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2022; 32(2): 125-147

Published online May 31, 2022 https://doi.org/10.29275/jerm.2022.32.2.125

Copyright © Korea Society of Education Studies in Mathematics.

An Analysis of the <Artificial Intelligence Mathematics> Textbook: Focusing on Forecast and Optimization

<인공지능 수학> 교과서의 예측 및 최적화 내용 분석

Nayoung Ku1, Inyong Choi2

1Teacher, Gyeonggi Science High School, 2Professor, Chuncheon National University of Education, South Korea

1경기과학고등학교 교사, 2춘천교육대학교 교수

Correspondence to:Inyong Choi, mathiy@cnue.ac.kr
ORCID: https://orcid.org/0000-0002-9766-9952

Received: April 18, 2022; Revised: May 15, 2022; Accepted: May 16, 2022

This is an Open Access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution Non-Commercial License (http://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0), which permits unrestricted non-commercial use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.

The purpose of this study is to analyze the textbook focusing on forecast and optimization. The topic of forecast and optimization addresses the core principles of artificial intelligence. The analytical framework in the study was developed by deriving reconstructed achievement standards and teaching and learning guidelines from three achievement standards about forecast and optimization. Moreover, five types of textbooks were analyzed. The results have several implications for developing a revised curriculum and textbook.

Keywordsartificial intelligence mathematics, textbook analysis, forecast, optimization

인공지능은 지능정보사회의 핵심기술로 무한한 가치를 지니고 있으며, 세계 주요국들은 인공지능 기술 및 인적 자원의 우위 확보를 위해 적극적으로 노력하고 있다(Kim, 2019). 국제적으로 인공지능과 관련된 인재 양성을 위한 다양한 정책이 추진되고 있으며, 특히 미국, 중국, 일본 등의 주요 국가들은 교육과정에 인공지능 관련 과목을 도입하고 있다(Yoo et al., 2020). 이러한 흐름에 맞추어 교육부는 제3차 수학교육 종합계획에서 미래 핵심 역량 함양을 위한 수학교육 내용 및 교육 방법 개선의 일환으로 인공지능에 필요한 수학 개념을 통해 인공지능을 이해하고 활용하는 고등학교 진로 선택 과목 <인공지능 수학>을 신설하겠다고 발표하였다(Ministry of Education(이하 MOE), 2020a). 이에 2015 개정 교육과정 적용 중에 <인공지능 수학> 과목의 교육과정이 추가로 개발되었으며, 그에 따라 교과서가 개발되어 2021학년도 2학기부터 학교 현장에 적용되었다. <인공지능 수학>은 신설된 과목으로 교사들이 현장에서 지도하는 것에 대한 부담감이 있는 것은 사실이지만 미래형 수학교육에서 지능정보기술의 핵심이 되는 수학 내용을 다루는 과목이라는 점에서 그 중요성이 강조되고 있다(Lee et al., 2021).

국가 수준의 공식적인 문서 형태로 배포된 교육과정은 교과서, 교실, 학생에게로 전달되면서 구체화되며(Remillard & Heck, 2014) 교육과정의 취지를 적합하게 반영한 교과서 개발을 위해 교육과정과의 일관성을 제고할 필요가 있다(Chang et al., 2016). 교과서 분석에 관한 연구들은 교과서 개발 방향 선정 및 심사에 관한 연구, 교육과정과 교과서의 연계에 관한 연구, 실제 교실 현장에서 교과서의 활용에 관한 연구로 범주화된다(Fan, 2013). 특히, 우리나라의 경우 검·인정 심사를 운영하여 교과서의 정확성과 신뢰도를 높이고자 하나 다양한 이유로 교육과정과 교과서 간의 일관성이 낮아질 수 있다. 이러한 불일치는 특수한 목적을 가진 교과서를 만들면서 어쩔 수 없이 발생하거나 교과서 저자가 교육과정을 해석하면서 자신의 의도를 반영하여 발생할 수 있다(Park et al., 2014). 우리나라의 인공지능 관련 교육은 아직 시작 단계로 볼 수 있으며(Ko, 2020), 새로 개발된 과목의 교과서들이 교육과정의 취지에 부합하게 개발되었는지에 대한 검토가 요구된다(Kwon et al., 2021).

<인공지능 수학>에 관한 국내의 선행연구들은 과목의 신설을 위해 인공지능의 원리나 기능에 따라 주요 수학 내용과의 연결을 시도하거나(Ko, 2020) <인공지능 수학>을 위한 수학적 역량을 제안하고(Han, 2022), <인공지능 수학>의 교육과정에서 제시한 핵심 개념과 관련 학습 요소가 고등학교의 공통 과목과 선택 과목에 어느 정도 반영되었는지를 확인하여 과목 간의 연계를 제고하는(Kim & Jeon, 2021) 등 교과목 및 교육과정 개발에 초점을 맞춘 연구가 일부 수행되었다. 특히, Kwon et al. (2021)은 <인공지능 수학>의 ‘관련 학습 요소’가 5종의 교과서에서 반영된 양상을 형식, 범위와 방법, 공학적 도구 활용 방식을 중심으로 분석하였는데, 교과서별로 ‘관련 학습 요소’를 기술하는 형식상의 차이와 수학 개념을 취급하는 양과 범위에서 큰 차이가 나타났다. 이는 현재 <인공지능 수학> 교육과정이 독자에 의해 해석되는 범위가 크다는 점을 시사하며, ‘관련 학습 요소’를 넘어서 교육과정의 성취기준과 그에 따른 교과서 구현 내용을 보다 자세히 살펴볼 필요로 이어진다. 이에 본 연구에서는 <인공지능 수학>의 특정 내용 영역에 초점을 맞추어 교육과정과 그에 따른 교과서의 구현을 분석하고자 하였다. 특정 수학적 개념이나 원리에 초점을 맞춘 교과서 분석은 교육과정 및 교과서 개발에 대한 전반적인 논의뿐만 아니라 내용 특수적인 논의를 이끌어낼 수 있다는 점(Dole & Shield, 2008; Jones & Fujita, 2013)으로부터 본 연구 역시 시사점을 제공할 수 있다. 특히 <인공지능 수학>은 신설 과목이므로 교육과정의 개발에 지속적인 피드백이 요구된다. 이에 본 연구에서는 교과서 분석으로부터 교육과정의 수정 및 보완에도 시사점을 제공할 것이라 판단하였다.

인공지능의 주요 기술 중 하나인 기계학습(machine learning)은 데이터로부터 패턴을 찾아 예측 모델을 생성하는 방법의 유형에 따라 지도학습, 비지도학습, 강화학습으로 분류할 수 있다. <인공지능 수학>에서는 과목의 성격과 교육과정 상의 위계를 고려하여 상대적으로 쉬운 지도학습을 주로 다루고 있다. 지도학습의 핵심 알고리즘은 오차가 최소화된 예측 모델을 찾는 최적화 과정에 있다(Russell & Norvig, 2020). 현재 <인공지능 수학>의 내용 체계는 ‘인공지능과 수학’, ‘자료의 표현’, ‘분류와 예측’, ‘최적화’의 4개 영역으로 구성되어 있는데(MOE, 2020b), ‘분류와 예측’의 후반부 ‘예측’과 ‘최적화’의 전반부를 통해 가장 간단한 단순 선형 회귀를 예로 지도학습의 최적화 과정을 다룬다.

이에 본 연구에서는 인공지능의 핵심 원리를 다루고 있는 ‘예측과 최적화’1)에 관한 교육과정을 기초로 교과서가 어떻게 구현되어 있는지를 확인하고자 한다. <인공지능 수학>은 기존의 수학 과목에서 다루듯 개념 이해나 문제해결에 초점을 둔 것이 아니라 인공지능에 수학적 원리가 어떻게 적용되는지에 초점을 맞추며 공학적 도구를 활용한 교수·학습을 강조한다(Lee et al., 2020). 이러한 과목의 성격을 반영하여 본 연구에서는 교육과정 문서와 시안 개발 연구 보고서에 제시된 성취기준에 대한 세부 사항을 파악하고, 5종의 <인공지능 수학> 교과서를 분석한다. 본 연구의 연구 문제는 다음과 같다:

  • <인공지능 수학> 교과서의 ‘예측과 최적화’에서 수학적 원리는 어떻게 다루어 지는가?

  • <인공지능 수학> 교과서의 ‘예측과 최적화’에서 공학적 도구는 어떻게 활용되는가?

본 연구의 결과로부터 예측과 최적화 영역의 차기 교육과정이나 교과서 개발에 대한 시사점을 도출하였다. 특히, 2022 개정 수학과 교육과정부터는 교육과정 문서 체제 안에 ‘성취기준 해설’을 두어 성취기준의 의도를 보다 구체적으로 기술하고자 노력하는 만큼(MOE, 2021), 이를 염두에 두고 교육과정에 관한 구체적인 시사점을 제시하고자 하였다.

1. <인공지능 수학> 과목의 특성

<인공지능 수학>은 <기본 수학>과 함께 시대적 상황과 사회적 요구에 따라 2015 개정 교육과정이 적용되고 있는 중간에 추가로 개발되어 신설된 진로 선택 과목이다. 기존 수학 과목과 비교했을 때, <인공지능 수학>은 다음과 같은 특징을 갖는다.

첫째, <인공지능 수학> 과목은 인공지능에 활용되는 수학적 개념이나 원리를 이해함으로써 수학의 가치를 인식하고 미래 사회가 필요로 하는 역량을 기르는 것을 목적으로 한다. 교육과정 시안 개발 과정에서 <인공지능 수학>은 수학 과목인 만큼 정보 교과에서 개발되는 <인공지능 기초>와의 차별화를 위하여 인공지능 기술이나 코딩보다는 수학적 내용을 중심으로 해야한다는 방향성을 설정하였다(Lee et al., 2020, p. 155). 그러나 행렬, 벡터, 미분, 조건부확률, 수열 등과 같은 인공지능의 핵심이 되는 수학 내용을 깊이 있게 다루어야 한다는 주장과 학교 현장에서 교사와 학생들이 쉽게 접근할 수 있도록 수학 내용을 약화시키고 활용 측면을 다루어야 한다는 주장이 양립하였다. 연구진은 양 주장을 절충하여 <인공지능 수학> 과목의 성격을 인공지능 핵심기술을 이해하고 적용해 보는데 필요한 핵심적인 수학의 내용을 다루되, 기존의 수학 교과서에서 다루듯 개념의 이해와 수학적 문제해결에 초점을 둔 것이 아니라 인공지능의 원리에 수학 개념이 어떻게 적용되는지를 이해하는 수준으로 수학을 다루는 것으로 규정하였다(Lee et al., 2020, p. 18). 이에 <인공지능 수학>에서는 고등학교 1학년 공통 과목인 <수학>만을 이수한 학생들도 이해할 수 있는 수준의 수학 내용을 구체적인 인공지능 맥락 속에서 다룬다. 인공지능의 이해 과정에서 도입되는 새로운 수학적 개념도 최대한 직관적이고 비형식적으로 다루도록 하고 있다. 예를 들어, 조건부확률은 용어와 기호는 도입하지 않고 빈도적으로 다루며, 극한은 직관적으로 도입하고, 미분도 이차함수의 도함수 정도로만 다룬다. 평가에 있어서도 과목의 성격을 고려하여 선택형, 단답형의 지필평가보다는 실습과 프로젝트를 권장하고 있다.

둘째, <인공지능 수학>은 공학적 도구의 활용을 적극 강조한다. 수학적 원리가 적용된 인공지능 기술을 체험하거나 수학 원리를 이용하여 인공지능 기술을 구현하기 위해서는 컴퓨터 기반의 공학적 도구가 필요하다. 이에 <인공지능 수학>은 교육과정 전반에 걸쳐 공학적 도구의 활용을 강조하고 있다. 성취기준 수준에서 공학적 도구를 명시하지는 않았지만, 도입부인 ‘인공지능과 수학’ 영역을 제외한 전체 11개의 성취기준 중 7개의 성취기준에 대하여 교수·학습 방법 및 유의 사항에서 공학적 도구의 이용을 권장하고 있다. 기능적인 문제 풀이보다는 실제 수학 원리를 이용하여 인공지능 관련 기술을 구현하고 탐구하도록 하고 있는데, 예를 들면, 공학적 도구로 행렬을 이용하여 이미지를 표현하고 수정하거나 추세선을 긋고 예측하는 활동을 권장하고 있다. 또한 <인공지능 수학>은 최초로 교육과정 문서에서 코딩의 활용을 명시한 수학 과목이다(MOE, 2020b, p. 174). 본격적인 코딩보다는 현장 상황을 고려하여 학생들이 직관적으로 이해할 수 있는 수준으로 작성된 프로그램의 코드를 제공하여 프로그래밍에 대한 부담을 느끼지 않게 하고 있는데, 제공된 프로그램 코드의 핵심적인 수식만을 학생이 수정하면서 수학적 원리와 관련된 탐구와 실험에 활용하도록 권장하고 있다(Lee et al., 2020, p. 96).

셋째, 성취기준의 의미와 구현방안에 대한 상세한 정보를 제공한다. 우리나라의 경우 사회적 요구에 대처하며 다양한 교수·학습 방법을 제시하고자 교육과정 문서의 구체화를 꾀하였다(Lee et al., 2017). 국가 수준의 교육과정을 운영하는 우리나라의 경우 교육과정의 취지를 적합하게 반영한 교과서의 개발이 요구된다(Chang et al., 2016). 이는 교육과정에 제시된 내용의 수준과 범위를 준수하고, 목표, 내용, 평가와 일관성을 가져야한다는 것을 의미한다(MOE, 2020b). 또한 교과서의 정확성과 신뢰도를 높이기 위해 검·인정 심사를 운영하고 있는데 집필진은 교육과정의 수준과 범위를 준수하면서도 자율성과 다양성을 꾀하여 교과서를 개발한다. <인공지능 수학>은 신설 과목으로 처음 도입되는 만큼, 교육과정 문서와 시안 개발 연구 보고서에서 성취기준에 대한 세부 사항을 기술하였다. 구체적으로, <실용 수학>을 비롯한 진로 선택 과목에 비해 교수·학습 방법 및 유의사항을 상세하게 기술하여 다루어야 할 내용의 범위와 교수·학습 활동 제안, 공학적 도구의 활용을 담았다(Kwon et al., 2021). 시안 개발 연구 보고서에서는 개별 성취기준마다 성취기준 해설 및 구현 방안을 상세히 제시하였으며 교과서 개발 방향을 별도로 제시하여 교과서 집필진이나 교사가 교육과정 개발의 취지를 충분히 이해하고 구현할 수 있도록 돕고자 하였다.

2. 예측과 최적화

본 연구에서는 <인공지능 수학>의 예측과 최적화 내용을 분석하였는데, 이는 기계학습 관점에서의 단순 선형 회귀에 해당한다. 인공지능의 하위 분야인 기계학습은 컴퓨터가 경험을 통해 스스로 개선해나가는 방법을 의미한다(Mitchell, 1997). 여기서 경험은 데이터의 형식으로 컴퓨터에 제공되므로 기계학습의 핵심은 데이터로부터 하나의 모델을 만들어가는 과정에 있는데, 이를 학습(learning)이라 한다. 학습을 통해 생성한 모델을 이용하여 새로운 입력값에 대한 출력값을 찾는 것을 예측이라 한다. 기계학습에서 사용하는 학습은 그 방법에 따라 지도학습, 비지도학습, 강화학습로 분류할 수 있는데, 그 중 지도학습이 상대적으로 간단하고 이해하기 쉬운 것으로 알려져 있다(Akaishi, 2019). 지도학습은 입력값에 대한 정답이 함께 표시된 데이터를 학습에 이용하는 방법이다. 지도학습은 다시 예측하려는 값의 유형에 따라 분류와 회귀로 구분할 수 있는데, 이산적인 값을 예측하는 경우를 분류, 연속적인 값을 예측하는 경우를 회귀라 한다. 예를 들어, 예측하고자 하는 것이 ‘개’, ‘고양이’와 같이 이산적이면 분류, 원숭이의 키 ‘74 cm’와 같이 연속적이면 회귀이다. 분류의 경우 가장 간단한 이진 분류라 하더라도 인공지능의 학습 과정을 이해하기 위해서는 로지스틱 함수, 최대 우도법, 편미분 등이 요구된다(Russell & Norvig, 2020). 따라서 <인공지능 수학>에서 분류는 기초적인 수준에서 일부만을 다루며, 회귀 중에서도 가장 간단한 단순 선형 회귀로 지도학습의 전체 과정을 다룬다(Lee et al., 2020).

단순 선형 회귀2)는 하나의 독립변수와 하나의 종속변수 사이의 관계를 가장 잘 설명할 수 있는 직선 형태의 함수를 찾아 독립변수로부터 종속변수를 예측하는 것이다. 단순 선형 회귀의 함수, 즉 예측 모델은 L(χ)=aχ+b로 표현되는데, 기계학습에서는 a를 가중치(weight), b를 편향(bias)이라 부른다. 단순 선형 회귀에서 학습의 목적은 데이터를 가장 잘 나타낼 수 있는 직선, 즉, 실제값과 예측값 사이의 오차가 최소인 예측 모델을 찾는 것에 있다(Ishikawa, 2018). 손실함수(loss function)는 예측 모델의 예측값과 실제값 사이의 오차를 나타내는 지표 성격의 함수이다. 만약 학습 데이터의 각 입력값 χi(1≤i≤n)에 대한 예측값을 L(χi)=aχi+b, 실제값을 yi라 하면, 선형 회귀 모델의 오차는 yi-L(χi)이다. 이때, 오차는 음수가 나올 수 있으므로 오차를 단순히 합산하는 방식으로 손실함수를 정의할 수 없다. 이러한 상쇄 문제를 해결하기 위한 가장 기본적인 방안은 오차제곱합을 사용하는 것이다. 그러나 오차제곱합은 데이터의 크기에 따라 그 값이 지나치게 커질 수 있으며, 데이터가 추가되었을 때 나타나는 변화가 실제 오차의 변화인지 데이터의 증가로 인한 변화인지 구분하기 어렵다는 단점이 있다(Weidman, 2019). 이에 일반적으로 오차제곱합을 데이터의 크기로 나눈 평균제곱오차를 이용하여 손실함수를 정의하며(Ishikawa, 2018), 평균절대오차, 평균제곱근오차 등을 사용할 수도 있다. 평균제곱오차를 이용하여 단순 선형 회귀의 손실함수를 정의하면 다음과 같다.

E(a,b)=1n i=1 n yi axi+b2

이때, 손실함수가 최솟값을 갖는 a, b를 찾는 과정을 최적화라 하며, 가장 기본적인 최적화 알고리즘은 경사하강법(gradient descent)이다. 경사하강법은 마치 산 정상에서 하산하듯이 E(a, b)의 값이 감소되는 방향으로 조금씩 반복 이동하여 E(a, b)의 값이 최소가 되는 (amin, bmin)을 찾는 알고리즘이다. 단순 선형 회귀에서 일반적인 경사하강법 알고리즘을 의사코드로 나타내면 Table 1.a와 같다(Ishikawa, 2018; Russell & Norvig, 2020).

Table 1 Gradient descent algorithm

a. 예측 모델이 L(χ)=aχ+b인 경우b. 예측 모델이 L(χ)=aχ인 경우
(1) 임의의 초깃값 (a0, b0)을 정한다.(1) 임의의 초깃값 a0을 정한다.
(2) (ai, bi)을 (ai+1, bi+1)로 반복하여 수정한다.(η: 학습률)
ai+1=ai η E aa,b=ai,bi bi+1=bi η E ba,b=ai,bi
(2) aiai+1로 반복하여 수정한다.(η : 학습률)
ai+1=aiηE'ai
(3) (ai, bi) 와 (ai+1, bi+1) 사이의 변화가 충분히 작아지면 반복을 멈춘다(3) aiai+1 사이의 변화가 충분히 작아지면 반복을 멈춘다.


단순 선형 회귀라 하더라도 손실함수는 이변수함수로 나타나며, 경사하강법을 이해하기 위해서는 방향벡터, 전미분, 편미분 등의 개념이 요구된다. 이에 <인공지능 수학>에서는 학습 부담을 최소화하면서도 지도학습의 핵심적인 수학 원리를 다룰 수 있도록 예측 모델을 편향 b가 0인 경우로 한정하여 손실함수와 경사하강법을 다루도록 하였다(Lee et al., 2020). 이 경우 손실함수는 E(a)=1n i=1 n yi+axi2가 되어 일변수 이차함수가 되고, 경사하강법의 알고리즘도 Table 1.b와 같이 ai+1=ai-ηE'(ai)가 되어 이차함수의 미분 수준에서 설명이 가능해진다.

경사하강법에 활용되는 핵심적인 수학 원리는 미분인데, 그 역할은 크게 ‘이동방향’과 ‘이동량’으로 구분하여 생각할 수 있다(Akaishi, 2019). 먼저 손실함수의 미분계수는 경사하강법의 이동방향을 결정한다. 예측 모델이 L(χ)=aχ인 경우를 예로 들면, E'(a)의 부호가 양수이면 손실함수가 증가하는 상태이므로 감소하는 방향으로 이동하기 위해서는 a의 값을 감소시켜야 한다. 마찬가지로 E'(a)의 부호가 음수인 경우, 손실함수가 감소하는 상태이므로 a의 값을 증가시켜야 한다. 즉, 경사하강법에서 이동방향은 각 ai에서의 미분계수 E'(ai)의 반대로 결정된다. 경사하강법의 1회 이동량은 ηE'(ai)로 결정되는데, 미분계수는 이동방향 뿐 아니라 이동량의 조절에 있어서도 큰 역할을 한다. 손실함수가 최소가 되는 지점에 가까울수록 E'(a)의 절댓값이 작아지기 때문에 경사하강법이 진행될수록 자연스럽게 이동량이 감소한다. 따라서 E'(a)의 값이 충분히 0에 가까워지면 ai와 ai+1사이의 변화가 거의 나타나지 않으므로 이때 경사하강법의 반복을 종료할 수 있다. η는 미분계수에 곱해져 경사하강법의 이동량을 조절하는 중요한 상수로 학습률(learning rate)이라 불린다(Russell & Norvig, 2020). 만약 학습률이 너무 크면 발산하여 최솟값에 수렴하지 못할 수 있으며, 너무 작은 경우 학습 속도가 너무 느려 효율성이 떨어진다. 따라서 적절한 학습률을 설정하는 것이 중요한데, 특별히 정해진 공식은 없으며 일반적으로 환경 요인에 따라 0.01에서 0.001 정도의 값이 사용된다(Weidman, 2019).

기본적인 형태의 경사하강법은 엄밀히 말해 함수의 최솟값이 아닌 극솟값을 찾는 알고리즘이다. 극솟값이 반드시 최솟값이라 보장할 수 없는 사차함수에서는 초깃값에 따라 경사하강법이 극솟값에 빠질 수 있다. 이러한 문제를 해결하기 위하여 실제 인공지능에서는 개선된 형태의 확률적 경사하강법, 미니배치법 등이 사용된다. <인공지능 수학>에서는 이차함수 형태의 손실함수만 다루기 때문에 기본적인 경사하강법만을 다루고 있다.

1. 분석 대상 및 절차

본 연구에서는 2015 개정 교육과정에 따른 고등학교 인정도서인 <인공지능 수학> 교과서 전체 5종을 분석 대상으로 하였다(Table 2 참조). 특히 5종의 교과서에서 단순 선형 회귀를 다루는 ‘분류와 예측’ 단원의 후반부와 ‘최적화’ 단원의 전반부를 분석틀에 따라 분석하였다. 이 과정을 통해 예측과 최적화 영역에서 인공지능과 관련된 수학적 원리와 공학적 도구가 어떻게 다루어지는지 분석하고자 하였다.

Table 2 List of artificial intelligence mathematics textbooks analyzed

구분출판사저자
A금성출판사Oh et al. (2021)
B미래엔Hwang et al. (2021)
C씨마스Lee et al. (2021)
D중앙교육Seong et al. (2021)
E천재교과서Hong et al. (2021)


본 연구의 분석 절차는 다음과 같다. 첫째, <인공지능 수학> 교과서 5종의 예측과 최적화 영역에서 도입, 본문, 예제, 문제, 소단원 평가, 중단원 평가, 단원 마지막 부분의 읽기 자료를 비롯한 탐구 활동에 제시된 모든 설명 및 과제를 추출하였다. 둘째, 교과서 분석을 위한 분석틀을 개발하였다. 교육과정의 성취기준은 다소 일반적이고 포괄적인 형태로 진술되어 있어, 그것을 교과서로 구현하는 방안에 대한 세부적인 정보를 제공하지 못한다. 이에 본 연구는 선행연구(Chang et al., 2016; Dole & Shield, 2008)를 바탕으로 교육과정 성취기준을 상세화 및 세분화한 재구성 성취기준 및 유의사항을 분석틀로 마련하였다. 셋째, 교과서에서 추출된 설명과 과제를 분석틀에 맞추어 분석하였다. 각 재구성 성취기준과 유의사항이 5종의 교과서에 어떻게 반영되어 있는지 분석하였는데, 내용의 누락 여부나 다루는 범위만을 따지는 양적 분석보다는 교과서별로 구체적으로 구현된 바를 질적으로 분석하는데 초점을 두었다. 본 연구는 특정 개념이 교과서마다 어떻게 정의되어 있는지를 비교하거나(Nie et al., 2009; Jones & Fujita, 2013) 교과서에 제시된 문제에 초점을 맞추어 분석한 선행 연구(Huntley & Terrel, 2014)와 달리, 예측과 최적화 영역의 수학적 원리와 공학적 도구가 교과서에서 다루어지는 방식을 분석하고자 하였다. Bingolbali & Bingolbali (2019)는 교과서에 학습 기회와 문제 해결이 어떻게 다루어지는지를 분석하기 위해 먼저 교육과정을 세부적으로 분석하여 분석틀을 도출한 후, 이를 적용하여 문제, 개념 설명을 비롯한 교과서 전체를 분석하고 그 특징을 제시한 뒤 대표되는 교과서별 사례를 소개하였다. 본 연구는 이와 유사하게 교육과정을 검토한 후 분석틀을 도출하고 교과서 분석을 수행하였다. 연구자 2명은 분석틀에 맞추어 각각 분석한 뒤 수시로 협의를 통해 각 재구성 성취기준별로 교과서 구현의 특징에 대해 논의하였고, 의견이 서로 다른 경우에는 교육과정 문서, 시안 개발 연구 보고서, 교과서를 함께 재검토하였으며 합의에 이를 때까지 논의를 지속하였다. 이로부터 연구 결과를 확정하고 시사점을 도출하였다.

2. 분석틀

본 연구에서는 교과서 분석을 위한 분석틀을 마련하기 위해 선행 연구(Chang et al., 2016; Dole & Shield, 2008)를 기초로 교육과정 성취기준을 재구성하였다. 성취기준의 재구성은 포괄적으로 기술된 성취기준의 한계를 벗어나 교육과정 개발진의 의도를 담기 위한 수정 및 보완을 의미한다(Chang et al., 2016). 특히, <인공지능 수학>은 2015 개정 교육과정에서 신설된 과목으로, 그 성취기준 역시 기존의 교육과정에 없던 새로운 것이며 교과서로 구현된 사례가 없다. 따라서 현장 교사나 연구자, 교과서 집필진 등이 성취기준이 함의하는 내용의 범위를 해석하거나 교과서 구현 방안을 도출하는 데 어려움을 겪을 수 있다. 이에 시안 개발 연구 보고서에서는 각 성취기준에 대해 ‘성취기준 해설 및 구현 방안’을 상세히 제시하여, 교과서 집필진이나 교사가 교육과정 개발의 취지를 충분히 이해하고 구현할 수 있도록 돕고자 하였다(Lee et al., 2020, p. 8).

본 연구는 예측과 최적화 영역에 관한 교육과정을 기초로 교과서가 어떻게 구현되었는지를 확인하여 교육과정과 교과서 개발에 대한 시사점을 도출하는데 목적이 있다. 이에 먼저 교육과정 문서(MOE, 2020b)의 ‘성취기준’, ‘교수·학습 방법 및 유의사항’과 시안 개발 연구 보고서(Lee et al., 2020)의 ‘성취기준 해설 및 구현 방안’을 확인하였다. 예측과 최적화 영역에 속하는 성취기준은 3개였으며 각 성취기준과 밀접한 관련이 있는 교수·학습 방법 및 유의사항은 2~4개로 확인되었다. 이를 성취기준 해설 및 구현 방안과 종합하여 성취기준을 구성하는 내용 요소별로 학습의 결과로 드러나야 하는 부분은 재구성 성취기준으로, 교수·학습과 관련된 강조점은 재구성 유의사항으로 분류하여 분석틀을 도출하였다. 예를 들어, 성취기준 ‘[12인수04-02] 함수의 최솟값 또는 최댓값을 찾아 최적화된 의사 결정 방법을 이해한다’의 분석틀 도출 과정은 Figure 1과 같다.

Figure 1.Process of restructuring achievement standards and guidelines

경사하강법과 관련된 성취기준 ‘[12인수04-02] 함수의 최솟값 또는 최댓값을 찾아 최적화된 의사 결정 방법을 이해한다.’만으로는 교육과정 개발진이 의도한 학습 내용이나 교과서 구현 방안을 도출하기 어렵다. 교수·학습 방법 및 유의사항과 성취기준 해설 및 구현 방안을 활용해야만 해당 성취기준이 함수의 극한과 미분계수의 직관적 도입, 미분계수의 기하적 의미를 이용한 경사하강법 알고리즘의 이해, 핵심적인 부분만을 수정하여 실행할 수 있는 공학적 도구를 이용한 경사하강법 및 학습률 실험을 포함한다는 것을 알 수 있다. 이에 성취기준 [12인수04-02]를 [12인수04-02-01]부터 [12인수04-02-04]까지 4개의 재구성 성취기준과 관련된 재구성 유의사항으로 세분화하였다. 관련된 교수·학습 강조점을 파악하기 어려운 경우, 일부 성취기준은 재구성 성취기준만을 분석의 초점으로 삼았다. 하나의 재구성 유의사항이 복수의 재구성 성취기준과 연결되는 경우도 있었다. 구체적으로, 재구성 성취기준 [12인수04-02-03]과 [12인수04-02-04]의 경우 모두 최적화와 관련된 공학적 도구의 활용을 강조한다는 점에서 재구성 유의사항 “프로그램의 코드 작성에 대한 부담을 갖지 않도록 하기 위하여 ‘자료’, ‘학습률’, ‘학습 횟수’, ‘학습을 위한 식’ 등 핵심적인 부분만을 수정하면서 ‘최적화’와 관련된 탐구와 실험을 할 수 있는 공학적 도구를 제공한다.”와 연결하였다. 이와 같은 방식으로 예측과 최적화의 3가지 성취기준에 대한 재구성 성취기준과 재구성 유의사항을 도출한 결과는 Table 3과 같다.

Table 3 Restructured achievement standards and guidelines framework for data analysis

교육과정 성취기준재구성 성취기준재구성 유의사항
[12인수03-04] 자료의 경향성을 추세선으로 나타내고, 예측에 이용할 수 있다.[12인수03-04-01] 자료를 산점도로 나타내어 상관관계를 판단할 수 있다.
[12인수03-04-02] 공학적 도구를 이용하여 자료의 경향성을 보여주는 일차함수 형태의 추세선을 구성할 수 있다.최적의 추세선을 찾는 최소제곱법의 원리는 ‘최적화’ 영역에서 다룬다.
[12인수03-04-03] 추세선을 이용하여 새로운 χ의 값에 해당하는 y의 값을 예측할 수 있다.공학적 도구를 사용하여 구한 추세선의 식을 예측에 이용할 수 있음을 중점적으로 다룬다.
[12인수03-04-04] 자료의 경향성은 직선의 형태가 아닌 곡선 형태로 나타날 수 있음을 이해한다.회귀분석의 용어는 도입하지 않는다.
[12인수04-01] 주어진 자료로부터 분류와 예측을 할 때, 오차를 표현할 수 있는 함수를 구성하는 원리와 방법을 이해한다.[12인수04-01-01] 추세선을 이용한 예측에서, 평균제곱오차를 이용하여 손실함수를 구하는 원리와 방법을 이해한다.실제값과 예측값 사이의 오차로부터 손실함수를 유도하며, y= 형태의 추세선을 찾는 상황에서 기울기 a의 값에 따른 오차의 변화를 이차함수 E(a)로 정의하는 수준에서 간단히 다룬다.
[12인수04-01-02] 텍스트 또는 이미지 분류에서, 활성화함수를 이용하여 손실함수를 구성하는 원리와 방법을 이해한다.분류에서의 활성화함수를 이용한 손실함수의 표현에 관한 내용은 읽기자료 형태의 심화학습으로 제시할 수 있다.
[12인수04-01-03] 인공지능의 학습에는 지도학습, 비지도학습, 강화학습 등이 있음을 알고, 학습의 목표가 손실함수를 최소화하는 것임을 이해한다.
[12인수04-02] 함수의 최솟값 또는 최댓값을 찾아 최적화된 의사결정 방법을 이해한다.[12인수04-02-01] 일변수함수의 극한과 미분계수의 의미를 직관적으로 이해한다.미분계수는 접선의 기울기로 도입한다.
[12인수04-02-02] 미분계수의 기하적 의미를 이용하여 경사하강법을 이해한다.가장 적합한 모델을 찾기 위해 손실함수의 최솟값 또는 최댓값을 찾는 과정을 이해하게 하며, 이차함수 형태의 손실함수에서 경사하강법을 다룬다.
[12인수04-02-03] 공학적 도구를 이용하여 경사하강법과 관련된 탐구와 실험을 할 수 있다.프로그램의 코드 작성에 대한 부담을 갖지 않도록 하기 위하여 ‘자료’, ‘학습률’, ‘학습 횟수’, ‘학습을 위한 식’ 등 핵심적인 부분만을 수정하면서 ‘최적화’와 관련된 탐구와 실험을 할 수 있는 공학적 도구를 제공한다.
[12인수04-02-04] 공학적 도구를 이용하여 학습률이 너무 크거나 작으면 손실함수의 최솟값을 찾지 못할 수 있음을 이해한다.

1. [12인수03-04]의 분석 결과

1) [12인수03-04-01] 산점도와 상관관계

산점도와 상관관계의 경우 대부분의 교과서가 본문에서 자세히 다루고 있지 않았다. A, B, E 교과서는 소단원의 도입부에서 복습 형태로 간단히 다루며, C 교과서는 본문 측면의 도움말을 통해 상관관계에 대해 설명하였다. D 교과서의 경우만 본문에서 산점도와 상관관계에 대해 자세히 설명하였다. D 교과서는 산점도와 상관관계를 정의하고, 양의 상관관계와 음의 상관관계, 상관관계가 없는 경우를 분류하여 산점도와 함께 제시하였다.

2) [12인수03-04-02] 공학적 도구를 이용한 추세선의 구성

교육과정과 시안 개발 연구 보고서에서는 성취기준 [12인수03-04]와 관련해 산점도로 표현된 자료의 경향성을 공학적 도구를 이용하여 일차함수 형태의 추세선으로 나타내는 활동을 강조한다. 각 교과서별로 제시된 추세선의 정의와 공학적 도구의 활용 양상은 다음과 같다.

먼저, 추세선의 정의를 살펴본 결과 5종의 교과서는 추세선에 대해 서로 다른 정의를 사용하고 있었다. 5종의 교과서는 공통적으로 추세선이 자료의 경향성을 나타내기 위한 도구임을 밝히고 있으나, A, C 교과서는 자료의 경향성을 나타내는 직선 또는 곡선을 추세선이라 정의한 반면, B, D, E 교과서는 직선에 한정하여 정의하였다. 특히, C 교과서의 경우 본문에서 “추세선은 오차들을 전체적으로 최소화하는 직선 또는 곡선임이 알려져 있다(p. 100)”고 소개하여 추세선이 마치 이미 최적화된 결과물인 것처럼 설명하는 부분도 있었다. B를 제외한 4종의 교과서는 공통적으로 도입부에서 자료의 특성을 잘 반영하는 추세선이 갖추어야 할 조건에 대해 학생들이 생각해볼 수 있는 활동을 포함하였다. 하나의 산점도에 2~3개의 추세선을 동시에 제시하면서 자료의 경향성을 가장 잘 나타내는 추세선을 선택하고 이유를 설명하게 함으로써 산점도의 점들과 평균적으로 더 가까이 있는 추세선이 자료의 특성을 잘 반영하는 것임을 직관적으로 이해하도록 유도하였다.

한편, 모든 교과서에서 공학적 도구를 이용한 추세선의 생성을 포함하고 있었다. A, D, E 교과서의 경우 엑셀을 이용하였으며, B 교과서는 통그라미, C 교과서는 지오지브라를 이용하였다. 그러나 교수·학습 방법 및 유의사항과 성취기준 해설 및 구현방안에서 반복적으로 공학적 도구의 이용을 강조하고 있음에도 불구하고, B와 D, 2개의 교과서만 본문에서 적극적으로 공학적 도구를 소개하였을 뿐 A, C, E 교과서는 소단원 마지막 탐구 활동에서 부록처럼 소개하고 있었다.

공학적 도구를 이용한 추세선에 관한 내용을 자세히 살펴보면, 대체로 이미 최적화된 추세선을 자동으로 생성하는 활동을 소개하고 있었다. 엑셀을 이용한 A, D, E 교과서의 경우 ‘분산형 차트’를 이용하여 산점도를 그리고 차트 요소 중 하나인 ‘선형 추세선’을 추가하는 방식을 소개하였다. B 교과서 역시 Figure 2.a와 같이 통그라미의 ‘추세선(선형) 표시’ 기능을 이용한 활동을 소개하였다. 이상 4종의 교과서에서 엑셀과 통그라미를 이용하여 생성하는 추세선은 이미 최소제곱법이 자동으로 적용되어 최적화된 것이다. 따라서 학생들이 직선 도구를 이용하거나 식을 직접 입력하여 자료의 경향성을 잘 표현한다고 생각되는 추세선을 선택할 수는 없다. 반면, 지오지브라를 사용한 C 교과서의 경우 Figure 2.b와 같이 적합선(best fit line tool)3) 도구를 이용하여 산점도를 이루는 점들 중 2개의 점을 선택하여 추세선을 긋는 활동을 소개하였다. 이는 산점도의 특정 두 점을 반드시 지나는 추세선만을 만들 수 있다는 한계가 있지만, 학생들에게 자료의 경향성을 나타낼 수 있는 추세선을 제한적으로나마 선택할 수 있는 활동을 제공했다는 점에서 다른 4종의 교과서와 차이가 있었다.

Figure 2.Trend line activities with technological tools

3) [12인수03-04-03] 추세선을 이용한 예측

예측 활동의 경우 5종의 교과서 모두 공통적으로 추세선을 이용한 예측을 본문에서 소개한 뒤, 예제나 문제를 통해 학생들이 추세선을 이용한 예측을 경험할 수 있도록 하고 있었다. 그러나 그 방식에 있어서도 교과서별로 차이가 나타났다. C, D, E 교과서는 이미 최적화된 추세선 또는 추세선의 식을 제시한 상태에서 학생들이 단순히 주어진 추세선을 이용하여 예측하도록 하고 있었다. 예를 들어, Figure 3.a를 보면, 이미 최적화된 추세선과 추세선의 방정식을 제시한 후, 그것을 이용하여 예측하도록 요구한다. 이때 제시되는 추세선은 ‘공학적 도구를 이용하여 찾은 것’으로 설명되거나 아무런 설명 없이 제시되었다. 즉, 학생들은 주어진 추세선이 어떤 기준으로 어떻게 결정된 것인지 이해하지 못한 채, 기계적인 대입을 통해 예측하게 된다. 반면, A 교과서의 경우 학생들이 직접 산점도의 경향성을 잘 나타낼 수 있는 추세선을 정한 후 예측하도록 활동을 구성하였다. Figure 3.b와 같은 활동을 통해 학생들은 자료의 경향성을 직접 추세선으로 나타내보는 경험을 할 수 있으며, 친구들과의 비교를 통해 추세선에 따라 예측이 달라질 수 있다는 점, 자료의 경향성을 나타내는 정도를 측정할 기준의 필요성 등에 대해 이해할 수 있을 것이다.

Figure 3.Examples of forecasting problems using a trend line

한편, B 교과서의 경우 이미 최적화된 추세선을 이용한다는 점에서 C, D, E 교과서와 동일하지만, 추세선의 식을 구한 후 예측 없이 상관관계만을 말하도록 하였다. 이는 성취기준에서 강조하는 추세선을 이용한 예측 활동이 적절히 구현되지 못한 것으로 볼 수 있다.

4) [12인수03-04-04] 곡선의 경향성을 보이는 자료

시안 개발 보고서에 제시된 구현 방안에서는 자료의 경향성은 직선의 형태가 아닌 경우도 있으므로, 곡선의 경향성을 보이는 자료를 다루어 볼 수도 있음을 권장하고 있다. 이에 A, C 교과서는 본문에서 곡선 형태의 경향성을 보이는 자료를 소개하였다. A 교과서의 경우 이차함수의 그래프 형태를 띄는 산점도를 제시하여 설명하였고, C 교과서는 구체적인 자료를 예시로 일차함수보다 이차함수 또는 삼차함수의 그래프를 추세선으로 할 때 자료의 경향성이 더욱 합리적으로 표현되는 경우에 대해 설명하였다. 그러나 나머지 3종의 교과서는 곡선 경향성을 보이는 자료에 대해서 다루지 않았다.

본 절에서 정리한 성취기준 [12인수03-04]와 관련된 분석 내용을 요약하면 Table 4와 같다.

Table 4 Textbook analysis for achievement standard [12AIM03-04]

교과서12인수03-04-0112인수03-04-0212인수03-04-0312인수03-04-04
산점도와 상관관계 (위치)추세선의 정의공학적 도구 (위치)예측 활동곡선 경향성
A복습(도입부)자료의 경향성을 나타내는 직선 또는 곡선엑셀: 최적화된 추세선 (탐구활동)직관적으로 추세선을 구성하고 예측 및 비교이차함수 형태의 산점도를 설명
B복습(도입부)자료의 경향성을 나타내는 직선통그라미: 최적화된 추세선 (본문)주어진 최적화된 추세선의 식을 구한 뒤 상관관계를 설명다루지 않음
C설명(도움말)자료의 경향성을 나타내는 직선 또는 곡선지오지브라: 제한적으로 선택할 수 있는 추세선(탐구활동)주어진 최적화된 추세선을 이용한 예측동일한 산점도에 대한 일차, 이차, 삼차함수 추세선의 비교
D설명(본문)자료의 경향성을 나타내는 직선엑셀: 최적화된 추세선(본문)주어진 최적화된 추세선을 이용한 예측다루지 않음
E복습(도입부)자료의 경향성을 나타내는 직선엑셀: 최적화된 추세선 (탐구활동)주어진 최적화된 추세선을 이용한 예측다루지 않음


2. [12인수04-01]의 분석 결과

1) [12인수04-01-01] 예측에서의 손실함수

교육과정과 시안 개발 연구 보고서에서는 성취기준 [12인수04-01]과 관련해 예측에서 평균제곱오차를 이용하여 손실함수를 정의하는 원리와 방법을 이해하는 것을 강조한다. 각 교과서별로 제시된 손실함수를 정의하는 방식과 손실함수를 이용한 활동, 공학적 도구의 활용 양상은 다음과 같다.

구현방안에서는 실제값과 예측값 사이의 오차로부터 손실함수를 유도하며, y=꼴의 추세선을 찾는 상황에서 기울기 a의 값에 따른 오차의 변화를 이차함수 E(a)로 정의하는 수준에서 간단히 다루도록 강조하고 있다. 5종의 교과서는 공통적으로 서로 다른 예측 모델로서 2개의 추세선을 예시로 오차를 구한 후, 오차를 비교하기 위한 수단으로 평균제곱오차를 도입하여 손실함수를 정의하고 손실함수의 활용을 다루었다. 그러나 손실함수를 구성하는 과정이나 그 이후의 전개에 있어서 교과서 간 차이가 존재하였다.

A, B, D, E 교과서는 처음부터 원점을 지나는 y= 꼴의 추세선으로 한정하여 오차를 비교하였고, 손실함수도 일변수함수인 E(a)=1n i=1 n yi+axi2으로 정의하였다. 앞 단원에서 y=+b꼴의 추세선을 다루었기 때문에, 이 단원에서 갑자기 원점을 지나는 y=꼴의 추세선에 한정하여 손실함수를 정의하는 부분과의 간극이 확인되었다. 4종의 교과서는 y=꼴의 추세선에 한정하여 손실함수를 정의하는 이유에 대한 설명이 없거나 설명하여도 충분하지 않았다. 구체적으로, A 교과서는 본문 우측 도움말에서 간단히 설명하였고, B와 E 교과서의 경우 관련된 설명이 없었다. D 교과서는 ‘더 알아보기’에서 구체적인 예를 들어 설명하였지만, 설명에 수학적 오류가 있었다. 산점도의 한 점의 y 좌표가 0이 되도록 평행이동 시키면 추세선의 방정식을 y=로 놓고 계산할 수 있다고 설명하나(D, p. 107), 최적의 추세선이 y=꼴이 되기 위해서는 산점도를 이루는 모든 점들의 무게중심이 원점이 되도록 평행이동 시켜야 한다(Akaishi, 2019).

반면, C 교과서의 경우, 일반적인 y=+b꼴의 예측 모델을 예시로 오차를 구하고 손실함수를 이변수함수인 E(a, b)={(오차)2의 평균}로 정의한 후, 예측 모델이 y=인 경우 손실함수가 이차함수 E(a)={(aχ-y)2의 평균}으로 표현됨을 설명한다. 이는 고등학교 교육과정 내에서 공식적으로 다루지 않는 이변수함수가 비형식적으로 등장하지만, 이전 단원에서의 일반적인 추세선을 이용하여 손실함수를 일반화하여 정의하고, 원점을 지나는 특수한 모델에서의 손실함수를 자연스럽게 도입하는 학습 경로로 볼 수 있다.

평균제곱오차를 이용하여 손실함수를 정의하는 과정을 살펴보면, 교과서들은 공통적으로 단순한 오차나 오차의 합이 가지는 한계를 예로 들면서 오차를 비교할 수 있는 다른 대푯값의 필요성을 이끌어내지만 그것이 평균제곱오차가 되어야 하는 이유에 대해서는 자세히 다루지 않았다. A 교과서는 본문에서 단순히 오차의 합을 이용하면 오차의 부호에 의한 상쇄 문제가 발생함을 설명하였고, D 교과서도 오차의 평균이 0이 되는 구체적인 사례를 이용하여 상쇄 문제를 설명하였다. B 교과서는 개별 오차들로는 예측 모델을 비교할 수 없음을 설명하였다. E 교과서도 읽기 자료에서 오차들의 대푯값으로 오차의 합, 오차 절댓값의 합을 사용하지 못하는 이유를 설명하였다. 이와 같이 교과서들은 오차의 상쇄 문제를 언급한 이후, 일반적인 대안으로 평균제곱오차를 이용한 손실함수의 정의를 제시하였다. 합을 이용하여 손실함수를 정의할 경우 데이터의 크기에 영향을 받기 때문에, 일반적으로 평균제곱오차나 평균제곱근오차와 같은 평균이 오차의 대푯값으로 사용된다. 그러나 이러한 측면에서 손실함수의 정의와 관련된 수학적 원리와 방법을 다루는 교과서는 없었으며, A, E 교과서의 경우 손실함수와 관련하여 합과 평균의 관점을 오가며 설명을 하기도 하였다. 예를 들어, Figure 4.a을 보면 ‘합’의 관점에서 오차의 합으로 손실함수를 정의하는 경우의 문제점에 대해 설명하다가 이에 대한 대안으로 ‘평균’에 해당하는 평균제곱오차를 제시한다. Figure 4.b의 경우 본문에서 손실함수를 평균제곱오차로 정의했음에도 불구하고 오차들의 대푯값으로 ‘합’으로 정의된 값들을 소개하고 있다.

Figure 4.Mixed explanations using sum and mean for loss function

손실함수를 정의한 이후의 전개에서도 교과서 간의 차이가 나타났다. A와 C 교과서의 경우 실제 자료로부터 손실함수를 계산하고, 손실함수의 최솟값을 이용하여 최적의 추세선을 구하는 문제나 탐구 활동을 다루었다. B 교과서의 경우도 손실함수를 구한 후, 함숫값을 이용하여 3개의 추세선 중 가장 예측에 적합한 것을 판단하는 문제를 포함하였다. 이러한 문제들은 학생들에게 손실함수의 함숫값의 의미나 추세선의 최적화 맥락에서 손실함수의 역할에 대해 생각해보는 기회를 제공할 수 있다. 반면, D와 E 교과서는 손실함수를 활용하는 문제나 활동에 제한이 있었다. D 교과서의 경우 손실함수의 함숫값을 구하는 문제가 있으나 그것을 추세선의 최적화와 명확히 연결 짓지 않았고, E 교과서의 경우 손실함수의 최솟값을 이용하는 연역적인 방법 대신 손실함수 E(a)의 함숫값이 작아지는 a를 순차적으로 찾아가는 귀납적인 알고리즘을 순서도로 설명하였다.

손실함수와 관련하여 성취기준이나 교수·학습 방법 및 유의사항, 성취기준 해설 및 구현방안 어디에도 공학적 도구의 이용을 명시하고 있지 않다. 그럼에도 불구하고, A, B, C 3종의 교과서가 공학적 도구를 이용한 손실함수 관련 탐구 활동을 포함하였다. A 교과서는 엑셀을 이용하여 가중치 별 평균제곱오차를 구하는 활동을 소개하였으며, B 교과서는 데스모스에서 기울기 a의 값에 따른 손실함수 값의 변화를 슬라이더로 조절하며 관찰할 수 있는 활동을 소개하였다. C 교과서도 엑셀에서 0.1 간격으로 손실함수의 함숫값을 구한 뒤 차트 도구를 이용하여 손실함수의 그래프를 그리는 활동을 소개하였다. 이러한 활동들은 공통적으로 기울기 a에 따른 손실함수의 함숫값의 변화를 확인하게 하였다.

2) [12인수04-01-02] 분류에서의 손실함수

성취기준과 그 해설에서는 예측과 마찬가지로 이미지 분류 또는 텍스트 분류에서도 손실함수를 구성하는 원리와 방법을 다루도록 기술하고 있지만, 구현방안에서는 예측을 중심으로 다루되 분류에서의 손실함수에 관한 내용은 읽기자료 형태의 심화학습으로 제시할 수 있음을 기술하고 있다. 분석 결과, 5종 중 C 교과서는 읽기자료 형태로 분류에서의 손실함수에 대해 소개하였는데, 활성화함수에 대해 비형식적으로 설명한 뒤 이를 이용하여 손실함수를 구성한다는 정도로 간단히 다루었다. 그 외 4종의 교과서는 분류에서의 손실함수를 다루지 않았다.

3) [12인수04-01-03] 인공지능 학습의 유형과 목표

대부분의 교과서가 인공지능 학습의 유형과 목표에 대해 설명하였다. A, B, C 교과서는 인공지능의 학습 유형으로 지도학습, 비지도학습, 강화학습에 대해 본문이나 읽기자료에서 간단히 설명하였다. D, E 교과서는 1단원 ‘인공지능과 수학’에서 이미 관련된 설명을 소개하여 4단원에서 재차 설명하지는 않았다. 또한 A, B, C, E 교과서는 손실함수의 도입이나 활용 부분에서 인공지능의 학습 목표가 손실함수의 함숫값이 최소가 되는 지점을 찾아 예측 모델을 효율성을 높이는 것임을 설명하고 관련 활동을 제시하였다. 단, D 교과서는 앞서 살펴본 바와 같이 추세선의 최적화와 손실함수를 연결짓지 않았기 때문에, 손실함수와 관련된 인공지능의 학습의 목표를 설명하지 않았다.

본 절에서 정리한 성취기준 [12인수04-01]과 관련된 분석 내용을 요약하면 Table 5와 같다.

Table 5 Textbook analysis for achievement standard [12AIM04-01]

교과서12인수04-01-0112인수04-01-0212인수04-01-03
예측 모델의 유형과 손실함수의 정의y=ax꼴로 한정하는 이유평균제곱오차로 정의하는 이유손실함수를 이용한 활동공학적 도구분류에서의 손실함수학습의 유형과 목표
Ay=ax에 대하여 E(a)로 정의설명(도움말)오차의 합의 상쇄 문제에 대한 대안손실함수의 최솟값을 이용한 최적 추세선 찾기엑셀: 가중치 별 평균제곱오차를 계산다루지 않음설명(본문): 손실함수와 학습의 목적을 연결하여 다룸
By=ax에 대하여 E(a)로 정의설명하지 않음개별 오차를 이용한 비교의 어려움에 대한 대안손실함수의 함숫값을 이용한 추세선의 적합성 비교데스모스: 기울기에 따른 손실함수 값의 변화를 관찰다루지 않음설명(읽기자료): 손실함수와 학습의 목적을 연결하여 다룸
Cy=ax+b에 대하여 E(a,b)로 정의 후 E(a) 소개설명(본문)설명하지 않음손실함수의 최솟값을 이용한 최적 추세선 찾기엑셀: 손실함수의 그래프를 이산적으로 나타냄읽기자료에 소개설명(본문): 손실함수와 학습의 목적을 연결하여 다룸
Dy=ax에 대하여 E(a)로 정의설명(읽기자료): 수학적 오류가 존재오차의 평균의 상쇄 문제에 대한 대안손실함수의 값은 구하지만, 추세선 최적화와 연결짓지 않음제공하지 않음다루지 않음설명(1단원 본문): 학습의 목적 다루지 않음
Ey=ax에 대하여 E(a)로 정의설명하지 않음오차의 합의 상쇄 문제에 대한 대안최적화와 관련된 귀납적 알고리즘 설명 과정에서 손실함수 이용제공하지 않음다루지 않음설명(1단원 본문): 손실함수와 학습의 목적을 연결하여 다룸


2. [12인수04-02]의 분석 결과

1) [12인수04-02-01] 일변수함수의 극한과 미분계수

5종의 모든 교과서가 교수·학습 방법 및 유의사항에 따라 함수의 극한 개념은 직관적 수준으로 다루고 미분계수는 접선의 기울기로 도입하였다. 그러나 세부적인 내용의 범위나 도입 방법에서는 차이가 나타났다. B, C, E 교과서는 함수의 극한을 직관적으로 도입한 후 접선의 기울기로 미분계수를 도입하고 이차함수의 도함수를 계산하는 순서로 내용을 전개하였다. A 교과서는 공학적 도구인 알지오매스를 이용하여 함수의 극한과 접선의 기울기로서 미분계수를 도입한 뒤, 지오지브라의 CAS 창을 이용하여 미분계수를 구하는 방법을 소개하였다. A 교과서는 극한을 이용한 미분계수의 정의나 이차함수의 도함수를 계산하는 방법을 다루지 않는다는 점에서 다른 교과서와 차이가 있었다. D 교과서의 경우 함수의 극한부터 시작해서 좌극한과 우극한, 미분계수, 도함수, 함수의 실수배, 합, 차의 미분법까지 다른 4종의 교과서에 비해 많은 내용을 다루었다.

2) [12인수04-02-02] 미분계수의 기하적 의미를 이용한 경사하강법의 이해

5종의 교과서는 대체로 경사하강법 용어 도입, 경사하강법 알고리즘 제시 및 설명, 경사하강법의 활용 순서로 내용을 구성하였는데 각 교과서별로 제시된 경사하강법 알고리즘의 유형, 미분계수와의 관련성에 대한 설명은 다음과 같다.

먼저, 5종의 교과서에서 제시하는 경사하강법 알고리즘은 Table 6과 같이 3가지 유형으로 나타났다. A, B, E 교과서의 경우 상수나 변수의 문자에는 일부 차이가 있으나, 공통적으로 유형1의 알고리즘을 의사코드 형태로 제시하였다. C 교과서는 유형2와 같이 순서도로 표현하였는데, 유형1과 달리 종료 조건을 포함한 완결된 형태의 알고리즘을 제시했다. 한편, D 교과서의 유형3은 경사하강법이라 볼 수 없는 불분명한 알고리즘이다.

Table 6 Gradient descent algorithm presented in textbooks

유형1(A, B, E 교과서)유형2(C 교과서)유형3(D 교과서)
① 임의의 a의 값에 대한 미분계수 E'(a)를 구한다.x1에서 미분을 구한다.
a의 값을 -ηE'(a)만큼 변화시킨다. (η : 학습률)② ①에서 구한 기울기와 방향이 반대인 직선으로 이동시킨 점이 곡선 y=f(x)와 만나는 점 x2를 구한다.
③ 이와 같은 과정을 여러 번 반복한다.③ ②에서 구한 x2에서 미분을 구한다.
④ ③의 값이 0이 아니면 ②와 같은 방법을 반복한다.
⑤ 이렇게 반복적으로 기울기를 변화시켜 그 값이 0이 되는 지점을 찾는다.


이론적 배경에서 살펴보았듯 경사하강법에서 이해해야 할 미분계수의 역할은 크게 ‘이동방향’과 ‘이동량’으로 구분할 수 있다. 예를 들어, 유형1에서 -ηE'(a)에 의해 미분계수의 부호와 반대로 이동하게 되며, 최솟값에 근접할수록 작아지는 E'(a)의 절댓값에 비례하여 이동량이 점점 감소하게 된다. 5종의 교과서는 모두 미분계수가 경사하강법의 이동방향을 결정하는 원리를 이해할 수 있는 활동이나 설명을 포함하였다. C, D, E 교과서는 교육과정에 따라 미분계수의 기하적 의미를 이용하여 경사하강법의 이동방향에 대해 설명하였다. 그러나, 접선의 기울기의 부호와 이동방향 사이의 수학적 관계에 대해 자세히 다루지는 않았다. 예를 들어, Figure 5.a와 같이 E 교과서는 “점 B는 그 점에서의 접선의 기울기가 양수이므로 왼쪽으로 이동해야 한다.” 정도로 간단히 설명한다. A, B 교과서의 경우 Figure 5.b와 같이 미분계수와 함수의 증감 사이의 관계를 이용하여 이동방향에 대해 설명하였다. 그러나 A, B 교과서는 미분계수를 도입할 때 기하적 의미만을 다루었을 뿐, 함수의 증감과 관련한 의미를 다루지 않았다. 즉, 도입한 미분계수의 의미와 경사하강법의 설명에서 사용한 미분계수의 의미가 서로 일치하지 않았다.

Figure 5.Textbook explanations on the direction of movement of gradient descent

경사하강법의 이동량과 관련하여 미분계수의 역할을 다룬 교과서는 A, C, E 3종 뿐이었다. 그 중 E 교과서만 “손실함수의 함숫값이 최소인 점에 가까워지면 이동하는 점이 그 최소인 점을 지나쳐서 더 멀어지지 않게 하기 위해 점이 이동하는 거리를 점점 줄여야 한다. 따라서 점이 이동하는 거리는 그 점에서의 미분계수의 절댓값에 정비례하게 한다(p. 116).”와 같이 삽화와 함께 명시적으로 다루었다. A, C 교과서의 경우 간단히 언급하거나 간접적인 설명을 하는 정도에 그쳤고, B, D 교과서에서는 관련된 내용이 없었다. C 교과서의 경우 읽기자료로 경사하강법이 손실함수의 그래프의 개형과 초깃값에 따라 극솟값에 빠질 수 있는 한계가 있음을 설명하기도 하였다.

한편, 성취기준에는 함수의 ‘최댓값’이 기술되어 있고, 교수·학습 방법 및 유의사항에도 추세선을 예시로, 가장 적합한 모델을 찾기 위해 정의한 함수의 최솟값 또는 최댓값을 찾는 과정을 이해하게 하라는 내용이 제시되어 있으나 손실함수의 최댓값을 구하는 상황이나 과정은 어느 교과서에도 나타나지 않았다.

3) [12인수04-02-03] 공학적 도구를 이용한 경사하강법 실험

경사하강법은 수많은 반복 실행을 통해 손실함수가 최솟값을 갖는 지점을 찾아가는 과정이므로, 학생들이 그것을 실제로 구현하고 확인하기 위해서는 공학적 도구가 필요하다. 이에 교육과정에서는 공학적 도구를 활용한 경사하강법 시뮬레이션 활동을 권장하고 있으며, 특히 코드에서 ‘자료’, ‘학습률’, ‘학습 횟수’, ‘학습을 위한 식’ 등 핵심적인 부분만을 수정하여 실험해볼 수 있는 코딩 환경의 제공(Lee et al., 2020)을 언급하였다.

분석 결과, A, D 2종의 교과서는 공학적 도구를 활용한 경사하강법 시뮬레이션 활동을 제공하지 않았다. B, C, E 교과서에서는 각각 파이썬, 알지오매스의 그래프와 블록 코딩, 알지오매스의 그래프와 표를 이용한 시뮬레이션 활동 제공하였다. B 교과서의 경우 알지오매스의 블록 코딩을 활용하여 핵심적인 블록의 입력값만을 수정하여 경사하강법을 실험해 볼 수 있게 구성하였다. 특히 Figure 6.a에서 볼 수 있듯이 알지오매스의 그래프 기능과 거북 기하를 융합하여 실제 손실함수 위에서 점진적으로 최소 지점을 찾아가는 과정을 실시간으로 관찰할 수 있도록 하였다. C 교과서는 완성된 파이썬 코드의 주소(url)를 제공하여 학생들이 다운로드 한 후 주피터 노트북이나 코랩으로 실행하도록 하였다. 교육과정에서 제안한 것과 같이 주석을 통해 코드의 핵심 부분만을 변경하여 경사하강법 실험을 해볼 수 있도록 구성되어 있었다. 다만, Figure 6.b의 교과서 삽화처럼 손실함수 위에서 점진적으로 최소를 찾아가는 이동 과정을 시각적으로 관찰할 수는 없었고, 몇 개의 중간 결과와 최종 결과만을 확인할 수 있었다. 한편, E 교과서의 경우 코딩을 활용하지 않고도 경사하강법을 효과적으로 시뮬레이션할 수 있는 도구를 제시하였다. Figure 6.c와 같이 알지오매스의 표 도구의 수식을 이용하여 경사하강법에 따른 점들을 구한 후, 손실함수 그래프 위에 산점도를 표시함으로써 코딩에 대한 부담없이 경사하강법을 실험할 수 있도록 하였다.

Figure 6.Three types of gradient descent simulation presented in textbooks

4) [12인수04-02-04] 공학적 도구를 이용한 학습률 탐구

모든 교과서가 학습률이 지나치게 크거나 작은 경우에 발생하는 경사하강법의 문제에 대해 본문에서 구체적인 예를 들어 설명하였다. 그러나 교육과정에서 제안한 것과 같이 공학적 도구를 이용하여 학습률에 따른 경사하강법의 변화를 관찰하고 탐구해보도록 하는 교과서는 B와 C 뿐이었다.

본 절에서 정리한 성취기준 [12인수04-02]와 관련된 분석 내용을 요약하면 Table 7과 같다.

Table 7 Textbook analysis for achievement standard [12AIM04-02]

교과서12인수04-02-0112인수04-02-0212인수04-02-0312인수04-02-04
극한과 미분계수경사하강법 알고리즘미분계수와 이동방향미분계수와 이동량 감소공학적 도구학습률 문제공학적 도구
A공학적 도구로 함수의 극한, 접선의 기울기로 미분계수를 직관적으로 도입하고, 미분계수를 구하는 방법 소개의사코드: 종료 조건이 명확하지 않음미분계수를 함수의 증감과 연결하여 설명간적접으로 다룸제공하지 않음구체적인 예를 통해 다룸제공하지 않음
B함수의 극한, 접선의 기울기로 미분계수를 도입의사코드: 종료 조건이 명확하지 않음미분계수를 함수의 증감과 연결하여 설명다루지 않음알지오매스: 그래프와 블록코딩 기능을 활용구체적인 예를 통해 다룸알지오매스: 그래프와 블록코딩 기능을 활용
C함수의 극한, 접선의 기울기로 미분계수를 도입순서도: 종료 조건까지 완결된 알고리즘미분계수를 경사(또는 접선의 기울기)와 연결하여 설명간적접으로 다룸파이썬: 코드를 제공구체적인 예를 통해 다룸파이썬: 코드를 제공
D접선의 기울기로 미분계수를 도입하나 좌극한과 우극한, 함수의 실수배, 합, 차의 미분법까지 다룸의사코드: 수학적 오류가 있음미분계수를 경사(또는 접선의 기울기)와 연결하여 설명다루지 않음제공하지 않음간단히 설명제공하지 않음
E함수의 극한, 접선의 기울기로 미분계수를 도입의사코드: 종료 조건이 명확하지 않음미분계수를 경사(또는 접선의 기울기)와 연결하여 설명명확히 다룸알지오매스: 그래프와 표 기능을 활용구체적인 예를 통해 다룸제공하지 않음

본 연구는 <인공지능 수학>의 내용 중 단순 선형 회귀를 이용하여 지도학습의 수학적 원리를 다루고 있는 예측과 최적화 영역을 분석하였다. 교육과정 문서와 시안 개발 연구 보고서를 바탕으로 교육과정 개발진의 의도를 구체화한 재구성 성취기준과 재구성 유의사항을 도출하여 분석틀로 삼고, 인정 교과서 5종의 구현을 분석하였다. 분석 결과, 선행연구(Kwon et al., 2021)에서 지적한 것처럼 동일한 성취기준에서 다루는 내용 범위의 편차가 클 뿐 아니라 동일한 개념, 알고리즘 등의 정의에 있어서도 차이가 나타났고, 성취기준의 의도가 정확히 구현되지 않은 부분도 있었다. 연구 결과를 바탕으로, 2015 개정 <인공지능 수학>의 성취기준이나 성취기준 해설의 작성, 교과서로의 구현에 대한 시사점을 정리하면 다음과 같다. 이러한 시사점은 차기 2022 개정 교육과정 <인공지능 수학>에서 예측 및 최적화 영역의 성취기준 및 그 해설을 기술하거나 교과서를 집필할 때 활용될 수 있다. 다만, 본 연구에서 도출한 연구 결과 및 시사점은 실제 수업 장면에 기반하지 않았으며 교육과정 개발 및 교과서 집필의 이론적인 측면에 기초한 연구자의 논리적인 아이디어라는 점을 밝혀 둔다.

성취기준 ‘[12인수03-04] 자료의 경향성을 추세선으로 나타내고, 예측에 이용할 수 있다.’와 관련하여 다음과 같이 3가지 시사점을 도출하였다.

첫째, 추세선 관련 성취기준의 해설에서 산점도와 상관관계에 대한 내용은 보완할 필요가 있다. 성취기준 해설에서 자료를 산점도로 나타내어 상관관계를 판단하는 활동에 대해 설명하고 있지만 이는 이미 중학교 3학년 성취기준에 포함되는 내용이므로(MOE, 2020b) 동일한 내용을 중복해서 다루기 보다는 <인공지능 수학> 과목의 특수성을 반영하도록 보완할 필요가 있다. 실제로 5종 중 4종의 교과서에서도 이 내용은 중학교 때 이미 학습한 내용으로 준비학습이나 도움말에서 간단히 소개하였다.

둘째, 성취기준에 공학적 도구를 명시하는 방안을 고려할 필요가 있다. ‘교수·학습 방법 및 유의사항’과 ‘성취기준 해설 및 구현방안’을 미루어 보았을 때 교육과정 개발진의 핵심 의도는 공학적 도구를 이용한 추세선의 구성과 이를 활용한 예측에 있다. 그러나 5종 중 2종만이 본문에서 공학적 도구를 적극적으로 도입하였다. 예측 활동에 있어서도 모든 교과서에서 공학적 도구의 활용보다는 추세선이나 추세선의 식이 주어진 상태에서 단순 계산을 통해 예측하는 활동이 주를 이루고 있었다. 공학적 도구의 활용을 위해 2015 개정 수학과 교육과정의 중학교 통계 영역의 성취기준 [9수05-03]에서 이를 명시하였고(Park et al., 2015) 실제로 많은 교과서에서 공학적 도구를 활용하려는 노력이 이루어졌다(Kim et al., 2021). 이에 비추어볼 때, 교육과정 개발진의 의도를 교과서에 반영하기 위해 성취기준에 공학적 도구를 명시하고, 성취기준 해설에서 학생들이 공학적 도구를 이용하여 자료의 경향성을 나타내는 추세선을 구성하고, 그 추세선을 예측에 활용해보도록 한다는 점을 기술한다면 변화를 유도할 수 있을 것이라 판단된다.

셋째, 직관적인 수준에서 자료의 경향성을 추세선으로 나타내고 예측하는 활동을 중심으로 다룰 필요가 있다. 현재 교육과정에서는 공학적 도구를 이용하여 측정값과 함숫값 사이의 ‘오차를 최소화’하는 추세선을 찾아 새로운 χ의 값이 주어졌을 때 y의 값을 예측하는 과정을 이해하게 하되, 최적화의 원리는 ‘최적화’ 영역에서 다루도록 하고 있다(Lee et al., 2020). 이에 1종을 제외한 모든 교과서가 공학적 도구를 이용하여 이미 최적화된 추세선을 생성하는 방법을 소개하고 있었으며, 이미 최적화된 추세선을 학생에게 부여하고 예측하는 활동을 중심으로 다루고 있었다. 이러한 학습 경로는 학생들에게 주어진 추세선이 어떤 기준으로 어떻게 결정되는 것인지 그 원리를 이해하지 못한 채 기계적인 대입을 통해 예측하도록 요구한다는 약점이 있다. 이에 대한 대안으로 최적화된 추세선을 먼저 제시하기보다는 자료의 경향성을 나타낼 수 있는 추세선을 직관적으로 구성하고, 이를 이용하여 예측해보는 활동을 중심으로 다루는 방안을 고려할 수 있다(e.g., KOFAC, 2021). 공학적 도구를 활용한다면, 알지오매스나 지오지브라와 같은 동적 기하 환경에서 산점도의 경향성을 나타내는 추세선을 직선 도구로 자유롭게 그린 후 함수의 식을 이용하여 예측하는 활동을 할 수 있다. 이러한 직관적인 추세선의 생성과 활용은 추세선의 선택에 따른 예측의 변화, 오차의 측정 및 최적화의 필요성 등을 자연스럽게 이끌어낼 수 있다. 무리하여 최적화된 추세선을 제시하기보다는 직관적인 추세선 활동 이후에 최적화 영역에서 최소제곱법이나 경사하강법을 이용하여 최적의 추세선을 찾도록 학습 경로를 수정하는 방안을 고려할 필요가 있다.

성취기준 ‘[12인수04-01] 주어진 자료로부터 분류와 예측을 할 때, 오차를 표현할 수 있는 함수를 구성하는 원리와 방법을 이해한다.’와 관련하여 다음과 같이 4가지 시사점을 도출하였다.

첫째, y=꼴로 예측 모델을 제한하여 손실함수를 E(a)로 정의하는 이유를 다룰 필요가 있다. 분석 결과, 4종의 교과서는 y=꼴로 추세선에 한정하여 손실함수를 정의하는 이유를 적절하게 다루지 못하였다. 예측 단원에서는 y=+b꼴의 추세선을 다루었기 때문에 학생들은 갑자기 최적화 단원에서 y=꼴의 추세선에 한정하여 손실함수를 정의하는 부분에 의문을 품을 수 있으므로 관련 내용을 다룰 필요가 있다. C 교과서에서 살펴보았듯 y=+b꼴의 추세선을 이용하여 손실함수를 E(a, b)={(오차)2의 평균}으로 일반화하여 정의하고, 원점을 지나는 예측 모델에서의 손실함수를 하나의 사례로 도입하는 학습 경로를 성취기준 해설에서 제안하는 방안도 고려해볼 수 있을 것이다.

둘째, 평균제곱오차로 손실함수를 정의하는 수학적 원리와 방법을 보다 강조하여 다룰 필요가 있다. 성취기준과 성취기준 해설 모두에서 오차를 표현할 수 있는 함수를 구성하는 원리와 방법의 이해를 강조하고 있다. 그러나 모든 교과서들이 단순 오차나 오차의 합이 가지는 한계를 간단히 언급한 후 바로 평균제곱오차를 제시할 뿐, 그렇게 정의하는 이유나 원리에 대해 다루지는 않았다. 손실함수의 정의 방법은 <인공지능 수학> 수준에서 수학적으로 이해할 수 있는 부분이 많다. 예를 들어, 이론적 배경에서 살펴보았듯 오차제곱합보다는 평균제곱오차를 사용하는 이유를 탐구하거나 평균제곱오차, 평균제곱근오차, 평균절대오차 등의 장·단점을 직관적으로 비교하는 활동 등은 수학적으로 추론하고 설명할 수 있는 부분이 많으므로 좋은 소재가 될 수 있을 것이다. 또한 평균제곱오차는 실제값이 예측 모델로부터 흩어져있는 정도를 나타내는 일종의 산포도로 볼 수 있으므로 중학교 3학년 때 학습한 분산 개념과 연결하여 도입하는 방안도 고려해볼 수 있을 것이다. 성취기준 해설에서 손실함수의 구성 원리와 방법에 대해 다룰 수 있는 예시들을 구체적으로 기술한다면 교과서에서도 관련 내용이 보완될 수 있을 것으로 보인다. 덧붙여, 이러한 수학적 원리와 방법의 강조는 정보 교과의 <인공지능 기초>(MOE, 2020c)와의 차별화를 꾀하는 데에도 도움이 될 것으로 판단된다.

셋째, 손실함수의 의미를 이해할 수 있는 활동이 교과서에 포함될 필요가 있다. 손실함수는 정의역이 χ, 치역이 y인 예측모델 y=에 대해서 새롭게 a를 정의역으로, a에 의해 결정되는 평균제곱오차를 함숫값으로 하는 함수이다. 매개변수 a를 새로운 함수의 정의역으로 보는 관점이 학생들에게 쉽지 않으며(Bloedy-Vinner, 2001), 예측 모델과 손실함수 사이의 관계를 명확히 이해해야만 지도학습의 목적이 손실함수의 최적화라는 것을 이해할 수 있다. 따라서 단순히 손실함수의 정의를 제시하는데 그치기보다는 손실함수의 의미를 이해할 수 있는 추가적인 활동을 제공하는 것이 바람직하다. 앞서 언급한 바와 같이, 2종의 교과서는 손실함수를 대수적으로 구하고 활용하는 활동이 전혀 없었다. 손실함수가 최솟값을 갖는 a의 값을 구하여 최적의 추세선을 찾고, 그 추세선을 이용하여 예측하는 활동은 최적의 추세선을 찾는 데 있어서 손실함수의 역할에 대한 이해를 높일 수 있으므로 이에 관한 과제가 추가될 필요가 있다. C 교과서와 같이 손실함수의 함숫값을 비교하여 최적의 기울기를 선택하는 활동도 효과적이라 판단된다. 특히 3종의 교과서가 성취기준에서 전혀 언급이 없음에도 공학적 도구를 이용하여 손실함수의 의미를 탐구하는 활동을 포함하였다. 저자들은 공학적 도구를 통해 a값에 따른 평균제곱오차의 변화를 실시간으로 관찰하는 경험이 손실함수를 이해하는 데 도움이 될 것이란 판단하에 관련 활동을 추가한 것으로 보인다. 손실함수의 이해를 돕는 교수·학습 방법으로 공학적 도구의 사용을 교육과정 문서에서 권장하는 방안도 고려해볼 수 있을 것이다.

넷째, 분류에서의 손실함수는 성취기준에서 삭제하는 방안을 고려할 필요가 있다. 현재 성취기준에서는 예측과 마찬가지로 이미지 분류 또는 텍스트 분류에서도 손실함수를 구성하는 원리와 방법을 다루도록 기술하고 있다. 그러나 분석 결과 5종 중 4종의 교과서에서 분류에서의 손실함수를 전혀 다루지 않았다. 1종의 경우도 ‘읽기자료’ 형태로 간단히 언급하는 정도였다. 분류에서의 손실함수를 이해하기 위해서는 확률분포, 로그, 엔트로피 등의 개념에 기반한 교차 엔트로피 오차가 필요한데(Russell & Norvig, 2020), 이는 <인공지능 수학>의 수준에서 다루기 어렵기 때문에 저자들이 무리하게 도입하지 않은 것으로 판단된다. 따라서 이 성취기준에서 분류에 관한 부분은 삭제를 고려할 필요가 있다.

성취기준 ‘[12인수04-02] 함수의 최솟값 또는 최댓값을 찾아 최적화된 의사 결정 방법을 이해한다.’와 관련하여 다음과 같이 4가지 시사점을 도출하였다.

첫째, 경사하강법에서 사용되는 미분계수의 의미를 최적화 단원의 도입부에서 소개하는 미분계수의 의미와 일치시킬 필요가 있다. 연구 결과, 모든 교과서가 교수·학습 방법 및 유의사항에 따라 미분계수를 접선의 기울기로 도입하였다. 그러나 2종의 교과서는 미분계수의 기하적 의미만 다루고, 경사하강법의 이동방향을 설명할 때 함수의 증감을 바로 연결하였다. 이러한 불일치는 미분을 처음 학습한 학생들이 경사하강법을 이해하는 데 어려움을 일으킬 수 있다. 현행 성취기준 해설과 같이 미분계수는 직관적으로 도입하도록 하되 그 의미를 기하적으로 제한하기보다는, 각 교과서 집필진이 자율적으로 미분계수의 의미를 정의하고 경사하강법까지 연결성을 높이는 방안도 고려할 필요가 있다.

둘째, 경사하강법의 이동량에 관한 수학적 원리를 다룰 필요가 있다. 경사하강법에서 미분계수는 이동방향을 결정할 뿐 아니라, 미분계수의 절댓값이 감소하면서 최솟값을 점진적으로 찾아가도록 하는 역할도 한다. 이는 경사하강법의 종료와도 관계되는데, 손실함수의 미분계수가 충분히 0에 가까워지면 반복을 종료하는 종료 조건을 설정할 수 있기 때문이다. 이러한 이동량의 감소와 관련한 미분계수의 역할을 명확히 다룬 교과서는 1종 외에는 없었다. 경사하강법은 손실함수와 함께 지도학습의 핵심이며(Ishikawa, 2018; Russell & Norvig, 2020), <인공지능 수학> 과목의 목표에 따라 그 원리를 수학적으로 이해하기 좋은 소재이다. 경사하강법의 이동방향과 함께 이동량에 대해서도 충실히 다룰 필요가 있으며, 이를 위하여 성취기준 해설에서 이동방향, 학습률과 함께 이동량의 변화도 기술하는 방안도 고려할 필요가 있다.

셋째, 성취기준에서 ‘최댓값’은 삭제를 고려할 필요가 있다. <인공지능 수학>의 전체적인 내용 체계 상 손실함수의 최댓값을 구하는 상황이나 경사상승법을 다루기 어렵다고 판단된다. 실제로 5종 교과서 모두에서 최댓값을 구하는 최적화 상황은 다루어지지 않았다. 따라서 현행 성취기준에서 ‘최댓값’ 부분은 삭제를 고려할 필요가 있다.

넷째, 성취기준에 공학적 도구를 명시할 필요가 있다. 경사하강법은 수많은 반복 실행을 통해 손실함수가 최솟값을 갖는 지점을 찾아가는 과정이므로, <인공지능 수학>이 추구하는 바와 같이 실습과 프로젝트를 중심으로 경사하강법을 탐구하기 위해서는 공학적 도구의 활용이 필수적이다. 이에 교육과정에서는 공학적 도구를 활용한 경사하강법 시뮬레이션 활동을 권장하고 있으며, 특히 핵심적인 부분만을 수정하여 실험해볼 수 있는 코딩 기반 공학적 도구의 제공을 언급하기도 하였다. 그러나 5종 중 2종의 교과서에는 사실상 공학적 도구를 활용한 경사하강법 시뮬레이션 활동이 제공되지 않았다. 교육과정 개발진의 의도가 교과서로 구현되기 위해서는 성취기준 수준에서 공학적 도구의 이용을 명시하는 것을 고려할 필요가 있다. 한편, 성취기준 해설에서 코딩 기반 환경의 사용을 특별히 권장할 필요는 없을 것으로 판단된다. E 교과서의 사례와 같이, 동적 기하 소프트웨어의 표 도구와 그래프 도구를 연동하면 코딩을 활용하지 않고도 경사하강법을 효과적으로 시뮬레이션 할 수 있는 도구를 제공할 수 있기 때문이다.

본 연구는 Kwon et al. (2021)와 유사하게 신설 과목의 교육과정을 개발하고, 그에 따른 교과서를 집필하는 작업에 상당한 어려움이 존재한다는 것을 확인하였다. <인공지능 수학>의 경우 약 4개월이라는 다소 짧은 기간에 걸쳐 교육과정이 개발되었는데(Lee et al., 2021), 성취기준 등의 수정 및 보완이 이루어질 필요가 있다. 예를 들어, 본 연구에서 살펴보았듯이 손실함수의 최댓값, 분류에서의 손실함수와 같이 실제로 교과서 내용으로 구현되기 어려운 부분이 성취기준에 명시되거나, 추세선을 이용한 예측과 같이 학습 경로가 어색한 경우가 있었다. 또한 교과서 집필진 역시 교육과정의 해석과 집필에 어려움이 많았던 것으로 보인다. 교과서마다 차이가 있었으나, 성취기준의 의도가 적절히 반영되지 않거나 경사하강법, 손실함수 등과 관련하여 수학적 오류가 있는 경우도 있었기 때문이다. 현재 개발되고 있는 2022 개정 수학과 교육과정의 신설 과목들인 <수학과 문화>, <직무수학>, <실용통계> 등(MOE, 2021) 에서도 이와 유사한 어려움이 발생할 수 있다. 신설 과목의 경우 충분한 시간을 확보하여 교육과정을 개발할 필요가 있으며, 연구 방법면에서도 프로토타입 교과서 구현 단계를 두어 현직 교사와 함께 성취기준이나 학습 경로를 점검하고 교과서 구현상의 어려움은 없는지 확인하여 보완하는 방안도 생각해볼 수 있다. 끝으로, 본 연구의 결과가 2022 개정 수학과 교육과정의 <인공지능 수학> 과목을 수정 및 보완하고, 교과서를 개발하는 데 유용하게 활용되길 기대한다.

1) 현재 2015 개정 수학과 교육과정의 <인공지능 수학>에 ‘예측과 최적화’ 영역은 없으나, 본고에서는 단순 선형 회귀에서의 지도학습 과정을 다루고 있는 부분을 묶어서 ‘예측과 최적화’라 지칭하였다.

2) 본고에서는 연구 목적을 고려하여 단순 선형 회귀를 일반적인 통계학이 아닌 기계학습 분야의 관점에서 설명하였다.

3) 선택한 점들에 대한 최적의 추세선을 자동으로 생성해주는 도구이다. C 교과서에서는 2개의 점을 적합선 도구로 선택하여 추세선을 생성하도록 소개하고 있다.

No potential conflict of interest relevant to this article was reported.

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Article

Original Article

2022; 32(2): 125-147

Published online May 31, 2022 https://doi.org/10.29275/jerm.2022.32.2.125

Copyright © Korea Society of Education Studies in Mathematics.

An Analysis of the <Artificial Intelligence Mathematics> Textbook: Focusing on Forecast and Optimization

Nayoung Ku1, Inyong Choi2

1Teacher, Gyeonggi Science High School, 2Professor, Chuncheon National University of Education, South Korea

Correspondence to:Inyong Choi, mathiy@cnue.ac.kr
ORCID: https://orcid.org/0000-0002-9766-9952

Received: April 18, 2022; Revised: May 15, 2022; Accepted: May 16, 2022

This is an Open Access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution Non-Commercial License (http://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0), which permits unrestricted non-commercial use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.

Abstract

The purpose of this study is to analyze the textbook focusing on forecast and optimization. The topic of forecast and optimization addresses the core principles of artificial intelligence. The analytical framework in the study was developed by deriving reconstructed achievement standards and teaching and learning guidelines from three achievement standards about forecast and optimization. Moreover, five types of textbooks were analyzed. The results have several implications for developing a revised curriculum and textbook.

Keywords: artificial intelligence mathematics, textbook analysis, forecast, optimization

I. 서론

인공지능은 지능정보사회의 핵심기술로 무한한 가치를 지니고 있으며, 세계 주요국들은 인공지능 기술 및 인적 자원의 우위 확보를 위해 적극적으로 노력하고 있다(Kim, 2019). 국제적으로 인공지능과 관련된 인재 양성을 위한 다양한 정책이 추진되고 있으며, 특히 미국, 중국, 일본 등의 주요 국가들은 교육과정에 인공지능 관련 과목을 도입하고 있다(Yoo et al., 2020). 이러한 흐름에 맞추어 교육부는 제3차 수학교육 종합계획에서 미래 핵심 역량 함양을 위한 수학교육 내용 및 교육 방법 개선의 일환으로 인공지능에 필요한 수학 개념을 통해 인공지능을 이해하고 활용하는 고등학교 진로 선택 과목 <인공지능 수학>을 신설하겠다고 발표하였다(Ministry of Education(이하 MOE), 2020a). 이에 2015 개정 교육과정 적용 중에 <인공지능 수학> 과목의 교육과정이 추가로 개발되었으며, 그에 따라 교과서가 개발되어 2021학년도 2학기부터 학교 현장에 적용되었다. <인공지능 수학>은 신설된 과목으로 교사들이 현장에서 지도하는 것에 대한 부담감이 있는 것은 사실이지만 미래형 수학교육에서 지능정보기술의 핵심이 되는 수학 내용을 다루는 과목이라는 점에서 그 중요성이 강조되고 있다(Lee et al., 2021).

국가 수준의 공식적인 문서 형태로 배포된 교육과정은 교과서, 교실, 학생에게로 전달되면서 구체화되며(Remillard & Heck, 2014) 교육과정의 취지를 적합하게 반영한 교과서 개발을 위해 교육과정과의 일관성을 제고할 필요가 있다(Chang et al., 2016). 교과서 분석에 관한 연구들은 교과서 개발 방향 선정 및 심사에 관한 연구, 교육과정과 교과서의 연계에 관한 연구, 실제 교실 현장에서 교과서의 활용에 관한 연구로 범주화된다(Fan, 2013). 특히, 우리나라의 경우 검·인정 심사를 운영하여 교과서의 정확성과 신뢰도를 높이고자 하나 다양한 이유로 교육과정과 교과서 간의 일관성이 낮아질 수 있다. 이러한 불일치는 특수한 목적을 가진 교과서를 만들면서 어쩔 수 없이 발생하거나 교과서 저자가 교육과정을 해석하면서 자신의 의도를 반영하여 발생할 수 있다(Park et al., 2014). 우리나라의 인공지능 관련 교육은 아직 시작 단계로 볼 수 있으며(Ko, 2020), 새로 개발된 과목의 교과서들이 교육과정의 취지에 부합하게 개발되었는지에 대한 검토가 요구된다(Kwon et al., 2021).

<인공지능 수학>에 관한 국내의 선행연구들은 과목의 신설을 위해 인공지능의 원리나 기능에 따라 주요 수학 내용과의 연결을 시도하거나(Ko, 2020) <인공지능 수학>을 위한 수학적 역량을 제안하고(Han, 2022), <인공지능 수학>의 교육과정에서 제시한 핵심 개념과 관련 학습 요소가 고등학교의 공통 과목과 선택 과목에 어느 정도 반영되었는지를 확인하여 과목 간의 연계를 제고하는(Kim & Jeon, 2021) 등 교과목 및 교육과정 개발에 초점을 맞춘 연구가 일부 수행되었다. 특히, Kwon et al. (2021)은 <인공지능 수학>의 ‘관련 학습 요소’가 5종의 교과서에서 반영된 양상을 형식, 범위와 방법, 공학적 도구 활용 방식을 중심으로 분석하였는데, 교과서별로 ‘관련 학습 요소’를 기술하는 형식상의 차이와 수학 개념을 취급하는 양과 범위에서 큰 차이가 나타났다. 이는 현재 <인공지능 수학> 교육과정이 독자에 의해 해석되는 범위가 크다는 점을 시사하며, ‘관련 학습 요소’를 넘어서 교육과정의 성취기준과 그에 따른 교과서 구현 내용을 보다 자세히 살펴볼 필요로 이어진다. 이에 본 연구에서는 <인공지능 수학>의 특정 내용 영역에 초점을 맞추어 교육과정과 그에 따른 교과서의 구현을 분석하고자 하였다. 특정 수학적 개념이나 원리에 초점을 맞춘 교과서 분석은 교육과정 및 교과서 개발에 대한 전반적인 논의뿐만 아니라 내용 특수적인 논의를 이끌어낼 수 있다는 점(Dole & Shield, 2008; Jones & Fujita, 2013)으로부터 본 연구 역시 시사점을 제공할 수 있다. 특히 <인공지능 수학>은 신설 과목이므로 교육과정의 개발에 지속적인 피드백이 요구된다. 이에 본 연구에서는 교과서 분석으로부터 교육과정의 수정 및 보완에도 시사점을 제공할 것이라 판단하였다.

인공지능의 주요 기술 중 하나인 기계학습(machine learning)은 데이터로부터 패턴을 찾아 예측 모델을 생성하는 방법의 유형에 따라 지도학습, 비지도학습, 강화학습으로 분류할 수 있다. <인공지능 수학>에서는 과목의 성격과 교육과정 상의 위계를 고려하여 상대적으로 쉬운 지도학습을 주로 다루고 있다. 지도학습의 핵심 알고리즘은 오차가 최소화된 예측 모델을 찾는 최적화 과정에 있다(Russell & Norvig, 2020). 현재 <인공지능 수학>의 내용 체계는 ‘인공지능과 수학’, ‘자료의 표현’, ‘분류와 예측’, ‘최적화’의 4개 영역으로 구성되어 있는데(MOE, 2020b), ‘분류와 예측’의 후반부 ‘예측’과 ‘최적화’의 전반부를 통해 가장 간단한 단순 선형 회귀를 예로 지도학습의 최적화 과정을 다룬다.

이에 본 연구에서는 인공지능의 핵심 원리를 다루고 있는 ‘예측과 최적화’1)에 관한 교육과정을 기초로 교과서가 어떻게 구현되어 있는지를 확인하고자 한다. <인공지능 수학>은 기존의 수학 과목에서 다루듯 개념 이해나 문제해결에 초점을 둔 것이 아니라 인공지능에 수학적 원리가 어떻게 적용되는지에 초점을 맞추며 공학적 도구를 활용한 교수·학습을 강조한다(Lee et al., 2020). 이러한 과목의 성격을 반영하여 본 연구에서는 교육과정 문서와 시안 개발 연구 보고서에 제시된 성취기준에 대한 세부 사항을 파악하고, 5종의 <인공지능 수학> 교과서를 분석한다. 본 연구의 연구 문제는 다음과 같다:

  • <인공지능 수학> 교과서의 ‘예측과 최적화’에서 수학적 원리는 어떻게 다루어 지는가?

  • <인공지능 수학> 교과서의 ‘예측과 최적화’에서 공학적 도구는 어떻게 활용되는가?

본 연구의 결과로부터 예측과 최적화 영역의 차기 교육과정이나 교과서 개발에 대한 시사점을 도출하였다. 특히, 2022 개정 수학과 교육과정부터는 교육과정 문서 체제 안에 ‘성취기준 해설’을 두어 성취기준의 의도를 보다 구체적으로 기술하고자 노력하는 만큼(MOE, 2021), 이를 염두에 두고 교육과정에 관한 구체적인 시사점을 제시하고자 하였다.

II. 이론적 배경

1. <인공지능 수학> 과목의 특성

<인공지능 수학>은 <기본 수학>과 함께 시대적 상황과 사회적 요구에 따라 2015 개정 교육과정이 적용되고 있는 중간에 추가로 개발되어 신설된 진로 선택 과목이다. 기존 수학 과목과 비교했을 때, <인공지능 수학>은 다음과 같은 특징을 갖는다.

첫째, <인공지능 수학> 과목은 인공지능에 활용되는 수학적 개념이나 원리를 이해함으로써 수학의 가치를 인식하고 미래 사회가 필요로 하는 역량을 기르는 것을 목적으로 한다. 교육과정 시안 개발 과정에서 <인공지능 수학>은 수학 과목인 만큼 정보 교과에서 개발되는 <인공지능 기초>와의 차별화를 위하여 인공지능 기술이나 코딩보다는 수학적 내용을 중심으로 해야한다는 방향성을 설정하였다(Lee et al., 2020, p. 155). 그러나 행렬, 벡터, 미분, 조건부확률, 수열 등과 같은 인공지능의 핵심이 되는 수학 내용을 깊이 있게 다루어야 한다는 주장과 학교 현장에서 교사와 학생들이 쉽게 접근할 수 있도록 수학 내용을 약화시키고 활용 측면을 다루어야 한다는 주장이 양립하였다. 연구진은 양 주장을 절충하여 <인공지능 수학> 과목의 성격을 인공지능 핵심기술을 이해하고 적용해 보는데 필요한 핵심적인 수학의 내용을 다루되, 기존의 수학 교과서에서 다루듯 개념의 이해와 수학적 문제해결에 초점을 둔 것이 아니라 인공지능의 원리에 수학 개념이 어떻게 적용되는지를 이해하는 수준으로 수학을 다루는 것으로 규정하였다(Lee et al., 2020, p. 18). 이에 <인공지능 수학>에서는 고등학교 1학년 공통 과목인 <수학>만을 이수한 학생들도 이해할 수 있는 수준의 수학 내용을 구체적인 인공지능 맥락 속에서 다룬다. 인공지능의 이해 과정에서 도입되는 새로운 수학적 개념도 최대한 직관적이고 비형식적으로 다루도록 하고 있다. 예를 들어, 조건부확률은 용어와 기호는 도입하지 않고 빈도적으로 다루며, 극한은 직관적으로 도입하고, 미분도 이차함수의 도함수 정도로만 다룬다. 평가에 있어서도 과목의 성격을 고려하여 선택형, 단답형의 지필평가보다는 실습과 프로젝트를 권장하고 있다.

둘째, <인공지능 수학>은 공학적 도구의 활용을 적극 강조한다. 수학적 원리가 적용된 인공지능 기술을 체험하거나 수학 원리를 이용하여 인공지능 기술을 구현하기 위해서는 컴퓨터 기반의 공학적 도구가 필요하다. 이에 <인공지능 수학>은 교육과정 전반에 걸쳐 공학적 도구의 활용을 강조하고 있다. 성취기준 수준에서 공학적 도구를 명시하지는 않았지만, 도입부인 ‘인공지능과 수학’ 영역을 제외한 전체 11개의 성취기준 중 7개의 성취기준에 대하여 교수·학습 방법 및 유의 사항에서 공학적 도구의 이용을 권장하고 있다. 기능적인 문제 풀이보다는 실제 수학 원리를 이용하여 인공지능 관련 기술을 구현하고 탐구하도록 하고 있는데, 예를 들면, 공학적 도구로 행렬을 이용하여 이미지를 표현하고 수정하거나 추세선을 긋고 예측하는 활동을 권장하고 있다. 또한 <인공지능 수학>은 최초로 교육과정 문서에서 코딩의 활용을 명시한 수학 과목이다(MOE, 2020b, p. 174). 본격적인 코딩보다는 현장 상황을 고려하여 학생들이 직관적으로 이해할 수 있는 수준으로 작성된 프로그램의 코드를 제공하여 프로그래밍에 대한 부담을 느끼지 않게 하고 있는데, 제공된 프로그램 코드의 핵심적인 수식만을 학생이 수정하면서 수학적 원리와 관련된 탐구와 실험에 활용하도록 권장하고 있다(Lee et al., 2020, p. 96).

셋째, 성취기준의 의미와 구현방안에 대한 상세한 정보를 제공한다. 우리나라의 경우 사회적 요구에 대처하며 다양한 교수·학습 방법을 제시하고자 교육과정 문서의 구체화를 꾀하였다(Lee et al., 2017). 국가 수준의 교육과정을 운영하는 우리나라의 경우 교육과정의 취지를 적합하게 반영한 교과서의 개발이 요구된다(Chang et al., 2016). 이는 교육과정에 제시된 내용의 수준과 범위를 준수하고, 목표, 내용, 평가와 일관성을 가져야한다는 것을 의미한다(MOE, 2020b). 또한 교과서의 정확성과 신뢰도를 높이기 위해 검·인정 심사를 운영하고 있는데 집필진은 교육과정의 수준과 범위를 준수하면서도 자율성과 다양성을 꾀하여 교과서를 개발한다. <인공지능 수학>은 신설 과목으로 처음 도입되는 만큼, 교육과정 문서와 시안 개발 연구 보고서에서 성취기준에 대한 세부 사항을 기술하였다. 구체적으로, <실용 수학>을 비롯한 진로 선택 과목에 비해 교수·학습 방법 및 유의사항을 상세하게 기술하여 다루어야 할 내용의 범위와 교수·학습 활동 제안, 공학적 도구의 활용을 담았다(Kwon et al., 2021). 시안 개발 연구 보고서에서는 개별 성취기준마다 성취기준 해설 및 구현 방안을 상세히 제시하였으며 교과서 개발 방향을 별도로 제시하여 교과서 집필진이나 교사가 교육과정 개발의 취지를 충분히 이해하고 구현할 수 있도록 돕고자 하였다.

2. 예측과 최적화

본 연구에서는 <인공지능 수학>의 예측과 최적화 내용을 분석하였는데, 이는 기계학습 관점에서의 단순 선형 회귀에 해당한다. 인공지능의 하위 분야인 기계학습은 컴퓨터가 경험을 통해 스스로 개선해나가는 방법을 의미한다(Mitchell, 1997). 여기서 경험은 데이터의 형식으로 컴퓨터에 제공되므로 기계학습의 핵심은 데이터로부터 하나의 모델을 만들어가는 과정에 있는데, 이를 학습(learning)이라 한다. 학습을 통해 생성한 모델을 이용하여 새로운 입력값에 대한 출력값을 찾는 것을 예측이라 한다. 기계학습에서 사용하는 학습은 그 방법에 따라 지도학습, 비지도학습, 강화학습로 분류할 수 있는데, 그 중 지도학습이 상대적으로 간단하고 이해하기 쉬운 것으로 알려져 있다(Akaishi, 2019). 지도학습은 입력값에 대한 정답이 함께 표시된 데이터를 학습에 이용하는 방법이다. 지도학습은 다시 예측하려는 값의 유형에 따라 분류와 회귀로 구분할 수 있는데, 이산적인 값을 예측하는 경우를 분류, 연속적인 값을 예측하는 경우를 회귀라 한다. 예를 들어, 예측하고자 하는 것이 ‘개’, ‘고양이’와 같이 이산적이면 분류, 원숭이의 키 ‘74 cm’와 같이 연속적이면 회귀이다. 분류의 경우 가장 간단한 이진 분류라 하더라도 인공지능의 학습 과정을 이해하기 위해서는 로지스틱 함수, 최대 우도법, 편미분 등이 요구된다(Russell & Norvig, 2020). 따라서 <인공지능 수학>에서 분류는 기초적인 수준에서 일부만을 다루며, 회귀 중에서도 가장 간단한 단순 선형 회귀로 지도학습의 전체 과정을 다룬다(Lee et al., 2020).

단순 선형 회귀2)는 하나의 독립변수와 하나의 종속변수 사이의 관계를 가장 잘 설명할 수 있는 직선 형태의 함수를 찾아 독립변수로부터 종속변수를 예측하는 것이다. 단순 선형 회귀의 함수, 즉 예측 모델은 L(χ)=aχ+b로 표현되는데, 기계학습에서는 a를 가중치(weight), b를 편향(bias)이라 부른다. 단순 선형 회귀에서 학습의 목적은 데이터를 가장 잘 나타낼 수 있는 직선, 즉, 실제값과 예측값 사이의 오차가 최소인 예측 모델을 찾는 것에 있다(Ishikawa, 2018). 손실함수(loss function)는 예측 모델의 예측값과 실제값 사이의 오차를 나타내는 지표 성격의 함수이다. 만약 학습 데이터의 각 입력값 χi(1≤i≤n)에 대한 예측값을 L(χi)=aχi+b, 실제값을 yi라 하면, 선형 회귀 모델의 오차는 yi-L(χi)이다. 이때, 오차는 음수가 나올 수 있으므로 오차를 단순히 합산하는 방식으로 손실함수를 정의할 수 없다. 이러한 상쇄 문제를 해결하기 위한 가장 기본적인 방안은 오차제곱합을 사용하는 것이다. 그러나 오차제곱합은 데이터의 크기에 따라 그 값이 지나치게 커질 수 있으며, 데이터가 추가되었을 때 나타나는 변화가 실제 오차의 변화인지 데이터의 증가로 인한 변화인지 구분하기 어렵다는 단점이 있다(Weidman, 2019). 이에 일반적으로 오차제곱합을 데이터의 크기로 나눈 평균제곱오차를 이용하여 손실함수를 정의하며(Ishikawa, 2018), 평균절대오차, 평균제곱근오차 등을 사용할 수도 있다. 평균제곱오차를 이용하여 단순 선형 회귀의 손실함수를 정의하면 다음과 같다.

E(a,b)=1n i=1 n yi axi+b2

이때, 손실함수가 최솟값을 갖는 a, b를 찾는 과정을 최적화라 하며, 가장 기본적인 최적화 알고리즘은 경사하강법(gradient descent)이다. 경사하강법은 마치 산 정상에서 하산하듯이 E(a, b)의 값이 감소되는 방향으로 조금씩 반복 이동하여 E(a, b)의 값이 최소가 되는 (amin, bmin)을 찾는 알고리즘이다. 단순 선형 회귀에서 일반적인 경사하강법 알고리즘을 의사코드로 나타내면 Table 1.a와 같다(Ishikawa, 2018; Russell & Norvig, 2020).

Table 1 . Gradient descent algorithm.

a. 예측 모델이 L(χ)=aχ+b인 경우b. 예측 모델이 L(χ)=aχ인 경우
(1) 임의의 초깃값 (a0, b0)을 정한다.(1) 임의의 초깃값 a0을 정한다.
(2) (ai, bi)을 (ai+1, bi+1)로 반복하여 수정한다.(η: 학습률)
ai+1=ai η E aa,b=ai,bi bi+1=bi η E ba,b=ai,bi
(2) aiai+1로 반복하여 수정한다.(η : 학습률)
ai+1=aiηE'ai
(3) (ai, bi) 와 (ai+1, bi+1) 사이의 변화가 충분히 작아지면 반복을 멈춘다(3) aiai+1 사이의 변화가 충분히 작아지면 반복을 멈춘다.


단순 선형 회귀라 하더라도 손실함수는 이변수함수로 나타나며, 경사하강법을 이해하기 위해서는 방향벡터, 전미분, 편미분 등의 개념이 요구된다. 이에 <인공지능 수학>에서는 학습 부담을 최소화하면서도 지도학습의 핵심적인 수학 원리를 다룰 수 있도록 예측 모델을 편향 b가 0인 경우로 한정하여 손실함수와 경사하강법을 다루도록 하였다(Lee et al., 2020). 이 경우 손실함수는 E(a)=1n i=1 n yi+axi2가 되어 일변수 이차함수가 되고, 경사하강법의 알고리즘도 Table 1.b와 같이 ai+1=ai-ηE'(ai)가 되어 이차함수의 미분 수준에서 설명이 가능해진다.

경사하강법에 활용되는 핵심적인 수학 원리는 미분인데, 그 역할은 크게 ‘이동방향’과 ‘이동량’으로 구분하여 생각할 수 있다(Akaishi, 2019). 먼저 손실함수의 미분계수는 경사하강법의 이동방향을 결정한다. 예측 모델이 L(χ)=aχ인 경우를 예로 들면, E'(a)의 부호가 양수이면 손실함수가 증가하는 상태이므로 감소하는 방향으로 이동하기 위해서는 a의 값을 감소시켜야 한다. 마찬가지로 E'(a)의 부호가 음수인 경우, 손실함수가 감소하는 상태이므로 a의 값을 증가시켜야 한다. 즉, 경사하강법에서 이동방향은 각 ai에서의 미분계수 E'(ai)의 반대로 결정된다. 경사하강법의 1회 이동량은 ηE'(ai)로 결정되는데, 미분계수는 이동방향 뿐 아니라 이동량의 조절에 있어서도 큰 역할을 한다. 손실함수가 최소가 되는 지점에 가까울수록 E'(a)의 절댓값이 작아지기 때문에 경사하강법이 진행될수록 자연스럽게 이동량이 감소한다. 따라서 E'(a)의 값이 충분히 0에 가까워지면 ai와 ai+1사이의 변화가 거의 나타나지 않으므로 이때 경사하강법의 반복을 종료할 수 있다. η는 미분계수에 곱해져 경사하강법의 이동량을 조절하는 중요한 상수로 학습률(learning rate)이라 불린다(Russell & Norvig, 2020). 만약 학습률이 너무 크면 발산하여 최솟값에 수렴하지 못할 수 있으며, 너무 작은 경우 학습 속도가 너무 느려 효율성이 떨어진다. 따라서 적절한 학습률을 설정하는 것이 중요한데, 특별히 정해진 공식은 없으며 일반적으로 환경 요인에 따라 0.01에서 0.001 정도의 값이 사용된다(Weidman, 2019).

기본적인 형태의 경사하강법은 엄밀히 말해 함수의 최솟값이 아닌 극솟값을 찾는 알고리즘이다. 극솟값이 반드시 최솟값이라 보장할 수 없는 사차함수에서는 초깃값에 따라 경사하강법이 극솟값에 빠질 수 있다. 이러한 문제를 해결하기 위하여 실제 인공지능에서는 개선된 형태의 확률적 경사하강법, 미니배치법 등이 사용된다. <인공지능 수학>에서는 이차함수 형태의 손실함수만 다루기 때문에 기본적인 경사하강법만을 다루고 있다.

III. 연구 방법

1. 분석 대상 및 절차

본 연구에서는 2015 개정 교육과정에 따른 고등학교 인정도서인 <인공지능 수학> 교과서 전체 5종을 분석 대상으로 하였다(Table 2 참조). 특히 5종의 교과서에서 단순 선형 회귀를 다루는 ‘분류와 예측’ 단원의 후반부와 ‘최적화’ 단원의 전반부를 분석틀에 따라 분석하였다. 이 과정을 통해 예측과 최적화 영역에서 인공지능과 관련된 수학적 원리와 공학적 도구가 어떻게 다루어지는지 분석하고자 하였다.

Table 2 . List of artificial intelligence mathematics textbooks analyzed.

구분출판사저자
A금성출판사Oh et al. (2021)
B미래엔Hwang et al. (2021)
C씨마스Lee et al. (2021)
D중앙교육Seong et al. (2021)
E천재교과서Hong et al. (2021)


본 연구의 분석 절차는 다음과 같다. 첫째, <인공지능 수학> 교과서 5종의 예측과 최적화 영역에서 도입, 본문, 예제, 문제, 소단원 평가, 중단원 평가, 단원 마지막 부분의 읽기 자료를 비롯한 탐구 활동에 제시된 모든 설명 및 과제를 추출하였다. 둘째, 교과서 분석을 위한 분석틀을 개발하였다. 교육과정의 성취기준은 다소 일반적이고 포괄적인 형태로 진술되어 있어, 그것을 교과서로 구현하는 방안에 대한 세부적인 정보를 제공하지 못한다. 이에 본 연구는 선행연구(Chang et al., 2016; Dole & Shield, 2008)를 바탕으로 교육과정 성취기준을 상세화 및 세분화한 재구성 성취기준 및 유의사항을 분석틀로 마련하였다. 셋째, 교과서에서 추출된 설명과 과제를 분석틀에 맞추어 분석하였다. 각 재구성 성취기준과 유의사항이 5종의 교과서에 어떻게 반영되어 있는지 분석하였는데, 내용의 누락 여부나 다루는 범위만을 따지는 양적 분석보다는 교과서별로 구체적으로 구현된 바를 질적으로 분석하는데 초점을 두었다. 본 연구는 특정 개념이 교과서마다 어떻게 정의되어 있는지를 비교하거나(Nie et al., 2009; Jones & Fujita, 2013) 교과서에 제시된 문제에 초점을 맞추어 분석한 선행 연구(Huntley & Terrel, 2014)와 달리, 예측과 최적화 영역의 수학적 원리와 공학적 도구가 교과서에서 다루어지는 방식을 분석하고자 하였다. Bingolbali & Bingolbali (2019)는 교과서에 학습 기회와 문제 해결이 어떻게 다루어지는지를 분석하기 위해 먼저 교육과정을 세부적으로 분석하여 분석틀을 도출한 후, 이를 적용하여 문제, 개념 설명을 비롯한 교과서 전체를 분석하고 그 특징을 제시한 뒤 대표되는 교과서별 사례를 소개하였다. 본 연구는 이와 유사하게 교육과정을 검토한 후 분석틀을 도출하고 교과서 분석을 수행하였다. 연구자 2명은 분석틀에 맞추어 각각 분석한 뒤 수시로 협의를 통해 각 재구성 성취기준별로 교과서 구현의 특징에 대해 논의하였고, 의견이 서로 다른 경우에는 교육과정 문서, 시안 개발 연구 보고서, 교과서를 함께 재검토하였으며 합의에 이를 때까지 논의를 지속하였다. 이로부터 연구 결과를 확정하고 시사점을 도출하였다.

2. 분석틀

본 연구에서는 교과서 분석을 위한 분석틀을 마련하기 위해 선행 연구(Chang et al., 2016; Dole & Shield, 2008)를 기초로 교육과정 성취기준을 재구성하였다. 성취기준의 재구성은 포괄적으로 기술된 성취기준의 한계를 벗어나 교육과정 개발진의 의도를 담기 위한 수정 및 보완을 의미한다(Chang et al., 2016). 특히, <인공지능 수학>은 2015 개정 교육과정에서 신설된 과목으로, 그 성취기준 역시 기존의 교육과정에 없던 새로운 것이며 교과서로 구현된 사례가 없다. 따라서 현장 교사나 연구자, 교과서 집필진 등이 성취기준이 함의하는 내용의 범위를 해석하거나 교과서 구현 방안을 도출하는 데 어려움을 겪을 수 있다. 이에 시안 개발 연구 보고서에서는 각 성취기준에 대해 ‘성취기준 해설 및 구현 방안’을 상세히 제시하여, 교과서 집필진이나 교사가 교육과정 개발의 취지를 충분히 이해하고 구현할 수 있도록 돕고자 하였다(Lee et al., 2020, p. 8).

본 연구는 예측과 최적화 영역에 관한 교육과정을 기초로 교과서가 어떻게 구현되었는지를 확인하여 교육과정과 교과서 개발에 대한 시사점을 도출하는데 목적이 있다. 이에 먼저 교육과정 문서(MOE, 2020b)의 ‘성취기준’, ‘교수·학습 방법 및 유의사항’과 시안 개발 연구 보고서(Lee et al., 2020)의 ‘성취기준 해설 및 구현 방안’을 확인하였다. 예측과 최적화 영역에 속하는 성취기준은 3개였으며 각 성취기준과 밀접한 관련이 있는 교수·학습 방법 및 유의사항은 2~4개로 확인되었다. 이를 성취기준 해설 및 구현 방안과 종합하여 성취기준을 구성하는 내용 요소별로 학습의 결과로 드러나야 하는 부분은 재구성 성취기준으로, 교수·학습과 관련된 강조점은 재구성 유의사항으로 분류하여 분석틀을 도출하였다. 예를 들어, 성취기준 ‘[12인수04-02] 함수의 최솟값 또는 최댓값을 찾아 최적화된 의사 결정 방법을 이해한다’의 분석틀 도출 과정은 Figure 1과 같다.

Figure 1. Process of restructuring achievement standards and guidelines

경사하강법과 관련된 성취기준 ‘[12인수04-02] 함수의 최솟값 또는 최댓값을 찾아 최적화된 의사 결정 방법을 이해한다.’만으로는 교육과정 개발진이 의도한 학습 내용이나 교과서 구현 방안을 도출하기 어렵다. 교수·학습 방법 및 유의사항과 성취기준 해설 및 구현 방안을 활용해야만 해당 성취기준이 함수의 극한과 미분계수의 직관적 도입, 미분계수의 기하적 의미를 이용한 경사하강법 알고리즘의 이해, 핵심적인 부분만을 수정하여 실행할 수 있는 공학적 도구를 이용한 경사하강법 및 학습률 실험을 포함한다는 것을 알 수 있다. 이에 성취기준 [12인수04-02]를 [12인수04-02-01]부터 [12인수04-02-04]까지 4개의 재구성 성취기준과 관련된 재구성 유의사항으로 세분화하였다. 관련된 교수·학습 강조점을 파악하기 어려운 경우, 일부 성취기준은 재구성 성취기준만을 분석의 초점으로 삼았다. 하나의 재구성 유의사항이 복수의 재구성 성취기준과 연결되는 경우도 있었다. 구체적으로, 재구성 성취기준 [12인수04-02-03]과 [12인수04-02-04]의 경우 모두 최적화와 관련된 공학적 도구의 활용을 강조한다는 점에서 재구성 유의사항 “프로그램의 코드 작성에 대한 부담을 갖지 않도록 하기 위하여 ‘자료’, ‘학습률’, ‘학습 횟수’, ‘학습을 위한 식’ 등 핵심적인 부분만을 수정하면서 ‘최적화’와 관련된 탐구와 실험을 할 수 있는 공학적 도구를 제공한다.”와 연결하였다. 이와 같은 방식으로 예측과 최적화의 3가지 성취기준에 대한 재구성 성취기준과 재구성 유의사항을 도출한 결과는 Table 3과 같다.

Table 3 . Restructured achievement standards and guidelines framework for data analysis.

교육과정 성취기준재구성 성취기준재구성 유의사항
[12인수03-04] 자료의 경향성을 추세선으로 나타내고, 예측에 이용할 수 있다.[12인수03-04-01] 자료를 산점도로 나타내어 상관관계를 판단할 수 있다.
[12인수03-04-02] 공학적 도구를 이용하여 자료의 경향성을 보여주는 일차함수 형태의 추세선을 구성할 수 있다.최적의 추세선을 찾는 최소제곱법의 원리는 ‘최적화’ 영역에서 다룬다.
[12인수03-04-03] 추세선을 이용하여 새로운 χ의 값에 해당하는 y의 값을 예측할 수 있다.공학적 도구를 사용하여 구한 추세선의 식을 예측에 이용할 수 있음을 중점적으로 다룬다.
[12인수03-04-04] 자료의 경향성은 직선의 형태가 아닌 곡선 형태로 나타날 수 있음을 이해한다.회귀분석의 용어는 도입하지 않는다.
[12인수04-01] 주어진 자료로부터 분류와 예측을 할 때, 오차를 표현할 수 있는 함수를 구성하는 원리와 방법을 이해한다.[12인수04-01-01] 추세선을 이용한 예측에서, 평균제곱오차를 이용하여 손실함수를 구하는 원리와 방법을 이해한다.실제값과 예측값 사이의 오차로부터 손실함수를 유도하며, y= 형태의 추세선을 찾는 상황에서 기울기 a의 값에 따른 오차의 변화를 이차함수 E(a)로 정의하는 수준에서 간단히 다룬다.
[12인수04-01-02] 텍스트 또는 이미지 분류에서, 활성화함수를 이용하여 손실함수를 구성하는 원리와 방법을 이해한다.분류에서의 활성화함수를 이용한 손실함수의 표현에 관한 내용은 읽기자료 형태의 심화학습으로 제시할 수 있다.
[12인수04-01-03] 인공지능의 학습에는 지도학습, 비지도학습, 강화학습 등이 있음을 알고, 학습의 목표가 손실함수를 최소화하는 것임을 이해한다.
[12인수04-02] 함수의 최솟값 또는 최댓값을 찾아 최적화된 의사결정 방법을 이해한다.[12인수04-02-01] 일변수함수의 극한과 미분계수의 의미를 직관적으로 이해한다.미분계수는 접선의 기울기로 도입한다.
[12인수04-02-02] 미분계수의 기하적 의미를 이용하여 경사하강법을 이해한다.가장 적합한 모델을 찾기 위해 손실함수의 최솟값 또는 최댓값을 찾는 과정을 이해하게 하며, 이차함수 형태의 손실함수에서 경사하강법을 다룬다.
[12인수04-02-03] 공학적 도구를 이용하여 경사하강법과 관련된 탐구와 실험을 할 수 있다.프로그램의 코드 작성에 대한 부담을 갖지 않도록 하기 위하여 ‘자료’, ‘학습률’, ‘학습 횟수’, ‘학습을 위한 식’ 등 핵심적인 부분만을 수정하면서 ‘최적화’와 관련된 탐구와 실험을 할 수 있는 공학적 도구를 제공한다.
[12인수04-02-04] 공학적 도구를 이용하여 학습률이 너무 크거나 작으면 손실함수의 최솟값을 찾지 못할 수 있음을 이해한다.

IV. 결과 분석

1. [12인수03-04]의 분석 결과

1) [12인수03-04-01] 산점도와 상관관계

산점도와 상관관계의 경우 대부분의 교과서가 본문에서 자세히 다루고 있지 않았다. A, B, E 교과서는 소단원의 도입부에서 복습 형태로 간단히 다루며, C 교과서는 본문 측면의 도움말을 통해 상관관계에 대해 설명하였다. D 교과서의 경우만 본문에서 산점도와 상관관계에 대해 자세히 설명하였다. D 교과서는 산점도와 상관관계를 정의하고, 양의 상관관계와 음의 상관관계, 상관관계가 없는 경우를 분류하여 산점도와 함께 제시하였다.

2) [12인수03-04-02] 공학적 도구를 이용한 추세선의 구성

교육과정과 시안 개발 연구 보고서에서는 성취기준 [12인수03-04]와 관련해 산점도로 표현된 자료의 경향성을 공학적 도구를 이용하여 일차함수 형태의 추세선으로 나타내는 활동을 강조한다. 각 교과서별로 제시된 추세선의 정의와 공학적 도구의 활용 양상은 다음과 같다.

먼저, 추세선의 정의를 살펴본 결과 5종의 교과서는 추세선에 대해 서로 다른 정의를 사용하고 있었다. 5종의 교과서는 공통적으로 추세선이 자료의 경향성을 나타내기 위한 도구임을 밝히고 있으나, A, C 교과서는 자료의 경향성을 나타내는 직선 또는 곡선을 추세선이라 정의한 반면, B, D, E 교과서는 직선에 한정하여 정의하였다. 특히, C 교과서의 경우 본문에서 “추세선은 오차들을 전체적으로 최소화하는 직선 또는 곡선임이 알려져 있다(p. 100)”고 소개하여 추세선이 마치 이미 최적화된 결과물인 것처럼 설명하는 부분도 있었다. B를 제외한 4종의 교과서는 공통적으로 도입부에서 자료의 특성을 잘 반영하는 추세선이 갖추어야 할 조건에 대해 학생들이 생각해볼 수 있는 활동을 포함하였다. 하나의 산점도에 2~3개의 추세선을 동시에 제시하면서 자료의 경향성을 가장 잘 나타내는 추세선을 선택하고 이유를 설명하게 함으로써 산점도의 점들과 평균적으로 더 가까이 있는 추세선이 자료의 특성을 잘 반영하는 것임을 직관적으로 이해하도록 유도하였다.

한편, 모든 교과서에서 공학적 도구를 이용한 추세선의 생성을 포함하고 있었다. A, D, E 교과서의 경우 엑셀을 이용하였으며, B 교과서는 통그라미, C 교과서는 지오지브라를 이용하였다. 그러나 교수·학습 방법 및 유의사항과 성취기준 해설 및 구현방안에서 반복적으로 공학적 도구의 이용을 강조하고 있음에도 불구하고, B와 D, 2개의 교과서만 본문에서 적극적으로 공학적 도구를 소개하였을 뿐 A, C, E 교과서는 소단원 마지막 탐구 활동에서 부록처럼 소개하고 있었다.

공학적 도구를 이용한 추세선에 관한 내용을 자세히 살펴보면, 대체로 이미 최적화된 추세선을 자동으로 생성하는 활동을 소개하고 있었다. 엑셀을 이용한 A, D, E 교과서의 경우 ‘분산형 차트’를 이용하여 산점도를 그리고 차트 요소 중 하나인 ‘선형 추세선’을 추가하는 방식을 소개하였다. B 교과서 역시 Figure 2.a와 같이 통그라미의 ‘추세선(선형) 표시’ 기능을 이용한 활동을 소개하였다. 이상 4종의 교과서에서 엑셀과 통그라미를 이용하여 생성하는 추세선은 이미 최소제곱법이 자동으로 적용되어 최적화된 것이다. 따라서 학생들이 직선 도구를 이용하거나 식을 직접 입력하여 자료의 경향성을 잘 표현한다고 생각되는 추세선을 선택할 수는 없다. 반면, 지오지브라를 사용한 C 교과서의 경우 Figure 2.b와 같이 적합선(best fit line tool)3) 도구를 이용하여 산점도를 이루는 점들 중 2개의 점을 선택하여 추세선을 긋는 활동을 소개하였다. 이는 산점도의 특정 두 점을 반드시 지나는 추세선만을 만들 수 있다는 한계가 있지만, 학생들에게 자료의 경향성을 나타낼 수 있는 추세선을 제한적으로나마 선택할 수 있는 활동을 제공했다는 점에서 다른 4종의 교과서와 차이가 있었다.

Figure 2. Trend line activities with technological tools

3) [12인수03-04-03] 추세선을 이용한 예측

예측 활동의 경우 5종의 교과서 모두 공통적으로 추세선을 이용한 예측을 본문에서 소개한 뒤, 예제나 문제를 통해 학생들이 추세선을 이용한 예측을 경험할 수 있도록 하고 있었다. 그러나 그 방식에 있어서도 교과서별로 차이가 나타났다. C, D, E 교과서는 이미 최적화된 추세선 또는 추세선의 식을 제시한 상태에서 학생들이 단순히 주어진 추세선을 이용하여 예측하도록 하고 있었다. 예를 들어, Figure 3.a를 보면, 이미 최적화된 추세선과 추세선의 방정식을 제시한 후, 그것을 이용하여 예측하도록 요구한다. 이때 제시되는 추세선은 ‘공학적 도구를 이용하여 찾은 것’으로 설명되거나 아무런 설명 없이 제시되었다. 즉, 학생들은 주어진 추세선이 어떤 기준으로 어떻게 결정된 것인지 이해하지 못한 채, 기계적인 대입을 통해 예측하게 된다. 반면, A 교과서의 경우 학생들이 직접 산점도의 경향성을 잘 나타낼 수 있는 추세선을 정한 후 예측하도록 활동을 구성하였다. Figure 3.b와 같은 활동을 통해 학생들은 자료의 경향성을 직접 추세선으로 나타내보는 경험을 할 수 있으며, 친구들과의 비교를 통해 추세선에 따라 예측이 달라질 수 있다는 점, 자료의 경향성을 나타내는 정도를 측정할 기준의 필요성 등에 대해 이해할 수 있을 것이다.

Figure 3. Examples of forecasting problems using a trend line

한편, B 교과서의 경우 이미 최적화된 추세선을 이용한다는 점에서 C, D, E 교과서와 동일하지만, 추세선의 식을 구한 후 예측 없이 상관관계만을 말하도록 하였다. 이는 성취기준에서 강조하는 추세선을 이용한 예측 활동이 적절히 구현되지 못한 것으로 볼 수 있다.

4) [12인수03-04-04] 곡선의 경향성을 보이는 자료

시안 개발 보고서에 제시된 구현 방안에서는 자료의 경향성은 직선의 형태가 아닌 경우도 있으므로, 곡선의 경향성을 보이는 자료를 다루어 볼 수도 있음을 권장하고 있다. 이에 A, C 교과서는 본문에서 곡선 형태의 경향성을 보이는 자료를 소개하였다. A 교과서의 경우 이차함수의 그래프 형태를 띄는 산점도를 제시하여 설명하였고, C 교과서는 구체적인 자료를 예시로 일차함수보다 이차함수 또는 삼차함수의 그래프를 추세선으로 할 때 자료의 경향성이 더욱 합리적으로 표현되는 경우에 대해 설명하였다. 그러나 나머지 3종의 교과서는 곡선 경향성을 보이는 자료에 대해서 다루지 않았다.

본 절에서 정리한 성취기준 [12인수03-04]와 관련된 분석 내용을 요약하면 Table 4와 같다.

Table 4 . Textbook analysis for achievement standard [12AIM03-04].

교과서12인수03-04-0112인수03-04-0212인수03-04-0312인수03-04-04
산점도와 상관관계 (위치)추세선의 정의공학적 도구 (위치)예측 활동곡선 경향성
A복습(도입부)자료의 경향성을 나타내는 직선 또는 곡선엑셀: 최적화된 추세선 (탐구활동)직관적으로 추세선을 구성하고 예측 및 비교이차함수 형태의 산점도를 설명
B복습(도입부)자료의 경향성을 나타내는 직선통그라미: 최적화된 추세선 (본문)주어진 최적화된 추세선의 식을 구한 뒤 상관관계를 설명다루지 않음
C설명(도움말)자료의 경향성을 나타내는 직선 또는 곡선지오지브라: 제한적으로 선택할 수 있는 추세선(탐구활동)주어진 최적화된 추세선을 이용한 예측동일한 산점도에 대한 일차, 이차, 삼차함수 추세선의 비교
D설명(본문)자료의 경향성을 나타내는 직선엑셀: 최적화된 추세선(본문)주어진 최적화된 추세선을 이용한 예측다루지 않음
E복습(도입부)자료의 경향성을 나타내는 직선엑셀: 최적화된 추세선 (탐구활동)주어진 최적화된 추세선을 이용한 예측다루지 않음


2. [12인수04-01]의 분석 결과

1) [12인수04-01-01] 예측에서의 손실함수

교육과정과 시안 개발 연구 보고서에서는 성취기준 [12인수04-01]과 관련해 예측에서 평균제곱오차를 이용하여 손실함수를 정의하는 원리와 방법을 이해하는 것을 강조한다. 각 교과서별로 제시된 손실함수를 정의하는 방식과 손실함수를 이용한 활동, 공학적 도구의 활용 양상은 다음과 같다.

구현방안에서는 실제값과 예측값 사이의 오차로부터 손실함수를 유도하며, y=꼴의 추세선을 찾는 상황에서 기울기 a의 값에 따른 오차의 변화를 이차함수 E(a)로 정의하는 수준에서 간단히 다루도록 강조하고 있다. 5종의 교과서는 공통적으로 서로 다른 예측 모델로서 2개의 추세선을 예시로 오차를 구한 후, 오차를 비교하기 위한 수단으로 평균제곱오차를 도입하여 손실함수를 정의하고 손실함수의 활용을 다루었다. 그러나 손실함수를 구성하는 과정이나 그 이후의 전개에 있어서 교과서 간 차이가 존재하였다.

A, B, D, E 교과서는 처음부터 원점을 지나는 y= 꼴의 추세선으로 한정하여 오차를 비교하였고, 손실함수도 일변수함수인 E(a)=1n i=1 n yi+axi2으로 정의하였다. 앞 단원에서 y=+b꼴의 추세선을 다루었기 때문에, 이 단원에서 갑자기 원점을 지나는 y=꼴의 추세선에 한정하여 손실함수를 정의하는 부분과의 간극이 확인되었다. 4종의 교과서는 y=꼴의 추세선에 한정하여 손실함수를 정의하는 이유에 대한 설명이 없거나 설명하여도 충분하지 않았다. 구체적으로, A 교과서는 본문 우측 도움말에서 간단히 설명하였고, B와 E 교과서의 경우 관련된 설명이 없었다. D 교과서는 ‘더 알아보기’에서 구체적인 예를 들어 설명하였지만, 설명에 수학적 오류가 있었다. 산점도의 한 점의 y 좌표가 0이 되도록 평행이동 시키면 추세선의 방정식을 y=로 놓고 계산할 수 있다고 설명하나(D, p. 107), 최적의 추세선이 y=꼴이 되기 위해서는 산점도를 이루는 모든 점들의 무게중심이 원점이 되도록 평행이동 시켜야 한다(Akaishi, 2019).

반면, C 교과서의 경우, 일반적인 y=+b꼴의 예측 모델을 예시로 오차를 구하고 손실함수를 이변수함수인 E(a, b)={(오차)2의 평균}로 정의한 후, 예측 모델이 y=인 경우 손실함수가 이차함수 E(a)={(aχ-y)2의 평균}으로 표현됨을 설명한다. 이는 고등학교 교육과정 내에서 공식적으로 다루지 않는 이변수함수가 비형식적으로 등장하지만, 이전 단원에서의 일반적인 추세선을 이용하여 손실함수를 일반화하여 정의하고, 원점을 지나는 특수한 모델에서의 손실함수를 자연스럽게 도입하는 학습 경로로 볼 수 있다.

평균제곱오차를 이용하여 손실함수를 정의하는 과정을 살펴보면, 교과서들은 공통적으로 단순한 오차나 오차의 합이 가지는 한계를 예로 들면서 오차를 비교할 수 있는 다른 대푯값의 필요성을 이끌어내지만 그것이 평균제곱오차가 되어야 하는 이유에 대해서는 자세히 다루지 않았다. A 교과서는 본문에서 단순히 오차의 합을 이용하면 오차의 부호에 의한 상쇄 문제가 발생함을 설명하였고, D 교과서도 오차의 평균이 0이 되는 구체적인 사례를 이용하여 상쇄 문제를 설명하였다. B 교과서는 개별 오차들로는 예측 모델을 비교할 수 없음을 설명하였다. E 교과서도 읽기 자료에서 오차들의 대푯값으로 오차의 합, 오차 절댓값의 합을 사용하지 못하는 이유를 설명하였다. 이와 같이 교과서들은 오차의 상쇄 문제를 언급한 이후, 일반적인 대안으로 평균제곱오차를 이용한 손실함수의 정의를 제시하였다. 합을 이용하여 손실함수를 정의할 경우 데이터의 크기에 영향을 받기 때문에, 일반적으로 평균제곱오차나 평균제곱근오차와 같은 평균이 오차의 대푯값으로 사용된다. 그러나 이러한 측면에서 손실함수의 정의와 관련된 수학적 원리와 방법을 다루는 교과서는 없었으며, A, E 교과서의 경우 손실함수와 관련하여 합과 평균의 관점을 오가며 설명을 하기도 하였다. 예를 들어, Figure 4.a을 보면 ‘합’의 관점에서 오차의 합으로 손실함수를 정의하는 경우의 문제점에 대해 설명하다가 이에 대한 대안으로 ‘평균’에 해당하는 평균제곱오차를 제시한다. Figure 4.b의 경우 본문에서 손실함수를 평균제곱오차로 정의했음에도 불구하고 오차들의 대푯값으로 ‘합’으로 정의된 값들을 소개하고 있다.

Figure 4. Mixed explanations using sum and mean for loss function

손실함수를 정의한 이후의 전개에서도 교과서 간의 차이가 나타났다. A와 C 교과서의 경우 실제 자료로부터 손실함수를 계산하고, 손실함수의 최솟값을 이용하여 최적의 추세선을 구하는 문제나 탐구 활동을 다루었다. B 교과서의 경우도 손실함수를 구한 후, 함숫값을 이용하여 3개의 추세선 중 가장 예측에 적합한 것을 판단하는 문제를 포함하였다. 이러한 문제들은 학생들에게 손실함수의 함숫값의 의미나 추세선의 최적화 맥락에서 손실함수의 역할에 대해 생각해보는 기회를 제공할 수 있다. 반면, D와 E 교과서는 손실함수를 활용하는 문제나 활동에 제한이 있었다. D 교과서의 경우 손실함수의 함숫값을 구하는 문제가 있으나 그것을 추세선의 최적화와 명확히 연결 짓지 않았고, E 교과서의 경우 손실함수의 최솟값을 이용하는 연역적인 방법 대신 손실함수 E(a)의 함숫값이 작아지는 a를 순차적으로 찾아가는 귀납적인 알고리즘을 순서도로 설명하였다.

손실함수와 관련하여 성취기준이나 교수·학습 방법 및 유의사항, 성취기준 해설 및 구현방안 어디에도 공학적 도구의 이용을 명시하고 있지 않다. 그럼에도 불구하고, A, B, C 3종의 교과서가 공학적 도구를 이용한 손실함수 관련 탐구 활동을 포함하였다. A 교과서는 엑셀을 이용하여 가중치 별 평균제곱오차를 구하는 활동을 소개하였으며, B 교과서는 데스모스에서 기울기 a의 값에 따른 손실함수 값의 변화를 슬라이더로 조절하며 관찰할 수 있는 활동을 소개하였다. C 교과서도 엑셀에서 0.1 간격으로 손실함수의 함숫값을 구한 뒤 차트 도구를 이용하여 손실함수의 그래프를 그리는 활동을 소개하였다. 이러한 활동들은 공통적으로 기울기 a에 따른 손실함수의 함숫값의 변화를 확인하게 하였다.

2) [12인수04-01-02] 분류에서의 손실함수

성취기준과 그 해설에서는 예측과 마찬가지로 이미지 분류 또는 텍스트 분류에서도 손실함수를 구성하는 원리와 방법을 다루도록 기술하고 있지만, 구현방안에서는 예측을 중심으로 다루되 분류에서의 손실함수에 관한 내용은 읽기자료 형태의 심화학습으로 제시할 수 있음을 기술하고 있다. 분석 결과, 5종 중 C 교과서는 읽기자료 형태로 분류에서의 손실함수에 대해 소개하였는데, 활성화함수에 대해 비형식적으로 설명한 뒤 이를 이용하여 손실함수를 구성한다는 정도로 간단히 다루었다. 그 외 4종의 교과서는 분류에서의 손실함수를 다루지 않았다.

3) [12인수04-01-03] 인공지능 학습의 유형과 목표

대부분의 교과서가 인공지능 학습의 유형과 목표에 대해 설명하였다. A, B, C 교과서는 인공지능의 학습 유형으로 지도학습, 비지도학습, 강화학습에 대해 본문이나 읽기자료에서 간단히 설명하였다. D, E 교과서는 1단원 ‘인공지능과 수학’에서 이미 관련된 설명을 소개하여 4단원에서 재차 설명하지는 않았다. 또한 A, B, C, E 교과서는 손실함수의 도입이나 활용 부분에서 인공지능의 학습 목표가 손실함수의 함숫값이 최소가 되는 지점을 찾아 예측 모델을 효율성을 높이는 것임을 설명하고 관련 활동을 제시하였다. 단, D 교과서는 앞서 살펴본 바와 같이 추세선의 최적화와 손실함수를 연결짓지 않았기 때문에, 손실함수와 관련된 인공지능의 학습의 목표를 설명하지 않았다.

본 절에서 정리한 성취기준 [12인수04-01]과 관련된 분석 내용을 요약하면 Table 5와 같다.

Table 5 . Textbook analysis for achievement standard [12AIM04-01].

교과서12인수04-01-0112인수04-01-0212인수04-01-03
예측 모델의 유형과 손실함수의 정의y=ax꼴로 한정하는 이유평균제곱오차로 정의하는 이유손실함수를 이용한 활동공학적 도구분류에서의 손실함수학습의 유형과 목표
Ay=ax에 대하여 E(a)로 정의설명(도움말)오차의 합의 상쇄 문제에 대한 대안손실함수의 최솟값을 이용한 최적 추세선 찾기엑셀: 가중치 별 평균제곱오차를 계산다루지 않음설명(본문): 손실함수와 학습의 목적을 연결하여 다룸
By=ax에 대하여 E(a)로 정의설명하지 않음개별 오차를 이용한 비교의 어려움에 대한 대안손실함수의 함숫값을 이용한 추세선의 적합성 비교데스모스: 기울기에 따른 손실함수 값의 변화를 관찰다루지 않음설명(읽기자료): 손실함수와 학습의 목적을 연결하여 다룸
Cy=ax+b에 대하여 E(a,b)로 정의 후 E(a) 소개설명(본문)설명하지 않음손실함수의 최솟값을 이용한 최적 추세선 찾기엑셀: 손실함수의 그래프를 이산적으로 나타냄읽기자료에 소개설명(본문): 손실함수와 학습의 목적을 연결하여 다룸
Dy=ax에 대하여 E(a)로 정의설명(읽기자료): 수학적 오류가 존재오차의 평균의 상쇄 문제에 대한 대안손실함수의 값은 구하지만, 추세선 최적화와 연결짓지 않음제공하지 않음다루지 않음설명(1단원 본문): 학습의 목적 다루지 않음
Ey=ax에 대하여 E(a)로 정의설명하지 않음오차의 합의 상쇄 문제에 대한 대안최적화와 관련된 귀납적 알고리즘 설명 과정에서 손실함수 이용제공하지 않음다루지 않음설명(1단원 본문): 손실함수와 학습의 목적을 연결하여 다룸


2. [12인수04-02]의 분석 결과

1) [12인수04-02-01] 일변수함수의 극한과 미분계수

5종의 모든 교과서가 교수·학습 방법 및 유의사항에 따라 함수의 극한 개념은 직관적 수준으로 다루고 미분계수는 접선의 기울기로 도입하였다. 그러나 세부적인 내용의 범위나 도입 방법에서는 차이가 나타났다. B, C, E 교과서는 함수의 극한을 직관적으로 도입한 후 접선의 기울기로 미분계수를 도입하고 이차함수의 도함수를 계산하는 순서로 내용을 전개하였다. A 교과서는 공학적 도구인 알지오매스를 이용하여 함수의 극한과 접선의 기울기로서 미분계수를 도입한 뒤, 지오지브라의 CAS 창을 이용하여 미분계수를 구하는 방법을 소개하였다. A 교과서는 극한을 이용한 미분계수의 정의나 이차함수의 도함수를 계산하는 방법을 다루지 않는다는 점에서 다른 교과서와 차이가 있었다. D 교과서의 경우 함수의 극한부터 시작해서 좌극한과 우극한, 미분계수, 도함수, 함수의 실수배, 합, 차의 미분법까지 다른 4종의 교과서에 비해 많은 내용을 다루었다.

2) [12인수04-02-02] 미분계수의 기하적 의미를 이용한 경사하강법의 이해

5종의 교과서는 대체로 경사하강법 용어 도입, 경사하강법 알고리즘 제시 및 설명, 경사하강법의 활용 순서로 내용을 구성하였는데 각 교과서별로 제시된 경사하강법 알고리즘의 유형, 미분계수와의 관련성에 대한 설명은 다음과 같다.

먼저, 5종의 교과서에서 제시하는 경사하강법 알고리즘은 Table 6과 같이 3가지 유형으로 나타났다. A, B, E 교과서의 경우 상수나 변수의 문자에는 일부 차이가 있으나, 공통적으로 유형1의 알고리즘을 의사코드 형태로 제시하였다. C 교과서는 유형2와 같이 순서도로 표현하였는데, 유형1과 달리 종료 조건을 포함한 완결된 형태의 알고리즘을 제시했다. 한편, D 교과서의 유형3은 경사하강법이라 볼 수 없는 불분명한 알고리즘이다.

Table 6 . Gradient descent algorithm presented in textbooks.

유형1(A, B, E 교과서)유형2(C 교과서)유형3(D 교과서)
① 임의의 a의 값에 대한 미분계수 E'(a)를 구한다.x1에서 미분을 구한다.
a의 값을 -ηE'(a)만큼 변화시킨다. (η : 학습률)② ①에서 구한 기울기와 방향이 반대인 직선으로 이동시킨 점이 곡선 y=f(x)와 만나는 점 x2를 구한다.
③ 이와 같은 과정을 여러 번 반복한다.③ ②에서 구한 x2에서 미분을 구한다.
④ ③의 값이 0이 아니면 ②와 같은 방법을 반복한다.
⑤ 이렇게 반복적으로 기울기를 변화시켜 그 값이 0이 되는 지점을 찾는다.


이론적 배경에서 살펴보았듯 경사하강법에서 이해해야 할 미분계수의 역할은 크게 ‘이동방향’과 ‘이동량’으로 구분할 수 있다. 예를 들어, 유형1에서 -ηE'(a)에 의해 미분계수의 부호와 반대로 이동하게 되며, 최솟값에 근접할수록 작아지는 E'(a)의 절댓값에 비례하여 이동량이 점점 감소하게 된다. 5종의 교과서는 모두 미분계수가 경사하강법의 이동방향을 결정하는 원리를 이해할 수 있는 활동이나 설명을 포함하였다. C, D, E 교과서는 교육과정에 따라 미분계수의 기하적 의미를 이용하여 경사하강법의 이동방향에 대해 설명하였다. 그러나, 접선의 기울기의 부호와 이동방향 사이의 수학적 관계에 대해 자세히 다루지는 않았다. 예를 들어, Figure 5.a와 같이 E 교과서는 “점 B는 그 점에서의 접선의 기울기가 양수이므로 왼쪽으로 이동해야 한다.” 정도로 간단히 설명한다. A, B 교과서의 경우 Figure 5.b와 같이 미분계수와 함수의 증감 사이의 관계를 이용하여 이동방향에 대해 설명하였다. 그러나 A, B 교과서는 미분계수를 도입할 때 기하적 의미만을 다루었을 뿐, 함수의 증감과 관련한 의미를 다루지 않았다. 즉, 도입한 미분계수의 의미와 경사하강법의 설명에서 사용한 미분계수의 의미가 서로 일치하지 않았다.

Figure 5. Textbook explanations on the direction of movement of gradient descent

경사하강법의 이동량과 관련하여 미분계수의 역할을 다룬 교과서는 A, C, E 3종 뿐이었다. 그 중 E 교과서만 “손실함수의 함숫값이 최소인 점에 가까워지면 이동하는 점이 그 최소인 점을 지나쳐서 더 멀어지지 않게 하기 위해 점이 이동하는 거리를 점점 줄여야 한다. 따라서 점이 이동하는 거리는 그 점에서의 미분계수의 절댓값에 정비례하게 한다(p. 116).”와 같이 삽화와 함께 명시적으로 다루었다. A, C 교과서의 경우 간단히 언급하거나 간접적인 설명을 하는 정도에 그쳤고, B, D 교과서에서는 관련된 내용이 없었다. C 교과서의 경우 읽기자료로 경사하강법이 손실함수의 그래프의 개형과 초깃값에 따라 극솟값에 빠질 수 있는 한계가 있음을 설명하기도 하였다.

한편, 성취기준에는 함수의 ‘최댓값’이 기술되어 있고, 교수·학습 방법 및 유의사항에도 추세선을 예시로, 가장 적합한 모델을 찾기 위해 정의한 함수의 최솟값 또는 최댓값을 찾는 과정을 이해하게 하라는 내용이 제시되어 있으나 손실함수의 최댓값을 구하는 상황이나 과정은 어느 교과서에도 나타나지 않았다.

3) [12인수04-02-03] 공학적 도구를 이용한 경사하강법 실험

경사하강법은 수많은 반복 실행을 통해 손실함수가 최솟값을 갖는 지점을 찾아가는 과정이므로, 학생들이 그것을 실제로 구현하고 확인하기 위해서는 공학적 도구가 필요하다. 이에 교육과정에서는 공학적 도구를 활용한 경사하강법 시뮬레이션 활동을 권장하고 있으며, 특히 코드에서 ‘자료’, ‘학습률’, ‘학습 횟수’, ‘학습을 위한 식’ 등 핵심적인 부분만을 수정하여 실험해볼 수 있는 코딩 환경의 제공(Lee et al., 2020)을 언급하였다.

분석 결과, A, D 2종의 교과서는 공학적 도구를 활용한 경사하강법 시뮬레이션 활동을 제공하지 않았다. B, C, E 교과서에서는 각각 파이썬, 알지오매스의 그래프와 블록 코딩, 알지오매스의 그래프와 표를 이용한 시뮬레이션 활동 제공하였다. B 교과서의 경우 알지오매스의 블록 코딩을 활용하여 핵심적인 블록의 입력값만을 수정하여 경사하강법을 실험해 볼 수 있게 구성하였다. 특히 Figure 6.a에서 볼 수 있듯이 알지오매스의 그래프 기능과 거북 기하를 융합하여 실제 손실함수 위에서 점진적으로 최소 지점을 찾아가는 과정을 실시간으로 관찰할 수 있도록 하였다. C 교과서는 완성된 파이썬 코드의 주소(url)를 제공하여 학생들이 다운로드 한 후 주피터 노트북이나 코랩으로 실행하도록 하였다. 교육과정에서 제안한 것과 같이 주석을 통해 코드의 핵심 부분만을 변경하여 경사하강법 실험을 해볼 수 있도록 구성되어 있었다. 다만, Figure 6.b의 교과서 삽화처럼 손실함수 위에서 점진적으로 최소를 찾아가는 이동 과정을 시각적으로 관찰할 수는 없었고, 몇 개의 중간 결과와 최종 결과만을 확인할 수 있었다. 한편, E 교과서의 경우 코딩을 활용하지 않고도 경사하강법을 효과적으로 시뮬레이션할 수 있는 도구를 제시하였다. Figure 6.c와 같이 알지오매스의 표 도구의 수식을 이용하여 경사하강법에 따른 점들을 구한 후, 손실함수 그래프 위에 산점도를 표시함으로써 코딩에 대한 부담없이 경사하강법을 실험할 수 있도록 하였다.

Figure 6. Three types of gradient descent simulation presented in textbooks

4) [12인수04-02-04] 공학적 도구를 이용한 학습률 탐구

모든 교과서가 학습률이 지나치게 크거나 작은 경우에 발생하는 경사하강법의 문제에 대해 본문에서 구체적인 예를 들어 설명하였다. 그러나 교육과정에서 제안한 것과 같이 공학적 도구를 이용하여 학습률에 따른 경사하강법의 변화를 관찰하고 탐구해보도록 하는 교과서는 B와 C 뿐이었다.

본 절에서 정리한 성취기준 [12인수04-02]와 관련된 분석 내용을 요약하면 Table 7과 같다.

Table 7 . Textbook analysis for achievement standard [12AIM04-02].

교과서12인수04-02-0112인수04-02-0212인수04-02-0312인수04-02-04
극한과 미분계수경사하강법 알고리즘미분계수와 이동방향미분계수와 이동량 감소공학적 도구학습률 문제공학적 도구
A공학적 도구로 함수의 극한, 접선의 기울기로 미분계수를 직관적으로 도입하고, 미분계수를 구하는 방법 소개의사코드: 종료 조건이 명확하지 않음미분계수를 함수의 증감과 연결하여 설명간적접으로 다룸제공하지 않음구체적인 예를 통해 다룸제공하지 않음
B함수의 극한, 접선의 기울기로 미분계수를 도입의사코드: 종료 조건이 명확하지 않음미분계수를 함수의 증감과 연결하여 설명다루지 않음알지오매스: 그래프와 블록코딩 기능을 활용구체적인 예를 통해 다룸알지오매스: 그래프와 블록코딩 기능을 활용
C함수의 극한, 접선의 기울기로 미분계수를 도입순서도: 종료 조건까지 완결된 알고리즘미분계수를 경사(또는 접선의 기울기)와 연결하여 설명간적접으로 다룸파이썬: 코드를 제공구체적인 예를 통해 다룸파이썬: 코드를 제공
D접선의 기울기로 미분계수를 도입하나 좌극한과 우극한, 함수의 실수배, 합, 차의 미분법까지 다룸의사코드: 수학적 오류가 있음미분계수를 경사(또는 접선의 기울기)와 연결하여 설명다루지 않음제공하지 않음간단히 설명제공하지 않음
E함수의 극한, 접선의 기울기로 미분계수를 도입의사코드: 종료 조건이 명확하지 않음미분계수를 경사(또는 접선의 기울기)와 연결하여 설명명확히 다룸알지오매스: 그래프와 표 기능을 활용구체적인 예를 통해 다룸제공하지 않음

V. 결론 및 시사점

본 연구는 <인공지능 수학>의 내용 중 단순 선형 회귀를 이용하여 지도학습의 수학적 원리를 다루고 있는 예측과 최적화 영역을 분석하였다. 교육과정 문서와 시안 개발 연구 보고서를 바탕으로 교육과정 개발진의 의도를 구체화한 재구성 성취기준과 재구성 유의사항을 도출하여 분석틀로 삼고, 인정 교과서 5종의 구현을 분석하였다. 분석 결과, 선행연구(Kwon et al., 2021)에서 지적한 것처럼 동일한 성취기준에서 다루는 내용 범위의 편차가 클 뿐 아니라 동일한 개념, 알고리즘 등의 정의에 있어서도 차이가 나타났고, 성취기준의 의도가 정확히 구현되지 않은 부분도 있었다. 연구 결과를 바탕으로, 2015 개정 <인공지능 수학>의 성취기준이나 성취기준 해설의 작성, 교과서로의 구현에 대한 시사점을 정리하면 다음과 같다. 이러한 시사점은 차기 2022 개정 교육과정 <인공지능 수학>에서 예측 및 최적화 영역의 성취기준 및 그 해설을 기술하거나 교과서를 집필할 때 활용될 수 있다. 다만, 본 연구에서 도출한 연구 결과 및 시사점은 실제 수업 장면에 기반하지 않았으며 교육과정 개발 및 교과서 집필의 이론적인 측면에 기초한 연구자의 논리적인 아이디어라는 점을 밝혀 둔다.

성취기준 ‘[12인수03-04] 자료의 경향성을 추세선으로 나타내고, 예측에 이용할 수 있다.’와 관련하여 다음과 같이 3가지 시사점을 도출하였다.

첫째, 추세선 관련 성취기준의 해설에서 산점도와 상관관계에 대한 내용은 보완할 필요가 있다. 성취기준 해설에서 자료를 산점도로 나타내어 상관관계를 판단하는 활동에 대해 설명하고 있지만 이는 이미 중학교 3학년 성취기준에 포함되는 내용이므로(MOE, 2020b) 동일한 내용을 중복해서 다루기 보다는 <인공지능 수학> 과목의 특수성을 반영하도록 보완할 필요가 있다. 실제로 5종 중 4종의 교과서에서도 이 내용은 중학교 때 이미 학습한 내용으로 준비학습이나 도움말에서 간단히 소개하였다.

둘째, 성취기준에 공학적 도구를 명시하는 방안을 고려할 필요가 있다. ‘교수·학습 방법 및 유의사항’과 ‘성취기준 해설 및 구현방안’을 미루어 보았을 때 교육과정 개발진의 핵심 의도는 공학적 도구를 이용한 추세선의 구성과 이를 활용한 예측에 있다. 그러나 5종 중 2종만이 본문에서 공학적 도구를 적극적으로 도입하였다. 예측 활동에 있어서도 모든 교과서에서 공학적 도구의 활용보다는 추세선이나 추세선의 식이 주어진 상태에서 단순 계산을 통해 예측하는 활동이 주를 이루고 있었다. 공학적 도구의 활용을 위해 2015 개정 수학과 교육과정의 중학교 통계 영역의 성취기준 [9수05-03]에서 이를 명시하였고(Park et al., 2015) 실제로 많은 교과서에서 공학적 도구를 활용하려는 노력이 이루어졌다(Kim et al., 2021). 이에 비추어볼 때, 교육과정 개발진의 의도를 교과서에 반영하기 위해 성취기준에 공학적 도구를 명시하고, 성취기준 해설에서 학생들이 공학적 도구를 이용하여 자료의 경향성을 나타내는 추세선을 구성하고, 그 추세선을 예측에 활용해보도록 한다는 점을 기술한다면 변화를 유도할 수 있을 것이라 판단된다.

셋째, 직관적인 수준에서 자료의 경향성을 추세선으로 나타내고 예측하는 활동을 중심으로 다룰 필요가 있다. 현재 교육과정에서는 공학적 도구를 이용하여 측정값과 함숫값 사이의 ‘오차를 최소화’하는 추세선을 찾아 새로운 χ의 값이 주어졌을 때 y의 값을 예측하는 과정을 이해하게 하되, 최적화의 원리는 ‘최적화’ 영역에서 다루도록 하고 있다(Lee et al., 2020). 이에 1종을 제외한 모든 교과서가 공학적 도구를 이용하여 이미 최적화된 추세선을 생성하는 방법을 소개하고 있었으며, 이미 최적화된 추세선을 학생에게 부여하고 예측하는 활동을 중심으로 다루고 있었다. 이러한 학습 경로는 학생들에게 주어진 추세선이 어떤 기준으로 어떻게 결정되는 것인지 그 원리를 이해하지 못한 채 기계적인 대입을 통해 예측하도록 요구한다는 약점이 있다. 이에 대한 대안으로 최적화된 추세선을 먼저 제시하기보다는 자료의 경향성을 나타낼 수 있는 추세선을 직관적으로 구성하고, 이를 이용하여 예측해보는 활동을 중심으로 다루는 방안을 고려할 수 있다(e.g., KOFAC, 2021). 공학적 도구를 활용한다면, 알지오매스나 지오지브라와 같은 동적 기하 환경에서 산점도의 경향성을 나타내는 추세선을 직선 도구로 자유롭게 그린 후 함수의 식을 이용하여 예측하는 활동을 할 수 있다. 이러한 직관적인 추세선의 생성과 활용은 추세선의 선택에 따른 예측의 변화, 오차의 측정 및 최적화의 필요성 등을 자연스럽게 이끌어낼 수 있다. 무리하여 최적화된 추세선을 제시하기보다는 직관적인 추세선 활동 이후에 최적화 영역에서 최소제곱법이나 경사하강법을 이용하여 최적의 추세선을 찾도록 학습 경로를 수정하는 방안을 고려할 필요가 있다.

성취기준 ‘[12인수04-01] 주어진 자료로부터 분류와 예측을 할 때, 오차를 표현할 수 있는 함수를 구성하는 원리와 방법을 이해한다.’와 관련하여 다음과 같이 4가지 시사점을 도출하였다.

첫째, y=꼴로 예측 모델을 제한하여 손실함수를 E(a)로 정의하는 이유를 다룰 필요가 있다. 분석 결과, 4종의 교과서는 y=꼴로 추세선에 한정하여 손실함수를 정의하는 이유를 적절하게 다루지 못하였다. 예측 단원에서는 y=+b꼴의 추세선을 다루었기 때문에 학생들은 갑자기 최적화 단원에서 y=꼴의 추세선에 한정하여 손실함수를 정의하는 부분에 의문을 품을 수 있으므로 관련 내용을 다룰 필요가 있다. C 교과서에서 살펴보았듯 y=+b꼴의 추세선을 이용하여 손실함수를 E(a, b)={(오차)2의 평균}으로 일반화하여 정의하고, 원점을 지나는 예측 모델에서의 손실함수를 하나의 사례로 도입하는 학습 경로를 성취기준 해설에서 제안하는 방안도 고려해볼 수 있을 것이다.

둘째, 평균제곱오차로 손실함수를 정의하는 수학적 원리와 방법을 보다 강조하여 다룰 필요가 있다. 성취기준과 성취기준 해설 모두에서 오차를 표현할 수 있는 함수를 구성하는 원리와 방법의 이해를 강조하고 있다. 그러나 모든 교과서들이 단순 오차나 오차의 합이 가지는 한계를 간단히 언급한 후 바로 평균제곱오차를 제시할 뿐, 그렇게 정의하는 이유나 원리에 대해 다루지는 않았다. 손실함수의 정의 방법은 <인공지능 수학> 수준에서 수학적으로 이해할 수 있는 부분이 많다. 예를 들어, 이론적 배경에서 살펴보았듯 오차제곱합보다는 평균제곱오차를 사용하는 이유를 탐구하거나 평균제곱오차, 평균제곱근오차, 평균절대오차 등의 장·단점을 직관적으로 비교하는 활동 등은 수학적으로 추론하고 설명할 수 있는 부분이 많으므로 좋은 소재가 될 수 있을 것이다. 또한 평균제곱오차는 실제값이 예측 모델로부터 흩어져있는 정도를 나타내는 일종의 산포도로 볼 수 있으므로 중학교 3학년 때 학습한 분산 개념과 연결하여 도입하는 방안도 고려해볼 수 있을 것이다. 성취기준 해설에서 손실함수의 구성 원리와 방법에 대해 다룰 수 있는 예시들을 구체적으로 기술한다면 교과서에서도 관련 내용이 보완될 수 있을 것으로 보인다. 덧붙여, 이러한 수학적 원리와 방법의 강조는 정보 교과의 <인공지능 기초>(MOE, 2020c)와의 차별화를 꾀하는 데에도 도움이 될 것으로 판단된다.

셋째, 손실함수의 의미를 이해할 수 있는 활동이 교과서에 포함될 필요가 있다. 손실함수는 정의역이 χ, 치역이 y인 예측모델 y=에 대해서 새롭게 a를 정의역으로, a에 의해 결정되는 평균제곱오차를 함숫값으로 하는 함수이다. 매개변수 a를 새로운 함수의 정의역으로 보는 관점이 학생들에게 쉽지 않으며(Bloedy-Vinner, 2001), 예측 모델과 손실함수 사이의 관계를 명확히 이해해야만 지도학습의 목적이 손실함수의 최적화라는 것을 이해할 수 있다. 따라서 단순히 손실함수의 정의를 제시하는데 그치기보다는 손실함수의 의미를 이해할 수 있는 추가적인 활동을 제공하는 것이 바람직하다. 앞서 언급한 바와 같이, 2종의 교과서는 손실함수를 대수적으로 구하고 활용하는 활동이 전혀 없었다. 손실함수가 최솟값을 갖는 a의 값을 구하여 최적의 추세선을 찾고, 그 추세선을 이용하여 예측하는 활동은 최적의 추세선을 찾는 데 있어서 손실함수의 역할에 대한 이해를 높일 수 있으므로 이에 관한 과제가 추가될 필요가 있다. C 교과서와 같이 손실함수의 함숫값을 비교하여 최적의 기울기를 선택하는 활동도 효과적이라 판단된다. 특히 3종의 교과서가 성취기준에서 전혀 언급이 없음에도 공학적 도구를 이용하여 손실함수의 의미를 탐구하는 활동을 포함하였다. 저자들은 공학적 도구를 통해 a값에 따른 평균제곱오차의 변화를 실시간으로 관찰하는 경험이 손실함수를 이해하는 데 도움이 될 것이란 판단하에 관련 활동을 추가한 것으로 보인다. 손실함수의 이해를 돕는 교수·학습 방법으로 공학적 도구의 사용을 교육과정 문서에서 권장하는 방안도 고려해볼 수 있을 것이다.

넷째, 분류에서의 손실함수는 성취기준에서 삭제하는 방안을 고려할 필요가 있다. 현재 성취기준에서는 예측과 마찬가지로 이미지 분류 또는 텍스트 분류에서도 손실함수를 구성하는 원리와 방법을 다루도록 기술하고 있다. 그러나 분석 결과 5종 중 4종의 교과서에서 분류에서의 손실함수를 전혀 다루지 않았다. 1종의 경우도 ‘읽기자료’ 형태로 간단히 언급하는 정도였다. 분류에서의 손실함수를 이해하기 위해서는 확률분포, 로그, 엔트로피 등의 개념에 기반한 교차 엔트로피 오차가 필요한데(Russell & Norvig, 2020), 이는 <인공지능 수학>의 수준에서 다루기 어렵기 때문에 저자들이 무리하게 도입하지 않은 것으로 판단된다. 따라서 이 성취기준에서 분류에 관한 부분은 삭제를 고려할 필요가 있다.

성취기준 ‘[12인수04-02] 함수의 최솟값 또는 최댓값을 찾아 최적화된 의사 결정 방법을 이해한다.’와 관련하여 다음과 같이 4가지 시사점을 도출하였다.

첫째, 경사하강법에서 사용되는 미분계수의 의미를 최적화 단원의 도입부에서 소개하는 미분계수의 의미와 일치시킬 필요가 있다. 연구 결과, 모든 교과서가 교수·학습 방법 및 유의사항에 따라 미분계수를 접선의 기울기로 도입하였다. 그러나 2종의 교과서는 미분계수의 기하적 의미만 다루고, 경사하강법의 이동방향을 설명할 때 함수의 증감을 바로 연결하였다. 이러한 불일치는 미분을 처음 학습한 학생들이 경사하강법을 이해하는 데 어려움을 일으킬 수 있다. 현행 성취기준 해설과 같이 미분계수는 직관적으로 도입하도록 하되 그 의미를 기하적으로 제한하기보다는, 각 교과서 집필진이 자율적으로 미분계수의 의미를 정의하고 경사하강법까지 연결성을 높이는 방안도 고려할 필요가 있다.

둘째, 경사하강법의 이동량에 관한 수학적 원리를 다룰 필요가 있다. 경사하강법에서 미분계수는 이동방향을 결정할 뿐 아니라, 미분계수의 절댓값이 감소하면서 최솟값을 점진적으로 찾아가도록 하는 역할도 한다. 이는 경사하강법의 종료와도 관계되는데, 손실함수의 미분계수가 충분히 0에 가까워지면 반복을 종료하는 종료 조건을 설정할 수 있기 때문이다. 이러한 이동량의 감소와 관련한 미분계수의 역할을 명확히 다룬 교과서는 1종 외에는 없었다. 경사하강법은 손실함수와 함께 지도학습의 핵심이며(Ishikawa, 2018; Russell & Norvig, 2020), <인공지능 수학> 과목의 목표에 따라 그 원리를 수학적으로 이해하기 좋은 소재이다. 경사하강법의 이동방향과 함께 이동량에 대해서도 충실히 다룰 필요가 있으며, 이를 위하여 성취기준 해설에서 이동방향, 학습률과 함께 이동량의 변화도 기술하는 방안도 고려할 필요가 있다.

셋째, 성취기준에서 ‘최댓값’은 삭제를 고려할 필요가 있다. <인공지능 수학>의 전체적인 내용 체계 상 손실함수의 최댓값을 구하는 상황이나 경사상승법을 다루기 어렵다고 판단된다. 실제로 5종 교과서 모두에서 최댓값을 구하는 최적화 상황은 다루어지지 않았다. 따라서 현행 성취기준에서 ‘최댓값’ 부분은 삭제를 고려할 필요가 있다.

넷째, 성취기준에 공학적 도구를 명시할 필요가 있다. 경사하강법은 수많은 반복 실행을 통해 손실함수가 최솟값을 갖는 지점을 찾아가는 과정이므로, <인공지능 수학>이 추구하는 바와 같이 실습과 프로젝트를 중심으로 경사하강법을 탐구하기 위해서는 공학적 도구의 활용이 필수적이다. 이에 교육과정에서는 공학적 도구를 활용한 경사하강법 시뮬레이션 활동을 권장하고 있으며, 특히 핵심적인 부분만을 수정하여 실험해볼 수 있는 코딩 기반 공학적 도구의 제공을 언급하기도 하였다. 그러나 5종 중 2종의 교과서에는 사실상 공학적 도구를 활용한 경사하강법 시뮬레이션 활동이 제공되지 않았다. 교육과정 개발진의 의도가 교과서로 구현되기 위해서는 성취기준 수준에서 공학적 도구의 이용을 명시하는 것을 고려할 필요가 있다. 한편, 성취기준 해설에서 코딩 기반 환경의 사용을 특별히 권장할 필요는 없을 것으로 판단된다. E 교과서의 사례와 같이, 동적 기하 소프트웨어의 표 도구와 그래프 도구를 연동하면 코딩을 활용하지 않고도 경사하강법을 효과적으로 시뮬레이션 할 수 있는 도구를 제공할 수 있기 때문이다.

본 연구는 Kwon et al. (2021)와 유사하게 신설 과목의 교육과정을 개발하고, 그에 따른 교과서를 집필하는 작업에 상당한 어려움이 존재한다는 것을 확인하였다. <인공지능 수학>의 경우 약 4개월이라는 다소 짧은 기간에 걸쳐 교육과정이 개발되었는데(Lee et al., 2021), 성취기준 등의 수정 및 보완이 이루어질 필요가 있다. 예를 들어, 본 연구에서 살펴보았듯이 손실함수의 최댓값, 분류에서의 손실함수와 같이 실제로 교과서 내용으로 구현되기 어려운 부분이 성취기준에 명시되거나, 추세선을 이용한 예측과 같이 학습 경로가 어색한 경우가 있었다. 또한 교과서 집필진 역시 교육과정의 해석과 집필에 어려움이 많았던 것으로 보인다. 교과서마다 차이가 있었으나, 성취기준의 의도가 적절히 반영되지 않거나 경사하강법, 손실함수 등과 관련하여 수학적 오류가 있는 경우도 있었기 때문이다. 현재 개발되고 있는 2022 개정 수학과 교육과정의 신설 과목들인 <수학과 문화>, <직무수학>, <실용통계> 등(MOE, 2021) 에서도 이와 유사한 어려움이 발생할 수 있다. 신설 과목의 경우 충분한 시간을 확보하여 교육과정을 개발할 필요가 있으며, 연구 방법면에서도 프로토타입 교과서 구현 단계를 두어 현직 교사와 함께 성취기준이나 학습 경로를 점검하고 교과서 구현상의 어려움은 없는지 확인하여 보완하는 방안도 생각해볼 수 있다. 끝으로, 본 연구의 결과가 2022 개정 수학과 교육과정의 <인공지능 수학> 과목을 수정 및 보완하고, 교과서를 개발하는 데 유용하게 활용되길 기대한다.

Footnote

1) 현재 2015 개정 수학과 교육과정의 <인공지능 수학>에 ‘예측과 최적화’ 영역은 없으나, 본고에서는 단순 선형 회귀에서의 지도학습 과정을 다루고 있는 부분을 묶어서 ‘예측과 최적화’라 지칭하였다.

2) 본고에서는 연구 목적을 고려하여 단순 선형 회귀를 일반적인 통계학이 아닌 기계학습 분야의 관점에서 설명하였다.

3) 선택한 점들에 대한 최적의 추세선을 자동으로 생성해주는 도구이다. C 교과서에서는 2개의 점을 적합선 도구로 선택하여 추세선을 생성하도록 소개하고 있다.

CONFLICTS OF INTEREST

No potential conflict of interest relevant to this article was reported.

Fig 1.

Figure 1. Process of restructuring achievement standards and guidelines
Journal of Educational Research in Mathematics 2022; 32: 125-147https://doi.org/10.29275/jerm.2022.32.2.125

Fig 2.

Figure 2. Trend line activities with technological tools
Journal of Educational Research in Mathematics 2022; 32: 125-147https://doi.org/10.29275/jerm.2022.32.2.125

Fig 3.

Figure 3. Examples of forecasting problems using a trend line
Journal of Educational Research in Mathematics 2022; 32: 125-147https://doi.org/10.29275/jerm.2022.32.2.125

Fig 4.

Figure 4. Mixed explanations using sum and mean for loss function
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Fig 5.

Figure 5. Textbook explanations on the direction of movement of gradient descent
Journal of Educational Research in Mathematics 2022; 32: 125-147https://doi.org/10.29275/jerm.2022.32.2.125

Fig 6.

Figure 6. Three types of gradient descent simulation presented in textbooks
Journal of Educational Research in Mathematics 2022; 32: 125-147https://doi.org/10.29275/jerm.2022.32.2.125

Table 1 Gradient descent algorithm

a. 예측 모델이 L(χ)=aχ+b인 경우b. 예측 모델이 L(χ)=aχ인 경우
(1) 임의의 초깃값 (a0, b0)을 정한다.(1) 임의의 초깃값 a0을 정한다.
(2) (ai, bi)을 (ai+1, bi+1)로 반복하여 수정한다.(η: 학습률)
ai+1=ai η E aa,b=ai,bi bi+1=bi η E ba,b=ai,bi
(2) aiai+1로 반복하여 수정한다.(η : 학습률)
ai+1=aiηE'ai
(3) (ai, bi) 와 (ai+1, bi+1) 사이의 변화가 충분히 작아지면 반복을 멈춘다(3) aiai+1 사이의 변화가 충분히 작아지면 반복을 멈춘다.

Table 2 List of artificial intelligence mathematics textbooks analyzed

구분출판사저자
A금성출판사Oh et al. (2021)
B미래엔Hwang et al. (2021)
C씨마스Lee et al. (2021)
D중앙교육Seong et al. (2021)
E천재교과서Hong et al. (2021)

Table 3 Restructured achievement standards and guidelines framework for data analysis

교육과정 성취기준재구성 성취기준재구성 유의사항
[12인수03-04] 자료의 경향성을 추세선으로 나타내고, 예측에 이용할 수 있다.[12인수03-04-01] 자료를 산점도로 나타내어 상관관계를 판단할 수 있다.
[12인수03-04-02] 공학적 도구를 이용하여 자료의 경향성을 보여주는 일차함수 형태의 추세선을 구성할 수 있다.최적의 추세선을 찾는 최소제곱법의 원리는 ‘최적화’ 영역에서 다룬다.
[12인수03-04-03] 추세선을 이용하여 새로운 χ의 값에 해당하는 y의 값을 예측할 수 있다.공학적 도구를 사용하여 구한 추세선의 식을 예측에 이용할 수 있음을 중점적으로 다룬다.
[12인수03-04-04] 자료의 경향성은 직선의 형태가 아닌 곡선 형태로 나타날 수 있음을 이해한다.회귀분석의 용어는 도입하지 않는다.
[12인수04-01] 주어진 자료로부터 분류와 예측을 할 때, 오차를 표현할 수 있는 함수를 구성하는 원리와 방법을 이해한다.[12인수04-01-01] 추세선을 이용한 예측에서, 평균제곱오차를 이용하여 손실함수를 구하는 원리와 방법을 이해한다.실제값과 예측값 사이의 오차로부터 손실함수를 유도하며, y= 형태의 추세선을 찾는 상황에서 기울기 a의 값에 따른 오차의 변화를 이차함수 E(a)로 정의하는 수준에서 간단히 다룬다.
[12인수04-01-02] 텍스트 또는 이미지 분류에서, 활성화함수를 이용하여 손실함수를 구성하는 원리와 방법을 이해한다.분류에서의 활성화함수를 이용한 손실함수의 표현에 관한 내용은 읽기자료 형태의 심화학습으로 제시할 수 있다.
[12인수04-01-03] 인공지능의 학습에는 지도학습, 비지도학습, 강화학습 등이 있음을 알고, 학습의 목표가 손실함수를 최소화하는 것임을 이해한다.
[12인수04-02] 함수의 최솟값 또는 최댓값을 찾아 최적화된 의사결정 방법을 이해한다.[12인수04-02-01] 일변수함수의 극한과 미분계수의 의미를 직관적으로 이해한다.미분계수는 접선의 기울기로 도입한다.
[12인수04-02-02] 미분계수의 기하적 의미를 이용하여 경사하강법을 이해한다.가장 적합한 모델을 찾기 위해 손실함수의 최솟값 또는 최댓값을 찾는 과정을 이해하게 하며, 이차함수 형태의 손실함수에서 경사하강법을 다룬다.
[12인수04-02-03] 공학적 도구를 이용하여 경사하강법과 관련된 탐구와 실험을 할 수 있다.프로그램의 코드 작성에 대한 부담을 갖지 않도록 하기 위하여 ‘자료’, ‘학습률’, ‘학습 횟수’, ‘학습을 위한 식’ 등 핵심적인 부분만을 수정하면서 ‘최적화’와 관련된 탐구와 실험을 할 수 있는 공학적 도구를 제공한다.
[12인수04-02-04] 공학적 도구를 이용하여 학습률이 너무 크거나 작으면 손실함수의 최솟값을 찾지 못할 수 있음을 이해한다.

Table 4 Textbook analysis for achievement standard [12AIM03-04]

교과서12인수03-04-0112인수03-04-0212인수03-04-0312인수03-04-04
산점도와 상관관계 (위치)추세선의 정의공학적 도구 (위치)예측 활동곡선 경향성
A복습(도입부)자료의 경향성을 나타내는 직선 또는 곡선엑셀: 최적화된 추세선 (탐구활동)직관적으로 추세선을 구성하고 예측 및 비교이차함수 형태의 산점도를 설명
B복습(도입부)자료의 경향성을 나타내는 직선통그라미: 최적화된 추세선 (본문)주어진 최적화된 추세선의 식을 구한 뒤 상관관계를 설명다루지 않음
C설명(도움말)자료의 경향성을 나타내는 직선 또는 곡선지오지브라: 제한적으로 선택할 수 있는 추세선(탐구활동)주어진 최적화된 추세선을 이용한 예측동일한 산점도에 대한 일차, 이차, 삼차함수 추세선의 비교
D설명(본문)자료의 경향성을 나타내는 직선엑셀: 최적화된 추세선(본문)주어진 최적화된 추세선을 이용한 예측다루지 않음
E복습(도입부)자료의 경향성을 나타내는 직선엑셀: 최적화된 추세선 (탐구활동)주어진 최적화된 추세선을 이용한 예측다루지 않음

Table 5 Textbook analysis for achievement standard [12AIM04-01]

교과서12인수04-01-0112인수04-01-0212인수04-01-03
예측 모델의 유형과 손실함수의 정의y=ax꼴로 한정하는 이유평균제곱오차로 정의하는 이유손실함수를 이용한 활동공학적 도구분류에서의 손실함수학습의 유형과 목표
Ay=ax에 대하여 E(a)로 정의설명(도움말)오차의 합의 상쇄 문제에 대한 대안손실함수의 최솟값을 이용한 최적 추세선 찾기엑셀: 가중치 별 평균제곱오차를 계산다루지 않음설명(본문): 손실함수와 학습의 목적을 연결하여 다룸
By=ax에 대하여 E(a)로 정의설명하지 않음개별 오차를 이용한 비교의 어려움에 대한 대안손실함수의 함숫값을 이용한 추세선의 적합성 비교데스모스: 기울기에 따른 손실함수 값의 변화를 관찰다루지 않음설명(읽기자료): 손실함수와 학습의 목적을 연결하여 다룸
Cy=ax+b에 대하여 E(a,b)로 정의 후 E(a) 소개설명(본문)설명하지 않음손실함수의 최솟값을 이용한 최적 추세선 찾기엑셀: 손실함수의 그래프를 이산적으로 나타냄읽기자료에 소개설명(본문): 손실함수와 학습의 목적을 연결하여 다룸
Dy=ax에 대하여 E(a)로 정의설명(읽기자료): 수학적 오류가 존재오차의 평균의 상쇄 문제에 대한 대안손실함수의 값은 구하지만, 추세선 최적화와 연결짓지 않음제공하지 않음다루지 않음설명(1단원 본문): 학습의 목적 다루지 않음
Ey=ax에 대하여 E(a)로 정의설명하지 않음오차의 합의 상쇄 문제에 대한 대안최적화와 관련된 귀납적 알고리즘 설명 과정에서 손실함수 이용제공하지 않음다루지 않음설명(1단원 본문): 손실함수와 학습의 목적을 연결하여 다룸

Table 6 Gradient descent algorithm presented in textbooks

유형1(A, B, E 교과서)유형2(C 교과서)유형3(D 교과서)
① 임의의 a의 값에 대한 미분계수 E'(a)를 구한다.x1에서 미분을 구한다.
a의 값을 -ηE'(a)만큼 변화시킨다. (η : 학습률)② ①에서 구한 기울기와 방향이 반대인 직선으로 이동시킨 점이 곡선 y=f(x)와 만나는 점 x2를 구한다.
③ 이와 같은 과정을 여러 번 반복한다.③ ②에서 구한 x2에서 미분을 구한다.
④ ③의 값이 0이 아니면 ②와 같은 방법을 반복한다.
⑤ 이렇게 반복적으로 기울기를 변화시켜 그 값이 0이 되는 지점을 찾는다.

Table 7 Textbook analysis for achievement standard [12AIM04-02]

교과서12인수04-02-0112인수04-02-0212인수04-02-0312인수04-02-04
극한과 미분계수경사하강법 알고리즘미분계수와 이동방향미분계수와 이동량 감소공학적 도구학습률 문제공학적 도구
A공학적 도구로 함수의 극한, 접선의 기울기로 미분계수를 직관적으로 도입하고, 미분계수를 구하는 방법 소개의사코드: 종료 조건이 명확하지 않음미분계수를 함수의 증감과 연결하여 설명간적접으로 다룸제공하지 않음구체적인 예를 통해 다룸제공하지 않음
B함수의 극한, 접선의 기울기로 미분계수를 도입의사코드: 종료 조건이 명확하지 않음미분계수를 함수의 증감과 연결하여 설명다루지 않음알지오매스: 그래프와 블록코딩 기능을 활용구체적인 예를 통해 다룸알지오매스: 그래프와 블록코딩 기능을 활용
C함수의 극한, 접선의 기울기로 미분계수를 도입순서도: 종료 조건까지 완결된 알고리즘미분계수를 경사(또는 접선의 기울기)와 연결하여 설명간적접으로 다룸파이썬: 코드를 제공구체적인 예를 통해 다룸파이썬: 코드를 제공
D접선의 기울기로 미분계수를 도입하나 좌극한과 우극한, 함수의 실수배, 합, 차의 미분법까지 다룸의사코드: 수학적 오류가 있음미분계수를 경사(또는 접선의 기울기)와 연결하여 설명다루지 않음제공하지 않음간단히 설명제공하지 않음
E함수의 극한, 접선의 기울기로 미분계수를 도입의사코드: 종료 조건이 명확하지 않음미분계수를 경사(또는 접선의 기울기)와 연결하여 설명명확히 다룸알지오매스: 그래프와 표 기능을 활용구체적인 예를 통해 다룸제공하지 않음

References

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