검색
검색 팝업 닫기

Ex) Article Title, Author, Keywords

Article

Split Viewer

전자저널 논문

2020; 30(1): 131-151

Published online February 28, 2020 https://doi.org/10.29275/jerm.2020.02.30.1.131

Copyright © Korea Society of Education Studies in Mathematics.

Mathematising of Coding Education Command: Focusing on Algebra Education

코딩교육 명령문의 수학화: 대수교육을 중심으로

Jinhwan Jeong1, hanhyuk Cho2

* Teacher, Bangwon Middle School, South Korea, hyperdak@snu.ac.kr
** Professor, Seoul National University, South Korea, hancho@snu.ac.kr

*방원중학교 교사, **서울대학교 교수

Correspondence to:corresponding author

Received: January 10, 2020; Revised: February 5, 2020; Accepted: February 1, 2020

Mathematics is at the root of coding and AI convergence education, emphasized in recent school education. This paper proposes an education content and education method that can combine elementary and secondary coding education that is being introduced recently with school mathematics in a developmental way. Specifically, in this paper, through the mathematising of the code in coding education, the contents of education to develop from arithmetical coding to algebraic coding are designed, as well as the minimum coding mapping strategy that induces development into algebraic coding. Additionally, this study addresses and analyzes the process in which learners develop their algebraic abilities with educational content and guidance strategies that converge coding education in elementary and secondary schools into math education, especially algebra education. This convergence education is achieved through a Papert’s constructionism learning theory-based artifact design, and the minimum code strategy is designed to enable learners to form a knowledge structure of algebra and gain experience in exercising computational thinking.

Keywordsalgebraic thinking, Papert’s constructionism, mathematising of code in coding education, algebraic coding, minimum-code strategy

인간이 사용하는 언어를 컴퓨터가 인식할 수 있도록 변환하는 것을 의미하는 코딩(Coding)은, 4차 산업혁명 시대의 핵심 역량으로 주목받고 있다. 우리나라는 2015년 개정 교육과정에 따라 초?중등학교 소프트웨어 의무교육을 시행하고 있으며, 2022년 차기 교육과정 개편에서 AI 교육을 도입하고자 하고 있다. 그러나 코딩과 AI의 이론적 근원에 수학이 있다는 것을 고려하면, 수학학습에 어려움을 느끼는 학습자에 주목해야만 한다. 2015년 ‘수학학습 실태 조사 및 개선 방안연구’에 따르면, 고등학생의 23.5%, 중학생 18.1%, 초등학생의 8.1%가 수학학습을 포기하고 있다고 보고되고 있다(Ko, Lee, Lee, & Lee, 2015). 새로운 학문과 기술을 위해 기반이 되어야 할 수학이 오히려 미래 성장의 걸림돌이 될 수도 있는 것이다.

수학과 코딩은 함께 교육될 때 긍정적 효과를 가질 수 있다. 다음 세 가지는 이들의 융합을 통해 기대되는 대표적 효과이다. 첫째, 코딩이 수학학습에 곤란을 겪는 학생들에게 새로운 학습 도구로 활용될 수 있다. 게임과 같이 친숙한 형식으로 제시되는 코딩 환경은, 학습자에게 수학적 사고의 경험을 줄 수 있다. 일찍이 코딩의 교육적 가치를 발견한 Papert(1980)는 Constructionism 학습이론으로, 코딩이 수학적 지식구조 형성을 이끈다는 것을 보였다. 본 연구는 Papert의 Constructionism에 기반한 코딩 환경에서 학습자의 수학적 활동을 분석한다. 코딩 환경에서 학습자는 수학화된 명령어를 활용하며, 수학적 지식의 구조를 형성해 나간다. 둘째, 학교현장이 가지는 자원의 제약을 어느 정도 해소할 수 있다. 학교 교육에 코딩교육을 포함할 때, 교육내용, 교사, 교과 시간 등 자원 부족은 계속해서 문제로 제기되었다(Weintrop, Beheshti, Horn, Orton, Jona, Trouille et al., 2016). 기존 교과와 코딩의 융합은 새로운 내용의 교육이 아닌, 새로운 방법의 교육이다. 따라서 학습 부담을 가중하지 않으며, 코딩교육내용을 풍부하게 할 수 있다. 또한, 내용 전문가인 타 교과의 교사를 활용하고, 실질적 코딩 시간을 확보한다는 효과를 가져온다(e.g. 자유학년제 주제선택활동, 수행평가). 셋째, 핵심 역량으로서의 코딩을 교육할 수 있다. 코딩과 AI 교육의 목적은 기본지식 및 기술을 습득하고, 이를 문제해결과정에서 활용하는 컴퓨팅 사고 (Computational Thinking) 역량 교육에 있다. 컴퓨팅 사고는 3R(읽기, 쓰기, 연산)과 더불어 미래를 위한 기초역량으로 주목받고 있으나(Grover & Pea, 2013; Wing, 2006), 학습자가 문제해결과정 에서 그 역량을 발휘할 기회는 많지 않아 보인다. 코딩과 수학의 융합은 단순히 기술을 익히는 것을 넘어, 이를 통해 문제를 해결하는 경험을 주게 된다. 수학은 코딩의 문제 배경으로 활용되며, 코딩은 수학의 사고 및 표현 도구로 사용될 수 있을 것이다(Weintrop et al., 2016).

컴퓨팅 사고를 교육에 적용하고자 하는 연구는 2006년 Wing의 논문 이후에 꾸준히 이루어져 왔으며(Barr & Stephenson, 2011; Brennan & Resnick, 2012; Grover & Pea, 2013; Jeong, 2015; Resnick, Maloney, Monroy-Hernández, Rusk, Eastmond, Brennan, et. al, 2009; Weintrop et al., 2016). 특히, 컴퓨팅 사고를 중심으로 코딩과 수학을 융합한 연구들(Barr & Stephenson, 2011; Weintrop et al., 2016)도 등장하고 있다. 그러나 최근에 코딩이 학습자의 수학적 지식의 구조를 어떻게 형성하는지 학습이론을 중심으로 분석한 연구는 많지 않다. 본 연구는 학습이론인 Papert(1980)의 Constructionism을 중심으로, 학습자의 코딩 활동이 어떻게 그들의 수학적 사고를 형성하는지 밝히고자 한다.

본 연구는 다양한 수학 영역 중, 대수적 사고를 중심으로 논의를 진행한다. 대수는 학습자들이 일반화된 문자와 기호를 통해 수학적 대상을 생성하고 조작할 수 있게 함으로써, 그들을 수학적으로 사고할 수 있도록 이끌어 주어야 한다. 그러나 많은 연구자는 대수가 수학적 세계를 열어주는 문이 되어주기보다는, 우수한 학생들만 통과할 수 있는 문지기 역할을 하고 있다고 지적한다(Bryk & Treisman, 2010; Choike, 2000; Kaput, 2017; Mason, 2008). Papert의 Constructionism에서 학습자는 간단한 코드를 사용해 인공물 (Artifact)을 구성하며, 그 과정에서 일반성을 발견하고 표현한다. 상상과 표현은 대수적 사고의 시작이라고 할 수 있으며(Mason, 2008), 일반성을 표현하는 것은 대수적 사고의 핵심이라고 할 수 있다(Kaput, 2017). 따라서 적절하게 수학화된 명령문으로 구성된 코딩 환경이 학습자의 대수적 사고와 표현을 이끌어 낼 수 있을 것이라 기대하였다.

본 연구는 Papert의 Constructionism과 Freudenthal의 수학화 이론을 배경으로 구성된 코딩 환경이 대수학습에 어떻게 적용되며, 어떠한 효과를 가져올 수 있는지 분석한다. 대수교육의 효과는 구성된 코딩 환경에서 학습자가 어떻게 대수를 시작 하고(Mason, 2008), 이를 통한 경험이 어떻게 대수적 사고와 연결되며(Kaput, 2017), 그 역량 발휘를 이끄는 배경이 무엇인지(Carraher, Schliemann, & Schwart, 2017) 살피는 것으로 분석된다. 또한, 학습자의 대수적 사고를 끌어내는 코딩 교육과정 및 교사의 역할을 제시한다. 즉, 본 연구에서 밝히고자 하는 연구문제는 다음과 같다.

1) 수학적으로 구성된 코딩 환경이 어떻게 학습자의 대수적 사고를 끌어내는가?

2) 대수적으로 수학화된 코드를 활용한 교육과정을 어떻게 조직해야 하는가?

3) 대수적으로 수학화된 코드를 활용한 교육과정을 도입할 때, 효과적인 지도전략은 무엇인가?

코딩을 통해 학습자가 대수적 사고구조를 형성하는 과정을 살펴보기 위해, Papert의 Constructionism에 대해서 살펴본다. 또한, 그 과정이 가지는 대수교육적 의의를 알아보기 위해 Freudenthal의 수학화 이론과 대수교육 관련 연구를 살펴본다. 그리고 이를 통해 마이크로월드가 대수교육에 어떻게 적용될 수 있는지 살펴보고자 한다.

1. Papert의 Constructionism

문제 해결에서 컴퓨터과학의 접근법을 활용하는 컴퓨팅 사고는 21세기의 핵심 역량으로 주목 받고 있다(Bundy, 2007; Grover & Pea, 2013; Wing, 2006). 컴퓨팅 사고를 발휘하여 효율적인 코드를 구성한다는 것은, 추상적 사고를 통해 일반성을 발견하고 이를 표현하는 것을 뜻한다. 즉, 컴퓨팅 사고의 핵심에는 추상화가 있다고 할 수 있다(Grover & Pea, 2013; Wing, 2008). 대수를 포함해서 수학 대부분 영역이 추상화 역량 발휘와 관련된다는 것을 고려할 때, 코딩과 수학에는 접점이 있다고 볼 수 있다. 추상화 역량을 발휘하도록 구성된 코딩 환경은 수학적 표현을 끌어내도록 활용될 수 있다. 또한, 수학적 표현은 학습자가 추상화 역량을 발휘해 도달할 목표 지점이 될 수 있다.

수학과 코딩을 융합하는 이론적 근원은 Papert (1980)의 Constructionism에서 찾을 수 있다. Papert의 Constructionism은 학습자가 상상하는 인공물을 구성하고 공유할 때, 지식의 구조가 활발하게 형성된다고 보는 학습이론이다(Papert & Harel, 1991). 인공물은 코드를 통해 구성되며, 학습자는 구성 과정에서 규칙을 발견하고 표현한다. Ackermann는 Papert의 Constructionism이 Piaget의 구성주의(Constructivism), Vygotsky의 사회적구성주의(socio-constructivist)와 다음과 같은 공통점을 가진다고 보았다.

그들은 모두 발달론적 관점을 가지고 있으며, 사람들이 그들이 가진 세계를 재구성함으로써 지식구조를 만들어간다는데 공통적인 관점을 가진다(Ackermann, 2004, p. 15).

이들 이론은 모두 발달 학습이론이며, 지식은 단순히 주어지는 것이 아닌 구성하는 것이라는 관점을 공유한다. 그러나 Piaget의 조작적 구성주의는 경험, Papert의 Constructionism은 도구, 사회적 구성주의는 사회를 강조한다는 차이점을 가진다 (Ackermann, 2004). 구성주의가 학습자의 경험을 통해 인지구조를 형성하는 것에 관심을 둔다면, Papert의 Constructionism은 그 경험을 줄 수 있는 도구를 제공하는 것에 더 큰 관심을 둔다. Piaget의 조작적 구성주의가 상대적으로 인지 이론에 가깝다면, Papert의 Constructionism은 실제적이고 교육적인 방법이라고 할 수 있다(Kim, 2006).

Papert는 구성주의에서 강조하는 행동의 내면화와 함께, 아이디어의 외면화 역시 강조하였다 (Ackermann, 2004). Papert의 Constructionism의 학습 도구인 코드는 학습자가 자신의 아이디어에 형식을 부여하여 표현하는 도구이다. 학습자가 자신의 아이디어를 표현하기 위한 형식을 부여함으로써, 아이디어는 조작 및 소통 가능한 것이 되며, 조작 및 소통을 통해 학습자는 자신의 사고를 반성할 수 있게 된다. 학습자는 자신의 아 이디어에 형식을 부여하여 표현하는 능동적인 외면화를 통해, 환경과 상호작용하며 지식을 구성한다. Papert(1972)는 학습자가 자신에게 의미있는 인공물을 구성할 수 있는 코딩 환경으로 Logo를 개발하였다. Logo에서 학습자는 흰 눈이 쌓인 벌판 위를 거북이가 가자, 돌자 명령에 따라 이동하도록 하면서 발자국으로 그림을 그리도록 한다(Cho & Song, 2014).

Papert(1996)는 코딩을 통한 표상이 학습자에게 핵심적 아이디어 표현을 유도한다고 보고, 그 행동 유도성을 지칭하기 위해 컴퓨팅 사고라는 단어를 최초로 사용하였다. 학습자는 코딩 과정에서 컴퓨팅 사고를 활용하여, 이를 통해 유도되는 수학적 사고를 표현한다. 예를 들어 Figure 1과 같이 ‘가자30; 돌자90’를 4회 입력한 코드는 아이들에게 일반성을 발견하고 표현하는 행동 유도성을 가져온다. 즉, 일반성의 인식이 표현을 유도하며, 적절한 안내는 그들에게 일반화 표현을 외면화하도록 한다.

Figure 1.Generality recognition and expression in Logo

이와 같은 행동 유도성은 치환, 변수, 함수 등등 대수 관련 활동과 연결될 수 있으며, 자세한 학습자의 행동은 III 장에서 다루도록 하겠다.

Papert(1980)는 불어를 배우는 좋은 방법이 프랑스에서 생활하는 것처럼, 수학을 학습하는 가장 좋은 방법 역시 수학 나라(Mathland)에서 생활하는 것으로 보았다. Logo의‘가자, 돌자’는 아이들이 컴퓨터와 소통하는 언어이다. 그들은 이 두 가지 코드로 수학 나라의 탐구를 시작한다. 아이들에게 수학은 학습되는 것이 아닌 사용하는 것이며, 이를 통해 수학적으로 사고하는 방법을 익히게 된다(Papert, 1972). Papert(1980)는 이처럼 코드를 언어로써 사용하며 지식의 구조를 형성하는 학습 환경을 마이크로월드(Microworld)라 지칭하며, ‘지식의 인큐베이터(Incubators for Knowledge)’라고 묘사한다. 수학적 지식은 코드를 활용한 탐구로부터 습득되며, 화면으로부터 돌려받는 피드백은 학습자의 사고를 반성하게 한다. 즉, 마이크로월드는 ‘탐구하고, 컴퓨터로부터 그들의 탐구 결과에 관한 피드백을 받으며 학습할 수 있는 환경’이다(Hoyles, Noss, & Adamson, 2002).

‘로마숫자에서 인도-아라비아 숫자로의 변화’가 수를 다루는 방법을 바꾸었듯, 마이크로월드의 코딩이 학생들의 사고의 방법을 바꿀 수 있다(Wilensky & Papert, 2010). 적절하게 구성된 기호체계는 학생들이 대수적 사고를 하고 표현하도록 하는 행동 유도성을 가질 것이다. Cho & Song은 이와 같은 행동 유도성을 가진 기호체계를 실행식(Executable expression)이라 지칭하며, 다음과 같이 설명한다.

초기 단계의 학습자라도 자신에게 의미 있는 형태로 기호를 받아들이고 표현할 수 있는 기호체계(Cho & Song, 2014, p. 270)

실행식은 학습자가 학습자 스스로 의미있는 형태로 기호를 받아들인다는 특징을 가진다. 이는 학습자의 아이디어를 표현하기 위해 존재한다. 이는 단순히 컴퓨터에서 작동하는 것을 넘어서, 학습자 내면의 ‘함께 사고할 수 있는 도구 (object-to-think-with)’로 활용될 수 있는 기호를 의미한다. 행동 유도성을 가지는 실행식 기반 코딩이 학습자에게 부여하는 대수적 의미 역시 III 장에서 코드의 수학화와 함께 소개하도록 하겠다. 수학적 사고는 마이크로월드에서 아이들이 표현하는 대상을 구성하도록 핵심 아이디어를 제공하며, 마이크로월드는 그 핵심 아이디어를 떠올리게 하는 탐구의 맥락을 제공한다.

2. Freudenthal의 수학화

Freudenthal의 현실주의적 수학교육(Realistic Mathematics Education) 이론은 문맥이 제거된 기존의 수학 접근을 실제적 접근으로 바꾸려는 시도로, 활동으로서의 수학을 강조한다(Kim, 2006). 그는 수학적 개념이 본질로써 현상인 세계를 조직하는 수단으로 발견된다고 보았으며, 이를 교수학적 현상학이라 표현하였다. 마이크로월드에서 학습자는 가상의 세계에서 현상을 발견하고, 수학적 개념과 구조라는 본질로써 그 세계를 조직해 나간다.

교수학적 현상학을 바탕으로 Freudenthal은 수학화 이론을 주장하였다. Freudenthal(2006)은 수학 활동을 주변의 세계를 기호의 세계로 이동시키는 수평적 수학화(Horizontal mathematisation)와 기호가 생성되고, 재생산되고, 조작되는 과정인 수직적 수학화(Vertical mathematisation)로 구분하였다. 마이크로월드에서 상상하는 대상을 기호로 표현하는 수평적 수학화 활동은, 일반성을 표현하고 이를 조작하는 수직적 수학화와 연결된다.

마이크로월드에서 학습자의 수학화는 Figure 2와 같이 정리할 수 있다. 이는 우선적으로 학습자의 현실세계를 마이크로월드로 부여한다는 특징을 가진다.

Figure 2.Mathematising in Microworld(Burger & Culpepper,1993; modified)

학습자는 현실(마이크로월드)의 문제를 수학처리가 가능하도록 변환(코딩)하는 수평적 수학화를 하며, 개념을 추출하고 반성(일반성을 발견)하며 수직적 수학화를 한다. 또한, 이를 추상화?형식화(일반화)한 것을 응용(코딩)하여 현실에 응용(실행)하고 그 피드백을 현실 세계(마이크로월드)에 적용한다.

현실주의적 수학교육에서 현실이라는 것은 때로 실생활 응용문제로 오인되고는 한다. 그러나 현실주의적이라는 표현은 학습자가 상상하여 마음속에 실제로 만드는 것을 강조하기 위해 사용되었다고 보아야 한다(Van den Heuvel-Panhuizen, 2001). 마이크로월드는 학습자의 상상을 외면화 하도록 유도함으로써, 그들의 상상을 실제적으로 표현할 수 있도록 한다. 마이크로월드에서 코드와 그 피드백이라는 현상은 대수적 사고라는 본질로서 조직될 수 있어야 할 것이다.

3. 대수적 경험

과거 학교 대수와 관련된 연구들이 아이들에게서 발견되는 오류와 그 처방에 집중되어 있었다면, 최근 연구들은‘산술-이후-대수’ 교육과정에 대한 문제점과 그 극복에 더욱 주목하고 있다 (Kaput, 2017). 최근 연구들은 과거에 주로 사용 되던 산술 경험에 기반한 형식적 대수 도입이 아이들에게 대수적 사고를 하도록 하는 충분한 발판이 되지 못한다는 것을 근본 문제점으로 보고 있다. 초등학교에서 산술 교육을 마치고 나서, 중학교에서 대수를 학습하는 단절된 형식의 교육은 아이들의 대수 이행의 걸림돌이 된다 (Kaput, 2017, Kim, 2003.). 단절된 교육에서 아이들은 문자의 필요성과 그 의미를 충분히 인식할 경험을 얻지 못한다고 할 수 있다(Mason, 1996; Woo & Kim, 2007).

기호 사용의 여부가 대수와 산술을 구분하는 가장 큰 특징 중 하나이지만, 기호를 사용하도록하는 것이 대수교육 목적의 전부는 아니다. 기호는 그 사용과 관련된 사고과정과 함께 지도되어야 하며, 형식적이고 반복적 계산에 의한 방식의 도입은 지양되어야 할 것이다. Woo & Kim(2007)는 선행연구를 통해(e.g. Lins, 1992; Radford, 1996; Bell, 1996) 대체로 대수가 문자 기호의 측면에서 정의되고 있다고 하며, 사고의 측면을 상대적으로 소홀히 다루었음을 지적하였다.

산술과 대수는 분리되어 교육되어서는 안 되며, 산술과 함께 대수적 사고가 조기에 도입해야 한다는 주장이 힘을 얻고 있다. 산술을 학습할 때 학습자가 발견하는 일반성은 표현되도록 권장되어야 하며, 이는 학습자에게 대수적 사고를 발휘하는 경험이 될 수 있다. 이처럼 조기에 대수적 경험을 주고자 하는 주장은 최근 조기 대수(early algebra) 연구들에서 찾을 수 있다. Kim(2003)은 조기 대수를 “중등대수와 관련된 요소를 그 수준에 맞추어 추론 측면에서 강조하는 것(p. 310)”이라 하였으며, KHan & Kwon(2018)은 조기 대수를 “어린 학생들의 일상적인 경험에서부터 나온 다양한 사례를 통해 그들의 발달 수준에 적합한 형태의 대수 추론 경험의 기회를 제공(p. 116)”하는 것으로 보았다. 즉, 조기 대수는 학습자의 발달 수준에 적합한 형태의 경험을 바탕으로, 대수와 관련된 요소를 추론 측면에서 교육하는 것이라고 할 수 있다. 따라서, 학습자에게는 대수와 관련된 추론을 할 기회와 경험이 제공돼야 한다. 즉, 대수적으로 적절한 경험을 줄 수 있는 환경이 필수적이라 할 수 있다.

대수교육 환경을 구성하기 위해서는 교육하고자 하는 대수적 사고를 명확히 하는 것이 선행되어야 한다. 본 연구는 대수와 관련된 사고가 필연적으로 기호를 통한 상징화와 관련된다고 보았으며, 그 상징화는 특정 상황의 일반성을 표현하는 것과 표현된 일반화로부터 이끌어지는 추론과 관련된다고 보았다. 이는 Kaput(2017)의 “대수적 추론의 핵심이 의도적인 일반화와 일반화를 통한 추론을 제공하는 복합적 상징화 과정으로 구성되었다(p. 9).”는 관점과 일치한다고 할 수 있다. 특히, Kaput(2017)은 초등교육을 중심으로 한 학교 수학 관점에서 Table 1과 같이 대수의 2가지 핵심 측면과 그들이 결합한 3가지 갈래를 제시하였다.

Table 1 Core aspects and strands(Kaput, 2017, p. 11)

2가지 핵심 측면
(A) 규칙성과 조건에 대한 일반성을 체계적으로 기호화하는 것으로서의 대수
(B) 표준의 기호 체제로 표현된 일반화로부터 구문론적으로 이끌어지는 추론과 행동으로서의 대수
핵심 측면 A&B는 다음 세 가지 갈래와 결합
1. 산술(산술의 일반화로서의 대수)과 양적 추론을 포함하여, 계산과 관계로부터 이끌어진 구조와 체제에 관한 연구로서의 대수
2. 함수, 관계, 연결-변수의 연구로서의 대수
3. 수학 안팎의 모델링 언어군의 적용(응용)으로서의 대수.


핵심 측면 A가 주어진 규칙성과 조건에 따라 일반성을 발견하고 표현하는 것이라면, B는 일반화를 통해 구성된 대수적 기호로부터 추론 및 문제 해결을 하는 것으로 볼 수 있다. 또한, 이는 세 가지 갈래(strand)와 연관된다. 이와 같은 틀이 대수적 사고와 그와 관련된 교육방법을 모두를 담을 수 없을지라도, 학습 가능한 대수(Learnable Algebra) 환경을 준비할 때 지침이 될 수 있다.

대수학습 환경은 학습자의 다양한 수준에 적용 가능해야 한다. 따라서, Carraher et al.(2017, p. 236)가 제시하는 조기 대수교육의 특징은 대수학습 환경구성에 시사점을 제공한다.

(1) 문제들의 배경 맥락 위에 형성.

(2) 형식적 기호는 서서히 소개.

(3) 초기 수학의 주제들과 강력히 결합.

첫째로, 대수학습 환경은 학습자에게 절절한 배경을 제시해야 한다. 학습자에게 대수적 사고에 집중할 수 있는 충분히 친숙한 배경이 필요하다. 둘째로, 기호는 충분한 안내를 통해 제시 되어야 한다. 기호는 형식적으로 주어지지 말아야 하며, 적절한 중재를 통해 학습자가 받아들일 수 있는 속도로 제시되어야 한다. 마지막으로 그 활동은 수학의 주제들과 연관되어야 한다. 코딩과 대수의 융합이 학습자에게 부담을 주는 새로운 영역이 아닌, 대수를 포함한 기존의 수학내용과 융합하여 제시되어야 한다.

마지막으로 학습자가 학습 환경에서 어떻게 대수적 사고를 시작할지 고려해야 한다. 가장 이상적인 대수교육은 학습자 스스로 대수적 역량을 발휘하고 발전시키도록 하는 것이다. Mason (2008)은 아이들이 태어남과 동시에 ‘상상과 표현’, ‘집중과 분산’, ‘특수화와 일반화’,‘추측과 확인’,‘분류와 특성화’와 같이 대수를 하기 위한 역량을 가진다고 보았다. 그들이 가진 역량은 일반성을 발견하고 표현하는 것, 그 표현에서 이끌어지는 추론과 행동을 하도록 하는 시작점이 된다. 대수학습 코딩 환경은 아이들의 역량으로부터 시작하며, 그들의 역량을 충분히 활용하여 추상화 및 일반화를 하도록 구성되어야 한다.

4. Logo를 통한 대수적 경험

Papert의 Constructionism을 기반으로 하는 코딩에서 학습자는 대수적으로 사고하고 표현하는 경험을 가질 수 있다. 인공물의 코딩에서 학습자는 일반성을 발견하고 이를 표현하며, 자신의 코드를 수정(Debugging)하고 타인의 코드를 재사용(Remix)하며 일반화된 표현을 통한 추론을 한다. 즉, Papert의 Constructionism에서 코딩은 Kaput(2017)의 대수 핵심 측면인 ‘일반성의 기호화’ 및 이를 통한 ‘추론과 행동’과 관련된다고 할 수 있다.

그러나 모든 코딩이 대수적 활동으로 연결된다고 할 수는 없다. 적절하게 설계되지 못한 대수 교육 환경에서 학습자는 일반성을 인식하지 못할 수 있으며, 인식해도 표현하지 못하거나 심지어 표현하지 않으려 할 수 있다. 따라서, 학습자에게 제공되는 대수학습 환경을 분석하는 틀을 Table 2와 같이 제시하고자 한다. 우선 Carraher et al.(2017)의 관점에 따라 마이크로월드를 포함한 대수학습 환경이 학습자들의 대수적 지식구조 형성에 적절한 배경이 되는지 확인한다. 또한, 이와 같은 배경에서 학습자가 어떠한 역량을 발휘하도록 하는지 Mason(2008)의 관점에 따라 살펴본다.

Table 2 Background and competency framework of algebraic learning environment (Developed from Carraher et al., 2017; Mason, 2008)

배경
B-1) 문제 상황의 배경을 어떻게 제시하는가?
B-2) 기호의 도입과 그 상승을 이끄는 배경의 요소가 무엇인가?
B-3) 표현된 기호를 활용한 추론을 끌어내는 요소는 무엇인가?
역량
C-1) 상상과 표현(Imagining and Expressing) : 특징을 상상하고 표현할 수 있도록 유도하는가?
C-2) 집중과 분산(Focusing and De-Focusing) : 세부적인 것에서 특징으로 관심을 이동시키는가?
C-3) 특수화와 일반화(Specializing and Generalizing) : 일반성을 표현할 수 있으며, 일반화된 표현으로 특수화된 사례를 만들 수 있는가?
C-4) 추측과 확인(Conjecturing and Convincing) : 경험을 통해 추측을 만들고, 확인할 수 있는가?
C-5) 분류와 특성화(Classifying and Characterizing) : 대상을 분류하고, 특성화할 수 있는가?


B-1부터 B-3을 통해 대수학습환경이 어떻게 학습자를 활동에 참여시키며, 기호 및 추론을 이끄는 요소가 무엇인지를 확인할 수 있도록 하며, C-1부터 C-5는 학습자가 어떠한 역량으로 대수적 사고에 접근하고 이를 발전시킬 수 있는지 분석할 수 있도록 한다. 특히, C-1부터 C-5는 서로 단절된 형식의 것이 아니며, 전자의 역량 발휘가 후자의 역량을 이끌어내는 형식이라고 볼 수 있다. 또한, C-5의 역량은 다시 상상과 표현의 수단이 될 수 있다.

Papert의 Logo에서 학습자는 ‘가자, 돌자’라는 2가지 코드로 대리자(Agent)인 거북이를 이동시켜 컴퓨터 화면에 그림을 그린다. 학습자는 이와 같은 코딩으로 기하와 대수의 기반이 되는 수학적으로 사고하는 방법을 익힐 수 있게 된다 (Papert, 1972). 특히, Noss(1986)는 Logo의 인공물 구성 활동이 의미 있는 변수 개념의 기호화 및 대수적 규칙 공식화에 도움이 된다는 것을 밝힘 으로써, 대수교육에 긍정적으로 활용될 수 있음을 보였다. 학습자는 자신의 상상을 수평적 수학 화를 통해 표현하며, 대상의 피드백을 통해 자신의 추측을 확인한다. Logo는 일상 언어와 관련된 간단한 기호(가자, 돌자)를 학습자에게 부여 한다. 또한, 상상과 표현의 대상이 외적으로 주어지지 않으며, 학습자 내면에서부터 시작된다는 특징을 가진다. Table 2는 Logo의 인공물 구성 활동을 대수학습 환경의 배경 및 활용 역량 틀에 따라 분석한 것이다.

마이크로월드는 학습자가 상상하는 인공물을 디자인하는 배경으로 아이들의 참여를 유도한다. 이 배경에서 학습자는 대리자인 거북이를 간단한 코드로 작동시키며, 표현된 코드의 구조를 파악해 더 수준 높은 작품에 접근하도록 한다. 초기의 코드(가자, 돌자)는 학습자가 상상한 대상을 수평적 수학화할 때 사용되며, 더 높은 수준의 작품을 구성하기 위해 학습자는 수직적 수학화된 코드(e.g 변수, 함수)를 사용하게 된다. 즉, Logo는 작품의 수준 상승을 위해 학습자에게 코드의 수학화를 유도하는 배경을 가진다고 할 수 있다.

Logo에서 학습자의 역량은 내적으로 상상하는 대상을 표현하는 것으로부터 발휘된다. 대상을 기호로 표현하는 과정에서 학습자는 반복되는 인공물의 부분과 기호에서 일반성을 인식하게 된다. 일반성을 표현하도록 하는 코드는 그들의 표현으로부터 제시되며, 학습자는 그 일반성을 코딩에 반영하여 특수화한다. 그 일반화는 학습자의 추측으로 구성되며, 마이크로월드의 피드백은 그 추측을 확인하게 해준다. 마지막으로 유사한 특성을 가진 대상들은 학습자에게 특성화되어 더 큰 작품을 만들 때 활용된다.

Logo의 활동은 학습자가 내면에서 주제를 선정하고, 역량에 따라 일반성을 표현할 수 있다는 강점을 가진다. 또한, 더 수준 높은 인공물을 구성하고자 하는 동기는 그들의 수학화 계기가 된다. 다음 장에서는 실제로 이 역량이 활용되는 사례를 제시하며, 코드가 어떻게 수학화 되는지 분석한다.

마이크로월드에서 학습자들은 인공물을 구성하며 수학적 탐구를 한다. Papert의 Constructionism 학습이론을 기반으로 한 인공물 구성과 탐구 과정에서 학습자들은 수학의 지식구조를 형성하게 된다. 학습자가 대수적 지식의 구조를 형성한다는 것은 문제 상황에서부터 일반성을 발견해 대수적으로 표현할 수 있으며, 그 표현을 통해 추론할 수 있다는 의미한다. 본 연구는 II장의 이론적 배경을 토대로 마이크로월드에서 학습자가 어떻게 수학화 활동을 하며, 대수적 사고를 발휘하는지 밝힌다. 3D 거북코드를 활용한 마이크로월드가 어떻게 대수적 배경으로 활용되며, 대수적 역량을 발휘하도록 하는지 분석한 뒤. 대수적 코딩을 하도록 하는 명령문을 살펴본다.

1. 3D 거북 코딩 마이크로월드의 대수적 배경 및 활용 역량

본 장에서는 3D 인공물을 구성하는 코딩을 통한 학습자의 대수적 활동을 분석한다. 3D 인공물은 Cho, Kim, Song, & Lee(2010)이 제시한 3D 거북 코드를 기반으로 구성되며, 이는 2차원의 Logo의 2D 거북 코드를 기반으로 개발되었다. 3D 거북 코드는 Figure 3과 같이 거북의 이동 코드가 탐구 도구로 사용되며, 거북이 만들어 내는 인공물이 피드백된다. 해당 마이크로월드는 (e.g. 자바말(터틀말)1), 터틀크래프트2)) ‘낮은 바닥, 높은 천장, 넓은 벽(Resnick et al., 2009)’의 특징을 가지며, 3차원 인공물을 만드는 활동에는 이러한 특징이 반영되었다(Cho, Lee, Shin, & Woo, 2011).

Figure 3.3D turtle code

마이크로월드에서 아이들은 수학을 소통수단으로 하여 수학 나라를 탐구한다. 3D 거북 코드는 아이들이 대수에 쉽게 진입(낮은 바닥)할 수 있게 한다. 이와 같은 새로운 기호 체제는 Logo의 기호가 2차원 세계를 탐구하는 공리로 작동 하였듯, 3차원의 다양한 대상을 탐구하고(넓은 벽), 높은 수준의 작품까지 구성(높은 천장)할 수 있게 한다.

3D 거북 코드를 활용한 학습자의 구성활동은 Papert(1972)Noss(1986)의 관점에 따라 대수적으로 사고하는 방법과 및 의미 있는 변수 개념, 대수적 규칙 형식화에 긍정적 효과를 가질 것으로 기대된다. 3차원에서 학습자가 인공물을 구성하는 활동은 Logo의 경우와 마찬가지로 대수적 학습의 배경으로 작용한다. 또한, 이와 같은 배경은 학습자의 역량을 발휘하고 발전시킬 수 있도록 한다. 이를 정리하면 Table 3과 같다. 분석결과 배경과 활용되는 역량은 Logo의 그것과 같았다. 이는 마이크로월드의 활동을 대수학습 관점으로 분석할 때 발생하는 공통적인 결과라고 볼 수 있다.

Table 3 Analysis of Logós artifact design

배경
B-1) 학습자가 상상하는 인공물의 구성
B-2) 대리자를 이동시키는 코드 / 수준 높은 작품을 그리고자 하는 동기
B-3) 디버깅(Debugging), 리믹싱(Remixing)을 포함한 작품의 수준 상승에 필요한 코드의 구조
역량
C-1) 구성하고자 하는 인공물 또는 코드를 상상하고, 코딩으로 표현
C-2) 코딩 과정 또는 완료 이후, 기존의 코딩에서 발견한 일반성 표현으로 집중을 이동
C-3) 안내를 통해 발견한 일반성을 표현, 일반성이 반영된 코드로 인공물 코딩
C-4) 자신의 코드를 실행하며, 피드백으로 확인
C-5) 유사한 작품 및 코드를 분류, 더 큰 추상화를 위해 특성화


배경의 측면 B-1에서 3D 거북 코드는 Logo와 마찬가지로 학습자가 인공물을 디자인하는 배경으로 학습자의 참여를 유도한다. 특히 이는 Figure 4와 같이 LEGO, 마인크래프트와 유사한 형태를 가지고 있다. 이는 오늘날 학습자가 가장 친숙해 하는 놀이 형식이라고 할 수 있으며, 대수 학습에서 Carraher et al.(2017)이 강조한 친숙한 배경 맥락으로 작용한다.

Figure 4.Works of cubes

배경 측면 B-2에서 대리자를 이동시키는 간단한 코드는 학습자가 쉽게 코딩을 시작할 수 있게 하며, 수준 높은 작품을 구성하고자 하는 동기는 코드의 수학화를 통한 대수적 사고를 시작 하도록 한다. Papert의 Constructionism 학습이론 에서 교사는 지식을 전달하는 것이 아닌, 조력자이자 촉진자의 임무를 수행해야 한다(Han & Bhattacharya, 2001). 학습자들이 일반성을 발견하고, 더 구조화된 코드를 이용하도록 권장해야 한다. 이와 관련된 지도전략은 IV장에서 자세히 언급하도록 한다.

배경 측면 B-3의 특성은 B-2의 특성과 연관된다. 작품의 수준 상승을 위해 학습자는 그들이 사용하는 기호의 수준을 상승시켜야 한다. 즉, 코드의 구조를 볼 수 있고, 구조화된 코드를 사용해야 한다. Jeong(2015)은 3D 거북 코딩에서 학습자는 발견한 일반성을 발견하여 표현하며, 점진적으로 코드의 수준을 상승시키기 위해 또 다른 일반성에 집중한다고 하였다. 인공물을 구성하는 코딩은 Kaput(2017)이 제시한 대수적 사고의 핵심 측면 2가지가 녹아있는 대수적 모델링이라고 할 수 있다. 학습자는 일반성을 기호로 표현하였고, 그 기호의 실행결과를 반성하는 추론을 한다.

B-1부터 B-3까지 3D 거북 코드를 사용하는 마이크로월드가 학습자에게 대수적 탐구 환경으로 작동할 수 있다는 것을 확인하였다. C-1부터 C-5는 학습자가 발휘하는 역량을 말하며, 이는 연속적으로 학습자의 수학화를 유도하여 대수적 사고경험을 하게 한다. 이를 통해 학습자는 대수의 지식구조를 형성할 수 있을 것이라 기대 된다.

3D 거북 코드는 Logo와 마찬가지로 학습자가 대상을 상상하고 그것을 코드로 표현하는 것에서부터 시작한다. 즉 C-1 역량은 마이크로월드의 활동을 시작하는 것부터 발휘된다. ‘앞(s), 뒤(t), 왼쪽(l), 오른쪽(r), 위(u), 아래(d)’를 뜻하는 6개의 코드를 통해 학습자들은 그 즉시 Figure 5와 같이 상상을 표현할 수 있게 된다.

Figure 5.Initial 3D turtle coding

역량 C-1을 발휘한 코딩은 인공물로 피드백 되며, 이 과정은 초점을 이동하는 역량 C-2로 연결된다. 초기의 충분한 활동은 학습자들을 일반성에 집중하도록 만든다. 즉, 기본 코드는 배경이 되며, 발견되는 패턴이 전경이 되어 집중의 대상이된다.

Figure 6에서 학생 S2의 작품은 학생 S1의 초기작품을 재구성한 것이다. S2는 피라미드와 그 코드에서 정사각형이 반복된다는 일반성을 발견 하며, 이를 ‘10s 10l 10t 10r’과 같이 표현할 수 있다. S2는 초기 코드의 표현에 있던 관심을 일 반성으로 이동하였다. 이는 일반성의 표현으로 나아가는 발판이 된다. 학습자는 스스로 ‘패턴을 표현할 방법은 없는가?’라는 질문을 제시하게 된다. 즉, 초기의 기호는 Figure 7과 같이 “일반성을 추론하고 표현할 수 있으며, 더 나아가 기호화할 수 있는 새로운 플랫폼(Kaput, Blanton, & Moreno, 2017, p. 20)”으로 발전하게 된다.

Figure 6.Shift of focus
Figure 7.Lego-brick metaphor

C-2의 일반성으로 집중은 C-3의 일반화와 연결된다. Figure 8과 같이 학습자가 발견한 일반성의 표현 요구에 따라 자연스럽게 변수가 도입 된다. 또한, 특수화 역시 일반성을 표현한 코드를 실행함으로써 자연스럽게 발생한다.

Figure 8.Specializing and generalizing

역량 C-4인 추측과 확인은 코드를 입력하고 피드백 받는 모든 활동과 관련된다. 그러나 대수 학습의 관점과 연결하면 이는 주로 C-3이후 발생한다고 볼 수 있다. C-3의 일반화는 추측된 것 이며, 피드백은 추측을 확인하게 해준다.

마지막으로 학습자는 유사한 구조를 분류하고 변화시킬 대상을 모색하게 된다. 정사각형을 분류한 경험은 대상을 특성화할 수 있게 한다. 즉, ‘변수 n의 길이를 가지는 4방향의 코드’로 특성 화된다. C-5의 분류와 특성화는 또 다시 C-1의 상상과 표현에서 활용되며, 자세한 내용은 이어서 다루도록 하겠다.

2. 명령문의 수학화와 대수적 코딩

앞서 살펴본 바와 같이, 3D 거북 코드는 학습자가 대수적 역량을 발휘하여 일반성을 표현하 도록 이끈다. 3D 거북 코드는 Freudenthal이 언급한 수학화를 실현하여, 학습자의 대수적 사고와 표현을 지속해서 향상하게 한다. 즉, 코딩교육의 명령문의 수학화가 학습자의 수학화를 이끈다고 할 수 있다. 이는 기존 코딩교육에서 사용되는 스크래치, 엔트리, 파이선 등에서 다루어지는 컴퓨팅 사고를 수학적 표현의 영역에 포함했다는 의미로도 명령문의 수학화라고도 할 수 있다.

대수적 코딩은 인공물 및 코드의 반성을 통해 발견한 일반성을 코드로 표현하는 것을 뜻한다. Figure 9과 같은 초기 코딩은 그 즉시 대수적 코딩이라고 보기 어려우며, 기본 코드의 나열이라는 측면에서 산술적 코딩에 가깝다고 할 수 있다. 명령문의 수학화는 산술적 코딩을 대수적 코딩으로 이끈다. 이번에는 명령문의 수학화가 어떻게 구성되었으며, 어떻게 학습자의 대수적 코딩을 이끄는지 피라미드형식의 인공물을 중심으로 살펴보도록 하겠다.

Figure 9.Arithmetic coding of square

피라미드를 구성하는 학습자는 그 일부인 정사각형을 표현하게 된다. 이때, 수학적 관점으로 패턴 인식, 구조의 인수분해가 발생하며, 컴퓨팅 사고의 관점으로 모듈화(modularization)가 일어난다. 초기의 학습자는 인식한 구조를 산술적 코드로 나열한다. 그러나, 최소한의 코드를 사용하고자 하는 학습자의 동기, 명령문의 수학화는 학습자가 대수적 코딩을 할 수 있도록 한다.

Figure 10의 두 가지 코딩은 구성 방식에서는 동일한 형태를 취한다. 앞, 왼쪽, 뒤, 오른쪽을 변수 n만큼 이동하도록 하는 것이다. 학습자는 발견한 일반성을 표현하기 위해 변수를 활용한다. 이는 단순한 자리지기를 넘어 일반화된 법칙을 구성하는 맥락에서 지도되는 다가이름으로서의 변수라고 할 수 있다.

Figure 10.Algebraic coding of square

또한, ‘대수적 코딩1’는 학습자의 코딩경험을 활용한 것이다. 반복구조와 변수값의 변화는 Figure 11과 같이 초?중등학교 코딩교육에서 도입되고 있다. 학습자는 그 경험으로 ‘대수적 코딩1’을 수행할 수 있으며, 변하는 양에 집중하면 재귀적인 ‘대수적 코딩2’까지 수행할 수 있게 된다.

Figure 11.Repeat to get the sum from 1 to 100 (Lim, Kim, Seo, Kim, & Cho, 2015, p. 96)

명령문의 수학화는 항상 동일한 대수적 코딩을 유도하는 것은 아니다. Figure 12와 같이 증가하는 값이 1로 바뀌면, 이들은 새로운 특성을 가지는 대상이 된다.

Figure 12.Classifying and characterizing in algebraic coding

코딩의 결과는 그 구조에 따라서 분류되며 특성화될 수 있다. Figure 12의 인공물은 내부가 채워진 정사각형이다. 이는 다시 C-1에서 표현과 상상의 대상이 된다는 것을 주목할 필요가 있다. 다음은 이를 통해서 또 다른 대상을 표현하는 사례이다.

학습자들은 피라미드를 산술적으로 표현할 수 있다. 그러나, 특성화를 마친 학습자는 또 다른 방식의 효율적 코딩을 할 수 있다. Figure 13은 피라미드라는 대상을 만들 때, 또 다른 표현을 사용한 것이다. 즉, 특성화된 코드로 또 다른 상상과 표현을 하게 된다. 앞서 사용된 C-1부터 C-5의 자연스러운 역량 표현이 다시 순환적으로 적용된다고 할 수 있다.

Figure 13.Coding from characterized code

일반성은 항상 변수로만 표현되는 것이 아니다. 대수적 역량은 효율적 수학 표현을 학습하는 것에 활용될 수 있다. 앞선 사례들은 대리자의 이동을 통해 직접 큐브를 생성한다는 측면에서 ‘원소나열법’ 코딩이라고 할 수 있다. 그러나, 학습자들이 관심이 치환문자로 넘어가면 학습자들의 초점은 큐브의 집합으로 이동할 수 있다. 즉, C-2의 역량 발휘를 통해 자연스럽게 학습자는 ‘조건제시법’을 이용한 쌓기나무 배열을 할 수 있게 된다.

학습자들은 대수적 역량을 순환적으로 발휘하며, 코드의 특성화로 인한 초점의 이동은 Figure 14와 같이 특정 집합의 조건에 집중하는 ‘조건제시법’ 코딩과 그 일반화를 가능하게 한다.

Figure 14.Set-builder form coding

이전 장에서 명령문의 수학화가 학습자의 대수적 역량을 순환적으로 발휘하도록 하며, 이 과정이 학습자의 대수적 코딩을 이끈다는 것을 보였다. 이번 장에서는 학습자의 대수적 역량을 순환적으로 발휘하도록 하는 교육과정과, 그 발휘를 촉진하기 위한 지도전략을 제시하고자 한다.

1. 코드의 수학화를 통한 교육과정 구성

교육과정은 3D 거북코드를 통한 코드의 수학화가 교대로 작용하는 방식으로 적용되어야 한다. 이는 III장에서 제시한 역량 활용과 밀접하게 관련된다. 그림 Figure 15와 같이 이전 단계에서 사용된 분류와 특성화 역량 C-5는 현실에 응용되어 다시 역량 C-1을 발휘하는 수평적 수학화가 되는 시작점이 된다. 특성화된 코드는 현상을 표현하는 코드로 사용되며, 또 다른 일반성에 집중하고 표현하도록 하는 순환 작용을 한다.

Figure 15.Cyclic action of capacity

C-2부터 C-5까지 대수적 역량을 발휘하는 것은 수직적 수학화로 볼 수 있다. 이들은 연속적으로 기호의 수준을 향상하게 시킨다. C-5의 분류와 특성화는 다음 단계 C-1의 상상과 표현의 기반이 되어 수평적 수학화를 할 수 있게 한다. 예를 들어, Figure 16과 같이 피라미드의 정사각형이 특성화되면 변하는 대상에 집중이 이동하며, 이를 일반화할 수 있게 된다. 즉, 재귀적 관계가 일반화된다.

Figure 16.Generalization in subsequent stage

n단계의 역량 발휘는 n+1단계의 역량 발휘를 이끈다고 볼 수 있다. 이때, n단계의 C-5의 분류는 다양한 형태를 가질 수 있다. 정사각형을 일반화한 경험이 쌓기나무의 집합으로 연결될 수 있으며, 쌓기나무를 집합시킨 경험은 수식으로 표현될 수 있다. 이는 Figure 17과 같이 지속적 기호 수준 상승에 적용될 수 있다.

Figure 17.Cyclic symbolic level escalation

1단계에서 정사각형에 대한 특성화는, 2단계에서 쌓기나무 집합으로 초점이동을 할 수 있게 하고, 이를‘집합{정(0, 0, 10)}’과 같이 표현할 수 있게 한다. 또한, 2단계의 조건을 만족하는 집합에 대한 특성화는, 3단계에서 수식을 통한 그래프 표현으로 초점이동을 할 수 있게 한다.

3D 거북 코드를 이용한 마이크로의 활동은, 아이들에게 탐구의 배경으로 활용되어 그들의 기호 수준 상승을 이끌 수 있다. 교육과정은 이와 같이 코드의 수학화를 통해, 대수적 코드에 접근하는 방식으로 구성되어야 한다.

이때 교사는 학습자에게 그들의 역량에 따른 코드를 안내하는 조력자 역할을 한다. 또한, 교사의 중요한 역할은 학습자가 자신의 역할을 발휘하도록 하는 촉진자 역할일 것이다. 교사는 학습자가 대수적 사고를 하도록 하는 촉진 전략을 갖춰야 한다.

2. 최소코드 지도전략

대수적 역량 발전의 핵심에는 학습자의 역량 발휘가 있었다. 즉, 학습자가 대수적 역량을 발휘하지 않는다면, 성공적인 성취를 끌어내기는 어려울 것이다. 학습자는 자신의 코드를 반성하기 위해 코드를 구조화하고자 하며, 인지적 부담을 줄이기 위해 패턴을 짧게 표현하고자 한다. 즉, 일반성에 주목하며 이를 압축적으로 표현하려는 경향을 보인다. 즉, 학습자는 최소의 코드를 사용하고자 하는 경향을 보이며, 이는 3D 인 공물을 구성하는 모든 활동에서 권장되어야 한다. 학습자들은 최소의 코드로 3D 인공물을 구성하며 가장 효율적인 표현을 모색하며, 코드를 반성하는 수학화를 통해 일반화된 표현을 하게 된다. 이를 통해 앞서 살핀 바와 같이 치환, 변수의 개념을 탐구하게 하고, 더 나아가 함수, 재귀 등등의 개념까지 나아갈 수 있을 것이다. 다음은 교사가 최소코드 지도를 위해 활용할 수 있는 지도전략들이다.

첫 번째 전략은 코드를 구조화하려는 학습자의 경향을 바탕으로 하는 ‘최소코드 게임’이다. 최소코드 게임은 가장 적은 코드를 사용하여 대상을 구성하는 게임이다. 최소코드 게임은 학습자에게 Figure 18과 같이 특정 구조를 제시하고, 최소의 코드로 표현하도록 하는 것이다(Jeong, 2015). 최대한 짧게 코딩하고, 서로의 응답을 공유하며, 아이들 스스로 효율적 코드를 발견하게 한다. 이와 같은 활동은 일반성을 표현하려는 지향점을 학습자들에게 공유하고자 하는 것이다. 학습자들은 공유된 효율적 코드를 통해서 자신의 코드를 반성한다.

Figure 18.Minimum code game

Table 5는 응답 할 수 있는 코드를 제시한 것이다. 과제를 통한 아이들의 패턴 활동은 기호의 수준 상승을 유도하며, 자신의 수준에 맞게 응답 할 수 있도록 한다. 다양한 응답은 아이들이 가지는 다양한 인지 수준을 나타낸다고 볼 수 있다. 기준에 따라 ‘ㄱ 패턴’과, ‘ㄷ 패턴’이 11개의 코드를 입력한 것으로 가장 우수한 패턴이라고 판단된다. 그러나 그 외의 패턴을 단순히 틀린 것으로 판단해서는 안 된다. Papert(1980)는 학생들의 오류(error)를 통한 경험이 “무엇이 발생하고, 무엇이 잘못되었으며, 이해하고 고칠 수 있 는 계기(p. 52).”가 된다고 하였다. 이는 마이크로월드의 코딩을 통한 탐구와 그에 따른 피드백이 가지는 장점을 잘 표현하는 것이다. 또한, 패턴을 적용하지 않고 인공물을 구성한 코드 역시 주목할 필요가 있다. 그들이 기본 코드로 작품을 만들었다면, 자신의 사고를 반성하며 대수적 사고를 시작할 기회를 얻을 것이다.

Table 5 Expected responses of Minimum code game

응답 유형집중한 단위코드
ㅁ 패턴X = ‘s[2u2s2d]s’ do 5X
ㄷ 패턴X = ‘s[2us]s’ do 5X s2u
X = ‘2s[2u2t]’ do s[2u] 5X
ㄱ 패턴X = ‘2t[d]’ do 11s 2u 5X
X = ‘2t[u]’ do 11s 2d 5X


두 번째 전략은 학습자들에게 작품을 공유하고 비평할 기회를 주는 것이다. 학습자가 자신의 코드에만 집중할 경우, 더 좋은 작품을 만들고자 하는 동기가 사라질 수 있다. 좋은 작품은 상대적일 수 있으며, 친구들에게 작품을 공개하는 활동은 학습자의 동기를 자극할 수 있다(Resnick et al., 2009). 또한, 타인의 작품을 비평함으로써 오류를 발견하고 해결하거나, 더 좋은 코드는 자신의 작품에 반영할 수 있게 된다. 즉, 자신의 코드를 최소화하며, 더 큰 규모의 작품을 만들게 할 수 있다.

세 번째 전략은 마이크로월드의 인공물을 실제에 재현해 보는 것이다. Figure 19와 같이 코딩한 인공물을 3D프린터로 출력하는 것을 의미한다. 3D 거북 코드를 기반으로 하는 마이크로 월드는 3D 프린팅 기능이 탑재되어 있다. Cho & Song(2014)은 인공물을 3D 프린팅하는 활동이 학습자들이 적극적으로 참여하도록 하며, 이를 통해 인공물의 구조를 파악하고자 하는 경향을 유도할 수 있다고 보았다. 즉, 이 역시 학습자가 코드를 효율적으로 구성하도록 하는 지도전략으로 활용될 수 있다.

Figure 19.Artifact 3D Printing

본 연구는 3D 거북 코딩을 중심으로, 수학적으로 구성된 코드가 어떻게 학습자의 대수적 사고를 끌어낼 수 있는가를 살펴보았다. 또한, 대수적으로 수학화된 코드를 활용한 교육과정을 어떻게 조직해야 하는지 제시하였고, 마지막으로 학교 교육에 도입할 때, 효과적인 교수전략을 제시하였다.

그 결과는 다음과 같이 정리할 수 있다. 첫째, 수학적으로 구성된 코딩 환경은 학습자에게 대수적 역량을 발휘하는 배경으로 활용된다. 3D 거북 코딩을 통한 인공물 구성 활동은 Carraher et al.(2017)의 관점에 따라 대수교육을 위한 배경으로 활용되며, 그 배경에서 학습자들은 Mason (2008)이 강조한 대수역량을 발휘할 수 있다. 이와 같은 역량 발휘는 대수적으로 수학화된 코드에 따라 순환적으로 적용된다. 이와 같은 역량은 일반성을 발견하고 그 일반성을 표현하는 Freudenthal의 수학화 이론으로 해석될 수 있다. Papert의 Constructionism 학습이론에 따라 학습자는 코딩 환경에서 인공물을 구성하며 수학적 지식의 구조를 형성하게 된다.

둘째, 대수적으로 수학화된 코드를 활용한 교육과정은 학습자의 역량을 발휘하는 방향으로 구성되어야 한다. 제시된 교육과정은 학습자가 지속해서 인공물의 수준을 높일 수 있게 구성되었다. Mason(2008)이 제시한 대수역량에 따른 교육과정은 학습자가 연속적으로 자신의 역량을 발휘하게 하며, Kaput(2017)이 대수의 핵심 역량으로 제시한 일반성 발견과 표현을 하도록 하였다. 이와 같은 일반성 발견과 표현의 경험은 대수적 사고라는 본질로 마이크로월드의 현상을 조직하는 것이라고 할 수 있다.

마지막으로, 위와 같은 교육과정을 구성할 때, 교사는 최소코드 사용을 촉진하는 지도전략을 사용할 수 있다. 최소코드 게임을 통해서 교사는 학습자에게 일반성을 발견하고 표현하려는 지향점을 주고, 자신의 코드를 반성할 수 있게 한다. 또한, 공유와 비평 그리고 3D프린터 출력 등을 적용하여, 학습자가 더 큰 작품을 효율적으로 만들도록 유도할 수 있다.

오늘날 많은 학문의 기초가 되는 대수를 모두에게 교육할 필요성이 대두되고 있다(Kaput, 2017). 코딩을 통한 대수학습은 그 요구에 응답하는 하나의 시도라고 할 수 있다. 이 과정이 그 즉시 지필 평가 문제를 해결하는데 적용되는 것은 아니나, 일반성의 발견과 표현의 경험은 향후 또 다른 대수 문제를 해결하는데 활용할 역량을 키워 줄 것으로 기대된다. Mason(2008)은 “대수적 사고를 아이들의 역량에 따른 자연스러운 결과가 되도록 다루면, 일부 지적인 시험의 문지기와 청소년 시기의 지적 장애물로부터 대수가 벗어날 수 있을 것이다.(p. 85)”라고 주장하였다. 학습자는 마이크로월드의 코딩을 포함해 대수적 역량을 발휘할 다양한 기회를 가져야 할 것이다.

선행연구를 통해 코딩교육과 대수교육을 융합 하는 한가지 방향을 제시한 본 연구는, 학습자의 역량 발휘가 역량 발전으로 연결됨을 증명하지 못한다는 한계점을 가진다. 때문에, 향후 양적 분석이 추가로 더 필요할 것이다. 또한, 코딩과 수학의 융합에 관한 추가적인 연구를 통해 수학과 이를 근간으로 하는 미래 역량을 갖춘 인재를 육성해야 할 것이다.

1) www.javamath.com: 조한혁(1991)의 2차원 Logo를 기반으로 한 교육용 프로그래밍 언어인 말 언어와 3D 거북코드를 융합한 마이크로월드.

2) www.codingmath.org: 조한혁, 최인용, 정진환이 자바말을 기반으로 개발한 마이크로월드

  1. Ackermann, E. K. (2004). Constructing knowledge and transforming the world. A learning zone of one's own: Sharing representations and flow in collaborative learning environments. 1, 15-37.
  2. Barr, V. & Stephenson, C. (2011). Bringing computational thinking to K-12: what is Involved and what is the role of the computer science education community? Acm Inroads. 2(1), 48-54.
    CrossRef
  3. Brennan, K. & Resnick, M. (2012). New frameworks for studying and assessing the development of computational thinking. In Proceedings of the 2012 annual meeting of the American Educational Research Association, Vancouver, Canada. Vol. 1, 25.
  4. Bryk, A. S. & Treisman, U. (2010). Make math a gateway, not a gatekeeper. Chronicle of Higher Education. 56(32), B19-B20.
  5. Bundy, A. (2007). Computational thinking is pervasive. Journal of Scientific and Practical Computing. 1(2), 67-69.
  6. Burger, W. F. & Culpepper, B. (1993). Restructuring geometry. Research ideas for the classroom: High school mathematics, 140-154.
  7. Carraher, D. W., Schliemann, A. D. & Schwartz, J. L. (2017). Early algebra is not the same as algebra early. In Algebra in the early grades. Routledge.
    CrossRef
  8. Cho, H., Kim, H., Song, M. & Lee, J. (2010). Representation systems of building blocks in Logo-based microworld. Constuctionism 2010.
  9. Cho, H. H., Lee, J. Y., Shin, D. J. & Woo, A. S. (2011). MCY-Mentoring Activities by Creating and Communicating Mathematical Objects. Research in Mathematical Education. 15(2), 141-158.
  10. Cho, H. & Song, M. (2014). On the SMART Storytelling Mathematics Education Based on Executable Expression. The Journal of Educational Research in Mathematics. 24(2), 269-283. 조한혁, 송민호. (2014). 실행식 (Executable expression) 기반 SMART 스토리텔링 수학교 육. 수학교육학연구, 24(2), 269-283.
  11. Choike, J. R. (2000). Teaching strategies for algebra for all. Mathematics Teacher. 93(7), 556-560.
    CrossRef
  12. Dougherty, B. (2017). Measure up: A quantitative view of early algebra. In Algebra in the early grades. Routledge.
    CrossRef
  13. Freudenthal, H. (2006). Revisiting mathematics education: China lectures. Springer Science & Business Media.
    CrossRef
  14. Grover, S. & Pea, R. (2013). Computational Thinking in K-12 A Review of the State of the Field. Educational Researcher. 42(1), 38-43.
    CrossRef
  15. Han, C. & Kwon, O. (2018). Domestic Research Trends and Tasks on Early Algebra Education: Focused on the Elementary School Mathematics. Journal of Elementary Mathematics Education in Korea. 22(2), 115-142. 한채린, 권오남. (2018). 국내 초기 대수 교육 연구의 동향과 과제: 초등 수학을 중심으로. 한국초등수학교육학회지, 22(2), 115-142.
  16. Han, S. & Bhattacharya, K. (2001). Constructionism, learning by design, and project based learning. Emerging perspectives on learning, teaching, and technology. Retrieved April, 29, 2007.
  17. Hoyles, C., Noss, R. & Adamson, R. (2002). Rethinking the microworld idea. Journal of educational computing research. 27(1), 29-53.
    CrossRef
  18. Jeong, J. (2015). Mathematics education of pattern generalization by computational thinking game. Master's Thesis, Seoul National University. 정진환. (2015). Computational Thinking Game을 통한 패턴일반화 수학교육. 서울대학교 대학원 석사학위논문.
    CrossRef
  19. Kaput, J. J. (2017). What Is Algebra? What Is Algebraic Reasoning? In Algebra in the early grades. Routledge.
    CrossRef
  20. Kaput, J. J., Blanton, M. L. & Moreno, L. (2017). Algebra From a Symbolization Point of View. In Algebra in the early grades. Routledge.
    CrossRef
  21. Kim, S. (2003). A study on elementary school algebra -focusing on 'early algebra'-. The. Journal of Educational Research in Mathematics. 13(3), 309-327. 김성준(2003). '초기대수'를 중심으로 한 초등대수 고찰. 수학교육학연구, 13(3), 309-327.
  22. Kim, H. (2006). A Study on Learning and Teaching Environments for Computers and Mathematics Education. The Journal of Educational Research in Mathematics. 16(4), 367-386. 김화경. (2006). '컴퓨터와 수학교육'학습-지 도 환경에 관한 연구. 수학교육학연구, 16(4), 367-386.
  23. Ko, H., Lee, H., Lee, H. & Lee, E. (2015). A Study on the Survey and Improvement of Mathematics Learning. Research Report on the Korea Foundation for the Advancement of Science and Creativity. 고호경, 이현숙, 이환철, 이은정(2015). 수학 학습 실태 조사 및 개선 방안 연구. 한국과 학창의재단 연구보고서.
  24. Mason, J. (2008).
    KoreaMed CrossRef
  25. Noss, R. (1986). Constructing a conceptual framework for elementary algebra through Logo programming. Educational Studies in Mathematics. 17(4), 335-357.
    CrossRef
  26. Papert, S. (1972). Teaching children to be mathematicians versus teaching about mathematics. International journal of mathematical education in science and technology. 3(3), 249-262.
    CrossRef
  27. Papert, S. (1980). Mindstorms: Children, computers, and powerful ideas. Basic Books, Inc.
    CrossRef
  28. Papert, S. & Harel, I. (1991). Situating constructionism. Constructionism. 36(2), 1-11.
    CrossRef
  29. Papert, S. (1996). An exploration in the space of mathematics educatioWns. IJ Computers for Math. Learning. 1, 95-123.
    CrossRef
  30. Resnick, M., Maloney, J., Monroy-Hern?ndez, A., Rusk, N., Eastmond, E., Brennan, K., Millner, A., Rosenbaum, E., Silver, J., Silverman, B. & Kafai, Y. (2009). Scratch: programming for all. Communications of the ACM. 52(11), 60-67.
    CrossRef
  31. Van den Heuvel-Panhuizen, M. (2001). Realistic mathematics education in the Netherlands. Principles and practices in arithmetic teaching: Innovative approaches for the primary classroom, 49-63.
  32. Lim, H., Kim, H., Seo, S., Kim, J. & Cho, J. (2015). Middle school information. Seoul: Visang Education. 임희석, 김형기, 서성원, 김장환, 조재춘 (2015). 중학교 정보. 서울: 비상교육.
  33. Weintrop, D., Beheshti, E., Horn, M., Orton, K., Jona, K., Trouille, L. & Wilensky, U. (2016). Defining computational thinking for mathematics and science classrooms. Journal of Science Education and Technology. 25(1), 127-147.
    CrossRef
  34. Wilensky, U. & Papert, S. (2010). Restructurations: Reformulations of knowledge disciplines through new representational forms. Constructionism.
  35. Wing, J. M. (2006). Computational thinking. Communications of the ACM. 49(3), 33-35.
    CrossRef
  36. Wing, J. M. (2008). Computational thinking and thinking about computing. Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 366(1881), 3717-3725.
    Pubmed KoreaMed CrossRef
  37. Wing, J. (2011). Research notebook: Computational thinking-What and why. The Link Magazine.
    CrossRef
  38. Woo, J. & Kim, S. (2007). Analysis of the Algebraic Thinking Factors and Search for the Direction of Its Learning and Teaching. The Journal of Educational Research in Mathematics. 17(4), 453-475. 우정호, 김성준. (2007). 대수의 사고 요소 분석 및 학습-지도 방안의 탐색. 수학교육학연구, 17(4), 453-475.

Article

전자저널 논문

2020; 30(1): 131-151

Published online February 28, 2020 https://doi.org/10.29275/jerm.2020.02.30.1.131

Copyright © Korea Society of Education Studies in Mathematics.

Mathematising of Coding Education Command: Focusing on Algebra Education

Jinhwan Jeong1, hanhyuk Cho2

* Teacher, Bangwon Middle School, South Korea, hyperdak@snu.ac.kr
** Professor, Seoul National University, South Korea, hancho@snu.ac.kr

Correspondence to:corresponding author

Received: January 10, 2020; Revised: February 5, 2020; Accepted: February 1, 2020

Abstract

Mathematics is at the root of coding and AI convergence education, emphasized in recent school education. This paper proposes an education content and education method that can combine elementary and secondary coding education that is being introduced recently with school mathematics in a developmental way. Specifically, in this paper, through the mathematising of the code in coding education, the contents of education to develop from arithmetical coding to algebraic coding are designed, as well as the minimum coding mapping strategy that induces development into algebraic coding. Additionally, this study addresses and analyzes the process in which learners develop their algebraic abilities with educational content and guidance strategies that converge coding education in elementary and secondary schools into math education, especially algebra education. This convergence education is achieved through a Papert’s constructionism learning theory-based artifact design, and the minimum code strategy is designed to enable learners to form a knowledge structure of algebra and gain experience in exercising computational thinking.

Keywords: algebraic thinking, Papert’s constructionism, mathematising of code in coding education, algebraic coding, minimum-code strategy

I. 서론

인간이 사용하는 언어를 컴퓨터가 인식할 수 있도록 변환하는 것을 의미하는 코딩(Coding)은, 4차 산업혁명 시대의 핵심 역량으로 주목받고 있다. 우리나라는 2015년 개정 교육과정에 따라 초?중등학교 소프트웨어 의무교육을 시행하고 있으며, 2022년 차기 교육과정 개편에서 AI 교육을 도입하고자 하고 있다. 그러나 코딩과 AI의 이론적 근원에 수학이 있다는 것을 고려하면, 수학학습에 어려움을 느끼는 학습자에 주목해야만 한다. 2015년 ‘수학학습 실태 조사 및 개선 방안연구’에 따르면, 고등학생의 23.5%, 중학생 18.1%, 초등학생의 8.1%가 수학학습을 포기하고 있다고 보고되고 있다(Ko, Lee, Lee, & Lee, 2015). 새로운 학문과 기술을 위해 기반이 되어야 할 수학이 오히려 미래 성장의 걸림돌이 될 수도 있는 것이다.

수학과 코딩은 함께 교육될 때 긍정적 효과를 가질 수 있다. 다음 세 가지는 이들의 융합을 통해 기대되는 대표적 효과이다. 첫째, 코딩이 수학학습에 곤란을 겪는 학생들에게 새로운 학습 도구로 활용될 수 있다. 게임과 같이 친숙한 형식으로 제시되는 코딩 환경은, 학습자에게 수학적 사고의 경험을 줄 수 있다. 일찍이 코딩의 교육적 가치를 발견한 Papert(1980)는 Constructionism 학습이론으로, 코딩이 수학적 지식구조 형성을 이끈다는 것을 보였다. 본 연구는 Papert의 Constructionism에 기반한 코딩 환경에서 학습자의 수학적 활동을 분석한다. 코딩 환경에서 학습자는 수학화된 명령어를 활용하며, 수학적 지식의 구조를 형성해 나간다. 둘째, 학교현장이 가지는 자원의 제약을 어느 정도 해소할 수 있다. 학교 교육에 코딩교육을 포함할 때, 교육내용, 교사, 교과 시간 등 자원 부족은 계속해서 문제로 제기되었다(Weintrop, Beheshti, Horn, Orton, Jona, Trouille et al., 2016). 기존 교과와 코딩의 융합은 새로운 내용의 교육이 아닌, 새로운 방법의 교육이다. 따라서 학습 부담을 가중하지 않으며, 코딩교육내용을 풍부하게 할 수 있다. 또한, 내용 전문가인 타 교과의 교사를 활용하고, 실질적 코딩 시간을 확보한다는 효과를 가져온다(e.g. 자유학년제 주제선택활동, 수행평가). 셋째, 핵심 역량으로서의 코딩을 교육할 수 있다. 코딩과 AI 교육의 목적은 기본지식 및 기술을 습득하고, 이를 문제해결과정에서 활용하는 컴퓨팅 사고 (Computational Thinking) 역량 교육에 있다. 컴퓨팅 사고는 3R(읽기, 쓰기, 연산)과 더불어 미래를 위한 기초역량으로 주목받고 있으나(Grover & Pea, 2013; Wing, 2006), 학습자가 문제해결과정 에서 그 역량을 발휘할 기회는 많지 않아 보인다. 코딩과 수학의 융합은 단순히 기술을 익히는 것을 넘어, 이를 통해 문제를 해결하는 경험을 주게 된다. 수학은 코딩의 문제 배경으로 활용되며, 코딩은 수학의 사고 및 표현 도구로 사용될 수 있을 것이다(Weintrop et al., 2016).

컴퓨팅 사고를 교육에 적용하고자 하는 연구는 2006년 Wing의 논문 이후에 꾸준히 이루어져 왔으며(Barr & Stephenson, 2011; Brennan & Resnick, 2012; Grover & Pea, 2013; Jeong, 2015; Resnick, Maloney, Monroy-Hernández, Rusk, Eastmond, Brennan, et. al, 2009; Weintrop et al., 2016). 특히, 컴퓨팅 사고를 중심으로 코딩과 수학을 융합한 연구들(Barr & Stephenson, 2011; Weintrop et al., 2016)도 등장하고 있다. 그러나 최근에 코딩이 학습자의 수학적 지식의 구조를 어떻게 형성하는지 학습이론을 중심으로 분석한 연구는 많지 않다. 본 연구는 학습이론인 Papert(1980)의 Constructionism을 중심으로, 학습자의 코딩 활동이 어떻게 그들의 수학적 사고를 형성하는지 밝히고자 한다.

본 연구는 다양한 수학 영역 중, 대수적 사고를 중심으로 논의를 진행한다. 대수는 학습자들이 일반화된 문자와 기호를 통해 수학적 대상을 생성하고 조작할 수 있게 함으로써, 그들을 수학적으로 사고할 수 있도록 이끌어 주어야 한다. 그러나 많은 연구자는 대수가 수학적 세계를 열어주는 문이 되어주기보다는, 우수한 학생들만 통과할 수 있는 문지기 역할을 하고 있다고 지적한다(Bryk & Treisman, 2010; Choike, 2000; Kaput, 2017; Mason, 2008). Papert의 Constructionism에서 학습자는 간단한 코드를 사용해 인공물 (Artifact)을 구성하며, 그 과정에서 일반성을 발견하고 표현한다. 상상과 표현은 대수적 사고의 시작이라고 할 수 있으며(Mason, 2008), 일반성을 표현하는 것은 대수적 사고의 핵심이라고 할 수 있다(Kaput, 2017). 따라서 적절하게 수학화된 명령문으로 구성된 코딩 환경이 학습자의 대수적 사고와 표현을 이끌어 낼 수 있을 것이라 기대하였다.

본 연구는 Papert의 Constructionism과 Freudenthal의 수학화 이론을 배경으로 구성된 코딩 환경이 대수학습에 어떻게 적용되며, 어떠한 효과를 가져올 수 있는지 분석한다. 대수교육의 효과는 구성된 코딩 환경에서 학습자가 어떻게 대수를 시작 하고(Mason, 2008), 이를 통한 경험이 어떻게 대수적 사고와 연결되며(Kaput, 2017), 그 역량 발휘를 이끄는 배경이 무엇인지(Carraher, Schliemann, & Schwart, 2017) 살피는 것으로 분석된다. 또한, 학습자의 대수적 사고를 끌어내는 코딩 교육과정 및 교사의 역할을 제시한다. 즉, 본 연구에서 밝히고자 하는 연구문제는 다음과 같다.

1) 수학적으로 구성된 코딩 환경이 어떻게 학습자의 대수적 사고를 끌어내는가?

2) 대수적으로 수학화된 코드를 활용한 교육과정을 어떻게 조직해야 하는가?

3) 대수적으로 수학화된 코드를 활용한 교육과정을 도입할 때, 효과적인 지도전략은 무엇인가?

II. 이론적 배경

코딩을 통해 학습자가 대수적 사고구조를 형성하는 과정을 살펴보기 위해, Papert의 Constructionism에 대해서 살펴본다. 또한, 그 과정이 가지는 대수교육적 의의를 알아보기 위해 Freudenthal의 수학화 이론과 대수교육 관련 연구를 살펴본다. 그리고 이를 통해 마이크로월드가 대수교육에 어떻게 적용될 수 있는지 살펴보고자 한다.

1. Papert의 Constructionism

문제 해결에서 컴퓨터과학의 접근법을 활용하는 컴퓨팅 사고는 21세기의 핵심 역량으로 주목 받고 있다(Bundy, 2007; Grover & Pea, 2013; Wing, 2006). 컴퓨팅 사고를 발휘하여 효율적인 코드를 구성한다는 것은, 추상적 사고를 통해 일반성을 발견하고 이를 표현하는 것을 뜻한다. 즉, 컴퓨팅 사고의 핵심에는 추상화가 있다고 할 수 있다(Grover & Pea, 2013; Wing, 2008). 대수를 포함해서 수학 대부분 영역이 추상화 역량 발휘와 관련된다는 것을 고려할 때, 코딩과 수학에는 접점이 있다고 볼 수 있다. 추상화 역량을 발휘하도록 구성된 코딩 환경은 수학적 표현을 끌어내도록 활용될 수 있다. 또한, 수학적 표현은 학습자가 추상화 역량을 발휘해 도달할 목표 지점이 될 수 있다.

수학과 코딩을 융합하는 이론적 근원은 Papert (1980)의 Constructionism에서 찾을 수 있다. Papert의 Constructionism은 학습자가 상상하는 인공물을 구성하고 공유할 때, 지식의 구조가 활발하게 형성된다고 보는 학습이론이다(Papert & Harel, 1991). 인공물은 코드를 통해 구성되며, 학습자는 구성 과정에서 규칙을 발견하고 표현한다. Ackermann는 Papert의 Constructionism이 Piaget의 구성주의(Constructivism), Vygotsky의 사회적구성주의(socio-constructivist)와 다음과 같은 공통점을 가진다고 보았다.

그들은 모두 발달론적 관점을 가지고 있으며, 사람들이 그들이 가진 세계를 재구성함으로써 지식구조를 만들어간다는데 공통적인 관점을 가진다(Ackermann, 2004, p. 15).

이들 이론은 모두 발달 학습이론이며, 지식은 단순히 주어지는 것이 아닌 구성하는 것이라는 관점을 공유한다. 그러나 Piaget의 조작적 구성주의는 경험, Papert의 Constructionism은 도구, 사회적 구성주의는 사회를 강조한다는 차이점을 가진다 (Ackermann, 2004). 구성주의가 학습자의 경험을 통해 인지구조를 형성하는 것에 관심을 둔다면, Papert의 Constructionism은 그 경험을 줄 수 있는 도구를 제공하는 것에 더 큰 관심을 둔다. Piaget의 조작적 구성주의가 상대적으로 인지 이론에 가깝다면, Papert의 Constructionism은 실제적이고 교육적인 방법이라고 할 수 있다(Kim, 2006).

Papert는 구성주의에서 강조하는 행동의 내면화와 함께, 아이디어의 외면화 역시 강조하였다 (Ackermann, 2004). Papert의 Constructionism의 학습 도구인 코드는 학습자가 자신의 아이디어에 형식을 부여하여 표현하는 도구이다. 학습자가 자신의 아이디어를 표현하기 위한 형식을 부여함으로써, 아이디어는 조작 및 소통 가능한 것이 되며, 조작 및 소통을 통해 학습자는 자신의 사고를 반성할 수 있게 된다. 학습자는 자신의 아 이디어에 형식을 부여하여 표현하는 능동적인 외면화를 통해, 환경과 상호작용하며 지식을 구성한다. Papert(1972)는 학습자가 자신에게 의미있는 인공물을 구성할 수 있는 코딩 환경으로 Logo를 개발하였다. Logo에서 학습자는 흰 눈이 쌓인 벌판 위를 거북이가 가자, 돌자 명령에 따라 이동하도록 하면서 발자국으로 그림을 그리도록 한다(Cho & Song, 2014).

Papert(1996)는 코딩을 통한 표상이 학습자에게 핵심적 아이디어 표현을 유도한다고 보고, 그 행동 유도성을 지칭하기 위해 컴퓨팅 사고라는 단어를 최초로 사용하였다. 학습자는 코딩 과정에서 컴퓨팅 사고를 활용하여, 이를 통해 유도되는 수학적 사고를 표현한다. 예를 들어 Figure 1과 같이 ‘가자30; 돌자90’를 4회 입력한 코드는 아이들에게 일반성을 발견하고 표현하는 행동 유도성을 가져온다. 즉, 일반성의 인식이 표현을 유도하며, 적절한 안내는 그들에게 일반화 표현을 외면화하도록 한다.

Figure 1. Generality recognition and expression in Logo

이와 같은 행동 유도성은 치환, 변수, 함수 등등 대수 관련 활동과 연결될 수 있으며, 자세한 학습자의 행동은 III 장에서 다루도록 하겠다.

Papert(1980)는 불어를 배우는 좋은 방법이 프랑스에서 생활하는 것처럼, 수학을 학습하는 가장 좋은 방법 역시 수학 나라(Mathland)에서 생활하는 것으로 보았다. Logo의‘가자, 돌자’는 아이들이 컴퓨터와 소통하는 언어이다. 그들은 이 두 가지 코드로 수학 나라의 탐구를 시작한다. 아이들에게 수학은 학습되는 것이 아닌 사용하는 것이며, 이를 통해 수학적으로 사고하는 방법을 익히게 된다(Papert, 1972). Papert(1980)는 이처럼 코드를 언어로써 사용하며 지식의 구조를 형성하는 학습 환경을 마이크로월드(Microworld)라 지칭하며, ‘지식의 인큐베이터(Incubators for Knowledge)’라고 묘사한다. 수학적 지식은 코드를 활용한 탐구로부터 습득되며, 화면으로부터 돌려받는 피드백은 학습자의 사고를 반성하게 한다. 즉, 마이크로월드는 ‘탐구하고, 컴퓨터로부터 그들의 탐구 결과에 관한 피드백을 받으며 학습할 수 있는 환경’이다(Hoyles, Noss, & Adamson, 2002).

‘로마숫자에서 인도-아라비아 숫자로의 변화’가 수를 다루는 방법을 바꾸었듯, 마이크로월드의 코딩이 학생들의 사고의 방법을 바꿀 수 있다(Wilensky & Papert, 2010). 적절하게 구성된 기호체계는 학생들이 대수적 사고를 하고 표현하도록 하는 행동 유도성을 가질 것이다. Cho & Song은 이와 같은 행동 유도성을 가진 기호체계를 실행식(Executable expression)이라 지칭하며, 다음과 같이 설명한다.

초기 단계의 학습자라도 자신에게 의미 있는 형태로 기호를 받아들이고 표현할 수 있는 기호체계(Cho & Song, 2014, p. 270)

실행식은 학습자가 학습자 스스로 의미있는 형태로 기호를 받아들인다는 특징을 가진다. 이는 학습자의 아이디어를 표현하기 위해 존재한다. 이는 단순히 컴퓨터에서 작동하는 것을 넘어서, 학습자 내면의 ‘함께 사고할 수 있는 도구 (object-to-think-with)’로 활용될 수 있는 기호를 의미한다. 행동 유도성을 가지는 실행식 기반 코딩이 학습자에게 부여하는 대수적 의미 역시 III 장에서 코드의 수학화와 함께 소개하도록 하겠다. 수학적 사고는 마이크로월드에서 아이들이 표현하는 대상을 구성하도록 핵심 아이디어를 제공하며, 마이크로월드는 그 핵심 아이디어를 떠올리게 하는 탐구의 맥락을 제공한다.

2. Freudenthal의 수학화

Freudenthal의 현실주의적 수학교육(Realistic Mathematics Education) 이론은 문맥이 제거된 기존의 수학 접근을 실제적 접근으로 바꾸려는 시도로, 활동으로서의 수학을 강조한다(Kim, 2006). 그는 수학적 개념이 본질로써 현상인 세계를 조직하는 수단으로 발견된다고 보았으며, 이를 교수학적 현상학이라 표현하였다. 마이크로월드에서 학습자는 가상의 세계에서 현상을 발견하고, 수학적 개념과 구조라는 본질로써 그 세계를 조직해 나간다.

교수학적 현상학을 바탕으로 Freudenthal은 수학화 이론을 주장하였다. Freudenthal(2006)은 수학 활동을 주변의 세계를 기호의 세계로 이동시키는 수평적 수학화(Horizontal mathematisation)와 기호가 생성되고, 재생산되고, 조작되는 과정인 수직적 수학화(Vertical mathematisation)로 구분하였다. 마이크로월드에서 상상하는 대상을 기호로 표현하는 수평적 수학화 활동은, 일반성을 표현하고 이를 조작하는 수직적 수학화와 연결된다.

마이크로월드에서 학습자의 수학화는 Figure 2와 같이 정리할 수 있다. 이는 우선적으로 학습자의 현실세계를 마이크로월드로 부여한다는 특징을 가진다.

Figure 2. Mathematising in Microworld(Burger & Culpepper,1993; modified)

학습자는 현실(마이크로월드)의 문제를 수학처리가 가능하도록 변환(코딩)하는 수평적 수학화를 하며, 개념을 추출하고 반성(일반성을 발견)하며 수직적 수학화를 한다. 또한, 이를 추상화?형식화(일반화)한 것을 응용(코딩)하여 현실에 응용(실행)하고 그 피드백을 현실 세계(마이크로월드)에 적용한다.

현실주의적 수학교육에서 현실이라는 것은 때로 실생활 응용문제로 오인되고는 한다. 그러나 현실주의적이라는 표현은 학습자가 상상하여 마음속에 실제로 만드는 것을 강조하기 위해 사용되었다고 보아야 한다(Van den Heuvel-Panhuizen, 2001). 마이크로월드는 학습자의 상상을 외면화 하도록 유도함으로써, 그들의 상상을 실제적으로 표현할 수 있도록 한다. 마이크로월드에서 코드와 그 피드백이라는 현상은 대수적 사고라는 본질로서 조직될 수 있어야 할 것이다.

3. 대수적 경험

과거 학교 대수와 관련된 연구들이 아이들에게서 발견되는 오류와 그 처방에 집중되어 있었다면, 최근 연구들은‘산술-이후-대수’ 교육과정에 대한 문제점과 그 극복에 더욱 주목하고 있다 (Kaput, 2017). 최근 연구들은 과거에 주로 사용 되던 산술 경험에 기반한 형식적 대수 도입이 아이들에게 대수적 사고를 하도록 하는 충분한 발판이 되지 못한다는 것을 근본 문제점으로 보고 있다. 초등학교에서 산술 교육을 마치고 나서, 중학교에서 대수를 학습하는 단절된 형식의 교육은 아이들의 대수 이행의 걸림돌이 된다 (Kaput, 2017, Kim, 2003.). 단절된 교육에서 아이들은 문자의 필요성과 그 의미를 충분히 인식할 경험을 얻지 못한다고 할 수 있다(Mason, 1996; Woo & Kim, 2007).

기호 사용의 여부가 대수와 산술을 구분하는 가장 큰 특징 중 하나이지만, 기호를 사용하도록하는 것이 대수교육 목적의 전부는 아니다. 기호는 그 사용과 관련된 사고과정과 함께 지도되어야 하며, 형식적이고 반복적 계산에 의한 방식의 도입은 지양되어야 할 것이다. Woo & Kim(2007)는 선행연구를 통해(e.g. Lins, 1992; Radford, 1996; Bell, 1996) 대체로 대수가 문자 기호의 측면에서 정의되고 있다고 하며, 사고의 측면을 상대적으로 소홀히 다루었음을 지적하였다.

산술과 대수는 분리되어 교육되어서는 안 되며, 산술과 함께 대수적 사고가 조기에 도입해야 한다는 주장이 힘을 얻고 있다. 산술을 학습할 때 학습자가 발견하는 일반성은 표현되도록 권장되어야 하며, 이는 학습자에게 대수적 사고를 발휘하는 경험이 될 수 있다. 이처럼 조기에 대수적 경험을 주고자 하는 주장은 최근 조기 대수(early algebra) 연구들에서 찾을 수 있다. Kim(2003)은 조기 대수를 “중등대수와 관련된 요소를 그 수준에 맞추어 추론 측면에서 강조하는 것(p. 310)”이라 하였으며, KHan & Kwon(2018)은 조기 대수를 “어린 학생들의 일상적인 경험에서부터 나온 다양한 사례를 통해 그들의 발달 수준에 적합한 형태의 대수 추론 경험의 기회를 제공(p. 116)”하는 것으로 보았다. 즉, 조기 대수는 학습자의 발달 수준에 적합한 형태의 경험을 바탕으로, 대수와 관련된 요소를 추론 측면에서 교육하는 것이라고 할 수 있다. 따라서, 학습자에게는 대수와 관련된 추론을 할 기회와 경험이 제공돼야 한다. 즉, 대수적으로 적절한 경험을 줄 수 있는 환경이 필수적이라 할 수 있다.

대수교육 환경을 구성하기 위해서는 교육하고자 하는 대수적 사고를 명확히 하는 것이 선행되어야 한다. 본 연구는 대수와 관련된 사고가 필연적으로 기호를 통한 상징화와 관련된다고 보았으며, 그 상징화는 특정 상황의 일반성을 표현하는 것과 표현된 일반화로부터 이끌어지는 추론과 관련된다고 보았다. 이는 Kaput(2017)의 “대수적 추론의 핵심이 의도적인 일반화와 일반화를 통한 추론을 제공하는 복합적 상징화 과정으로 구성되었다(p. 9).”는 관점과 일치한다고 할 수 있다. 특히, Kaput(2017)은 초등교육을 중심으로 한 학교 수학 관점에서 Table 1과 같이 대수의 2가지 핵심 측면과 그들이 결합한 3가지 갈래를 제시하였다.

Table 1 . Core aspects and strands(Kaput, 2017, p. 11).

2가지 핵심 측면
(A) 규칙성과 조건에 대한 일반성을 체계적으로 기호화하는 것으로서의 대수
(B) 표준의 기호 체제로 표현된 일반화로부터 구문론적으로 이끌어지는 추론과 행동으로서의 대수
핵심 측면 A&B는 다음 세 가지 갈래와 결합
1. 산술(산술의 일반화로서의 대수)과 양적 추론을 포함하여, 계산과 관계로부터 이끌어진 구조와 체제에 관한 연구로서의 대수
2. 함수, 관계, 연결-변수의 연구로서의 대수
3. 수학 안팎의 모델링 언어군의 적용(응용)으로서의 대수.


핵심 측면 A가 주어진 규칙성과 조건에 따라 일반성을 발견하고 표현하는 것이라면, B는 일반화를 통해 구성된 대수적 기호로부터 추론 및 문제 해결을 하는 것으로 볼 수 있다. 또한, 이는 세 가지 갈래(strand)와 연관된다. 이와 같은 틀이 대수적 사고와 그와 관련된 교육방법을 모두를 담을 수 없을지라도, 학습 가능한 대수(Learnable Algebra) 환경을 준비할 때 지침이 될 수 있다.

대수학습 환경은 학습자의 다양한 수준에 적용 가능해야 한다. 따라서, Carraher et al.(2017, p. 236)가 제시하는 조기 대수교육의 특징은 대수학습 환경구성에 시사점을 제공한다.

(1) 문제들의 배경 맥락 위에 형성.

(2) 형식적 기호는 서서히 소개.

(3) 초기 수학의 주제들과 강력히 결합.

첫째로, 대수학습 환경은 학습자에게 절절한 배경을 제시해야 한다. 학습자에게 대수적 사고에 집중할 수 있는 충분히 친숙한 배경이 필요하다. 둘째로, 기호는 충분한 안내를 통해 제시 되어야 한다. 기호는 형식적으로 주어지지 말아야 하며, 적절한 중재를 통해 학습자가 받아들일 수 있는 속도로 제시되어야 한다. 마지막으로 그 활동은 수학의 주제들과 연관되어야 한다. 코딩과 대수의 융합이 학습자에게 부담을 주는 새로운 영역이 아닌, 대수를 포함한 기존의 수학내용과 융합하여 제시되어야 한다.

마지막으로 학습자가 학습 환경에서 어떻게 대수적 사고를 시작할지 고려해야 한다. 가장 이상적인 대수교육은 학습자 스스로 대수적 역량을 발휘하고 발전시키도록 하는 것이다. Mason (2008)은 아이들이 태어남과 동시에 ‘상상과 표현’, ‘집중과 분산’, ‘특수화와 일반화’,‘추측과 확인’,‘분류와 특성화’와 같이 대수를 하기 위한 역량을 가진다고 보았다. 그들이 가진 역량은 일반성을 발견하고 표현하는 것, 그 표현에서 이끌어지는 추론과 행동을 하도록 하는 시작점이 된다. 대수학습 코딩 환경은 아이들의 역량으로부터 시작하며, 그들의 역량을 충분히 활용하여 추상화 및 일반화를 하도록 구성되어야 한다.

4. Logo를 통한 대수적 경험

Papert의 Constructionism을 기반으로 하는 코딩에서 학습자는 대수적으로 사고하고 표현하는 경험을 가질 수 있다. 인공물의 코딩에서 학습자는 일반성을 발견하고 이를 표현하며, 자신의 코드를 수정(Debugging)하고 타인의 코드를 재사용(Remix)하며 일반화된 표현을 통한 추론을 한다. 즉, Papert의 Constructionism에서 코딩은 Kaput(2017)의 대수 핵심 측면인 ‘일반성의 기호화’ 및 이를 통한 ‘추론과 행동’과 관련된다고 할 수 있다.

그러나 모든 코딩이 대수적 활동으로 연결된다고 할 수는 없다. 적절하게 설계되지 못한 대수 교육 환경에서 학습자는 일반성을 인식하지 못할 수 있으며, 인식해도 표현하지 못하거나 심지어 표현하지 않으려 할 수 있다. 따라서, 학습자에게 제공되는 대수학습 환경을 분석하는 틀을 Table 2와 같이 제시하고자 한다. 우선 Carraher et al.(2017)의 관점에 따라 마이크로월드를 포함한 대수학습 환경이 학습자들의 대수적 지식구조 형성에 적절한 배경이 되는지 확인한다. 또한, 이와 같은 배경에서 학습자가 어떠한 역량을 발휘하도록 하는지 Mason(2008)의 관점에 따라 살펴본다.

Table 2 . Background and competency framework of algebraic learning environment (Developed from Carraher et al., 2017; Mason, 2008).

배경
B-1) 문제 상황의 배경을 어떻게 제시하는가?
B-2) 기호의 도입과 그 상승을 이끄는 배경의 요소가 무엇인가?
B-3) 표현된 기호를 활용한 추론을 끌어내는 요소는 무엇인가?
역량
C-1) 상상과 표현(Imagining and Expressing) : 특징을 상상하고 표현할 수 있도록 유도하는가?
C-2) 집중과 분산(Focusing and De-Focusing) : 세부적인 것에서 특징으로 관심을 이동시키는가?
C-3) 특수화와 일반화(Specializing and Generalizing) : 일반성을 표현할 수 있으며, 일반화된 표현으로 특수화된 사례를 만들 수 있는가?
C-4) 추측과 확인(Conjecturing and Convincing) : 경험을 통해 추측을 만들고, 확인할 수 있는가?
C-5) 분류와 특성화(Classifying and Characterizing) : 대상을 분류하고, 특성화할 수 있는가?


B-1부터 B-3을 통해 대수학습환경이 어떻게 학습자를 활동에 참여시키며, 기호 및 추론을 이끄는 요소가 무엇인지를 확인할 수 있도록 하며, C-1부터 C-5는 학습자가 어떠한 역량으로 대수적 사고에 접근하고 이를 발전시킬 수 있는지 분석할 수 있도록 한다. 특히, C-1부터 C-5는 서로 단절된 형식의 것이 아니며, 전자의 역량 발휘가 후자의 역량을 이끌어내는 형식이라고 볼 수 있다. 또한, C-5의 역량은 다시 상상과 표현의 수단이 될 수 있다.

Papert의 Logo에서 학습자는 ‘가자, 돌자’라는 2가지 코드로 대리자(Agent)인 거북이를 이동시켜 컴퓨터 화면에 그림을 그린다. 학습자는 이와 같은 코딩으로 기하와 대수의 기반이 되는 수학적으로 사고하는 방법을 익힐 수 있게 된다 (Papert, 1972). 특히, Noss(1986)는 Logo의 인공물 구성 활동이 의미 있는 변수 개념의 기호화 및 대수적 규칙 공식화에 도움이 된다는 것을 밝힘 으로써, 대수교육에 긍정적으로 활용될 수 있음을 보였다. 학습자는 자신의 상상을 수평적 수학 화를 통해 표현하며, 대상의 피드백을 통해 자신의 추측을 확인한다. Logo는 일상 언어와 관련된 간단한 기호(가자, 돌자)를 학습자에게 부여 한다. 또한, 상상과 표현의 대상이 외적으로 주어지지 않으며, 학습자 내면에서부터 시작된다는 특징을 가진다. Table 2는 Logo의 인공물 구성 활동을 대수학습 환경의 배경 및 활용 역량 틀에 따라 분석한 것이다.

마이크로월드는 학습자가 상상하는 인공물을 디자인하는 배경으로 아이들의 참여를 유도한다. 이 배경에서 학습자는 대리자인 거북이를 간단한 코드로 작동시키며, 표현된 코드의 구조를 파악해 더 수준 높은 작품에 접근하도록 한다. 초기의 코드(가자, 돌자)는 학습자가 상상한 대상을 수평적 수학화할 때 사용되며, 더 높은 수준의 작품을 구성하기 위해 학습자는 수직적 수학화된 코드(e.g 변수, 함수)를 사용하게 된다. 즉, Logo는 작품의 수준 상승을 위해 학습자에게 코드의 수학화를 유도하는 배경을 가진다고 할 수 있다.

Logo에서 학습자의 역량은 내적으로 상상하는 대상을 표현하는 것으로부터 발휘된다. 대상을 기호로 표현하는 과정에서 학습자는 반복되는 인공물의 부분과 기호에서 일반성을 인식하게 된다. 일반성을 표현하도록 하는 코드는 그들의 표현으로부터 제시되며, 학습자는 그 일반성을 코딩에 반영하여 특수화한다. 그 일반화는 학습자의 추측으로 구성되며, 마이크로월드의 피드백은 그 추측을 확인하게 해준다. 마지막으로 유사한 특성을 가진 대상들은 학습자에게 특성화되어 더 큰 작품을 만들 때 활용된다.

Logo의 활동은 학습자가 내면에서 주제를 선정하고, 역량에 따라 일반성을 표현할 수 있다는 강점을 가진다. 또한, 더 수준 높은 인공물을 구성하고자 하는 동기는 그들의 수학화 계기가 된다. 다음 장에서는 실제로 이 역량이 활용되는 사례를 제시하며, 코드가 어떻게 수학화 되는지 분석한다.

III. 3D 거북코딩과 대수적 코딩

마이크로월드에서 학습자들은 인공물을 구성하며 수학적 탐구를 한다. Papert의 Constructionism 학습이론을 기반으로 한 인공물 구성과 탐구 과정에서 학습자들은 수학의 지식구조를 형성하게 된다. 학습자가 대수적 지식의 구조를 형성한다는 것은 문제 상황에서부터 일반성을 발견해 대수적으로 표현할 수 있으며, 그 표현을 통해 추론할 수 있다는 의미한다. 본 연구는 II장의 이론적 배경을 토대로 마이크로월드에서 학습자가 어떻게 수학화 활동을 하며, 대수적 사고를 발휘하는지 밝힌다. 3D 거북코드를 활용한 마이크로월드가 어떻게 대수적 배경으로 활용되며, 대수적 역량을 발휘하도록 하는지 분석한 뒤. 대수적 코딩을 하도록 하는 명령문을 살펴본다.

1. 3D 거북 코딩 마이크로월드의 대수적 배경 및 활용 역량

본 장에서는 3D 인공물을 구성하는 코딩을 통한 학습자의 대수적 활동을 분석한다. 3D 인공물은 Cho, Kim, Song, & Lee(2010)이 제시한 3D 거북 코드를 기반으로 구성되며, 이는 2차원의 Logo의 2D 거북 코드를 기반으로 개발되었다. 3D 거북 코드는 Figure 3과 같이 거북의 이동 코드가 탐구 도구로 사용되며, 거북이 만들어 내는 인공물이 피드백된다. 해당 마이크로월드는 (e.g. 자바말(터틀말)1), 터틀크래프트2)) ‘낮은 바닥, 높은 천장, 넓은 벽(Resnick et al., 2009)’의 특징을 가지며, 3차원 인공물을 만드는 활동에는 이러한 특징이 반영되었다(Cho, Lee, Shin, & Woo, 2011).

Figure 3. 3D turtle code

마이크로월드에서 아이들은 수학을 소통수단으로 하여 수학 나라를 탐구한다. 3D 거북 코드는 아이들이 대수에 쉽게 진입(낮은 바닥)할 수 있게 한다. 이와 같은 새로운 기호 체제는 Logo의 기호가 2차원 세계를 탐구하는 공리로 작동 하였듯, 3차원의 다양한 대상을 탐구하고(넓은 벽), 높은 수준의 작품까지 구성(높은 천장)할 수 있게 한다.

3D 거북 코드를 활용한 학습자의 구성활동은 Papert(1972)Noss(1986)의 관점에 따라 대수적으로 사고하는 방법과 및 의미 있는 변수 개념, 대수적 규칙 형식화에 긍정적 효과를 가질 것으로 기대된다. 3차원에서 학습자가 인공물을 구성하는 활동은 Logo의 경우와 마찬가지로 대수적 학습의 배경으로 작용한다. 또한, 이와 같은 배경은 학습자의 역량을 발휘하고 발전시킬 수 있도록 한다. 이를 정리하면 Table 3과 같다. 분석결과 배경과 활용되는 역량은 Logo의 그것과 같았다. 이는 마이크로월드의 활동을 대수학습 관점으로 분석할 때 발생하는 공통적인 결과라고 볼 수 있다.

Table 3 . Analysis of Logós artifact design.

배경
B-1) 학습자가 상상하는 인공물의 구성
B-2) 대리자를 이동시키는 코드 / 수준 높은 작품을 그리고자 하는 동기
B-3) 디버깅(Debugging), 리믹싱(Remixing)을 포함한 작품의 수준 상승에 필요한 코드의 구조
역량
C-1) 구성하고자 하는 인공물 또는 코드를 상상하고, 코딩으로 표현
C-2) 코딩 과정 또는 완료 이후, 기존의 코딩에서 발견한 일반성 표현으로 집중을 이동
C-3) 안내를 통해 발견한 일반성을 표현, 일반성이 반영된 코드로 인공물 코딩
C-4) 자신의 코드를 실행하며, 피드백으로 확인
C-5) 유사한 작품 및 코드를 분류, 더 큰 추상화를 위해 특성화


배경의 측면 B-1에서 3D 거북 코드는 Logo와 마찬가지로 학습자가 인공물을 디자인하는 배경으로 학습자의 참여를 유도한다. 특히 이는 Figure 4와 같이 LEGO, 마인크래프트와 유사한 형태를 가지고 있다. 이는 오늘날 학습자가 가장 친숙해 하는 놀이 형식이라고 할 수 있으며, 대수 학습에서 Carraher et al.(2017)이 강조한 친숙한 배경 맥락으로 작용한다.

Figure 4. Works of cubes

배경 측면 B-2에서 대리자를 이동시키는 간단한 코드는 학습자가 쉽게 코딩을 시작할 수 있게 하며, 수준 높은 작품을 구성하고자 하는 동기는 코드의 수학화를 통한 대수적 사고를 시작 하도록 한다. Papert의 Constructionism 학습이론 에서 교사는 지식을 전달하는 것이 아닌, 조력자이자 촉진자의 임무를 수행해야 한다(Han & Bhattacharya, 2001). 학습자들이 일반성을 발견하고, 더 구조화된 코드를 이용하도록 권장해야 한다. 이와 관련된 지도전략은 IV장에서 자세히 언급하도록 한다.

배경 측면 B-3의 특성은 B-2의 특성과 연관된다. 작품의 수준 상승을 위해 학습자는 그들이 사용하는 기호의 수준을 상승시켜야 한다. 즉, 코드의 구조를 볼 수 있고, 구조화된 코드를 사용해야 한다. Jeong(2015)은 3D 거북 코딩에서 학습자는 발견한 일반성을 발견하여 표현하며, 점진적으로 코드의 수준을 상승시키기 위해 또 다른 일반성에 집중한다고 하였다. 인공물을 구성하는 코딩은 Kaput(2017)이 제시한 대수적 사고의 핵심 측면 2가지가 녹아있는 대수적 모델링이라고 할 수 있다. 학습자는 일반성을 기호로 표현하였고, 그 기호의 실행결과를 반성하는 추론을 한다.

B-1부터 B-3까지 3D 거북 코드를 사용하는 마이크로월드가 학습자에게 대수적 탐구 환경으로 작동할 수 있다는 것을 확인하였다. C-1부터 C-5는 학습자가 발휘하는 역량을 말하며, 이는 연속적으로 학습자의 수학화를 유도하여 대수적 사고경험을 하게 한다. 이를 통해 학습자는 대수의 지식구조를 형성할 수 있을 것이라 기대 된다.

3D 거북 코드는 Logo와 마찬가지로 학습자가 대상을 상상하고 그것을 코드로 표현하는 것에서부터 시작한다. 즉 C-1 역량은 마이크로월드의 활동을 시작하는 것부터 발휘된다. ‘앞(s), 뒤(t), 왼쪽(l), 오른쪽(r), 위(u), 아래(d)’를 뜻하는 6개의 코드를 통해 학습자들은 그 즉시 Figure 5와 같이 상상을 표현할 수 있게 된다.

Figure 5. Initial 3D turtle coding

역량 C-1을 발휘한 코딩은 인공물로 피드백 되며, 이 과정은 초점을 이동하는 역량 C-2로 연결된다. 초기의 충분한 활동은 학습자들을 일반성에 집중하도록 만든다. 즉, 기본 코드는 배경이 되며, 발견되는 패턴이 전경이 되어 집중의 대상이된다.

Figure 6에서 학생 S2의 작품은 학생 S1의 초기작품을 재구성한 것이다. S2는 피라미드와 그 코드에서 정사각형이 반복된다는 일반성을 발견 하며, 이를 ‘10s 10l 10t 10r’과 같이 표현할 수 있다. S2는 초기 코드의 표현에 있던 관심을 일 반성으로 이동하였다. 이는 일반성의 표현으로 나아가는 발판이 된다. 학습자는 스스로 ‘패턴을 표현할 방법은 없는가?’라는 질문을 제시하게 된다. 즉, 초기의 기호는 Figure 7과 같이 “일반성을 추론하고 표현할 수 있으며, 더 나아가 기호화할 수 있는 새로운 플랫폼(Kaput, Blanton, & Moreno, 2017, p. 20)”으로 발전하게 된다.

Figure 6. Shift of focus
Figure 7. Lego-brick metaphor

C-2의 일반성으로 집중은 C-3의 일반화와 연결된다. Figure 8과 같이 학습자가 발견한 일반성의 표현 요구에 따라 자연스럽게 변수가 도입 된다. 또한, 특수화 역시 일반성을 표현한 코드를 실행함으로써 자연스럽게 발생한다.

Figure 8. Specializing and generalizing

역량 C-4인 추측과 확인은 코드를 입력하고 피드백 받는 모든 활동과 관련된다. 그러나 대수 학습의 관점과 연결하면 이는 주로 C-3이후 발생한다고 볼 수 있다. C-3의 일반화는 추측된 것 이며, 피드백은 추측을 확인하게 해준다.

마지막으로 학습자는 유사한 구조를 분류하고 변화시킬 대상을 모색하게 된다. 정사각형을 분류한 경험은 대상을 특성화할 수 있게 한다. 즉, ‘변수 n의 길이를 가지는 4방향의 코드’로 특성 화된다. C-5의 분류와 특성화는 또 다시 C-1의 상상과 표현에서 활용되며, 자세한 내용은 이어서 다루도록 하겠다.

2. 명령문의 수학화와 대수적 코딩

앞서 살펴본 바와 같이, 3D 거북 코드는 학습자가 대수적 역량을 발휘하여 일반성을 표현하 도록 이끈다. 3D 거북 코드는 Freudenthal이 언급한 수학화를 실현하여, 학습자의 대수적 사고와 표현을 지속해서 향상하게 한다. 즉, 코딩교육의 명령문의 수학화가 학습자의 수학화를 이끈다고 할 수 있다. 이는 기존 코딩교육에서 사용되는 스크래치, 엔트리, 파이선 등에서 다루어지는 컴퓨팅 사고를 수학적 표현의 영역에 포함했다는 의미로도 명령문의 수학화라고도 할 수 있다.

대수적 코딩은 인공물 및 코드의 반성을 통해 발견한 일반성을 코드로 표현하는 것을 뜻한다. Figure 9과 같은 초기 코딩은 그 즉시 대수적 코딩이라고 보기 어려우며, 기본 코드의 나열이라는 측면에서 산술적 코딩에 가깝다고 할 수 있다. 명령문의 수학화는 산술적 코딩을 대수적 코딩으로 이끈다. 이번에는 명령문의 수학화가 어떻게 구성되었으며, 어떻게 학습자의 대수적 코딩을 이끄는지 피라미드형식의 인공물을 중심으로 살펴보도록 하겠다.

Figure 9. Arithmetic coding of square

피라미드를 구성하는 학습자는 그 일부인 정사각형을 표현하게 된다. 이때, 수학적 관점으로 패턴 인식, 구조의 인수분해가 발생하며, 컴퓨팅 사고의 관점으로 모듈화(modularization)가 일어난다. 초기의 학습자는 인식한 구조를 산술적 코드로 나열한다. 그러나, 최소한의 코드를 사용하고자 하는 학습자의 동기, 명령문의 수학화는 학습자가 대수적 코딩을 할 수 있도록 한다.

Figure 10의 두 가지 코딩은 구성 방식에서는 동일한 형태를 취한다. 앞, 왼쪽, 뒤, 오른쪽을 변수 n만큼 이동하도록 하는 것이다. 학습자는 발견한 일반성을 표현하기 위해 변수를 활용한다. 이는 단순한 자리지기를 넘어 일반화된 법칙을 구성하는 맥락에서 지도되는 다가이름으로서의 변수라고 할 수 있다.

Figure 10. Algebraic coding of square

또한, ‘대수적 코딩1’는 학습자의 코딩경험을 활용한 것이다. 반복구조와 변수값의 변화는 Figure 11과 같이 초?중등학교 코딩교육에서 도입되고 있다. 학습자는 그 경험으로 ‘대수적 코딩1’을 수행할 수 있으며, 변하는 양에 집중하면 재귀적인 ‘대수적 코딩2’까지 수행할 수 있게 된다.

Figure 11. Repeat to get the sum from 1 to 100 (Lim, Kim, Seo, Kim, & Cho, 2015, p. 96)

명령문의 수학화는 항상 동일한 대수적 코딩을 유도하는 것은 아니다. Figure 12와 같이 증가하는 값이 1로 바뀌면, 이들은 새로운 특성을 가지는 대상이 된다.

Figure 12. Classifying and characterizing in algebraic coding

코딩의 결과는 그 구조에 따라서 분류되며 특성화될 수 있다. Figure 12의 인공물은 내부가 채워진 정사각형이다. 이는 다시 C-1에서 표현과 상상의 대상이 된다는 것을 주목할 필요가 있다. 다음은 이를 통해서 또 다른 대상을 표현하는 사례이다.

학습자들은 피라미드를 산술적으로 표현할 수 있다. 그러나, 특성화를 마친 학습자는 또 다른 방식의 효율적 코딩을 할 수 있다. Figure 13은 피라미드라는 대상을 만들 때, 또 다른 표현을 사용한 것이다. 즉, 특성화된 코드로 또 다른 상상과 표현을 하게 된다. 앞서 사용된 C-1부터 C-5의 자연스러운 역량 표현이 다시 순환적으로 적용된다고 할 수 있다.

Figure 13. Coding from characterized code

일반성은 항상 변수로만 표현되는 것이 아니다. 대수적 역량은 효율적 수학 표현을 학습하는 것에 활용될 수 있다. 앞선 사례들은 대리자의 이동을 통해 직접 큐브를 생성한다는 측면에서 ‘원소나열법’ 코딩이라고 할 수 있다. 그러나, 학습자들이 관심이 치환문자로 넘어가면 학습자들의 초점은 큐브의 집합으로 이동할 수 있다. 즉, C-2의 역량 발휘를 통해 자연스럽게 학습자는 ‘조건제시법’을 이용한 쌓기나무 배열을 할 수 있게 된다.

학습자들은 대수적 역량을 순환적으로 발휘하며, 코드의 특성화로 인한 초점의 이동은 Figure 14와 같이 특정 집합의 조건에 집중하는 ‘조건제시법’ 코딩과 그 일반화를 가능하게 한다.

Figure 14. Set-builder form coding

IV. 교육과정 구성 및 지도전략

이전 장에서 명령문의 수학화가 학습자의 대수적 역량을 순환적으로 발휘하도록 하며, 이 과정이 학습자의 대수적 코딩을 이끈다는 것을 보였다. 이번 장에서는 학습자의 대수적 역량을 순환적으로 발휘하도록 하는 교육과정과, 그 발휘를 촉진하기 위한 지도전략을 제시하고자 한다.

1. 코드의 수학화를 통한 교육과정 구성

교육과정은 3D 거북코드를 통한 코드의 수학화가 교대로 작용하는 방식으로 적용되어야 한다. 이는 III장에서 제시한 역량 활용과 밀접하게 관련된다. 그림 Figure 15와 같이 이전 단계에서 사용된 분류와 특성화 역량 C-5는 현실에 응용되어 다시 역량 C-1을 발휘하는 수평적 수학화가 되는 시작점이 된다. 특성화된 코드는 현상을 표현하는 코드로 사용되며, 또 다른 일반성에 집중하고 표현하도록 하는 순환 작용을 한다.

Figure 15. Cyclic action of capacity

C-2부터 C-5까지 대수적 역량을 발휘하는 것은 수직적 수학화로 볼 수 있다. 이들은 연속적으로 기호의 수준을 향상하게 시킨다. C-5의 분류와 특성화는 다음 단계 C-1의 상상과 표현의 기반이 되어 수평적 수학화를 할 수 있게 한다. 예를 들어, Figure 16과 같이 피라미드의 정사각형이 특성화되면 변하는 대상에 집중이 이동하며, 이를 일반화할 수 있게 된다. 즉, 재귀적 관계가 일반화된다.

Figure 16. Generalization in subsequent stage

n단계의 역량 발휘는 n+1단계의 역량 발휘를 이끈다고 볼 수 있다. 이때, n단계의 C-5의 분류는 다양한 형태를 가질 수 있다. 정사각형을 일반화한 경험이 쌓기나무의 집합으로 연결될 수 있으며, 쌓기나무를 집합시킨 경험은 수식으로 표현될 수 있다. 이는 Figure 17과 같이 지속적 기호 수준 상승에 적용될 수 있다.

Figure 17. Cyclic symbolic level escalation

1단계에서 정사각형에 대한 특성화는, 2단계에서 쌓기나무 집합으로 초점이동을 할 수 있게 하고, 이를‘집합{정(0, 0, 10)}’과 같이 표현할 수 있게 한다. 또한, 2단계의 조건을 만족하는 집합에 대한 특성화는, 3단계에서 수식을 통한 그래프 표현으로 초점이동을 할 수 있게 한다.

3D 거북 코드를 이용한 마이크로의 활동은, 아이들에게 탐구의 배경으로 활용되어 그들의 기호 수준 상승을 이끌 수 있다. 교육과정은 이와 같이 코드의 수학화를 통해, 대수적 코드에 접근하는 방식으로 구성되어야 한다.

이때 교사는 학습자에게 그들의 역량에 따른 코드를 안내하는 조력자 역할을 한다. 또한, 교사의 중요한 역할은 학습자가 자신의 역할을 발휘하도록 하는 촉진자 역할일 것이다. 교사는 학습자가 대수적 사고를 하도록 하는 촉진 전략을 갖춰야 한다.

2. 최소코드 지도전략

대수적 역량 발전의 핵심에는 학습자의 역량 발휘가 있었다. 즉, 학습자가 대수적 역량을 발휘하지 않는다면, 성공적인 성취를 끌어내기는 어려울 것이다. 학습자는 자신의 코드를 반성하기 위해 코드를 구조화하고자 하며, 인지적 부담을 줄이기 위해 패턴을 짧게 표현하고자 한다. 즉, 일반성에 주목하며 이를 압축적으로 표현하려는 경향을 보인다. 즉, 학습자는 최소의 코드를 사용하고자 하는 경향을 보이며, 이는 3D 인 공물을 구성하는 모든 활동에서 권장되어야 한다. 학습자들은 최소의 코드로 3D 인공물을 구성하며 가장 효율적인 표현을 모색하며, 코드를 반성하는 수학화를 통해 일반화된 표현을 하게 된다. 이를 통해 앞서 살핀 바와 같이 치환, 변수의 개념을 탐구하게 하고, 더 나아가 함수, 재귀 등등의 개념까지 나아갈 수 있을 것이다. 다음은 교사가 최소코드 지도를 위해 활용할 수 있는 지도전략들이다.

첫 번째 전략은 코드를 구조화하려는 학습자의 경향을 바탕으로 하는 ‘최소코드 게임’이다. 최소코드 게임은 가장 적은 코드를 사용하여 대상을 구성하는 게임이다. 최소코드 게임은 학습자에게 Figure 18과 같이 특정 구조를 제시하고, 최소의 코드로 표현하도록 하는 것이다(Jeong, 2015). 최대한 짧게 코딩하고, 서로의 응답을 공유하며, 아이들 스스로 효율적 코드를 발견하게 한다. 이와 같은 활동은 일반성을 표현하려는 지향점을 학습자들에게 공유하고자 하는 것이다. 학습자들은 공유된 효율적 코드를 통해서 자신의 코드를 반성한다.

Figure 18. Minimum code game

Table 5는 응답 할 수 있는 코드를 제시한 것이다. 과제를 통한 아이들의 패턴 활동은 기호의 수준 상승을 유도하며, 자신의 수준에 맞게 응답 할 수 있도록 한다. 다양한 응답은 아이들이 가지는 다양한 인지 수준을 나타낸다고 볼 수 있다. 기준에 따라 ‘ㄱ 패턴’과, ‘ㄷ 패턴’이 11개의 코드를 입력한 것으로 가장 우수한 패턴이라고 판단된다. 그러나 그 외의 패턴을 단순히 틀린 것으로 판단해서는 안 된다. Papert(1980)는 학생들의 오류(error)를 통한 경험이 “무엇이 발생하고, 무엇이 잘못되었으며, 이해하고 고칠 수 있 는 계기(p. 52).”가 된다고 하였다. 이는 마이크로월드의 코딩을 통한 탐구와 그에 따른 피드백이 가지는 장점을 잘 표현하는 것이다. 또한, 패턴을 적용하지 않고 인공물을 구성한 코드 역시 주목할 필요가 있다. 그들이 기본 코드로 작품을 만들었다면, 자신의 사고를 반성하며 대수적 사고를 시작할 기회를 얻을 것이다.

Table 5. Expected responses of Minimum code game.

응답 유형집중한 단위코드
ㅁ 패턴X = ‘s[2u2s2d]s’ do 5X
ㄷ 패턴X = ‘s[2us]s’ do 5X s2u
X = ‘2s[2u2t]’ do s[2u] 5X
ㄱ 패턴X = ‘2t[d]’ do 11s 2u 5X
X = ‘2t[u]’ do 11s 2d 5X


두 번째 전략은 학습자들에게 작품을 공유하고 비평할 기회를 주는 것이다. 학습자가 자신의 코드에만 집중할 경우, 더 좋은 작품을 만들고자 하는 동기가 사라질 수 있다. 좋은 작품은 상대적일 수 있으며, 친구들에게 작품을 공개하는 활동은 학습자의 동기를 자극할 수 있다(Resnick et al., 2009). 또한, 타인의 작품을 비평함으로써 오류를 발견하고 해결하거나, 더 좋은 코드는 자신의 작품에 반영할 수 있게 된다. 즉, 자신의 코드를 최소화하며, 더 큰 규모의 작품을 만들게 할 수 있다.

세 번째 전략은 마이크로월드의 인공물을 실제에 재현해 보는 것이다. Figure 19와 같이 코딩한 인공물을 3D프린터로 출력하는 것을 의미한다. 3D 거북 코드를 기반으로 하는 마이크로 월드는 3D 프린팅 기능이 탑재되어 있다. Cho & Song(2014)은 인공물을 3D 프린팅하는 활동이 학습자들이 적극적으로 참여하도록 하며, 이를 통해 인공물의 구조를 파악하고자 하는 경향을 유도할 수 있다고 보았다. 즉, 이 역시 학습자가 코드를 효율적으로 구성하도록 하는 지도전략으로 활용될 수 있다.

Figure 19. Artifact 3D Printing

V. 논의 및 제언

본 연구는 3D 거북 코딩을 중심으로, 수학적으로 구성된 코드가 어떻게 학습자의 대수적 사고를 끌어낼 수 있는가를 살펴보았다. 또한, 대수적으로 수학화된 코드를 활용한 교육과정을 어떻게 조직해야 하는지 제시하였고, 마지막으로 학교 교육에 도입할 때, 효과적인 교수전략을 제시하였다.

그 결과는 다음과 같이 정리할 수 있다. 첫째, 수학적으로 구성된 코딩 환경은 학습자에게 대수적 역량을 발휘하는 배경으로 활용된다. 3D 거북 코딩을 통한 인공물 구성 활동은 Carraher et al.(2017)의 관점에 따라 대수교육을 위한 배경으로 활용되며, 그 배경에서 학습자들은 Mason (2008)이 강조한 대수역량을 발휘할 수 있다. 이와 같은 역량 발휘는 대수적으로 수학화된 코드에 따라 순환적으로 적용된다. 이와 같은 역량은 일반성을 발견하고 그 일반성을 표현하는 Freudenthal의 수학화 이론으로 해석될 수 있다. Papert의 Constructionism 학습이론에 따라 학습자는 코딩 환경에서 인공물을 구성하며 수학적 지식의 구조를 형성하게 된다.

둘째, 대수적으로 수학화된 코드를 활용한 교육과정은 학습자의 역량을 발휘하는 방향으로 구성되어야 한다. 제시된 교육과정은 학습자가 지속해서 인공물의 수준을 높일 수 있게 구성되었다. Mason(2008)이 제시한 대수역량에 따른 교육과정은 학습자가 연속적으로 자신의 역량을 발휘하게 하며, Kaput(2017)이 대수의 핵심 역량으로 제시한 일반성 발견과 표현을 하도록 하였다. 이와 같은 일반성 발견과 표현의 경험은 대수적 사고라는 본질로 마이크로월드의 현상을 조직하는 것이라고 할 수 있다.

마지막으로, 위와 같은 교육과정을 구성할 때, 교사는 최소코드 사용을 촉진하는 지도전략을 사용할 수 있다. 최소코드 게임을 통해서 교사는 학습자에게 일반성을 발견하고 표현하려는 지향점을 주고, 자신의 코드를 반성할 수 있게 한다. 또한, 공유와 비평 그리고 3D프린터 출력 등을 적용하여, 학습자가 더 큰 작품을 효율적으로 만들도록 유도할 수 있다.

오늘날 많은 학문의 기초가 되는 대수를 모두에게 교육할 필요성이 대두되고 있다(Kaput, 2017). 코딩을 통한 대수학습은 그 요구에 응답하는 하나의 시도라고 할 수 있다. 이 과정이 그 즉시 지필 평가 문제를 해결하는데 적용되는 것은 아니나, 일반성의 발견과 표현의 경험은 향후 또 다른 대수 문제를 해결하는데 활용할 역량을 키워 줄 것으로 기대된다. Mason(2008)은 “대수적 사고를 아이들의 역량에 따른 자연스러운 결과가 되도록 다루면, 일부 지적인 시험의 문지기와 청소년 시기의 지적 장애물로부터 대수가 벗어날 수 있을 것이다.(p. 85)”라고 주장하였다. 학습자는 마이크로월드의 코딩을 포함해 대수적 역량을 발휘할 다양한 기회를 가져야 할 것이다.

선행연구를 통해 코딩교육과 대수교육을 융합 하는 한가지 방향을 제시한 본 연구는, 학습자의 역량 발휘가 역량 발전으로 연결됨을 증명하지 못한다는 한계점을 가진다. 때문에, 향후 양적 분석이 추가로 더 필요할 것이다. 또한, 코딩과 수학의 융합에 관한 추가적인 연구를 통해 수학과 이를 근간으로 하는 미래 역량을 갖춘 인재를 육성해야 할 것이다.

Footnote

1) www.javamath.com: 조한혁(1991)의 2차원 Logo를 기반으로 한 교육용 프로그래밍 언어인 말 언어와 3D 거북코드를 융합한 마이크로월드.

2) www.codingmath.org: 조한혁, 최인용, 정진환이 자바말을 기반으로 개발한 마이크로월드

Fig 1.

Figure 1. Generality recognition and expression in Logo
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 131-151https://doi.org/10.29275/jerm.2020.02.30.1.131

Fig 2.

Figure 2. Mathematising in Microworld(Burger & Culpepper,1993; modified)
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 131-151https://doi.org/10.29275/jerm.2020.02.30.1.131

Fig 3.

Figure 3. 3D turtle code
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 131-151https://doi.org/10.29275/jerm.2020.02.30.1.131

Fig 4.

Figure 4. Works of cubes
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 131-151https://doi.org/10.29275/jerm.2020.02.30.1.131

Fig 5.

Figure 5. Initial 3D turtle coding
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 131-151https://doi.org/10.29275/jerm.2020.02.30.1.131

Fig 6.

Figure 6. Shift of focus
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 131-151https://doi.org/10.29275/jerm.2020.02.30.1.131

Fig 7.

Figure 7. Lego-brick metaphor
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 131-151https://doi.org/10.29275/jerm.2020.02.30.1.131

Fig 8.

Figure 8. Specializing and generalizing
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 131-151https://doi.org/10.29275/jerm.2020.02.30.1.131

Fig 9.

Figure 9. Arithmetic coding of square
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 131-151https://doi.org/10.29275/jerm.2020.02.30.1.131

Fig 10.

Figure 10. Algebraic coding of square
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 131-151https://doi.org/10.29275/jerm.2020.02.30.1.131

Fig 11.

Figure 11. Repeat to get the sum from 1 to 100 (Lim, Kim, Seo, Kim, & Cho, 2015, p. 96)
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 131-151https://doi.org/10.29275/jerm.2020.02.30.1.131

Fig 12.

Figure 12. Classifying and characterizing in algebraic coding
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 131-151https://doi.org/10.29275/jerm.2020.02.30.1.131

Fig 13.

Figure 13. Coding from characterized code
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 131-151https://doi.org/10.29275/jerm.2020.02.30.1.131

Fig 14.

Figure 14. Set-builder form coding
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 131-151https://doi.org/10.29275/jerm.2020.02.30.1.131

Fig 15.

Figure 15. Cyclic action of capacity
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 131-151https://doi.org/10.29275/jerm.2020.02.30.1.131

Fig 16.

Figure 16. Generalization in subsequent stage
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 131-151https://doi.org/10.29275/jerm.2020.02.30.1.131

Fig 17.

Figure 17. Cyclic symbolic level escalation
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 131-151https://doi.org/10.29275/jerm.2020.02.30.1.131

Fig 18.

Figure 18. Minimum code game
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 131-151https://doi.org/10.29275/jerm.2020.02.30.1.131

Fig 19.

Figure 19. Artifact 3D Printing
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 131-151https://doi.org/10.29275/jerm.2020.02.30.1.131

Table 1 Core aspects and strands(Kaput, 2017, p. 11)

2가지 핵심 측면
(A) 규칙성과 조건에 대한 일반성을 체계적으로 기호화하는 것으로서의 대수
(B) 표준의 기호 체제로 표현된 일반화로부터 구문론적으로 이끌어지는 추론과 행동으로서의 대수
핵심 측면 A&B는 다음 세 가지 갈래와 결합
1. 산술(산술의 일반화로서의 대수)과 양적 추론을 포함하여, 계산과 관계로부터 이끌어진 구조와 체제에 관한 연구로서의 대수
2. 함수, 관계, 연결-변수의 연구로서의 대수
3. 수학 안팎의 모델링 언어군의 적용(응용)으로서의 대수.

Table 2 Background and competency framework of algebraic learning environment (Developed from Carraher et al., 2017; Mason, 2008)

배경
B-1) 문제 상황의 배경을 어떻게 제시하는가?
B-2) 기호의 도입과 그 상승을 이끄는 배경의 요소가 무엇인가?
B-3) 표현된 기호를 활용한 추론을 끌어내는 요소는 무엇인가?
역량
C-1) 상상과 표현(Imagining and Expressing) : 특징을 상상하고 표현할 수 있도록 유도하는가?
C-2) 집중과 분산(Focusing and De-Focusing) : 세부적인 것에서 특징으로 관심을 이동시키는가?
C-3) 특수화와 일반화(Specializing and Generalizing) : 일반성을 표현할 수 있으며, 일반화된 표현으로 특수화된 사례를 만들 수 있는가?
C-4) 추측과 확인(Conjecturing and Convincing) : 경험을 통해 추측을 만들고, 확인할 수 있는가?
C-5) 분류와 특성화(Classifying and Characterizing) : 대상을 분류하고, 특성화할 수 있는가?

Table 3 Analysis of Logós artifact design

배경
B-1) 학습자가 상상하는 인공물의 구성
B-2) 대리자를 이동시키는 코드 / 수준 높은 작품을 그리고자 하는 동기
B-3) 디버깅(Debugging), 리믹싱(Remixing)을 포함한 작품의 수준 상승에 필요한 코드의 구조
역량
C-1) 구성하고자 하는 인공물 또는 코드를 상상하고, 코딩으로 표현
C-2) 코딩 과정 또는 완료 이후, 기존의 코딩에서 발견한 일반성 표현으로 집중을 이동
C-3) 안내를 통해 발견한 일반성을 표현, 일반성이 반영된 코드로 인공물 코딩
C-4) 자신의 코드를 실행하며, 피드백으로 확인
C-5) 유사한 작품 및 코드를 분류, 더 큰 추상화를 위해 특성화

Table 5 Expected responses of Minimum code game

응답 유형집중한 단위코드
ㅁ 패턴X = ‘s[2u2s2d]s’ do 5X
ㄷ 패턴X = ‘s[2us]s’ do 5X s2u
X = ‘2s[2u2t]’ do s[2u] 5X
ㄱ 패턴X = ‘2t[d]’ do 11s 2u 5X
X = ‘2t[u]’ do 11s 2d 5X

References

  1. Ackermann, E. K. (2004). Constructing knowledge and transforming the world. A learning zone of one's own: Sharing representations and flow in collaborative learning environments. 1, 15-37.
  2. Barr, V. & Stephenson, C. (2011). Bringing computational thinking to K-12: what is Involved and what is the role of the computer science education community? Acm Inroads. 2(1), 48-54.
    CrossRef
  3. Brennan, K. & Resnick, M. (2012). New frameworks for studying and assessing the development of computational thinking. In Proceedings of the 2012 annual meeting of the American Educational Research Association, Vancouver, Canada. Vol. 1, 25.
  4. Bryk, A. S. & Treisman, U. (2010). Make math a gateway, not a gatekeeper. Chronicle of Higher Education. 56(32), B19-B20.
  5. Bundy, A. (2007). Computational thinking is pervasive. Journal of Scientific and Practical Computing. 1(2), 67-69.
  6. Burger, W. F. & Culpepper, B. (1993). Restructuring geometry. Research ideas for the classroom: High school mathematics, 140-154.
  7. Carraher, D. W., Schliemann, A. D. & Schwartz, J. L. (2017). Early algebra is not the same as algebra early. In Algebra in the early grades. Routledge.
    CrossRef
  8. Cho, H., Kim, H., Song, M. & Lee, J. (2010). Representation systems of building blocks in Logo-based microworld. Constuctionism 2010.
  9. Cho, H. H., Lee, J. Y., Shin, D. J. & Woo, A. S. (2011). MCY-Mentoring Activities by Creating and Communicating Mathematical Objects. Research in Mathematical Education. 15(2), 141-158.
  10. Cho, H. & Song, M. (2014). On the SMART Storytelling Mathematics Education Based on Executable Expression. The Journal of Educational Research in Mathematics. 24(2), 269-283. 조한혁, 송민호. (2014). 실행식 (Executable expression) 기반 SMART 스토리텔링 수학교 육. 수학교육학연구, 24(2), 269-283.
  11. Choike, J. R. (2000). Teaching strategies for algebra for all. Mathematics Teacher. 93(7), 556-560.
    CrossRef
  12. Dougherty, B. (2017). Measure up: A quantitative view of early algebra. In Algebra in the early grades. Routledge.
    CrossRef
  13. Freudenthal, H. (2006). Revisiting mathematics education: China lectures. Springer Science & Business Media.
    CrossRef
  14. Grover, S. & Pea, R. (2013). Computational Thinking in K-12 A Review of the State of the Field. Educational Researcher. 42(1), 38-43.
    CrossRef
  15. Han, C. & Kwon, O. (2018). Domestic Research Trends and Tasks on Early Algebra Education: Focused on the Elementary School Mathematics. Journal of Elementary Mathematics Education in Korea. 22(2), 115-142. 한채린, 권오남. (2018). 국내 초기 대수 교육 연구의 동향과 과제: 초등 수학을 중심으로. 한국초등수학교육학회지, 22(2), 115-142.
  16. Han, S. & Bhattacharya, K. (2001). Constructionism, learning by design, and project based learning. Emerging perspectives on learning, teaching, and technology. Retrieved April, 29, 2007.
  17. Hoyles, C., Noss, R. & Adamson, R. (2002). Rethinking the microworld idea. Journal of educational computing research. 27(1), 29-53.
    CrossRef
  18. Jeong, J. (2015). Mathematics education of pattern generalization by computational thinking game. Master's Thesis, Seoul National University. 정진환. (2015). Computational Thinking Game을 통한 패턴일반화 수학교육. 서울대학교 대학원 석사학위논문.
    CrossRef
  19. Kaput, J. J. (2017). What Is Algebra? What Is Algebraic Reasoning? In Algebra in the early grades. Routledge.
    CrossRef
  20. Kaput, J. J., Blanton, M. L. & Moreno, L. (2017). Algebra From a Symbolization Point of View. In Algebra in the early grades. Routledge.
    CrossRef
  21. Kim, S. (2003). A study on elementary school algebra -focusing on 'early algebra'-. The. Journal of Educational Research in Mathematics. 13(3), 309-327. 김성준(2003). '초기대수'를 중심으로 한 초등대수 고찰. 수학교육학연구, 13(3), 309-327.
  22. Kim, H. (2006). A Study on Learning and Teaching Environments for Computers and Mathematics Education. The Journal of Educational Research in Mathematics. 16(4), 367-386. 김화경. (2006). '컴퓨터와 수학교육'학습-지 도 환경에 관한 연구. 수학교육학연구, 16(4), 367-386.
  23. Ko, H., Lee, H., Lee, H. & Lee, E. (2015). A Study on the Survey and Improvement of Mathematics Learning. Research Report on the Korea Foundation for the Advancement of Science and Creativity. 고호경, 이현숙, 이환철, 이은정(2015). 수학 학습 실태 조사 및 개선 방안 연구. 한국과 학창의재단 연구보고서.
  24. Mason, J. (2008).
    KoreaMed CrossRef
  25. Noss, R. (1986). Constructing a conceptual framework for elementary algebra through Logo programming. Educational Studies in Mathematics. 17(4), 335-357.
    CrossRef
  26. Papert, S. (1972). Teaching children to be mathematicians versus teaching about mathematics. International journal of mathematical education in science and technology. 3(3), 249-262.
    CrossRef
  27. Papert, S. (1980). Mindstorms: Children, computers, and powerful ideas. Basic Books, Inc.
    CrossRef
  28. Papert, S. & Harel, I. (1991). Situating constructionism. Constructionism. 36(2), 1-11.
    CrossRef
  29. Papert, S. (1996). An exploration in the space of mathematics educatioWns. IJ Computers for Math. Learning. 1, 95-123.
    CrossRef
  30. Resnick, M., Maloney, J., Monroy-Hern?ndez, A., Rusk, N., Eastmond, E., Brennan, K., Millner, A., Rosenbaum, E., Silver, J., Silverman, B. & Kafai, Y. (2009). Scratch: programming for all. Communications of the ACM. 52(11), 60-67.
    CrossRef
  31. Van den Heuvel-Panhuizen, M. (2001). Realistic mathematics education in the Netherlands. Principles and practices in arithmetic teaching: Innovative approaches for the primary classroom, 49-63.
  32. Lim, H., Kim, H., Seo, S., Kim, J. & Cho, J. (2015). Middle school information. Seoul: Visang Education. 임희석, 김형기, 서성원, 김장환, 조재춘 (2015). 중학교 정보. 서울: 비상교육.
  33. Weintrop, D., Beheshti, E., Horn, M., Orton, K., Jona, K., Trouille, L. & Wilensky, U. (2016). Defining computational thinking for mathematics and science classrooms. Journal of Science Education and Technology. 25(1), 127-147.
    CrossRef
  34. Wilensky, U. & Papert, S. (2010). Restructurations: Reformulations of knowledge disciplines through new representational forms. Constructionism.
  35. Wing, J. M. (2006). Computational thinking. Communications of the ACM. 49(3), 33-35.
    CrossRef
  36. Wing, J. M. (2008). Computational thinking and thinking about computing. Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 366(1881), 3717-3725.
    Pubmed KoreaMed CrossRef
  37. Wing, J. (2011). Research notebook: Computational thinking-What and why. The Link Magazine.
    CrossRef
  38. Woo, J. & Kim, S. (2007). Analysis of the Algebraic Thinking Factors and Search for the Direction of Its Learning and Teaching. The Journal of Educational Research in Mathematics. 17(4), 453-475. 우정호, 김성준. (2007). 대수의 사고 요소 분석 및 학습-지도 방안의 탐색. 수학교육학연구, 17(4), 453-475.