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전자저널 논문

2020; 30(4): 649-673

Published online November 30, 2020 https://doi.org/10.29275/jerm.2020.11.30.4.649

Copyright © Korea Society of Education Studies in Mathematics.

Pre-service Teachers’ Conceptions Revealed from Interpreting and Using Rate of Change

변화율을 이용한 추론·해석 과제에서 드러난 예비교사들의 인식 분석

Jihyun Lee1, Gyuhee Yi2

* Professor, Incheon National University, South Korea, jihyunlee@inu.ac.kr
** Teacher, Namsung Middle School, South Korea, narara292@gmail.com

*인천대학교 교수, **남성중학교 교사

Correspondence to:corresponding author

Received: October 1, 2020; Revised: November 8, 2020; Accepted: November 17, 2020

The function concept arose from analyzing the relationships between co-varying quantities to model change. From the covariation perspective of function, we analyzed the responses of 13 pre-service teachers to the tasks to interpret rates of change or reason the corresponding change of one quantity from the changes of the other using the given rate of change; by using the rate of change, a change of one quantity can be directly deduced from the given change of the other quantity. Most of the pre-service teachers reasoned the change correctly. However, a portion of pre-service teachers reflexively calculated the formula of the function and the difference between the two values of the function. In addition, some teachers revealed their insufficient understanding of the slope of the linear function. The conceptions of pre-service teachers help elucidate what and how students might learn and might not learn about functions from the school mathematics curriculum.

Keywordsfunction, rate of change, change in quantity, covariation

지구의 연평균 기온은 매년 상승한다. 눈에 보이지 않는 작은 바이러스부터 거대한 고래에 이르기까지, 생물의 개체 수도 짧게는 매초, 길게는 매년 변화한다. 우리의 삶에 지대한 영향을미치는 환경의 ‘변화’를 이해하고 예측하며, ‘변화’를 통제하는 것은 중요한 문제이다. 함수는자연과 사회 현상의 변화를 모델링하기 위하여, 동시에 변화하는 양의 분석과정에서 태동한 개념이다. 그러나 현대 수학에서는 변화의 의미 없이 정의역에 속한 임의의 한 양(원소)이 주어질때, 다른 양(원소)이 유일하게 결정되는 ‘정적인대응’으로 함수를 정의하며, 전통적인 교육과정도 ‘정적인 대응’과 ‘동적인 공변’의 두 함수 측면 중 대응으로서의 의미를 보다 강조해왔다(Smith & Confrey, 1994, pp. 334-335).

독립변수 변화량에 대한 종속변수 변화량의 비율로 정의되는 변화율은 한 양의 변화에 따라 다른 양은 어떻게 변화하는가라는 공변 관계로서의 함수와 밀접한 관련이 있다. 변화율은 주어진 현상을 모델링하는 함수를 찾아내는 데 핵심적인 정보이다. 함수의 변화율로부터 한 양의 변화량을 알면 다른 양의 변화량을 추론해낼 수 있으며, 더 나아가 변화율 함수(도함수)의 적분을 통하여 원함수를 복구할 수도 있다.

여러 연구자들이 함수에 대하여 학생들의 이해(Ayalon, Watson, & Lerman, 2015, 2017; Chimhande, Naidoo, & Stols, 2017; Sajka, 2003; Vinner & Dreyfus, 1989; Byun & Ju, 2012)와 교사들의 교과 지식 및 교수학적 내용 지식을 조사해왔다(Even, 1990; Nyikahadzoyi, 2015). 교사들의 함수에 대한 지식 혹은 인식을 조사한 많은 연구들이(e.g., Even, 1993; Hatisaru & Erbas, 2015; Thompson & Milner, 2019; Kang & Jun, 2006) 함수의 임의성과 일가성 등 대응으로서의함수 관점을 중심으로 교사들의 함수 인식을 다뤘으나, 상대적으로 변화율과 같은 함수의 공변관점을 중심으로 (예비)교사들의 인식을 탐색한연구는 아직 충분하지 않다. 특히 이 연구에서는 두 변수의 변화량이 주어지면 yx공식을 적용하여 변화율을 계산하는 통상적인 과제의 역방향으로, 제시된 변화율 값을 해석하거나 변화율을 사용하여 한 변수의 변화량에 대한 다른 변수의 변화량을 추론하는 과제에 대한 예비교사들의 반응을 분석 및 논의하고자 한다. 본 연구의 연구문제는 다음과 같다.

  • 예비교사들은 함수의 변화율을 이용하여 주어진 한 변수의 변화량에 따른 다른 변수의변화량을 어떻게 추론하는가?

  • 예비교사들의 변화율·변화량에 대한 해석·추론 과정에서 드러난 함수 및 변화율에 대한 인식은 무엇인가?

1. 함수의 두 측면: 공변과 대응 관계

중학교 교과서에서는 “두 변수 x,y에 대하여x의 값이 변함에 따라 y의 값이 하나씩 정해지는 두 양의 대응 관계(Kim, et al., 2019, p.103)” 를 함수로 정의하고 있다. 함수 정의 진술과 같이, 대응 인식은 주어진 한 양의 값에 대응하는다른 양의 값을 출력하는 ‘규칙(예를 들면, Figure 1의 수압(atm)과 수심(feet) 사이의 관계식y=33x-33)’ 혹은 ‘대응’에 주목하는 것이다. 반면 두 양의 패턴에 대한 공변 인식은 한 양의 변화에 따른 다른 양의 변화를 관찰하며 두 변화량을 조정한다. Figure 1에서, yi에서 yi+1로의변화(물의 깊이 y가 33 feet씩 증가)에 따른 xi에서 xi+1로의 변화(수압 x가 1 atm씩 늘어난다)를 관찰할 수 있으며, 두 변화량을 조정하면 물의 깊이가 33 feet씩 증가함에 따라 수압이 1 atm씩 증가한다는 것을 알 수 있다.

Figure 1.A correspondence approach versus a covariation approach to a functional relationship

위와 같은 대응과 공변 인식은 함수 관계에 있는 두 양의 패턴에서 서로 다른 측면에 주목하고 있다. 함수에 대한 통상적인 교육과정에서는 ‘대응’으로서의 함수의 대수적 식 표현과 주어진 값에 대한 함숫값의 계산에 치중하기 때문에, 학생들은 함수 관계를 두 양의 동적인 변화보다는 한 양에 의해 다른 양이 결정되는 정적 관계로만 생각하기 쉽다. Confrey & Smith (1995)는 보다 유연한 함수적 사고 교육을 위하여 교육과정에서 공변(covariation)의 의미를 강조해야한다고 주장하였다. “한 양의 변화에 따른 다른양의 변화에 주목하며, 변화하는 양들을 조정하는 데 수반되는 인지적 활동(Carlson, Jacobs, Coe, Larsen, & Hsu, 2002, p. 354)”인 공변 추론은 변화하는 두 양 사이의 관계에 대한 분석․조작․이해를 수반한다. 함수의 정의에 포함되어 있지는 않지만, 함수를 변화하는 양 사이의 관계로 보고 각 양의 변화와 그 조정에 주목하는 공변 관점은 함수의 역사적 발달 과정에서 오랜 기간 중심 아이디어였을 뿐만 아니라, 함수의 극한․미분․적분 등 미적분학 개념과 밀접한 관련이 있으며, 관찰 데이터로부터 자연 현상을 모델링하는 함수를 찾는 데 유용한 관점이다. 공변이 양이 아닌 양의 변화에 초점을 맞추고 있으므로 대응보다 더 어렵다고 생각할 수도 있지만,함수를 처음 접하는 학생들도 종속· 인과· 변화에 대한 직관적인 아이디어를 가지고 있을 뿐만아니라, 동시에 변하는 두 양에 대한 관계는 대응에 대한 이해 없이도 다양한 방식으로 추론할수 있다는 점에서, 여러 학자들이(Confrey & Smith, 1994; Ellis, 2011; Panorkou, Maloney, & Confrey, 2014) 함수에 대한 공변 관점을 미적분학을 배울 때까지 미룰 것이 아닌 함수 학습이 시작되는 초․중학교 시기부터 지도해야 한다고 주장하였다.

2. 변화율을 이용한 추론․해석 과제

두 (변화) 양은 덧셈적으로(additive comparison) 그리고 곱셈적으로(multiplicative comparison) 비교할 수 있다. 예를 들어, 1500원은 1000원보다500원이 더 많다는 것은 이 두 양의 덧셈적 비교이며, 1500원은 1000원의 32배라는 것은 두 양에 대한 곱셈적 비교이다. 비율 ab1)는 두 양을 곱셈적으로 비교하여 분자의 양 a가 분모의 양 b의 몇 배인지, 두 양의 상대적 크기를 수치로 나타낸 값이다. Arons (1997, pp. 5-6)340g120cm3와 같은 구체적인 비율의 의미를 물어보면, 학생들은 ‘밀도’와 같은 비율의 이름을 말하거나, ‘부피 당 질량’, ‘부피 120cm3의 (물질의)질량’이라고 답하지만, 이 값이 단위 비율, 즉 분모의 양 1단위에 대한 분자의 양, 즉 ‘단위 부피 1cm3의 질량’임을 모르는 경우가 많다고 지적하였다. 많은 학생들이 어떤 상품 3kg가 5$라 할때 1kg의 물건값을 구하기 위해 (단위) 비율은 능숙하게 계산하지만, 거꾸로 주어진(단위) 비율 53($/kg)의 의미 해석에는 어려움을 겪는다(Arons, 1997, p. 6). Arons(1997, p.7)는 (단위) 비율 값을 해석하기 위해서는 두 양을 곱셈적으로 비교해야 하며, 두 양을 나누어 (단위) 비율을계산하는 과정의 ‘역방향 사고(reverse thinking)’ 를 수반한다고 보았다.

한편 물리량을 측정할 때는 어떤 기준량을 선택하고, 측정하고자 하는 양을 그 기준량과 곱셈적으로 비교하여 몇 배인지를 수치로 나타낸다. 이때 측정의 기준으로 선택된 기준량을 단위라 하며, 양의 크기는 수치와 기준 단위로 표시한다. 단위는 기본 단위와 유도단위로 나누어 살펴볼 수 있는데, 기본 단위는 길이·질량·시간·전류·열역학적 온도·물질량·광도의 7가지이며, 둘 이상의 기본 단위 사이의 곱셈 혹은 나눗셈으로 파생되는 새로운 단위를 유도단위라고 한다. 여러 연구들이 물리량 단위에 대한 학생들의 이해가 낮음을 보고하고 있다. 물리량은 수치와 단위의 두 요소로 이루어져 있지만, 학생들은 물리량을 계산할 때 수치에만 신경을 쓰며 단위는 그냥 따라붙는 것이라고 생각한다(이선양, 2004, pp. 74-75). 특히 학생들은 기본 단위의 조합으로 파생되는 유도단위에 대한 이해가 낮다(권순애, 2009). 예를 들어, 중학생들의 과학 단위 인식을 조사한 이선양(2004, p. 39)의 연구에따르면, 속력 정의를 “단위시간 당 이동한 거리” 로 제시하고 속력의 단위를 고르는 문항에 25% 이상의 중학생들이 “초·m”, “kg/s”, “m2/년” 도 속력의 단위로 선택하였다. Shin & Park (2014)은 특히 속력 단위와 관련하여, 초등학교교과서에서 속력 단위를 “m/s, km/h, cm/s”에한정하여 제시할 뿐만 아니라, 또한 이들 속력단위들을 속력 개념(단위시간 당 이동거리)과 충분한 연결 없이 수치에 붙는 단순한 기호로 제시하고 있다는 점을 지적하였다. 손정화(2013)는 학생들의 부족한 단위 이해의 원인으로 단위교육이 수학과 과학 양쪽에서 제대로 이루어지지 않고 있다는 점을 지목하였다.

함수의 (평균)변화율은 독립변수 변화량 Δx에대한 종속변수 변화량 Δy의 비율로 정의되는데, 특히 일차함수는 임의의 구간 위에서의 (평균) 변화율이 일정한 함수이다. 따라서 일차함수의 일정한 변화율을 m이라 하면, ΔyΔx=mΔx=xx1,Δy=yy1에서 일차 함수식을 도출할 수 있으며, 주어진 독립변수 변화량에 m을 곱하면 대응하는 종속변수 변화량을 얻는다. 그러나 일차함수가 아닌 일반적인 함수 f(x)의 변화율은 상수가 아닌데, 이 함수가 다음과 같이 정의역의 한 점 x0에서 미분 가능하다고 하자.

f'(x0)=limΔx0ΔyΔx=limxx0f(x)f(x0)xx0

극한 정의에 의하여, 주어진 점 x0에서 충분히 작은 증분 Δx를 선택하면 변화율 과 (x0)을 임의로 가깝게 만들 수 있다. 주어진 함수 f(x)는 x0근방에서 일차함수 y-y0=f (x0)(x-x0)로 근사할 수 있다. 따라서 (x0)값을 x0로부터의 작은 독립변수 변화량 Δx에 곱하면, 이에 대응하는 Δy의 근삿값을얻을 수 있다(Callahan, 2010, p. 4). 따라서 함수f(x)의 x0에서의 순간변화율 값 f′(x0)은 x0에서 독립변수 1단위 증가에 따른 종속변수의 ‘근사적인’ 변화량으로 해석할 수 있다. 한편, 변화율이 일정하지 않은 일반적인 함수의 경우, 독립변수 변화량에 대한 종속변수의 ‘진짜’ 변화량은변화율을 적분해 구할 수 있다. 함수 y=f(x)의 x에 대한 y의 변화율을 f (x)라 할 때, 이 변화율의 정적분 ab f'(x)dx은 미적분학 기본정리에 의하여 f(b)-f(a), 즉 독립변수가 a에서 b까지 변할 때 종속변수의 변화량이 된다.

여러 연구들이 학생 및 일부 교사들조차도 나눗셈과 분수를 두 양을 곱셈적으로 비교하여 상대적 크기를 구하는 연산과 그 결과임을 잘 인식하지 못한다는 점을 보고하고 있다(Byerley, Hatfield, & Thompson, 2012; Byerley & Thompson, 2014; Simon, 1993). 마찬가지로 여러연구자들이(Byerley & Thompson, 2017; Stump, 1999; 2001) 학생과 일부 교사들도 yx으로 계산하는 일차함수의 기울기가 독립변수와 종속변수 변화량을 곱셈적으로 비교한 값임을 충분히 이해하고 있지 못함을 보고하였다. Stump (1999, p.129)는 예비․현직 교사들을 대상으로기울기의 의미를 조사하여, 기하학적 비 ( ("riserun")·대수적 비(y2y1x2x1)·물리적 성질(경사, 기울어진 정도, 각)·함수적 성질(독립변수에 대한 종속변수 변화량의 비율)·(일차 함수식에서 x)계수, 삼각비 인식(경사각의 탄젠트), 미적분학적 인식(미분계수)의 일곱 범주를도출하였다. 그 결과 대부분의 교사가 기울기를기하학적 비라고 생각하고 있었으며, 독립변수변화량에 대한 종속변수 변화량의 비율이라는 함수적 성질로 보는 인식은 부족했다(Ibid, p. 140).

3. Vinner의 의사 개념적-분석적 행동

많은 수학교육 연구들이 학생들의 개념에 대한 사고 및 문제 해결 과정을 주로 인지적 측면에서 해석해왔다. 그러나 학생들의 사고 과정에서는 인지적 요인뿐 아니라 정의적 혹은 사회적 요인도 중요한 역할을 한다. 특히 Vinner(1997)는 모든 수학 학습 사건을 인지적 요인으로 설명할 수 있는 것은 아니며, 따라서 수학 학습 상황에 인지적 접근․분석만이 충분하다고 간주하는 것은 오류라고 비판하였다. Vinner는 학생들의 개념에 대한사고와 문제 해결 과정에 영향을 미치는 사회적 요인 중, 교사는 가르칠 의무가 있으며 학생들은배울 의무가 있는 교실의 교수학적 계약 상황에 주목하였다. 교수학적 계약 상황에서 학생들은 자신에게 부여된 학습 과제를 성공적으로 완수함으로써 교사를 만족시키고 학교나 학급에서 인정받기를 원한다. Vinner는 교사와 학생들이 수학 개념에 대해 논의하거나 문제들을 해결하는 전형적인 교수 학습 상황에서, 학생들이 교수학적 계약으로 인한 심리적 압박으로 바람직한 개념 이해 혹은 문제 해결 방식은 아니나 정답 혹은 교사의 인정을 받을 수 있는 답을 산출하기 위해 하는 행동을 각각 ‘의사 개념적 행동(pseudo-conceptual behaviour)’과 ‘의사 분석적 행동(pseudo-analytical behaviour)’이라고 불렀다2). 먼저 의사 개념적 행동이란, 개념적 사고로 간주할 수 없는 사고 과정(즉, 의사 개념적 사고 과정(pseudo-conceptual process)의 결과이지만 표면적으로는 ‘개념적으로’ 보일 수 있는 행동이다(Vinner, 1997, pp. 100-101). 한편 Vinner는 전형적인 문제를 접했을 때 학생들의 마음속에서 일어나는 분석적 사고 과정과 의사 분석적 사고 과정을 Table 1과 같이비교하여 설명하였다. 학생들은 수학 개념을 학습하며 그 개념에 대한 여러 정보를 기억하고 내면화하기 위해 많은 연습 문제를 푼다. 그러나 보통 학생들은 자신의 문제 해결 과정이 분석적인가 의사 분석적인가 보다는 자신의 답이 교사에게 받아들여지는지 아닌지, 맞는지 틀린 지에만 신경을 쓰는 경우가 많다. Vinner (1997, p. 113)는 학생들이 의도적으로 분석적 사고 과정을 회피하고 의사 분석적 사고 양식을 택하는 것은 아니지만, 의사 분석적 사고 과정이 보통분석적 사고 과정보다 더 짧고 간단하므로, 학생들은 ‘최소 노력의 원칙’에 의해 의사 분석적 사고 과정을 선택하거나 선호하게 된다고 보았다. 분석적 사고 양식은 반성적 능력을 요구하는데, 어린 학생들은 반성적 사고 능력이 부족한 경우가 많다. 또한 반성적 사고 능력이 있는 사람도모든 상황에 반성적 사고 능력을 발휘하는 것은아니므로, 전문 수학자라 하더라도 특정 상황에서는 의사 개념적․분석적 사고 양식을 보일 수있다. Vinner(1997, p. 114)는 의사 분석적 행동의가장 중요한 특징을, 문제를 접했을 때 떠오른즉각적인 연상들에 대한 의식적인 검토 없이 이러한 즉각적인 연상에 기반하여 그대로 반응하는 통제 절차(혹은 메커니즘)의 결여라고 설명하였다.

Table 1 Vinner’s analytical mode of thinking and pseudo-analytical mode of thinking(1997, pp. 111-115)

분석적 사고과정의사 분석적 사고과정
(1) 문제 X가 제시되면, 제시된 문제의 유형 및 구조를 분석하는 정신적 스킴 (B)가 작동한다.
(2) 문제 유형과 구조(Y)를 파악하면, 해결 절차(알고리즘) 집합 A에서 파악된 문제 유형/구조에 적합한해결절차를 배치하는 정신적 스킴 C가 활성화된다.
(3) 문제 X에 해결절차 Z를 적용하여 문제를 해결한다(Ibid, p. 111).
(1) 문제 X가 제시되면, 전형적인 문제-해결절차 집합A´에서 주어진 문제 X와 유사 문제 Z´를 찾아내는정신적 스킴 B´가 활성화된다(유사 문제 Z´는 희미한기억과 같이 문제 해결자의 머릿속에서 언어적으로형식화되지 않을 수도 있다).
(2) 유사문제 Z´에 대한 해결절차를 문제 X에 적용한다(Ibid, p. 114-115).
한 변의 길이가 7cm이고 둘레가 24cm인 직사각형의 면적을 구하는 문제에서의 사례
(1) 이 문제는 면적 문제이며, 넓이를 구해야 하는 영역은 직사각형이다. 직사각형의 넓이는 가로의 길이와 세로의 길이의 곱으로 구할 수 있다. 그러나 한변의 길이와 둘레의 길이가 문제에 주어져 있다. 둘레의 길이는 가로-세로 길이의 합의 두 배이다. 둘레를 이용하면 직사각형의 다른 한 변의 길이를 찾아낼수 있을 것이다.
(2) 직사각형의 다른 한 변의 길이를 구하기 위하여,주어진 둘레의 길이를 2로 나눈 후 주어진 길이를빼야 한다. 이와 같이 다른 한 변의 길이를 구해 주어진 길이와 곱하면 요구되는 직사각형의 넓이를 찾아낼 수 있다.
(3) 24÷2=12; 12-7=5; 7×5=35; 따라서 넓이는 35cm2(Ibid, p. 112)
(1) 이 문제는 직사각형의 넓이를 구하는 문제처럼보인다. 이러한 문제는 문제에 제시된 두 숫자를 곱해 답을 계산할 수 있다.
(2) 문제에 주어진 두 숫자는 24와 7이므로, 답은24×7=168이다(Ibid, p.115).


오개념과 의사 개념적 사고 양식은 긴밀한 연관이 있으므로, 실제 상황에서는 학생의 특정 행동이 오 개념의 결과인지 의사 개념적 사고의 결과인지를 명확하게 진단하는 것이 불가능한 경우가 많다. 그러나 Vinner(1997, p.115)는 오개념과 의사 개념적․분석적 사고 양식의 이론적인 구분에 대하여, 오개념은 특정 수학적 개념․상황에 대한 인지적 신념(즉, 어떤 수학적 진술이 참이다)에 기초하지만, 의사 개념적 혹은 의사 분석적 사고 양식은 특정한 행동이 사회(예를 들어 수학 교사, 학교 시험 등)에서 인정받을 수 있다는 신념(즉, 평가자에게 어떤 진술이 인정(혹은 점수)을 받을 수 있다)에 기초하는 것이라고 설명하였다.

의사 개념적․분석적 사고 양식은 즉각적이며, 자연스러울 뿐만 아니라 대부분의 상황에서(정답 혹은 최소한 부분적으로 옳은 답을 내는 데) 효율적인 사고 양식이다(Vinner, 1997, p. 126). 의사 개념적․분석적 사고 양식은 종종 생존을 위한 행동 양식으로 나타나며, 의사 개념적 사고양식은 개념적 사고 요소의 출현 전 시동 장치의 역할을 하기도 한다. 따라서 Vinner(1997, p. 126)는 의사 개념적․분석적 사고 양식을 학생의 마음속에서 완전히 제거한다는 것은 불가능할 뿐만 아니라 바람직하지도 않으며, 의사 개념적․분석적 사고 양식의 제거가 아닌 진정한 개념적․분석적 사고의 촉진을 목표로 삼아야 한다고 주장하였다. Vinner(1997, p. 115)는 많은 연구들이 학생들의 수학에 대한 여러 오개념의 근원과 처방에 대해 탐색해왔듯이, 의사 개념적․의사 분석적 사고 과정 및 행동이 어떻게 형성되며 이의 극복 방안에 대한 연구가 필요함을 지적하였다.

이 연구의 참여자들은 한 연구자가 2020-1학기 진행한 수학 논리 및 논술 강의를 수강 중이었던 수학교육과 4학년 학생들이었다.3) 수강생들은 강의 과제로 제시된 설문 문항을 각자 자유롭게 해결한 후 자신의 답안을 온라인으로 제출하였다. 이 연구에서는 변화율을 일정한 변화율, 변하는 변화율 및 순간변화율로 나누어 각 변화율을 사용하여 변화량을 추론 혹은 변화율을 해석하는 과제를 설계했으며, Table 2는 부록에 제시된 각 문항의 요약이다.

Table 2 Summary of tasks in this study

문항문항 내용문제 상황에서 주어진 변화율 정보구해야 하는 변화량/변화율 해석출처
1일정한 변화율 (정비례)반지름에 대한 원둘레의 비 2π주어진 원둘레의 변화량에 대 응하는 반지름의 변화량Arons ( 1997, p. 22)
2일정한 변화율표로 주어진 수압과 수심 데이터수심의 변화량에 대응하는 수압의 변화량자체 제작
3(1)일정한 변화율투약량 D는 환자 몸무게 (w kg)의 기울기 6.6인 일차 함수몸무게 변화량에 대응하는 복용량 변화량Hughes-Hallett et al.(2009, p. 96)에서 변형
3(2)순간변화율투약량 D (w )은 몸무게의 미분 가능한 함수이며, 해당 몸무게에서의 미분계수는 D′(63.5) = 6.6미분계수 값 D ′(63.5) = 6.6을 맥락에서의 순간변화율로 해석; 63.5 kg에서 몸무게의 작은 변화량에 대응하는 약 복용량의 변화량 근삿값 구하기Hughes-Hallett et al.(2009, p. 96)에서 단위 수정
5(1)일정한 변화율속력 v (km/h)는 시간 t(초)의 기울기가 15이고 v(2) = 30인 일차함수주어진 시간 변화량 동안의 속력 변화량 구하기자체 제작
5(2)순간변화율속력 v (km/h)는 시간 t(초)의 미분 가능한 함수이고, v(8) = 65, v′(8) = 108초에서의 시간의 작은 변화에 대응하는 속력 변화량 근삿값 구하기자체 제작
6(1)변하는 변화율시간-속도 그래프로 주어진 변화율(속도)속도 그래프의 면적으로 변화량(거리)비교하기Monk(1992)
6(2)변하는 변화율시간-속도 그래프로 주어진 변화율(속도)속도 그래프의 면적으로 변화량(거리)비교하기Monk(1992)


연구자들은 1) 각 문항에서 변화율 해석 방식혹은 변화량 추론 방식을 기록하고, 2) 각 참여자의 응답을 다른 참여자의 응답과 계속적으로 비교하면서 해석ㆍ추론 방식 범주를 생성하였다. 3) 전체 자료를 생성된 범주로 두 연구자가 독립적으로 코딩한 후, 코딩 결과가 불일치한 경우는함께 검토 후 합의를 거쳐 수정하였다. 문제 해결 이면의 사고 과정에 대한 심층적인 정보를수집하기 위하여 6명의 연구참여자를 대상으로Zoom 화상 인터뷰를 실시하였다. 두 연구자는각 참여자와의 녹화 인터뷰를 전사하여 지필 답안과 함께 분석하였다.

1. 지필 응답 분석

일정한 변화율을 이용한 변화량 추론 문항 1, 2, 3(1), 5(1)은 일정한 변화율(반지름과 원둘레의비(문항 1), 물의 깊이에 따른 수압의 변화율(문항 2), 일차함수의 기울기(문항 3, 5)를 사용하여, 한 양의 주어진 변화에 따른 다른 양의 변화량을 양적으로 추론하는 과제였다. 네 문항에서 예비교사들의 변화량 추론 전략은 문제에 제시된 두 양 사이의 관계에 대한 대응․공변 인식과 관련하여 ‘대응 접근’, ‘공변 접근’, ‘대응 후 공변 접근’의 세 범주로 분류하였다.

문항 2는 표로 제시된 수심-수압 데이터에서 수심이 40feet에서 73feet로 증가할 때 수압의 변화량을 추론하는 문제였다. 한편 문항 3(1)은약 복용량 D가 몸무게 w의 기울기가 6.6인 일차함수라 할 때, 현재 몸무게가 63.5kg이고 약120mg을 복용하는 사람이 몸무게가 0.5kg증가했을 때 복용량의 증분을 추론하는 문제였다. 이러한 변화량 추론 과제에 대한 대응 접근은 Table 3의 사례와 같이, 주어진 독립변숫값을 대입해 종속변수 값을 얻을 수 있는 함수식을 찾아 각 독립변수에 대한 종속변수 값을 각각 구한 후 그 차를 계산하여 요구되는 변화량을 덧셈적으로 추론했던 반응이었다.

Table 3 Pre-service teachers’ ways of reasoning change in quantity

일정한 변화율로부터 변화량 추론 방식 범주문항 2에서의 사례 문항3(1)에서의 사례
대응 접근
공변 접근일차함수 기울기가 6.6이므로 몸무게가 1 kg증가할 때 투약량은 6.6 mg 늘어난다. 따라서 몸무게가 0.5 kg증가하면 투약량은 3.3 mg늘어난다.
대응 접근 후 공변 접근


반면 공변 접근은 두 양의 관계에 대한 주어진 변화율 정보(문항 2의 경우 수압-수심 데이터 표에서 위로 올라가거나 내려가면서, 변화와 수심의 변화를 조정하기, 문항 3에서는 기울기6.6)를 이용하여 주어진 한 양의 변화에 대응하는 다른 양의 변화량을 곱셈적으로 추론했던 반응이다.

마지막으로 Table 3의 대응 접근 후 공변 접근의 사례와 같이 두 양의 함수식을 찾아 대응 방식으로 해결한 후에, 주어진 변화율 정보를 직접사용하여 요구된 변화량을 곱셈적으로 추론하는 공변 방식으로도 답을 쓴 응답을 대응 후 공변 접근 범주로 코딩하였다.

Table 4는 일정한 변화율 네 문항에서 각 전략을 사용했던 예비교사 수이다. 일정한 변화율에서는 주어진 한 양의 변화에 따른 다른 양의 변화량은 함수식을 세우지 않더라도 주어진 변화율로부터 쉽게 계산할 수 있다. 특히 주어진 두양의 (일차)함수식이 y=ax+b(b≠0)인 2와 3(1)문항의 경우, 일차 함수식을 도출하고 각 함숫값의 차를 계산하는 대응 접근보다 기울기에서 바로 변화량을 추론하는 공변 접근이 더 쉽게 변화량을 찾을 수 있다. 문항마다 다소 편차가 있지만, 각 문항에서 적지 않은 예비교사들이 우선함수식을 찾은 후, 두 함숫값의 차를 계산하는대응 접근으로 한 변수의 변화에 따른 다른 변수의 변화량을 추론하였다.4)

Table 4 Number of pre-service teachers at each way of reasoning

일정한 변화율 문항123(1)5(1)
대응 접근125611
공변 접근0852
대응 후 공변 접근0020


문항 3(2)와 5(2)는 순간변화율 값을 주어진 함수 맥락(몸무게의 함수로서의 투약량, 시간의 함수로서의 속도)에서 해석하는 문항이었다. 예비교사들이 순간변화율을 해석한 방식은 Table 5의일곱 범주로 나누어 살펴볼 수 있었으며 Table 6은 각 해석 방식을 사용했던 예비교사 수이다.

Table 5 Pre-service teachers’ ways of interpretating instantaneous rates of change

순간변화율 해석 방식 범주사례
A독립변수에 따른 종속변수의 순간변화율
B제시된 점 근방에서의 단위 변화율
C원 함수를 일차함수로 간주하여 일차함수의 일정한 기울기(변화율)로 해석
D미분계수의 부호로 독립변수와 종속변수 변화 방향 비교(함수의 증감)
E종속변수의 순간 변화량
F가속도와 순간속도의 혼동
G무응답

Table 6 Number of pre-service teachers at each way of interpreting instantaneous rate of change

순간변화율 해석 방식 범주3(2)5(2)
A독립변수에 따른 종속변수의 순간변화율48
B제시된 점 근방에서의 단위 변화율21
C원 함수를 일차함수로 간주하여 일차함수의 일정한 기울기(변화율)로 해석41
D미분계수의 부호로 독립변수와 종속변수 변화 방향 비교 (함수의 증감)11
E종속변수의 순간 변화량12
F가속도와 순간속도의 혼동01
G무응답11


두 문항에서 예비교사들은 각 상황에서의 순간변화율의 명칭(예: 몸무게에 따른 복용량의 순간변화율(문항 3(2)), 가속도(문항 5(2))등을 언급하거나(범주 A), 순간변화율의 부호로 한 양이증가할 때 다른 양의 증가ㆍ감소 여부를 판단했다(범주 D). 그러나 명칭을 언급하거나 함수 증감을 판단하는 이상의, 한 점에서의 순간변화율값을 그 점 근방의 단위 변화율(‘독립 변수 1단위 증가에 따른 종속변수의 근사적인 변화량’)로구체적으로 해석했던 예비교사는 한두 명에 그쳤다(범주 B). 한편, 일부 예비교사는 순간변화율을 독립변수 변화량에 대한 언급 없이 종속변수의 ‘순간 변화량’이라고만 설명했으며(범주 E), 각 점 마다 다를 수 있는 순간변화율과 일차함수의 일정한 변화율의 차이에 대한 부족한 이해를 드러냈던 반응(범주 C), (순간) 속도와 가속도를 혼동한 응답도 있었다(범주 F).

문항 6(1, 2)은 변화율이 일정하지 않을 때 주어진 독립변수 변화에 대한 종속변수의 변화량을 추론하는 문제로, 두 차의 시간-속도 그래프에서 주어진 두 시각에서의 두 차의 간격을 비교하는 문항이다. 예비교사들이 시간-속도 그래프에서 두 차의 상대적인 위치에 대한 추론 방식은 Table 7과 같이 나누어 살펴볼 수 있었으며Table 8은 각 추론 방식을 사용했던 예비교사 수이다.

Table 7 Pre-service teachers’ ways of reasoning the relative position of two cars in the time-speed graph

변하는 변화율을 이용한 변화량 추론 방식 범주사례
A두 차의 속력 비교
B시간-속력 그래프 아래의 면적 비교
C속력의 변화율 비교
D시간-속력 그래프 아래의 면적 근사하기
E이유 없는 정답
F무응답

Table 8 Number of pre-service teachers at each way of reasoning the relative position of two cars in the time-speed graph

변하는 변화율을 이용한 변화량 추론 방식 범주6(1)6(2)
A두 차의 속력 비교24
B시간-속력 그래프 아래의 면적 비교54
C속력의 변화율 비교30
D시간-속력 그래프 아래의 면적 근사하기11
E이유 없는 정답23
F무응답01


예비교사들은 주어진 구간에서 변화율(속도)의크기 혹은 변화율 그래프 (시간-속도 그래프)아래 면적으로 해당 시간 구간 동안의 변화량(이동 거리)을 비교하였다. 그러나 몇몇 교사들은 ‘변화율의 변화율’에 주목하여, 해당 구간에서속도가 더 컸던 차 A의 가속도는 점점 감소했으나 속도가 작았던 차 B의 가속도는 점점 증가했으므로 해당 구간 동안 두 차 사이의 간격(두 변화량의 차)이 더 줄어들었다고 잘못 추론하였다(범주 C). 한편 시간-속도 그래프 아래 면적의근삿값을 직접 구하여 이동 거리를 비교하고자했던 예비교사도 있었다(범주 D). 예비교사 대부분이 잘 해결하였으나5), 일부 예비교사는 변화량 추론에서 ‘변화율’과 ‘변화율의 변화율’ 사이의 혼동(범주 C), 변화율 그래프 아래의 면적이 변화량이라는 점에 대한 이해 부족(범주 D, F)을드러냈다.

2. 인터뷰에서 드러난 예비교사들의 변화율에 대한 인지적 · 비인지적 인식

Table 9는 인터뷰에 참여한 예비교사 6명의 설문 문항 별 지필 답안을 코딩한 결과이다. 이 절에서는 여섯 예비교사의 문제 해결 과정에서 드러난 함수 및 변화율과 관련된 인지적 인식과 비인지적 인식을 중심으로 인터뷰 결과를 분석한다.

Table 9 Coding results of written responses of six pre-service teachers participating in the interview

일정한 변화율순간변화율 해석변하는 변화율을 이용한 변화량 추론
123(1)5(1)3(2)5(2)6(1)6(2)
S1대응공변공변대응AAAE
S2대응공변공변대응BACB
S3대응대응대응대응무응답무응답C무응답
S4대응대응대응대응AA, EBB
S5대응대응대응 후 공변대응BCCB
S6대응대응대응대응CFDD


가. 함수 문제를 해결하기 위해서는 식부터 구해야 한다: 변화량에 대한 의사 분석적 추론

인터뷰에 참여한 여섯 명 중 네 명의 예비교사(S3, S4, S5, S6)는 네 문항 모두 함수식을 세워 변화량을 추론하였으나(대응), 두 예비교사(S1, S2)는 2번과 3(1)문항은 함수식 없이 변화율정보로부터 주어진 한 양의 변화량에 대한 다른 양의 변화량을 추론하였다(공변). Table 10은 문항 2와 3(1)를 각각 공변(S1)과 대응 방식(S5)으로 접근했던 풀이이다.

Table 10 Covariation approaches(S1) and correspondence approaches(S5) to task 2 and 3(1)

공변 방식(예비교사 S1)대응 방식(예비교사 S5)
문항 2. 이와 같은 상황에서 수심이 40 feet에서 73 feet로 증가하면, 수압은 얼마나 변할까요? 여러분의 추론을 설명해보십시오.
문항 3(1). 투약량 D (w)는 기울기가 6.6인 일차함수이고, D (63.5) = 120이다. 환자의 몸무게가 63.5kg에서 0.5kg 증가했다면, 이 환자의 진통제 투약량은 얼마나 늘려야 할까요? 여러분의 추론을 써주십시오.


예비교사 S1은 다음 발췌문과 같이 두 문제에대한 자신의 사고 과정을 설명하였다. 1) 먼저S1은 제시된 문제가 한 양의 변화량을 찾는 문제임을 파악했으며, 2) 구할 변화량을 염두에 두고 문제에 제시된 정보들(변화량과 수심 변화량의 조정(2번), 일차함수 D(w), 기울기, 한 점에서의 함숫값(3(1)번))을 검토하였다. 3) 이와 같이문제에서 요구되는 것과 주어진 것을 파악한 후, 요구된 변화량을 기울기로부터 바로 계산해냈다.

(예비교사 S1, 문항 2번)

이 문제에서 40feet에서 73feet로 수압이 증가하면 수심은 얼마나 증가할까를 묻고 있는데, 지금 표에서 알 수 있는 게, 수압이 1씩 커질 때(표에 수압 열에서 한 칸씩 내려가면서) 물의 깊이가 33feet씩 계속 커지고 있습니다. 이것을 반대로 말하면, 이 접근을 역으로 말하면…물의 깊이가 33feet씩 깊어질 때, 수압은 1씩 커지고 있습니다.

즉, 문제에서 40feet에서 73feet로 수심이 증가했다고 했으니까, 지금 변화가 33만큼 일어났기 때문에, 원래 있던 40feet에서의 수압을 a라고 했으면, 73feet에서의 수압은 1+a가 될 것입니다. 그래서 수압이 얼마나 변할까를 물어봤으니까, 1만큼 변할 것이다라고 계산했습니다.

(예비교사 S1, 문항 3(1)번)

투약량과 환자 몸무게의 함수에 대한 내용이었는데, 몸무게가 63.5kg인 환자에게 투약량을 넣을 때는 120이라고 나와 있습니다. 그런데,환자의 몸무게가 63.5kg에서 0.5kg증가했다면,투약량을 얼마나 늘려야 하냐는 것이 문제의 질문인데, 지금 우선 63.5kg인 환자에게 120g을 넣는다는 정보는 사실 필요가 없었던 부분인 것 같고, 몸무게가 0.5kg증가했을 때 얼마나 더 넣어야 하냐 이게 질문이기 때문에 지금 기울기만 확인하면 될 것 같습니다. 특히 일차함수이기 때문에 기울기는 일정하고, 기울기가 6.6이라는 것은 x에 해당하는 몸무게 w가 1kg씩 증가할 때 투약량이 증가하는 양을 얘기하는 거구요, 기울기가 6.6이니까, 0.5kg이 증가했으면 6.6의 반인 3.3이 더 늘어야 한다고 볼 수 있습니다.

한편 또 다른 예비교사 S5는 다음과 같이 두문항을 푼 과정을 설명하였다. 먼저 문제에서 요구하는 것이 무엇인지부터 파악한 후에 제시된 다른 정보를 검토했던 예비교사 S1과 달리, 예비교사 S5는 문제에서 제시된 두 양의 관계가 일차함수임을 파악하자마자 (일차)함수식을 먼저계산했으며, 요구되는 변화량을 일차 함수식을이용하여 처음 값과 나중 값을 찾아 그 차로 구하였다.

(예비교사 S5, 문항 2번)

문제를 처음 읽고 표를 봤을 때, 수압이 1씩 늘어날 때(수압 열을 아래로 내려가면서), (물의 깊이가)33씩 늘어나더라구요(수심 열을 아래로 내려가면서). 일정하게 33씩 증가하니까, 일차 함수식을 세울 수 있다는 생각이 들어서, 수압을 x라고 잡고, 수심을 y라고 잡으면, 이 값(x=1, y=0)에 맞춰 가지고 식을 세워서 y=33x-33이 나왔습니다. “수심이 40에서 73으로 증가하면”이라고 물어봤는데, 처음에 수심을 y라고 잡았으니까, y가 40일 때랑 y가 73일 때를 구해서 얼마나 증가했는지를 구하면 되겠다고 생각을 했습니다. 그래서 y가 40일 때 여기 집어넣고 풀었더니 x7333이 나왔고, 똑같이 73을 여기다 집어넣고 풀었더니 x10633 이렇게 나왔습니다. “얼마나 변화했나요?”라고 물어봤기 때문에 이 값에서 이 값을 빼서 이렇게 증가했다고 구했습니다.

(예비교사 S5, 문항 3(1)번)

1번에서는 처음에 함수랑 기울기가 주어졌고,이게 일차함수라는 걸 알려줘서...일차함수라는 것을 바탕으로 이런 식(D(w)=6.6w+b)을 세웠습니다. 그래서 아직 y절편을 모르기 때문에,이 값(y절편)을 구하기 위해서, 문제에 나와 있는 D(63.5)는 120이라는 값을 (D(w)=6.6w+b)대입해서 풀었더니, b값이 이렇게 나왔습니다.위 문제와 마찬가지로, 63.5에서 0.5가 증가했다고 문제에서 나와 있어서, 63.5랑, 63.5에서 0.5가 증가된 64를 이 값에 대입해서 대입한 결과들을 비교하면 되겠다는 생각이 들어서 이 값을 대입해서 각 값을 다 구해가지고 얼마나 증가했는지 차를 보고 3.3만큼 늘려야 한다고 생각이 들었습니다. 그런데 이 문제를 풀고 나서 깨달은 사실이 이 값을 굳이 구하지 않아도,얼마나 늘려야 하는지를 물어봤으니까, 기울기가 있으니까 구할 수 있겠구나라는 생각이 이때 들어가지고, 두 번째 풀이 방안으로 기울기가 6.6이기 때문에 w값이 0.5증가했을 때,D(w)라는 값은 6.6에다 0.5를 곱한 3.3만큼 증가한다고 생각해서 두 번째 풀이 방안을 적었습니다.

예비교사 S5는 3(1)문항에 대해 일차 함수식을세워 답을 쓰고 난 후에야, “(투약량을) 얼마나늘려야 하는지”는 굳이 함수식을 계산하지 않더라도 기울기로부터 바로(6.6×0.5=3.3으로) 알아낼 수 있다는 점을 깨달았다고 하였다. 그러나예비교사 S5는 자신이 처음에 일차 함수식부터구했던 이유에 대해, 함수 문제라는 점을 의식하고 있었으며, “함수 문제는 식을 세워 풀어야 한다”는 생각 때문에 일차함수 문제라는 생각이떠오르자마자 자동적으로 함수식부터 계산했다고 하였다. 다음은 이러한 예비교사 S5의 인터뷰발췌문이다.

(예비교사 S5, 2번 인터뷰)

S5: 함수 단원에서 문제를 풀고 있다는 걸 알고 이 문제를 접했기 때문에, 함수라는 생각을하면, 식을 세워서 풀어야겠다는 생각을 먼저 하게 되는 것 같아요.

I: 왜요?

S5: 보통 어... 학교에서 배운 함수는 일차함수, 이차함수 이렇게 배우기 때문에... 식이 나올 수 밖에 없다는 생각을 하면서 이 문제를 분석하다 보니까, 어, 일차함수네? 일차함수의 식을 세워야겠다.. 이렇게 생각이 든 것 같아요.

(예비교사 S5, 3(1)번 인터뷰)

S5: 어, 2번과 마찬가지로 일차함수라는 사실이 주어져 있기 때문에, 식으로 표현해야 문제를 풀 수 있지 않을까라는 생각이 들어서,먼저 식으로 표현했던 것 같습니다. 식을 세워야 한다는 그 관념이 박혀 있어서, 일단 식부터 세워놓다 보니까 다른 풀이 방법이 있지 않을까라는 생각이.. 후에 들었던것 같아요.. 일차 함수를 처음 배울 때, 일차함수의 기울기가 a라 하고, y절편이 b라고 하면, 일차함수의 식이 y=ax+b가 된다. 이런 개념만 외워와서, 이게 첫 번째로암기하고 중요한 사실로 생각되다 보니까,문제를 풀 때도 그 개념이 제일 먼저 떠올라서 그랬던 것 같아요.

물론 일반적인 일차 함수식을 구하여 변화량을 계산한 것도 수학적으로 옳은 시도이다. 그러나 계산을 실행하기 전, 문제가 무엇을 요구했으며 그와 관련하여 무엇이 주어져 있는지를 먼저 분석했던 S1의 분석적 사고 양식과 달리, 일차함수 문제라는 생각이 떠오르자마자 문제를 해결하기 위해 무엇이 필요한가에 대한 검토 없이 일차 함수식부터 계산한 예비교사 S5의 사고 패턴은 의사 분석적 사고 양식을 보여주고 있다. 이 두 문항에 일차 함수식을 계산해 대응으로접근했던 다른 예비교사들도 예비교사 S5와 비슷한 자동적인 “함수식 반사 반응”, 주어진 문제가 특정 함수 문제라고 인지한 순간, 그 함수식부터 구해야 한다는 생각으로 계산부터 했다고 하였다.

나. 기울기에 대한 피상적인 인식

문항 2에서 공변으로 접근한 예비교사 S1과마찬가지로 예비교사 S5 역시 두 양(수심과 수압)의 변화량을 조정하여 일정한 변화율 (혹은기울기)값을 인지했으나, 예비교사 S5는 이 값으로 일차 함수식을 구하여 변화량을 계산하였다(Table 10 참조). 연구자가 일차 함수식을 세우면서 기울기를 의식했을 텐데 함수식을 다시 계산한 이유를 묻자, 예비교사 S5는 문제에서 일차함수의 기울기를 처음 생각했을 때 떠올랐던 것은 ‘일차항의 계수’였다고 하였다.

S5: 원래 가지고 있던 생각에서 기울기에 대한 부분이 일차 함수식에서 x앞의 계수라는 인식이 좀 강해서, 얼마나 변화할 지라는 인식보다 일차 함수식에서 x앞에 있는 계수다 이런 느낌? 이런 느낌이 강해서, 기울기는 x앞의 계수니까 식을 정해서 풀어야겠다, 이런 생각으로 풀었는데, 늘려야 한다는 것을 생각하다 보니까, 기울기가 늘어야 한다는 거랑 관계가 있었지…그런 생각이 든 것 같아요.

예비교사 S5와 마찬가지로 예비교사 S4 역시수압과 수심 사이의 일차 함수식을 구해 2번과 3(1) 문항을 해결했었다. 연구자는 예비교사 S4에게 이 두 문항이 변화량을 구하는 문제라는 점을 상기시킨 후, 함수식 외에 다른 방법으로 해결할 수 있는지를 물었다. 이러한 연구자의 질문에 예비교사 S4는 일차함수는 기울기가 일정하므로, 2번 문항을 다음과 같은 비례식으로도 해결할 수 있다고 하였다.

2:33=x1:40=x2:73 33x1=40×233x2=73×2 x2x1=2(7340)33

예비교사 S4는 2번 문항의 표에서 수압과 수심 사이의 일정한 변화율, 즉 ‘수압이 1 늘어날때 마다 물의 깊이가 33씩 늘어난다’라는 것을파악하고 수압에 대한 수심의 일차 함수식(f(x)=33(x-1), x: 수압)을 구해 변화량을 계산했었다. 그러나 위와 같은 일차 함수식으로 표현했던 수압과 수심의 관계를 정비례 관계로 생각하여, 비례식으로 40feet와 73feet의 수압을 구하고자 하였다. 이러한 예비교사 S4의 시도는 변화율이 일정한 일차함수 관계(ΔyΔx=k)와 정비례 관계(yx=k)를 혼동하고 있음을 보여주고 있다.

변화량 문제를 공변으로 접근했던 예비교사들은 독립변수의 변화량에 대한 종속변수 변화량의 비율이라는 변화율로서의 기울기의 의미를 수치적으로 떠올리면서 변화량을 추론하였다(예비교사 S1 인터뷰 참조). 그러나 예비교사 S5와예비교사 S4는 변화량을 추론했던 순간 이와 같은 변화율로서 기울기의 의미를 생각해내지 못했다.

다. 가속도 단위에 대한 의사 분석적 추론: ‘가속도 단위는 분모에 제곱이 들어가야 한다.’

인터뷰 참여자 중 3(2) 혹은 5(2)문항에서 순간변화율의 의미를 ‘독립변수의 1단위 변화에 따른 종속변수 변화량의 근삿값’으로 해당 점 근방의 단위 변화율이라고 구체적으로 답했던 예비교사는 두 명(S2, S5)이었다. 그러나 연구자가 인터뷰에서 순간변화율을 사용하여 그 근방에서의 구체적인 독립변수 변화량에 대한 종속변수의 근사적인 변화량을 구체적으로 추론하는 질문(“몸무게가 만약 63.6kg로 0.1kg 증가한다면 약은 얼마나 먹어야 할까요(문항 3(2))?”, “0.1초 후인 8.1초 때의 속도는 약 얼마라고 예상할 수 있나요?(문항 5(2))”을 했을 때, 한 명을 제외한 나머지 예비교사들은 순간변화율을 이용하여 독립변수의 작은 변화량에 따른 종속변수의 근사적인 변화량을 계산할 수 있었다.

연구자는 5(2)문항에 대한 지필 답안, 그리고인터뷰에서 예비교사들이 가속도의 의미를 설명하거나 한 시각에서의 가속도 값으로 그 전후 시각의 속력을 예측할 때, Figure 2의 응답과 같이 단위를 생략한 채 수치만 쓰거나 말하는 경향이 있음을 관찰하였다. 연구자는 5(2)문항의인터뷰에서 주어진 문제 상황의 단위, 즉 속력v(km/h)이 시간 (t초)의 함수 v(t)라는 점을 예비교사들에게 다시 주지시킨 후, 가속도인 v'(8)=10의 단위는 무엇이라고 생각하는지를 질문하였다.

Figure 2.S1’s response to task 5(2)

예비교사 S2는 다음과 같이 가속도는 시간 변화량(초)에 대한 속도 변화량(km/h) 비율의 극한이므로 속도의 단위를 시간의 단위로 나눈 (km/h)/s라고 대답하였다.

I: S2는 10에 붙는 단위가 그거라고 생각했어요? 왜 그렇게 생각했어요?

S2: 여기에서 초당 바뀌는데 초가 x축이고 그냥 km/hy축 단위이니까 이렇게 될 것 같아요.(중략). x축 변화량 분의 y축 변화량의 극한을 보낸 거기 때문에(limΔyΔx)…. 가속도라는 것이, 순간변화율이라는 게 이걸 말하기 때문에, 순간 속력의 변화율을 의미하기 때문에 이 단위 그대로 옮겨왔습니다.

예비교사 S4 역시 가속도의 단위로 (km/h)/s를 생각했으나, 이 단위가 학교에서 가속도의 단위로 배웠던 m/s2과 달리 하나의 분수가 아닌 번분수 형태라는 이유로 확신하지 못했다.

I: 그러면 가속도 10의 단위는 뭐가 될까요?S4: 어… 단위… km/s2아닐까요?

I: 아… 왜 그렇게 생각했어요?

S4: 한 번도 생각해 본 적이 없는데, v에 대한 단위가 km/s였으니까..

I: 여기에서 km/h였는데?

S4: 아 km/h예요? 아 그러면 모르겠는데요.

I: 왜?

S4: km/h면 지금 이 단위가 초니까 km/hs 이건데 이렇게 하니까 여기서 더 진행이 안 돼요.

I: 그냥 S4의 생각을 말해주면 되고, 어렵거나 찝찝하거나 그런 게 있으면 말해줘도 되요.

S4: 사실 중고등학교 때 거리가 m라는 단위로 주어지고 시간 단위가 s로 주어지면 가속도의 단위가 m/s2으로 배웠거든요. 그런데 이 원리를 한 번도 들어본 적이 없어요. 그래서 한 번도 생각을 안 해 봐서.. 속도는m/s라고만 배우고 가속도는 m/s2이렇게배워서.

I: km/hs 이렇게 썼는데 왜 진행이 안된다고 했어요?

S4: 왜냐하면 저는 m/s2이라고 표현하게 된 원리를 알게 되면 저것도 똑같이 일반화해서 구할 수 있는데 원리를 몰라서.

I: 그러면 S4는 m/s2이게 어떻게 나왔을 거라고 생각해요?

S4: 속도를 s로 나눠서 s제곱이라고 하지 않나...

I: 그러면 이 단위가 이렇게 나온 거라면, 이 맥락에서는 km/hs 이렇게 쓰면 되지 않나요?

S4: 제가 찝찝한 게 m/s2처럼 이렇게 하나로 나오는게 아니라 분수처럼 표현이 되어 있잖아요. 그래서 이대로 두기가 뭔가 좀 이상하고 뭔가 더 진행이 되어야 할 것 같은데 이 다음부터 몰라가지고…

한편 예비교사 S1은 가속도의 단위로 km/h2, m/s2, km/s2 중에서 고민하였다. 예비교사 S1의생각을 들은 후, 연구자는 예비교사 S1에게 가속도가 시간 변화량에 대한 속도 변화량의 비율(ΔvΔt)로 계산되는 양임을 상기한다면, 가속도의 단위를 문제에서의 속도 단위를 시간 단위로 나눈 ‘(km/h)/s’이 자연스럽지 않냐고 물었다. 예비교사 S1은 ‘(km/h)/s’라는 단위가 처음 보는단위이며, 예비교사 S4와 마찬가지로 학창 시절속도와 가속도의 단위가 어떻게 나오는지에 대한 설명 없이, 단지 속도의 단위는 ‘m/s’, ‘km/h’, ‘km/s’이며 가속도의 단위로는 ‘m/s2’, ‘km/h2’를 사용한다는 점만 배웠다고 하였다. 이문제 상황에서는 속도의 단위시간(hour)과 시간변화량의 단위시간(초)이 다르지만, 예비교사 S1은 자신이 배웠던 가속도 단위(‘m/s2’, ‘km/h2’)와 같이 속도와 시간 변화량의 단위시간이 ‘시간’ 아니면 ‘초’로 같아야 한다고 생각하여 ‘(km/h)/s’라는 단위를 생각하지 못했다고 하였다.

S1:이 문제에서 (‘km/h/s’를 가리키며) 가장 큰 건, 시간이랑 초의 결합이라고 해야 하나?뭔가 단위를 바꿔주고 나서 이렇게 해야 하는데, 지금 문제에서 초라고 제시를 하고, 속도는 시간이라고 제시를 해서, 여기에서 좀 혼란이 많이 발생되고, 가장 큰 건 합쳐 쓸 수 있는 것에 대한 의구심이 너무 많이 들어서 안 쓰는 건 줄 알았어요. 요 정의(가속도의 정의 ΔvΔt)를 알고 있어서, 단위가 ‘km/h/s’로 이렇게 나올 수 있겠다고 생각도 하지만 단위는 항상 이런 거(m/s2, km/h2)를 썼기 때문에 “이게 맞나?” 싶은 생각이 들고, 아닌 것 같다는 결론을 내버린 것 같아요.. 혼자서..

예비교사 S1과 예비교사 S4 모두 시간 변화량에 대한 속도 변화량의 비율이라는 가속도의 정의를 잘 알고 있었다. 그러나 예비교사 S1과 예비교사 S4는 가속도 단위 추론에서, 예비교사S2와 같이 문제 상황에서 제시된 속도와 시간단위를 확인하고 가속도의 정의에 따라 그 단위를 분석적으로 사고하기보다는, 학교에서 가속도단위로 배웠던 km/h2, m/s2, km/s2 중 어느 것인가를 고민하였다. 특히 이 두 교사 모두 이 문제 상황에서 가속도의 정의에 따라 유도되는 ‘(km/h)/s’가 ‘자신이 배웠던 가속도 단위와 형태가 다르다(즉, 분모가 시간 단위(초 혹은 시간)의 제곱이 아니다)’는 이유로 가속도 단위로 인정하는 데 어려움을 겪었다.

본 연구에서는 사범대학 수학교육과 4학년에재학 중인 예비교사들을 대상으로, 변화율을 이용한 추론 및 해석 과제를 해결하는 과정에서 드러났던 예비교사들의 인식을 조사하였다. 예비교사 대부분이 문제에 제시된 일정한 혹은 일정하지 않은 변화율 정보로부터 한 양의 변화에 따른 다른 양의 변화량을 옳게 추론하였다. 그러나 문제에 주어진 일정한 변화율(기울기) 정보를 분석하여 주어진 한 양의 변화에 대한 다른 양의 변화량을 바로 추론할 수 있음에도 불구하고, 적지 않은 예비교사들이 대응 관점에서 두 양의 일차 함수식을 세운 후 각 함숫값의 차를 계산하여 요구된 변화량을 추론하였다. 특히 이러한변화량 추론 과제를 모두 함수식을 세워 계산했던 예비교사들과의 인터뷰는, 이와 같은 추론 행동이 함수 문제라고 생각하자마자 반사적으로 함수식부터 계산했던 ‘함수식 반사’, 의사 분석적 사고 양식의 산물임을 시사하고 있다. 한편, 공변 관점에서 접근했던 예비교사들은 독립변수의 변화량에 대한 종속변수 변화량의 비율이라는 변화율로서의 기울기의 의미를 떠올려 변화량을 추론하였다. 그러나 함수식을 세웠던 예비교사 중에서는 변화량 추론 과정에서 기울기 값을 변화율로 인지하지 못한 채, 기울기를 일차항의 계수로만 보거나 정비례의 비례상수와 혼동하는 등 기울기에 대한 불충분한 의미를 드러냈던 예비교사들이 있었다.

순간변화율 해석 문항에서 일부 예비교사들은 순간변화율을 ‘종속변수의 순간 변화량’으로 해석하거나 ‘(일차함수의)일정한 변화율’로 해석하는 등 순간변화율의 의미를 적절하게 해석하지 못했다. 응용 맥락에서는 계산한 값의 단위를 정확히 인지해야 해당 맥락에서 수치가 갖는 의미를 이해할 수 있다. 그러나 시간 변화량에 대한속도 변화량의 비율이라는 가속도의 수학적 정의를 잘 알고 있었던 예비교사들도 주어진 시간과 속도 단위를 이용하여 가속도의 단위를 유도할 수 있음을 잘 몰랐으며, 또한 ‘가속도 단위는 학교에서 배웠던 단위 ‘km/h2’, ‘m/s2’과 같이분모에 시간 단위의 제곱이 들어가야 한다’는관념 때문에 문제 상황의 속도 단위(km/h)를 시간 단위(s)로 나눈 단위((km/h)/s)를 가속도의단위로 받아들이지 못했다.

한 변수의 변화를 상상하면서 그에 따른 다른 변수의 변화를 추론하고 해석하는 능력은 미적분학의 기본 개념들을 이해하고, 연속적으로 변화하는 현상을 모델링하는 데 중요한 역할을 한다(Carlson & Moore, 2015). 여러 연구자들이(Confrey, & Smith, 1994; Confrey & Smith, 1995; Ellis, 2011; Panorkou et al., 2014; Thompson, 1994) 함수 개념을 공변 관점으로 도입하고, 더 이른 학년부터 변화율을 탐구할 기회를 늘려야 한다고 주장하였다. 일차함수에 대하여 미국의규준 기반(standard-based) 개혁 지향적 교과서 중하나인 University of Chicago School Mathematics Project (UCSMP) Algebra와 2009 개정 교육과정을 따른 한국 중학교 교과서를 비교 분석한 Hong & Choi(2018)의 연구에 따르면, 한국 교과서는 일차함수 단원을 함수의 정의와 그 기호의 도입으로 시작하지만, UCSMP Algebra는 다양한 실세계 맥락에서의 변화율 개념에서 시작하며 (Hong & Choi, 2018, pp. 10-11, 21), 한국 교과서에서 맨 처음에 다루는 함수의 정의와 그 기호는 함수 단원의 가장 마지막에 등장한다. 한편한국 교육과정에서 변화율이라는 용어는 고등학교 수학 Ⅱ의 미분 단원에서야 도입되며, 중학교교과서에서는 기울기를 다루기 전, 일차함수를 y=ax+b와 같이 yx의 일차식으로 나타나는 함수로 정의한다. 일차함수의 그래프가 직선이라는 점과 일차함수 그래프를 그리는 방법을 다룬 후에, 일차함수의 직선 그래프의 기울어진 정도를 y x 으로 계산하며, 이 값이 일차 함수식의 x의 계수와 같음을 설명하고 있다(Kim et al., 2019).

UCSMP Algebra와 한국 교과서의 예제에서 사용된 수학적 표현에 대한 Hong & Choi(2018)의분석에 따르면, 한국 교과서의 예제는 75% 이상이 기호적 표현만을 사용했으나, UCSMP Algebra의 예제는 60% 이상이 그래프 수치적 표 언어적 표현 등 다양한 표현을 사용하였다. 또 이들연구자들은 UCSMP Algebra의 문제들이 다양한실세계 맥락에서 기울기의 의미에 대한 학습기회를 제공하고 있는 반면, 기울기를 순수한 수학적 맥락에서만 다루는 한국 교과서의 문제들이기울기를 정적이고 기호적인 의미로 제한적으로이해하게 할 수 있다고 지적하였다(Hong & Choi, 2018, pp. 11, 15, 18). 한편, 한국 2009 교육과정의 일차함수 성취 기준에서는 일차함수의 이해 및 다양한 문제 해결 능력을 강조하고 있으나, 두 양 사이의 (선형) 관계를 모델링하는함수를 구성하고, 일차함수의 변화율과 y절편의의미를 상황 속에서 해석하는 능력을 구체적으로 진술한 일차함수에 대한 CCSSM 규준6)과 달리 한국 교육과정의 일차함수 성취기준에서는 변화율이나 두 양 사이의 관계에 대한 분석과 해석 능력이 명시적으로 강조되고 있지 않다는 점에 주목하였다(Hong & Choi, 2018, pp. 19-20).

이상과 같이 Hong & Choi(2018)의 일차함수단원의 내용 지도 계열, 교과서 과제, 다양한 표현의 사용, 교육과정 상의 강조점에 대한 우리나라 2009 개정 교육과정 교과서와 UCSMP Algebra의 비교 분석은 우리나라 중학교 함수 교육과정의 구조주의적 측면을 보여주고 있다. 대학에서 미적분학 등 많은 고등 수학 과목들을 이수했다는 점을 고려했을 때 예비 교사들의 충분하지 않은 변화량 추론 및 변화율 해석 능력은, 일차함수와 같은 기본 함수 족에 대하여 대응 관점에서의 함수식은 강조하나 공변 관점에서 변화율에 대한 학습 기회는 부족한 구조주의 접근의 한계와 관련이 있다. 우리나라 교육과정에서 변화율에 대한 학습 기회 부족 및 기호적 표현에 편중된 함수 단원 과제는 예비교사들이 표출했던 “함수 문제는 식을 세워 풀어야 한다” 는 신념을 형성하게 된 교수학적 원인이라고 볼 수 있다. 한편 예비교사들이 가속도 정의에 대한수학적 이해를 단위로 전이하지 못했던 점 역시 우리나라 교육과정에서 가속도와 같은 변화율 혹은 두 양 사이의 관계를 수학적으로만 취급하는 경향이 있으며 수치가 다양한 맥락에서 어떠한 의미를 가지는지 해석하는 학습 기회가 부족하다는 점과 무관하지 않다.

예비교사들의 변화율을 이용한 추론과 해석에서 드러난 인식에 대한 본 연구의 분석은, 우리나라 함수 교육과정에서 연구참여자들이 함수 및 변화율에 대해 무엇을 배웠고 무엇을 배우지 못했는지를 보여주고 있다. 한편 Vinner (1997)는의사 개념적 혹은 의사 분석적 사고방식을 극복하고 개념적, 분석적 사고방식을 함양하기 위해서는 자신의 사고에 대한 의식과 반성이 필요하다고 지적하였다. 예비교사들이 교사가 되어 자신이 가지고 있는 의사 분석적 사고방식을 학생들에게 재전달하지 않도록 하기 위해서는, 교사교육과정에서 함수와 변화율에 대한 심화 지식의 습득뿐 아니라 학교 수학을 배우면서 부지불식간에 형성했던 의사 분석적 사고방식을 의식하고, 어떤 교수 학습 방식 때문에 이러한 사고방식을 가지게 되었으며 그 한계는 무엇인지 자신의 사고방식과 신념에 대한 의식과 반성을 촉진하는 학습 기회를 제공하는 것이 필요하다.

1) a:b 또는 a/b로 표현되는 두 양의 비(ratio)는 두 양의 곱셈적 관계를 나타낸다. 특히 두 양이 서로 다른단위로 측정되는 이질량일 때(예를 들어, 30 miles/gallon 또는 50 miles/hour)의 비를 비율(rate)이라고 한다.

2) Vinner(1989, p.99, p.116)는 학생들이 교사와 어떤 수학적 개념에 대해 논의하는 맥락에서 (의사) 개념적 행동을, 학생들이 전형적인 수학 과제를 해결하는 맥락과 관련하여 (의사) 분석적 행동을 논의하였다.

Vinner는 (의사) 개념적, (의사) 분석적 행동을 이와 같이 맥락의 차이로 구분하였다. 또한 Vinner는 어떤수학 교수 학습 맥락은 개념적-분석적 행동 양쪽 모두와 관련될 수 있으며, 이러한 경우는 (의사) 개념적-분석적 행동의 구분이 명확하지 않을 수 있다고 하였다. 그러나 Vinner는 개념적 사고를 수반하더라도 해당 맥락이 본질적으로 문제 해결 맥락이라면, 즉 주 활동이 문제를 분석하고 적절한 해결 전략을 탐색하는 것일 경우 (의사) 분석적 행동이라는 용어를 사용하였다. 이 연구는 변화율을 이용한 추론-해석 과제해결 맥락에서 예비교사들의 인식을 조사하였으므로, Vinner의 용례에 따라 (의사) 분석적 사고 양식(행동)으로 논의한다.

3) 연구 참여에 동의한 수강생 13명의 과제만 분석하였다.

4) 1번 문항에는 1명, 2번 문항에는 2명 외에는 문제에서 요구한 변화량을 옳게 추론하였다. 2번에 오답을 했던 예비교사들은 모두 식을 세워 계산하는 과정에서 계산 실수로 오답을 했다. 3(1)과 5(1)번 문항은 모든 예비교사가 옳게 추론하였다.

5) 문항 6(1)은 네 명, 6(2)는 한 명 외에는 모두 옳게 추론하였다.

6) 자세한 내용은 CCSS-M의 8학년 함수의 내용 규준 8.F.B.4를 참조할 수 있다

(http://www.corestandards.org/Math/Content/8/F/).

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Article

전자저널 논문

2020; 30(4): 649-673

Published online November 30, 2020 https://doi.org/10.29275/jerm.2020.11.30.4.649

Copyright © Korea Society of Education Studies in Mathematics.

Pre-service Teachers’ Conceptions Revealed from Interpreting and Using Rate of Change

Jihyun Lee1, Gyuhee Yi2

* Professor, Incheon National University, South Korea, jihyunlee@inu.ac.kr
** Teacher, Namsung Middle School, South Korea, narara292@gmail.com

Correspondence to:corresponding author

Received: October 1, 2020; Revised: November 8, 2020; Accepted: November 17, 2020

Abstract

The function concept arose from analyzing the relationships between co-varying quantities to model change. From the covariation perspective of function, we analyzed the responses of 13 pre-service teachers to the tasks to interpret rates of change or reason the corresponding change of one quantity from the changes of the other using the given rate of change; by using the rate of change, a change of one quantity can be directly deduced from the given change of the other quantity. Most of the pre-service teachers reasoned the change correctly. However, a portion of pre-service teachers reflexively calculated the formula of the function and the difference between the two values of the function. In addition, some teachers revealed their insufficient understanding of the slope of the linear function. The conceptions of pre-service teachers help elucidate what and how students might learn and might not learn about functions from the school mathematics curriculum.

Keywords: function, rate of change, change in quantity, covariation

I. 서론

지구의 연평균 기온은 매년 상승한다. 눈에 보이지 않는 작은 바이러스부터 거대한 고래에 이르기까지, 생물의 개체 수도 짧게는 매초, 길게는 매년 변화한다. 우리의 삶에 지대한 영향을미치는 환경의 ‘변화’를 이해하고 예측하며, ‘변화’를 통제하는 것은 중요한 문제이다. 함수는자연과 사회 현상의 변화를 모델링하기 위하여, 동시에 변화하는 양의 분석과정에서 태동한 개념이다. 그러나 현대 수학에서는 변화의 의미 없이 정의역에 속한 임의의 한 양(원소)이 주어질때, 다른 양(원소)이 유일하게 결정되는 ‘정적인대응’으로 함수를 정의하며, 전통적인 교육과정도 ‘정적인 대응’과 ‘동적인 공변’의 두 함수 측면 중 대응으로서의 의미를 보다 강조해왔다(Smith & Confrey, 1994, pp. 334-335).

독립변수 변화량에 대한 종속변수 변화량의 비율로 정의되는 변화율은 한 양의 변화에 따라 다른 양은 어떻게 변화하는가라는 공변 관계로서의 함수와 밀접한 관련이 있다. 변화율은 주어진 현상을 모델링하는 함수를 찾아내는 데 핵심적인 정보이다. 함수의 변화율로부터 한 양의 변화량을 알면 다른 양의 변화량을 추론해낼 수 있으며, 더 나아가 변화율 함수(도함수)의 적분을 통하여 원함수를 복구할 수도 있다.

여러 연구자들이 함수에 대하여 학생들의 이해(Ayalon, Watson, & Lerman, 2015, 2017; Chimhande, Naidoo, & Stols, 2017; Sajka, 2003; Vinner & Dreyfus, 1989; Byun & Ju, 2012)와 교사들의 교과 지식 및 교수학적 내용 지식을 조사해왔다(Even, 1990; Nyikahadzoyi, 2015). 교사들의 함수에 대한 지식 혹은 인식을 조사한 많은 연구들이(e.g., Even, 1993; Hatisaru & Erbas, 2015; Thompson & Milner, 2019; Kang & Jun, 2006) 함수의 임의성과 일가성 등 대응으로서의함수 관점을 중심으로 교사들의 함수 인식을 다뤘으나, 상대적으로 변화율과 같은 함수의 공변관점을 중심으로 (예비)교사들의 인식을 탐색한연구는 아직 충분하지 않다. 특히 이 연구에서는 두 변수의 변화량이 주어지면 yx공식을 적용하여 변화율을 계산하는 통상적인 과제의 역방향으로, 제시된 변화율 값을 해석하거나 변화율을 사용하여 한 변수의 변화량에 대한 다른 변수의 변화량을 추론하는 과제에 대한 예비교사들의 반응을 분석 및 논의하고자 한다. 본 연구의 연구문제는 다음과 같다.

  • 예비교사들은 함수의 변화율을 이용하여 주어진 한 변수의 변화량에 따른 다른 변수의변화량을 어떻게 추론하는가?

  • 예비교사들의 변화율·변화량에 대한 해석·추론 과정에서 드러난 함수 및 변화율에 대한 인식은 무엇인가?

II. 이론적 배경

1. 함수의 두 측면: 공변과 대응 관계

중학교 교과서에서는 “두 변수 x,y에 대하여x의 값이 변함에 따라 y의 값이 하나씩 정해지는 두 양의 대응 관계(Kim, et al., 2019, p.103)” 를 함수로 정의하고 있다. 함수 정의 진술과 같이, 대응 인식은 주어진 한 양의 값에 대응하는다른 양의 값을 출력하는 ‘규칙(예를 들면, Figure 1의 수압(atm)과 수심(feet) 사이의 관계식y=33x-33)’ 혹은 ‘대응’에 주목하는 것이다. 반면 두 양의 패턴에 대한 공변 인식은 한 양의 변화에 따른 다른 양의 변화를 관찰하며 두 변화량을 조정한다. Figure 1에서, yi에서 yi+1로의변화(물의 깊이 y가 33 feet씩 증가)에 따른 xi에서 xi+1로의 변화(수압 x가 1 atm씩 늘어난다)를 관찰할 수 있으며, 두 변화량을 조정하면 물의 깊이가 33 feet씩 증가함에 따라 수압이 1 atm씩 증가한다는 것을 알 수 있다.

Figure 1. A correspondence approach versus a covariation approach to a functional relationship

위와 같은 대응과 공변 인식은 함수 관계에 있는 두 양의 패턴에서 서로 다른 측면에 주목하고 있다. 함수에 대한 통상적인 교육과정에서는 ‘대응’으로서의 함수의 대수적 식 표현과 주어진 값에 대한 함숫값의 계산에 치중하기 때문에, 학생들은 함수 관계를 두 양의 동적인 변화보다는 한 양에 의해 다른 양이 결정되는 정적 관계로만 생각하기 쉽다. Confrey & Smith (1995)는 보다 유연한 함수적 사고 교육을 위하여 교육과정에서 공변(covariation)의 의미를 강조해야한다고 주장하였다. “한 양의 변화에 따른 다른양의 변화에 주목하며, 변화하는 양들을 조정하는 데 수반되는 인지적 활동(Carlson, Jacobs, Coe, Larsen, & Hsu, 2002, p. 354)”인 공변 추론은 변화하는 두 양 사이의 관계에 대한 분석․조작․이해를 수반한다. 함수의 정의에 포함되어 있지는 않지만, 함수를 변화하는 양 사이의 관계로 보고 각 양의 변화와 그 조정에 주목하는 공변 관점은 함수의 역사적 발달 과정에서 오랜 기간 중심 아이디어였을 뿐만 아니라, 함수의 극한․미분․적분 등 미적분학 개념과 밀접한 관련이 있으며, 관찰 데이터로부터 자연 현상을 모델링하는 함수를 찾는 데 유용한 관점이다. 공변이 양이 아닌 양의 변화에 초점을 맞추고 있으므로 대응보다 더 어렵다고 생각할 수도 있지만,함수를 처음 접하는 학생들도 종속· 인과· 변화에 대한 직관적인 아이디어를 가지고 있을 뿐만아니라, 동시에 변하는 두 양에 대한 관계는 대응에 대한 이해 없이도 다양한 방식으로 추론할수 있다는 점에서, 여러 학자들이(Confrey & Smith, 1994; Ellis, 2011; Panorkou, Maloney, & Confrey, 2014) 함수에 대한 공변 관점을 미적분학을 배울 때까지 미룰 것이 아닌 함수 학습이 시작되는 초․중학교 시기부터 지도해야 한다고 주장하였다.

2. 변화율을 이용한 추론․해석 과제

두 (변화) 양은 덧셈적으로(additive comparison) 그리고 곱셈적으로(multiplicative comparison) 비교할 수 있다. 예를 들어, 1500원은 1000원보다500원이 더 많다는 것은 이 두 양의 덧셈적 비교이며, 1500원은 1000원의 32배라는 것은 두 양에 대한 곱셈적 비교이다. 비율 ab1)는 두 양을 곱셈적으로 비교하여 분자의 양 a가 분모의 양 b의 몇 배인지, 두 양의 상대적 크기를 수치로 나타낸 값이다. Arons (1997, pp. 5-6)340g120cm3와 같은 구체적인 비율의 의미를 물어보면, 학생들은 ‘밀도’와 같은 비율의 이름을 말하거나, ‘부피 당 질량’, ‘부피 120cm3의 (물질의)질량’이라고 답하지만, 이 값이 단위 비율, 즉 분모의 양 1단위에 대한 분자의 양, 즉 ‘단위 부피 1cm3의 질량’임을 모르는 경우가 많다고 지적하였다. 많은 학생들이 어떤 상품 3kg가 5$라 할때 1kg의 물건값을 구하기 위해 (단위) 비율은 능숙하게 계산하지만, 거꾸로 주어진(단위) 비율 53($/kg)의 의미 해석에는 어려움을 겪는다(Arons, 1997, p. 6). Arons(1997, p.7)는 (단위) 비율 값을 해석하기 위해서는 두 양을 곱셈적으로 비교해야 하며, 두 양을 나누어 (단위) 비율을계산하는 과정의 ‘역방향 사고(reverse thinking)’ 를 수반한다고 보았다.

한편 물리량을 측정할 때는 어떤 기준량을 선택하고, 측정하고자 하는 양을 그 기준량과 곱셈적으로 비교하여 몇 배인지를 수치로 나타낸다. 이때 측정의 기준으로 선택된 기준량을 단위라 하며, 양의 크기는 수치와 기준 단위로 표시한다. 단위는 기본 단위와 유도단위로 나누어 살펴볼 수 있는데, 기본 단위는 길이·질량·시간·전류·열역학적 온도·물질량·광도의 7가지이며, 둘 이상의 기본 단위 사이의 곱셈 혹은 나눗셈으로 파생되는 새로운 단위를 유도단위라고 한다. 여러 연구들이 물리량 단위에 대한 학생들의 이해가 낮음을 보고하고 있다. 물리량은 수치와 단위의 두 요소로 이루어져 있지만, 학생들은 물리량을 계산할 때 수치에만 신경을 쓰며 단위는 그냥 따라붙는 것이라고 생각한다(이선양, 2004, pp. 74-75). 특히 학생들은 기본 단위의 조합으로 파생되는 유도단위에 대한 이해가 낮다(권순애, 2009). 예를 들어, 중학생들의 과학 단위 인식을 조사한 이선양(2004, p. 39)의 연구에따르면, 속력 정의를 “단위시간 당 이동한 거리” 로 제시하고 속력의 단위를 고르는 문항에 25% 이상의 중학생들이 “초·m”, “kg/s”, “m2/년” 도 속력의 단위로 선택하였다. Shin & Park (2014)은 특히 속력 단위와 관련하여, 초등학교교과서에서 속력 단위를 “m/s, km/h, cm/s”에한정하여 제시할 뿐만 아니라, 또한 이들 속력단위들을 속력 개념(단위시간 당 이동거리)과 충분한 연결 없이 수치에 붙는 단순한 기호로 제시하고 있다는 점을 지적하였다. 손정화(2013)는 학생들의 부족한 단위 이해의 원인으로 단위교육이 수학과 과학 양쪽에서 제대로 이루어지지 않고 있다는 점을 지목하였다.

함수의 (평균)변화율은 독립변수 변화량 Δx에대한 종속변수 변화량 Δy의 비율로 정의되는데, 특히 일차함수는 임의의 구간 위에서의 (평균) 변화율이 일정한 함수이다. 따라서 일차함수의 일정한 변화율을 m이라 하면, ΔyΔx=mΔx=xx1,Δy=yy1에서 일차 함수식을 도출할 수 있으며, 주어진 독립변수 변화량에 m을 곱하면 대응하는 종속변수 변화량을 얻는다. 그러나 일차함수가 아닌 일반적인 함수 f(x)의 변화율은 상수가 아닌데, 이 함수가 다음과 같이 정의역의 한 점 x0에서 미분 가능하다고 하자.

f'(x0)=limΔx0ΔyΔx=limxx0f(x)f(x0)xx0

극한 정의에 의하여, 주어진 점 x0에서 충분히 작은 증분 Δx를 선택하면 변화율 과 (x0)을 임의로 가깝게 만들 수 있다. 주어진 함수 f(x)는 x0근방에서 일차함수 y-y0=f (x0)(x-x0)로 근사할 수 있다. 따라서 (x0)값을 x0로부터의 작은 독립변수 변화량 Δx에 곱하면, 이에 대응하는 Δy의 근삿값을얻을 수 있다(Callahan, 2010, p. 4). 따라서 함수f(x)의 x0에서의 순간변화율 값 f′(x0)은 x0에서 독립변수 1단위 증가에 따른 종속변수의 ‘근사적인’ 변화량으로 해석할 수 있다. 한편, 변화율이 일정하지 않은 일반적인 함수의 경우, 독립변수 변화량에 대한 종속변수의 ‘진짜’ 변화량은변화율을 적분해 구할 수 있다. 함수 y=f(x)의 x에 대한 y의 변화율을 f (x)라 할 때, 이 변화율의 정적분 ab f'(x)dx은 미적분학 기본정리에 의하여 f(b)-f(a), 즉 독립변수가 a에서 b까지 변할 때 종속변수의 변화량이 된다.

여러 연구들이 학생 및 일부 교사들조차도 나눗셈과 분수를 두 양을 곱셈적으로 비교하여 상대적 크기를 구하는 연산과 그 결과임을 잘 인식하지 못한다는 점을 보고하고 있다(Byerley, Hatfield, & Thompson, 2012; Byerley & Thompson, 2014; Simon, 1993). 마찬가지로 여러연구자들이(Byerley & Thompson, 2017; Stump, 1999; 2001) 학생과 일부 교사들도 yx으로 계산하는 일차함수의 기울기가 독립변수와 종속변수 변화량을 곱셈적으로 비교한 값임을 충분히 이해하고 있지 못함을 보고하였다. Stump (1999, p.129)는 예비․현직 교사들을 대상으로기울기의 의미를 조사하여, 기하학적 비 ( ("riserun")·대수적 비(y2y1x2x1)·물리적 성질(경사, 기울어진 정도, 각)·함수적 성질(독립변수에 대한 종속변수 변화량의 비율)·(일차 함수식에서 x)계수, 삼각비 인식(경사각의 탄젠트), 미적분학적 인식(미분계수)의 일곱 범주를도출하였다. 그 결과 대부분의 교사가 기울기를기하학적 비라고 생각하고 있었으며, 독립변수변화량에 대한 종속변수 변화량의 비율이라는 함수적 성질로 보는 인식은 부족했다(Ibid, p. 140).

3. Vinner의 의사 개념적-분석적 행동

많은 수학교육 연구들이 학생들의 개념에 대한 사고 및 문제 해결 과정을 주로 인지적 측면에서 해석해왔다. 그러나 학생들의 사고 과정에서는 인지적 요인뿐 아니라 정의적 혹은 사회적 요인도 중요한 역할을 한다. 특히 Vinner(1997)는 모든 수학 학습 사건을 인지적 요인으로 설명할 수 있는 것은 아니며, 따라서 수학 학습 상황에 인지적 접근․분석만이 충분하다고 간주하는 것은 오류라고 비판하였다. Vinner는 학생들의 개념에 대한사고와 문제 해결 과정에 영향을 미치는 사회적 요인 중, 교사는 가르칠 의무가 있으며 학생들은배울 의무가 있는 교실의 교수학적 계약 상황에 주목하였다. 교수학적 계약 상황에서 학생들은 자신에게 부여된 학습 과제를 성공적으로 완수함으로써 교사를 만족시키고 학교나 학급에서 인정받기를 원한다. Vinner는 교사와 학생들이 수학 개념에 대해 논의하거나 문제들을 해결하는 전형적인 교수 학습 상황에서, 학생들이 교수학적 계약으로 인한 심리적 압박으로 바람직한 개념 이해 혹은 문제 해결 방식은 아니나 정답 혹은 교사의 인정을 받을 수 있는 답을 산출하기 위해 하는 행동을 각각 ‘의사 개념적 행동(pseudo-conceptual behaviour)’과 ‘의사 분석적 행동(pseudo-analytical behaviour)’이라고 불렀다2). 먼저 의사 개념적 행동이란, 개념적 사고로 간주할 수 없는 사고 과정(즉, 의사 개념적 사고 과정(pseudo-conceptual process)의 결과이지만 표면적으로는 ‘개념적으로’ 보일 수 있는 행동이다(Vinner, 1997, pp. 100-101). 한편 Vinner는 전형적인 문제를 접했을 때 학생들의 마음속에서 일어나는 분석적 사고 과정과 의사 분석적 사고 과정을 Table 1과 같이비교하여 설명하였다. 학생들은 수학 개념을 학습하며 그 개념에 대한 여러 정보를 기억하고 내면화하기 위해 많은 연습 문제를 푼다. 그러나 보통 학생들은 자신의 문제 해결 과정이 분석적인가 의사 분석적인가 보다는 자신의 답이 교사에게 받아들여지는지 아닌지, 맞는지 틀린 지에만 신경을 쓰는 경우가 많다. Vinner (1997, p. 113)는 학생들이 의도적으로 분석적 사고 과정을 회피하고 의사 분석적 사고 양식을 택하는 것은 아니지만, 의사 분석적 사고 과정이 보통분석적 사고 과정보다 더 짧고 간단하므로, 학생들은 ‘최소 노력의 원칙’에 의해 의사 분석적 사고 과정을 선택하거나 선호하게 된다고 보았다. 분석적 사고 양식은 반성적 능력을 요구하는데, 어린 학생들은 반성적 사고 능력이 부족한 경우가 많다. 또한 반성적 사고 능력이 있는 사람도모든 상황에 반성적 사고 능력을 발휘하는 것은아니므로, 전문 수학자라 하더라도 특정 상황에서는 의사 개념적․분석적 사고 양식을 보일 수있다. Vinner(1997, p. 114)는 의사 분석적 행동의가장 중요한 특징을, 문제를 접했을 때 떠오른즉각적인 연상들에 대한 의식적인 검토 없이 이러한 즉각적인 연상에 기반하여 그대로 반응하는 통제 절차(혹은 메커니즘)의 결여라고 설명하였다.

Table 1 . Vinner’s analytical mode of thinking and pseudo-analytical mode of thinking(1997, pp. 111-115).

분석적 사고과정의사 분석적 사고과정
(1) 문제 X가 제시되면, 제시된 문제의 유형 및 구조를 분석하는 정신적 스킴 (B)가 작동한다.
(2) 문제 유형과 구조(Y)를 파악하면, 해결 절차(알고리즘) 집합 A에서 파악된 문제 유형/구조에 적합한해결절차를 배치하는 정신적 스킴 C가 활성화된다.
(3) 문제 X에 해결절차 Z를 적용하여 문제를 해결한다(Ibid, p. 111).
(1) 문제 X가 제시되면, 전형적인 문제-해결절차 집합A´에서 주어진 문제 X와 유사 문제 Z´를 찾아내는정신적 스킴 B´가 활성화된다(유사 문제 Z´는 희미한기억과 같이 문제 해결자의 머릿속에서 언어적으로형식화되지 않을 수도 있다).
(2) 유사문제 Z´에 대한 해결절차를 문제 X에 적용한다(Ibid, p. 114-115).
한 변의 길이가 7cm이고 둘레가 24cm인 직사각형의 면적을 구하는 문제에서의 사례
(1) 이 문제는 면적 문제이며, 넓이를 구해야 하는 영역은 직사각형이다. 직사각형의 넓이는 가로의 길이와 세로의 길이의 곱으로 구할 수 있다. 그러나 한변의 길이와 둘레의 길이가 문제에 주어져 있다. 둘레의 길이는 가로-세로 길이의 합의 두 배이다. 둘레를 이용하면 직사각형의 다른 한 변의 길이를 찾아낼수 있을 것이다.
(2) 직사각형의 다른 한 변의 길이를 구하기 위하여,주어진 둘레의 길이를 2로 나눈 후 주어진 길이를빼야 한다. 이와 같이 다른 한 변의 길이를 구해 주어진 길이와 곱하면 요구되는 직사각형의 넓이를 찾아낼 수 있다.
(3) 24÷2=12; 12-7=5; 7×5=35; 따라서 넓이는 35cm2(Ibid, p. 112)
(1) 이 문제는 직사각형의 넓이를 구하는 문제처럼보인다. 이러한 문제는 문제에 제시된 두 숫자를 곱해 답을 계산할 수 있다.
(2) 문제에 주어진 두 숫자는 24와 7이므로, 답은24×7=168이다(Ibid, p.115).


오개념과 의사 개념적 사고 양식은 긴밀한 연관이 있으므로, 실제 상황에서는 학생의 특정 행동이 오 개념의 결과인지 의사 개념적 사고의 결과인지를 명확하게 진단하는 것이 불가능한 경우가 많다. 그러나 Vinner(1997, p.115)는 오개념과 의사 개념적․분석적 사고 양식의 이론적인 구분에 대하여, 오개념은 특정 수학적 개념․상황에 대한 인지적 신념(즉, 어떤 수학적 진술이 참이다)에 기초하지만, 의사 개념적 혹은 의사 분석적 사고 양식은 특정한 행동이 사회(예를 들어 수학 교사, 학교 시험 등)에서 인정받을 수 있다는 신념(즉, 평가자에게 어떤 진술이 인정(혹은 점수)을 받을 수 있다)에 기초하는 것이라고 설명하였다.

의사 개념적․분석적 사고 양식은 즉각적이며, 자연스러울 뿐만 아니라 대부분의 상황에서(정답 혹은 최소한 부분적으로 옳은 답을 내는 데) 효율적인 사고 양식이다(Vinner, 1997, p. 126). 의사 개념적․분석적 사고 양식은 종종 생존을 위한 행동 양식으로 나타나며, 의사 개념적 사고양식은 개념적 사고 요소의 출현 전 시동 장치의 역할을 하기도 한다. 따라서 Vinner(1997, p. 126)는 의사 개념적․분석적 사고 양식을 학생의 마음속에서 완전히 제거한다는 것은 불가능할 뿐만 아니라 바람직하지도 않으며, 의사 개념적․분석적 사고 양식의 제거가 아닌 진정한 개념적․분석적 사고의 촉진을 목표로 삼아야 한다고 주장하였다. Vinner(1997, p. 115)는 많은 연구들이 학생들의 수학에 대한 여러 오개념의 근원과 처방에 대해 탐색해왔듯이, 의사 개념적․의사 분석적 사고 과정 및 행동이 어떻게 형성되며 이의 극복 방안에 대한 연구가 필요함을 지적하였다.

III. 연구 방법

이 연구의 참여자들은 한 연구자가 2020-1학기 진행한 수학 논리 및 논술 강의를 수강 중이었던 수학교육과 4학년 학생들이었다.3) 수강생들은 강의 과제로 제시된 설문 문항을 각자 자유롭게 해결한 후 자신의 답안을 온라인으로 제출하였다. 이 연구에서는 변화율을 일정한 변화율, 변하는 변화율 및 순간변화율로 나누어 각 변화율을 사용하여 변화량을 추론 혹은 변화율을 해석하는 과제를 설계했으며, Table 2는 부록에 제시된 각 문항의 요약이다.

Table 2 . Summary of tasks in this study.

문항문항 내용문제 상황에서 주어진 변화율 정보구해야 하는 변화량/변화율 해석출처
1일정한 변화율 (정비례)반지름에 대한 원둘레의 비 2π주어진 원둘레의 변화량에 대 응하는 반지름의 변화량Arons ( 1997, p. 22)
2일정한 변화율표로 주어진 수압과 수심 데이터수심의 변화량에 대응하는 수압의 변화량자체 제작
3(1)일정한 변화율투약량 D는 환자 몸무게 (w kg)의 기울기 6.6인 일차 함수몸무게 변화량에 대응하는 복용량 변화량Hughes-Hallett et al.(2009, p. 96)에서 변형
3(2)순간변화율투약량 D (w )은 몸무게의 미분 가능한 함수이며, 해당 몸무게에서의 미분계수는 D′(63.5) = 6.6미분계수 값 D ′(63.5) = 6.6을 맥락에서의 순간변화율로 해석; 63.5 kg에서 몸무게의 작은 변화량에 대응하는 약 복용량의 변화량 근삿값 구하기Hughes-Hallett et al.(2009, p. 96)에서 단위 수정
5(1)일정한 변화율속력 v (km/h)는 시간 t(초)의 기울기가 15이고 v(2) = 30인 일차함수주어진 시간 변화량 동안의 속력 변화량 구하기자체 제작
5(2)순간변화율속력 v (km/h)는 시간 t(초)의 미분 가능한 함수이고, v(8) = 65, v′(8) = 108초에서의 시간의 작은 변화에 대응하는 속력 변화량 근삿값 구하기자체 제작
6(1)변하는 변화율시간-속도 그래프로 주어진 변화율(속도)속도 그래프의 면적으로 변화량(거리)비교하기Monk(1992)
6(2)변하는 변화율시간-속도 그래프로 주어진 변화율(속도)속도 그래프의 면적으로 변화량(거리)비교하기Monk(1992)


연구자들은 1) 각 문항에서 변화율 해석 방식혹은 변화량 추론 방식을 기록하고, 2) 각 참여자의 응답을 다른 참여자의 응답과 계속적으로 비교하면서 해석ㆍ추론 방식 범주를 생성하였다. 3) 전체 자료를 생성된 범주로 두 연구자가 독립적으로 코딩한 후, 코딩 결과가 불일치한 경우는함께 검토 후 합의를 거쳐 수정하였다. 문제 해결 이면의 사고 과정에 대한 심층적인 정보를수집하기 위하여 6명의 연구참여자를 대상으로Zoom 화상 인터뷰를 실시하였다. 두 연구자는각 참여자와의 녹화 인터뷰를 전사하여 지필 답안과 함께 분석하였다.

IV. 연구 결과

1. 지필 응답 분석

일정한 변화율을 이용한 변화량 추론 문항 1, 2, 3(1), 5(1)은 일정한 변화율(반지름과 원둘레의비(문항 1), 물의 깊이에 따른 수압의 변화율(문항 2), 일차함수의 기울기(문항 3, 5)를 사용하여, 한 양의 주어진 변화에 따른 다른 양의 변화량을 양적으로 추론하는 과제였다. 네 문항에서 예비교사들의 변화량 추론 전략은 문제에 제시된 두 양 사이의 관계에 대한 대응․공변 인식과 관련하여 ‘대응 접근’, ‘공변 접근’, ‘대응 후 공변 접근’의 세 범주로 분류하였다.

문항 2는 표로 제시된 수심-수압 데이터에서 수심이 40feet에서 73feet로 증가할 때 수압의 변화량을 추론하는 문제였다. 한편 문항 3(1)은약 복용량 D가 몸무게 w의 기울기가 6.6인 일차함수라 할 때, 현재 몸무게가 63.5kg이고 약120mg을 복용하는 사람이 몸무게가 0.5kg증가했을 때 복용량의 증분을 추론하는 문제였다. 이러한 변화량 추론 과제에 대한 대응 접근은 Table 3의 사례와 같이, 주어진 독립변숫값을 대입해 종속변수 값을 얻을 수 있는 함수식을 찾아 각 독립변수에 대한 종속변수 값을 각각 구한 후 그 차를 계산하여 요구되는 변화량을 덧셈적으로 추론했던 반응이었다.

Table 3 . Pre-service teachers’ ways of reasoning change in quantity.

일정한 변화율로부터 변화량 추론 방식 범주문항 2에서의 사례 문항3(1)에서의 사례
대응 접근
공변 접근일차함수 기울기가 6.6이므로 몸무게가 1 kg증가할 때 투약량은 6.6 mg 늘어난다. 따라서 몸무게가 0.5 kg증가하면 투약량은 3.3 mg늘어난다.
대응 접근 후 공변 접근


반면 공변 접근은 두 양의 관계에 대한 주어진 변화율 정보(문항 2의 경우 수압-수심 데이터 표에서 위로 올라가거나 내려가면서, 변화와 수심의 변화를 조정하기, 문항 3에서는 기울기6.6)를 이용하여 주어진 한 양의 변화에 대응하는 다른 양의 변화량을 곱셈적으로 추론했던 반응이다.

마지막으로 Table 3의 대응 접근 후 공변 접근의 사례와 같이 두 양의 함수식을 찾아 대응 방식으로 해결한 후에, 주어진 변화율 정보를 직접사용하여 요구된 변화량을 곱셈적으로 추론하는 공변 방식으로도 답을 쓴 응답을 대응 후 공변 접근 범주로 코딩하였다.

Table 4는 일정한 변화율 네 문항에서 각 전략을 사용했던 예비교사 수이다. 일정한 변화율에서는 주어진 한 양의 변화에 따른 다른 양의 변화량은 함수식을 세우지 않더라도 주어진 변화율로부터 쉽게 계산할 수 있다. 특히 주어진 두양의 (일차)함수식이 y=ax+b(b≠0)인 2와 3(1)문항의 경우, 일차 함수식을 도출하고 각 함숫값의 차를 계산하는 대응 접근보다 기울기에서 바로 변화량을 추론하는 공변 접근이 더 쉽게 변화량을 찾을 수 있다. 문항마다 다소 편차가 있지만, 각 문항에서 적지 않은 예비교사들이 우선함수식을 찾은 후, 두 함숫값의 차를 계산하는대응 접근으로 한 변수의 변화에 따른 다른 변수의 변화량을 추론하였다.4)

Table 4 . Number of pre-service teachers at each way of reasoning.

일정한 변화율 문항123(1)5(1)
대응 접근125611
공변 접근0852
대응 후 공변 접근0020


문항 3(2)와 5(2)는 순간변화율 값을 주어진 함수 맥락(몸무게의 함수로서의 투약량, 시간의 함수로서의 속도)에서 해석하는 문항이었다. 예비교사들이 순간변화율을 해석한 방식은 Table 5의일곱 범주로 나누어 살펴볼 수 있었으며 Table 6은 각 해석 방식을 사용했던 예비교사 수이다.

Table 5 . Pre-service teachers’ ways of interpretating instantaneous rates of change.

순간변화율 해석 방식 범주사례
A독립변수에 따른 종속변수의 순간변화율
B제시된 점 근방에서의 단위 변화율
C원 함수를 일차함수로 간주하여 일차함수의 일정한 기울기(변화율)로 해석
D미분계수의 부호로 독립변수와 종속변수 변화 방향 비교(함수의 증감)
E종속변수의 순간 변화량
F가속도와 순간속도의 혼동
G무응답

Table 6 . Number of pre-service teachers at each way of interpreting instantaneous rate of change.

순간변화율 해석 방식 범주3(2)5(2)
A독립변수에 따른 종속변수의 순간변화율48
B제시된 점 근방에서의 단위 변화율21
C원 함수를 일차함수로 간주하여 일차함수의 일정한 기울기(변화율)로 해석41
D미분계수의 부호로 독립변수와 종속변수 변화 방향 비교 (함수의 증감)11
E종속변수의 순간 변화량12
F가속도와 순간속도의 혼동01
G무응답11


두 문항에서 예비교사들은 각 상황에서의 순간변화율의 명칭(예: 몸무게에 따른 복용량의 순간변화율(문항 3(2)), 가속도(문항 5(2))등을 언급하거나(범주 A), 순간변화율의 부호로 한 양이증가할 때 다른 양의 증가ㆍ감소 여부를 판단했다(범주 D). 그러나 명칭을 언급하거나 함수 증감을 판단하는 이상의, 한 점에서의 순간변화율값을 그 점 근방의 단위 변화율(‘독립 변수 1단위 증가에 따른 종속변수의 근사적인 변화량’)로구체적으로 해석했던 예비교사는 한두 명에 그쳤다(범주 B). 한편, 일부 예비교사는 순간변화율을 독립변수 변화량에 대한 언급 없이 종속변수의 ‘순간 변화량’이라고만 설명했으며(범주 E), 각 점 마다 다를 수 있는 순간변화율과 일차함수의 일정한 변화율의 차이에 대한 부족한 이해를 드러냈던 반응(범주 C), (순간) 속도와 가속도를 혼동한 응답도 있었다(범주 F).

문항 6(1, 2)은 변화율이 일정하지 않을 때 주어진 독립변수 변화에 대한 종속변수의 변화량을 추론하는 문제로, 두 차의 시간-속도 그래프에서 주어진 두 시각에서의 두 차의 간격을 비교하는 문항이다. 예비교사들이 시간-속도 그래프에서 두 차의 상대적인 위치에 대한 추론 방식은 Table 7과 같이 나누어 살펴볼 수 있었으며Table 8은 각 추론 방식을 사용했던 예비교사 수이다.

Table 7 . Pre-service teachers’ ways of reasoning the relative position of two cars in the time-speed graph.

변하는 변화율을 이용한 변화량 추론 방식 범주사례
A두 차의 속력 비교
B시간-속력 그래프 아래의 면적 비교
C속력의 변화율 비교
D시간-속력 그래프 아래의 면적 근사하기
E이유 없는 정답
F무응답

Table 8 . Number of pre-service teachers at each way of reasoning the relative position of two cars in the time-speed graph.

변하는 변화율을 이용한 변화량 추론 방식 범주6(1)6(2)
A두 차의 속력 비교24
B시간-속력 그래프 아래의 면적 비교54
C속력의 변화율 비교30
D시간-속력 그래프 아래의 면적 근사하기11
E이유 없는 정답23
F무응답01


예비교사들은 주어진 구간에서 변화율(속도)의크기 혹은 변화율 그래프 (시간-속도 그래프)아래 면적으로 해당 시간 구간 동안의 변화량(이동 거리)을 비교하였다. 그러나 몇몇 교사들은 ‘변화율의 변화율’에 주목하여, 해당 구간에서속도가 더 컸던 차 A의 가속도는 점점 감소했으나 속도가 작았던 차 B의 가속도는 점점 증가했으므로 해당 구간 동안 두 차 사이의 간격(두 변화량의 차)이 더 줄어들었다고 잘못 추론하였다(범주 C). 한편 시간-속도 그래프 아래 면적의근삿값을 직접 구하여 이동 거리를 비교하고자했던 예비교사도 있었다(범주 D). 예비교사 대부분이 잘 해결하였으나5), 일부 예비교사는 변화량 추론에서 ‘변화율’과 ‘변화율의 변화율’ 사이의 혼동(범주 C), 변화율 그래프 아래의 면적이 변화량이라는 점에 대한 이해 부족(범주 D, F)을드러냈다.

2. 인터뷰에서 드러난 예비교사들의 변화율에 대한 인지적 · 비인지적 인식

Table 9는 인터뷰에 참여한 예비교사 6명의 설문 문항 별 지필 답안을 코딩한 결과이다. 이 절에서는 여섯 예비교사의 문제 해결 과정에서 드러난 함수 및 변화율과 관련된 인지적 인식과 비인지적 인식을 중심으로 인터뷰 결과를 분석한다.

Table 9 . Coding results of written responses of six pre-service teachers participating in the interview.

일정한 변화율순간변화율 해석변하는 변화율을 이용한 변화량 추론
123(1)5(1)3(2)5(2)6(1)6(2)
S1대응공변공변대응AAAE
S2대응공변공변대응BACB
S3대응대응대응대응무응답무응답C무응답
S4대응대응대응대응AA, EBB
S5대응대응대응 후 공변대응BCCB
S6대응대응대응대응CFDD


가. 함수 문제를 해결하기 위해서는 식부터 구해야 한다: 변화량에 대한 의사 분석적 추론

인터뷰에 참여한 여섯 명 중 네 명의 예비교사(S3, S4, S5, S6)는 네 문항 모두 함수식을 세워 변화량을 추론하였으나(대응), 두 예비교사(S1, S2)는 2번과 3(1)문항은 함수식 없이 변화율정보로부터 주어진 한 양의 변화량에 대한 다른 양의 변화량을 추론하였다(공변). Table 10은 문항 2와 3(1)를 각각 공변(S1)과 대응 방식(S5)으로 접근했던 풀이이다.

Table 10 . Covariation approaches(S1) and correspondence approaches(S5) to task 2 and 3(1).

공변 방식(예비교사 S1)대응 방식(예비교사 S5)
문항 2. 이와 같은 상황에서 수심이 40 feet에서 73 feet로 증가하면, 수압은 얼마나 변할까요? 여러분의 추론을 설명해보십시오.
문항 3(1). 투약량 D (w)는 기울기가 6.6인 일차함수이고, D (63.5) = 120이다. 환자의 몸무게가 63.5kg에서 0.5kg 증가했다면, 이 환자의 진통제 투약량은 얼마나 늘려야 할까요? 여러분의 추론을 써주십시오.


예비교사 S1은 다음 발췌문과 같이 두 문제에대한 자신의 사고 과정을 설명하였다. 1) 먼저S1은 제시된 문제가 한 양의 변화량을 찾는 문제임을 파악했으며, 2) 구할 변화량을 염두에 두고 문제에 제시된 정보들(변화량과 수심 변화량의 조정(2번), 일차함수 D(w), 기울기, 한 점에서의 함숫값(3(1)번))을 검토하였다. 3) 이와 같이문제에서 요구되는 것과 주어진 것을 파악한 후, 요구된 변화량을 기울기로부터 바로 계산해냈다.

(예비교사 S1, 문항 2번)

이 문제에서 40feet에서 73feet로 수압이 증가하면 수심은 얼마나 증가할까를 묻고 있는데, 지금 표에서 알 수 있는 게, 수압이 1씩 커질 때(표에 수압 열에서 한 칸씩 내려가면서) 물의 깊이가 33feet씩 계속 커지고 있습니다. 이것을 반대로 말하면, 이 접근을 역으로 말하면…물의 깊이가 33feet씩 깊어질 때, 수압은 1씩 커지고 있습니다.

즉, 문제에서 40feet에서 73feet로 수심이 증가했다고 했으니까, 지금 변화가 33만큼 일어났기 때문에, 원래 있던 40feet에서의 수압을 a라고 했으면, 73feet에서의 수압은 1+a가 될 것입니다. 그래서 수압이 얼마나 변할까를 물어봤으니까, 1만큼 변할 것이다라고 계산했습니다.

(예비교사 S1, 문항 3(1)번)

투약량과 환자 몸무게의 함수에 대한 내용이었는데, 몸무게가 63.5kg인 환자에게 투약량을 넣을 때는 120이라고 나와 있습니다. 그런데,환자의 몸무게가 63.5kg에서 0.5kg증가했다면,투약량을 얼마나 늘려야 하냐는 것이 문제의 질문인데, 지금 우선 63.5kg인 환자에게 120g을 넣는다는 정보는 사실 필요가 없었던 부분인 것 같고, 몸무게가 0.5kg증가했을 때 얼마나 더 넣어야 하냐 이게 질문이기 때문에 지금 기울기만 확인하면 될 것 같습니다. 특히 일차함수이기 때문에 기울기는 일정하고, 기울기가 6.6이라는 것은 x에 해당하는 몸무게 w가 1kg씩 증가할 때 투약량이 증가하는 양을 얘기하는 거구요, 기울기가 6.6이니까, 0.5kg이 증가했으면 6.6의 반인 3.3이 더 늘어야 한다고 볼 수 있습니다.

한편 또 다른 예비교사 S5는 다음과 같이 두문항을 푼 과정을 설명하였다. 먼저 문제에서 요구하는 것이 무엇인지부터 파악한 후에 제시된 다른 정보를 검토했던 예비교사 S1과 달리, 예비교사 S5는 문제에서 제시된 두 양의 관계가 일차함수임을 파악하자마자 (일차)함수식을 먼저계산했으며, 요구되는 변화량을 일차 함수식을이용하여 처음 값과 나중 값을 찾아 그 차로 구하였다.

(예비교사 S5, 문항 2번)

문제를 처음 읽고 표를 봤을 때, 수압이 1씩 늘어날 때(수압 열을 아래로 내려가면서), (물의 깊이가)33씩 늘어나더라구요(수심 열을 아래로 내려가면서). 일정하게 33씩 증가하니까, 일차 함수식을 세울 수 있다는 생각이 들어서, 수압을 x라고 잡고, 수심을 y라고 잡으면, 이 값(x=1, y=0)에 맞춰 가지고 식을 세워서 y=33x-33이 나왔습니다. “수심이 40에서 73으로 증가하면”이라고 물어봤는데, 처음에 수심을 y라고 잡았으니까, y가 40일 때랑 y가 73일 때를 구해서 얼마나 증가했는지를 구하면 되겠다고 생각을 했습니다. 그래서 y가 40일 때 여기 집어넣고 풀었더니 x7333이 나왔고, 똑같이 73을 여기다 집어넣고 풀었더니 x10633 이렇게 나왔습니다. “얼마나 변화했나요?”라고 물어봤기 때문에 이 값에서 이 값을 빼서 이렇게 증가했다고 구했습니다.

(예비교사 S5, 문항 3(1)번)

1번에서는 처음에 함수랑 기울기가 주어졌고,이게 일차함수라는 걸 알려줘서...일차함수라는 것을 바탕으로 이런 식(D(w)=6.6w+b)을 세웠습니다. 그래서 아직 y절편을 모르기 때문에,이 값(y절편)을 구하기 위해서, 문제에 나와 있는 D(63.5)는 120이라는 값을 (D(w)=6.6w+b)대입해서 풀었더니, b값이 이렇게 나왔습니다.위 문제와 마찬가지로, 63.5에서 0.5가 증가했다고 문제에서 나와 있어서, 63.5랑, 63.5에서 0.5가 증가된 64를 이 값에 대입해서 대입한 결과들을 비교하면 되겠다는 생각이 들어서 이 값을 대입해서 각 값을 다 구해가지고 얼마나 증가했는지 차를 보고 3.3만큼 늘려야 한다고 생각이 들었습니다. 그런데 이 문제를 풀고 나서 깨달은 사실이 이 값을 굳이 구하지 않아도,얼마나 늘려야 하는지를 물어봤으니까, 기울기가 있으니까 구할 수 있겠구나라는 생각이 이때 들어가지고, 두 번째 풀이 방안으로 기울기가 6.6이기 때문에 w값이 0.5증가했을 때,D(w)라는 값은 6.6에다 0.5를 곱한 3.3만큼 증가한다고 생각해서 두 번째 풀이 방안을 적었습니다.

예비교사 S5는 3(1)문항에 대해 일차 함수식을세워 답을 쓰고 난 후에야, “(투약량을) 얼마나늘려야 하는지”는 굳이 함수식을 계산하지 않더라도 기울기로부터 바로(6.6×0.5=3.3으로) 알아낼 수 있다는 점을 깨달았다고 하였다. 그러나예비교사 S5는 자신이 처음에 일차 함수식부터구했던 이유에 대해, 함수 문제라는 점을 의식하고 있었으며, “함수 문제는 식을 세워 풀어야 한다”는 생각 때문에 일차함수 문제라는 생각이떠오르자마자 자동적으로 함수식부터 계산했다고 하였다. 다음은 이러한 예비교사 S5의 인터뷰발췌문이다.

(예비교사 S5, 2번 인터뷰)

S5: 함수 단원에서 문제를 풀고 있다는 걸 알고 이 문제를 접했기 때문에, 함수라는 생각을하면, 식을 세워서 풀어야겠다는 생각을 먼저 하게 되는 것 같아요.

I: 왜요?

S5: 보통 어... 학교에서 배운 함수는 일차함수, 이차함수 이렇게 배우기 때문에... 식이 나올 수 밖에 없다는 생각을 하면서 이 문제를 분석하다 보니까, 어, 일차함수네? 일차함수의 식을 세워야겠다.. 이렇게 생각이 든 것 같아요.

(예비교사 S5, 3(1)번 인터뷰)

S5: 어, 2번과 마찬가지로 일차함수라는 사실이 주어져 있기 때문에, 식으로 표현해야 문제를 풀 수 있지 않을까라는 생각이 들어서,먼저 식으로 표현했던 것 같습니다. 식을 세워야 한다는 그 관념이 박혀 있어서, 일단 식부터 세워놓다 보니까 다른 풀이 방법이 있지 않을까라는 생각이.. 후에 들었던것 같아요.. 일차 함수를 처음 배울 때, 일차함수의 기울기가 a라 하고, y절편이 b라고 하면, 일차함수의 식이 y=ax+b가 된다. 이런 개념만 외워와서, 이게 첫 번째로암기하고 중요한 사실로 생각되다 보니까,문제를 풀 때도 그 개념이 제일 먼저 떠올라서 그랬던 것 같아요.

물론 일반적인 일차 함수식을 구하여 변화량을 계산한 것도 수학적으로 옳은 시도이다. 그러나 계산을 실행하기 전, 문제가 무엇을 요구했으며 그와 관련하여 무엇이 주어져 있는지를 먼저 분석했던 S1의 분석적 사고 양식과 달리, 일차함수 문제라는 생각이 떠오르자마자 문제를 해결하기 위해 무엇이 필요한가에 대한 검토 없이 일차 함수식부터 계산한 예비교사 S5의 사고 패턴은 의사 분석적 사고 양식을 보여주고 있다. 이 두 문항에 일차 함수식을 계산해 대응으로접근했던 다른 예비교사들도 예비교사 S5와 비슷한 자동적인 “함수식 반사 반응”, 주어진 문제가 특정 함수 문제라고 인지한 순간, 그 함수식부터 구해야 한다는 생각으로 계산부터 했다고 하였다.

나. 기울기에 대한 피상적인 인식

문항 2에서 공변으로 접근한 예비교사 S1과마찬가지로 예비교사 S5 역시 두 양(수심과 수압)의 변화량을 조정하여 일정한 변화율 (혹은기울기)값을 인지했으나, 예비교사 S5는 이 값으로 일차 함수식을 구하여 변화량을 계산하였다(Table 10 참조). 연구자가 일차 함수식을 세우면서 기울기를 의식했을 텐데 함수식을 다시 계산한 이유를 묻자, 예비교사 S5는 문제에서 일차함수의 기울기를 처음 생각했을 때 떠올랐던 것은 ‘일차항의 계수’였다고 하였다.

S5: 원래 가지고 있던 생각에서 기울기에 대한 부분이 일차 함수식에서 x앞의 계수라는 인식이 좀 강해서, 얼마나 변화할 지라는 인식보다 일차 함수식에서 x앞에 있는 계수다 이런 느낌? 이런 느낌이 강해서, 기울기는 x앞의 계수니까 식을 정해서 풀어야겠다, 이런 생각으로 풀었는데, 늘려야 한다는 것을 생각하다 보니까, 기울기가 늘어야 한다는 거랑 관계가 있었지…그런 생각이 든 것 같아요.

예비교사 S5와 마찬가지로 예비교사 S4 역시수압과 수심 사이의 일차 함수식을 구해 2번과 3(1) 문항을 해결했었다. 연구자는 예비교사 S4에게 이 두 문항이 변화량을 구하는 문제라는 점을 상기시킨 후, 함수식 외에 다른 방법으로 해결할 수 있는지를 물었다. 이러한 연구자의 질문에 예비교사 S4는 일차함수는 기울기가 일정하므로, 2번 문항을 다음과 같은 비례식으로도 해결할 수 있다고 하였다.

2:33=x1:40=x2:73 33x1=40×233x2=73×2 x2x1=2(7340)33

예비교사 S4는 2번 문항의 표에서 수압과 수심 사이의 일정한 변화율, 즉 ‘수압이 1 늘어날때 마다 물의 깊이가 33씩 늘어난다’라는 것을파악하고 수압에 대한 수심의 일차 함수식(f(x)=33(x-1), x: 수압)을 구해 변화량을 계산했었다. 그러나 위와 같은 일차 함수식으로 표현했던 수압과 수심의 관계를 정비례 관계로 생각하여, 비례식으로 40feet와 73feet의 수압을 구하고자 하였다. 이러한 예비교사 S4의 시도는 변화율이 일정한 일차함수 관계(ΔyΔx=k)와 정비례 관계(yx=k)를 혼동하고 있음을 보여주고 있다.

변화량 문제를 공변으로 접근했던 예비교사들은 독립변수의 변화량에 대한 종속변수 변화량의 비율이라는 변화율로서의 기울기의 의미를 수치적으로 떠올리면서 변화량을 추론하였다(예비교사 S1 인터뷰 참조). 그러나 예비교사 S5와예비교사 S4는 변화량을 추론했던 순간 이와 같은 변화율로서 기울기의 의미를 생각해내지 못했다.

다. 가속도 단위에 대한 의사 분석적 추론: ‘가속도 단위는 분모에 제곱이 들어가야 한다.’

인터뷰 참여자 중 3(2) 혹은 5(2)문항에서 순간변화율의 의미를 ‘독립변수의 1단위 변화에 따른 종속변수 변화량의 근삿값’으로 해당 점 근방의 단위 변화율이라고 구체적으로 답했던 예비교사는 두 명(S2, S5)이었다. 그러나 연구자가 인터뷰에서 순간변화율을 사용하여 그 근방에서의 구체적인 독립변수 변화량에 대한 종속변수의 근사적인 변화량을 구체적으로 추론하는 질문(“몸무게가 만약 63.6kg로 0.1kg 증가한다면 약은 얼마나 먹어야 할까요(문항 3(2))?”, “0.1초 후인 8.1초 때의 속도는 약 얼마라고 예상할 수 있나요?(문항 5(2))”을 했을 때, 한 명을 제외한 나머지 예비교사들은 순간변화율을 이용하여 독립변수의 작은 변화량에 따른 종속변수의 근사적인 변화량을 계산할 수 있었다.

연구자는 5(2)문항에 대한 지필 답안, 그리고인터뷰에서 예비교사들이 가속도의 의미를 설명하거나 한 시각에서의 가속도 값으로 그 전후 시각의 속력을 예측할 때, Figure 2의 응답과 같이 단위를 생략한 채 수치만 쓰거나 말하는 경향이 있음을 관찰하였다. 연구자는 5(2)문항의인터뷰에서 주어진 문제 상황의 단위, 즉 속력v(km/h)이 시간 (t초)의 함수 v(t)라는 점을 예비교사들에게 다시 주지시킨 후, 가속도인 v'(8)=10의 단위는 무엇이라고 생각하는지를 질문하였다.

Figure 2. S1’s response to task 5(2)

예비교사 S2는 다음과 같이 가속도는 시간 변화량(초)에 대한 속도 변화량(km/h) 비율의 극한이므로 속도의 단위를 시간의 단위로 나눈 (km/h)/s라고 대답하였다.

I: S2는 10에 붙는 단위가 그거라고 생각했어요? 왜 그렇게 생각했어요?

S2: 여기에서 초당 바뀌는데 초가 x축이고 그냥 km/hy축 단위이니까 이렇게 될 것 같아요.(중략). x축 변화량 분의 y축 변화량의 극한을 보낸 거기 때문에(limΔyΔx)…. 가속도라는 것이, 순간변화율이라는 게 이걸 말하기 때문에, 순간 속력의 변화율을 의미하기 때문에 이 단위 그대로 옮겨왔습니다.

예비교사 S4 역시 가속도의 단위로 (km/h)/s를 생각했으나, 이 단위가 학교에서 가속도의 단위로 배웠던 m/s2과 달리 하나의 분수가 아닌 번분수 형태라는 이유로 확신하지 못했다.

I: 그러면 가속도 10의 단위는 뭐가 될까요?S4: 어… 단위… km/s2아닐까요?

I: 아… 왜 그렇게 생각했어요?

S4: 한 번도 생각해 본 적이 없는데, v에 대한 단위가 km/s였으니까..

I: 여기에서 km/h였는데?

S4: 아 km/h예요? 아 그러면 모르겠는데요.

I: 왜?

S4: km/h면 지금 이 단위가 초니까 km/hs 이건데 이렇게 하니까 여기서 더 진행이 안 돼요.

I: 그냥 S4의 생각을 말해주면 되고, 어렵거나 찝찝하거나 그런 게 있으면 말해줘도 되요.

S4: 사실 중고등학교 때 거리가 m라는 단위로 주어지고 시간 단위가 s로 주어지면 가속도의 단위가 m/s2으로 배웠거든요. 그런데 이 원리를 한 번도 들어본 적이 없어요. 그래서 한 번도 생각을 안 해 봐서.. 속도는m/s라고만 배우고 가속도는 m/s2이렇게배워서.

I: km/hs 이렇게 썼는데 왜 진행이 안된다고 했어요?

S4: 왜냐하면 저는 m/s2이라고 표현하게 된 원리를 알게 되면 저것도 똑같이 일반화해서 구할 수 있는데 원리를 몰라서.

I: 그러면 S4는 m/s2이게 어떻게 나왔을 거라고 생각해요?

S4: 속도를 s로 나눠서 s제곱이라고 하지 않나...

I: 그러면 이 단위가 이렇게 나온 거라면, 이 맥락에서는 km/hs 이렇게 쓰면 되지 않나요?

S4: 제가 찝찝한 게 m/s2처럼 이렇게 하나로 나오는게 아니라 분수처럼 표현이 되어 있잖아요. 그래서 이대로 두기가 뭔가 좀 이상하고 뭔가 더 진행이 되어야 할 것 같은데 이 다음부터 몰라가지고…

한편 예비교사 S1은 가속도의 단위로 km/h2, m/s2, km/s2 중에서 고민하였다. 예비교사 S1의생각을 들은 후, 연구자는 예비교사 S1에게 가속도가 시간 변화량에 대한 속도 변화량의 비율(ΔvΔt)로 계산되는 양임을 상기한다면, 가속도의 단위를 문제에서의 속도 단위를 시간 단위로 나눈 ‘(km/h)/s’이 자연스럽지 않냐고 물었다. 예비교사 S1은 ‘(km/h)/s’라는 단위가 처음 보는단위이며, 예비교사 S4와 마찬가지로 학창 시절속도와 가속도의 단위가 어떻게 나오는지에 대한 설명 없이, 단지 속도의 단위는 ‘m/s’, ‘km/h’, ‘km/s’이며 가속도의 단위로는 ‘m/s2’, ‘km/h2’를 사용한다는 점만 배웠다고 하였다. 이문제 상황에서는 속도의 단위시간(hour)과 시간변화량의 단위시간(초)이 다르지만, 예비교사 S1은 자신이 배웠던 가속도 단위(‘m/s2’, ‘km/h2’)와 같이 속도와 시간 변화량의 단위시간이 ‘시간’ 아니면 ‘초’로 같아야 한다고 생각하여 ‘(km/h)/s’라는 단위를 생각하지 못했다고 하였다.

S1:이 문제에서 (‘km/h/s’를 가리키며) 가장 큰 건, 시간이랑 초의 결합이라고 해야 하나?뭔가 단위를 바꿔주고 나서 이렇게 해야 하는데, 지금 문제에서 초라고 제시를 하고, 속도는 시간이라고 제시를 해서, 여기에서 좀 혼란이 많이 발생되고, 가장 큰 건 합쳐 쓸 수 있는 것에 대한 의구심이 너무 많이 들어서 안 쓰는 건 줄 알았어요. 요 정의(가속도의 정의 ΔvΔt)를 알고 있어서, 단위가 ‘km/h/s’로 이렇게 나올 수 있겠다고 생각도 하지만 단위는 항상 이런 거(m/s2, km/h2)를 썼기 때문에 “이게 맞나?” 싶은 생각이 들고, 아닌 것 같다는 결론을 내버린 것 같아요.. 혼자서..

예비교사 S1과 예비교사 S4 모두 시간 변화량에 대한 속도 변화량의 비율이라는 가속도의 정의를 잘 알고 있었다. 그러나 예비교사 S1과 예비교사 S4는 가속도 단위 추론에서, 예비교사S2와 같이 문제 상황에서 제시된 속도와 시간단위를 확인하고 가속도의 정의에 따라 그 단위를 분석적으로 사고하기보다는, 학교에서 가속도단위로 배웠던 km/h2, m/s2, km/s2 중 어느 것인가를 고민하였다. 특히 이 두 교사 모두 이 문제 상황에서 가속도의 정의에 따라 유도되는 ‘(km/h)/s’가 ‘자신이 배웠던 가속도 단위와 형태가 다르다(즉, 분모가 시간 단위(초 혹은 시간)의 제곱이 아니다)’는 이유로 가속도 단위로 인정하는 데 어려움을 겪었다.

V. 논의 및 결론

본 연구에서는 사범대학 수학교육과 4학년에재학 중인 예비교사들을 대상으로, 변화율을 이용한 추론 및 해석 과제를 해결하는 과정에서 드러났던 예비교사들의 인식을 조사하였다. 예비교사 대부분이 문제에 제시된 일정한 혹은 일정하지 않은 변화율 정보로부터 한 양의 변화에 따른 다른 양의 변화량을 옳게 추론하였다. 그러나 문제에 주어진 일정한 변화율(기울기) 정보를 분석하여 주어진 한 양의 변화에 대한 다른 양의 변화량을 바로 추론할 수 있음에도 불구하고, 적지 않은 예비교사들이 대응 관점에서 두 양의 일차 함수식을 세운 후 각 함숫값의 차를 계산하여 요구된 변화량을 추론하였다. 특히 이러한변화량 추론 과제를 모두 함수식을 세워 계산했던 예비교사들과의 인터뷰는, 이와 같은 추론 행동이 함수 문제라고 생각하자마자 반사적으로 함수식부터 계산했던 ‘함수식 반사’, 의사 분석적 사고 양식의 산물임을 시사하고 있다. 한편, 공변 관점에서 접근했던 예비교사들은 독립변수의 변화량에 대한 종속변수 변화량의 비율이라는 변화율로서의 기울기의 의미를 떠올려 변화량을 추론하였다. 그러나 함수식을 세웠던 예비교사 중에서는 변화량 추론 과정에서 기울기 값을 변화율로 인지하지 못한 채, 기울기를 일차항의 계수로만 보거나 정비례의 비례상수와 혼동하는 등 기울기에 대한 불충분한 의미를 드러냈던 예비교사들이 있었다.

순간변화율 해석 문항에서 일부 예비교사들은 순간변화율을 ‘종속변수의 순간 변화량’으로 해석하거나 ‘(일차함수의)일정한 변화율’로 해석하는 등 순간변화율의 의미를 적절하게 해석하지 못했다. 응용 맥락에서는 계산한 값의 단위를 정확히 인지해야 해당 맥락에서 수치가 갖는 의미를 이해할 수 있다. 그러나 시간 변화량에 대한속도 변화량의 비율이라는 가속도의 수학적 정의를 잘 알고 있었던 예비교사들도 주어진 시간과 속도 단위를 이용하여 가속도의 단위를 유도할 수 있음을 잘 몰랐으며, 또한 ‘가속도 단위는 학교에서 배웠던 단위 ‘km/h2’, ‘m/s2’과 같이분모에 시간 단위의 제곱이 들어가야 한다’는관념 때문에 문제 상황의 속도 단위(km/h)를 시간 단위(s)로 나눈 단위((km/h)/s)를 가속도의단위로 받아들이지 못했다.

한 변수의 변화를 상상하면서 그에 따른 다른 변수의 변화를 추론하고 해석하는 능력은 미적분학의 기본 개념들을 이해하고, 연속적으로 변화하는 현상을 모델링하는 데 중요한 역할을 한다(Carlson & Moore, 2015). 여러 연구자들이(Confrey, & Smith, 1994; Confrey & Smith, 1995; Ellis, 2011; Panorkou et al., 2014; Thompson, 1994) 함수 개념을 공변 관점으로 도입하고, 더 이른 학년부터 변화율을 탐구할 기회를 늘려야 한다고 주장하였다. 일차함수에 대하여 미국의규준 기반(standard-based) 개혁 지향적 교과서 중하나인 University of Chicago School Mathematics Project (UCSMP) Algebra와 2009 개정 교육과정을 따른 한국 중학교 교과서를 비교 분석한 Hong & Choi(2018)의 연구에 따르면, 한국 교과서는 일차함수 단원을 함수의 정의와 그 기호의 도입으로 시작하지만, UCSMP Algebra는 다양한 실세계 맥락에서의 변화율 개념에서 시작하며 (Hong & Choi, 2018, pp. 10-11, 21), 한국 교과서에서 맨 처음에 다루는 함수의 정의와 그 기호는 함수 단원의 가장 마지막에 등장한다. 한편한국 교육과정에서 변화율이라는 용어는 고등학교 수학 Ⅱ의 미분 단원에서야 도입되며, 중학교교과서에서는 기울기를 다루기 전, 일차함수를 y=ax+b와 같이 yx의 일차식으로 나타나는 함수로 정의한다. 일차함수의 그래프가 직선이라는 점과 일차함수 그래프를 그리는 방법을 다룬 후에, 일차함수의 직선 그래프의 기울어진 정도를 y x 으로 계산하며, 이 값이 일차 함수식의 x의 계수와 같음을 설명하고 있다(Kim et al., 2019).

UCSMP Algebra와 한국 교과서의 예제에서 사용된 수학적 표현에 대한 Hong & Choi(2018)의분석에 따르면, 한국 교과서의 예제는 75% 이상이 기호적 표현만을 사용했으나, UCSMP Algebra의 예제는 60% 이상이 그래프 수치적 표 언어적 표현 등 다양한 표현을 사용하였다. 또 이들연구자들은 UCSMP Algebra의 문제들이 다양한실세계 맥락에서 기울기의 의미에 대한 학습기회를 제공하고 있는 반면, 기울기를 순수한 수학적 맥락에서만 다루는 한국 교과서의 문제들이기울기를 정적이고 기호적인 의미로 제한적으로이해하게 할 수 있다고 지적하였다(Hong & Choi, 2018, pp. 11, 15, 18). 한편, 한국 2009 교육과정의 일차함수 성취 기준에서는 일차함수의 이해 및 다양한 문제 해결 능력을 강조하고 있으나, 두 양 사이의 (선형) 관계를 모델링하는함수를 구성하고, 일차함수의 변화율과 y절편의의미를 상황 속에서 해석하는 능력을 구체적으로 진술한 일차함수에 대한 CCSSM 규준6)과 달리 한국 교육과정의 일차함수 성취기준에서는 변화율이나 두 양 사이의 관계에 대한 분석과 해석 능력이 명시적으로 강조되고 있지 않다는 점에 주목하였다(Hong & Choi, 2018, pp. 19-20).

이상과 같이 Hong & Choi(2018)의 일차함수단원의 내용 지도 계열, 교과서 과제, 다양한 표현의 사용, 교육과정 상의 강조점에 대한 우리나라 2009 개정 교육과정 교과서와 UCSMP Algebra의 비교 분석은 우리나라 중학교 함수 교육과정의 구조주의적 측면을 보여주고 있다. 대학에서 미적분학 등 많은 고등 수학 과목들을 이수했다는 점을 고려했을 때 예비 교사들의 충분하지 않은 변화량 추론 및 변화율 해석 능력은, 일차함수와 같은 기본 함수 족에 대하여 대응 관점에서의 함수식은 강조하나 공변 관점에서 변화율에 대한 학습 기회는 부족한 구조주의 접근의 한계와 관련이 있다. 우리나라 교육과정에서 변화율에 대한 학습 기회 부족 및 기호적 표현에 편중된 함수 단원 과제는 예비교사들이 표출했던 “함수 문제는 식을 세워 풀어야 한다” 는 신념을 형성하게 된 교수학적 원인이라고 볼 수 있다. 한편 예비교사들이 가속도 정의에 대한수학적 이해를 단위로 전이하지 못했던 점 역시 우리나라 교육과정에서 가속도와 같은 변화율 혹은 두 양 사이의 관계를 수학적으로만 취급하는 경향이 있으며 수치가 다양한 맥락에서 어떠한 의미를 가지는지 해석하는 학습 기회가 부족하다는 점과 무관하지 않다.

예비교사들의 변화율을 이용한 추론과 해석에서 드러난 인식에 대한 본 연구의 분석은, 우리나라 함수 교육과정에서 연구참여자들이 함수 및 변화율에 대해 무엇을 배웠고 무엇을 배우지 못했는지를 보여주고 있다. 한편 Vinner (1997)는의사 개념적 혹은 의사 분석적 사고방식을 극복하고 개념적, 분석적 사고방식을 함양하기 위해서는 자신의 사고에 대한 의식과 반성이 필요하다고 지적하였다. 예비교사들이 교사가 되어 자신이 가지고 있는 의사 분석적 사고방식을 학생들에게 재전달하지 않도록 하기 위해서는, 교사교육과정에서 함수와 변화율에 대한 심화 지식의 습득뿐 아니라 학교 수학을 배우면서 부지불식간에 형성했던 의사 분석적 사고방식을 의식하고, 어떤 교수 학습 방식 때문에 이러한 사고방식을 가지게 되었으며 그 한계는 무엇인지 자신의 사고방식과 신념에 대한 의식과 반성을 촉진하는 학습 기회를 제공하는 것이 필요하다.

Footnote

1) a:b 또는 a/b로 표현되는 두 양의 비(ratio)는 두 양의 곱셈적 관계를 나타낸다. 특히 두 양이 서로 다른단위로 측정되는 이질량일 때(예를 들어, 30 miles/gallon 또는 50 miles/hour)의 비를 비율(rate)이라고 한다.

2) Vinner(1989, p.99, p.116)는 학생들이 교사와 어떤 수학적 개념에 대해 논의하는 맥락에서 (의사) 개념적 행동을, 학생들이 전형적인 수학 과제를 해결하는 맥락과 관련하여 (의사) 분석적 행동을 논의하였다.

Vinner는 (의사) 개념적, (의사) 분석적 행동을 이와 같이 맥락의 차이로 구분하였다. 또한 Vinner는 어떤수학 교수 학습 맥락은 개념적-분석적 행동 양쪽 모두와 관련될 수 있으며, 이러한 경우는 (의사) 개념적-분석적 행동의 구분이 명확하지 않을 수 있다고 하였다. 그러나 Vinner는 개념적 사고를 수반하더라도 해당 맥락이 본질적으로 문제 해결 맥락이라면, 즉 주 활동이 문제를 분석하고 적절한 해결 전략을 탐색하는 것일 경우 (의사) 분석적 행동이라는 용어를 사용하였다. 이 연구는 변화율을 이용한 추론-해석 과제해결 맥락에서 예비교사들의 인식을 조사하였으므로, Vinner의 용례에 따라 (의사) 분석적 사고 양식(행동)으로 논의한다.

3) 연구 참여에 동의한 수강생 13명의 과제만 분석하였다.

4) 1번 문항에는 1명, 2번 문항에는 2명 외에는 문제에서 요구한 변화량을 옳게 추론하였다. 2번에 오답을 했던 예비교사들은 모두 식을 세워 계산하는 과정에서 계산 실수로 오답을 했다. 3(1)과 5(1)번 문항은 모든 예비교사가 옳게 추론하였다.

5) 문항 6(1)은 네 명, 6(2)는 한 명 외에는 모두 옳게 추론하였다.

6) 자세한 내용은 CCSS-M의 8학년 함수의 내용 규준 8.F.B.4를 참조할 수 있다

(http://www.corestandards.org/Math/Content/8/F/).

Fig 1.

Figure 1. A correspondence approach versus a covariation approach to a functional relationship
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 649-673https://doi.org/10.29275/jerm.2020.11.30.4.649

Fig 2.

Figure 2. S1’s response to task 5(2)
Journal of Educational Research in Mathematics 2020; 30: 649-673https://doi.org/10.29275/jerm.2020.11.30.4.649

Table 1 Vinner’s analytical mode of thinking and pseudo-analytical mode of thinking(1997, pp. 111-115)

분석적 사고과정의사 분석적 사고과정
(1) 문제 X가 제시되면, 제시된 문제의 유형 및 구조를 분석하는 정신적 스킴 (B)가 작동한다.
(2) 문제 유형과 구조(Y)를 파악하면, 해결 절차(알고리즘) 집합 A에서 파악된 문제 유형/구조에 적합한해결절차를 배치하는 정신적 스킴 C가 활성화된다.
(3) 문제 X에 해결절차 Z를 적용하여 문제를 해결한다(Ibid, p. 111).
(1) 문제 X가 제시되면, 전형적인 문제-해결절차 집합A´에서 주어진 문제 X와 유사 문제 Z´를 찾아내는정신적 스킴 B´가 활성화된다(유사 문제 Z´는 희미한기억과 같이 문제 해결자의 머릿속에서 언어적으로형식화되지 않을 수도 있다).
(2) 유사문제 Z´에 대한 해결절차를 문제 X에 적용한다(Ibid, p. 114-115).
한 변의 길이가 7cm이고 둘레가 24cm인 직사각형의 면적을 구하는 문제에서의 사례
(1) 이 문제는 면적 문제이며, 넓이를 구해야 하는 영역은 직사각형이다. 직사각형의 넓이는 가로의 길이와 세로의 길이의 곱으로 구할 수 있다. 그러나 한변의 길이와 둘레의 길이가 문제에 주어져 있다. 둘레의 길이는 가로-세로 길이의 합의 두 배이다. 둘레를 이용하면 직사각형의 다른 한 변의 길이를 찾아낼수 있을 것이다.
(2) 직사각형의 다른 한 변의 길이를 구하기 위하여,주어진 둘레의 길이를 2로 나눈 후 주어진 길이를빼야 한다. 이와 같이 다른 한 변의 길이를 구해 주어진 길이와 곱하면 요구되는 직사각형의 넓이를 찾아낼 수 있다.
(3) 24÷2=12; 12-7=5; 7×5=35; 따라서 넓이는 35cm2(Ibid, p. 112)
(1) 이 문제는 직사각형의 넓이를 구하는 문제처럼보인다. 이러한 문제는 문제에 제시된 두 숫자를 곱해 답을 계산할 수 있다.
(2) 문제에 주어진 두 숫자는 24와 7이므로, 답은24×7=168이다(Ibid, p.115).

Table 2 Summary of tasks in this study

문항문항 내용문제 상황에서 주어진 변화율 정보구해야 하는 변화량/변화율 해석출처
1일정한 변화율 (정비례)반지름에 대한 원둘레의 비 2π주어진 원둘레의 변화량에 대 응하는 반지름의 변화량Arons ( 1997, p. 22)
2일정한 변화율표로 주어진 수압과 수심 데이터수심의 변화량에 대응하는 수압의 변화량자체 제작
3(1)일정한 변화율투약량 D는 환자 몸무게 (w kg)의 기울기 6.6인 일차 함수몸무게 변화량에 대응하는 복용량 변화량Hughes-Hallett et al.(2009, p. 96)에서 변형
3(2)순간변화율투약량 D (w )은 몸무게의 미분 가능한 함수이며, 해당 몸무게에서의 미분계수는 D′(63.5) = 6.6미분계수 값 D ′(63.5) = 6.6을 맥락에서의 순간변화율로 해석; 63.5 kg에서 몸무게의 작은 변화량에 대응하는 약 복용량의 변화량 근삿값 구하기Hughes-Hallett et al.(2009, p. 96)에서 단위 수정
5(1)일정한 변화율속력 v (km/h)는 시간 t(초)의 기울기가 15이고 v(2) = 30인 일차함수주어진 시간 변화량 동안의 속력 변화량 구하기자체 제작
5(2)순간변화율속력 v (km/h)는 시간 t(초)의 미분 가능한 함수이고, v(8) = 65, v′(8) = 108초에서의 시간의 작은 변화에 대응하는 속력 변화량 근삿값 구하기자체 제작
6(1)변하는 변화율시간-속도 그래프로 주어진 변화율(속도)속도 그래프의 면적으로 변화량(거리)비교하기Monk(1992)
6(2)변하는 변화율시간-속도 그래프로 주어진 변화율(속도)속도 그래프의 면적으로 변화량(거리)비교하기Monk(1992)

Table 3 Pre-service teachers’ ways of reasoning change in quantity

일정한 변화율로부터 변화량 추론 방식 범주문항 2에서의 사례 문항3(1)에서의 사례
대응 접근
공변 접근일차함수 기울기가 6.6이므로 몸무게가 1 kg증가할 때 투약량은 6.6 mg 늘어난다. 따라서 몸무게가 0.5 kg증가하면 투약량은 3.3 mg늘어난다.
대응 접근 후 공변 접근

Table 4 Number of pre-service teachers at each way of reasoning

일정한 변화율 문항123(1)5(1)
대응 접근125611
공변 접근0852
대응 후 공변 접근0020

Table 5 Pre-service teachers’ ways of interpretating instantaneous rates of change

순간변화율 해석 방식 범주사례
A독립변수에 따른 종속변수의 순간변화율
B제시된 점 근방에서의 단위 변화율
C원 함수를 일차함수로 간주하여 일차함수의 일정한 기울기(변화율)로 해석
D미분계수의 부호로 독립변수와 종속변수 변화 방향 비교(함수의 증감)
E종속변수의 순간 변화량
F가속도와 순간속도의 혼동
G무응답

Table 6 Number of pre-service teachers at each way of interpreting instantaneous rate of change

순간변화율 해석 방식 범주3(2)5(2)
A독립변수에 따른 종속변수의 순간변화율48
B제시된 점 근방에서의 단위 변화율21
C원 함수를 일차함수로 간주하여 일차함수의 일정한 기울기(변화율)로 해석41
D미분계수의 부호로 독립변수와 종속변수 변화 방향 비교 (함수의 증감)11
E종속변수의 순간 변화량12
F가속도와 순간속도의 혼동01
G무응답11

Table 7 Pre-service teachers’ ways of reasoning the relative position of two cars in the time-speed graph

변하는 변화율을 이용한 변화량 추론 방식 범주사례
A두 차의 속력 비교
B시간-속력 그래프 아래의 면적 비교
C속력의 변화율 비교
D시간-속력 그래프 아래의 면적 근사하기
E이유 없는 정답
F무응답

Table 8 Number of pre-service teachers at each way of reasoning the relative position of two cars in the time-speed graph

변하는 변화율을 이용한 변화량 추론 방식 범주6(1)6(2)
A두 차의 속력 비교24
B시간-속력 그래프 아래의 면적 비교54
C속력의 변화율 비교30
D시간-속력 그래프 아래의 면적 근사하기11
E이유 없는 정답23
F무응답01

Table 9 Coding results of written responses of six pre-service teachers participating in the interview

일정한 변화율순간변화율 해석변하는 변화율을 이용한 변화량 추론
123(1)5(1)3(2)5(2)6(1)6(2)
S1대응공변공변대응AAAE
S2대응공변공변대응BACB
S3대응대응대응대응무응답무응답C무응답
S4대응대응대응대응AA, EBB
S5대응대응대응 후 공변대응BCCB
S6대응대응대응대응CFDD

Table 10 Covariation approaches(S1) and correspondence approaches(S5) to task 2 and 3(1)

공변 방식(예비교사 S1)대응 방식(예비교사 S5)
문항 2. 이와 같은 상황에서 수심이 40 feet에서 73 feet로 증가하면, 수압은 얼마나 변할까요? 여러분의 추론을 설명해보십시오.
문항 3(1). 투약량 D (w)는 기울기가 6.6인 일차함수이고, D (63.5) = 120이다. 환자의 몸무게가 63.5kg에서 0.5kg 증가했다면, 이 환자의 진통제 투약량은 얼마나 늘려야 할까요? 여러분의 추론을 써주십시오.

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