사적 담론을 분석하여, 이들이 내용어와 기능어에 있어서 큰 차이가있다고 보고하였다. 예를 들어, 사적 담론에서는고유명사가 빈번히 사용되고, 나, 너, 그거와 같은 대명사가 주로 사용되는 반면, 공적 담론에서는 제, 저희, 여러분과 같은 대명사가 주로 사용된다. 이와 같은 차이는 언어의 격식성 또는 형식성과 관련되는 것으로, Noh(1996)는 존대를 나타내지 않거나 예의를 갖추지 않고 친근하게 쓰는 말을 비격식적 구어로, 공식적인 장소에서 존대와 예절을 갖추어 사용하는 말을 격식적 구어로 구분하였다.

본 연구에서는 수학교실은 수학 교수학습을 위한 공간이라는 점을 고려하여, 수학교실에서이루어지는 대화에서 다루어지는 주제 그리고 사용되는 단어를 바탕으로 상정되는 교사와 학생 사이의 관계에 기초해 공적 담론과 사적 담론을 구분한다. 수학적 주제를 다루는 대화들은일반적인 경우 수학 교수ㆍ학습과 관련되기 때문에 주로 공적 담론으로 구분되지만, 교사가 자신의 개인적인 경험을 공유하는 것과 같이 수업에서 가르치고자 하는 수학적 내용과 관련이 없거나 적은 경우는 사적 담론으로 구분될 수 있다. 또한, 수학적 주제를 다루지 않는 비수학적담론이라고 하더라도 수업 관리에 관한 대화들과 학생들의 수행에 대한 평가에 관한 대화들이 많기 때문에, 비수학적 담론에 대해서는 대화 참여자들에 의해 사용되는 단어와 표현에 기초해 공적 담론과 사적 담론을 구분한다. 공적 담론과사적 담론의 구분은 대화의 맥락, 주제, 표현 등을 모두 고려하여 이루어지는 것으로, 예를 들어비형식적인 표현의 사용은 교수학습을 위해 사용되는지와 수학적 주제를 다루고 있는지에 따라 공적 담론으로 구분될 수도 있고 사적 담론으로 구분될 수도 있다.

III. 연구 방법

1. 자료 수집

고등학교의 수학 수업을 3년간 추적하는 프로젝트에서 수집된 자료의 일부가 본 연구에 사용되었다. 프로젝트의 1년차에는 연구자가 직접 교실을 방문하여 수업을 촬영하고 협의회를 녹음하였지만, 2년차와 3년차에는 교사들이 스스로수업을 연구하고 촬영하고, 그 자료를 연구자들과 공유하는 방식으로 자료가 수집되었다. 이 두해 동안 연구자의 개입은 교사들이 송부한 영상과 음성파일에 대해 이메일로 의견을 보내는 것이 유일했는데, 연구자의 의견이나 자료에 대한 평가와 수용여부는 전적으로 교사들이 결정하였다. 이러한 방식은 상대적으로 교사들의 의도가강하게 반영된 수업 자료를 수집하는데 용이하다. 본 연구의 주요 자료는 2년차에 1학년을 대상으로 시행된 역함수에 관한 연속된 네 수업을 촬영한 영상과 그 전사이다. 이 수업의 준비과정에서 교사들이 함께 운영했던 세 번의 수업설계 협의회와 한 번의 수업 반성 협의회의 음성 녹음도 수집되었고, 그 전사도 본 연구에 이용되었다. 그러나 교사들의 협의회는 수업을 시행한 교사가 어떠한 의도를 가지고 수업을 준비하고 자신의 수업을 어떻게 반성하였는가에 대한 전반적인 파악하기 위하여 이용되었다. 따라서 본 논문에서는 수업 장면에서 교사와 학생들의 대화의 분석을 주로 보고한다. 수업을 시행한 교사는약 20년의 경력을 갖고 있고, 교육청에서 실시하는 각종 수학교육 관련 사업에 적극적으로 참여하고 있으며, 자신의 수업의 성장을 위해 다양한노력을 하고 있다. 이 교사의 MKT(mathematical knowledge for teaching)를 Measures of Effective Teaching Project에서 개발한 Algebra I 문항으로평가했을 때, 27점 만점에 26점으로 MKT의 수준이 매우 높다 할 수 있다. 이 학교의 학생들은수학성취도가 전국 평균보다 높다 할 수는 없으나, 국가수준 학업성취도 평가의 정의적 영역에서 전국 평균을 상회하는 높은 결과가 나왔다. 즉, 학생들이 수학 교과와 수학 학습에 대한 관심이 다른 학교에 비해 상대적으로 높다고 할 수 있다.

2. 자료 맥락

본 연구에서 분석한 수업의 주요 주제는 역함수였다. 역함수는 주어진 함수가 일대일 대응일때 존재하고, 대응 관계를 역으로 취한 함수를뜻한다. 그리고 주어진 함수 f(x)에 대하여 그역함수를 f-(x)으로 나타낸다. 주어진 함수 f(x)와 역함수 f-(x)는 정의에 따라, 좌표평면위에서 그 그래프들이 직선 에 대해 대칭이 된다. 2015 개정 교육과정은 역함수의 성취기준으로 “역함수의 의미를 이해하고 주어진 함수의역함수를 구할 수 있다.”고 제시하고 있으며, “역함수의 의미는 구체적인 예를 통해 이해하도록 한다.”를 교수학습 방법으로 제시하고 있다(MOE, 2015). 2015 개정 교육과정에서는 역함수를 구하기 위해 제공되는 함수의 범위를 구체적으로 제시하고 있지 않지만, 많은 교과서들이 일차함수를 주로 다루고 있다. 이러한 역함수의 학습은 이후 다양한 주제의 학습과 관련이 있다. 예를 들어, 무리함수를 일정 범위에서 정의된 이차함수의 역함수를 이용하여 안내하고, 로그함수는 지수함수의 역함수라는 점을 이용하여 그래프를 그릴 뿐만 아니라 로그 함수의 성질과 점근선을 학습한다(Kim, Na, Park, Lee, Chung, Hong, 2006). 미적분에서는 주어진 함수의 미분과 그 역함수의 미분 사이의 관계를 탐구할 뿐만 아니라, 주어진 함수의 정적분 값과 역함수에서의 정적분 값 사이의 관계를 파악하기도 한다 (Hwang, Kang, Kim, Yun, Kim, Song, et al, 2014). 이처럼 역함수는 고등학교에서 함수 및미적분의 학습에 중요한 역할을 한다. 더욱이, 역함수는 함수의 다양한 측면들에 주목할 수 있게 하는 기회를 제공하고, 함수를 종속과 대응두 측면에서 모두 보도록 하는데 특히 대응과 관련된 다양한 표상들(다이어그램, 그래프, 대수식)을 사용하고 연결하는 기회를 제공한다.

역함수를 지도하기 위해 본 연구의 수업 교사는 네 차시의 수업을 계획하고, 실행하였다. 수업들은 역함수의 뜻과 기호를 도입하기, 역함수가존재할 조건을 알고 이를 증명하기, 역함수를구하기, 함수와 역함수의 그래프를 그리고 그래프에서 나타나는 성질을 찾기라는 수업 목표를중심으로 수행되었다. 특히, 수업 교사는 역함수를 구하고 정리하는 것과 관련하여, 역함수를 구하는 방법이 왜 성립하는지 그리고 왜 역함수를 x에 대한 y의 함수로 다시 정리하는 것이 필요한지를 학생들이 알도록 하고자 하였고, 역함수를 구하는 방법이 함수와 역함수의 그래프가 y=x에 대칭인 것과 연결된다는 것을 학생들이알도록 하고자 하였다. 각 차시 수업의 구체적인내용은 다음 Table 1과 같다.

Table 1 . Contents of each lesson.

차시날짜수업 내용
12017. 9. 12첫 번째 수업은 역함수 개념과 기호를 도입하는 시간이었다. 첫 번째로, 이전 차시 학습 내용이었던 일대일함수와 일대일대응을 다이어그램을 이용해 집합 X, Y의 대응 관계라는 점을 언급하여 복습하였다. 동일한 다이어그램을 이용하여, 역함수 개념을 화살표가 “거꾸로 가는 것” 이라는 일상적 언어를 이용해 비형식적으로 도입한 후, 역함수 개념과 기호를 설명하였다. 이후 역함수가 안 되는 예를 만들어 보기, 좌표평면에 직선으로 표현된 함수를 제시하고, 역함수가 존재하는지를 결정하기, f(x)=x+2의 역함수의 존재여부를 결정하기 등의 세 가지 과제를 학생들에게 제시하였다. 각 과제는 학생들이 개별로 수행하고, 모둠으로 논의하고, 이어 전체 논의를 통해 교사가 학생들의 반응을 공유하고 설명하는 패턴을 통해 다루어졌다.
22017. 9. 13두 번째 수업은 교사가 수행평가 결과를 환류하고, 이와 관련한 설명을 5분정도 하는 것으로 시작되었다. 지난 시간 내용 중 역함수가 존재하는 조건이 주어진 함수가 일대일대응이라는 것이었음을 학생들과 짧은 문답을 통해 복습하였다. 이어 임의의 함수와 그 역함수의 합성함수가 무엇인지를 예를 바탕으로 살펴본 후, 학생들에게 역함수가 존재할 조건이 주어진 함수가 일대일대응이라는 것을 증명하도록 하였고, 마지막으로 교과서의 두 문제를 풀도록 하였다. 첫 번째 수업과 마찬가지로 각 내용들은 학생들이 개별적으로 수행한 후, 모둠별로 논의하고, 이어 전체 논의를 통해 학생들과 함께 정리하는 순서로 수업이 진행되었다.
32017. 9. 14세 번째 수업은 y=x+2의 역함수를 구하는 것으로 시작하였다. 이 함수의 역함수를 구하는 과정에서 자연스럽게 이전 수업 내용들을 복습하였는데, 이 과정에서 교사는 주어진 함수의 정의역과 공역이었던 집합 X와 집합 Y가 역함수에서는 각각 공역과 정의역이 된다는 것을 강조하였다. 이후 교과서의 두 문제를 개별 활동, 모둠별 논의, 전체 논의의 과정으로 다루었다. 마지막으로 교사는 수행평가를 위한 과제로 예 만들기 과제를 제시했는데, 이 과제는 임의의 일차함수식을 제시하고, 자신이 제시한 함수의 역함수를 구하도록 하는 것이었다. 또한, 이 과제에는 역함수를 구할 때 왜 xy의 위치를 바꾸고, x로 정리하는 것이 필요한지에 대해 생각 해보고 정리하는 것이 포함되었다.
42017.9. 18역함수에 대한 마지막 수업인 네 번째 수업은 y=2x+1, y=1/3x-2, y=x의 그래프와 각각의 역함수의 그래프를 그리는 것을 활동지로 학생들에게 제시하고, 개별로 수행하도록 하였다. 개별 활동을 하는 동안 교사는 순회하며 학생들이 발견한 성질들을 물어가며 학생들의 반응을 수집하고, 어려움을 겪는 학생들을 도왔다. 수업이 시작된 이후로 15분 정도 지난 후, 교사는 모둠별로 학생들이 발견한 성질들을 공유하도록 하였고, 이어 전체 논의를 통해 학생들이 발견한 함수와 역함수의 그래프가 만난다는 것(거짓 명제)과 y=x에 대칭한다는 것(참인 명제)을 공유하였다. 교사는 y=x에 대칭이라는 성질이 정말 성립하는지 모둠별로 의논하도록 하고, 역함수를 구하는 과정과 이 성질이 관련이 있다는 단서를 제공하였다. 수업이 시작된지 30분 정도 경과했을 때, 전체논의를 통해 교사는 학생들이 찾은 성질이 성립하는 이유를 공유하고, 이에 대한 설명을 제공하였다. 마지막으로, y=x+2의 그래프와 이 함수의 역함수의 그래프를 그려보도록 하고, 이 예에서 두 그래프가 만나는지를 발문하여, 학생들이 앞서 찾은 성질에 대해서 반증하였다.


3. 자료 분석

분석을 위해 수업 영상과 음성 파일을 이용하여 수업에서의 대화를 전사하였고, 각 수업의 전사를 말차례를 기준으로 줄을 구분하여 전사 자료를 만들었다. 전사 자료와 수업 영상을 함께보면서 전사의 각 줄을 <Figure 1>와 같이 수학적 담론과 비수학적 담론으로 구분함과 동시에 관계의 공공성에 따라 대화의 맥락, 주제, 표현을 고려하여 공적 담론과 사적 담론으로 구분하였다. 즉, 전사 자료의 각 줄을 <Figure 1>의 A, B, C 또는 D로 구분하였다. 수학적 담론과 비수학적 담론의 구분과 공적 담론과 사적 담론의 구분을 두 축으로 한 것은 수학 수업을 수학에 관한 것과 수업에 관한 것으로 구분하는 것과 대응된다. 수학 수업에서 많은 대화들은 수학적대상에 대해 말하거나 수학적으로 말하는 것으로, 이들은 수학적 담론에 해당된다. 그러나 수학 수업에서는 수업 시작과 마침 인사와 같은 다른 대화들도 존재하고, 이들은 비수학적 담론에 해당된다. 그러나 수업 시작과 마침 인사와같은 비수학적 담론은 수업과 관련된 것으로 공적 담론에 해당된다.

Figure 1. Two axes of analysis to describe the characteristics of discourse

<Figure 1>의 A, 즉 공적 수학적 담론의 예는교사가 y=x+2의 역함수가 존재하는가에 대해 설명하는 상황에서 “f(x1)f(x2)가 같은 거예요. 자, x1, x2는 정의역에서 가져오는 겁니다. 정의역은 여기서 무엇인가요? 네. 실수 전체 집합입니다. …”라고 발화하는 경우이다. 이 발언은 교사와 학생의 관계가 ‘공공성’을 전제하고일어나고 있을 뿐만 아니라, 사용하는 용어와 그사용 체계가 수학적인 것이기 때문에 공적 수학적 담론으로 구분되었다. <Figure 1>의 B, 즉 공적 비수학적 담론의 예는 교사가 수학 수행평가에 대해 설명하는 상황에서 “(어떤 학생의 답변을 소개하면서) 이러한 답변은 4점이 되고, 이경우에는 가중치를 부여해서 16점입니다.”라고말하는 것이다. A와 마찬가지로 교사와 학생의관계는 여전히 ‘공공성’을 전제하고 있지만, 담론의 대상은 수업에서 다루어지는 수학적인 내용이 아니라 평가 기준에 대한 대화이기 때문에 공적 비수학적 담론으로 구분되었다. <Figure 1>의 C, 즉 사적 비수학적 담론의 예는 교사가 학생들과 자신의 말습관에 대해 대화를 나누는 경우로 교사가 “핵심이라고 하는 단어를 내가 많이 쓰나(사투리 억양)? 또 뭐 많이 쓰지? (학생이 “그게 뭐냐 하면”이라고 답하자) 그게 뭐냐하면 많이 써? (또 다른 학생이 “자, 봅시다.”라고 하자, 모든 학생들이 크게 웃는다) 아, 제일많이 쓰나 보네.”라고 말하는 경우이다. 이 대화는 수학적인 내용을 담고 있지 않을 뿐만 아니라 교사와 학생의 관계가 일반적으로 교실에서기대되는 것과 다르게 ‘사적’ 관계에 해당되어사적 비수학적 담론인 C로 구분되었다. <Figure 1>의 D, 즉 사적 수학적 담론은 교사가 공적인일(수학을 지도하고자 하는 것, 수업을 관리하고자 하는 것 등)을 수행하지 않고, 학생과 나누는사적인 대화가 수학적인 담론인 경우이다. 예를들어, 수업 시간에 학생과 교사가 학생 개인의여행 계획에 대한 대화를 나누면서 경우의 수,평균 등과 같은 수학적 용어를 사용하는 것이이에 해당된다. 그러나 본 연구의 자료에서는 D에 해당되는 대화가 나타나지 않았고, 이것이 본연구의 제한점이 될 수 있다.

각 범주의 이분법적 구분은 수업의 대화가 가진 성격을 명확히 하는데 도움이 되었다. 연구자들이 각자 코딩을 한 후에 비교하여, 불일치한 부분에 대해서 다시 조정하는 과정을 반복하여 최종 분석 결과를 얻었다. 최종 분석 결과를 통해 <Figure 1>의 A, B, C간에 담론이 변화하는양상을 파악하였다. 비수학적 담론과 사적 담론에 주목하여 담론이 변화하는 사례들을 확인하고, 해당 사례 중에서 담론의 변화 양상이 수학교실담론의 특징을 잘 드러내주는 에피소드들을 선정하였다. 이러한 과정으로 수행된 본 연구는자료의 이용 방식에 따라 사례연구에 해당되고(Yin, 2003), 현상이 담고 있는 구조적 특징을 파악하는 것을 목적으로 하기 때문에 해석적 방법(Erickson, 2003)이며, 분석에 있어서 정의된 자료를 이용하여 코딩을 하는 방법으로 기본 분석을 하기 때문에 질적 연구(Miles, Huberman, & Saldaña, 2014)에 해당된다.

IV. 결과 및 논의

수학 수업에서의 교사와 학생 간 대화는 수학 교수ㆍ학습 활동을 중심으로 발생하고, 일반적으로 수학 수업의 수학교실담론에서는 수학적 담론과 공적 담론이 지배적이다. 본 연구의 분석결과 수학적 담론과 공적 담론이 지배적인 한편 다양한 비수학적 담론과 사적 담론 또한 나타나는 것을 확인하였고, 상이한 양상의 담론 사이의전환이 일어나고 담론들 사이의 관계가 형성되는 장면들을 확인할 수 있었다. Ⅳ장에서는 비수학적 담론과 사적 담론이 나타난 장면들 중 이들의 역할이 의미 있는 것으로 해석될 수 있는 8개 에피소드들을 제시하고, 이에 대한 상세한분석을 통해 비수학적 담론과 사적 담론이 수학 교수ㆍ학습에서 역할을 수행하고 있다는 것을 확인하고자 한다. 이와 같은 분석 결과를 바탕으로 다음 Ⅴ장에서는 비수학적 담론과 사적 담론의 역할을 구체화한다.

1. 공적 수학적 담론과 사적 비수학적 담론 사이의 전환

공적 수학적 담론에서 사적 비수학적 담론으로 그리고 다시 사적 비수학적 담론에서 공적 수학적 담론으로 전환된 양상이 나타난 에피소드들에서 사적 비수학적 담론의 역할은 단순하게는 교사가 자신의 실수에 대한 해명을 하거나 중요한 수학적 내용에 주목하도록 하기 위한 것에서부터 다루어지는 수학적 주제를 바꾸는 것까지 다양하게 나타났다.

가. 에피소드 1: 사적 비수학적 담론을 통한 수학적 담론의 이동

첫 번째 에피소드는 첫 차시 수업에서 역함수 개념을 도입하고, 역함수의 기호를 소개하는 장면에서 나타났다. 교사는 역함수의 기호를 도입하고, 역함수의 영어 표현을 학생들에게 안내하면서 수학적 언어의 보편적인 특징을 설명하고자 하였다. 에피소드 1는 다음과 같은 교사와 학생들 사이의 대화로 이루어졌다.

1 T 이게 거꾸로 가는 게 역함수입니다. 쉽지?

(학생들이 끄덕인다.) 쉽죠. 어 역함수에요. 자 기호를 표기할 겁니다. 역함수 f랑 관련이 되어 있잖아. 그래서 f는 살려두고 싶어.그래서 여기다가 이제 어떻게 할까 여기다가 뭐 여러 가지 이렇게 표기를 할까 여러가지 논의가 있었겠지 역사적으로? 논의를했는데 결론적으로는 이렇게 적기로 했습니다. 마치 –1 제곱 (손으로 –1를 표시하며) 제곱 적듯이 이렇게 적고 읽을 때는 f의 역함수라고 읽으면 돼요. 영어로 f inverse라고 읽기도 합니다.

2 S1 오~

3 T 아 영어 쓰니까 역시 (웃으며) 영어로 수업을 해볼까 수학을?

4 SS 네 좋아요.

Let’s get it.

5 T 어 Let’s get it. 어.. Let it (웃으며) (학생들 다 같이 웃으며) One, Two, Three Thank you.

6 SS (박수를 치며) Bravo

7 T 어 쌤이 실제 학부 때랑 대학원 대 영어 수업을 들어 본적이 있거든. 신기하게 수학영어수업은 알아들을 수가 있어. 왜냐하면 기호는 공용 기호거든 전부다. 그래서 뭔 말인지 영어는 잘 안 들려도 또 영어가 우리가 쓰는 inverse 이런 몇 가지간단한 것, f, f inverse 이런 거 알잖아. 그러니까 알아들을 수 있어. …

이 에피소드는 수학적 공적 담론으로 시작되었다. 그러나 학생1의 교사의 영어 사용에 대한반응(줄 2)은 교사가 이를 이용하여 이 담론을사적 담론으로 전환하도록 하는 계기가 되었다. 또한 이와 동시에 교사와 학생의 대화에서의 초점은 수학적 대상인 역함수에서 영어 사용 자체에 대한 것으로 이동하였다(줄3-6). 교사는 자신의 개인적 경험인 대학에서의 영어 수업을 소재로 이용하면서 개인적 경험을 학생들과 공유하였는데, 이를 이용하여 학생들에게 수학 기호의 특징을 언급하는 방식으로 수학적 공적 담론으로 다시 전환하였다(줄 7). 이 에피소드에서 사적 비수학적 담론의 출현은 역함수에 대한 초점에서 수학적 기호의 특징에 대한 초점으로 자연스럽게 이동하여 수학적 기호의 특징을 학생들과 공유할 수 있는 기회를 마련하는데 기여하였다.

나. 에피소드 2: 중요한 수학적 주제를 강조하기

두 번째 에피소드는 첫 차시 수업에서 다루어지는 중요한 주제인 역함수의 존재성을 판단하는 것을 다루는 장면에서 나타난 대화이다. 교사는 역함수의 존재성을 판단하는 것이 중요하다는 것을 학생들에게 가르치고자 하였다. 에피소드 2는 다음과 같은 교사와 학생들 사이의 대화로 이루어졌다.

8 T 어 바뀌었다. 그지? 바뀌었어요. 이게 바뀌었어요. 자 그러면 질문을 하나 해 보죠. 자 이게 오늘 수업 시간에 가장 중요한 질문입니다. 자 이게 오늘 할 내용의 자 핵심입니다, 핵심, 핵심. (한 학생이 필기하는 것을 관찰하고) 아 그럴 줄 알아서 쓴 거야?

9 SS (크게 웃음)

10 T 핵심이라고 할 줄 알았어? 핵심이라고 하는 단어를 내가 많이 쓰나?

11 SS 네

12 T 또 뭐 많이 쓰지?

13 S2 그게 뭐냐 하면

14 T 그게 뭐냐 하면 많이 써?

15 S2 이게 무슨 말인가 하면

16 T (교사가 웃으면서 따라 말하며) 이게 무슨말인가 하면

17 S3 (교사의 말투를 따라하며) 이게 무슨 말인가 하면~

18 T 어. 또?

19 S2 이게 무슨 말인고 하니

20 T 이게 무슨 말인고 하니. 또 뭐 많이 쓰는 거 있어?

21 S3 자, 봅시다.

22 SS (모두 크게 웃는다.)

23 T 아니 이게 이게 제일 많이 쓰나보네. 어 애들 다 웃는 거 보니까. 그럼 또 한 번 해줘야지. (웃으며) 자 봅시다.

24 SS (학생들이 크게 웃는다.)

25 T 선생님이 함수 하나를 적을 건데. 함수 하나를 적을 거예요. 자 요고 함수 하나 적었어. 함수 돼요 한 돼요?

교사는 수업의 주된 수학적 내용을 강조하기 위한 발화를 하던 중 한 학생의 행동을 관찰하고, 대화의 초점을 비수학적인 담론으로 전환하였다(줄 8). 이러한 전환은 교사와 학생들이 웃는 계기가 되었고, 교사와 학생이 서로 공감할기회를 제공하였다. 교사는 학생들에게 자신이자주 사용하는 언어 표현에 대해 묻고(줄 10, 12), 학생들은 그 예들을 제시하였다(줄 13, 15, 17, 19, 21). 이 과정에서 대화의 초점이 수학적대용에서 교사가 자주 사용하는 언어적 표현으로 이동하였는데, 이 일련의 발화들은 교사가 학생들에게 수학적 내용을 지도하는 공적 관계에서 벗어났다는 것을 보여준다. 교사와 학생은 수업과 무관한 교사의 말투와 자주 사용하는 표현에 대한 대화를 나누었다. 교사는 자신이 자주사용하는 표현을 사용하면서 학생들에게 웃을 기회를 제공하였고(줄 23, 24), 자연스럽게 다시수학적 공적 담론으로 이동하였다. 이와 같이 수학적 공적 담론에서 사적 비수학적 담론으로 이동하고, 다시 수학적 공적 담론으로 이동하는 과정을 통해 다루고자 하는 수학적 내용의 중요성을 강조하고 학생들의 주의를 끌고, 중요한 수학적 내용에 주목시키는 장치로 사적 비수학적 담론을 사용하였다. 이 에피소드에서는 다루고자하는 수학적 내용과 직접적으로 연관되지 않는 대화라고 하더라도(줄 10-23), 중요한 수학적 내용을 강조하는 배경으로 사용될 수 있음을 확인 하였다.

다. 에피소드 3과 4: 실수와 이에 대한 교사의 대처

분석 과정에서 관찰된 대표적인 사적 비수학적 담론의 사례는 교사가 자신의 실수를 대처하는 상황에서 발생한 것으로, 사례에서 두 번 등장하였다. 이는 첫 번째 차시와 두 번째 차시 수업에서 각각 한 번씩 등장한 두 번의 짧은 대화로 다음과 같다.

84 T 5는 어디로 가야 해요.

85 SS 2로

86 T 2로 가고 3으로도 가야해요? 아니다.

87 SS 선생님 뭐하세요?

88 T 쌤이 오늘 좀 피곤해서 그래. 하루 종일 쉬는 시간이 없었어. 너무 바빠 가지고. 자잘 봐야 해. 오늘 이상하게 될 수도 있어.

위 대화에서 교사는 자신의 실수를 인정하지만, 실수를 한 원인으로 개인적인 배경을 언급하여 사적 담론을 이끌어오는 것을 확인할 수 있다(줄 88). 이는 두 번째 차시 수업에서 나타난다음 대화에서도 마찬가지이다(줄 90).

89 S 2가 아니라 6이 되어야 해요.

90 T 맞아요, 6. 이렇게 다 이런 거 하기 위해서 그런 거지. 선생님이 옛날에는 계산 실수를 거의 안 했거든? 근데 요즘 들어서 그래. 슬프게도나이가 들수록 오늘 계산 실수 몇 번 했지? 여기서도 한 번 …

이 장면들에서 교사는 단순하게 실수였음을인정하고 수정하는 것과 같이 다르게 대처할 수 있음에도 불구하고, 왜 실수를 했는지에 대한 배경이 되는 정보를 제공하는 방식으로 대처하였다. 교사는 공적 수학적 담론에서 나타난 자신의 실수에 대해 그 원인이 자신의 하루 일정 또는 나이에 의한 것임을 언급하는 방식으로 사적 비수학적 담론으로 이동하였다. 여기에서 실수의원인은 공적 수학적 담론이 아닌 사적 비수학적 담론에 위치한다. 이와 같은 방식으로 사적 담론을 사용하는 것은 수학에 대한 교사의 권위를 유지하기 위한 장치로 기능할 수 있다.

2. 공적 담론 내에서 수학적 담론과 비 수학적 담론 사이의 전환

공적 담론 내에서 수학적 담론에서 비수학적 담론으로 다시 비수학적 담론에서 수학적 담론으로 전환된 양상이 나타난 에피소드들에서 공적 비수학적 담론은 사적 비수학적 담론에 비해 수학 교수학습 과정에 보다 직접적으로 관여하였다.

가. 에피소드 5: 과제 수행에 대한 대화에서 나타난 비수학적 담론의 역할

다섯 번째 에피소드는 두 번째 차시의 수업에서 학생들의 개별 과제 채점 결과를 나누어 주고, 학생들의 과제 수행에 대한 피드백을 제공하는 장면에서 나타난 대화이다.

26 T … 아 한 번 잘못 눌러가지고 바로 중지가 되어 가지고. 모른 채. 자 얘들아 이거 누구 글씨일까?

27 SS 진희요.

28 T 친구들 글씨 알아? 누구 글씨일까~? 누구 글씨인 것 같아요?

29 SS 진희요.

30 T 맞아요. 진희 맞아요. 맞아. 진희~ 어 왜 안 보여? 어? 어 그래 따라 와야지. 자 그래 진희 글씨야. 자 얘들아 쌤이 채점을 했어. 채점을 해서줄 거예요. 요고 4점이라고 적었는데, 사실가중치 부여되죠? 곱하기 4할 겁니다. 16점입니다. 4라고 적어놨는데 편의상 16 적고12적고 하면 헷갈려서 적어 놓은거지 이거나중에 가중치가 4가 됩니다. 알겠죠? 자그리고 여기 보면 이번 시간에 깨달은 중요한 점을 써보세요. 자 어떻게 써서 4점을받았냐 하면, 저번 시간에 우리 배운 거 뭐였어요?

31 SS 역함수

32 T 역함수 개념. 역함수가 뭔지도 배웠고, 굉장히 오랫동안 많이 했던 이야기들은 뭐였어요?

33 SS 역함수가 언제 존재하는가

34 T 어 역함수가 언제 존재하는가?

35 SS 일대일 대응

36 T 일대일 대응. 그거를 그림으로도 하고, 그래프로도 하고, 식으로도 했잖아. 그러니까여기에 적힌 내용은 가장 핵심이 되는 내용은 역함수가, 역함수에 대해서 알았고 뭐이런 것도 물론 이건 굳이 없어도 되지만. 역함수가 언제 존재하는지를 알게 되었다는 건 적어야 되겠지. 근데 여러분 3점을받은 친구들은 이렇게 적었어. 역함수가 언제 존재하는지를 알게 되었다 이런 게 없어. 명확하게 수학적 표현을 해줘야 돼요. 일대일 대응일 때 역함수가 존재한다는 사실을 알게 되었다. 우리 그거 논의도 하고했잖아. 그렇게 명확하게 해줘야 됩니다. …

이 에피소드에서는 공적 담론인 채로 수학적 담론과 비수학적 담론 사이의 전환이 나타났다. 두 번째 차시의 수업 시작 국면에서 교사는 학생들에게 개별 과제를 채점한 결과를 나누어주고, 구체적인 사례를 이용하여 전체 학생들에게과제 수행에 대한 피드백을 제공했다. 교사는 사례가 어떤 학생의 것인지를 명확히 하고(줄 26-30), 해당 사례의 점수를 언급한 후, 점수 체계에 대해 설명하였다(줄 30). 과제에 대한 피드백을 제공하는 것은 수학교실에서 교사가 수행할 과업이기에 이에 관한 교사와 학생의 대화는 공적 담론으로 구분되지만, 항상 수학적 담론인것은 아니다. 이 에피소드에서 교사와 학생의 대화의 초반부는 어떤 수학적 대상이나 개념과 무관한 대화가 이어졌다(줄 26-30). 교사는 왜 이 학생이 좋은 평가를 받게 되었는지를 학생들에게 묻는 것을 통해, 비수학적 담론을 수학적 담론으로 전환하였다(줄 30-31). 이어진 대화에서 교사는피드백을 하고자 하는 부분을 역함수에서 역함수의 존재로, 역함수의 존재에서 역함수가 존재할조건으로 범위를 좁히며 분명히 했다(줄 32-35). 마지막으로 교사는 다른 사례를 제시하여 이를 비교하고, 각 사례의 점수가 다른 이유를 설명할때 정확한 수학적 표현을 사용하는 것이 중요하다는 점을 강조했다(줄 36). 비수학적 담론에서수학적 담론으로의 전환이 여러 차례 일어났고, 이러한 전환은 수학적 담론과 비수학적 담론이 어떻게 상호적으로 얽혀 수학 학습에 기여할 수 있는지를 설명할 수 있도록 한다. 학생들의 과제수행에 대한 점수 차이와 상대적으로 높은 점수에 대한 언급은 학생들에게 자신의 과제 수행을 모범적인 사례와 비교하고, 이와 유사하게 자신의과제 수행을 바꾸도록 하는 동인을 제공했다. 그리고 점수가 다른 이유가 수학적 내용과 표현에 관련됨을 언급함으로써, 학생들의 변화 방향을 수학에 관련된 변화가 되도록 만들었다.

나. 에피소드 6: 새로운 수학적 용어 도입과 의미 부여를 위한 비수학적 담론의 사용

여섯 번째 에피소드는 세 번째 수업에서 역함수의 식을 구하는 것이 중요함을 학생들이 알도록 하는 장면에서 나타났다. 교사는 함수를 왜 y=[x에대한식] 과 같이 정리하는 지를 학생들에게 묻고, 함수를 파악하기 위해 그래프를 이용할 수 있다는 것을 언급한 후, 그래프를 그리기위해서 두 변수의 종속관계에 주목하여 변수의 역할을 구분하는 것이 필요하다는 것을 학생들에게 공유시킨 후 다음과 같이 대화를 이어갔다.

37 T 그렇죠. y를 구하게 하기 쉽지?

여기 있는 것은 정의역이고, 여기 있는 것은 치역이 되겠죠? 치역이 되겠죠.

그래서 이거를 x를 독립변수 y를 종속변수 이런 이야기들도 합니다. 그러니까 쉽게이야기해서, 독립이라는 이야기는 여러분실험할 때 먼저 투여를 하잖아요, 먼저. 예를 들면 뭐, PBL할 때 했던 거 뭐였지? 여기 콩나물 했나? 콩나물팀 있나 여기?

38 SS (고개를 옆으로 돌리면서 없음을 나타냄) 39 T 성보는 뭐했지? 아 너 식충생물 했지. 아 영상으로 때운 저 조. 아이 너 식충생물 왔다며 식충생물. 근데 안 왔다 했잖아 근데. 40 SS 아니 그거는 (대답하지만 분명하게 들리지 않음) 애벌레.

41 T 아 애벌레가 안 왔다고.

42 SS 엄청 재밌었는데.

43 T 재밌었나. 그거 잘 키우지 왜 다 죽여 버렸어.

44 S 물을 안 줘요 애들이

45 T 물을 안 줘 애들이?

46 …

47 T 봐 실험할 때, 아 뭐 이렇게 합시다. 성보라는 실험대상이 있다 합시다.

48 SS (학생들 웃음)

49 T 자 성보, 아 두 개가 있어야 하는데 성보가.

50 SS 민찬이요.

51 T 민찬이? 좀 다르긴 하지만. 이게 실험이 아니지만 그냥 간단하게. 아주 과학적이지않지만, 궁금한거야. 성보 뭐 좋아하노 과자 중에.

52 S 바나나킥

53 T 바나나킥. 어. 그러면 또 누가 하자고, 현준이 하자고?

54 S 민찬이

55 T 민찬이 하자고? 어 민찬이 하자. 민찬이 뭐 좋아하노? 과자 중에?

56 S (다른 학생들이 대답하고) 아 그거 포카칩57 T 아 포카집. 아 바나나킥 대 포카칩. 자 실험을 합니다. 실험을 해요. 두 명을 데리고, 밥을 급식소에서 똑같은 양만큼 먹이고, 그외적으로 성보한테는 바나나칩만 같은 양을 계속 먹여, 그리고 민찬이한테는 포카칩만 계속 먹여. 누가 살이 빨리 찌나?

58 SS 포카칩/바나나킥

59 T 뭐가 빨리 찔 것 같나, 예상컨대. 뭐가 칼로리가 더 높니?

60 SS 포카칩이 나트륨이 많아서.

61 T 그러면 봐봐 아까 얘기한 건 뭐야. 독립변수라는 것은 투입하는 거야. 뭐였어? 바나나칩이나 포카칩 이게 인제 먼저 결정이 되는 거야. 그리고 뒤에 따라오는 건 뭐야? 살이지 살. 그러면 이게 뭐야 x가 뭐야 x가 바로 그런 거예요. (y를 가리키며) 그리고 얘들은따라오는 거야. 이해 돼요? 근데 봐봐. 자 여기 봐요. (역함수로 이동하여) 자 여기 이거는? 이거는 뭐가 결정이먼저 되어야 해? 역함수에서는

62 SS 정의역

63 T 정의역이 뭔데?

64 SS 살

65 T 살, 밥 이거 (웃음) 아이고. 살, 밥 말고 여기 있는 거. 아직 거기서 못 벗어났네. 여기 있는 것 중에서 뭐에요?

이 대화에서 교사는 두 변수를 구분하기 위해 독립변수와 종속변수를 도입하였다. 그리고 이용어들의 의미를 학생들이 알게 하기 위해서 학생들에게 친숙한 맥락을 이용하고자 하였다. 이 과정에서 대화는 수학적 담론에서 비수학적 담론으로 전환되었고(줄 37), 비수학적 담론에서독립변수와 종속변수로 설명할 수 있는 맥락을 학생들의 실제 경험에서 가져오고자 하였다(줄38-45). 그러나 이 시도는 실패했고, 결과적으로가상의 상황을 이용하되 학생들이 쉽게 공유할 수 있도록 특정 학생들과 이 학생들이 좋아하는 과자를 소재로 한 맥락을 선택했다(줄 46-60). 교사는 비수학적 담론에서 형성된 맥락을 이용하여, 학생들에게 독립변수와 종속변수를 직관적으로 구분하도록 하였고, 유추를 통해 역함수에서두 변수를 구분하고, 정의역과 공역을 인식하게하였다. 여기에서 비수학적 담론은 가르치고자하는 수학적 내용에 관한 새로운 용어의 의미를 짧은 시간에 학생들이 파악할 수 있도록 하는 장치로 사용되었다.

3. 논의

분석 결과로부터 수학교실에서 이루어지는 대화는 주로 공적이고 수학적이지만, 사적이거나비수학적인 담론들 또한 존재하는 것을 확인할 수 있었다. 수업에서 실세계 상황이나 맥락 등을이용하여 수학적 개념을 도입하는 상황(예를 들어, 에피소드 6)은 빈번히 일어나며, 교사의 말습관에 대한 대화(에피소드 2)와 같이 비수학적이면서도 사적인 담론도 종종 등장한다. 여기서제기할 수 있는 질문은 다음과 같다: 사적 담론과 비수학적 담론을 수학 수업의 한 측면으로 포함하여 분석하는 것은 필요한가? 이를 분석하는 것은 어떤 의의가 있는가?

만약, 사적 담론과 비수학적 담론이 수학 교수-학습 과정에 기여하지 않거나 기여하는 바가무시할 수 있을 만큼 작다면, 이들에 주목하여수학 수업을 이해하는 것이 필요하지 않을 수있다. 반면, 사적 담론과 비수학적 담론이 어떤 고유한 역할을 하며 수학 교수-학습 과정에 유의미하게 기여한다면, 이를 주목하여 분석하는것은 필요할 것이다.

사적 비수학적 담론은 수학적 담론에서의 주제를 다른 주제로 자연스럽게 이행할 수 있도록 하거나, 수학 수업에서 교사와 학생 사이의 관계를 만들거나 유지하도록 하는 방식으로 수학 교수 학습 과정에 기여할 수 있는 것으로 보인다. 구체적으로 살펴보면, 말 습관에 대한 대화(에피소드 2)에서 교사와 학생 모두 여러 차례 크게웃는 것을 관찰할 수 있었는데, 이러한 웃음은학생이 타자의 관점을 내면화하여 교사와 대화적 관계를 형성할 수 있게 하여(Kazak, Wegerif, & Fujita, 2015), 수학 학습을 도울 수 있다.

공적 비수학적 담론 또한 수업 관리를 위한 것과 수학 교수ㆍ학습을 위한 것으로 크게 구분되는 다양한 역할을 통해 수학 교수 학습에 기여할 수 있는 것으로 보인다. 구체적인 예로, 공적 비수학적 담론은 학생들에게 바람직한 과제 수행을 안내하는 것을 통해 학생들이 자신과 동료의 수학적 실천을 인식하고, 개선할 수 있는기회를 제공하기 위해 사용되기도 하고(에피소드 5), 독립변수와 종속변수와 같은 수학적 개념으로 조직될 수 있는 맥락을 제공하기 위해서 사용되기도 하였다(에피소드 6). 이 사례들은 사적 담론과 비수학적 담론을 수학 수업의 한 측면으로 포함하여 분석하는 것이 수업에 대한 이해를 확장시키는 데 기여할 수 있음을 보여준다.

V. 결론

본 연구에서는 비수학적 담론과 사적 담론의 역할과 특징에 주목하여 수학교실담론을 분석하였다. 담론 분석을 통해 다양한 비수학적 담론과 사적 담론이 수학 수업에서 나타난다는 것을 확인하였고, 그 중 6개의 에피소드들에 대한 보다세밀한 분석을 바탕으로 비수학적 담론과 사적 담론이 수학 교수ㆍ학습에 관한 몇 가지 역할을 수행할 수 있음을 확인하였다. 또한, 비수학적담론과 사적 담론에 관한 몇 가지 특징적인 양상을 확인하였다. 일반적으로 수학 수업에서는공적인 수학적 담론이 수학교실담론의 대부분을 이루고 있고, 기존 연구들은 공적 수학적 담론에초점을 두어 수학 수업에서 나타나는 대화의 양상과 특징을 분석해 왔다. 이 경향과 다르게 본연구에서는 Seeger(2001)의 추측에 기초하여 비수학적 담론과 사적 담론이 수학 수업을 이해하는데 기여하는지를 탐색해 보았다. 본 논문의 결론은 다음과 같다.

첫째, 수학 수업에서 종종 나타나는 비수학적담론은 수업 관리를 위한 것과 수학 교수ㆍ학습을 위한 것 등으로 구분되는 다양한 역할들을 수행하고 있음을 확인하였다. 비수학적 담론은수업의 국면(수업 시작, 개별 또는 조별 활동, 수업 마침), 활동의 유형(개별, 조별, 전체), 학생 관리 등과 같이 수업 관리를 위한 역할을 수행하기도 하고, 새로운 수학적 용어의 이해를 돕는맥락을 제공하거나 학생들이 중요한 수학적 내용에 주목할 수 있도록 하는 등 수학 교수ㆍ학습 과정에 관여하는 역할을 수행하기도 하였다. 첫 번째 에피소드에서 확인할 수 있는 바와 같이 비수학적 담론은 수학적 담론에서의 대화 주제가 자연스럽게 다른 주제로 이동할 수 있도록 하는 역할을 수행하기도 하였고, 학생들에게 바람직한 과제 수행을 안내함으로써 학생들이 자신과 동료의 수학적 실천을 인식하고, 개선할 수있도록 하는 기회를 제공하는 역할 또한 수행하였다.

이와 관련하여 수학적 담론에서 비수학적 담론으로의 전환은 주로 교사에 의해 이루어지는 양상을 보였다. 수학적 담론에서의 이동이 학생들의 발화를 중심으로 이루어질 수 있는 것과 달리, 비수학적 담론으로의 전환은 교사에 의해서 결정되었다. 교사는 자신의 의도에 따라 바로비수학적 담론으로 이동하기도 하고(에피소드 1에서의 줄 3), 학생의 행위 또는 발화를 관찰하고 이를 이용하여 비수학적인 담론으로 전환하기도 하였다(에피소드 2의 줄 8-10). 특히, 학생들의 과제에 대한 피드백을 제공하는 과정에서 교사에 의해 의도적으로 사용된 비수학적 담론은 학생들의 수학적 실천들을 직접적으로 조정할 수 있는 기회를 제공하는 것으로 보인다. Yackel과 Cobb(1996)은 수학 교수-학습 과정의심리적 차원과 사회적 차원이 서로 결부되어 있다고 보는 관점에서, 교실에서의 규범들이 학생들의 심리적 구성에 관여할 수 있다고 주장하였다. 이러한 주장은 담론의 관점에서 새롭게 해석될 수 있다. 이 두 차원들은 수학적 담론과 비수학적 담론이라는 상이한 담론들에 걸쳐 있는 것으로, 이 차원들 사이의 관계는 담론 사이의 전환을 동반한다는 해석이 가능해진다. 이는 교사가 비수학적 담론과 수학적 담론 사이의 전환을조율하고 이들 사이의 관계를 설정하는 것이 교실에서의 규범을 형성하고, 유지하고, 변화시키는 교사의 역할과 어떻게 관련되는지를 생각해 볼 기회를 제공할 수 있다.

둘째, 수학 수업에서의 대화에는 교사-학생 관계를 바탕으로 하는 공적 담론 이외에 교사-학생 관계가 분명하지 않고 모호한 사적 담론이 나타나는 것을 확인하였고, 사적 담론 중 일부는수학 교수ㆍ학습을 위한 몇 가지 역할을 수행할 수 있음을 확인하였다. 일반적으로 사적 담론은교사가 자신의 개인적인 경험이나 상황을 학생들과 공유하는 것과 관련되고, 이러한 교사의 개인적 경험과 상황은 교사의 주장에 학생들이 동감하도록 하거나 교사의 설명에 학생들이 주목하게 하도록 하는 방식으로 사용되었다. 이 연구에서 분석한 교사의 실수에 관한 에피소드에서는 이와 다른 양상의 사적 담론의 사용이 확인되었는데, 교사는 수학적 내용에 있어서 실수를했을 때, 자신의 개인적인 상황을 학생들에게 말하는 방식으로 대처하였다. 이 사례에서 교사는실수의 원인이 수학적 담론이 아닌 다른 담론에 위치하도록 함으로써 실수가 발생한 담론과 실수의 원인을 제공한 담론을 구분하였는데, 이는수학 수업에서 수학에 대한 교사로서의 권위를 유지하도록 하는 장치가 될 수 있다.

이와 관련하여 사적 담론은 비수학적 담론에 비해 나타나는 빈도가 낮은 양상을 보였고, 모든경우에서 사적 담론은 비수학적 담론으로 나타나는 것을 확인할 수 있었다. 또한, 수학 수업에서 사적이면서 수학적인 담론은 거의 등장하지 않는 반면, 공적 비수학적 담론은 자주 등장하는양상을 보였다. 이는 수업 관리 등과 같은 고유한 역할을 하는 비수학적 담론과 다르게 사적 담론이 수업에서 맡는 고유한 역할이 분명하지 않다는 것과 관련되는 것으로 보인다.

본 연구는 다양한 담론들 사이의 관계를 기술하고, 분석하는 것이 수학교사의 수업을 전체적으로 이해하고 수업의 특징을 포착하는 데 도움이 된다는 것을 사례 수준에서 확인했다. 본 연구는 사례 연구라는 점에서 분명한 제한점이 있다. 후속 연구를 통해 사적 담론과 비수학적 담론이 수학 수업에서 나타나는 양상과 역할을 체계적으로 조사하는 것이 필요하다. 이 주제에 대한 연구는 교사와 학생의 관계, 교사의 권위, 학생의 정체성과 같은 수학교실담론의 사회-정치적 차원(Gutiérrez, 2013)을 기술하는 방식으로 수학 수업을 이해하는 이론적 관점을 확장하는 데 기여할 수 있을 것이다. 구체적으로, 수학교실담론을 조율하는 교사의 역할과 관련하여 서로 다른 담론들 사이의 전환 장면에서 교사의 행위를 교사와 학생의 관계 측면에서 분석함으로써 어떻게 교실에서 교사의 권위와 학생의 정체성이 재생산되는지를 확인할 수 있을 것이다. 또한, 실천적인 면에서 교사와 학생 사이의 사적인 대화가 교육적으로 어떤 잠재력을 가질 수 있는지 확인하여, 수학 교사의 수업 전문성을 제고하는데 기여할 수 있을 것이다.

Footnote

1) Vygotsky(1980)Bakhtin(1981)은 모두 공통적으로 대화와 수학 학습 사이의 관계를 보는 관점을 제공하지만, Vygotsky(1980)는 일상적 언어에서 수학적 언어로의 이행을 일종의 상승으로, 즉 비형식적 언어를 구사하는 것이 형식적 언어를 사용하는 것에 변증법적으로 통합되는 것으로 학습을 본 반면, Bakhtin(1981)은 하나의 언어에서 다른 언어로의 이행을 상승이 아닌 전환으로, 다양한 이질적인 복수의 담론들이 공존하여 대화적인 관계를 맺는 것을 학습으로 본다(Barwell, 2016).

Fig 1.

Figure 1. Two axes of analysis to describe the characteristics of discourse
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 153-175https://doi.org/10.29275/jerm.2020.02.30.1.153

Table 1 Contents of each lesson

차시날짜수업 내용
12017. 9. 12첫 번째 수업은 역함수 개념과 기호를 도입하는 시간이었다. 첫 번째로, 이전 차시 학습 내용이었던 일대일함수와 일대일대응을 다이어그램을 이용해 집합 X, Y의 대응 관계라는 점을 언급하여 복습하였다. 동일한 다이어그램을 이용하여, 역함수 개념을 화살표가 “거꾸로 가는 것” 이라는 일상적 언어를 이용해 비형식적으로 도입한 후, 역함수 개념과 기호를 설명하였다. 이후 역함수가 안 되는 예를 만들어 보기, 좌표평면에 직선으로 표현된 함수를 제시하고, 역함수가 존재하는지를 결정하기, f(x)=x+2의 역함수의 존재여부를 결정하기 등의 세 가지 과제를 학생들에게 제시하였다. 각 과제는 학생들이 개별로 수행하고, 모둠으로 논의하고, 이어 전체 논의를 통해 교사가 학생들의 반응을 공유하고 설명하는 패턴을 통해 다루어졌다.
22017. 9. 13두 번째 수업은 교사가 수행평가 결과를 환류하고, 이와 관련한 설명을 5분정도 하는 것으로 시작되었다. 지난 시간 내용 중 역함수가 존재하는 조건이 주어진 함수가 일대일대응이라는 것이었음을 학생들과 짧은 문답을 통해 복습하였다. 이어 임의의 함수와 그 역함수의 합성함수가 무엇인지를 예를 바탕으로 살펴본 후, 학생들에게 역함수가 존재할 조건이 주어진 함수가 일대일대응이라는 것을 증명하도록 하였고, 마지막으로 교과서의 두 문제를 풀도록 하였다. 첫 번째 수업과 마찬가지로 각 내용들은 학생들이 개별적으로 수행한 후, 모둠별로 논의하고, 이어 전체 논의를 통해 학생들과 함께 정리하는 순서로 수업이 진행되었다.
32017. 9. 14세 번째 수업은 y=x+2의 역함수를 구하는 것으로 시작하였다. 이 함수의 역함수를 구하는 과정에서 자연스럽게 이전 수업 내용들을 복습하였는데, 이 과정에서 교사는 주어진 함수의 정의역과 공역이었던 집합 X와 집합 Y가 역함수에서는 각각 공역과 정의역이 된다는 것을 강조하였다. 이후 교과서의 두 문제를 개별 활동, 모둠별 논의, 전체 논의의 과정으로 다루었다. 마지막으로 교사는 수행평가를 위한 과제로 예 만들기 과제를 제시했는데, 이 과제는 임의의 일차함수식을 제시하고, 자신이 제시한 함수의 역함수를 구하도록 하는 것이었다. 또한, 이 과제에는 역함수를 구할 때 왜 xy의 위치를 바꾸고, x로 정리하는 것이 필요한지에 대해 생각 해보고 정리하는 것이 포함되었다.
42017.9. 18역함수에 대한 마지막 수업인 네 번째 수업은 y=2x+1, y=1/3x-2, y=x의 그래프와 각각의 역함수의 그래프를 그리는 것을 활동지로 학생들에게 제시하고, 개별로 수행하도록 하였다. 개별 활동을 하는 동안 교사는 순회하며 학생들이 발견한 성질들을 물어가며 학생들의 반응을 수집하고, 어려움을 겪는 학생들을 도왔다. 수업이 시작된 이후로 15분 정도 지난 후, 교사는 모둠별로 학생들이 발견한 성질들을 공유하도록 하였고, 이어 전체 논의를 통해 학생들이 발견한 함수와 역함수의 그래프가 만난다는 것(거짓 명제)과 y=x에 대칭한다는 것(참인 명제)을 공유하였다. 교사는 y=x에 대칭이라는 성질이 정말 성립하는지 모둠별로 의논하도록 하고, 역함수를 구하는 과정과 이 성질이 관련이 있다는 단서를 제공하였다. 수업이 시작된지 30분 정도 경과했을 때, 전체논의를 통해 교사는 학생들이 찾은 성질이 성립하는 이유를 공유하고, 이에 대한 설명을 제공하였다. 마지막으로, y=x+2의 그래프와 이 함수의 역함수의 그래프를 그려보도록 하고, 이 예에서 두 그래프가 만나는지를 발문하여, 학생들이 앞서 찾은 성질에 대해서 반증하였다.

References

  1. Arzarello, F. (1998). The role of natural language in prealgebraic and algebraic thinking. In H. Steinbring, M. Bussi & A. Sierpinska (Eds.), Language and communication in the mathematics classroom. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.
  2. Austin, J. L. (1962). How to do things with words. Cambridge: Havard University Press.
  3. Ball, D. L. (1993). With an eye on the mathematical horizon: Dilemmas of teaching elementary school mathematics. The Elementary School Journal. 93(4), 373-397.
    CrossRef
  4. Ball, D. L. & Bass, H. (2003). Toward a practice-based theory of mathematical knowledge for teaching. In B. Davis & E. Simmt (Eds.), Proceedings of the 2002 annual meeting of the Canadian Mathematics Association Study Group. Edmonton, AB: CMESG/GDEDM.
  5. Ball, D. L. & Forzani, F. (2007). What makes education research "educational"? Educational Research. 36(9), 529-540.
    CrossRef
  6. Ball, D. L. & Forzani, F. (2009). The work of teaching and the challenge for teacher education. Journal of Teacher Education. 60(5), 497-511.
    CrossRef
  7. Ball, D. L., Thames, M. H. & Phelps, G. (2008). Content knowledge for teaching: What makes it special? Journal of Teacher Education. 59(5), 389-407.
    CrossRef
  8. Bakhtin, M. M. (1981). The dialogic imagination: Four essays . In M. Holquist, C. Emerson & M. Holquist (Eds.). Austin, TX: University of Texas Press.
  9. Bakhtin, M. M. (1986). Speech genres and other late essays . In Trs., W. McGee, C. Emerson & M. Holquist (Eds.). Austin, TX: University of Texas Press.
  10. Barwell, R. (2009). Researchers' descriptions and the construction of mathematical thinking. Educational Studies in Mathematics. 72(2), 255-269.
    CrossRef
  11. Barwell, R. (2016). Formal and informal mathematical discourses: Bakhtin and Vygotsky, dialogue and dialectic. Educational Studies in Mathematics. 92(3), 331-345.
    CrossRef
  12. Brousseau, G. (1997). Theory of didactical situations in mathematics. Dordrecht, The Netherlands: Kluwer Academic Publishers.
    CrossRef
  13. Chapman, A. (1993). Language and learning in school mathematics: A social semiotic perspective. Issues in educational research. 3(1), 35-46.
  14. Cohen, D. K., Raudenbush, S. W. & Ball, D. L. (2003). Resources, instruction, and research. Educational Evaluation and Policy Analysis. 25(2), 119-142.
    CrossRef
  15. Cohen, D. K. (2011). Teaching and its predicaments. Cambridge, MA: Harvard University Press.
    CrossRef
  16. Ellerton, N. F. & Clarkson, P. C. (1996). Language factors in mathematics teaching and learning. In International handbook of mathematics education. Dordrecht: Springer.
    CrossRef
  17. Erickson, F. (1986). Qualitative methods in research on teaching. In M. C. Wittrock (Ed.), Handbook of research on teaching. New York: Macmillan, pp.
  18. Freudenthal, H. (1978). Weeding and sowing: Preface to a science of mathematical education. Dordrecht, The Netherlands: Reidel.
  19. Gutiérrez, R. (2013). The sociopolitical turn in mathematics education. Journal for Research in Mathematics Education. 44(1), 37-68.
    CrossRef
  20. Halliday, M. (1978). Language as social semiotic. Arnold: London.
    CrossRef
  21. Hiebert, J., Carpenter, T. P., Fennema, E., Fuson, K. C., Wearne, D., Murray, H., Olivier, A. & Human, P. (1997). Making sense: Teaching and learning mathematics with understanding. Portsmouth, NH: Heinemann.
    CrossRef
  22. Hiebert, J. & Morris, A. K. (2012). Teaching, rather than teachers, as a path toward improving classroom instruction. Journal of Teacher Education. 63(2), 92-102.
    CrossRef
  23. Hill, H. C., Rowan, B. & Ball, D. L. (2005). Effects of teachers' mathematical knowledge for teaching on student achievement. American Educational Research Journal. 42, 371-406.
    CrossRef
  24. Hill, H. C., Blunk, M. L., Charalambous, C. Y., Lewis, J. M., Phelps, G. C., Sleep, L. & Ball, D. L. (2008). Mathematical knowledge for teaching and the mathematical quality of instruction: An exploratory study. Cognition and Instruction. 26(4), 430-511.
    CrossRef
  25. Hwang, S. W., Kang, B. G., Kim, Y. R., Yun, G., Kim, S. Y., Song, M. H., Lee, S. W., Do, J., Lee, M-H., Park, H. J. & Park, J. H. (2014). Calculus 2. Seoul: Sinsago. 황선욱, 강병개, 김영록, 윤갑진, 김수영, 송 미현, 이성원, 도종훈, 이문호, 박효정, 박진호(2014). 미적분 2. 서울: ㈜ 좋은책신사고.
  26. Ing, M., Webb, N. M., Franke, M. L., Turrou, A. C., Wong, J., Shin, N. & Fernandez, C. H. (2015). Student participation in elementary mathematics classrooms: the missing link between teacher practices and student achievement? Educational Studies in Mathematics. 90(3), 341-356.
    CrossRef
  27. Jeon, J. (2014). A study on key words analysis of the public and private discourse in Korean spoken language. Discourse and Cognition. 21(1), 105-126. 전지은(2014). 핵심어 분석을 통한 구어 공적/사적 담화 특징 연구. 담화와 인지, 21(1), 105-126.
    CrossRef
  28. Kazak, S., Wegerif, R. & Fujita, T. (2015). The importance of dialogic processes to conceptual development in mathematics. Educational Studies in Mathematics. 90(2), 105-120.
    CrossRef
  29. Kim, N. H., Na, G. S., Park, K. M., Lee, K. H., Chung, Y. O. & Hong, J. G. (2006). Mathematics Curriculum and Textbook Research. Seoul: Kyung-Mun-SA. 김남희, 나귀수, 박경미, 이경화, 정영옥, 홍진곤(2006). 수학교육과정과 교재연구. 서울: 경문사.
    CrossRef
  30. Lampert, M. (2001). Teaching problems and the problems in teaching. New Haven, CT: Yale University Press.
    CrossRef
  31. Lampert, M., Franke, M. L., Kazemi, E., Ghousseini, H., Turrou, A. C., Beasley, H., Cunard, A. & Crowe, K. (2013). Keeping it complex: Using rehearsals to support novice teacher learning of ambitious teaching. Journal of Teacher Education. 64(3), 226-243.
    CrossRef
  32. Langer-Osuna, J. (2018). Productive disruptions: Rethinking the role of off-task interactions in collaborative mathematics learning. Education Sciences. 8(2), 87.
    CrossRef
  33. Lave, J. & Wenger, E. (1991). Situated learning: Legitimate peripheral participation. Cambridge: Cambridge university press.
    CrossRef
  34. Llewellyn, A. (2016). Problematising the pursuit of progress in mathematics education. Educational Studies in Mathematics. 92(3), 299-314.
    CrossRef
  35. Miles, M. B., Huberman, A. M. & Saldaña, J. (2014). Qualitative data analysis: a methods sourcebook. Thousand Oaks, CA: SAGE. http://mirlyn.lib.umich.edu/Record/012444368.
    CrossRef
  36. Ministry of Education (2015). Mathematics Curriculum. Notification of the Ministry of Education No. 2015-74. [Vol 8]. Seoul: Author. 교육부. (2015). 수학과 교육과정. 교육부 고시 제 2015-74 호 [별책 8].
    CrossRef
  37. Morris, A. K., Hiebert, J. & Spitzer, S. (2009). Mathematical knowledge for teaching in planning and evaluating instruction: What can preservice teachers learn? Journal for Research in Mathematics Education. 40(5), 491-529.
    CrossRef
  38. Morris, A. K. & Hiebert, J. (2017). Effects of Teacher Preparation Courses: Do Graduates Use What They Learned to Plan Mathematics Lessons? American Educational Research Journal. 54(3), 524-567.
    CrossRef
  39. NCTM (2007). 학교수학을 위한 원리와 규준, (류희찬 외 5인, 역), 서울: 경문사.
  40. Noh, D. K. (1996). Korean spoken language and written language. Goyang: Kookhak. 노대규(1996). 한국어의 입말과 글말. 국학자료원.
  41. Pimm, D. (1987). Speaking mathematically: Communication in mathematics classrooms. London, UK: Routledge.
  42. Ryve, A. (2011). Discourse research in mathematics education: A critical evaluation of 108 journal articles. Journal for research in mathematics education. 42(2), 167-199.
    CrossRef
  43. Searle, J. R. (1969). Speech acts: An essay in the philosophy of language. Cambridge: Cambridge university press.
    CrossRef
  44. Sfard, A. (1998). On two metaphors for learning and the dangers of choosing just one. Educational researcher. 27(2), 4-13.
    CrossRef
  45. Sfard, A. (2001). There is more to discourse than meets the ears: Looking at thinking as communicating to learn more about mathematical learning. Educational studies in mathematics. 46(1-3), 13-57.
    CrossRef
  46. Sfard, A. & Kieran, C. (2001). Cognition as communication: Rethinking learning-by-talking through multi-faceted analysis of students' mathematical interactions. Mind, Culture, and Activity. 8(1), 42-76.
    CrossRef
  47. Sfard, A. (2008). Thinking as communicating: Human development, the growth of discourses, and mathematizing. Cambridge: Cambridge University Press.
    CrossRef
  48. Sfard, A., Nesher, P., Streefland, L., Cobb, P. & Mason, J. (1998). Learning mathematics through conversation: Is it as good as they say? For the learning of mathematics. 18(1), 41-51.
  49. Seo, S. K. & Kim, H. J. (2005). On some Practical Conditions for Developing Spoken Language Corpus. Language Facts and Perspectives. 16, 5-29. 서상규, 김형정(2005). 구어 말뭉치 설계의 몇 가지 조건. 언어사실과 관점, 16, 5-29.
  50. Simon, M. A. (2009). Amidst multiple theories of learning in mathematics education. Journal for Research in Mathematics Education. 40(5), 477-490.
    CrossRef
  51. Stigler, J. W. & Hiebert, J. (1999). The teaching gap: Best ideas from the world's teachers for improving education in the classroom. New York: Free Press.
    CrossRef
  52. Temple, C. & Doerr, H. M. (2012). Developing fluency in the mathematical register through conversation in a tenth-grade classroom. Educational Studies in Mathematics. 81(3), 287-306.
    CrossRef
  53. Vygotsky, L. S. (1980). Mind in society: The development of higher psychological processes. Harvard university press.
    CrossRef
  54. Walshaw, M. & Anthony, G. (2008). The teacher's role in classroom discourse: A review of recent research into mathematics classrooms. Review of educational research. 78(3), 516-551.
    CrossRef
  55. Wenger, E. (1998). Communities of practice: Learning, meaning and identity. Cambridge, UK: Cambridge University Press.
    CrossRef
  56. Wertsch, J. (2014). 보이스 오브 마인드: 매개된 행위에 대한 사회문화적 접근, (박동섭 역). 서울: 학이시습. (영어초판은 1991년 출판).
  57. Yackel, E. & Cobb, P. (1996). Sociomathematical norms, argumentation, and autonomy in mathematics. Journal for research in mathematics education. 27(4), 458-477.
    CrossRef
  58. Yin, R. K. (2003). Case study research: Design and methods. Thousand Oaks, CA: Sage Publications.
    CrossRef

Journal Info

Korea Society of Education Studies in Mathematics

Vol.32 No.2
2020-02-28

pISSN 2288-7733
eISSN 2288-8357

Frequency : Quarterly

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