검색
검색 팝업 닫기

Ex) Article Title, Author, Keywords

Article

Split Viewer

전자저널 논문

2020; 30(3): 487-508

Published online August 31, 2020 https://doi.org/10.29275/jerm.2020.08.30.3.487

Copyright © Korea Society of Education Studies in Mathematics.

An Analysis of Inservice Mathematics Teachers’ Reading of Curriculum Materials: Focused on Conditional Probability

고등학교 수학교사들의 교육과정 자료 해석: 조건부확률을 중심으로

Nayoung Ku1, Byungjoo Tak2, Inyong Choi3, Hyun-Young Kang4

* Teacher, Pyeongchon High School, South Korea, guri39@gmail.com
** Professor, Jeonju National University of Education, South Korea, bjtak@jnue.kr
*** Teacher, Hansung Science High School, South Korea, naru84@gmail.com
**** Professor, Mokwon University, South Korea, hykang@mokwon.ac.kr

*평촌고등학교 교사, **전주교육대학교 교수, ***한성과학고등학교 교사, ****목원대학교 교수

Correspondence to:1) 이 논문은 2018년 교육부와 한국연구재단의 지원을 받아 수행된 연구임(NRF-201800600001)
†corresponding author

Received: July 10, 2020; Revised: August 4, 2020; Accepted: August 5, 2020

In this study, 218 highschool mathematics teachers were surveyed to identify their perceptions and reading of curriculum materials. As a result, the majority of teachers emphasized the agency of teachers in enacting the curriculum and regarded conceptual understanding as crucial in teaching conditional probability. Nevertheless, the analysis of reading of the 2015 revised mathematics curriculum showed the lowest frequency of responses using the teachers’ knowledge and experience. Among the major changes in the 2015 revised mathematics curriculum related conditional probability, teachers mentioned in the order of attitude and practice, information processing, reducing the burden of learning, improving evaluation methods, and reasoning. When teachers mentioned reasoning, they were more likely to evaluate or interpret the curriculum materials using their knowledge and experience. But most of teachers stated that the other changes as particular features were included. Thus, opportunities must be provided to improve teachers’ professional development based on the concrete methods that can enact the intention of the 2015 revised mathematics curriculum.

Keywordscurriculum material reading, inservice teacher, conditional probability

교육과정 자료는 공식적(official) 교육과정과실행된(enacted) 교육과정을 매개하며 수업에서어떤 내용이 가르쳐져야 할지, 교사가 어떤 교수·학습 방법을 선택해야할 지에 영향을 미친다(Remillard, 2005). 본 연구에서는 선행 연구(Ku, Tak, Choi, & Kang, 2019; Remillard & Heck, 2014)를 기초로 교육과정 문서, 교과서, 교사용지도서 등 교사와 학생들이 물리적으로 접근할 수 있는 구체적인 자료 형태로 구현된 것을 ‘교육과정 자료(curriculum materials)’로 정의한다.

가르치는 내용을 지정하는 교수요목의 의미를 지니던 교육과정이 교실 내 교사의 실천까지를 포괄하는 개념으로 점진적으로 확장되어감에 따라, 이전까지 학습 요소와 성취기준을 중심으로서술되었던 우리나라의 수학과 교육과정 문서도 제7차 교육과정부터 학습 지도상의 유의점이 포함되어 실천에 대한 지침을 제공하기 시작하였다. 가장 최근에 해당하는 2015 개정 수학과 교육과정에서는 수업과 연동되어 그 자체가 교수ㆍ학습의 개선을 의미하는 개념으로 ‘평가’가 주목됨에 따라 평가 방법 및 유의 사항이 교육과정 문서에 기술되기 시작하였다. 그 결과 2015 개정 수학과 교육과정은 성취기준, 교수ㆍ학습방법 및 유의 사항, 평가 방법 및 유의 사항이문서 형태로 기술되어 있으며, 구체적으로 교수ㆍ학습에서 고려할 사항은 무엇인지, 학습 부담경감을 위해 평가 문항의 범위와 수준을 어떻게 제한해야 하는지에 대한 지침이 포함되어 있다 (Park, Lee, Park, Kwon, Yoon, & Kang et al., 2015). 이러한 변화에 따라 예비교사 및 현직교사들이 교육과정을 어떻게 인식, 해석하고 있는지에 대한 선행 연구가 다수 수행되어 왔다.

구체적으로 초등학교 교사들이 2015 개정 수학과 교육과정을 어떻게 인식하고 있는지에 관한 연구(Kwon, 2017), 초ㆍ중ㆍ고등학교 교사들이 핵심 역량과 정의적 측면을 어떻게 인식하고 있는지에 관한 연구(Kim, Park, & Park, 2015), 교과 역량 신장을 위한 수업과 평가 개선을 수학 교사들이 어떻게 인식하고 있는지에 관한 연구(Hwang & Kim, 2018) 등, 교과 역량, 정의적영역, 평가와 같은 2015 개정 수학과 교육과정의주요 변화와 관련된 교사들의 인식을 조사한 연구가 수행되어 왔다. 그러나 교육과정을 수업에서 구현할 때 교사가 교육과정 개정의 의도를 어떻게 해석하는지가 영향을 미치며(Remillard & Bryans, 2004) 교사의 교육과정에 관한 인식, 수학 수업에 관한 인식 등이 교육과정 자료의 해석에 영향을 미친다는 점에 비추어볼 때(Choppin, 2011; Dietiker, Males, Amador, & Earnest, 2018) 교사의 인식과 교육과정의 성취기준이나 교수ㆍ학습 방법 및 유의 사항 등에 반영된 개정의 방향을 어떻게 해석하고 있는지에 관한 분석은 잘 이루어지지 않은 것으로 보인다.

교육과정은 내용 특수성을 반영한 성취기준, 교수ㆍ학습 방법 및 유의 사항, 평가 방법 및 유의 사항을 포함하고 있으며, 교육과정 자료의 해석 역시 특정 내용 요소에 대한 수학 교사의 지식(mathematical knowledge for teaching)과 밀접하게 관련되어 있다(Dietiker et al., 2018). 이에 본연구에서는 현직 고등학교 교사를 대상으로 교사의 인식을 확인하고, 교육과정의 해석을 살펴보기 위한 내용 요소로 조건부확률을 선정하였다. 조건부확률은 고등학교 수준에서 확률을 이해하는데 핵심적인 역할을 하는 기본 개념이라는 점에서(Lee & Woo, 2009) 교육과정 자료를 해석하는 과정에서 교사의 교과 내용 지식(subject matter knowledge)이 개입될 것으로 예상된다. 또한, 조건부확률은 그동안의 선행 연구로부터 다양한 오개념이 알려져 있기 때문에(Gras & Totohasina, 1995), 교육과정 자료를 해석하는과정에서 교사의 교수학적 내용 지식(pedagogical content knowledge)이 활용될 것으로 보인다. 조건부확률은 이전 교육과정에 비해 성취기준 상의 큰 차이는 없으나 교과 역량과 과정중심평가 등 교육과정 개정의 방향을 반영한 교수·학습과평가 방법 및 유의 사항이 추가되었다. 이에 내용 상의 큰 차이는 없지만 교육과정 개정의 방향과 취지를 반영한 교수ㆍ학습과 평가에 변화가 요구된다. 즉, 조건부확률은 2015 개정 수학과 교육과정에 대한 교사의 전반적인 인식을 확인하는 데 그치지 않고, 내용 특수성과 교육과정개정의 방향을 반영한 교사의 교육과정 자료 해석을 분석하는 데 도움을 제공할 것이라 기대된다.

Ku et al. (2019)는 사범대학에 재학 중인 예비교사를 대상으로 조건부확률에 관한 교육과정 자료의 해석을 연구한 바 있다. 그러나 앞서 확인한 바와 같이 교육과정 자료 해석은 교사의 수학 교사 지식 등 수업 전문성이 반영되는데, 대학교육 체제 하에서 이론적 지식을 쌓아나가는 예비교사와 현장에서 교육과정 실행 경험을 수차례 갖춰온 현직교사의 교육과정 자료 해석은 그 양상이 유의미하게 다를 것이라 짐작해볼 수 있다. 또한 현직교사의 교육과정 자료 해석은교육과정 개정의 의도가 수업에서 얼마나 구현되느냐와 밀접하게 연관되어 있으며(McDuffie, Choppin, Drake, Davis, & Brown, 2018) 교사가교육과정 개정의 의도를 이해하고, 주어진 맥락에 맞게 교육과정 자료의 의미를 적절하게 구성하느냐에 따라 유의미한 교육과정 자료의 사용이 가능하다(Choppin, 2011). 이에 따라 본 연구의 목적은 현직 고등학교 교사의 교육과정 자료(교육과정, 교과서 및 교사용 지도서)에 대한 인식과 조건부확률에 관한 2015 개정 수학과 교육과정의 해석을 확인하는데 있다. 특히 교사들이2015 개정 수학과 교육과정의 주요 변화 중 무엇에 주목하며 이를 어떻게 해석하는지 분석하고자 한다.

1. 교사의 교육과정 자료 해석

교사는 수업을 설계하고 실행하는 과정에서 교육과정 자료를 선택하고 사용한다. 이 과정에서 교육과정 자료의 능동적 설계자이자 사용자로서의 교사의 역할이 강조되며(Remillard, 2005) 교육과정 자료의 사용에는 교사의 교육과정 자료에 관한 해석이 전제된다. 또한 교사의 교육과정 자료 해석에는 교사의 인식이 영향을 미치며 교사의 인식에 따라 교육과정 자료의 해석과 수업 실행의 양상이 다양하다는 것이 확인되었다 (McDuffie et al., 2018; Remillard & Bryans, 2004).

선행 연구자들은 교사의 교육과정 자료 해석을단편적으로 텍스트를 읽는 것을 넘어 교사 변인이 강조된 개념으로 확장하였다. Remillard(1999)는 교사가 사전 지식, 경험, 신념과 태도를 기초로 교육과정의 의미를 해석하는 교사와 텍스트사이의 상호작용을 교육과정 자료 해석(reading)으로 정의하였다. Dietiker et al.(2018)에 의하면 수업 실행 전에 교사는 교육과정 자료에 제시된 정보에 주의를 집중하고, 교사의 지식, 경험, 신념 및 태도를 기초로 이해하며 그 의미를 구성한다. 이와 같이 교육과정 자료의 해석은 교수맥락을 반영하여 교사가 교육과정 자료와 상호작용하는 것으로 볼 수 있으며, 교사가 교육과정 자료에 어떤 의미를 부여하는지가 매우 중요하다(Sherin & Drake, 2009).

교사가 교육과정 자료의 의도를 이해하고, 주어진 맥락에 맞게 교육과정 자료의 의미를 적절하게 구성하느냐에 따라 교육과정 자료의 유의미한 사용이 가능하다. Choppin(2011)은 중학교교사들이 학생들의 사고를 고려하여 교육과정 자료를 어떻게 해석하는지 살펴본 결과 교육과정 자료의 의도에 대한 이해 없이 학습 목표나 수학적 개념과 같은 자료의 특징을 기술만 한 경우 교육과정 자료의 사용이 부적절한 것을 확인했다. 또한 교육과정 자료가 학생이 이해하는데 도움을 제공한다고 해석하지만 구체적인 근거를 제시하지 않는 경우 교육과정 자료와 학생의 사고를 연관지어 생각은 하지만 연결성이 약했다. 마지막으로 교사가 수학 내용 요소의 계열성을 고려하여 교육과정 자료가 어떻게 학생들의 이해를 도울 수 있는지 설명하며 과제가 제시된 순서의 이유도 적절히 설명할 경우, 과제가학생들이 이해하는데 어떤 기회를 제공하는지와 과제를 왜 수정했는지를 적절한 방식으로 정당화하는 것으로 확인되었다.

Land, Tyminski, & Drake(2015)는 초등 예비교사를 대상으로 교육과정 자료의 의도와 교사의 해석을 고려한 교육과정 자료 해석의 범주를 도출하였으며 예비교사들이 교육과정 자료의 교육적인 의도를 해석하는데 어려움을 겪는다고 강조한다. 교육과정 자료 해석의 범주는 예비교사가 외적으로 드러나는 부분에 주목하여 자료에제시된 부분을 재서술하는 방식으로 특징을 기술하는 것, 교육과정 자료에 대해 전반적으로 평가하며 그 이유를 구체적으로 설명하지 않는 것, 교육과정 자료로부터 교사가 무엇을 배웠는지 설명하는 것, 제시된 정보뿐만 아니라 예비교사의 지식이나 경험을 기초로 구체적으로 해석하는 것, 수업 실행을 고려하여 어떻게 사용할지설명하는 것으로 구분된다.

교사의 교육과정 자료 해석에는 교사의 인식이 영향을 미친다. Remillard & Bryans(2004)는개정 교육과정을 적용하는 8명의 초등 교사의인식은 어떠한지, 수업에서는 어떻게 구현되는지살펴보았다. 그들은 교사의 인식을 확인하기 위해 구체적으로 개정된 교육과정, 수학 학습, 수업, 교사의 역할, 교육과정 자료의 역할에 관한인식을 분석하였다. 이에 따라 제시된 수학적 내용 요소를 모두 가르칠지, 지도 순서를 따를지,과제를 채택할 것인지 등에 관한 교사의 교육과정 자료 사용이 달라졌다. 연구자들은 교사가 교육과정 개정의 의도에 동의하는지 여부에 관계없이 수업 실행에 영향을 미치는 교사의 인식이있음을 확인하였다.

McDuffie et al.(2018)은 8명의 중학교 교사들의 인식이 공식적 교육과정과 실행된 교육과정에서 어떠한지 확인하였다. 그들은 구체적으로 교육과정, 수업의 주도권, 모둠활동, 수학적 내용 요소의 계열성, 과제 등에 관한 인식을 분석하였다. 특히 교육과정에 관한 인식은 과거의 교육과정에 비해 학생들의 참여를 권장하는지, 교육과정의 의도를 이해하고 그 적절성을 판단하는지를 통해 확인되었다. 연구 결과, 공식적 교육과정, 실행된 교육과정에의 인식이 일관된 패턴과 일관되지 않은 패턴이 확인되었으며 이로 인해 교육과정의 의도가 수업에 영향을 미치지 못하는 사례가 나타났다.

지금까지 살펴본 바와 같이, 교육과정 자료의 해석은 교사와 교육과정 자료의 복합적인 상호작용으로 교사가 자료 자체의 의미를 이해하고, 자신의 사전 지식, 경험, 신념과 태도를 기초로하여 주어진 맥락에 맞게 교육과정 자료의 의미를 구성하는 것으로 볼 수 있다. 또한 교사가 교육과정 자료의 의도를 이해하고, 주어진 맥락에맞게 교육과정 자료의 의미를 적절하게 구성하느냐에 따라 교육과정 자료의 유의미한 사용이 가능하다. 이러한 교육과정 자료의 해석에는 교육과정, 수학 수업에 관한 인식 등이 영향을 미치는 것으로 확인되었다.

2. 교육과정 해석을 위한 수학 교사의 지식

교사를 단순히 교육과정을 따르는 존재로서가 아니라 교육과정 자료의 능동적 설계자이자 사용자로서 바라본다면, 교사와 교육과정 자료 사이의 상호작용은 해석적이면서도 동적인 과정이라 할 수 있다(Ball, 2011). 구체적으로, 교사는 교육과정 개발자의 아이디어를 읽고 이해한 뒤 자신의 아이디어와 맥락에 맞게 조정하게 되는데, 전자를 위해서는 교육과정 개정의 의도와 주요 변화를 이해해야 하며 후자의 과정에는 교육과정, 수학 수업에 대한 교사의 인식과 함께 가르쳐야 하는 내용에 대한 지식과 교수학적인 지식이 개입된다. Ball, Thames, Phelps(2008)의 표현을 빌리자면, 전자는 교육과정에 대한 교수학적 내용 지식2), 후자는 교과 내용 지식에 해당한다. 즉, 교사의 교육과정 자료 해석에는 교육과정 및 교과 내용에 대한 수학 교사의 지식이 개입한다.

이 절에서는 조건부확률에 대한 교사의 교육과정 자료 해석 과정에서 활용되는 교수학적 내용 지식으로서 2015 개정 수학과 교육과정의 주요 변화를, 교과 내용 지식으로서 조건부확률의교수학적 분석을 확인한다. 각각의 내용은 교사의 교육과정 자료 해석을 분석하기 위한 이론적 배경으로서 본 연구를 설계하고 결과를 분석하는 데 활용된다.

가. 교수학적 내용 지식: 2015 개정 수학과 교육과정의 주요 변화

앞서 기술한 바와 같이 우리나라의 수학과 교육과정은 제7차 교육과정부터 학습 지도상의 유의점이 포함되며 실천까지를 포괄하는 개념으로 확장되었다. 본 절에서는 제7차, 2007 개정, 2009 개정, 2015 개정 수학과 교육과정의 성취기준, 교수ㆍ학습 방법 및 유의 사항, 평가 방법 및 유의 사항을 중심으로 조건부확률과 관련해 어떠한 변화가 나타나는지를 살펴보고자 한다.

2015 개정 수학과 교육과정은 수학교육의 국제적인 동향을 반영하여 고정된 지식의 인지(knowing) 대신 실천(doing)을 염두에 둔 역량을강조하는 방향 하에 개발되었다. 이와 함께 각종국제학업성취도평가에서 수학에 대한 흥미, 자신감이 다른 나라에 비해 현저하게 낮게 나오는 현실을 고려하여, 학습 부담 경감과 정의적 영역의 신장 등을 위한 교수ㆍ학습의 개선을 함께 고려한 것으로도 알려져 있다. Park et al. (2015)는 2015 개정 수학과 교육과정의 주요 변화를수학 교과 역량의 구현, 학습 부담 경감 추구, 학습자의 정의적 측면 강조, 실생활 중심의 통계내용 재구성, 공학적 도구의 활용 강조로 규정하고있다.

2015 개정 수학과 교육과정에서 제시하고 있는 수학 교과 역량은 2009 개정 수학과 교육과정에서 강조한 수학적 과정(mathematical process)인 문제해결, 추론, 의사소통을 확장한 개념이라할 수 있다. 이는 미국수학교사협의회(National Council of Teachers of Mathematics)에서 제시한 학교수학의 과정 규준을 확장한 것으로도 볼 수 있는데(NCTM, 2000), 수학이라는 학문이 정적인인지의 대상이 아니라 동적인 실천의 대상이라는 관점, 고정된 지식의 암기 여부가 아니라 생각하는 과정을 중시하는 관점이 반영된 것이라 할 수 있다. 이러한 관점은 수학 교과 역량의 의미와 하위 요소가 서술된 Table 1에서 더욱 자세히 확인할 수 있다.

Table 1 Mathematical competencies in 2015 revised mathematics curriculum (Park et al., 2015, pp. 39-43)

수학 교과 역량의미하위 요소
문제 해결해결 방법을 알고 있지 않은 문제 상황에서 수학의 지식과 기능을 활용하여 해결 전략을 탐색하고 최 적의 해결 방안을 선택하여 주어진 문제를 해결하는 능력문제 이해 및 전략 탐색, 실행 및 반 성, 협력적 문제해결, 수학적 모델링, 문제 만들기
추론수학적 사실을 추측하고 논리적으로 분석하고 정당 화하며 그 과정을 반성하는 능력관찰과 추측, 논리적 절차 수행, 수학 적 사실 분석, 정당화, 추론 과정의 반성
창의·융합수학의 지식과 기능을 토대로 새롭고 의미 있는 아이디어를 다양하고 풍부하게 산출하고 정교화하며, 여러 수학적 지식, 기능, 경험을 연결하거나 수학과 타 교과나 실생활의 지식, 기능, 경험을 연결·융합 하여 새로운 지식, 기능, 경험을 생성하고 문제를 해결하는 능력독창성, 유창성, 융통성, 정교성, 수학 내적 연결, 수학 외적 연결
의사소통수학 지식이나 아이디어, 수학적 활동의 결과, 문제 해결 과정, 신념과 태도 등을 말이나 글, 그림, 기호 로 표현하고 다른 사람의 아이디어를 이해하는 능력수학적 표현의 이해, 수학적 표현의 개발 및 변환, 자신의 생각 표현, 타인의 생각 이해, 협력과 존중
정보처리다양한 자료와 정보를 수집 정리 분석 활용하고 적절한 공학적 도구나 교구를 선택 이용하여 자료와 정보를 효과적으로 처리하는 능력자료 및 정보의 수집, 자료 및 정보 분석, 정보 활용, 공학적 도구 및 교구 활용
태도 및 실천수학의 가치를 인식하고 자주적 수학 학습 태도와 민주 시민의식을 갖추어 실천하는 능력가치 인식, 자주적 학습 태도, 시민의식


조건부확률과 관련된 성취기준은 크게 3가지(조건부확률의 의미를 이해하고, 이를 구할 수있다, 사건의 독립과 종속의 의미를 이해하고, 이를 설명할 수 있다, 확률의 곱셈정리를 이해하고, 이를 활용할 수 있다)로 세 차례의 교육과정개정 동안 큰 변화가 없었다. 그러나 제7차, 2007 개정, 2009 개정 수학과 교육과정까지 교수ㆍ학습 상의 유의점으로 ‘통계적 확률과 수학적확률의 관계를 이해하게 한다’와 ‘독립시행의 확률은 통계 영역의 이항분포와 함께 도입하여 다룰 수도 있다’와 같이 내용 특수성을 반영한 유의점 위주로 제시된 것에 비해 2015 개정 수학과 교육과정에서는 교육과정 개정의 주요 변화를 반영한 교수ㆍ학습 방법 및 유의 사항과 평가 방법 및 유의 사항이 다수 추가되었다.

특히, 2015 개정 수학과 교육과정에서는 확률과 관련되어 학습자의 정의적 측면을 강조하는 태도 및 실천, 공학적 도구의 활용을 강조하는정보처리 역량과 관련된 교수ㆍ학습 방법 및 유의 사항을 제시한다. 생활 주변의 다양한 소재를활용하여 확률을 도입하도록 함으로써 수학의 가치를 인식하도록 하였고, 충분히 많은 횟수의시행을 구현하기 위해 공학적 도구를 활용하도록 함으로써 정보를 효과적으로 처리하는 능력을 강조하였다. 또한 평가 방법 및 유의 사항에는 확률의 계산이 복잡한 경우는 다루지 않게 함으로써 학습 부담을 경감하고, 조건부확률에대한 이해를 평가할 때에는 과정 중심 평가를 할 수 있다고 제시함으로써 평가 방법을 개선하도록 하였다.

나. 수학 교과 지식: 조건부확률에 대한 이해

조건이 주어진 불확실성을 수량화한 조건부확률은 확률 추론의 바탕에 놓여있는 개념으로 확률을 이해하는데 핵심적인 역할을 하는 기본 개념이다(Lee & Woo, 2009, p. 233). 그러나 조건부확률은 가능성을 판단해야 하는 상황이 사건의 순서, 인과와 같은 복합적인 맥락과 얽혀 있기 때문에 학생들은 조건부확률을 어려워하며 다양한 오개념을 가질 수 있다(Batanero & Sanchez, 2005; Gras & Totohasina, 1995; Lee & Woo, 2009; Shaughnessy, 1992).

Gras & Totohasina(1995)는 고등학교 학생들을대상으로 조건부확률에 대한 세 가지 오개념인 시간적 개념(chronological conception), 인과적 개념(causal conception), 수적 개념(cardinal conception)을 확인하였다. 시간적 개념은 조건부확률 P(B|A)을 시간적 관계로 해석하여 조건사건 A가 반드시 목적사건 B보다 시간상 먼저 발생해야 한다고 인식하는 오개념이다. 인과적개념은 P(B|A)를 인과적 관계로 해석하여 조건사건 A가 원인이고 목적사건 B가 결과라고 인식하는 오개념이다. 마지막으로 수적 개념은 조건부확률 P(B|A)을 경우의 수의 비율 n(AB)n(A)로 인식하는 오개념이다.

Lee & Woo(2009)는 선행 연구(Falk, 1989; Konold, Pollatsek, Well, Lohmeier, & Lipson, 1993; Shaughnessy, 1992)를 기반으로 조건 사건에 대한 오개념, 사건의 시간 순서에 대한 오개념, 조건관계와 인과관계에 대한 오개념, 독립성에 대한 오개념을 확인하였다. 이 중 사건의 시간 순서에 대한 오개념은 앞서 언급한 시간적 개념과 동일하며 조건관계와 인과관계에 대한 오개념은 인과적 개념과 동일하다. 조건 사건에대한 오개념은 P(B|A)를 표본공간 전체의 집합이 A로 국한되는 확률 즉, A가 표본공간이되는 시행에서의 확률로 인식하지 못하는 오개념으로 등확률을 고려한 표본공간을 구성하지 못하는 것이다. 독립성에 대한 오개념은 불확실한 과정의 특성을 반영한 경우의 가능성이 더 크다고 생각하는 오개념이다.

조건부확률 이해의 핵심은 조건사건에 대한 새로운 표본공간을 구성할 수 있는 데에 있으며 가능한 결과들을 빠짐없이 체계적으로 생성할 수 있는 능력이 필요하다(Lee & Woo, 2009, p. 237). 또한 복원 상황과 비복원 상황을 구분하고, 비복원 상황에서 사건의 확률이 변한다는 것을 인식해야 한다(Jones, Langrall, Thornton, & Mogill, 1999). 확률적 상황에 대한 주관적 판단이나 위에서 언급한 오개념에 빠지지 않고, 조건이주어진 불확실한 상황에서 수치적 확률값을구하고, 결과를 정당화하는 능력이 필요하다(Na, Lee, Han, & Song, 2007). 이상의 선행 연구 분석으로부터 조건부확률 개념의 이해 요소를 정리하면 다음과 같다.

  • - 조건부확률 P(B|A)를 표본공간 전체의 집합이 A로 국한되는 확률 즉, A가 표본공간이 되는 시행에서의 확률임을 이해해야 한다.

  • - 조건부확률 P(B|A)를 사건의 시간적 순서로 해석하지 않아야 한다. 즉, 확률이 조건사건 A와 목적사건 B가 일어나는 순서에영향을 받지 않는다는 것을 이해해야 한다.

  • - 조건부확률 P(B|A)를 사건의 인과관계로해석하지 않아야 한다. 즉, 조건사건 A가원인이고 목적사건 B가 결과라고 인식하지않고 사건들 간의 관계로 이해해야 한다.

  • - 조건부확률 P(B|A)에서 조건사건 A와 목적사건 B를 구분해야 한다. 즉, 조건이 되는 사건과 그 조건 하에 구하고자 하는 사건을 구별해야 한다.

이와 같이 조건부확률 개념의 이해와 관련하여 여러 가지 이슈들이 선행 연구로부터 제기되었다. 이러한 내용들은 모두 교사 지식으로서 조건부확률과 관련된 교육과정 자료를 해석하는 과정에 개입할 것으로 예상된다. 또한 조건부확률은 교육과정과 교과서에서도 정형화된 도입 방식이 존재하지 않으며 많은 부분을 교사의 선택에 의지한다는 점(Ku et al., 2019, p. 351)에 비추어 볼 때 교육과정 자료에 대한 교사들의 해석을 확인할 필요성이 제기된다.

1. 연구 방법

본 연구에서는 현직 고등학교 교사들의 인식과 2015 개정 수학과 교육과정에 대한 해석을살펴보기 위한 연구 방법으로 설문지를 활용한 조사 연구를 채택하였다. 조사 연구는 현직교사의 교육과정 자료 해석 실태를 있는 그대로의 현상으로서 파악하기 위한, 본 연구의 목적에 부합하는 유용한 연구 방법이라 할 수 있다.

구체적으로 현직 고등학교 교사들의 인식과 2015 개정 수학과 교육과정에 대한 해석을 살펴보기 위해 연구 참여자들이 스스로 응답할 수 있도록 사전에 만든 설문 문항을 수정하여 적용하였다. 본 연구에서는 연구 참여자의 외적 표현자료로 양적인 자료와 질적인 자료를 모두 수집하였으며, 예비 설문지를 현직 고등학교 교사들에게 보내 응답하게 한 후 피드백을 받아 의미가 모호한 부분을 수정ㆍ보완하면서 최종 설문지를 확정하였다.

최종 설문지는 두 부분으로 구성되는데 먼저 현직 고등학교 교사의 인식을 확인하기 위해 선다형 문항과 서술형 문항을 구성하였다. 첫 번째문항은 교사가 교육과정에 어느 정도로 의존하고 사용하느냐에 관한 인식을, 두 번째 문항은수업 설계의 자료로서 교과서와 교사용 지도서에 관한 인식을 확인하기 위한 것이었다. 이는우리나라 교사들의 경우 교사용 및 교사용 지도서에 대한 의존도가 높다는 결과(Kim, 2013)를반영하였으며 선다형 문항의 보기는 선행 연구 (Brown & Edelson, 2003; Remillard & Bryans, 2004; Snyder, Bolin & Zumwalt, 1992)를 종합하여 구성되었다. 세 번째 문항은 조건부확률의 수업에 관한 인식을 확인하고자 한 것으로 교사의 사전 지식, 경험, 신념과 태도가 반영될 것이라판단하여 자유롭게 의견을 작성할 수 있는 자유 서술식 문항으로 구성하였다. 구체적인 문항 내용은 Figure 1과 같다.

Figure 1.The questionnaire of highschool teachers’ perception

두 번째 부분은 선행 연구(Lee, Lee, Park, & Song, 2017)를 검토하여 현직 고등학교 교사는2015 개정 수학과 교육과정의 주요 변화를 어떻게 이해하고 있는지, 그리고 교육과정에 관해 어떻게 의미를 구성하는지 살펴보는 데 초점을 맞추어 자유 서술식 문항을 개발하였다. 연구 수행당시, 학교 현장에서는 2009 개정 수학과 교육과정과 2015 개정 수학과 교육과정이 함께 운영되고 있어 2015 개정 수학과 교육과정에 대한 교사들의 인식이 낮을 것으로 예상되었다. 또한 조건부확률의 경우 성취기준 상의 큰 차이는 없으나 교육과정 개정의 의도를 따르기 위해 교수ㆍ학습이나 평가에 변화가 요구된다. 이에 설문 문항 구성 시 조건부확률 부분에 대한 2009 개정수학과 교육과정과 2015 개정 수학과 교육과정을 모두 제시하였으며 개정의 주요 변화에 주목하도록 하였다. 특히 2015 개정 수학과 교육과정의 교수ㆍ학습 방법 및 유의 사항과 평가 방법및 유의 사항에는 조건부확률을 비롯한 확률 영역 전반을 아우르는 내용이 포함되어 있었지만본 연구의 목적이 2015 개정 교육과정의 주요변화에 대한 교사의 해석을 확인하는데 있으므로 모든 내용을 제공하였다. 이에 따라 Figure 2와 같이 설문 문항이 구성되었다.

Figure 2.The questionnaire of highschool teachers’ reading on official curriculum

2. 연구 대상

본 연구는 현직 고등학교 교사의 인식과 조건부확률에 관한 교육과정 해석을 알아보기 위해 2018년 11월 23일부터 12월 15일에 실시된 고등학교 수학신설과목 교과서 활용 연수에 참여한 교사의 설문 응답을 분석하였다. 지역별, 경력별로 2015 개정 수학과 교육과정에 대한 교사들의해석의 차이가 발생할 수 있으므로 연구 대상의 대표성을 확보하기 위해 전국 단위로 진행되는 연수에 참여하는 교사들을 대상으로 설문지를 제공하였다. 설문조사는 설문에 대한 협조를 구한 후 오프라인 방식으로 이루어졌다.

해당 연수에 참여한 교사 중 설문지를 제공받은 교사의 수는 239명이었으며 설문 응답자는부분응답자 포함 218명으로 회신율은 91.2%이다. 실제 연구진이 분석한 설문 대상은 218명으로서울특별시와 광역시를 포함한 대도시에 근무하는 교사가 91명(41.7%), 중소도시와 읍면지역에근무하는 교사가 127명(58.3%)이었다. 또한 설문에 응답한 교사의 교직 경력별 분포는 Table 2와같다. 학교 현장에서 일반적으로 <확률과 통계> 교과는 고등학교 2학년 또는 3학년에 개설되는데 당시 해당 학년을 가르치는 교사는 172명이었으며 그 중 15명이 과거에 해당 학년을 지도하지 않은 것으로 확인되었다.

Table 2 Distribution of participants’ teaching experience

교직 경력응답자 수(비율)
5년 미만34(15.6%)
5년 이상 10년 미만38(17.4%)
10년 이상 15년 미만37(17.0%)
15년 이상 20년 미만51(23.4%)
20년 이상56(25.7%)
무응답2(0.9%)
합계218(100%)


본 연구에 참여한 218명의 연구 참여자는 편의표집을 통해 선정되었고 연수에 참여할 만큼의 적극성을 갖춘 교사집단으로 편향되어 있을 가능성이 존재한다. 비록 본 연구가 우리나라 현직 고등학교 교사의 시각을 통계적으로 온전히 정당화하지는 못할 수 있지만, 대체적인 경향성과 실태를 보여줄 수 있을 것으로 기대된다.

3. 자료 분석

본 연구에서 수집된 자료 중 선다형 문항의 경우 문항별 응답자 수를 확인하여 양적으로 분석하였고, 서술형 문항의 경우는 질적 분석을 시도하였다. 문항 2-3의 경우, 선행 연구(Ku et al., 2019; Remillard & Bryans, 2004)를 참고하여 교사가 특정 내용을 지도할 때 가장 중점적으로 고려하는 것이 무엇인지를 개념 이해, 공식과 절차의 연습, 응용 문제의 해결, 흥미 유발로 범주화하고 분류하였다. 문항 2-1의 코딩 기준은 교육과정에 자료에 대한 예비교사의 해석을 연구한 Ku et al.(2019)의 코딩 기준을 2015 개정 수학과 교육과정의 주요 변화를 반영하여 수정하였다.

Ku et al.(2019)은 선행 연구(Choppin, 2011; Land et al., 2015; Sherin & Drake, 2009)를 검토하여 각 연구 결과로 제시된 교육과정 자료 해석의 범주를 비교하고, 예비교사의 교육과정 자료 해석의 범주를 교육과정 자료에 제시된 부분을 재서술하는 방식으로 그 특징을 기술하는 ‘기술’, 교육과정에 대해 전반적으로 평가하지만그 이유를 구체적으로는 설명하지 않는 ‘평가’, 교육과정 자료에 제시된 정보뿐만 아니라 교사가 갖고 있는 지식과 경험을 활용하여 구체적으로 해석하는 ‘해석’의 세 가지로 구분하였다.

그러나 상당수의 현직교사들은 이미 성취기준을 확인하거나 교수ㆍ학습 및 평가에 대한 유의점과 방법을 확인하는 방식으로 교육과정을 적극적으로 활용하고 있으며(Kwon, 2017) 교사마다 수학, 수학 수업, 교육과정에 대한 인식이 있고 이는 수업 설계 및 실행에 영향을 미친다 (Remillard & Bryans, 2004). 따라서 앞서 언급한Ku et al.(2019)의 범주는 본 연구의 목표와 연구대상을 고려한다면 결과 분석을 위해 적용하는 데 한계가 있다.

2015 개정 수학과 교육과정에서는 성취기준과교수ㆍ학습 방법 및 유의 사항에 교과 역량이 반영되도록 하였으며 교수ㆍ학습 방법 및 유의 사항은 교과역량이 교수ㆍ학습에서 구현되도록 성취기준을 부연한다. 또한 교수ㆍ학습 방법 및유의 사항은 기존 교육과정의 교수ㆍ학습상의 유의점을 확장한 것으로 수학 교과 역량과 관련된 설명, 교수ㆍ학습에서 고려할 사항, 다루는내용의 범위와 난이도에 대한 제한 등이 담겨 있다. 평가 방법 및 유의 사항은 2015 개정 교육과정에서 신설된 것으로 평가에서 지나치게 어려운 내용이 다루어지지 않도록 문항의 범위와 수준의 한계를 짓는 진술을 담고 있어 학습 부담 경감을 실현하는 하나의 장치가 된다. 더불어성취기준에 따라 특화된 과정 중심 평가 등이 이루어질 수 있도록 평가 방법을 제안하기도 한다(Park et al., 2015).

본 연구는 현직 고등학교 교사의 인식과 조건부확률에 관한 2015 개정 수학과 교육과정의 주요 변화를 어떻게 해석하는지 살펴보는데 목표가 있고, 연구 참여자들에게 성취기준, 교수ㆍ학습 방법 및 유의 사항, 평가 방법 및 유의 사항을 모두 제시하였다. Park et al. (2015)에 의하면하나의 성취기준, 교수ㆍ학습 방법 및 유의 사항이 여러 수학 교과 역량을 포함하는 경우가 많지만, 대표적인 교과 역량을 제시할 수 있다. 따라서 본 연구에서는 조건부확률에 관련된 부분에서 강조되는 2015 개정 수학과 교육과정의 주요 변화와 연결하여 Table 3과 같이 정리하였다.

Table 3 Linkage between categories related conditional probability and major changes in 2015 revised mathematics curriculum

구분내용주요 변화와의 연결
성취기준조건부확률의 의미를 이해하고, 이를 구할 수 있다.수학적 개념, 원리, 법칙을 이해하고, 조건 등을 파악하는 수학적 사실 분석과 연관되므로 수학 교과 역량 중 추론과 대응
교수 학습 방법 및 유의 사항수학적 확률을 다룰 때, 근원사건의 발생 가능성이 동등하다는 것을 가정한다는 점에 유의한다.
교수 학습 방법 및 유의 사항생활 주변의 다양한 소재를 활용하여 확률을 도입한다.수학에 대해 관심과 흥미를 갖고, 수학의 필요성을 인식하는 가치 인식과 연관되므로 수학 교과 역량 중 태도 및 실천과 대응
교수 학습 방법 및 유의 사항통계적 확률과 수학적 확률의 관계를 이해하고 통계적 확률을 다룰 때 충분히 많은 횟수의 시행을 구현하기 위하여 공학적 도구를 이용할 수 있다.공학적 도구의 이용을 명시적으로 제시하므 로 정보처리와 대응
교수 학습 방법 및 유의 사항확률의 계산이 복잡한 경우는 다루지 않는다.수업이나 평가에서 지나치게 어려운 내용이 다루어지지 않도록 문항의 범위와 수준의 한계를 제시하므로 학습 부담 경감과 대응
평가 방법 및 유의 사항세 사건 이상에서 서로 배반이거나 서로 독 립임을 가정한 복잡한 문제는 다루지 않는다.
평가 방법 및 유의 사항조건부 확률에 대한 이해를 평가할 때에는 과정 중심 평가를 할 수 있다.과정 중심 평가가 이루어질 수 있도록 평가 방법을 제안하므로 평가 방법 개선과 대응


이에 본 연구진은 Ku et al. (2019)에서 제시한교사의 교육과정 자료 해석의 범주를 앞서 제시한 조건부확률에 관련된 부분에서 강조되는 2015 개정 수학과 교육과정의 주요 변화(Table 3)와 연결하여 세부적인 분석이 가능하도록 한 Table 4를 도출했다. 특히 교사가 교육과정 자료를 적절한 방식으로 해석해야 유의미한 교육과정 자료의 사용이 가능하며(Choppin, 2011; Land et al., 2015) 개정된 교육과정에서 성취기준 상의큰 차이는 없으나 교육과정 개정의 의도를 따르기 위해 교수ㆍ학습이나 평가에 변화가 요구된다는 점에서 Table 4로부터 교사가 2015 개정 수학과 교육과정의 주요 변화 중 무엇에 주목하며 이를 어떻게 해석하는지 분석하고자 하였다.

Table 4 Classification table linking curriculum materials reading and major changes

범주추론태도 및 실천정보 처리학습 부담 경감평가 방법 개선
기술
평가
해석

1. 교사의 인식

가. 교육과정과 교과서 및 교사용 지도서에 관한 교사의 인식

문항 1은 교육과정과 교과서 및 교사용 지도서에 관한 교사의 인식을 확인하고자 두 개의 하위 문항으로 설계되었다. 문항 1-1은 교사가교육과정에 어느 정도로 의존하고 사용하느냐를, 문항 1-2는 수업 설계의 자료로서 교과서와 교사용 지도서를 어떻게 바라보는지 확인하기 위한 것이었다. 이는 우리나라 교사들의 경우 교사용 및 교사용 지도서에 대한 의존도가 높다는 결과(Kim, 2013)를 반영하였으며 선다형 문항의보기는 선행 연구(Brown & Edelson, 2003; Remillard & Bryans, 2004; Snyder, Bolin, & Zumwalt, 1992)를 종합하여 구성되었다. 각 문항에 대한 연구 참여자들의 응답을 통계적으로 정리하면 Table 5, Table 6과 같다.

Table 5 Number of participants by perceptions of official curriculum (Question 1-1)

구분응답자 수 (비율)
교육과정을 신뢰하며 따라야 한다: 충실도의 관점17(7.8%)
교육과정을 해석하고 교육상황에 따 라 수정 보완하여 재구성해야 한다: 적용의 관점141(64.7%)
교육과정에 유연하게 대처하며 교육 상황에 따라 새로운 교육과정을 만들기도 해야 한다: 생성의 관점55(25.2%)
기타(무응답 등)5(2.3%)
합계218(100%)

Table 6 Number of participants by perceptions of textbook and teachers’ guidebook (Question 1-2)

구분응답자 수 (비율)
교과서, 교사용 지도서는 신뢰할 수 있는 자료이며 수업 설계 전반에 대한 방향을 제공한다.82(37.6%)
교과서, 교사용 지도서는 학생들에게 제공할 수 있는 활동들과 과제들의 모임이다.54(24.8%)
교과서, 교사용 지도서는 여러 과제를 포함하고 있지만 여러 교육상황에 대처하기에는 한계가 있다.75(34.4%)
기타(무응답 등)7(3.2%)
합계218(100%)


문항 1-1을 통해 연구 참여자 중 64.7%가 교육과정을 실행할 때 교사의 역할을 교사 개인의 역량이나 신념을 바탕으로 필요에 따라 재구성을 할 수 있다는 적용의 관점(adaptation)을 취하고 있음을 알 수 있었다. 다음으로 25.2%의 교사는 사회문화적 맥락에 따라 교사의 자율성을 강조하여 개발자로서의 교사의 역할을 강조하는 생성의 관점(improvisation)을 취하고, 7.8%만이교육과정 개발자의 의도를 충분히 이해하고 이를 신뢰하며 따라야 할 대상으로 생각하는 충실도의 관점(offloading)을 취하고 있음을 확인하였다.

현직 고등학교 교사가 교과서와 교사용 지도서를 어떻게 바라보는지 확인한 결과 연구 참여자 중 37.6%가 교과서와 교사용 지도서는 신뢰할 수 있는 자료이며 수업 설계 전반에 대한 방향을 정하는 데 지지할 것이라는 응답했다. 다음으로 34.4%의 교사는 다양한 사회문화적 맥락을고려했을 때 교과서와 교사용 지도서는 한계가 있을 수 있다고 응답했으며 마지막으로 24.8%의교사는 수업에서 학생들에게 제공할 수 있는 활동들과 과제를 모아놓은 것이라는 응답하였다.

나. 조건부확률의 수업에 관한 인식

문항 2-3은 수업 실행에서 가장 중요할 것이라판단되는 조건부확률의 수업에서 중시하는 바에 대한 인식을 확인하였다. 교사의 사전 지식, 경험, 신념과 태도가 반영될 것이라 판단하여 자유롭게 의견을 작성할 수 있는 자유 서술식 문항으로 구성하였다. 연구 참여자들의 응답을 정리하면 Table 7과 같다.

Table 7 Number of participants by perceptions of teaching conditional probability

범주응답자 수(비율)
개념 이해122(56.0%)
공식과 절차의 연습20(9.2%)
응용 문제의 해결7(3.2%)
흥미 유발24(11.0%)
기타(무응답 등)45(20.6%)
합계218(100%)


연구 참여자 중 56.0%는 개념 이해를, 11.0%는 흥미 유발을, 9.2%는 공식과 절차의 연습을강조한 것으로 파악되었으며 3.2%만이 응용 문제의 해결을 강조했다. 본 연구의 참여자가 현직고등학교 교사라는 점을 고려할 때 조건부확률 수업에서 공식과 절차의 연습이나 응용 문제의 해결을 중시할 것이라 예상되었지만 교사들은 당면한 대학 입시나 수능 위주의 문제 풀이보다 수학 학습의 가장 기초가 되는 조건부확률의 개념 이해를 가장 중시하는 것으로 확인되었다.

또한 조건부확률 개념 이해를 가장 중시한 122명의 응답 중 앞서 분석한 조건부확률 개념의 이해 요소를 언급한 응답이 다수 확인되었으며 이는 Figure 3과 같다. 조건부확률 P(B|A)를 표본공간 전체의 집합이 A로 국한되는, A가표본공간이 되는 시행에서의 확률로 이해해야 한다는 내용의 응답이 가장 많은 58.2%(122명중 71명)으로 확인되었으며 조건이 되는 사건과그 조건 하에 구하고자 하는 사건을 구별해야 한다는 내용의 응답이 4.1%(122명 중 5명)으로확인되었다. 한편, 조건부확률에서 사건의 시간적 순서나 인과관계를 언급한 응답은 중복 집계하여 각 11명과 2명 있었지만 이들 중 9명과 1명은 조건부확률 P(B|A)를 사건의 시간적 순서로 해석하는 시간적 개념과 조건사건 A가 원인이고 목적사건 B가 결과라고 인식하는 인과적 개념(Gras & Totohasina, 1995)을 갖고 있는것으로 확인되었다. 조건부확률에 대한 오개념을교사가 갖고 있다면 교사의 교육과정 자료 사용에 제한이 있을 수 있으며(Stohl, 2005) 수업의질에도 영향이 있을 것으로 예상된다(Stein & Kaufman, 2010).

Figure 3.Examples of responses about elements of understanding the meaning of conditional probability in that emphasize conceptual understanding

2. 조건부확률 교육과정에 대한 현직 고등학교 교사의 해석

문항 2-1은 현직 고등학교 교사가 2015 개정수학과 교육과정의 주요 변화를 어떻게 해석하는지 확인하고자 설계된 문항이다. 조건부확률에관련된 부분에서 강조되는 2015 개정 수학과 교육과정의 주요 변화를 기술, 평가, 해석 범주로 분석한 결과는 Table 8과 같다3). 특히 대부분의응답들이 교육과정의 주요 변화를 다수 언급했기 때문에 언급된 항목은 중복 집계 후 분석하였으며 각 범주로 분류된 응답의 예는 Figure 4와 같다.

Table 8 Categories of teachers’ reading of major changes in 2015 revised mathematics curriculum

범주추론태도 및 실천정보 처리학습 부담 경감평가 방법 개선합계
기술675623943225
평가204786788
해석14962233
합계40131764752346

Figure 4.Examples of responses about teachers’ reading of major changes

먼저 2015 개정 수학과 교육과정의 주요 변화를 고려하지 않고 기술, 평가, 해석 범주만을 초점을 살펴보면, 65.0%(346건 중 225건)가 교육과정 자료에 제시된 부분을 재서술하는 방식으로 그 특징을 기술하는 기술 범주로 확인되었다. 25.4%(346건 중 88건)은 교육과정에 대해 전반적으로 평가하지만 그 이유를 구체적으로는 설명하지 않는 평가 범주로, 9.6%(346건 중 33건)은교육과정 자료에 제시된 정보뿐만 아니라 교사가 갖고 있는 지식과 경험을 활용하여 구체적으로 해석하는 해석 범주로 확인되었다. 앞서 교사의 교육과정에 관한 인식에서 확인한 바와 같이89.9%의 교사가 교육과정을 실행할 때 교사의역량과 신념을 바탕으로 재구성을 할 수 있다는적용의 관점이나 교사의 자율성을 강조하여 개발자로서의 교사의 역할을 강조하는 생성의 관점을 취했다. 또한 상당수의 교사들은 교과서와교사용 지도서가 학생들에게 제공할 수 있는 과제들의 모임이며 여러 교육상황에 대처하기에 한계가 있음을 지적하였다. 그러나 교육과정의해석에서는 교사의 지식과 경험을 활용하여 구체적으로 해석하는 해석 범주가 가장 낮은 비율로, 기술 범주가 가장 높은 비율로 확인되었다. 교육과정 개정의 의도에 대한 이해 없이 자료의 특징을 기술만 한 경우 교육과정 자료의 사용이 부적절할 수 있다는 점에 비추어볼 때(Choppin, 2011) 교사가 교육과정 개정의 의도를 충분히이해하고 지식, 경험, 신념과 태도를 기초로 하여 주어진 맥락에 맞게 교육과정 자료의 의미를 구성할 기회를 제공할 필요성에 제기된다.

기술, 평가, 해석 범주를 고려하지 않고, 2015 개정 수학과 교육과정의 주요 변화만을 초점을 맞춰 살펴보면, 37.9%(346건 중 131건)가 실생활과의 연결을 강조하며 수학에 흥미를 갖고, 확률의 필요성을 느끼도록 하는 태도 및 실천과 관련된 언급으로 확인되었다. 22.0%(346건 중 76건)는 공학적 도구의 이용을 언급하는 정보처리와 관련된 언급으로, 평가에서의 제한이나 과정중심 평가를 언급하는 학습 부담 경감과 평가 방법 개선이 각 13.6%(346건 중 47건), 15.0% (346건 중 52건)로 확인되었다. 마지막으로11.5% (346건 중 40건)는 조건부확률의 개념 이해가 강조되었다는 내용으로 추론에 관련된 언급이었다.

2015 개정 수학과 교육과정의 주요 변화별로교육과정을 어떻게 해석하였는지 살펴보면 Figure 5와 같다.

Figure 5.Distribution of teachers’ reading by major changes

2015 개정 수학과 교육과정의 주요 변화 중추론에 관한 응답은 태도 및 실천을 비롯한 다른 변화에 비해 언급된 빈도는 낮았다. 그러나교육과정에 대해 전반적으로 평가하는 평가 범주와 교사가 갖고 있는 지식과 경험을 활용하여 해석하는 해석 범주가 높은 비율(각 50.0%, 35.0%)로 확인되었다. 교사들이 학생들이 배워야할 수학적 아이디어를 중심으로 교육과정 자료를 해석할 때 학생들이 더 높은 수준의 수업을 받는 경향이 있다는 연구 결과(Stein & Kaufman, 2010)와 조건부확률 수업에서 개념 이해에 대한교사의 인식이 높다는 점에 비추어볼 때, 조건부확률의 개념을 이해하고 조건 등을 파악하는 수학적 사실 분석과 관련된 추론 역량을 신장시키기 위한 교육과정 개정의 의도가 수업 실행으로 구현될 가능성을 확인한 것으로 보인다.

교사들은 조건부확률과 관련된 2015 개정 수학과 교육과정의 주요 변화 중 태도 및 실천, 정보처리, 학습 부담 경감, 평가 방법의 개선을 인식하고언급하였으나 기술 범주에 해당하는 응답의 빈도가 가장 높고, 평가, 해석 범주 순으로 빈도가 낮았다. 특히, 정보처리, 학습 부담 경감과 관련하여2015 개정 수학과 교육과정에 제시된 내용을 재서술하는 방식이 두드러졌다. 평가 방법 개선과 관련하여 교사들 대부분은 과정 중심 평가를 언급만할뿐 그 개념이나 취지 등을 이해하는 응답은 거의확인되지 않았다. 교사가 교육과정 개정의 의도를인식하고 공감할 때 수업에서 구현되며(Remillard & Bryans, 2004) 교사가 교육과정 자료를 적절한방식으로 해석해야 교육과정 자료의 유의미한 사용이 가능하다는 점에서(Choppin, 2011; Land et al., 2015) 앞서 언급한 교육과정의 변화를 수업에서구현할 수 있는 구체적인 방안 중심의 교사전문성향상의 기회를 제공할 필요성이 제기된다.

본 연구에서는 현직 고등학교 교사의 교육과정 자료에 대한 인식을 확인하고, 조건부확률에 관한 2015 개정 수학과 교육과정의 주요 방향을어떻게 해석하는지 살펴보았다. 조건부확률은 이전 교육과정에 비해 성취기준 상의 큰 차이는 없으나 교과 역량과 과정중심평가 등 교육과정 개정의 방향을 반영한 교수ㆍ학습과 평가 방법 및 유의 사항이 추가되었다. 이에 교육과정 개정의 방향과 취지를 반영한 교수ㆍ학습과 평가에 변화가 요구된다. 즉, 조건부확률은 내용 특수성과 교육과정 개정의 방향을 반영한 교사의 교육과정 자료 해석을 분석하는 데 도움을 제공할 것이라 기대된다. 이를 위해 교사의 교육과정 자료 해석에 영향을 미치는 교육과정, 교과서 및교사용 지도서, 조건부확률 수업에 관한 인식을확인하고자 했고, 조건부확률에 관한 2015 개정수학과 교육과정을 제공하고 교육과정 개정의 의도와 주요 변화를 어떻게 해석하는지 살펴보았다. 교사의 인식과 교육과정 자료 해석에 관한선행 연구(Choppin, 2011; Land et al. 2015; Sherin & Drake, 2009)를 바탕으로 문항을 설계하여 설문 조사하였으며, 연구 참여자는 연수에참여한 일부 교사들 중에서 편의표집을 통해 선정하였다. 조건부확률에 관련된 부분에서 강조되는 2015 개정 수학과 교육과정의 주요 변화와연결하여 세부적인 분석이 가능하도록 분류표를 도출하였다. 이로부터 교사가 2015 개정 수학과교육과정의 주요 변화 중 무엇에 주목하며 어떻게 해석하는지 분석하였다.

첫째, 교육과정에 관한 교사의 교육과정 자료에 대한 인식을 정리한 결과 대다수의 교사들은 교육과정을 실행할 때 교사가 개인의 역량이나 신념을 바탕으로 재구성할 수 있고, 교사가 개발자로서의 역할을 할 수 있으며 자율성을 강조하는 것으로 확인되었다. 또한 교과서와 교사용 지도서에 관한 교사의 인식을 확인한 결과 상당수는 교과서와 교사용 지도서를 신뢰하며 지지할 것이라 응답했지만 다양한 사회문화적 맥락을 고려할 때 교육과정 자료가 갖는 한계를 인식한 교사도 유사한 비율로 확인되었다.

둘째, 조건부확률 수업에 관한 인식을 확인한결과 절반 이상이 개념 이해를 중시하였으며, 그외로 공식과 절차의 연습, 응용 문제의 해결이확인되었는데 이는 선행 연구의 결과(Choppin, 2011; Remillard & Bryans, 2004)와 유사하다. 본 연구의 참여자가 현직 고등학교 교사라는 점에서 공식과 절차의 연습이나 응용 문제의 해결에 대한 인식이 두드러질 것으로 예상되었으나 교사들은 당면한 대학 입시나 수능 위주의 문제 풀이보다 수학 학습의 가장 기초가 되는 조건부확률의 개념 이해를 가장 중시하는 것으로 확인되었다. 또한 본 연구에서는 11.0%의 교사가 학생의 흥미 유발을 중시하는 것으로 확인되었는데 이는 학생들의 수학에 대한 관심과 수업 참여도에 영향을 받는 현직교사들의 경향 (Eisenmann & Even, 2011; Kim, 2013)을 반영한것으로 파악된다.

예비교사를 대상으로 교육과정 자료 해석을 살펴본 Ku et al.(2019)와 달리 본 연구의 참여자인 현직교사들은 조건부확률 개념의 이해 요소를 상당수 언급하였다. 조건부확률의 개념 이해를 가장 중시한 언급 중 절반 이상은 표본공간의 변화를 이해해야 한다는 언급을 했으며 조건사건과 목적사건을 구분해야 한다는 응답도 일부 확인되었다. 한편, 조건부확률에서 사건의 시간적 순서나 인과관계를 언급한 응답도 있었지만 이들 중 대다수는 오개념을 갖고 있는 것으로 확인되었다. 많은 교사들이 조건부확률 개념의 중요성을 강조하고 이해 요소를 정확히 언급하고 있어 실제 수업에 미칠 긍정적 영향이 기대되지만(Stein & Kaufman, 2010) 조건부확률에 대한 오개념을 교사가 갖고 있다면 교사의 교육 과정 자료 사용이 부적절할 가능성이 있을 것으로 예상된다(Choppin, 2011; Stohl, 2005).

셋째, 2015 개정 수학과 교육과정의 해석은 기술, 평가, 해석의 범주가 모두 확인되었다. 특히교육과정을 제공하였을 때 예비교사의 경우 자신의 지식이나 경험을 바탕으로 해석하는 해석 범주가 관찰되지 않았지만(Ku et al., 2019) 현직고등학교 교사에게는 해석 범주가 확인되었다. 다만, 교육과정을 실행할 때 교사의 적극적인 역할을 강조하며 교과서와 교사용 지도서의 한계를 지적하는 인식이 확인됨에도 불구하고 교육과정의 해석에서는 교사의 지식과 경험을 활용하여 구체적으로 해석하는 해석 범주가 가장 낮은 비율로, 기술 범주가 가장 높은 비율로 나타났다. 교육과정 개정의 의도에 대한 이해 없이자료의 특징을 기술만 한 경우 교육과정 자료의 사용이 부적절할 수 있다는 점에 비추어볼 때(Choppin, 2011) 교사가 교육과정 개정의 의도를충분히 이해하고 지식, 경험, 신념과 태도를 기초로 하여 주어진 맥락에 맞게 교육과정 자료의 의미를 구성할 기회를 제공할 필요성이 제기된다.

2015 개정 수학과 교육과정의 주요 변화에 초점을 맞춰 살펴보면, 응답의 절반 이상은 실생활과의 연결을 강조하며 수학에 흥미를 갖고 확률의 필요성을 느끼도록 하는 태도 및 실천이나 공학적 도구의 이용을 언급하는 정보처리와 관련된 것이었다. 다음으로 학습 부담 경감과 평가방법 개선, 추론의 순으로 주목했다. Kim et al. (2015)의 연구에서 초등학교나 중학교에 비해 고등학교 교사들이 교과 역량과 정의적 측면의 중요성을 다소 낮게 평가하는 경향이 보고되었으나, 본 연구에서 제공한 확률 단원은 실생활과밀접하게 관련되어 있고 공학적 도구가 강조되기 때문에 다수의 교사들이 태도 및 실천과 정보처리에 주목한 것으로 보인다.

추론에 관한 응답은 다른 변화에 비해 언급된 빈도는 낮았으나 교육과정에 대해 전반적으로 평가하는 평가 범주와 교사가 갖고 있는 지식과 경험을 활용하여 해석하는 해석 범주가 높은 빈도로 확인되었다. 교사들이 학생들이 배워야 할수학적 아이디어를 중심으로 교육과정 자료를 해석할 때 학생들이 더 높은 수준의 수업을 받는 경향이 있다는 연구 결과(Stein & Kaufman, 2010)와 조건부확률 수업에서 개념 이해에 대한교사의 인식이 높다는 점에 비추어볼 때, 추론역량을 신장시키기 위한 수업 실행이 이루어질 가능성을 확인한 것으로 보인다.

교사들은 태도 및 실천, 정보처리, 학습 부담경감, 평가 방법의 개선을 인식하고 언급하였으나 기술 범주의 빈도가 가장 높고, 평가, 해석범주 순으로 빈도가 낮았다. 특히, 정보처리, 학습 부담 경감과 관련하여 교육과정에 제시된 내용을 재서술하는 방식이 두드러졌으며 평가 방법 개선과 관련하여 교사들 대부분은 과정 중심평가를 언급만할 뿐 이를 충분히 이해한 응답은거의 확인되지 않았다. 교사가 교육과정 개정의의도를 인식하고 공감할 때 수업에서 구현되며(Remillard & Bryans, 2004) 교사가 교육과정 자료를 적절한 방식으로 해석해야 교육과정 자료의 유의미한 사용이 가능하다는 점에서(Choppin, 2011; Land et al., 2015) 교육과정 개정의 의도를 수업에서 구현할 수 있는 구체적인 방안 중심의 교사전문성 향상 기회를 제공할 필요성에 제기된다.

이를 토대로 본고에서는 다음과 같이 제언하고자 한다. 첫째, 교사가 교육과정 개정의 방향을 충분히 이해할 수 있도록 교사의 공식적 교육과정에 대한 해석을 지원할 수 있는 체제 마련이 필요하다. 본 연구의 결과에 따르면, 교사들은 조건부확률의 경우 이전 교육과정에 비해 성취기준에는 큰 차이가 없지만 2015 개정 수학과 교육과정의 변화로 태도 및 실천 및 정보처리 역량의 강조, 학습 부담 경감, 평가 방법의개선이 필요함을 인식하고 있었다. 그러나 대다수 교사의 해석이 기술 범주에 속하며 교육과정 개정의 의도를 반영한 해석 범주의 해석은 미미한 수준으로 확인되었다. 교사가 교육과정 개정의 의도를 이해하는 것과 교수실천에서 이를 구현하는 것의 어려움을 지적한 선행 연구(예를들어, McDuffie et al., 2018)에 비추어볼 때 이러한 결과는 교사가 교육과정 개정의 의도를 충분히 이해하고 교사의 지식, 경험, 신념 및 태도를기초로 주어진 맥락에 교육과정 자료의 의미를 구성할 기회가 제공될 필요성을 부연한다. 2015 개정 교육과정의 성취기준에 대한 설명, 취지를반영한 교수·학습 자료 등이 제공되었으나 여전히 교사들은 수업 실행을 위한 자발적인 교육과정 자료 해석과 수업 설계의 어려움을 겪고 있다. 이를 실제적으로 지원할 수 있는 연수, 교사연구 모임 활성화, 주기적인 전문가 연계 워크숍, 유연한 정보 공유 등의 지원 체제를 구축할필요가 있다.

둘째, 학교수학의 내용과 교육과정의 의도를연계하여 이를 수업에서 구현할 수 있는 전문성 신장에 관한 후속 연구가 필요하다. 교사는 텍스트(text as written)로서의 교육과정 자료를 해석하여 수업에서 활용할 수 있는 자원(resource in use)을 생성한다(Ball, 2011, p. 349). 본고에서 다룬 조건부확률은 확률 추론의 바탕에 놓여있는 개념이며 교사가 높은 수준의 내용 지식을 갖추어야 하는 내용 영역으로 교사의 지식과 경험에 기초한 해석과 판단이 요구된다. 또한 교육과정개정의 의도를 반영하여 학습 부담을 경감하며 평가 방법을 개선하고, 학생들이 수학의 필요성을 인식하도록 할 필요가 있다. 그러나 본 연구에서 조건부확률에 관한 오개념을 갖고 있는 교사들이 적지 않았으며 대부분의 교사들이 교육과정 개정의 의도를 충분히 이해하지 못하였다. 수학적 지식과 교수ㆍ학습 방법에 대한 높은 전문성이 요구되는 조건부확률과 같은 학교수학의 내용에 대하여 교사의 전문성을 신장시킬 수 있는 구체적인 방안에 관한 후속 연구가 필요하며, 나아가 이를 통해 사범대학의 예비교사교육 및 연수를 통한 현직교사교육에서 다룰 수학 내용 체계를 마련하는 데 기여할 수 있을 것으로 기대된다.

본 연구는 교사를 교육과정 문서와 수업 실행을 매개하는 존재로 보고, 교사의 인식과 교육과정 자료의 해석을 분석하는 기초적인 틀을 제공한다는 데 의의가 있다. 그러나 본 연구의 연구참여자는 연수에 참여한 일부 교사들 중에서 편의표집을 통해 선정되었기 때문에 본 연구의 결과를 우리나라의 모든 고등학교 교사로 일반화하여 적용하는 데 한계가 있다. 또한 연구 참여자를 대상으로 심층 면담을 진행하지 않아 교육과정 해석의 질적 차이는 분석하지 않았다. 그러나 교사의 교육과정 해석을 특정 내용 영역에초점을 맞추고, 내용 특수성을 반영한 분석을 수행하였다는 점에서 본 연구는 이후 이루어질 후속 연구의 방향을 제시할 수 있다. 특히, 교사의교육과정 자료 해석과 실행에 다양한 변인이 영향을 미친다는 연구 결과가 보고되어 있기에 (Kim et al., 2015), 교사의 생애주기별, 학교급별, 학교 소재지별로 교사의 교육과정 해석에 대한 후속 연구를 수행할 수 있을 것으로 보인다. 본연구 결과를 토대로 교사교육에 실천적인 시사점을 제공할 수 있는 교사의 교육과정 해석을 통한 전문성 신장에 관한 다양한 후속 연구가 이루어질 것으로 기대한다.

1) 이 논문은 2018년 교육부와 한국연구재단의 지원을 받아 수행된 연구임(NRF-201800600001)

2) Ball, Thames, Phelps(2008)은 수학 교사의 지식을 크게 교과 내용 지식과 교수학적 내용 지식으로 분류하였는데, 이 중 교육과정에 대한 지식(knowledge of content and curriculum)은 교수학적 내용 지식의 중요한 부분이다.

3) 무응답 14건과 창의·융합을 비롯한 다른 교과 역량, 진로 선택 교과의 도입 등을 언급하는 15건의 총 29건의 응답은 본 연구의 목적을 고려하여 2015 개정 수학과 교육과정의 주요 변화별 해석의 결과를 분석하는 데에는 제외하였다.

  1. Ball, D. L. (2011). Afterword: Using and designing resources for practice. In G. Gueudet, B. Pepin & L. Trouche (Eds.), From text to ‘lived’ resources. New York: Springer.
  2. Ball, D. L., Thames, M. H. & Phelps, G. (2008). Content knowledge for teaching: What makes it special. Journal of Teacher Education. 59(5), 389-407.
  3. Batanero, C. & Sanchez, E. (2005). What is the nature of High School Students' Conceptions and Misconceptions About Probability? In G. A. Jones (Ed.), Exploring probability in school. Boston: Springer.
  4. Ben-Peretz, M. (1990). The teacher-curriculum encounter: Freeing teachers from the tyranny of texts. Albany: Suny Press.
  5. Brown, M. & Edelson, D. (2003). Teaching as design: Can we better understand the ways in which teachers use materials so we can better design materials to support their changes in practice. Evanston, IL: The Center for Learning Technologies in Urban Schools.
  6. Charalambous, C. Y. & Hill, H. C. (2012). Teacher knowledge, curriculum materials, and quality of instruction: Unpacking a complex relationship. Journal of Curriculum Studies. 44(4), 443-466.
    CrossRef
  7. K. Chval, D. Heck, I. Weiss, S. W. Ziebarth & Eds (Eds.) (2012). Approaches to studying the enacted mathematics curriculum . In K. Chval, D. Heck, I. Weiss, S. W. Ziebarth & Eds (Eds.). Charlotte: Information Age Publishing.
    CrossRef
  8. Choppin, J. (2011). Learned adaptations: Teachers’ understanding and use of curriculum resources. Journal of Mathematics Teacher Education. 14(5), 331-353.
    CrossRef
  9. Dietiker, L., Males, L. M., Amador, J. M. & Earnest, D. (2018). Curricular noticing: A framework to describe teachers’ interactions with curriculum materials. Journal for Research in Mathematics Education. 49(5), 521-532.
  10. Eisenmann, T. & Even, R. (2011). Enacted types of algebraic activity in different classes taught by the same teacher. International Journal of Science and Mathematics Education. 9(4), 867-891.
    CrossRef
  11. Falk, R. (1989). Inference under uncertainty via conditional probabilities. Studies in mathematics education: The teaching of statistics. 7, 175-184.
  12. Gras, R. & Totohasina, A. (1995). Chronologie et causalité, conceptions sources d'obstacles épistémologiques a la notion de probabilité conditionnelle. Recherches en Didactique des Mathématiques. 15(1), 49-95.
  13. Gueudet, G. & Trouche, L. (2011). Teachers’ work with resources: Documentational geneses and professional geneses. In G. Gueudet, B. Pepin & L. Trouche (Eds.), From text to ‘Lived’ resources. Dordrecht: Springer.
    CrossRef
  14. Hwang, Y. H. & Kim, S. H. (2018). The recognition and needs of mathematics teachers for instruction and assessment to enhance mathematical competency. Journal of Educational Research in Mathematics. 28(4), 651-669. 황윤희, 김선희(2018). 교과 역량 신장을 위한 수업과 평가 개선에 대한 수학 교사들의 인식과 요구. 수학교육학연구, 28(4), 651-669.
    CrossRef
  15. Jones, G. A., Langrall, C. W., Thornton, C. A. & Mogill, A. T. (1999). Students' probabilistic thinking in instruction. Journal for Research in Mathematics Education, 487-519.
  16. Kieran, C., Tanguay, D. & Solares, A. (2011). Researcher-designed resources and their adaptation within classroom teaching practice: Shaping both the implicit and the explicit. In G. Gueudet, B. Pepin & L. Trouche (Eds.), From Text to ‘Lived’ Resources. Dordrecht: Springer.
    CrossRef
  17. Kim, D. W., Park, K. M. & Park, M. M. (2015). A survey to investigate teachers’ perception of core competencies and affective aspects in mathematics. School Mathematics. 17(1), 99-118. 김동원, 박경미, 박미미(2015). 수학의 핵심역량과 정의적 측면에 대한 교사들의 인식 조사 연구. 학교수학, 17(1), 99-118.
  18. Kim, M. H. (2013). Secondary mathematics teachers’ use of mathematics textbooks and teachers’ guide. School Mathematics. 15(3), 503-531. 김민혁(2013). 수학교사의 교과서 및 교사용지도서 활용도 조사. 학교수학, 15(3), 503-531.
  19. Konold, C., Pollatsek, A., Well, A., Lohmeier, J. & Lipson, A. (1993). Inconsistencies in students’ reasoning about probability. Journal for Research in Mathematics education, 392-414.
  20. Ku, N. Y., Tak, B. J., Choi, I. Y. & Kang, H. Y. (2019). An analysis of preservice matheamatics teachers’ reading of curriculum materials: Focused on conditional probability. The Mathematical Education. 58(3), 347-365. 구나영, 탁병주, 최인용, 강현영(2019). 예비수학교사들의 교육과정 자료 해석: 조건부확률을 중심으로. 수학교육, 58(3), 347-365.
  21. Kwon, J. R. (2017). Elementary school teachers’ perceptions and demands on the 2015 revised mathematics curriculum. The Mathematical Education. 56(2), 213-234. 권점례(2017). 2015 개정 수학과 교육과정에대한 초등학교 교사들의 인식 및 요구 분석. 수학교육, 56(2), 213-234.
  22. Land, T. J., Tyminski, A. M. & Drake, C. (2015). Examining pre-service elementary mathematics teachers’ reading of educative curriculum materials. Teaching and Teacher Education. 51, 16-26.
  23. Lee, K. H., Lee, E. J., Park, M. M. & Song, C. G. (2017). Secondary mathematics teachers’ perspectives on didactic transposition in reflective journal writing. Journal of Educational Research in Mathematics. 27(3), 469-489. 이경화, 이은정, 박미미, 송창근(2017). 반성적 저널에 나타난 중등수학교사의 교수학적 변환에 대한 인식. 수학교육학연구, 27(3), 469-489.
  24. Lee, J. Y. & Woo, J. H. (2009). A didactic analysis of conditional probability.
  25. McDuffie, A. R., Choppin, J., Drake, C., Davis, J. D. & Brown, J. (2018). Middle school teachers’ differing perceptions and use of curriculum materials and the common core. Journal of Mathematics Teacher Education. 21(6), 545-577.
    CrossRef
  26. Na, G. S., Lee, K. H., Han, D. H. & Song, S. H. (2007). Mathematically gifted students’ problem solving approaches on conditional probability. School Mathematics. 9(3), 397-408. 나귀수, 이경화, 한대희, 송상헌(2007). 수학영재 학생들의 조건부 확률 문제해결 방법. 학교수학, 9(3), 397-408.
  27. NCTM (2000). Principles and standards for school mathematics. Reston, Virginia, USA: The National Council of Teachers of Mathematics.
  28. Park, K. M., Lee, H. C., Park, S. H., Kwon, J. R., Yoon, S. H. & Kang, H. Y. (2015). A development of a draft for the 2015 revised mathematics curriculum. Research Report BD15120005, KOFAC.
  29. Remillard, J. T. (1999). Curriculum materials in mathematics education reform: A framework for examining teachers’ curriculum development. Curriculum Inquiry. 29(3), 315-342.
    CrossRef
  30. Remillard, J. T. (2005). Examining key concepts in research on teachers’ use of mathematics curricula. Review of Educational Research. 75(6), 211-246.
    CrossRef
  31. Remillard, J. T. & Bryans, M. B. (2004). Teachers’ orientations toward mathematics curriculum materials: Implications for teacher learning. Journal for Research in Mathematics Education. 35(3), 352-388.
  32. Remillard, J. T. & Heck, D. J. (2014). Conceptualizing the curriculum enactment process in mathematics education. ZDM. 46(5), 705-718.
    CrossRef
  33. Shaughnessy, J. M. (1992). Research in probability and statistics: Reflections and directions. In D. A. Grouws (Ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learning: A project of the National Council of Teachers of Mathematics. New York, NY, England: Macmillan Publishing Co, Inc.
  34. Sherin, M. G. & Drake, C. (2009). Curriculum strategy framework: Investigating patterns in teachers’ use of a reform‐based elementary mathematics curriculum. Journal of Curriculum Studies. 41(4), 467-500.
  35. Snyder, J., Bolin, F. & Zumwalt, K. (1992). Curriculum implementation. Handbook of Research on Curriculum. 40(4), 402-435.
    CrossRef
  36. Stein, M. K. & Kaufman, J. H. (2010). Selecting and supporting the use of mathematics curricula at scale. American Educational Research Journal. 47(3), 663-693.
    CrossRef
  37. Stohl, H. (2005). Probability in teacher education and development. In G. A. Jones (Ed.), Exploring probability in school. Boston, MA: Springer.
    CrossRef

Article

전자저널 논문

2020; 30(3): 487-508

Published online August 31, 2020 https://doi.org/10.29275/jerm.2020.08.30.3.487

Copyright © Korea Society of Education Studies in Mathematics.

An Analysis of Inservice Mathematics Teachers’ Reading of Curriculum Materials: Focused on Conditional Probability

Nayoung Ku1, Byungjoo Tak2, Inyong Choi3, Hyun-Young Kang4

* Teacher, Pyeongchon High School, South Korea, guri39@gmail.com
** Professor, Jeonju National University of Education, South Korea, bjtak@jnue.kr
*** Teacher, Hansung Science High School, South Korea, naru84@gmail.com
**** Professor, Mokwon University, South Korea, hykang@mokwon.ac.kr

Correspondence to:1) 이 논문은 2018년 교육부와 한국연구재단의 지원을 받아 수행된 연구임(NRF-201800600001)
†corresponding author

Received: July 10, 2020; Revised: August 4, 2020; Accepted: August 5, 2020

Abstract

In this study, 218 highschool mathematics teachers were surveyed to identify their perceptions and reading of curriculum materials. As a result, the majority of teachers emphasized the agency of teachers in enacting the curriculum and regarded conceptual understanding as crucial in teaching conditional probability. Nevertheless, the analysis of reading of the 2015 revised mathematics curriculum showed the lowest frequency of responses using the teachers’ knowledge and experience. Among the major changes in the 2015 revised mathematics curriculum related conditional probability, teachers mentioned in the order of attitude and practice, information processing, reducing the burden of learning, improving evaluation methods, and reasoning. When teachers mentioned reasoning, they were more likely to evaluate or interpret the curriculum materials using their knowledge and experience. But most of teachers stated that the other changes as particular features were included. Thus, opportunities must be provided to improve teachers’ professional development based on the concrete methods that can enact the intention of the 2015 revised mathematics curriculum.

Keywords: curriculum material reading, inservice teacher, conditional probability

I. 서론

교육과정 자료는 공식적(official) 교육과정과실행된(enacted) 교육과정을 매개하며 수업에서어떤 내용이 가르쳐져야 할지, 교사가 어떤 교수·학습 방법을 선택해야할 지에 영향을 미친다(Remillard, 2005). 본 연구에서는 선행 연구(Ku, Tak, Choi, & Kang, 2019; Remillard & Heck, 2014)를 기초로 교육과정 문서, 교과서, 교사용지도서 등 교사와 학생들이 물리적으로 접근할 수 있는 구체적인 자료 형태로 구현된 것을 ‘교육과정 자료(curriculum materials)’로 정의한다.

가르치는 내용을 지정하는 교수요목의 의미를 지니던 교육과정이 교실 내 교사의 실천까지를 포괄하는 개념으로 점진적으로 확장되어감에 따라, 이전까지 학습 요소와 성취기준을 중심으로서술되었던 우리나라의 수학과 교육과정 문서도 제7차 교육과정부터 학습 지도상의 유의점이 포함되어 실천에 대한 지침을 제공하기 시작하였다. 가장 최근에 해당하는 2015 개정 수학과 교육과정에서는 수업과 연동되어 그 자체가 교수ㆍ학습의 개선을 의미하는 개념으로 ‘평가’가 주목됨에 따라 평가 방법 및 유의 사항이 교육과정 문서에 기술되기 시작하였다. 그 결과 2015 개정 수학과 교육과정은 성취기준, 교수ㆍ학습방법 및 유의 사항, 평가 방법 및 유의 사항이문서 형태로 기술되어 있으며, 구체적으로 교수ㆍ학습에서 고려할 사항은 무엇인지, 학습 부담경감을 위해 평가 문항의 범위와 수준을 어떻게 제한해야 하는지에 대한 지침이 포함되어 있다 (Park, Lee, Park, Kwon, Yoon, & Kang et al., 2015). 이러한 변화에 따라 예비교사 및 현직교사들이 교육과정을 어떻게 인식, 해석하고 있는지에 대한 선행 연구가 다수 수행되어 왔다.

구체적으로 초등학교 교사들이 2015 개정 수학과 교육과정을 어떻게 인식하고 있는지에 관한 연구(Kwon, 2017), 초ㆍ중ㆍ고등학교 교사들이 핵심 역량과 정의적 측면을 어떻게 인식하고 있는지에 관한 연구(Kim, Park, & Park, 2015), 교과 역량 신장을 위한 수업과 평가 개선을 수학 교사들이 어떻게 인식하고 있는지에 관한 연구(Hwang & Kim, 2018) 등, 교과 역량, 정의적영역, 평가와 같은 2015 개정 수학과 교육과정의주요 변화와 관련된 교사들의 인식을 조사한 연구가 수행되어 왔다. 그러나 교육과정을 수업에서 구현할 때 교사가 교육과정 개정의 의도를 어떻게 해석하는지가 영향을 미치며(Remillard & Bryans, 2004) 교사의 교육과정에 관한 인식, 수학 수업에 관한 인식 등이 교육과정 자료의 해석에 영향을 미친다는 점에 비추어볼 때(Choppin, 2011; Dietiker, Males, Amador, & Earnest, 2018) 교사의 인식과 교육과정의 성취기준이나 교수ㆍ학습 방법 및 유의 사항 등에 반영된 개정의 방향을 어떻게 해석하고 있는지에 관한 분석은 잘 이루어지지 않은 것으로 보인다.

교육과정은 내용 특수성을 반영한 성취기준, 교수ㆍ학습 방법 및 유의 사항, 평가 방법 및 유의 사항을 포함하고 있으며, 교육과정 자료의 해석 역시 특정 내용 요소에 대한 수학 교사의 지식(mathematical knowledge for teaching)과 밀접하게 관련되어 있다(Dietiker et al., 2018). 이에 본연구에서는 현직 고등학교 교사를 대상으로 교사의 인식을 확인하고, 교육과정의 해석을 살펴보기 위한 내용 요소로 조건부확률을 선정하였다. 조건부확률은 고등학교 수준에서 확률을 이해하는데 핵심적인 역할을 하는 기본 개념이라는 점에서(Lee & Woo, 2009) 교육과정 자료를 해석하는 과정에서 교사의 교과 내용 지식(subject matter knowledge)이 개입될 것으로 예상된다. 또한, 조건부확률은 그동안의 선행 연구로부터 다양한 오개념이 알려져 있기 때문에(Gras & Totohasina, 1995), 교육과정 자료를 해석하는과정에서 교사의 교수학적 내용 지식(pedagogical content knowledge)이 활용될 것으로 보인다. 조건부확률은 이전 교육과정에 비해 성취기준 상의 큰 차이는 없으나 교과 역량과 과정중심평가 등 교육과정 개정의 방향을 반영한 교수·학습과평가 방법 및 유의 사항이 추가되었다. 이에 내용 상의 큰 차이는 없지만 교육과정 개정의 방향과 취지를 반영한 교수ㆍ학습과 평가에 변화가 요구된다. 즉, 조건부확률은 2015 개정 수학과 교육과정에 대한 교사의 전반적인 인식을 확인하는 데 그치지 않고, 내용 특수성과 교육과정개정의 방향을 반영한 교사의 교육과정 자료 해석을 분석하는 데 도움을 제공할 것이라 기대된다.

Ku et al. (2019)는 사범대학에 재학 중인 예비교사를 대상으로 조건부확률에 관한 교육과정 자료의 해석을 연구한 바 있다. 그러나 앞서 확인한 바와 같이 교육과정 자료 해석은 교사의 수학 교사 지식 등 수업 전문성이 반영되는데, 대학교육 체제 하에서 이론적 지식을 쌓아나가는 예비교사와 현장에서 교육과정 실행 경험을 수차례 갖춰온 현직교사의 교육과정 자료 해석은 그 양상이 유의미하게 다를 것이라 짐작해볼 수 있다. 또한 현직교사의 교육과정 자료 해석은교육과정 개정의 의도가 수업에서 얼마나 구현되느냐와 밀접하게 연관되어 있으며(McDuffie, Choppin, Drake, Davis, & Brown, 2018) 교사가교육과정 개정의 의도를 이해하고, 주어진 맥락에 맞게 교육과정 자료의 의미를 적절하게 구성하느냐에 따라 유의미한 교육과정 자료의 사용이 가능하다(Choppin, 2011). 이에 따라 본 연구의 목적은 현직 고등학교 교사의 교육과정 자료(교육과정, 교과서 및 교사용 지도서)에 대한 인식과 조건부확률에 관한 2015 개정 수학과 교육과정의 해석을 확인하는데 있다. 특히 교사들이2015 개정 수학과 교육과정의 주요 변화 중 무엇에 주목하며 이를 어떻게 해석하는지 분석하고자 한다.

II. 이론적 배경

1. 교사의 교육과정 자료 해석

교사는 수업을 설계하고 실행하는 과정에서 교육과정 자료를 선택하고 사용한다. 이 과정에서 교육과정 자료의 능동적 설계자이자 사용자로서의 교사의 역할이 강조되며(Remillard, 2005) 교육과정 자료의 사용에는 교사의 교육과정 자료에 관한 해석이 전제된다. 또한 교사의 교육과정 자료 해석에는 교사의 인식이 영향을 미치며 교사의 인식에 따라 교육과정 자료의 해석과 수업 실행의 양상이 다양하다는 것이 확인되었다 (McDuffie et al., 2018; Remillard & Bryans, 2004).

선행 연구자들은 교사의 교육과정 자료 해석을단편적으로 텍스트를 읽는 것을 넘어 교사 변인이 강조된 개념으로 확장하였다. Remillard(1999)는 교사가 사전 지식, 경험, 신념과 태도를 기초로 교육과정의 의미를 해석하는 교사와 텍스트사이의 상호작용을 교육과정 자료 해석(reading)으로 정의하였다. Dietiker et al.(2018)에 의하면 수업 실행 전에 교사는 교육과정 자료에 제시된 정보에 주의를 집중하고, 교사의 지식, 경험, 신념 및 태도를 기초로 이해하며 그 의미를 구성한다. 이와 같이 교육과정 자료의 해석은 교수맥락을 반영하여 교사가 교육과정 자료와 상호작용하는 것으로 볼 수 있으며, 교사가 교육과정 자료에 어떤 의미를 부여하는지가 매우 중요하다(Sherin & Drake, 2009).

교사가 교육과정 자료의 의도를 이해하고, 주어진 맥락에 맞게 교육과정 자료의 의미를 적절하게 구성하느냐에 따라 교육과정 자료의 유의미한 사용이 가능하다. Choppin(2011)은 중학교교사들이 학생들의 사고를 고려하여 교육과정 자료를 어떻게 해석하는지 살펴본 결과 교육과정 자료의 의도에 대한 이해 없이 학습 목표나 수학적 개념과 같은 자료의 특징을 기술만 한 경우 교육과정 자료의 사용이 부적절한 것을 확인했다. 또한 교육과정 자료가 학생이 이해하는데 도움을 제공한다고 해석하지만 구체적인 근거를 제시하지 않는 경우 교육과정 자료와 학생의 사고를 연관지어 생각은 하지만 연결성이 약했다. 마지막으로 교사가 수학 내용 요소의 계열성을 고려하여 교육과정 자료가 어떻게 학생들의 이해를 도울 수 있는지 설명하며 과제가 제시된 순서의 이유도 적절히 설명할 경우, 과제가학생들이 이해하는데 어떤 기회를 제공하는지와 과제를 왜 수정했는지를 적절한 방식으로 정당화하는 것으로 확인되었다.

Land, Tyminski, & Drake(2015)는 초등 예비교사를 대상으로 교육과정 자료의 의도와 교사의 해석을 고려한 교육과정 자료 해석의 범주를 도출하였으며 예비교사들이 교육과정 자료의 교육적인 의도를 해석하는데 어려움을 겪는다고 강조한다. 교육과정 자료 해석의 범주는 예비교사가 외적으로 드러나는 부분에 주목하여 자료에제시된 부분을 재서술하는 방식으로 특징을 기술하는 것, 교육과정 자료에 대해 전반적으로 평가하며 그 이유를 구체적으로 설명하지 않는 것, 교육과정 자료로부터 교사가 무엇을 배웠는지 설명하는 것, 제시된 정보뿐만 아니라 예비교사의 지식이나 경험을 기초로 구체적으로 해석하는 것, 수업 실행을 고려하여 어떻게 사용할지설명하는 것으로 구분된다.

교사의 교육과정 자료 해석에는 교사의 인식이 영향을 미친다. Remillard & Bryans(2004)는개정 교육과정을 적용하는 8명의 초등 교사의인식은 어떠한지, 수업에서는 어떻게 구현되는지살펴보았다. 그들은 교사의 인식을 확인하기 위해 구체적으로 개정된 교육과정, 수학 학습, 수업, 교사의 역할, 교육과정 자료의 역할에 관한인식을 분석하였다. 이에 따라 제시된 수학적 내용 요소를 모두 가르칠지, 지도 순서를 따를지,과제를 채택할 것인지 등에 관한 교사의 교육과정 자료 사용이 달라졌다. 연구자들은 교사가 교육과정 개정의 의도에 동의하는지 여부에 관계없이 수업 실행에 영향을 미치는 교사의 인식이있음을 확인하였다.

McDuffie et al.(2018)은 8명의 중학교 교사들의 인식이 공식적 교육과정과 실행된 교육과정에서 어떠한지 확인하였다. 그들은 구체적으로 교육과정, 수업의 주도권, 모둠활동, 수학적 내용 요소의 계열성, 과제 등에 관한 인식을 분석하였다. 특히 교육과정에 관한 인식은 과거의 교육과정에 비해 학생들의 참여를 권장하는지, 교육과정의 의도를 이해하고 그 적절성을 판단하는지를 통해 확인되었다. 연구 결과, 공식적 교육과정, 실행된 교육과정에의 인식이 일관된 패턴과 일관되지 않은 패턴이 확인되었으며 이로 인해 교육과정의 의도가 수업에 영향을 미치지 못하는 사례가 나타났다.

지금까지 살펴본 바와 같이, 교육과정 자료의 해석은 교사와 교육과정 자료의 복합적인 상호작용으로 교사가 자료 자체의 의미를 이해하고, 자신의 사전 지식, 경험, 신념과 태도를 기초로하여 주어진 맥락에 맞게 교육과정 자료의 의미를 구성하는 것으로 볼 수 있다. 또한 교사가 교육과정 자료의 의도를 이해하고, 주어진 맥락에맞게 교육과정 자료의 의미를 적절하게 구성하느냐에 따라 교육과정 자료의 유의미한 사용이 가능하다. 이러한 교육과정 자료의 해석에는 교육과정, 수학 수업에 관한 인식 등이 영향을 미치는 것으로 확인되었다.

2. 교육과정 해석을 위한 수학 교사의 지식

교사를 단순히 교육과정을 따르는 존재로서가 아니라 교육과정 자료의 능동적 설계자이자 사용자로서 바라본다면, 교사와 교육과정 자료 사이의 상호작용은 해석적이면서도 동적인 과정이라 할 수 있다(Ball, 2011). 구체적으로, 교사는 교육과정 개발자의 아이디어를 읽고 이해한 뒤 자신의 아이디어와 맥락에 맞게 조정하게 되는데, 전자를 위해서는 교육과정 개정의 의도와 주요 변화를 이해해야 하며 후자의 과정에는 교육과정, 수학 수업에 대한 교사의 인식과 함께 가르쳐야 하는 내용에 대한 지식과 교수학적인 지식이 개입된다. Ball, Thames, Phelps(2008)의 표현을 빌리자면, 전자는 교육과정에 대한 교수학적 내용 지식2), 후자는 교과 내용 지식에 해당한다. 즉, 교사의 교육과정 자료 해석에는 교육과정 및 교과 내용에 대한 수학 교사의 지식이 개입한다.

이 절에서는 조건부확률에 대한 교사의 교육과정 자료 해석 과정에서 활용되는 교수학적 내용 지식으로서 2015 개정 수학과 교육과정의 주요 변화를, 교과 내용 지식으로서 조건부확률의교수학적 분석을 확인한다. 각각의 내용은 교사의 교육과정 자료 해석을 분석하기 위한 이론적 배경으로서 본 연구를 설계하고 결과를 분석하는 데 활용된다.

가. 교수학적 내용 지식: 2015 개정 수학과 교육과정의 주요 변화

앞서 기술한 바와 같이 우리나라의 수학과 교육과정은 제7차 교육과정부터 학습 지도상의 유의점이 포함되며 실천까지를 포괄하는 개념으로 확장되었다. 본 절에서는 제7차, 2007 개정, 2009 개정, 2015 개정 수학과 교육과정의 성취기준, 교수ㆍ학습 방법 및 유의 사항, 평가 방법 및 유의 사항을 중심으로 조건부확률과 관련해 어떠한 변화가 나타나는지를 살펴보고자 한다.

2015 개정 수학과 교육과정은 수학교육의 국제적인 동향을 반영하여 고정된 지식의 인지(knowing) 대신 실천(doing)을 염두에 둔 역량을강조하는 방향 하에 개발되었다. 이와 함께 각종국제학업성취도평가에서 수학에 대한 흥미, 자신감이 다른 나라에 비해 현저하게 낮게 나오는 현실을 고려하여, 학습 부담 경감과 정의적 영역의 신장 등을 위한 교수ㆍ학습의 개선을 함께 고려한 것으로도 알려져 있다. Park et al. (2015)는 2015 개정 수학과 교육과정의 주요 변화를수학 교과 역량의 구현, 학습 부담 경감 추구, 학습자의 정의적 측면 강조, 실생활 중심의 통계내용 재구성, 공학적 도구의 활용 강조로 규정하고있다.

2015 개정 수학과 교육과정에서 제시하고 있는 수학 교과 역량은 2009 개정 수학과 교육과정에서 강조한 수학적 과정(mathematical process)인 문제해결, 추론, 의사소통을 확장한 개념이라할 수 있다. 이는 미국수학교사협의회(National Council of Teachers of Mathematics)에서 제시한 학교수학의 과정 규준을 확장한 것으로도 볼 수 있는데(NCTM, 2000), 수학이라는 학문이 정적인인지의 대상이 아니라 동적인 실천의 대상이라는 관점, 고정된 지식의 암기 여부가 아니라 생각하는 과정을 중시하는 관점이 반영된 것이라 할 수 있다. 이러한 관점은 수학 교과 역량의 의미와 하위 요소가 서술된 Table 1에서 더욱 자세히 확인할 수 있다.

Table 1 . Mathematical competencies in 2015 revised mathematics curriculum (Park et al., 2015, pp. 39-43).

수학 교과 역량의미하위 요소
문제 해결해결 방법을 알고 있지 않은 문제 상황에서 수학의 지식과 기능을 활용하여 해결 전략을 탐색하고 최 적의 해결 방안을 선택하여 주어진 문제를 해결하는 능력문제 이해 및 전략 탐색, 실행 및 반 성, 협력적 문제해결, 수학적 모델링, 문제 만들기
추론수학적 사실을 추측하고 논리적으로 분석하고 정당 화하며 그 과정을 반성하는 능력관찰과 추측, 논리적 절차 수행, 수학 적 사실 분석, 정당화, 추론 과정의 반성
창의·융합수학의 지식과 기능을 토대로 새롭고 의미 있는 아이디어를 다양하고 풍부하게 산출하고 정교화하며, 여러 수학적 지식, 기능, 경험을 연결하거나 수학과 타 교과나 실생활의 지식, 기능, 경험을 연결·융합 하여 새로운 지식, 기능, 경험을 생성하고 문제를 해결하는 능력독창성, 유창성, 융통성, 정교성, 수학 내적 연결, 수학 외적 연결
의사소통수학 지식이나 아이디어, 수학적 활동의 결과, 문제 해결 과정, 신념과 태도 등을 말이나 글, 그림, 기호 로 표현하고 다른 사람의 아이디어를 이해하는 능력수학적 표현의 이해, 수학적 표현의 개발 및 변환, 자신의 생각 표현, 타인의 생각 이해, 협력과 존중
정보처리다양한 자료와 정보를 수집 정리 분석 활용하고 적절한 공학적 도구나 교구를 선택 이용하여 자료와 정보를 효과적으로 처리하는 능력자료 및 정보의 수집, 자료 및 정보 분석, 정보 활용, 공학적 도구 및 교구 활용
태도 및 실천수학의 가치를 인식하고 자주적 수학 학습 태도와 민주 시민의식을 갖추어 실천하는 능력가치 인식, 자주적 학습 태도, 시민의식


조건부확률과 관련된 성취기준은 크게 3가지(조건부확률의 의미를 이해하고, 이를 구할 수있다, 사건의 독립과 종속의 의미를 이해하고, 이를 설명할 수 있다, 확률의 곱셈정리를 이해하고, 이를 활용할 수 있다)로 세 차례의 교육과정개정 동안 큰 변화가 없었다. 그러나 제7차, 2007 개정, 2009 개정 수학과 교육과정까지 교수ㆍ학습 상의 유의점으로 ‘통계적 확률과 수학적확률의 관계를 이해하게 한다’와 ‘독립시행의 확률은 통계 영역의 이항분포와 함께 도입하여 다룰 수도 있다’와 같이 내용 특수성을 반영한 유의점 위주로 제시된 것에 비해 2015 개정 수학과 교육과정에서는 교육과정 개정의 주요 변화를 반영한 교수ㆍ학습 방법 및 유의 사항과 평가 방법 및 유의 사항이 다수 추가되었다.

특히, 2015 개정 수학과 교육과정에서는 확률과 관련되어 학습자의 정의적 측면을 강조하는 태도 및 실천, 공학적 도구의 활용을 강조하는정보처리 역량과 관련된 교수ㆍ학습 방법 및 유의 사항을 제시한다. 생활 주변의 다양한 소재를활용하여 확률을 도입하도록 함으로써 수학의 가치를 인식하도록 하였고, 충분히 많은 횟수의시행을 구현하기 위해 공학적 도구를 활용하도록 함으로써 정보를 효과적으로 처리하는 능력을 강조하였다. 또한 평가 방법 및 유의 사항에는 확률의 계산이 복잡한 경우는 다루지 않게 함으로써 학습 부담을 경감하고, 조건부확률에대한 이해를 평가할 때에는 과정 중심 평가를 할 수 있다고 제시함으로써 평가 방법을 개선하도록 하였다.

나. 수학 교과 지식: 조건부확률에 대한 이해

조건이 주어진 불확실성을 수량화한 조건부확률은 확률 추론의 바탕에 놓여있는 개념으로 확률을 이해하는데 핵심적인 역할을 하는 기본 개념이다(Lee & Woo, 2009, p. 233). 그러나 조건부확률은 가능성을 판단해야 하는 상황이 사건의 순서, 인과와 같은 복합적인 맥락과 얽혀 있기 때문에 학생들은 조건부확률을 어려워하며 다양한 오개념을 가질 수 있다(Batanero & Sanchez, 2005; Gras & Totohasina, 1995; Lee & Woo, 2009; Shaughnessy, 1992).

Gras & Totohasina(1995)는 고등학교 학생들을대상으로 조건부확률에 대한 세 가지 오개념인 시간적 개념(chronological conception), 인과적 개념(causal conception), 수적 개념(cardinal conception)을 확인하였다. 시간적 개념은 조건부확률 P(B|A)을 시간적 관계로 해석하여 조건사건 A가 반드시 목적사건 B보다 시간상 먼저 발생해야 한다고 인식하는 오개념이다. 인과적개념은 P(B|A)를 인과적 관계로 해석하여 조건사건 A가 원인이고 목적사건 B가 결과라고 인식하는 오개념이다. 마지막으로 수적 개념은 조건부확률 P(B|A)을 경우의 수의 비율 n(AB)n(A)로 인식하는 오개념이다.

Lee & Woo(2009)는 선행 연구(Falk, 1989; Konold, Pollatsek, Well, Lohmeier, & Lipson, 1993; Shaughnessy, 1992)를 기반으로 조건 사건에 대한 오개념, 사건의 시간 순서에 대한 오개념, 조건관계와 인과관계에 대한 오개념, 독립성에 대한 오개념을 확인하였다. 이 중 사건의 시간 순서에 대한 오개념은 앞서 언급한 시간적 개념과 동일하며 조건관계와 인과관계에 대한 오개념은 인과적 개념과 동일하다. 조건 사건에대한 오개념은 P(B|A)를 표본공간 전체의 집합이 A로 국한되는 확률 즉, A가 표본공간이되는 시행에서의 확률로 인식하지 못하는 오개념으로 등확률을 고려한 표본공간을 구성하지 못하는 것이다. 독립성에 대한 오개념은 불확실한 과정의 특성을 반영한 경우의 가능성이 더 크다고 생각하는 오개념이다.

조건부확률 이해의 핵심은 조건사건에 대한 새로운 표본공간을 구성할 수 있는 데에 있으며 가능한 결과들을 빠짐없이 체계적으로 생성할 수 있는 능력이 필요하다(Lee & Woo, 2009, p. 237). 또한 복원 상황과 비복원 상황을 구분하고, 비복원 상황에서 사건의 확률이 변한다는 것을 인식해야 한다(Jones, Langrall, Thornton, & Mogill, 1999). 확률적 상황에 대한 주관적 판단이나 위에서 언급한 오개념에 빠지지 않고, 조건이주어진 불확실한 상황에서 수치적 확률값을구하고, 결과를 정당화하는 능력이 필요하다(Na, Lee, Han, & Song, 2007). 이상의 선행 연구 분석으로부터 조건부확률 개념의 이해 요소를 정리하면 다음과 같다.

  • - 조건부확률 P(B|A)를 표본공간 전체의 집합이 A로 국한되는 확률 즉, A가 표본공간이 되는 시행에서의 확률임을 이해해야 한다.

  • - 조건부확률 P(B|A)를 사건의 시간적 순서로 해석하지 않아야 한다. 즉, 확률이 조건사건 A와 목적사건 B가 일어나는 순서에영향을 받지 않는다는 것을 이해해야 한다.

  • - 조건부확률 P(B|A)를 사건의 인과관계로해석하지 않아야 한다. 즉, 조건사건 A가원인이고 목적사건 B가 결과라고 인식하지않고 사건들 간의 관계로 이해해야 한다.

  • - 조건부확률 P(B|A)에서 조건사건 A와 목적사건 B를 구분해야 한다. 즉, 조건이 되는 사건과 그 조건 하에 구하고자 하는 사건을 구별해야 한다.

이와 같이 조건부확률 개념의 이해와 관련하여 여러 가지 이슈들이 선행 연구로부터 제기되었다. 이러한 내용들은 모두 교사 지식으로서 조건부확률과 관련된 교육과정 자료를 해석하는 과정에 개입할 것으로 예상된다. 또한 조건부확률은 교육과정과 교과서에서도 정형화된 도입 방식이 존재하지 않으며 많은 부분을 교사의 선택에 의지한다는 점(Ku et al., 2019, p. 351)에 비추어 볼 때 교육과정 자료에 대한 교사들의 해석을 확인할 필요성이 제기된다.

III. 연구 방법

1. 연구 방법

본 연구에서는 현직 고등학교 교사들의 인식과 2015 개정 수학과 교육과정에 대한 해석을살펴보기 위한 연구 방법으로 설문지를 활용한 조사 연구를 채택하였다. 조사 연구는 현직교사의 교육과정 자료 해석 실태를 있는 그대로의 현상으로서 파악하기 위한, 본 연구의 목적에 부합하는 유용한 연구 방법이라 할 수 있다.

구체적으로 현직 고등학교 교사들의 인식과 2015 개정 수학과 교육과정에 대한 해석을 살펴보기 위해 연구 참여자들이 스스로 응답할 수 있도록 사전에 만든 설문 문항을 수정하여 적용하였다. 본 연구에서는 연구 참여자의 외적 표현자료로 양적인 자료와 질적인 자료를 모두 수집하였으며, 예비 설문지를 현직 고등학교 교사들에게 보내 응답하게 한 후 피드백을 받아 의미가 모호한 부분을 수정ㆍ보완하면서 최종 설문지를 확정하였다.

최종 설문지는 두 부분으로 구성되는데 먼저 현직 고등학교 교사의 인식을 확인하기 위해 선다형 문항과 서술형 문항을 구성하였다. 첫 번째문항은 교사가 교육과정에 어느 정도로 의존하고 사용하느냐에 관한 인식을, 두 번째 문항은수업 설계의 자료로서 교과서와 교사용 지도서에 관한 인식을 확인하기 위한 것이었다. 이는우리나라 교사들의 경우 교사용 및 교사용 지도서에 대한 의존도가 높다는 결과(Kim, 2013)를반영하였으며 선다형 문항의 보기는 선행 연구 (Brown & Edelson, 2003; Remillard & Bryans, 2004; Snyder, Bolin & Zumwalt, 1992)를 종합하여 구성되었다. 세 번째 문항은 조건부확률의 수업에 관한 인식을 확인하고자 한 것으로 교사의 사전 지식, 경험, 신념과 태도가 반영될 것이라판단하여 자유롭게 의견을 작성할 수 있는 자유 서술식 문항으로 구성하였다. 구체적인 문항 내용은 Figure 1과 같다.

Figure 1. The questionnaire of highschool teachers’ perception

두 번째 부분은 선행 연구(Lee, Lee, Park, & Song, 2017)를 검토하여 현직 고등학교 교사는2015 개정 수학과 교육과정의 주요 변화를 어떻게 이해하고 있는지, 그리고 교육과정에 관해 어떻게 의미를 구성하는지 살펴보는 데 초점을 맞추어 자유 서술식 문항을 개발하였다. 연구 수행당시, 학교 현장에서는 2009 개정 수학과 교육과정과 2015 개정 수학과 교육과정이 함께 운영되고 있어 2015 개정 수학과 교육과정에 대한 교사들의 인식이 낮을 것으로 예상되었다. 또한 조건부확률의 경우 성취기준 상의 큰 차이는 없으나 교육과정 개정의 의도를 따르기 위해 교수ㆍ학습이나 평가에 변화가 요구된다. 이에 설문 문항 구성 시 조건부확률 부분에 대한 2009 개정수학과 교육과정과 2015 개정 수학과 교육과정을 모두 제시하였으며 개정의 주요 변화에 주목하도록 하였다. 특히 2015 개정 수학과 교육과정의 교수ㆍ학습 방법 및 유의 사항과 평가 방법및 유의 사항에는 조건부확률을 비롯한 확률 영역 전반을 아우르는 내용이 포함되어 있었지만본 연구의 목적이 2015 개정 교육과정의 주요변화에 대한 교사의 해석을 확인하는데 있으므로 모든 내용을 제공하였다. 이에 따라 Figure 2와 같이 설문 문항이 구성되었다.

Figure 2. The questionnaire of highschool teachers’ reading on official curriculum

2. 연구 대상

본 연구는 현직 고등학교 교사의 인식과 조건부확률에 관한 교육과정 해석을 알아보기 위해 2018년 11월 23일부터 12월 15일에 실시된 고등학교 수학신설과목 교과서 활용 연수에 참여한 교사의 설문 응답을 분석하였다. 지역별, 경력별로 2015 개정 수학과 교육과정에 대한 교사들의해석의 차이가 발생할 수 있으므로 연구 대상의 대표성을 확보하기 위해 전국 단위로 진행되는 연수에 참여하는 교사들을 대상으로 설문지를 제공하였다. 설문조사는 설문에 대한 협조를 구한 후 오프라인 방식으로 이루어졌다.

해당 연수에 참여한 교사 중 설문지를 제공받은 교사의 수는 239명이었으며 설문 응답자는부분응답자 포함 218명으로 회신율은 91.2%이다. 실제 연구진이 분석한 설문 대상은 218명으로서울특별시와 광역시를 포함한 대도시에 근무하는 교사가 91명(41.7%), 중소도시와 읍면지역에근무하는 교사가 127명(58.3%)이었다. 또한 설문에 응답한 교사의 교직 경력별 분포는 Table 2와같다. 학교 현장에서 일반적으로 <확률과 통계> 교과는 고등학교 2학년 또는 3학년에 개설되는데 당시 해당 학년을 가르치는 교사는 172명이었으며 그 중 15명이 과거에 해당 학년을 지도하지 않은 것으로 확인되었다.

Table 2 . Distribution of participants’ teaching experience.

교직 경력응답자 수(비율)
5년 미만34(15.6%)
5년 이상 10년 미만38(17.4%)
10년 이상 15년 미만37(17.0%)
15년 이상 20년 미만51(23.4%)
20년 이상56(25.7%)
무응답2(0.9%)
합계218(100%)


본 연구에 참여한 218명의 연구 참여자는 편의표집을 통해 선정되었고 연수에 참여할 만큼의 적극성을 갖춘 교사집단으로 편향되어 있을 가능성이 존재한다. 비록 본 연구가 우리나라 현직 고등학교 교사의 시각을 통계적으로 온전히 정당화하지는 못할 수 있지만, 대체적인 경향성과 실태를 보여줄 수 있을 것으로 기대된다.

3. 자료 분석

본 연구에서 수집된 자료 중 선다형 문항의 경우 문항별 응답자 수를 확인하여 양적으로 분석하였고, 서술형 문항의 경우는 질적 분석을 시도하였다. 문항 2-3의 경우, 선행 연구(Ku et al., 2019; Remillard & Bryans, 2004)를 참고하여 교사가 특정 내용을 지도할 때 가장 중점적으로 고려하는 것이 무엇인지를 개념 이해, 공식과 절차의 연습, 응용 문제의 해결, 흥미 유발로 범주화하고 분류하였다. 문항 2-1의 코딩 기준은 교육과정에 자료에 대한 예비교사의 해석을 연구한 Ku et al.(2019)의 코딩 기준을 2015 개정 수학과 교육과정의 주요 변화를 반영하여 수정하였다.

Ku et al.(2019)은 선행 연구(Choppin, 2011; Land et al., 2015; Sherin & Drake, 2009)를 검토하여 각 연구 결과로 제시된 교육과정 자료 해석의 범주를 비교하고, 예비교사의 교육과정 자료 해석의 범주를 교육과정 자료에 제시된 부분을 재서술하는 방식으로 그 특징을 기술하는 ‘기술’, 교육과정에 대해 전반적으로 평가하지만그 이유를 구체적으로는 설명하지 않는 ‘평가’, 교육과정 자료에 제시된 정보뿐만 아니라 교사가 갖고 있는 지식과 경험을 활용하여 구체적으로 해석하는 ‘해석’의 세 가지로 구분하였다.

그러나 상당수의 현직교사들은 이미 성취기준을 확인하거나 교수ㆍ학습 및 평가에 대한 유의점과 방법을 확인하는 방식으로 교육과정을 적극적으로 활용하고 있으며(Kwon, 2017) 교사마다 수학, 수학 수업, 교육과정에 대한 인식이 있고 이는 수업 설계 및 실행에 영향을 미친다 (Remillard & Bryans, 2004). 따라서 앞서 언급한Ku et al.(2019)의 범주는 본 연구의 목표와 연구대상을 고려한다면 결과 분석을 위해 적용하는 데 한계가 있다.

2015 개정 수학과 교육과정에서는 성취기준과교수ㆍ학습 방법 및 유의 사항에 교과 역량이 반영되도록 하였으며 교수ㆍ학습 방법 및 유의 사항은 교과역량이 교수ㆍ학습에서 구현되도록 성취기준을 부연한다. 또한 교수ㆍ학습 방법 및유의 사항은 기존 교육과정의 교수ㆍ학습상의 유의점을 확장한 것으로 수학 교과 역량과 관련된 설명, 교수ㆍ학습에서 고려할 사항, 다루는내용의 범위와 난이도에 대한 제한 등이 담겨 있다. 평가 방법 및 유의 사항은 2015 개정 교육과정에서 신설된 것으로 평가에서 지나치게 어려운 내용이 다루어지지 않도록 문항의 범위와 수준의 한계를 짓는 진술을 담고 있어 학습 부담 경감을 실현하는 하나의 장치가 된다. 더불어성취기준에 따라 특화된 과정 중심 평가 등이 이루어질 수 있도록 평가 방법을 제안하기도 한다(Park et al., 2015).

본 연구는 현직 고등학교 교사의 인식과 조건부확률에 관한 2015 개정 수학과 교육과정의 주요 변화를 어떻게 해석하는지 살펴보는데 목표가 있고, 연구 참여자들에게 성취기준, 교수ㆍ학습 방법 및 유의 사항, 평가 방법 및 유의 사항을 모두 제시하였다. Park et al. (2015)에 의하면하나의 성취기준, 교수ㆍ학습 방법 및 유의 사항이 여러 수학 교과 역량을 포함하는 경우가 많지만, 대표적인 교과 역량을 제시할 수 있다. 따라서 본 연구에서는 조건부확률에 관련된 부분에서 강조되는 2015 개정 수학과 교육과정의 주요 변화와 연결하여 Table 3과 같이 정리하였다.

Table 3 . Linkage between categories related conditional probability and major changes in 2015 revised mathematics curriculum.

구분내용주요 변화와의 연결
성취기준조건부확률의 의미를 이해하고, 이를 구할 수 있다.수학적 개념, 원리, 법칙을 이해하고, 조건 등을 파악하는 수학적 사실 분석과 연관되므로 수학 교과 역량 중 추론과 대응
교수 학습 방법 및 유의 사항수학적 확률을 다룰 때, 근원사건의 발생 가능성이 동등하다는 것을 가정한다는 점에 유의한다.
교수 학습 방법 및 유의 사항생활 주변의 다양한 소재를 활용하여 확률을 도입한다.수학에 대해 관심과 흥미를 갖고, 수학의 필요성을 인식하는 가치 인식과 연관되므로 수학 교과 역량 중 태도 및 실천과 대응
교수 학습 방법 및 유의 사항통계적 확률과 수학적 확률의 관계를 이해하고 통계적 확률을 다룰 때 충분히 많은 횟수의 시행을 구현하기 위하여 공학적 도구를 이용할 수 있다.공학적 도구의 이용을 명시적으로 제시하므 로 정보처리와 대응
교수 학습 방법 및 유의 사항확률의 계산이 복잡한 경우는 다루지 않는다.수업이나 평가에서 지나치게 어려운 내용이 다루어지지 않도록 문항의 범위와 수준의 한계를 제시하므로 학습 부담 경감과 대응
평가 방법 및 유의 사항세 사건 이상에서 서로 배반이거나 서로 독 립임을 가정한 복잡한 문제는 다루지 않는다.
평가 방법 및 유의 사항조건부 확률에 대한 이해를 평가할 때에는 과정 중심 평가를 할 수 있다.과정 중심 평가가 이루어질 수 있도록 평가 방법을 제안하므로 평가 방법 개선과 대응


이에 본 연구진은 Ku et al. (2019)에서 제시한교사의 교육과정 자료 해석의 범주를 앞서 제시한 조건부확률에 관련된 부분에서 강조되는 2015 개정 수학과 교육과정의 주요 변화(Table 3)와 연결하여 세부적인 분석이 가능하도록 한 Table 4를 도출했다. 특히 교사가 교육과정 자료를 적절한 방식으로 해석해야 유의미한 교육과정 자료의 사용이 가능하며(Choppin, 2011; Land et al., 2015) 개정된 교육과정에서 성취기준 상의큰 차이는 없으나 교육과정 개정의 의도를 따르기 위해 교수ㆍ학습이나 평가에 변화가 요구된다는 점에서 Table 4로부터 교사가 2015 개정 수학과 교육과정의 주요 변화 중 무엇에 주목하며 이를 어떻게 해석하는지 분석하고자 하였다.

Table 4 . Classification table linking curriculum materials reading and major changes.

범주추론태도 및 실천정보 처리학습 부담 경감평가 방법 개선
기술
평가
해석

IV. 연구 결과

1. 교사의 인식

가. 교육과정과 교과서 및 교사용 지도서에 관한 교사의 인식

문항 1은 교육과정과 교과서 및 교사용 지도서에 관한 교사의 인식을 확인하고자 두 개의 하위 문항으로 설계되었다. 문항 1-1은 교사가교육과정에 어느 정도로 의존하고 사용하느냐를, 문항 1-2는 수업 설계의 자료로서 교과서와 교사용 지도서를 어떻게 바라보는지 확인하기 위한 것이었다. 이는 우리나라 교사들의 경우 교사용 및 교사용 지도서에 대한 의존도가 높다는 결과(Kim, 2013)를 반영하였으며 선다형 문항의보기는 선행 연구(Brown & Edelson, 2003; Remillard & Bryans, 2004; Snyder, Bolin, & Zumwalt, 1992)를 종합하여 구성되었다. 각 문항에 대한 연구 참여자들의 응답을 통계적으로 정리하면 Table 5, Table 6과 같다.

Table 5 . Number of participants by perceptions of official curriculum (Question 1-1).

구분응답자 수 (비율)
교육과정을 신뢰하며 따라야 한다: 충실도의 관점17(7.8%)
교육과정을 해석하고 교육상황에 따 라 수정 보완하여 재구성해야 한다: 적용의 관점141(64.7%)
교육과정에 유연하게 대처하며 교육 상황에 따라 새로운 교육과정을 만들기도 해야 한다: 생성의 관점55(25.2%)
기타(무응답 등)5(2.3%)
합계218(100%)

Table 6 . Number of participants by perceptions of textbook and teachers’ guidebook (Question 1-2).

구분응답자 수 (비율)
교과서, 교사용 지도서는 신뢰할 수 있는 자료이며 수업 설계 전반에 대한 방향을 제공한다.82(37.6%)
교과서, 교사용 지도서는 학생들에게 제공할 수 있는 활동들과 과제들의 모임이다.54(24.8%)
교과서, 교사용 지도서는 여러 과제를 포함하고 있지만 여러 교육상황에 대처하기에는 한계가 있다.75(34.4%)
기타(무응답 등)7(3.2%)
합계218(100%)


문항 1-1을 통해 연구 참여자 중 64.7%가 교육과정을 실행할 때 교사의 역할을 교사 개인의 역량이나 신념을 바탕으로 필요에 따라 재구성을 할 수 있다는 적용의 관점(adaptation)을 취하고 있음을 알 수 있었다. 다음으로 25.2%의 교사는 사회문화적 맥락에 따라 교사의 자율성을 강조하여 개발자로서의 교사의 역할을 강조하는 생성의 관점(improvisation)을 취하고, 7.8%만이교육과정 개발자의 의도를 충분히 이해하고 이를 신뢰하며 따라야 할 대상으로 생각하는 충실도의 관점(offloading)을 취하고 있음을 확인하였다.

현직 고등학교 교사가 교과서와 교사용 지도서를 어떻게 바라보는지 확인한 결과 연구 참여자 중 37.6%가 교과서와 교사용 지도서는 신뢰할 수 있는 자료이며 수업 설계 전반에 대한 방향을 정하는 데 지지할 것이라는 응답했다. 다음으로 34.4%의 교사는 다양한 사회문화적 맥락을고려했을 때 교과서와 교사용 지도서는 한계가 있을 수 있다고 응답했으며 마지막으로 24.8%의교사는 수업에서 학생들에게 제공할 수 있는 활동들과 과제를 모아놓은 것이라는 응답하였다.

나. 조건부확률의 수업에 관한 인식

문항 2-3은 수업 실행에서 가장 중요할 것이라판단되는 조건부확률의 수업에서 중시하는 바에 대한 인식을 확인하였다. 교사의 사전 지식, 경험, 신념과 태도가 반영될 것이라 판단하여 자유롭게 의견을 작성할 수 있는 자유 서술식 문항으로 구성하였다. 연구 참여자들의 응답을 정리하면 Table 7과 같다.

Table 7 . Number of participants by perceptions of teaching conditional probability.

범주응답자 수(비율)
개념 이해122(56.0%)
공식과 절차의 연습20(9.2%)
응용 문제의 해결7(3.2%)
흥미 유발24(11.0%)
기타(무응답 등)45(20.6%)
합계218(100%)


연구 참여자 중 56.0%는 개념 이해를, 11.0%는 흥미 유발을, 9.2%는 공식과 절차의 연습을강조한 것으로 파악되었으며 3.2%만이 응용 문제의 해결을 강조했다. 본 연구의 참여자가 현직고등학교 교사라는 점을 고려할 때 조건부확률 수업에서 공식과 절차의 연습이나 응용 문제의 해결을 중시할 것이라 예상되었지만 교사들은 당면한 대학 입시나 수능 위주의 문제 풀이보다 수학 학습의 가장 기초가 되는 조건부확률의 개념 이해를 가장 중시하는 것으로 확인되었다.

또한 조건부확률 개념 이해를 가장 중시한 122명의 응답 중 앞서 분석한 조건부확률 개념의 이해 요소를 언급한 응답이 다수 확인되었으며 이는 Figure 3과 같다. 조건부확률 P(B|A)를 표본공간 전체의 집합이 A로 국한되는, A가표본공간이 되는 시행에서의 확률로 이해해야 한다는 내용의 응답이 가장 많은 58.2%(122명중 71명)으로 확인되었으며 조건이 되는 사건과그 조건 하에 구하고자 하는 사건을 구별해야 한다는 내용의 응답이 4.1%(122명 중 5명)으로확인되었다. 한편, 조건부확률에서 사건의 시간적 순서나 인과관계를 언급한 응답은 중복 집계하여 각 11명과 2명 있었지만 이들 중 9명과 1명은 조건부확률 P(B|A)를 사건의 시간적 순서로 해석하는 시간적 개념과 조건사건 A가 원인이고 목적사건 B가 결과라고 인식하는 인과적 개념(Gras & Totohasina, 1995)을 갖고 있는것으로 확인되었다. 조건부확률에 대한 오개념을교사가 갖고 있다면 교사의 교육과정 자료 사용에 제한이 있을 수 있으며(Stohl, 2005) 수업의질에도 영향이 있을 것으로 예상된다(Stein & Kaufman, 2010).

Figure 3. Examples of responses about elements of understanding the meaning of conditional probability in that emphasize conceptual understanding

2. 조건부확률 교육과정에 대한 현직 고등학교 교사의 해석

문항 2-1은 현직 고등학교 교사가 2015 개정수학과 교육과정의 주요 변화를 어떻게 해석하는지 확인하고자 설계된 문항이다. 조건부확률에관련된 부분에서 강조되는 2015 개정 수학과 교육과정의 주요 변화를 기술, 평가, 해석 범주로 분석한 결과는 Table 8과 같다3). 특히 대부분의응답들이 교육과정의 주요 변화를 다수 언급했기 때문에 언급된 항목은 중복 집계 후 분석하였으며 각 범주로 분류된 응답의 예는 Figure 4와 같다.

Table 8 . Categories of teachers’ reading of major changes in 2015 revised mathematics curriculum.

범주추론태도 및 실천정보 처리학습 부담 경감평가 방법 개선합계
기술675623943225
평가204786788
해석14962233
합계40131764752346

Figure 4. Examples of responses about teachers’ reading of major changes

먼저 2015 개정 수학과 교육과정의 주요 변화를 고려하지 않고 기술, 평가, 해석 범주만을 초점을 살펴보면, 65.0%(346건 중 225건)가 교육과정 자료에 제시된 부분을 재서술하는 방식으로 그 특징을 기술하는 기술 범주로 확인되었다. 25.4%(346건 중 88건)은 교육과정에 대해 전반적으로 평가하지만 그 이유를 구체적으로는 설명하지 않는 평가 범주로, 9.6%(346건 중 33건)은교육과정 자료에 제시된 정보뿐만 아니라 교사가 갖고 있는 지식과 경험을 활용하여 구체적으로 해석하는 해석 범주로 확인되었다. 앞서 교사의 교육과정에 관한 인식에서 확인한 바와 같이89.9%의 교사가 교육과정을 실행할 때 교사의역량과 신념을 바탕으로 재구성을 할 수 있다는적용의 관점이나 교사의 자율성을 강조하여 개발자로서의 교사의 역할을 강조하는 생성의 관점을 취했다. 또한 상당수의 교사들은 교과서와교사용 지도서가 학생들에게 제공할 수 있는 과제들의 모임이며 여러 교육상황에 대처하기에 한계가 있음을 지적하였다. 그러나 교육과정의해석에서는 교사의 지식과 경험을 활용하여 구체적으로 해석하는 해석 범주가 가장 낮은 비율로, 기술 범주가 가장 높은 비율로 확인되었다. 교육과정 개정의 의도에 대한 이해 없이 자료의 특징을 기술만 한 경우 교육과정 자료의 사용이 부적절할 수 있다는 점에 비추어볼 때(Choppin, 2011) 교사가 교육과정 개정의 의도를 충분히이해하고 지식, 경험, 신념과 태도를 기초로 하여 주어진 맥락에 맞게 교육과정 자료의 의미를 구성할 기회를 제공할 필요성에 제기된다.

기술, 평가, 해석 범주를 고려하지 않고, 2015 개정 수학과 교육과정의 주요 변화만을 초점을 맞춰 살펴보면, 37.9%(346건 중 131건)가 실생활과의 연결을 강조하며 수학에 흥미를 갖고, 확률의 필요성을 느끼도록 하는 태도 및 실천과 관련된 언급으로 확인되었다. 22.0%(346건 중 76건)는 공학적 도구의 이용을 언급하는 정보처리와 관련된 언급으로, 평가에서의 제한이나 과정중심 평가를 언급하는 학습 부담 경감과 평가 방법 개선이 각 13.6%(346건 중 47건), 15.0% (346건 중 52건)로 확인되었다. 마지막으로11.5% (346건 중 40건)는 조건부확률의 개념 이해가 강조되었다는 내용으로 추론에 관련된 언급이었다.

2015 개정 수학과 교육과정의 주요 변화별로교육과정을 어떻게 해석하였는지 살펴보면 Figure 5와 같다.

Figure 5. Distribution of teachers’ reading by major changes

2015 개정 수학과 교육과정의 주요 변화 중추론에 관한 응답은 태도 및 실천을 비롯한 다른 변화에 비해 언급된 빈도는 낮았다. 그러나교육과정에 대해 전반적으로 평가하는 평가 범주와 교사가 갖고 있는 지식과 경험을 활용하여 해석하는 해석 범주가 높은 비율(각 50.0%, 35.0%)로 확인되었다. 교사들이 학생들이 배워야할 수학적 아이디어를 중심으로 교육과정 자료를 해석할 때 학생들이 더 높은 수준의 수업을 받는 경향이 있다는 연구 결과(Stein & Kaufman, 2010)와 조건부확률 수업에서 개념 이해에 대한교사의 인식이 높다는 점에 비추어볼 때, 조건부확률의 개념을 이해하고 조건 등을 파악하는 수학적 사실 분석과 관련된 추론 역량을 신장시키기 위한 교육과정 개정의 의도가 수업 실행으로 구현될 가능성을 확인한 것으로 보인다.

교사들은 조건부확률과 관련된 2015 개정 수학과 교육과정의 주요 변화 중 태도 및 실천, 정보처리, 학습 부담 경감, 평가 방법의 개선을 인식하고언급하였으나 기술 범주에 해당하는 응답의 빈도가 가장 높고, 평가, 해석 범주 순으로 빈도가 낮았다. 특히, 정보처리, 학습 부담 경감과 관련하여2015 개정 수학과 교육과정에 제시된 내용을 재서술하는 방식이 두드러졌다. 평가 방법 개선과 관련하여 교사들 대부분은 과정 중심 평가를 언급만할뿐 그 개념이나 취지 등을 이해하는 응답은 거의확인되지 않았다. 교사가 교육과정 개정의 의도를인식하고 공감할 때 수업에서 구현되며(Remillard & Bryans, 2004) 교사가 교육과정 자료를 적절한방식으로 해석해야 교육과정 자료의 유의미한 사용이 가능하다는 점에서(Choppin, 2011; Land et al., 2015) 앞서 언급한 교육과정의 변화를 수업에서구현할 수 있는 구체적인 방안 중심의 교사전문성향상의 기회를 제공할 필요성이 제기된다.

V. 논의 및 결론

본 연구에서는 현직 고등학교 교사의 교육과정 자료에 대한 인식을 확인하고, 조건부확률에 관한 2015 개정 수학과 교육과정의 주요 방향을어떻게 해석하는지 살펴보았다. 조건부확률은 이전 교육과정에 비해 성취기준 상의 큰 차이는 없으나 교과 역량과 과정중심평가 등 교육과정 개정의 방향을 반영한 교수ㆍ학습과 평가 방법 및 유의 사항이 추가되었다. 이에 교육과정 개정의 방향과 취지를 반영한 교수ㆍ학습과 평가에 변화가 요구된다. 즉, 조건부확률은 내용 특수성과 교육과정 개정의 방향을 반영한 교사의 교육과정 자료 해석을 분석하는 데 도움을 제공할 것이라 기대된다. 이를 위해 교사의 교육과정 자료 해석에 영향을 미치는 교육과정, 교과서 및교사용 지도서, 조건부확률 수업에 관한 인식을확인하고자 했고, 조건부확률에 관한 2015 개정수학과 교육과정을 제공하고 교육과정 개정의 의도와 주요 변화를 어떻게 해석하는지 살펴보았다. 교사의 인식과 교육과정 자료 해석에 관한선행 연구(Choppin, 2011; Land et al. 2015; Sherin & Drake, 2009)를 바탕으로 문항을 설계하여 설문 조사하였으며, 연구 참여자는 연수에참여한 일부 교사들 중에서 편의표집을 통해 선정하였다. 조건부확률에 관련된 부분에서 강조되는 2015 개정 수학과 교육과정의 주요 변화와연결하여 세부적인 분석이 가능하도록 분류표를 도출하였다. 이로부터 교사가 2015 개정 수학과교육과정의 주요 변화 중 무엇에 주목하며 어떻게 해석하는지 분석하였다.

첫째, 교육과정에 관한 교사의 교육과정 자료에 대한 인식을 정리한 결과 대다수의 교사들은 교육과정을 실행할 때 교사가 개인의 역량이나 신념을 바탕으로 재구성할 수 있고, 교사가 개발자로서의 역할을 할 수 있으며 자율성을 강조하는 것으로 확인되었다. 또한 교과서와 교사용 지도서에 관한 교사의 인식을 확인한 결과 상당수는 교과서와 교사용 지도서를 신뢰하며 지지할 것이라 응답했지만 다양한 사회문화적 맥락을 고려할 때 교육과정 자료가 갖는 한계를 인식한 교사도 유사한 비율로 확인되었다.

둘째, 조건부확률 수업에 관한 인식을 확인한결과 절반 이상이 개념 이해를 중시하였으며, 그외로 공식과 절차의 연습, 응용 문제의 해결이확인되었는데 이는 선행 연구의 결과(Choppin, 2011; Remillard & Bryans, 2004)와 유사하다. 본 연구의 참여자가 현직 고등학교 교사라는 점에서 공식과 절차의 연습이나 응용 문제의 해결에 대한 인식이 두드러질 것으로 예상되었으나 교사들은 당면한 대학 입시나 수능 위주의 문제 풀이보다 수학 학습의 가장 기초가 되는 조건부확률의 개념 이해를 가장 중시하는 것으로 확인되었다. 또한 본 연구에서는 11.0%의 교사가 학생의 흥미 유발을 중시하는 것으로 확인되었는데 이는 학생들의 수학에 대한 관심과 수업 참여도에 영향을 받는 현직교사들의 경향 (Eisenmann & Even, 2011; Kim, 2013)을 반영한것으로 파악된다.

예비교사를 대상으로 교육과정 자료 해석을 살펴본 Ku et al.(2019)와 달리 본 연구의 참여자인 현직교사들은 조건부확률 개념의 이해 요소를 상당수 언급하였다. 조건부확률의 개념 이해를 가장 중시한 언급 중 절반 이상은 표본공간의 변화를 이해해야 한다는 언급을 했으며 조건사건과 목적사건을 구분해야 한다는 응답도 일부 확인되었다. 한편, 조건부확률에서 사건의 시간적 순서나 인과관계를 언급한 응답도 있었지만 이들 중 대다수는 오개념을 갖고 있는 것으로 확인되었다. 많은 교사들이 조건부확률 개념의 중요성을 강조하고 이해 요소를 정확히 언급하고 있어 실제 수업에 미칠 긍정적 영향이 기대되지만(Stein & Kaufman, 2010) 조건부확률에 대한 오개념을 교사가 갖고 있다면 교사의 교육 과정 자료 사용이 부적절할 가능성이 있을 것으로 예상된다(Choppin, 2011; Stohl, 2005).

셋째, 2015 개정 수학과 교육과정의 해석은 기술, 평가, 해석의 범주가 모두 확인되었다. 특히교육과정을 제공하였을 때 예비교사의 경우 자신의 지식이나 경험을 바탕으로 해석하는 해석 범주가 관찰되지 않았지만(Ku et al., 2019) 현직고등학교 교사에게는 해석 범주가 확인되었다. 다만, 교육과정을 실행할 때 교사의 적극적인 역할을 강조하며 교과서와 교사용 지도서의 한계를 지적하는 인식이 확인됨에도 불구하고 교육과정의 해석에서는 교사의 지식과 경험을 활용하여 구체적으로 해석하는 해석 범주가 가장 낮은 비율로, 기술 범주가 가장 높은 비율로 나타났다. 교육과정 개정의 의도에 대한 이해 없이자료의 특징을 기술만 한 경우 교육과정 자료의 사용이 부적절할 수 있다는 점에 비추어볼 때(Choppin, 2011) 교사가 교육과정 개정의 의도를충분히 이해하고 지식, 경험, 신념과 태도를 기초로 하여 주어진 맥락에 맞게 교육과정 자료의 의미를 구성할 기회를 제공할 필요성이 제기된다.

2015 개정 수학과 교육과정의 주요 변화에 초점을 맞춰 살펴보면, 응답의 절반 이상은 실생활과의 연결을 강조하며 수학에 흥미를 갖고 확률의 필요성을 느끼도록 하는 태도 및 실천이나 공학적 도구의 이용을 언급하는 정보처리와 관련된 것이었다. 다음으로 학습 부담 경감과 평가방법 개선, 추론의 순으로 주목했다. Kim et al. (2015)의 연구에서 초등학교나 중학교에 비해 고등학교 교사들이 교과 역량과 정의적 측면의 중요성을 다소 낮게 평가하는 경향이 보고되었으나, 본 연구에서 제공한 확률 단원은 실생활과밀접하게 관련되어 있고 공학적 도구가 강조되기 때문에 다수의 교사들이 태도 및 실천과 정보처리에 주목한 것으로 보인다.

추론에 관한 응답은 다른 변화에 비해 언급된 빈도는 낮았으나 교육과정에 대해 전반적으로 평가하는 평가 범주와 교사가 갖고 있는 지식과 경험을 활용하여 해석하는 해석 범주가 높은 빈도로 확인되었다. 교사들이 학생들이 배워야 할수학적 아이디어를 중심으로 교육과정 자료를 해석할 때 학생들이 더 높은 수준의 수업을 받는 경향이 있다는 연구 결과(Stein & Kaufman, 2010)와 조건부확률 수업에서 개념 이해에 대한교사의 인식이 높다는 점에 비추어볼 때, 추론역량을 신장시키기 위한 수업 실행이 이루어질 가능성을 확인한 것으로 보인다.

교사들은 태도 및 실천, 정보처리, 학습 부담경감, 평가 방법의 개선을 인식하고 언급하였으나 기술 범주의 빈도가 가장 높고, 평가, 해석범주 순으로 빈도가 낮았다. 특히, 정보처리, 학습 부담 경감과 관련하여 교육과정에 제시된 내용을 재서술하는 방식이 두드러졌으며 평가 방법 개선과 관련하여 교사들 대부분은 과정 중심평가를 언급만할 뿐 이를 충분히 이해한 응답은거의 확인되지 않았다. 교사가 교육과정 개정의의도를 인식하고 공감할 때 수업에서 구현되며(Remillard & Bryans, 2004) 교사가 교육과정 자료를 적절한 방식으로 해석해야 교육과정 자료의 유의미한 사용이 가능하다는 점에서(Choppin, 2011; Land et al., 2015) 교육과정 개정의 의도를 수업에서 구현할 수 있는 구체적인 방안 중심의 교사전문성 향상 기회를 제공할 필요성에 제기된다.

이를 토대로 본고에서는 다음과 같이 제언하고자 한다. 첫째, 교사가 교육과정 개정의 방향을 충분히 이해할 수 있도록 교사의 공식적 교육과정에 대한 해석을 지원할 수 있는 체제 마련이 필요하다. 본 연구의 결과에 따르면, 교사들은 조건부확률의 경우 이전 교육과정에 비해 성취기준에는 큰 차이가 없지만 2015 개정 수학과 교육과정의 변화로 태도 및 실천 및 정보처리 역량의 강조, 학습 부담 경감, 평가 방법의개선이 필요함을 인식하고 있었다. 그러나 대다수 교사의 해석이 기술 범주에 속하며 교육과정 개정의 의도를 반영한 해석 범주의 해석은 미미한 수준으로 확인되었다. 교사가 교육과정 개정의 의도를 이해하는 것과 교수실천에서 이를 구현하는 것의 어려움을 지적한 선행 연구(예를들어, McDuffie et al., 2018)에 비추어볼 때 이러한 결과는 교사가 교육과정 개정의 의도를 충분히 이해하고 교사의 지식, 경험, 신념 및 태도를기초로 주어진 맥락에 교육과정 자료의 의미를 구성할 기회가 제공될 필요성을 부연한다. 2015 개정 교육과정의 성취기준에 대한 설명, 취지를반영한 교수·학습 자료 등이 제공되었으나 여전히 교사들은 수업 실행을 위한 자발적인 교육과정 자료 해석과 수업 설계의 어려움을 겪고 있다. 이를 실제적으로 지원할 수 있는 연수, 교사연구 모임 활성화, 주기적인 전문가 연계 워크숍, 유연한 정보 공유 등의 지원 체제를 구축할필요가 있다.

둘째, 학교수학의 내용과 교육과정의 의도를연계하여 이를 수업에서 구현할 수 있는 전문성 신장에 관한 후속 연구가 필요하다. 교사는 텍스트(text as written)로서의 교육과정 자료를 해석하여 수업에서 활용할 수 있는 자원(resource in use)을 생성한다(Ball, 2011, p. 349). 본고에서 다룬 조건부확률은 확률 추론의 바탕에 놓여있는 개념이며 교사가 높은 수준의 내용 지식을 갖추어야 하는 내용 영역으로 교사의 지식과 경험에 기초한 해석과 판단이 요구된다. 또한 교육과정개정의 의도를 반영하여 학습 부담을 경감하며 평가 방법을 개선하고, 학생들이 수학의 필요성을 인식하도록 할 필요가 있다. 그러나 본 연구에서 조건부확률에 관한 오개념을 갖고 있는 교사들이 적지 않았으며 대부분의 교사들이 교육과정 개정의 의도를 충분히 이해하지 못하였다. 수학적 지식과 교수ㆍ학습 방법에 대한 높은 전문성이 요구되는 조건부확률과 같은 학교수학의 내용에 대하여 교사의 전문성을 신장시킬 수 있는 구체적인 방안에 관한 후속 연구가 필요하며, 나아가 이를 통해 사범대학의 예비교사교육 및 연수를 통한 현직교사교육에서 다룰 수학 내용 체계를 마련하는 데 기여할 수 있을 것으로 기대된다.

본 연구는 교사를 교육과정 문서와 수업 실행을 매개하는 존재로 보고, 교사의 인식과 교육과정 자료의 해석을 분석하는 기초적인 틀을 제공한다는 데 의의가 있다. 그러나 본 연구의 연구참여자는 연수에 참여한 일부 교사들 중에서 편의표집을 통해 선정되었기 때문에 본 연구의 결과를 우리나라의 모든 고등학교 교사로 일반화하여 적용하는 데 한계가 있다. 또한 연구 참여자를 대상으로 심층 면담을 진행하지 않아 교육과정 해석의 질적 차이는 분석하지 않았다. 그러나 교사의 교육과정 해석을 특정 내용 영역에초점을 맞추고, 내용 특수성을 반영한 분석을 수행하였다는 점에서 본 연구는 이후 이루어질 후속 연구의 방향을 제시할 수 있다. 특히, 교사의교육과정 자료 해석과 실행에 다양한 변인이 영향을 미친다는 연구 결과가 보고되어 있기에 (Kim et al., 2015), 교사의 생애주기별, 학교급별, 학교 소재지별로 교사의 교육과정 해석에 대한 후속 연구를 수행할 수 있을 것으로 보인다. 본연구 결과를 토대로 교사교육에 실천적인 시사점을 제공할 수 있는 교사의 교육과정 해석을 통한 전문성 신장에 관한 다양한 후속 연구가 이루어질 것으로 기대한다.

Footnote

1) 이 논문은 2018년 교육부와 한국연구재단의 지원을 받아 수행된 연구임(NRF-201800600001)

2) Ball, Thames, Phelps(2008)은 수학 교사의 지식을 크게 교과 내용 지식과 교수학적 내용 지식으로 분류하였는데, 이 중 교육과정에 대한 지식(knowledge of content and curriculum)은 교수학적 내용 지식의 중요한 부분이다.

3) 무응답 14건과 창의·융합을 비롯한 다른 교과 역량, 진로 선택 교과의 도입 등을 언급하는 15건의 총 29건의 응답은 본 연구의 목적을 고려하여 2015 개정 수학과 교육과정의 주요 변화별 해석의 결과를 분석하는 데에는 제외하였다.

Fig 1.

Figure 1. The questionnaire of highschool teachers’ perception
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 487-508https://doi.org/10.29275/jerm.2020.08.30.3.487

Fig 2.

Figure 2. The questionnaire of highschool teachers’ reading on official curriculum
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 487-508https://doi.org/10.29275/jerm.2020.08.30.3.487

Fig 3.

Figure 3. Examples of responses about elements of understanding the meaning of conditional probability in that emphasize conceptual understanding
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 487-508https://doi.org/10.29275/jerm.2020.08.30.3.487

Fig 4.

Figure 4. Examples of responses about teachers’ reading of major changes
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 487-508https://doi.org/10.29275/jerm.2020.08.30.3.487

Fig 5.

Figure 5. Distribution of teachers’ reading by major changes
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 487-508https://doi.org/10.29275/jerm.2020.08.30.3.487

Table 1 Mathematical competencies in 2015 revised mathematics curriculum (Park et al., 2015, pp. 39-43)

수학 교과 역량의미하위 요소
문제 해결해결 방법을 알고 있지 않은 문제 상황에서 수학의 지식과 기능을 활용하여 해결 전략을 탐색하고 최 적의 해결 방안을 선택하여 주어진 문제를 해결하는 능력문제 이해 및 전략 탐색, 실행 및 반 성, 협력적 문제해결, 수학적 모델링, 문제 만들기
추론수학적 사실을 추측하고 논리적으로 분석하고 정당 화하며 그 과정을 반성하는 능력관찰과 추측, 논리적 절차 수행, 수학 적 사실 분석, 정당화, 추론 과정의 반성
창의·융합수학의 지식과 기능을 토대로 새롭고 의미 있는 아이디어를 다양하고 풍부하게 산출하고 정교화하며, 여러 수학적 지식, 기능, 경험을 연결하거나 수학과 타 교과나 실생활의 지식, 기능, 경험을 연결·융합 하여 새로운 지식, 기능, 경험을 생성하고 문제를 해결하는 능력독창성, 유창성, 융통성, 정교성, 수학 내적 연결, 수학 외적 연결
의사소통수학 지식이나 아이디어, 수학적 활동의 결과, 문제 해결 과정, 신념과 태도 등을 말이나 글, 그림, 기호 로 표현하고 다른 사람의 아이디어를 이해하는 능력수학적 표현의 이해, 수학적 표현의 개발 및 변환, 자신의 생각 표현, 타인의 생각 이해, 협력과 존중
정보처리다양한 자료와 정보를 수집 정리 분석 활용하고 적절한 공학적 도구나 교구를 선택 이용하여 자료와 정보를 효과적으로 처리하는 능력자료 및 정보의 수집, 자료 및 정보 분석, 정보 활용, 공학적 도구 및 교구 활용
태도 및 실천수학의 가치를 인식하고 자주적 수학 학습 태도와 민주 시민의식을 갖추어 실천하는 능력가치 인식, 자주적 학습 태도, 시민의식

Table 2 Distribution of participants’ teaching experience

교직 경력응답자 수(비율)
5년 미만34(15.6%)
5년 이상 10년 미만38(17.4%)
10년 이상 15년 미만37(17.0%)
15년 이상 20년 미만51(23.4%)
20년 이상56(25.7%)
무응답2(0.9%)
합계218(100%)

Table 3 Linkage between categories related conditional probability and major changes in 2015 revised mathematics curriculum

구분내용주요 변화와의 연결
성취기준조건부확률의 의미를 이해하고, 이를 구할 수 있다.수학적 개념, 원리, 법칙을 이해하고, 조건 등을 파악하는 수학적 사실 분석과 연관되므로 수학 교과 역량 중 추론과 대응
교수 학습 방법 및 유의 사항수학적 확률을 다룰 때, 근원사건의 발생 가능성이 동등하다는 것을 가정한다는 점에 유의한다.
교수 학습 방법 및 유의 사항생활 주변의 다양한 소재를 활용하여 확률을 도입한다.수학에 대해 관심과 흥미를 갖고, 수학의 필요성을 인식하는 가치 인식과 연관되므로 수학 교과 역량 중 태도 및 실천과 대응
교수 학습 방법 및 유의 사항통계적 확률과 수학적 확률의 관계를 이해하고 통계적 확률을 다룰 때 충분히 많은 횟수의 시행을 구현하기 위하여 공학적 도구를 이용할 수 있다.공학적 도구의 이용을 명시적으로 제시하므 로 정보처리와 대응
교수 학습 방법 및 유의 사항확률의 계산이 복잡한 경우는 다루지 않는다.수업이나 평가에서 지나치게 어려운 내용이 다루어지지 않도록 문항의 범위와 수준의 한계를 제시하므로 학습 부담 경감과 대응
평가 방법 및 유의 사항세 사건 이상에서 서로 배반이거나 서로 독 립임을 가정한 복잡한 문제는 다루지 않는다.
평가 방법 및 유의 사항조건부 확률에 대한 이해를 평가할 때에는 과정 중심 평가를 할 수 있다.과정 중심 평가가 이루어질 수 있도록 평가 방법을 제안하므로 평가 방법 개선과 대응

Table 4 Classification table linking curriculum materials reading and major changes

범주추론태도 및 실천정보 처리학습 부담 경감평가 방법 개선
기술
평가
해석

Table 5 Number of participants by perceptions of official curriculum (Question 1-1)

구분응답자 수 (비율)
교육과정을 신뢰하며 따라야 한다: 충실도의 관점17(7.8%)
교육과정을 해석하고 교육상황에 따 라 수정 보완하여 재구성해야 한다: 적용의 관점141(64.7%)
교육과정에 유연하게 대처하며 교육 상황에 따라 새로운 교육과정을 만들기도 해야 한다: 생성의 관점55(25.2%)
기타(무응답 등)5(2.3%)
합계218(100%)

Table 6 Number of participants by perceptions of textbook and teachers’ guidebook (Question 1-2)

구분응답자 수 (비율)
교과서, 교사용 지도서는 신뢰할 수 있는 자료이며 수업 설계 전반에 대한 방향을 제공한다.82(37.6%)
교과서, 교사용 지도서는 학생들에게 제공할 수 있는 활동들과 과제들의 모임이다.54(24.8%)
교과서, 교사용 지도서는 여러 과제를 포함하고 있지만 여러 교육상황에 대처하기에는 한계가 있다.75(34.4%)
기타(무응답 등)7(3.2%)
합계218(100%)

Table 7 Number of participants by perceptions of teaching conditional probability

범주응답자 수(비율)
개념 이해122(56.0%)
공식과 절차의 연습20(9.2%)
응용 문제의 해결7(3.2%)
흥미 유발24(11.0%)
기타(무응답 등)45(20.6%)
합계218(100%)

Table 8 Categories of teachers’ reading of major changes in 2015 revised mathematics curriculum

범주추론태도 및 실천정보 처리학습 부담 경감평가 방법 개선합계
기술675623943225
평가204786788
해석14962233
합계40131764752346

References

  1. Ball, D. L. (2011). Afterword: Using and designing resources for practice. In G. Gueudet, B. Pepin & L. Trouche (Eds.), From text to ‘lived’ resources. New York: Springer.
  2. Ball, D. L., Thames, M. H. & Phelps, G. (2008). Content knowledge for teaching: What makes it special. Journal of Teacher Education. 59(5), 389-407.
  3. Batanero, C. & Sanchez, E. (2005). What is the nature of High School Students' Conceptions and Misconceptions About Probability? In G. A. Jones (Ed.), Exploring probability in school. Boston: Springer.
  4. Ben-Peretz, M. (1990). The teacher-curriculum encounter: Freeing teachers from the tyranny of texts. Albany: Suny Press.
  5. Brown, M. & Edelson, D. (2003). Teaching as design: Can we better understand the ways in which teachers use materials so we can better design materials to support their changes in practice. Evanston, IL: The Center for Learning Technologies in Urban Schools.
  6. Charalambous, C. Y. & Hill, H. C. (2012). Teacher knowledge, curriculum materials, and quality of instruction: Unpacking a complex relationship. Journal of Curriculum Studies. 44(4), 443-466.
    CrossRef
  7. K. Chval, D. Heck, I. Weiss, S. W. Ziebarth & Eds (Eds.) (2012). Approaches to studying the enacted mathematics curriculum . In K. Chval, D. Heck, I. Weiss, S. W. Ziebarth & Eds (Eds.). Charlotte: Information Age Publishing.
    CrossRef
  8. Choppin, J. (2011). Learned adaptations: Teachers’ understanding and use of curriculum resources. Journal of Mathematics Teacher Education. 14(5), 331-353.
    CrossRef
  9. Dietiker, L., Males, L. M., Amador, J. M. & Earnest, D. (2018). Curricular noticing: A framework to describe teachers’ interactions with curriculum materials. Journal for Research in Mathematics Education. 49(5), 521-532.
  10. Eisenmann, T. & Even, R. (2011). Enacted types of algebraic activity in different classes taught by the same teacher. International Journal of Science and Mathematics Education. 9(4), 867-891.
    CrossRef
  11. Falk, R. (1989). Inference under uncertainty via conditional probabilities. Studies in mathematics education: The teaching of statistics. 7, 175-184.
  12. Gras, R. & Totohasina, A. (1995). Chronologie et causalité, conceptions sources d'obstacles épistémologiques a la notion de probabilité conditionnelle. Recherches en Didactique des Mathématiques. 15(1), 49-95.
  13. Gueudet, G. & Trouche, L. (2011). Teachers’ work with resources: Documentational geneses and professional geneses. In G. Gueudet, B. Pepin & L. Trouche (Eds.), From text to ‘Lived’ resources. Dordrecht: Springer.
    CrossRef
  14. Hwang, Y. H. & Kim, S. H. (2018). The recognition and needs of mathematics teachers for instruction and assessment to enhance mathematical competency. Journal of Educational Research in Mathematics. 28(4), 651-669. 황윤희, 김선희(2018). 교과 역량 신장을 위한 수업과 평가 개선에 대한 수학 교사들의 인식과 요구. 수학교육학연구, 28(4), 651-669.
    CrossRef
  15. Jones, G. A., Langrall, C. W., Thornton, C. A. & Mogill, A. T. (1999). Students' probabilistic thinking in instruction. Journal for Research in Mathematics Education, 487-519.
  16. Kieran, C., Tanguay, D. & Solares, A. (2011). Researcher-designed resources and their adaptation within classroom teaching practice: Shaping both the implicit and the explicit. In G. Gueudet, B. Pepin & L. Trouche (Eds.), From Text to ‘Lived’ Resources. Dordrecht: Springer.
    CrossRef
  17. Kim, D. W., Park, K. M. & Park, M. M. (2015). A survey to investigate teachers’ perception of core competencies and affective aspects in mathematics. School Mathematics. 17(1), 99-118. 김동원, 박경미, 박미미(2015). 수학의 핵심역량과 정의적 측면에 대한 교사들의 인식 조사 연구. 학교수학, 17(1), 99-118.
  18. Kim, M. H. (2013). Secondary mathematics teachers’ use of mathematics textbooks and teachers’ guide. School Mathematics. 15(3), 503-531. 김민혁(2013). 수학교사의 교과서 및 교사용지도서 활용도 조사. 학교수학, 15(3), 503-531.
  19. Konold, C., Pollatsek, A., Well, A., Lohmeier, J. & Lipson, A. (1993). Inconsistencies in students’ reasoning about probability. Journal for Research in Mathematics education, 392-414.
  20. Ku, N. Y., Tak, B. J., Choi, I. Y. & Kang, H. Y. (2019). An analysis of preservice matheamatics teachers’ reading of curriculum materials: Focused on conditional probability. The Mathematical Education. 58(3), 347-365. 구나영, 탁병주, 최인용, 강현영(2019). 예비수학교사들의 교육과정 자료 해석: 조건부확률을 중심으로. 수학교육, 58(3), 347-365.
  21. Kwon, J. R. (2017). Elementary school teachers’ perceptions and demands on the 2015 revised mathematics curriculum. The Mathematical Education. 56(2), 213-234. 권점례(2017). 2015 개정 수학과 교육과정에대한 초등학교 교사들의 인식 및 요구 분석. 수학교육, 56(2), 213-234.
  22. Land, T. J., Tyminski, A. M. & Drake, C. (2015). Examining pre-service elementary mathematics teachers’ reading of educative curriculum materials. Teaching and Teacher Education. 51, 16-26.
  23. Lee, K. H., Lee, E. J., Park, M. M. & Song, C. G. (2017). Secondary mathematics teachers’ perspectives on didactic transposition in reflective journal writing. Journal of Educational Research in Mathematics. 27(3), 469-489. 이경화, 이은정, 박미미, 송창근(2017). 반성적 저널에 나타난 중등수학교사의 교수학적 변환에 대한 인식. 수학교육학연구, 27(3), 469-489.
  24. Lee, J. Y. & Woo, J. H. (2009). A didactic analysis of conditional probability.
  25. McDuffie, A. R., Choppin, J., Drake, C., Davis, J. D. & Brown, J. (2018). Middle school teachers’ differing perceptions and use of curriculum materials and the common core. Journal of Mathematics Teacher Education. 21(6), 545-577.
    CrossRef
  26. Na, G. S., Lee, K. H., Han, D. H. & Song, S. H. (2007). Mathematically gifted students’ problem solving approaches on conditional probability. School Mathematics. 9(3), 397-408. 나귀수, 이경화, 한대희, 송상헌(2007). 수학영재 학생들의 조건부 확률 문제해결 방법. 학교수학, 9(3), 397-408.
  27. NCTM (2000). Principles and standards for school mathematics. Reston, Virginia, USA: The National Council of Teachers of Mathematics.
  28. Park, K. M., Lee, H. C., Park, S. H., Kwon, J. R., Yoon, S. H. & Kang, H. Y. (2015). A development of a draft for the 2015 revised mathematics curriculum. Research Report BD15120005, KOFAC.
  29. Remillard, J. T. (1999). Curriculum materials in mathematics education reform: A framework for examining teachers’ curriculum development. Curriculum Inquiry. 29(3), 315-342.
    CrossRef
  30. Remillard, J. T. (2005). Examining key concepts in research on teachers’ use of mathematics curricula. Review of Educational Research. 75(6), 211-246.
    CrossRef
  31. Remillard, J. T. & Bryans, M. B. (2004). Teachers’ orientations toward mathematics curriculum materials: Implications for teacher learning. Journal for Research in Mathematics Education. 35(3), 352-388.
  32. Remillard, J. T. & Heck, D. J. (2014). Conceptualizing the curriculum enactment process in mathematics education. ZDM. 46(5), 705-718.
    CrossRef
  33. Shaughnessy, J. M. (1992). Research in probability and statistics: Reflections and directions. In D. A. Grouws (Ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learning: A project of the National Council of Teachers of Mathematics. New York, NY, England: Macmillan Publishing Co, Inc.
  34. Sherin, M. G. & Drake, C. (2009). Curriculum strategy framework: Investigating patterns in teachers’ use of a reform‐based elementary mathematics curriculum. Journal of Curriculum Studies. 41(4), 467-500.
  35. Snyder, J., Bolin, F. & Zumwalt, K. (1992). Curriculum implementation. Handbook of Research on Curriculum. 40(4), 402-435.
    CrossRef
  36. Stein, M. K. & Kaufman, J. H. (2010). Selecting and supporting the use of mathematics curricula at scale. American Educational Research Journal. 47(3), 663-693.
    CrossRef
  37. Stohl, H. (2005). Probability in teacher education and development. In G. A. Jones (Ed.), Exploring probability in school. Boston, MA: Springer.
    CrossRef

Journal Info

Korea Society of Education Studies in Mathematics

Vol.32 No.2
2020-08-31

pISSN 2288-7733
eISSN 2288-8357

Frequency : Quarterly

Stats or Metrics

Share this article on :

  • line