초등 산술로부터 대수적 사고로의 전환 시기인 중학교에서는 ‘문자와 식’이라는 영역을 통해두 양 사이의 관계를 일반화함으로써 ‘수’에서의 연산 조작들이 ‘다항식’으로 확장되어 적용된다(Ministry of Education, 2015). 이때 대수식은 방정식, 함수, 부등식과 같이 대수 영역에 걸쳐서중요한 위치를 차지하고 있으며, 학생들은 식의표현에 있어 양과 양들 사이의 관계에 대한 추론을 통하여 산술 및 대수적 조작과 연결시키게 된다(Smith & Thompson, 2007).

학생들의 사고방식에 대한 이해를 목적으로 하는 연구 중에는 양들 사이의 관계에서 학생들의 수학적 추론에 초점을 둔 연구들이 늘고 있는데, 특히 많은 연구자들이 양에 대한 추론을 대수적 추론에 바탕이 되는 요소로 주목하고 있다(예, Ellis, 2011; Jeon, Lee, & Pang, 2009; Smith & Thompson, 2007). 양에 대한 추론 즉, 양적 추론(quantitative reasoning)은 산술과 대수적추론의 간극을 메우는 데 도움을 주며(Jeon et al., 2009), 나아가 대수 교육의 중심에 함수적 관점을 강조하여 학생들이 양적 상황을 양 사이의 관계로 이해할 수 있는 능력을 개발시켜 대수적 추론에 중요한 토대를 제공할 수 있다(Ellis, 2011).

함수라는 용어와 개념은 중학교 2학년에서 처음 도입되어 일차함수로의 선형적 의미를 이해하고, 3학년 때 이차함수와 그 그래프에 대한 성질을 다루게 된다. 이후 이차함수는 이차방정식과 이차부등식 사이의 관계를 이해하기 위한 추론의 도구로써 고등학교 1학년 수학에서 중요한 기반을 이룬다(Ministry of Education, 2015). 이때 이차함수는 일차함수에서 한 차원 높은 변화 상황을 고려해야 하는 개념으로 대수적 추론 개발에 과도기적인 역할을 수행하게 된다(Ellis, 2011). 따라서 이차함수가 중학교에서 고등학교로 넘어가는 시기에 추론의 도구가 되기 위해서는 도입 시 다양한 양적인 상황을 이용하여 이차함수의 의미를 충분히 다룰 수 있도록 해야 할 것이다. 이에 현 수학과 교육과정에서도 이차함수에 대한 교수학습 방법 및 유의점으로 개념의 도입 시 다양한 양적 상황에서 추론할 수 있도록 권고하고 있다.

이차함수는 일반적으로 x값의 변화에 따라 y값을 구하고, 순서쌍 (x,y)를 좌표로 하는 유한개의 점을 좌표평면 위에 나타내며 그려지는 포물선의 모양을 조사함으로써 배우게 된다. 그러나 학생들에게 이차함수를 몇 개의 수치에 의존하여 산술적 계산으로만 도입할 경우 이차함수 y=f(x)에서 ‘y값의 변화율의 변화가 일정하다’ 라는 변화 관계에 대한 이해에 어려움을 가져올 수 있다(Fonger, Dogan, & Ellis, 2017). Fonger et al.(2017)은 이차함수의 변화 관계에 대한 이해는 미적분을 포함한 다양한 고등 수준의 함수 학습과 관련하여 중요한 기반을 제공할 수 있다고 보고, 이를 위해 양적으로 풍부한 학습 환경을 강조한 바 있다. ‘양’은 수치와 계산에 초점을 둔 산술적 대상으로만 문제 상황에서 제시되는 것이 아니라 학생 스스로가 문제 상황으로부터 양에 대한 속성을 인식하고 구성하여 산출해 낼 수 있는 개념이다(Jeon et al., 2009; Smith & Thompson, 2007). 즉, 학생들은 자신만의 경험을 바탕으로 양을 인식하고, 양들 사이의 관계를 구성해 나아가며 양을 추론하게 된다. 따라서 학생들의 사고 과정은 학생 각자가 이차함수 문제 상황을 이해하고 해결하는 과정이 서로 다를 수밖에 없는 이유에 대한 가설을 제공한다. 그러나 인지 주체인 학생 개인의 문제해결 과정에서 양적 추론 관점에 초점을 둔 연구는 많이 부족하며, 양적 추론이 문제해결 과정에 어떠한 방식으로 영향을 미치는지에 대한 구체적인 연구 또한 미비하다. 이에 학생들이 이차함수 문제 상황에서 양을 어떻게 추론하는지, 그리고 그들이 구성한 양을 조작하는 방식에 따라 어떻게 이차함수를 이해하고, 식을 표현하는지 학생들의 입장에서 분석함으로써 하나의 설명적 가설을 제시하고자 한다.

함수에서 변화율에 대한 이해는 일차함수와 이차함수를 구별하는 주요 개념으로 변화율이 일정한 일차함수 상황과 관련하여 이차함수는 변화율이 일정하게 변화되는 상황이다(Ellis, 2011; Fonger et al., 2017; Ma & Im, 2019). 즉, 이차함수는 변화율의 변화가 선형적인 일차함수 상황이므로 이차함수의 함숫값에 대한 변화율의 변화에 초점을 두어 비 개념과의 관련성을 살펴볼 수 있다. Lobato, Hohensee, Rhodehamel, & Diamond(2012)의 연구에서도 학생들에게 이차함수를 가르치는 과정에서 이차함수의 변화율의 일정한 변화를 이해하는데 주요 어려움으로 비, 비율 개념이 원인이 될 수 있다고 언급한 바 있다. 따라서 본 연구에서는 비에 대한 개념이 서로 다른 두 중학생이 이차함수 문제 상황에서 양을 조작하고 해석하는데 어떠한 차이를 보이는지 살펴보기 위해 다음과 같이 연구 문제를 설정하였다.

첫째, 비 개념과 관련된 문제 상황에서 두 중학생이 보여준 양화 과정의 차이는 무엇인가?

둘째, 두 중학생 간의 비 개념에 대한 양화 과정의 차이는 이차함수 문제 상황을 이해하고 식을 표현하는데 어떠한 영향을 주는가?

1. 양화 과정과 비 개념에 대한 이해

양을 개개인이 구성하는 개념적 존재로 본다면 주체가 양을 구성하기 위해서는 어떤 대상의 질적 속성을 측정하는 양화(quantification) 과정이필요하다. 여기에서 양화는 “대상과 대상의 속성을 개념화하여 속성이 측정 단위를 가지도록 하는 과정”(p. 37)으로, 대상의 속성을 파악하여 속성의 측정 단위를 인식하고, 속성의 측정 단위들사이의 관계를 형성하는 것까지 포함된다(Thompson, 2011). 양적 추론은 양화를 통해 대상의 속성으로부터 측정 단위를 구성하는 과정적 역할이 강조된다. 이때 양화 과정에서의 양적조작(quantitative operation)은 인식의 주체가 이미인지하고 있는 양들 사이의 관계로부터 하나의 새로운 양을 만드는 정신적 조작이다. 양적 조작의 예로는 각각의 두 양을 덧셈적으로 결합하기, 두 양을 덧셈적으로 비교하기, 두 양을 곱셈적으로 결합하기, 두 양을 곱셈적으로 비교하기 등이있다(Thompson, 1994). 그 중 두 양의 덧셈적 비교는 ‘차이’라는 새로운 양을 구성하고, 두 양의곱셈적 비교는 ‘비’라는 새로운 양을 구성한다. 선행연구에서는 학생들이 양 사이의 관계를 형성하고 해석하며 양적 조작하는 방식에서 비 개념에 대한 학생들의 수준이 중요한 차이를 만든다고 보았다(Johnson, 2015; Lobato et al., 2012; Simon & Placa, 2012).

비 개념은 중학교에서 함수를 학습하기 이전에 두 양 사이의 관계를 비(ratio)로 표현해 보며 해석하는 활동으로 경험하게 된다. 구체적으로 초등학교 5∼6학년(군)에서 ‘규칙성’ 영역의 내용 요소로 ‘비와 비율’ 개념을 다루게 되는데, 두 양을 비교할 때 한 양을 기준으로 다른 양이 몇 배가 되는지에 대한 필요성으로부터 비 개념이 도입된다. 그리고 비율의 의미는 실생활 혹은 다른 교과에서 비율이 적용되는 간단한 사례를 통해 이해하며, 분수, 소수, 백분율로 표현해 보는 활동을 하게 된다(Ministry of Education, 2015).

학교 수학에서는 비와 비율 개념을 구분하여 사용하고 있으나, 일상생활에서는 혼용하여 사용하는 경우가 많고 학자마다 각기 다르게 정의하고 있어 선행연구들에서조차 용어 사용에 혼란이 되고 있다(Thompson, 1990, 1994; Kang & Choi, 2015). 이에 Thompson은 선행연구에서의비와 비율에 대한 다양한 정의를 크게 세 가지로 구분하였다.

첫째, 비는 같은 성질을 가지는 양 사이의 비교이며, 비율은 ‘시간 대 거리’와 같이 다른 성질을 가지는 양 사이의 비교이다. 둘째, 비는 수치적으로 어떤 양이 다른 양과 관련하여 얼마나 있는지를 나타낸 것이며, 비율은 어떤 양을기간과 비교하는 비를 나타낸다. 셋째, 비는 순서쌍과 같은 양들 사이의 이항관계이며, 비율은한 양과 다른 양의 한 단위 사이의 관계를 나타내는 내포량이다(Thompson, 1994, p.190).

이와 같은 비와 비율에 대한 구분은 그러나 상황을 구성하는 정신적 행동에 근거한다기보다 상황 그 자체에 의존하고 있는 것으로 보여진다. 따라서 Thompson은 인식의 주체가 비 개념과 관련된 상황을 구성해나가는 과정에서 초점을 조작적 관점으로 전환하여 비와 비율을 정신 조작의 산물로 인식하고, 비는 두 양의 곱셈적 비교결과로써, 비율은 두 양의 곱셈적 비교 결과로부터 반영적으로 추상화한 ‘내재화¹⁾된 비(interiorized ratio)’로 보았다. 그리고 비와 내재화된 비(즉, 비율) 사이에서 ‘내면화²⁾된 비(internalized ratio)’를 구분하여 비 개념을 보다 세분화하였다. 이때 두 양이 구체적이고 정적인 상태에서 동시에 인식되어 곱셈적으로 비교될 때 비 개념이 형성되고, 정적인 이미지로의 비교만이 아니라 두 양의 값이 계속 변하지만 본질적으로 두 양 사이에 불변하는 곱셈적 관계가 그 안에 있음을 인식하는 비 개념이 ‘내재화된비’이다.

두 양의 곱셈적 비교 결과로써 구성된 비는 Figure 1과 같이 두 가지 방식으로 표현 가능하며, 두 개 대상의 집합을 비교할 수 있다. Figure 1의왼쪽은 두 개 대상의 집합을 전체적으로 비교한 것이고, 오른쪽은 하나의 양이 다른 단위로 측정되어 비교한 것이다. 두 가지 방식 모두 두 양에대한 곱셈적 비교로의 표현인데, Figure 1의 오른쪽은 한 단위로의 측정이 포함된 비교라는 점에서 왼쪽보다는 좀 더 정교화된 비로 보고 있다. 이러한 표현 방식은 문제 상황에서 인지 주체의 정신적 행동에 근거하여 내면화된 비와 내재화된 비로 개념화된다. 예를 들면 한 아이에게 사과와 배의 비가 3:2일 때, 배가 24개인 바구니에 사과가 몇 개나 있는지 찾으라고 하자. 그러면 사과 3개와 배 2개라는 두 대상을 동시에 생각할 수 있을 때 곱셈적 비교의 결과로써 3:2라는 비가 구성된 것으로 볼 수 있다. 그리고 3:2라는 비를 반복적으로 더해가며 연속된 비들의 나열인 ‘사과 3개 대 배 2개, 사과 6개대 배 4개, …, 사과 36개 대 배 24개’와 같이 생각할 수 있고, 이러한 나열은 사과와 배의 개수는 계속 변하지만 ‘사과 3개당 배 2개’를 반복 가능한 비로 양화할 수 있는 기회를 제공하게 된다. 이를 ‘내면화된 비’라고 한다면 더 나아가 사과의 양은 배의 $\frac{3}{2}$임을 알고, 사과와 배라는 두 양의 값이 얼마든지 변할 수 있지만 한 양이 다른 한 양과 일정한 비를 유지하면서 두 양 사이의 불변하는 관계를 인식하는 것이 ‘내재화된 비’ 즉, 비율이다(Thompson, 1994). 이때 내면화된 비와 내재화된 비는 ‘사과 3개당 배 2개’, ‘사과는 배의 $\frac{3}{2}$’이라는 표현 그 자체만으로 구분할 수 있는 개념은 아니며, 인식의 주체가 문제 상황을 구성하고 조작하는 과정에서 구분된다(Thompson, 1990).

Figure 1. Two ways of comparing two quantities multiplicatively for the ratio(Thompson, 1994, p.191)

Johnson(2015)은 Thompson(1994)의 비 개념에대한 개념적 분석(conceptual analysis)을 바탕으로하여 Table 1과 같이 수준에 따른 비의 양화 과정으로 비 개념을 구체화하였다. 우선 ‘동등한집합’ 개념으로의 비와 ‘하나당’ 개념으로의 비는 두 외연량 사이의 결합을 통해 동치인 비로의 양화 과정에 대한 이미지를 포함한다. 그러나두 비 개념에 대한 양화 과정의 차이를 살펴보면 동등한 집합으로의 비 개념을 가진 학생은 물 5컵에 초코 파우더 7봉지를 넣은 핫초코와 물 10컵에 초코 파우더 14봉지를 넣은 핫초코, 혹은 물 한 컵에 초코 파우더 1.4봉지를 넣은 핫초코 모두 동일한 맛을 가질 것이라고 인식할 수 있다. 한편, 하나당의 비 개념을 가진 학생은물 몇 컵이 주어지든지 물 한 컵마다의 초코 파우더 1.4봉지가 포함된 핫초코를 인식할 수 있다. 1.4는 물 한 컵이라는 단위에 초코 파우더1.4봉지가 포함된 하나의 결합된 단위로써 작용하며, 물이 5컵이면 각 물 컵마다 1.4봉지가 포함되므로 1.4의 5배인 초코 파우더 7봉지를 넣었을 때 동일한 맛을 낼 수 있다는 것도 이해할 수 있다. 측정으로의 비 개념을 가진 학생은 더나아가 1.4라는 양 그 자체를 하나의 내포량으로 인식하여 특정한 양에 상관없이 초코 파우더 봉지 수는 물 컵의 양에 1.4배와 같다는 것을 알 수 있다. 따라서 두 외연량의 조정으로 그 값자체가 하나의 내포량으로써 의미를 가지며, 특정한 외연량을 통하지 않고도 해석할 수 있다는 사실로부터 Johnson은 Thompson(1994)의 내재화된 비 개념에서 ‘하나당으로의 비’와 구분되는 ‘측정으로의 비’를 식별하였다.

Table 1 . Students’ conceptions of ratio and students’ quantification of ratio associated with different levels of conceptions of ratio (Johnson, 2015, p. 68).

구분	내면화된 비	내재화된 비
비 개념	동등한 집합으로의 비 (Ratio as Identical Groups)	하나당으로의 비 (Ratio as Per-One)	측정으로의 비 (Ratio as Measure)
양 사이 관계로서 비의 양화 과정 설명	두 외연량(extensive quantity)의 결합(association)	외연량의 한 단위와 그에 대응하는 다른 외연량의 결합	조정(coordination) 그 자체가 하나의 내포량(intensive quantity)인 두 양의 조정
예시	물 5컵마다 초코 파우더 7봉지	물 한 컵마다 초코 파우더 1.4봉지	(초코 파우더나 물의 양에 상관없이) 초코 파우더 봉지 수는 물 컵의 양의 1.4배

정리해보면 문제 상황에서 주어진 두 양으로부터 비를 구성하여 반복과 나열 등의 덧셈적 비교를 통해 비를 양적 조작의 대상으로 삼아 특정한 (그 자체로의 동등한 집합인) 두 외연량이 결합된 비로 인식의 주체가 이미지화할 수있을 때 내면화된 비이다. 내재화된 비는 학생들이 주어진 과제에 대한 인지적 활동에서 한 양의 값이 변할 때 다른 한 양도 동시에 변할 수 있다는 이미지뿐만 아니라 두 양 사이에 일정한 비 관계가 존재하고 그 관계가 하나의 일정한 값으로써 인식의 주체에게 의미를 가지게 된다(Johnson, 2015; Thompson, 1994). 따라서 본 연구는 Thompson의 비 개념에 대한 개념적 분석과이를 바탕으로 한 Johnson의 비 개념에 대한 양화 과정에 초점을 두어 두 학생이 비 개념과 관련된 문제를 해결하는 과정에서 보여지는 양적 조작 방식을 살펴보고자 한다.

한편, 함수에 대한 연구에서 비율은 변화율과 유사한 의미로 사용되고 있다. Lobato & Ellis (2010)에서 변화율은 두 변수가 변하는 정도를곱셈적 관계로 인식하여 구성한 비 개념으로 보고, 비율로써 추론할 수 있는 학생은 변화율의 의미를 더 잘 이해할 수 있다고 보았다. 변화율에 대한 개념은 변화하는 두 양 사이의 곱셈적 관계를 이해하는 동시에 변화하는 양 사이의 관계를 형성하고 해석하는 것으로 중등 학생에게는 쉽지 않은 과정이며(예, Confrey & Smith, 1995; Ellis, 2007, 2011; Johnson, 2015), 학생들이 양 사이의 관계를 형성하고 해석하는 방식은 학생들의 비, 비율 개념이 정교화됨에 따라 중요한차이를 구성한다(Simon, 2006; Simon & Placa, 2012). 구체적으로 Park & Lee(2018)는 우리나라 초등학교 6학년부터 중학교 2학년까지의 수학 교과서와 미국의 CMP 교과서에서 다루어지는일차함수의 기울기를 변화율이라는 개념에서 분석하였으며, 이를 통해 일차함수의 기울기가 비개념에 대한 곱셈적 사고를 기반으로 하고 있음을 확인하였다. Lee, Kim, Ahn, & Shin(2016)은 고등학교 1학년 학생들을 대상으로 그들이 가지고 있는 비율 개념으로부터 함수의 변화를 변화율의 개념으로 인식하게 되고 이후 미분 학습에 대한 연구에 중요한 의미를 가질 수 있다고 보았다. 이에 본 연구에서도 비율을 변화율의 관점으로 보고 변화율이 일정한 상수는 아니지만, 변화율 자체가 일정한 비율로 변화하는 즉, 변화율의 변화율이 일정한 이차함수 문제 상황에 주목하고자 한다.

2. 이차함수의 ‘변화율의 일정한 변화’에 대한 이해

이차함수는 교육과정상 중학교 3학년에서 고등학교 1학년에 걸쳐서 다뤄지는 개념으로 중학교 3학년에서는 ‘이차함수와 그 그래프’ 단원을통해 이차함수와 관련된 다양한 상황을 접하면서 이차함수의 의미를 이해하고, y=ax²의 그래프를 그려보며 그 성질을 알아본다. 이후 고등학교 1학년에서는 대수적 추론을 강조하며 ‘방정식과 부등식’ 단원에서 이차함수의 그래프를 이용하여 이차방정식과 이차부등식 사이의 관계를 이해하는데 목표를 두고 있다(Ministry of Education, 2015). 그러므로 대수적 사고로의 전환 시기인 중학교 수학은 고등학교 수학에서의 대수적 추론에 중요한 기반을 제공하게 되며, 그과도기적 개념이 이차함수라 할 수 있다(Fonger et al., 2017; Lobato et al., 2012).

이차함수와 관련하여 학생들의 사고방식에 대한 선행연구들을 살펴보면 양적 추론을 바탕으로 ‘변화율의 일정한 변화’라는 이차함수의 변화관계에 대한 이해에 주목하고 있다(Ellis, 2011; Fonger et al., 2017; Lee et al., 2016; Lobato et al., 2012; Ma & Im, 2019). Fonger et al.(2017)은 학생들이 이차함수 y=ax²에 대해 무엇을 이해하는 것이 중요한지를 알기 위해 교수실험을 통하여 학생들의 사고로부터 5가지 개념 유형(clusters of concepts)을 제시하였다. 그리고 교수실험 과정에서 일정한 변화율을 갖는 일차함수와 비교하여 변화율의 차이가 일정하게 변화하는 상황에 대한 이미지는 직선이 아닌 곡선이라는 것으로부터 이차함수의 변화 관계에 대한 개념적 이해를 강조하였다. Ellis(2011)는 직사각형의 세로 대 가로 길이의 비가 일정할 때 세로 길이를 조정하여 면적의 변화율이 일정하게 변화하는 문제 상황으로 교수실험을 진행하였다. 이때 길이가 증가함에 따라 길이의 차이로부터 ‘면적의 차이(일차적 차이)’와 ‘면적의 차이의 차이(이차적 차이)’로의 덧셈적 비교를 통하여 한양의 기준 단위에 대한 다른 한 양의 값의 비를 강조하였다. 그리고 일차적 차이(함숫값의 차이)와 이차적 차이(함숫값의 차이에 대한 차이)에대한 암묵적인 이해 단계에서 ‘변화율’과 ‘변화율의 변화율’이라는 명시적 이해 단계로의 수업모델을 제시하였다. Lee et al.(2016), Ma & Im(2019)은 학생들의 변화율에 대한 인식에 초점을 두고, 이차함수의 변화율과 지수함수 혹은 일차함수를 각각 비교ㆍ분석하여 두 양의 변화에 주목한 공변적 관점(covariant perspective)에서의연관성을 보여주었다. 이러한 선행연구들에서 이차함수에 대한 학생들의 이해 과정 중 공통적으로 제시되는 상황은 일차함수의 선형적인 상황과 비교하여 ‘변화율의 변화율이 일정하다’는 양적인 이해가 강조되는 상황이다. 이차함수의 변화 관계에 대한 이해의 강조는 상황에 대한 이미지가 직선이 아닌 곡선이라는 그래프의 표현과 이해로 나아갈 수 있는 근거가 될 수 있다(Fonger et al., 2017; Ma & Im, 2019).

Lobato et al.(2012)에서도 이차함수의 변화 관계에 주목하여 8학년 학생들에게 이차함수를 가르치는데 주요 어려움으로 일정한 변화율, 순간적인 변화율 및 비율을 개념화하는 능력이라고 보았다. 따라서 이차함수에 대한 ‘변화율의 일정한 변화’라는 개념 학습 경로(conceptual learning trajectory)를 보다 세분화하여 두 가지 방식으로이차함수의 양적 이해 방식을 제시하였다.³⁾ 그과정에서 개념적 이해로의 진전을 이루는데 중추적인 역할을 하는 것으로 보이는 중추적 중간 개념(Pivotal Intermediate Conceptions, 이하 PIC)을 ‘거리, 시간, 속도, 속도 변화율, 그리고 가속도’로 개념화하여 PIC1부터 PIC5까지 제시하였다. 이때 세 번째 PIC3에서는 경과한 시간에 대한 경과한 거리로의 비인 중추적 중간 개념을 ‘속도’로 보고, 이차함수의 운동 상황에서 일차적 곱셈 관계(즉, 시간에 대한 위치 변화인 ‘속도’)에만 주목하여 해결하는 반면, 다섯 번째PIC5는 이차적 곱셈 관계(즉, 시간에 대한 속도변화인 ‘가속도’)에 주목하여 이차함수로의 중추적 중간 개념에서 두 양(시간과 거리, 혹은 시간과 속도)으로부터 새롭게 구성한 또 다른 양(속도, 혹은 가속도)에 대한 변화와 그 변화로부터의 곱셈적 관계로 비 개념을 형성하는 능력이 필요함을 강조하였다. 이 과정에서 이차함수에대한 양적인 이해 방식에 비, 비율에 대한 개념이 깊게 관여하고 있음을 보여주었다. 그러나 Lobato et al.(2012)에서는 이차함수에 대한 양적인 이해로부터 학생의 추론 과정에만 초점을 두어 식의 표현까지는 확장하지 못하였다. 본 연구는 이차함수 문제 상황에 대한 이해로부터 학생들이 미지의 양을 이해하고, 어떠한 양적 조작을통해 식을 표현하는지 확장하여 이차함수에 대한 학생의 비 개념에 대한 차이가 식의 표현에어떠한 영향을 주는지 구체적인 사례를 통해 살펴보고자 한다.

1. 연구 방법 개관

본 연구는 이차함수에 대한 학습 경험이 없는 중학교 2학년 학생 두 명을 대상으로 2019년 12월말부터 2020년 1월말까지 한 달간 매주 90∼100분씩 총 8차시(각 학생당 4차시)에 걸쳐 임상 면담(Clement, 2000)을 진행하였다. 본임상 면담의 목적은 비 개념에 대한 양적 조작 방식의 차이를 가진 두 학생의 이차함수 문제 상황에 대한 이해와 식의 표현 과정에서 보여지는 일관된 양적 조작 방식의 차이를 식별하는 것이었다. 따라서 학생의 사고를 세밀하게 관찰하기 위하여 본 고의 저자 중 한 명인 교사(면담자)와 학생이 일대일로 면담을 진행하였으며, 면담자는 미리 계획된 과제와 질문지로 면담을 진행하되 학생의 답변이 모호하다고 판단될 경우 학생의 생각을 더욱 면밀히 관찰하기 위해 질문지에 없는 질문을 하기도 하였다. 그리고 과제해결에 직접적인 도움을 주지 않는 범위 내에서 상호작용하였으며, 질문에 있어서 풀이 시간은두 학생의 차이를 고려하여 충분히 부여하였다.

2. 연구 대상 및 과제 소개

수학적 수준에 있어서 차이가 보이는 두 학생을 선정하기 위해 경기도에 소재한 한 중학교의 수학 담당교사의 도움을 받아 해당 학교 2학년 학생 중 1,2학기 성적⁴⁾을 고려하여 자발적으로 참여할 의사가 있는 학생들을 대상으로 학부모의 동의를 거쳐 다연과 영빈⁵⁾을 면담 참여자로 선정하였다. 이는 학년이 마무리되는 겨울 방학중에 면담이 진행되었다는 점을 고려해 볼 때 지속적으로 참여할 수 있는 연구 대상을 선정하는 것이 중요하다고 판단하였기 때문이다.

연구 대상으로 선정된 두 명의 학생은 모두 중학교에 입학하여 지금까지 한 번도 수학 과목과 관련된 사교육을 받아 본 경험이 없으며, 학교 정규수업을 통해서만 수학을 배웠다는 동일한 조건을 가지고 있었다. 그리고 두 학생 모두학교 정규교육과정에서 중학교 2학년의 ‘일차함수와 그래프’ 단원을 배운 상태로 선행학습을하지 않아 이차함수에 대한 개념을 배우기 이전이었다. 다연의 수학 교과 성적은 1학기말 성취도는 B, 2학기말 성취도는 A로 상위권의 학생이 었다. 면담 과정에서는 문제 상황에 대한 관찰력도 있고, 자신이 모르는 것을 정확하게 표현할줄 아는 학생으로 보였다. 반면, 다연과 다른 학급의 영빈은 모든 교과 성적이 전반적으로 낮았으며, 특히 수학 과목에 대한 성취도는 1,2학기모두 E였다. 그러나 면담 과정에서 다연보다 더적극적인 모습을 보였으며, 주어진 과제에 대한자기의 생각이나 느낌을 솔직하게 표현할 줄 아는 학생이었다.

면담 과제의 설계 방향은 대상 학생들이 가지고 있는 비 개념에 대한 지식과 이차함수의 변화율에 대한 이해 및 이를 식으로 표현하는 과정에서 대수적 지식이 잘 드러나도록 하는 과제를 선정하는 것이었다. 따라서 크게 세 가지 측면에서 과제를 설계하였는데, 두 학생의 비 개념을 확인하기 위한 과제 7개 문항, 이차함수 문제 상황에 대한 이해 과제 8개 문항, 그리고 이차함수를 이해하고 식으로 표현해 보는 과제 3개 문항으로 구성하였다. 우선 첫 번째 측면은두 학생의 비 개념을 확인하기 위해서 1차시에 사용된 과제로 Lobato & Ellis(2010)에 제시된 비개념과 관련 과제를 번역하여 총 7개 문항으로 진행하였다.⁷⁾ 진행된 면담 에피소드 중 Table 2와 같이 3개의 문항을 분석하였는데, 3개의 문항 중 [과제 R1]과 [과제 R2]는 비를 비교하는 문항으로 문제 상황은 비슷하나 수치적인 차이가 있다. [과제 R2]는 이전 과제와 비교해 볼 때 대분수의 복잡한 수치로 주어졌는데 이는 단순한 수치로부터의 곱셈적 관계에 대한 추측과 구별하기 위함이었다. 그리고 [과제 R3]는 부분-부분-전체 및 포함 문제로 문제 상황은 물과 레몬농축액이라는 부분과 레몬주스라는 전체의 비교를 통해 비 개념을 양화하여 레몬주스의 농도를 물과 레몬 농축액인 ‘부분과 부분’으로 비교할 것인지, 레몬 농축액과 레몬주스의 양인 ‘부분과전체’를 비교할 것인지 구분해 볼 수 있는 과제였다. 이때 영빈은 물과 레몬 농축액 각각의 양인 ‘부분-부분’에 주목하였고, 다연은 레몬주스 전체와 레몬 농축액의 양인 ‘부분-전체’에 주목하였다. 과제에서 이러한 두 학생의 초점에 대한 차이는 이후 두 양 사이의 양적 조작 방식의 차이를 드러내며, 서로 다른 비 개념으로의 양화에 대한 근거가 되었다. 영빈은 비 개념과 관련된문제 상황에서 주어진 두 외연량의 결합으로써 비 개념을 구성하였고, 자신이 구성한 비를 반복적으로 더해가는 양적 조작 방식을 보이며 ‘내면화된 비’로의 양화를 보여주었다. 다연은 같은문제 상황에서 두 외연량의 결합 사이의 곱셈적 관계에 주목하며, 두 외연량의 조정을 통해 하나의 내포량을 구성하여 ‘내재화된 비’로의 양화를 보여주었다. 두 학생의 비 개념과 관련된 상황에서 보여준 양적 조작 방식의 차이는 ‘Ⅳ장 결과분석’에서 자세히 논의하도록 한다.

Table 2 . 1st interview tasks for concept of ratio.

과제번호	과제 내용
3번 [과제 R1]	A의 심장박동은 8초에 15회 뛰고, B의 심장박동은 20초에 38회 뛴다. A와 B 중 누구의 심장이 빨리 뛰는가?
4번 [과제 R2]	마트에서 7온스 한 병에 3달러하는 파스타 소스와 $37\frac{1}{3}$온스에 16달러하는 파스타 소스가 있다. 어느 파스타 소스가 더 저렴한가? (단, 1온스는 약 30g, 1달러는 약 1, 000원을 의미한다.6))
6번 [과제 R3]	물 8컵, 레몬 농축액 4컵으로 만든 레몬주스와 물 10컵, 레몬 농축액 6컵으로 만든 레몬주스 중 어느 것이 더 진한가?

다음 두 번째와 세 번째 측면은 이차함수에 대한 이해와 식의 표현과 관련된 연구(예, Ellis, 2011; Fonger et al., 2017; Lobato et al., 2012) 등을 참고하여 과제를 구성하였고, Table 3과 같이2∼4차시 면담에 걸쳐서 진행되었다. 구체적으로 2차시는 시간이 지남에 따라 등가속도 운동하는 물체와 관련한 4개 문항 중 3개 문항([과제 Q1, Q2, Q3])을 분석의 대상으로 하였다. 시간에 따른 속도의 차이가 일정하게 증가하는 등가속도 운동 상황에서 1초, 2초 간격과 같이 시간 단위에 변화를 주어 ‘시간, 거리, 속도, 속도의 변화량, 가속도’라는 5가지 개념 요소를 문제상황에서 추론해 보고 양적으로 조작할 수 있는 과제이다. 3개의 문항 중 [과제 Q1]은 그림을 그려서 속도가 변화되는 상황을 자신이 그린 그림으로부터 이해할 수 있는지 확인하기 위한 과제였다면, [과제 Q2]는 이전 과제에서의 시간 간격을 2단위로 조정하여 단위 시간에 대한 거리 변화에 주목할 수 있는지를 확인해 볼 수 있는 과제이다. [과제 Q3]는 시간에 따라 비행기가 어떻게 움직이는지를 통해 가속도에 대한 이해 정도를 확인할 수 있었다.

Table 3 . 2nd~4th interview tasks on quadratic functions.

차시	과제번호	과제 내용
2	1번 [과제 Q1]	철수는 절벽 위에서 공을 떨어트렸다. 그 공은 ‘1초 후 2m, 2초 후 총 8m, 3초 후 총 18m, 4초 후 총 32m’와 같이 아래로 떨어지고 있다. 이때 공의 움직임을 그래프가 아닌 아래 주어진 절벽에 그림으로 그려보아라. 5초 후에는 공이 절벽으로부터 몇 m 아래 있을까?
	2번 [과제 Q2]	표는 원격제어 자동차가 시간대에 따른 총 움직인 거리를 보여준다. 14초 후에는 얼마나 멀리 움직이겠는가? 자동차가 어떻게 움직이는가?
	3번 [과제 Q3]	표는 원격제어 비행기가 시간에 따라 땅으로부터의 비행기 높이를 보여준다. 비행기가 시간에 따라 어떻게 움직이는가?
3	2번 [과제 Q4]	(2 × 4) 직사각형이 그림과 같이 가로와 세로의 비율을 일정하게 유지하면서 증가할 때 직사각형들의 면적은 얼마나 증가하는가?
4	3번	가로와 세로의 길이의 비가 2 : 5로 일정하게 유지되는 닮음인 직사각형에서 면적의 증가는 어떻게 변하고 있는가? 또 길이 변화에 대한 면적의 증가 상황을 식으로 나타내시오.

3차시는 2차시와 다른 이차함수 문제 상황으로 가로와 세로의 길이 비가 일정하게 유지되면서 길이의 증가에 따라 면적이 증가하는 직사각형 면적과 관련된 과제이다. ‘길이, 면적, 차이, 증가율’이라는 4가지 개념 요소를 문제 상황에서 추론해 보고 양적으로 조작할 수 있는 과제를 제시하였으며, 4개 문항 중 1개의 문항([과제Q4])을 분석의 대상으로 하였다. 가로의 길이가2,4,6과 같이 2씩 증가함에 따라 세로의 길이도 일정한 비를 유지하면서 면적이 단계별로 증가하는 그림이 학생들에게 제시되었다. 그리고학생이 가로의 길이가 2,3,4와 같이 1씩 증가할 때와 2,5,8과 같이 3씩 증가할 때의 차이를 분별할 수 있는지 등의 추가 질문을 통해 직사각형의 면적과 관련된 이차함수 상황에서의 추론 과정을 분석하였다.⁹⁾

마지막으로 4차시는 3차시 면담 과제인 직사각형의 면적과 관련된 이차함수 문제 상황의 연장선에서 이차함수에 대한 양적 추론 과정은 물론 식의 표현까지 살펴보고자 3개 문항을 제시하였다. 다만, 3차시는 면적의 증가와 관련된 이차함수 문제 상황에서의 양적인 이해에 초점을 두었다면 4차시는 이차함수의 양적 문제 상황에 대한 이해와 이를 통해 식을 표현해 가는 과정에 초점을 두었다. 따라서 3차시와 4차시는 제시된 면담 과제에서 직사각형의 가로와 세로의 비가 일정하다는 조건은 동일하지만, 두 가지 측면에서 차이가 존재한다. 우선 Table 3의 3차시문항 예시와 비교해 볼 때 4차시는 3차시와 달리 별도의 그림이 주어지지 않았다는 점이다. 이는 학생들이 필요에 따라서 그림을 직접 그려보고 표를 구성해 봄으로써 문제해결 과정을 스스로 설명할 수 있는지 보기 위함이었다. 다음으로 학생들은 가로와 세로의 길이에 대한 수치를 알 수 없는 상황에서 미지의 양을 생각함으로부터 가로와 세로의 일정한 비 관계에 주목하여 식으로 표현할 수 있는지를 보기 위함이었다. 이 두가지 측면으로부터 총 3개의 면담 에피소드 가운데 식을 표현하는 과정에서 두 학생의 설명 간에 뚜렷한 차이가 보이는 1개 문항을 결과 분석으로 활용하였다.

3. 자료 수집 및 분석 방법

면담은 각 학생과 면담자가 같은 방향에서 나란히 앉아 진행되었으며, 모든 과정은 두 대의카메라로 녹화되었다. 카메라 한 대는 학생의 표정과 행동 등을 관찰하기 위해 학생과 면담자의 맞은편에서 정면으로 전체 장면을 촬영하였고, 다른 한 대는 학생의 문제해결 과정을 담기 위해 활동지를 촬영하였다. 면담 동안에는 자료 수집과 분석이 동시에 이루어졌으며, 매 차시별로촬영된 영상과 면담 내용에 대한 전사 자료, 촬영된 면담 영상 속 학생의 특징을 기록한 관찰일지, 그리고 학생이 작성한 활동지 등을 종합적으로 활용하여 회고 분석을 실시하였고, 이를 통해 연구 문제에 부합하는 결과를 도출하고자 하였다. 임상 면담은 반복적 비교분석법을 사용하여 분석하였는데, 일차적으로 개방 코딩을 위해Thompson(1994)의 비 개념에 대한 개념적 분석을 바탕으로 매 차시 별로 전사 자료 및 학생이 작성한 활동지에서 유의미한 결과를 이끄는데 필요한 부분을 분류하였다. 그리고 Johnson(2015)의 비 개념에 대한 양적 조작의 근거를 활용하여 비 개념에 대한 양화 과정을 식별하기 위해 반복적으로 비교 분석하였다.

1차시 면담자료는 두 학생에게 보여지는 비 개념에 대한 양적 조작 방식의 차이를 식별하는데 주안점을 두었다면, 2,3차시 면담자료는 두학생의 이차함수 문제해결 과정에서 보여지는 양적 조작 방식의 일관된 차이를 확인하는데 주안점을 두었다. 4차시는 3차시와 이차함수 문제상황이 유사하지만, 3차시에 제시된 과제는 가로와 세로의 길이 비가 일정하게 유지되는 단계별 그림이 주었다면, 4차시에는 ‘닮음’이라는 표현으로 문제 상황이 기술되었고, 별도의 그림은주어지지 않았다. 따라서 4차시에 학생들은 필요에 따라 학생 자신이 그린 그림과 표에 기초하여 양적인 문제 상황에서 양과 양 사이의 관계를 식으로 표현해 볼 수 있도록 하였다. 그리고 4차시 면담자료로부터 2,3차시에 보여주었던 두 학생의 식별되는 양적 조작 방식을 확인하여 식의 표현에 이르는 결과적 차이와의 연관성을 살펴보고자 하였다. 이를 통해 이차함수를배우기 이전인 중학교 2학년 학생들을 대상으로 비 개념에 대한 이해로부터 이차함수 문제 상황에서 보여지는 추론 과정을 식별하고 두 양 사이의 양적 관계로 식 y=ax²을 표현할 수 있는지 함께 기술하고자 한다.

1. 두 학생의 비 개념에 대한 양화 과정

두 학생의 비 개념은 양화 과정에서 그 차이를 식별할 수 있었다. 두 학생 모두 주어진 두외연량의 결합으로 비를 구성하였으나, 영빈은자신이 구성한 비를 반복적으로 더해가며 덧셈적 비교라는 양적 조작을 보여주었다. 한편, 다연은 자신이 구성한 비로부터 일정한 곱셈적 관계가 유지된다는 것을 인식하였고, 두 외연량 사이의 값을 조정하여 구성한 내포량으로 문제 상황을 비교하는 양적 조작을 보여주었다. 두 학생의 양화 과정에서 보여준 양적 조작 방식의 차이는 다음과 같이 구체적 사례로부터 확인해 볼 수 있다.

가. 덧셈적 비교라는 양적 조작으로 두 외연량의 결합된 비를 양화한 영빈

[과제 R1]에서 영빈은 문제에서 주어진 특정한두 양 사이의 곱셈적 비교로 비를 구성하였고, 비를 반복적으로 더해가며 나열된 비들의 집합으로부터 두 외연량의 결합으로 비를 인식하였다. 구체적으로 심장이 8초에 15회 뛰는 A와20초에 38회 뛰는 B에 대한 영빈과의 대화이다.

영빈: (활동지에 ‘8:20=15:38’라고 쓰며) 내항의 곱과 외항의 곱이... 어! 다르네? 이런 식으로풀면 안 되는데 (활동지에 ‘8:20=15:38’을 지운다.) $\frac{15}{8}$? 음... (잠시 고민한다.) 16초에 30, 24초에 45, 32초에 60, 40초에 75. 그리고 이건 (20초에 38을 가리키며) 40초에 76이요. B가 빨라요.

면담자: 아까 1$\frac{5}{2}$이라고 썼는데, 이건 왜 썼어?

영빈: 8초에 15번 뛰니까요.

면담자: 그래서? 1$\frac{5}{2}$라고 했잖아?

영빈: 음...

면담자: 그럼 1초엔 어때?

영빈: 1초에 15번? 아니다. 8초에 15번인데... (한참 고민하다가 답을 하지 못한다.)

영빈은 심장이 8초에 15회 뛰는 문제 상황을 이해하기 위해 처음에는 16초에 30회, 24초에45회와 같이 8:15라는 비를 구성하여 반복적으로 더해가는 모습을 보였다. 시간과 심장박동 수로 두 양을 인식하고, 두 양으로부터 구성된 비를 더해가며 덧셈적 비교라는 양적 조작 방식을 보여주었다. 이를 통해 40초라는 동일한 시간에서 A는 심장이 75번 뛰고, B는 76번 뛰는 것으로 심장박동 수의 빠르기를 비교한 것으로 보인다. 그러나 이 과정에서 영빈은 시간과 심장박동수 각각에 대한 외연량의 결합으로 비교하였을 뿐, 시간이라는 한 단위와 그에 대응하여 심장박동 수로의 양화는 보이지 않았다. 물론 8초에 15회 심장이 뛰는 것을 $\frac{15}{8}$라고 표현하였으나, 영빈이 단위 시간에 대응하는 심장박동 수에 주목하였다면 20초에 38회 뛰는 심장박동 수에 대해서도 $\frac{38}{20}$(혹은 $\frac{19}{10}$)과 같이 표현하였을 것이다. 그러나 $\frac{38}{20}$이라는 양은 영빈의 문제해결 과정에 드러나지 않았으며, $\frac{15}{8}$에 대한 의미를 면담자가 다시 질문했을 때에도 “8초에 15번”만을 반복해서 말하였다. 결국 1초당 심장박동 수로 $\frac{15}{8}$를 양화하지 않고, 40초라는 동일한 시간 단위 안에서의 심장박동 수와 비교하였다.

[과제 R2]는 ‘소스 $37\frac{1}{3}$온스에 대한 16달러’와 ‘소스 35온스에 15달러’를 비교하는 문제로 복잡한 대분수가 제시되었다. 이때 영빈은 [과제R1]과 같이 자연수 배수 관계를 통해 한 양을 기준으로 비교할 수 없음을 알고, ‘소스의 양’과 ‘가격’을 곱하고 나누는 등 곱셈적 관계에 주목하는 모습을 보였으나, 15달러는 35온스로 나누고, $37\frac{1}{3}$은 가분수인 $\frac{112}{3}$로 바꾸어 16을 곱할지 $\frac{1}{16}$을 곱할지 고민하다가 결국 $\frac{112}{3}$온스에 16달러를 나누었다. 영빈은 덧셈적 비교로의 양적 조작이 쉽지 않았던 [과제 R2]에서도 [과제R1]과 같이 한 단위와 그에 대응하는 다른 한양에 대한 결합으로의 양화는 보여주지 않았으며, 결과적으로는 두 소스가 같은 가격이라는 사실에 이르지 못하였다.

비를 덧셈적으로 비교하는 양적 조작을 통해 두 외연량의 결합으로만 일관성 있게 양화하는 영빈의 모습은 물 8컵과 레몬 농축액 4컵의 레몬주스, 그리고 물 10컵과 레몬 농축액 6컵의 레몬주스인 두 레몬주스의 진하기를 비교하는 [과제 R3]에서도 확인해 볼 수 있다.

[과제 R3]에서 영빈은 자신이 구성한 비를 반복적으로 더한 것인지, 아니면 외연량의 한 단위와 그에 대응하는 다른 외연량의 단위에 대한 결합으로 인식한 것인지를 보기 위해 영빈에게 면담자는 그림을 그려서 설명해 줄 것을 요구하였다. 이 과정에서 영빈은 8:4를 2:1로, 10:6을 5:3으로 하여 Figure 2와 같이 나타내었다. 처음에는 Figure 2의 ○표시와 같이 등호 왼쪽에물 2컵, 오른쪽에 레몬 농축액 1컵을 그리며, “두 양이 같아요.”라고 하였다. 물 2컵과 레몬농축액 1컵을 ‘동등한 집합’으로 이해하고 있음을 보여주는 부분이기도 하다. 이어서 ○표시 아래에 물 5컵을 그리고, 물 5컵에 대한 레몬 농축액 3컵을 등호 오른쪽에 그렸다. “물 5컵이면, 두 번 더하고 절반으로 나누어 1컵이니까 레몬 농축액은 2.5컵이에요.”라며, ○표시 위에 5컵에대한 레몬 농축액 2.5컵을 마저 그렸다. 영빈의 그림에 대한 설명 과정을 구체적으로 살펴보면 Figure 2의 ○표시를 2:1인 비로 인식하고, 물5컵이 되기 위해 물 2컵을 두 번 반복하며 나머지 1컵을 더 그렸다. 이때 영빈은 시간 차이를두고 나머지 1컵을 그렸는데, 이는 반복적으로 더해가는 덧셈적 비교로의 조작적 근거로 해석해 볼 수 있다. 정리해보면 영빈은 각각의 과제로부터 자신이 구성한 비를 덧셈적으로 비교하며 [과제 R1]에서는 ‘시간’이라는 양이 40초가될 때까지, [과제 R3]에서는 ‘물’이라는 양이 5컵으로 동일한 값이 될 때까지 반복적으로 더해나가는 양적 조작 방식을 보여주었다.

Figure 2. Youngbin's picture of [Task R3]

나. 두 외연량 사이의 곱셈적 관계로부터 내포량을 구성한 다연

자신이 구성한 비를 덧셈적 비교로 양적 조작하였던 영빈과 달리, 다연은 [과제 R1], [과제R2]에서 두 외연량 사이에서 한 양에 특정한 수를 곱하거나 나눌 때 동시에 다른 양도 그 수로 곱하거나 나누어도 곱셈적 관계가 일정하다는 것에 주목하는 모습을 보였다. 그리고 [과제 R3]에서는 영빈이 주목하지 않았던 두 외연량의 조정 그 자체인 내포량을 구성하였다.

다음은 다연의 [과제 R2]에 대한 문제해결 과정이다.

다연: 3달러와 16달러의 갭이 크니까 최대한 3달러를 16달러와 비슷하게 만들어주면, 3달러씩 더해서 15달러를 만들면 되나? 그러면 35온스가 15달러이고, $37\frac{1}{3}$온스는 16달러... 비교하면...아! 3달러와 16달러의 최소공배수인 48달러를 기준으로 7온스를 A, $37\frac{1}{3}$온스를 B라 두면 A는 48달러에 112온스이고, (잠시 계산을 멈춘다.) B의 경우를 구하는것은 좀 애매한 거 같아요... (잠시 뒤에 $37\frac{1}{3}$을 $\frac{112}{3}$라고 쓰고, $\frac{112}{3}$에 3을 곱하여) B도 112온스에요. 두 소스가 같아요.

처음에는 두 소스의 양과 금액의 차이에 초점을 두어 ‘7온스:3달러’를 반복적으로 더하며, ‘$37\frac{1}{3}$온스:16달러’와 비슷한 크기의 비를 만들어 비교하였다. 그러나 다연이 비를 반복적으로 더해가는 과정은 비를 덧셈적으로 비교했던 영빈과는 구별된다. 영빈은 문제를 해결하기 위해비를 반복적으로 더하며 비교했다면, 다연은 “갭이 크니까”, “비슷하게 만들어주면” 등의 표현에서 알 수 있듯이 주어진 과제의 수치가 [과제R1]에 비해 복잡하여 초기 문제 상황을 이해하기 위함으로 해석된다. 이후 문제해결 과정을 보면 ‘소스의 양’과 ‘가격’이라는 주어진 양의 결합으로 비를 구성하였고, ‘7온스:3달러’와 ‘$37\frac{1}{3}$온스:16달러’에서 ‘48달러당’ 각 소스의 양을 비교하였다. 이는 앞서 [과제 R1]에서 40초에 심장박동 수가 75번 뛰고, 76번 뛰는 것으로 심장의 빠르기를 비교하였던 영빈의 문제해결 과정과도 유사해 보인다. 그러나 연속적으로 비를 더해가며 덧셈적 비교로의 양적 조작을 보였던 영빈과는 달리, 다연은 48달러에 대한 각 소스의 양사이의 관계를 곱셈적으로 접근하여 “48달러에 112온스”라고 답하였다. 주어진 양이 간단한 자연수가 아닌 복잡한 대분수임에도 양적 조작 방식에서 한 양에 특정한 수를 곱하거나 나눌 때 동시에 다른 양에도 그 수로 곱하거나 나누어도 일정한 비가 유지된다는 곱셈적 관계로 문제를 해결하였다. 다연은 ‘7온스:3달러’의 비를 덧셈적 비교에 의한 나열된 집합으로 구성하지 않아도 ‘112온스:48달러’와 같은 동치인 비를 만들어 낼 수 있는 것으로 판단된다.

한편, [과제 R3]에서는 영빈과 같이 물 8컵과레몬 농축액 4컵의 비를 2:1로 보고, 물 10컵과 레몬 농축액 6컵을 5:3이라는 비를 세워서 5:3의 비로 섞은 레몬주스가 더 진하다고 답하였다. 그러나 답에 이르기 위해 다연이 보여준비의 양화 과정은 영빈과 구별되는데, 다음은 다연의 [과제 R3]에 대한 면담자와의 대화이다.

다연: 그럼 농도를 구하면 될 것 같은데요? 8컵의 물과 4컵의 농축액은 $\frac{1}{2}$이에요.

면담자: $\frac{1}{2}$?

다연: 아니다! ($\frac{\text{레몬 농축액의 양}}{\text{물}+\text{레몬 농축액의 양}}$을 활동지에 적으며) $\frac{4}{12}$이니까 $\frac{1}{3}$이에요. 그리고 10컵의 물과 6컵의 농축액은 $\frac{3}{8}$이에요.

면담자: 그 값으로부터 얼마나 더 진한지 알 수 있어?

다연: $\frac{1}{3}$보다는 $\frac{3}{8}$이 더 크니까 이쪽이 (10컵의 물과 6컵의 농축액을 가리키며) 더 큰 데... (잠시 고민하다가 $x\times \frac{1}{3}=\frac{3}{8}$라고 활동지에 적으며) $\frac{3}{8}$에 $\frac{1}{3}$의 역수인 3을 곱해서 $\frac{9}{8}$배 진해요.

다연은 “$\frac{\text{레몬 농축액의 양}}{\text{물}+\text{레몬 농축액의 양}}$”이라는 관계식을 활동지에 적으며, 5:3의 비로 섞은 레몬주스가 왜 더 진한지에 대해 전체와 부분의 비교로 [과제 R3]을 이해하였다. 즉, 2:1의 비로 섞은 레몬주스는 전체 12컵에 대한 레몬 농축액 4컵으로 $\frac{1}{3}$이라는, 또 5:3의 비로 섞은 레몬주스는 $\frac{3}{8}$이라는 각각 하나의 내포량을 구성하였다. 이후로 “그 값으로부터 얼마나 더 진한지 알 수 있어?”라는 질문에 “$\frac{9}{8}$배 진해요.”라고 답하였다. 레몬주스는 다연에게 더 이상 특정한 레몬농축액과 물의 양에 대한 레몬주스가 아니며, 전체와 부분의 비교를 통해 조정된 하나의 내포량으로써의 대상으로 보여진다.

2. 두 학생의 이차함수 문제 상황에 대한 양적 조작 방식과 식의 표현

가. 두 학생의 이차함수 문제 상황에 대한 양적 조작 방식의 차이

(1) 속도가 일정하게 증가하는 등가속도 문제

영빈과 다연은 모두 [과제 Q1]에서 공의 움직임을 나타낼 때 Figure 3과 같이 동시에 ‘시간’과시간에 대한 ‘위치(거리)’를 그림에 표현하며, 떨어지는 공의 움직임을 거리와 시간에 대한 양으로 이해하였다. 이때 ‘거리’라는 양을 이해하는

Figure 3. Drawings for [Task Q1] by Youngbin(left) and Dayeon(right)

영빈은 ‘거리’라는 양을 ‘0에서 1초, 0에서 2초, 0에서 3초’와 같이 ‘누적된 이동 거리’로 이해한 반면, 다연은 ‘거리’라는 양을 ‘0에서 1초, 1에서 2초, 2에서 3초’와 같이 1초 간격에 따른 ‘경과된 이동 거리’로 이해하였다. 이러한 차이는 두 학생 간의 속도에 대한 개념적 이해로부터 등가속도 운동 상황을 이해하는 정도의 차이를 보여준다. 영빈은 떨어지는 공의 움직임에서 속도에 영향을 주는 시간과 거리를 동시에 인식하고 있었지만, 시간이 지남에 따라 빨라지는 속도에 대해서 ‘$\text{속도}=\frac{\text{거리}}{\text{시간}}$’라는 알고리즘을 이용하여 계산하였다.¹⁰⁾ 그리고 자신이 그린 그림으로부터 빨라지는 속도의 수치적 표현을 “1초에 2m이므로 $\frac{2}{1}$니까 2”라고 하였다. 이때 속도의 단위는 기억나지 않는다면서 2라고만 하였는데, 문제 상황에서 2가 의미하는 것이 무엇인지 다시 물었을 때에는 ‘거-속-시’ 알고리즘만을반복해서 말하였다. 다음은 이후 이어지는 면담자와의 대화이다.

영빈: 아~ 맞다! 기억나요. 2m/s에요. m/s라고 배웠던 거 같아요.

면담자: 그러면 여기 (Figure 3 영빈의 그림에서 1초와 2초 사이를 가리키며) 속도가 얼마일까?

영빈: 2초는 4m/s에요.

면담자: 그래? 0에서 1초에서 속도가 2m/s라고 했잖아? 그럼 4m/s가 의미하는 것은 뭘까?

영빈: 0에서 2초까지의 속도요....어! 속도가 변했네? 음... (잠시 동안 고민한다.) 그러면 3초일 때 속도를 구하고 다시 얘기하면 안돼요? 거-속-시에서 음.. 속도는 $\frac{18}{3}$이니까 3초일 때는 6m/s인데... 음.....2,4,6...

면담자: 그러면 2초에서 3초 사이에 움직인 거리가 10m이니까 2초에서 3초 사이의 속도를 10m/s로 계산한 친구가 있다면 이 친구의 생각은 어떤 것 같아?

영빈: 음... 맞아요. 그렇게 계산한 것도 틀리지 않아요.

면담자: 맞아? 그럼 네가 아까 말한 2초에 4m/s, 3초에 6m/s라고 한 것은?

영빈: 이것도 속도를 구한 게 맞는데요? 면담자: 차이가 뭘까?

영빈: 이상하다? 왜 다르지? 음... 모르겠어요.

이어지는 대화에서 영빈은 ‘m/s’라고 속도 단위를 표현하고 있지만, 이전에 배웠던 기억에 의존한 결과로 보이며, ‘거리’라는 한 양을 다른단위인 ‘시간’으로 측정하는 속도 단위에 대한양적 의미는 이해하지 못하는 것으로 보인다. 이러한 근거로는 1초에 2m/s, 2초에 4m/s, 3초에 6m/s라고 하였으나, ‘1초’에 1m/s와 ‘0에서 1초 사이’에 1m/s라는 표현의 차이를 구별하지 못하였다. 따라서 2에서 3초 사이에 10m 움직였으므로 2에서 3초 사이의 속도가 10m/s라는 결과에 대하여 “그렇게 계산한 것도 틀리지 않아요.”라고 하였으나, 그 차이가 무엇인지는 설명하지 못하였다. 따라서 속도를 ‘단위 시간당 경과한 거리’라는 양적 의미로 이해하지 못한 상태에서 누적된 총 시간으로부터 ‘거-속-시’ 알고리즘에 의해 계산한 결과로 보인다. 속도를 단순히 수치적으로만 계산하고, 속도 단위m/s가 가지는 양적 의미를 이해하지 못한 것으로 앞서 비 개념 과제 중에서 8초에 15회 뛰는 심장박동 수에 대하여 $\frac{15}{8}$라고 수치적 계산은 할 수 있었으나, $\frac{15}{8}$ 그 값 자체에 대한 양적 의미는 주목하지 않으며 “8초에 15회”로만 답하였던 모습과도 유사해 보인다.

영빈은 [과제 Q2]에서도 [과제 Q1]과 같이 누적 시간에 따른 총 이동 거리로 평균속도를 구하였고, 평균속도의 증가로 원격제어 자동차가빨라지고 있는 운동 상태임을 확인하였다. 특히, 14초 후에 자동차의 총 이동 거리를 물어 보았을 때 2초, 4초, 6초, 8초의 시간과 그에 따른이동 거리 사이에서 Figure 4의 ○표시와 같이 적당한 상수를 곱하였다. 그리고 곱해지는 수들이 1,2,3,4와 같이 하나씩 커진다는 규칙을찾아내어 14초일 때는 7을 곱하여 98m가 된다고 하였다. 이후 자신이 곱해 나갔던 적당한 상수가 ‘거-속-시’ 알고리즘에 의해서 속도가 된다는 것을 인식하고, 속도가 1씩 증가한다고 답하였다. Figure 4만 본다면 영빈이 시간과 거리라는 두 양 사이에서 곱셈적 관계에 주목한 것으로 볼 수 있지만, 영빈의 비 개념에 대한 문제해결 과정으로부터 [과제 Q2]에 대한 설명은 앞서비를 반복적으로 더해가며 자연수 배수 관계를 구성했던 모습의 연장선에서 자연수 배수 관계로의 덧셈적 비교로도 해석해 볼 수 있다.

Figure 4. Example of Youngbin's linear multiplication comparison

결국, 영빈은 ‘떨어지는 공’과 ‘원격제어 자동차’처럼 속도가 일정하게 증가하는 이차함수 운동 상황에서 누적 거리와 누적 시간에 주목하며 알고리즘에 의한 수치적 조작으로 속도를 계산하였고, 자신이 구성한 속도들의 집합이 평균속도라는 것을 인식하지 못하였다. 따라서 [과제Q3]에서 면담자가 단위 시간 간격에 따른 속도에 주목할 수 있는지 확인하기 위해 “1초에서 2초 사이에는?”, “그때 비행기의 움직임은 얼마나빠른데?”와 같은 추가 질문을 하였고, 다음은 이후에 이루어진 [과제 Q3]에 대한 영빈과 면담자의 대화이다.

영빈: 음... 1초일 때 속도는 똑같이 3m/s이고, 2초는 9m/s, 3초는 15m/s, 4초는 21m/s에요.

면담자: 속도가 어떻게 되는 거 같아?

영빈: 빨라지고 있어요.

면담자: 얼마씩 빨라지고 있니?

영빈: 6씩 빨라지고 있어요.

면담자: 그러면 속도가 빨라지는 지금까지의 상황을 그림으로 나타낼 수 있겠니?

영빈: (Figure 5와 같이 수직선에 일정한 간격을 표시하고, 표시된 부분 아래 6을 적는다.)

Figure 5. Youngbin's drawing of a difference in speed as the difference in distance

면담자: 6이라고 표시했는데, 여기는(Figure 5의 수직선을 가리키며) 무엇을 나타내는 거야?

영빈: 거리요. 이렇게 일정하게 6씩 증가해요.

면담자: 6씩 뭐가 증가해?

영빈: 음... 증가하기는 하는데... 모르겠어요. 뭐지? 거리겠죠? 가로는 거리니까요. (수직선 아래 왼쪽에서 오른쪽으로 화살표를 표시하며) 이렇게 아무튼 6씩 증가해요.

여전히 단위 시간 간격에서 물체의 운동 상황을 이해하지 못하였으며, 1초, 2초, 3초와 같은이산적인 시간에 대한 속도로 표현하였다. 속도가 시간에 따라서 어떻게 되는지, 또 어느 정도빨라지고 있는지 물어보자 “6씩 빨라지고 있어요.”라고 답하였다. 이때 6이라는 ‘속도의 차이’ 를 어떻게 이해하는지 다시 확인하기 위하여 그림을 그려볼 것을 요구하였고, Figure 5에서처럼수직선을 이용하여 0에서 시작해서 6만큼씩 수직선에 표시하며 “6씩 증가해요.”라고 답하였다.처음에는 시간에 따른 속도를 계산한 뒤에 속도가 빨라진다고 하였으나, 자신이 그린 그림을 설명하는 과정에서는 6을 가리켜 ‘거리의 차이’라고 하였다. 따라서 영빈은 ‘속도의 차이’로부터 ‘속도의 변화율’에는 주목하지 못하였는데, 시간과 속도 변화라는 두 양에 대하여 단위 시간과그에 대응하는 속도 변화량(속도의 차이)을 결합하지 못하며 ‘거리의 차이’로만 설명하는 모습에서 한 단위와 그에 대응하는 다른 외연량의 결합된 비를 보여주지 않았던 비 개념에서 보여준양적 조작 방식과의 유사성을 찾아볼 수 있다.

반면, 다연은 속도 단위를 구성하는 과정에서의 양적 조작 방식과 속도 변화에 대한 이해 측면에서 영빈과 뚜렷한 차이를 보였다. 다음은 앞서 제시된 Figure 3에서 떨어지는 공의 움직임을 그린 후 다연이 자신의 그림을 설명하는 과정 중의 대화이다.

면담자: 그림에서 속도가 느껴지니?

다연: 네. 느껴져요. 빨라지고 있어요.

면담자: 그러면 5초 후에는 어디에 있을까?

다연: 떨어지는 데는 규칙이 없는 거 같죠?

면담자: 규칙이라면 어떤 규칙을 말하는데?

다연: 일정하게 움직이는.... 어! 아니네. 빨라지고 있는데... 얼마씩 늘어나는지 안보여요. (잠시고민한 뒤에) 아! 속도가 4씩 늘어나고 있어요. 그러면 5초 후에 50m가 될 것 같아요.

면담자: 속도가 4씩?

다연: 네. 4m/s요.

면담자: 그럼 속도는 어떻게 구했어?

다연: 시간 분의 거리로요.

면담자: 왜? 시간으로 거리를 나눈 거야?

다연: 초당 움직인 거리를 속도라고 하니까요.

단순히 ‘거-속-시’ 알고리즘으로 시간을 거리로 나누었던 영빈과 다르게 “초당”이라는 표현속에서 다연은 속도를 시간이라는 한 양에 대한 거리의 비로 이해하고 있음을 보여주었다. 속도단위도 ‘m/s’로 정확하게 표현하였으며, 속도단위에 대한 이해로부터 속도 변화에 주목하여 5초 후에는 50m에 이를 수 있다고 하였다.

이후로 시간 간격을 2로 조정한 [과제 Q2]에서 원격제어 자동차의 움직임에 대한 다연과의 대화 일부이다.

다연: 어?.. 이상하다. (볼을 손으로 만지며 웃는다.) 기준으로 잡은 시간당 움직인 거리를 속도라고 하니까... (말끝을 흐린다.) 6m/s요. 아까 1번 문제([과제 Q1]을 가리키며) 아! 이거 거리가 속도였네...

(…)

면담자: 그럼 이 문제에서 8초일 때의 속도를 구할 때 32를 8로 나누는 결과에 대해서 어떻게 생각하니?

다연: 0에서 8초까지 4m/s의 동일한 속도로 움직이는 상황이에요. 그런데 이 문제는 그렇게 계산하면 안 될 거 같은데... 6초에서 8초사이에 14m움직였으니까 6에서 8초 사이의 속도는 7m/s에요.

면담자: 지금 문제에서 자동차는 속도가 어때?

다연: 속도가 증가하니까 각각을 구간으로 나누어 속도를 따로 구해야 할 것 같아요.

다연은 처음에 영빈처럼 누적된 시간을 이용해서 평균속도를 구하였으나, 이내 “이상하다.” 라고 한 뒤, 앞서 ‘떨어지는 공’에서 경과 시간에 대한 단위가 1인 경우 그 시간 동안의 움직인 거리가 물체의 속도였다는 사실에 주목하였다. 따라서 원격제어 자동차의 경과 시간을 ‘0에서 2초, 2에서 4초, 4에서 6초, 6에서 8초’라는시간 간격에 초점을 두어 경과 시간에 대한 움직인 거리를 통해 각 시간대별 속도를 구하였다. 즉, [과제 Q1]과 [과제 Q2]의 측정한 시간에 대한 단위가 1초 간격과 2초 간격으로 다르지만, 두 과제에서 주어진 이동한 거리가 같음으로부터 ‘경과 시간’에 주목하며, 시간의 차이로부터물체의 운동 상황을 인식하는 것으로 보인다.

정리해보면, 다연은 [과제 Q1]과 [과제 Q2]에서 1단위, 2단위에 대한 단위 시간의 차이를 식별하였고, 이로부터 단위 시간에 대한 속도 변화량, 즉 속도 변화율에 주목하며, Figure 6과 같이이차함수 문제 상황에서 가속도를 단위 시간에 대한 ‘속도의 차이’로 보았다.

Figure 6. Dayeon’s drawing showing her understanding of acceleration as the difference in speed by unit time

이는 평균속도의 차이를 계산하고도 단위 시간과 그에 대응하는 속도 변화량(속도의 차이)을 결합하지 못하며 ‘거리의 차이’라고 설명했던 영빈과 구별되는 부분이다. 다연은 단위 시간에 대한속도 변화량이 일정하게 증가하는 상황에서 경과한 시간과 거리로 속도 단위를 구성하였고, 더 나아가 경과한 시간과 속도의 차이에 주목한 것으로 보인다.

다연은 [과제 Q3]에서도 같은 방법으로 경과한시간으로부터 속도를 구성하였으며, 문제 상황에 대한 그림을 Figure 7과 같이 나타내었다. ‘1초, 2초, 3초’와 같이 표현했던 영빈과는 달리 다연은 ‘0에서 1초, 1에서 2초, 2에서 3초’와 같이 ‘경과한 거리’를 1초라는 시간 간격으로 나타내며, 각각의 속도를 시간 간격 사이에 존재하는 양으로 표현하였다.¹¹⁾ 다음은 다연이 Figure 7을 그린 이후 면담자와의 대화이다.

Figure 7. Dayeon’s drawing showing her construction of speed from elapsed time

다연: 제가 보니까 이게 (속도 3ft/s, 9ft/s, 15ft/s, 21 ft/s, 27ft/s를 가리키며) 3의 배수인데, 3×1, 3×3,3×5,3×7,3×9로 3에 홀수로 일정하게 증가하는 값을 곱해서 나온 거 같아요.

면담자: 그럼 얼마만큼 빨라지는 것 같아?

다연: 6씩 빨라져요. 빠르기는 6씩 빨라진다고 할 수 있어요.

면담자: 그럼 6이라는 값은 무엇을 의미할까?

다연: 단위 얘기하는 거예요?

면담자: 단위도 될 수 있고, 네가 생각하는 6이라는 것이 나타내는 게 뭔 거 같아?

다연: 음...(잠시 고민을 하다가) 6ft/s라고 하면 될 것 같은데요.

면담자: 그러면 1초에 3ft 움직이는 비행기가 있다고 하면 3이라는 값은 무엇을 나타내는 것 같니?

다연: 3ft/s에요.

면담자: 그러면 여기(그림을 나타내며)에서 6은 무엇을 의미하니?

다연: 1초에 6ft/s인 속도요...(잠시 고민하다가) 아! 그럼 이렇게 써도 되나요? (활동지에 ‘6ft/s·s’라고 쓴다.) 6이 그냥 ft/s는 아닌 거같은데... 그런데 이런 단위도 있어요?

다연은 원격제어 비행기가 점점 빨라진다는 것을 설명하며, 속도의 증가율 6이 의미하는 것은 시간에 대한 ‘속도의 차이’라는 사실에 주목하였다. 그리고 ‘1초당’ 속도의 차이로부터 ‘ft/s·s’라는 가속도의 단위를 구성하였다. 이때 주어진 과제 자체가 단위 시간당 속도의 차이 즉, 속도 증가율에 자연스럽게 주목할 수 있도록제시되었을 가능성이 있어 추가로 비행기가 2초 간격일 경우로 다시 질문하였다. 처음에 다연은2초에 속도가 6ft/s씩 증가하는 상황을 바로 이해하지 못했으나, 시간 간격이 2초니까 ‘2초당6ft/s·s’이므로 6을 2로 나누어 “3ft/s·s”라고 답하였다. 결국, 다연의 ‘2초당’이라는 표현에서 단위 시간으로 속도의 차이를 나누면서 단위 시간에 대한 속도 변화량 즉, 속도 변화율이 일정하게 증가하는 운동 상황으로 이해하였다.

(2) 면적의 증가율이 일정하게 증가하는 이차함수 문제

직사각형의 가로와 세로의 길이 비가 일정하게 유지되면서 면적이 증가하는 문제 상황에서 두 학생은 길이와 면적 각각의 차이를 ‘증가량’ 과 ‘증가율’로 보았고, 그 과정에서 보여지는 양적 조작 방식의 차이를 분석하였다. [과제 Q4]는직사각형의 가로와 세로의 길이 비가 1:2로 일정하면서 면적이 증가하는 직사각형으로 ‘(가로) ×(세로)’형태인 ‘2×4,4×8,6×12’와 같이 주어졌다. 이때 영빈이 ‘면적의 차이’인 첫 번째차이와 ‘면적의 차이의 차이’인 두 번째 차이에대하여 각각의 증가량에만 주목한 반면, 다연은처음 주어진 직사각형의 면적을 하나의 단위로 보고 면적의 증가율이 길이의 증가율의 제곱이 되는 이차함수 문제 상황으로 인식하였다.

다음은 ‘가로 대 세로’의 비가 1:2로 일정하게 증가하는 직사각형에서 가로의 길이를 2씩 증가시켰을 때 가로, 세로와 면적을 비교하기 위해 영빈이 Figure 8과 같이 표를 구성한 이후 면담자와의 대화이다.

Figure 8. Youngbin’s table for [Task Q4]

면담자: 직사각형에서 가로 2씩 커지는 게 아니라 1씩 커지게 하면 네가 만든 표가 어떻게 달라질까?

영빈: 그럼 가로는 2,3,4,5,6이라고 하면, 세로도 1씩 커질까요?

면담자: 문제에서 규칙이 처음 주어진 가로와 세로의 비는 일정하게 유지되며 증가한다고 했으니까 문제에서 주어진 것처럼 동일하게 증가하겠지. 가로와 세로는 어떤 관계로 유지되고 있었지?

영빈: 음... 그러면 아까 세로는 가로의 2배였으니까 2배요. (세로를 구하고, 면적을 구한후) 차이가 4네요.

면담자: 그러네? 그런데 가로가 2씩 증가했던 표에서는 (Figure 8을 가리키며) 16이었는데, 이번에는 가로가 1씩 증가하니까 4였네? 왜 그럴까?

영빈: 4 곱하기 4하면 16이에요.

면담자: 그러면 이번에는 가로를 3씩 증가하는 표로 만들어 볼까?

영빈: (가로를 2, 5, 8, 11, 14, 세로는 4, 10, 16, 22, 28라고 적은 뒤 면적을 구한다.) 면적의 차이를 구하면 36으로 일정해요.

면담자: 이번에는 가로를 3씩 증가시켰을 때 면적의 차이의 증가가 36인데, 앞에서 구한 가로가 1씩 증가할 때와 2씩 증가할 때의 차이랑 비교할 수 있겠니?

영빈: 음... (앞에 과제를 넘겨보며) 아! 어려워요. 비교가 안돼요. 모르겠어요.

먼저 영빈은 직사각형 면적을 처음에는 하나하나 세면서 계산하였고, 네 번째 그려질 직사각형에 대해 질문하였을 때 가로와 세로의 자연수 배수 관계를 이용하여 면적을 구하였다. 그리고면적의 증가에 대한 질문에는 면적의 차이로부터 ‘면적의 차이의 차이’인 두 번째 차이가 16으로 일정하다고 답하였다. 그러나 앞서 대화에서처럼 가로와 세로의 길이 비가 1:2를 만족하면서 가로의 길이를 1씩, 2씩, 3씩 증가시키며변화를 주었을 때 면적의 두 번째 차이인 4,16,36사이에서는 곱셈적 관계에 주목하지 않았다. 면적의 두 번째 차이가 4와 16일 때에 “4 곱하기 4는 16”이라고 답하였지만, 이후로가로 길이의 차이가 3씩 증가할 때 면적의 두 번째 차이가 36이라는 결과에서는 더 이상 배수 관계에 주목하지 못하였다. 아마도 가로의 차이가 2씩 증가할 때 면적의 두 번째 차이인 16으로부터 36사이의 자연수 배수 관계로의 양적 조작을 시도한 것으로 보이며, 반복적 덧셈 비교로의 자연수 배수 관계에 머물러 있다고 판단된다. 따라서 주어진 문제 상황에서 ‘길이의 차이’라는한 양과 ‘면적의 차이’라는 다른 한 양에는 주목하였으나, 면적의 두 번째 차이의 양들 사이의관계에 있어서 자연수 배수 관계인 덧셈적 비교로의 양적 조작이 영빈의 사고방식과 밀접한 연관이 있는 것으로 보인다.

다연도 처음에는 영빈과 같이 가로와 세로의 길이 비 1:2를 유지하면서 증가되는 직사각형 면적을 하나하나 세면서 덧셈적으로 접근하였다. 그러나 다음 대화에서처럼 “이 하나 양에서 같은 양만큼 3배, 5배 늘어나는데요.”라며 곱셈적관계에 바로 주목하는 모습을 보였다.

다연: 그냥.... (처음 주어진 2×4의 8칸을 가리키며) 이 하나 양에서 같은 양만큼 3배, 5배 늘어나는데요.

면담자: 그럼 네 번째 직사각형은?

다연: 7배니까 128이에요.

면담자: 그래? 그럼 표로 상황을 확인해 볼 수 있겠니?

다연: 이거를 (Figure 9의 왼쪽 그림에서 2×4의 8칸을 가리키며) 하나로 보고 계산해도 되는거죠? 그럼 여기는 (Figure 9에서 오른쪽 그림 속 표의 세로줄을 가리키며) 단계를 쓰면 1,2,3,4 이렇게 쓰면 되고요, 여기 오른쪽에는 개수를 쓰면 돼요.

Figure 9. Dayeon’s drawings for [Task Q4]

면담자: 개수?

다연: 아까 이거를 (2×4의 8칸을 가리키며) 하나라고 했으니까 1단계는 한 개요.

면담자: 계속해 봐.

다연: 2단계는 세 개. 아! 아니다! 3배 늘어났으니까 네 개요. 그리고 아홉 개, 열 여섯 개... 제곱으로 늘어나는 거 같아요.

면담자: 그럼 열 번째로 그려질 직사각형 그림은 면적이 얼마일까?

다연: 800이요. 10의 제곱에 8을 곱해서 구할 수 있어요.

면담자는 ‘3배, 5배, 7배’가 다연에게 어떠한양적 의미인지 확인해보기 위해 표를 그려볼 것을 요구하였다. 이때 다연이 그린 표는 앞서 가로, 세로, 그리고 직사각형의 면적으로 표를 구성했던 영빈과는 달리 Figure 9의 왼쪽 그림과같이 처음 주어진 2×4직사각형의 면적을 하나의 단위로 보고, 각 단계에 대한 단위 면적의 개수를 오른쪽 그림의 표와 같이 구성하였다.

따라서 제곱 관계로 자연스럽게 추론할 수 있었으며, 다연은 10번째 그려질 직사각형의 면적도 순차적인 단계를 거치지 않고 “10²×8=800”으로 바로 답할 수 있었다. 이러한 모습은 ‘길이의 차이’와 ‘면적의 차이의 차이’ 로부터 순차적인 단계를 거쳐서 네 번째 그려질 직사각형을 추론했던 영빈과 구별된다. 그리고전체와 부분을 비교하여 하나의 면적을 단위 면적으로 보고, 각 단계에 따라 주어진 직사각형을 단위 면적이 포함된 양으로 인식하여 두 양 사이의 곱셈적 관계로의 양적 조작이 다연의 사고방식과 관련이 있는 것으로 보인다.

나. 두 학생의 이차함수 문제 상황에 대한 식의 표현에서의 차이

이차함수 y=ax²에 대한 식의 표현을 위해 제시된 문제에는 별도로 주어진 그림이 없었다. 구체적으로 가로와 세로의 길이 비가 2:5로 일정하게 유지되면서 길이의 증가에 따라 직사각형의 면적이 증가하는 이차함수 문제 상황에서 영빈은 앞서 3차시 면담에서 보여주었던 양적 조작 방식과 유사한 덧셈적 비교로의 조작 방식을 보여주었다. 예를 들면, 가로의 길이가 1씩증가하는 상황에 대한 표를 만들고, 길이 증가에따른 면적의 증가를 계산하면서 ‘면적의 차이의차이’라는 두 번째 차이가 “5로 일정해요.”라고하였다. 그러나 가로 길이의 차이와 면적의 두번째 차이라는 두 양 사이 관계에 대해서는 이해하지 못하였고, 면적의 두 번째 차이들의 나열에서 양 사이의 덧셈적 비교에만 머물렀다.

식의 표현 과정에도 영빈은 가로의 길이를 x라고 할 때 ‘가로와 세로의 길이 비’로부터 세로가 $\frac{5}{2}x$임을 인식하지는 못하였다. 다음은 가로의 길이를 x라고 할 때 면적의 식에 대한 영빈과의 대화이다.

면담자: 가로가 x라고 하면 세로는 뭐라고 두지?

영빈: a? y?

면담자: 가로와 세로의 관계를 생각해볼까?

영빈: 음... (고민하다가) 네.

면담자: 왜? 2:5라는 비가 일정하게 유지되잖아. 가로가 2, 4일 때 세로는?

영빈: 5, 10이요.

면담자: 가로가 1이면?

영빈: (잠시 고민하다가) $\frac{5}{2}$요.

면담자: 그렇지? 그럼 가로가 x이면 세로는 아까처럼 a,y와 같은 다른 문자를 사용할 필요가 없지 않을까? 어떻게 생각하니?

영빈: 음... $\frac{5}{2}$x?

면담자: 그럼 넓이는 얼마가 될까?

영빈: 가로랑 세로랑 곱하니까요. x곱하기 $\frac{5}{2}$x니까... (말을 멈춘다.)

면담자: 면적을 y라고 하면? y는?

영빈: y=$\frac{5}{2}$x요.

면담자: $\frac{5}{2}$x?

면담자: 가로가 x이고, 세로가 $\frac{5}{2}$x라고 했었잖아. 그런데 넓이가 $\frac{5}{2}$x일까?

영빈: 제곱? 어! (잠시 고민하다가) 그런데요. 여기서 넓이를 구할 때 x제곱까지는 필요 없어요. $\frac{5}{2}$x만으로 다 돼요.

면담자: 왜 필요 없지?

영빈: 가로는 필요 없어요. 어차피 $\frac{5}{2}$에는 가로와 세로가 합해진 거잖아요.

영빈은 가로가 x일 때 세로가 $\frac{5}{2}$x라고는 하였으나, 면적을 구하는 과정에서 $\frac{5}{2}$x라는 값에는 가로가 이미 합해져서 x를 따로 곱할 필요 없다고 하였다. 이때 “가로가 x이고, 세로가 $\frac{5}{2}$x라고 했었잖아.”라는 면담자의 말에 “제곱?”이라고 바로 답했던 영빈은 면적이 가로와 세로의 곱이라는 사실을 충분히 인식하고 있었으므로 면적의 식을 y=$\frac{5}{2}$x²으로 답할 수 있었다. 그러나 “x제곱까지는 필요 없어요. $\frac{5}{2}$x만으로 다 돼요.”, “가로와 세로가 합해진 거잖아요.”라는 이어진 말처럼 영빈에게 $\frac{5}{2}$는 가로의 길이 1과 그에 대응하는 세로의 길이가 아닌, 여전히 가로와 세로라는 두 외연량의 결합된 비 2:5이며, 이는 앞서 비 개념에서 보여주었던 양화 과정과 유사하다. 결과적으로 영빈이 직사각형의 면적과 관련하여 표현한 식은 “y=$\frac{5}{2}$x”이다.

한편, 다연은 이전 과제처럼 각 단계와 단위면적의 개수로 표를 구성하지 않았고, 영빈과 같이 가로, 세로, 그리고 직사각형의 면적으로 표를 구성하였다. 다음은 다연이 가로의 길이를 2씩 증가시키면서 가로 길이의 증가에 따른 면적에 대하여 표를 만들어 보고, 식으로 표현해 보는 과정에서의 대화 일부이다.

다연: 가로가 2,4,6,8,10이라고 두면... 가로가 2배, 3배, 4배 되면, 넓이는 4배, 9배, 16배되니까요. 가로가 늘어나는 속도보다 넓이가 제곱으로 빨라지고 있어요.

(…)

면담자: 그럼 가로를 2의 배수가 아니라 1씩 커지게 하면 어떨 것 같아?

다연: 가로가 1이면 넓이가 $\frac{5}{2}$, 가로가 2이면 넓이가 10이요. 그럼 바로 식을 구할 수 있는데요?

면담자: 어! 바로? 바로 식으로 구할 수 있어? 어떻게?

다연: 가로를 x라고 하면 세로가 $\frac{5x}{2}$이니까 넓이는 $\frac{5x^2}{2}=y$ 에요.

다연은 가로 길이가 2씩 증가하는 표를 만들어 보면서 가로 길이가 2배, 3배, 4배 증가함에 따라 면적이 4배, 9배, 16배 증가하는 상황으로해석하였다. 가로 길이의 차이가 2씩에서 1씩커지는 문제 상황으로 가기도 전에 “가로가 늘어나는 속도보다 넓이가 제곱으로 빨라지고 있어요.”라며 가로 길이의 증가율의 제곱으로 면적이 증가한다고 이해하였다. 이후에 “가로를 2의배수가 아니라 1씩 커지게 하면 어떨 것 같아?” 라는 면담자의 질문에 다연은 “가로가 1이면 넓이가 $\frac{5}{2}$”라고 답하며, 가로와 세로, 면적 사이의 곱셈적 관계를 통해 식을 바로 표현하였다. 가로의 길이가 1일 때 면적 $\frac{5}{2}$로부터 미지의 가로 길이에 대한 면적의 식을 바로 구할 수 있었다.

영빈과 다연을 비교해보면, 모두 직사각형의 ‘길이’와 ‘면적’이라는 두 양에 주목하였으나, 두양으로부터 보여지는 면적의 증가에 대한 이해 정도는 서로 다르게 나타났다. 영빈은 면적의 증가량과 증가량의 차이 사이에서 덧셈적 비교에 머무르며, 길이에 대한 면적의 증가를 이차함수상황으로는 이해하지 못하였다. 다연은 단위 면적을 구성하여 각 단계에 따른 단위 면적의 곱셈적 관계를 통해 비를 구성할 수 있었고, 제곱으로 증가되는 이차함수 문제 상황으로 이해하였다. 이후 식의 표현 과정에서 가로, 세로라는두 외연량에 대하여 특정한 가로, 세로 길이가주어지지 않아도 “가로를 x라고 하면 세로가 $\frac{5x}{2}$ 이니까 넓이는 $\frac{5x^2}{2}=y$에요.”라는 말처럼 이차함수 y=ax²으로의 표현이 가능함을 보여주었다.

본 연구는 중학생들의 이차함수 문제 상황을 이해하고 식으로 표현해 보는 과정에서 비 개념에 대한 지식이 어떻게 관련되는지를 확인해보고자 하였다. 이를 위해 다른 수준에서 비 개념을 양화하는 두 학생을 대상으로 이차함수 문제 상황에서 보여지는 양적 조작 방식의 차이를 식별하고, 그 차이가 비 개념에서 보여준 차이와어떠한 관련성이 있는지를 살펴보았다. 본 연구의 결과를 정리하면 다음과 같다.

첫째, 비 개념과 관련된 문제 상황에서 두 학생은 서로 다른 양적 조작 방식으로 비 개념을 양화하였다. 양적 추론이 양과 여러 양들 사이의관계를 분석하고 새로운 양을 만들어 내는 과정이라면(Smith & Thompson, 2007), 추론 과정에서 두 학생 간의 비 개념에 대한 차이로 영빈은 양 사이의 덧셈적 비교로의 양적 조작 방식을 보이며 두 외연량의 결합에 의해 비 개념을 양화하였다. 반면, 다연은 곱셈적 관계에 주목하며 이후 두 외연량의 조정으로 농도라는 하나의 내포량을 구성하고 내포량 그 자체를 비교의 대상으로 삼아 문제를 해결하였다. 이를 통해 기존의연구들(Lobato & Ellis, 2010; Simon, 2006; Simon & Placa, 2012)과 마찬가지로 비 개념에 대하여두 양에 대한 곱셈적 관계로의 주목과 정교화된 비 개념은 양 사이의 관계를 구성하고 해석하는 방식에 중요한 차이가 드러났다. 두 학생의 비개념 수준에 따른 이러한 양화 과정의 차이는 Thompson(1994)의 내면화된 비와 내재화된 비로의 개념적 분석으로부터 Johnson(2015)의 비 개념 수준에 따른 양화 과정의 차이로 구별된다.

둘째, 두 학생 간의 차이는 등가속도 운동 상황과 관련하여 ‘시간, 거리, 속도, 속도 변화량, 가속도’라는 각각의 양들을 인식하고, 양 사이의변화를 이해하는 과정에서 보여진 양적 조작 방식과 유사하게 드러났다. 영빈은 누적 시간과 누적 거리로 속도를 구성하며 자신이 구성한 속도가 누적 시간에 따른 평균속도들의 집합이라는사실을 이해하지 못하였다. 단지 속도를 알고리즘에 의한 수치적 조작의 결과로 보았다. 따라서속도가 빨라진다는 것은 인식하고 있었지만, 일정하게 증가하는 양이 속도의 차이인지, 거리의차이인지 구별하지 못하였다. 이는 속도를 ‘거리’라는 한 양을 다른 단위인 ‘시간’으로 결합하지 못한 결과로써 ‘거리’라는 양을 반복적으로더해가는 덧셈적 상황에서 이해한 것으로 판단된다.

반면, 단위 시간당 경과한 거리로 속도를 구성했던 다연은 시간 단위가 1인 경우 단위 시간 동안 움직인 거리가 물체의 속도였다는 사실에 주목하였으며, 이를 통해 속도 변화율에 대한 양적 의미를 이해하고 있는 것으로 보였다. 즉, 경과한 거리와 시간이라는 두 외연량의 조정으로 속도 단위를 구성하며, 속도를 하나의 분할 가능한 조작의 대상으로 인식하여 1초당 속도의 변화량으로부터 새로운 단위인 ‘ft/s·s’라는 가속도단위로의 구성을 이끌었다. 이는 Lobato et al.(2012)에서 ‘단위 시간당 경과한 거리’라는 속도의 개념적 이해로부터 ‘속도의 변화율’과 ‘가속도’라는 PIC를 통해 등가속도 운동이라는 이차함수 문제 상황이 비 개념과 밀접한 관련이 있음을 강조한 바 있다는 점에서 고무적이다.

셋째, 면적의 증가율의 증가가 일정한 이차함수 문제에서도 유사하게 나타난 두 학생 간 양적 조작 방식의 차이는 식의 표현에서도 서로 다른 결과를 보여주었다. 두 학생은 닮음인 직사각형에서 가로와 세로의 길이가 일정한 비를 유지하면서 길이가 증가함에 따라 ‘면적의 증가량에 주목하느냐’, 혹은 ‘면적의 증가율에 주목하느냐’로부터 양적 조작 방식의 차이가 드러났다. 전자는 양 사이의 덧셈적 비교로의 양적 조작에 근거하며, 후자는 두 외연량의 결합으로부터 곱셈적 관계에 주목하여 두 외연량의 값의 조정 그 자체를 통한 양적 조작에 근거한다. 이때 영빈은 면적의 증가량의 차이인 면적의 두 번째 차이들 사이에서 자연수 배수 관계에만 주목하며, 덧셈적으로 비교하는 양적 조작 수준에 머물렀다. 따라서 면적의 증가량의 일정한 차이인 두번째 차이를 순차적으로 더해나가며 다음 단계에서의 직사각형 면적을 추론할 수 있었다. 반면, 다연은 길이가 증가함에 따라 각 단계와 단위 면적이 포함된 개수 사이의 곱셈적 관계를 통해 10번째, 20번째 그려질 직사각형의 면적을바로 답할 수 있었다. 이는 단위 면적을 통한 면적의 증가율에 주목한 것으로 앞서 1초당 속도 변화량인 속도 변화율의 일정한 증가에 주목했던 모습과도 유사하다.

면적의 증가율의 증가가 일정한 상황에 대한 두 학생의 이러한 양적 조작의 차이는 식을 표현하는 과정에서도 서로 다른 결과를 보여주었다. 비 개념에서 $\frac{b}{a}$를 a:b인 두 동등한 집합의 대상으로 인식하여 두 외연량의 결합으로만 이해했던 영빈은 가로의 길이를 x라고 두면 가로와 세로의 길이 비로부터 세로가 $\frac{5}{2}$x가 됨을 이해하지 못하며, 결과적으로 y=ax꼴의 일차함수형태로 표현하였다. 한편, 다연은 가로와 세로 길이의 비 2:5에서 $\frac{5}{2}$라는 하나의 내포량을 구성하여 특정한 가로, 세로의 길이가 주어지지 않아도 ‘세로 길이는 가로 길이의 $\frac{5}{2}$’로부터 면적의 식을 y= $\frac{5}{2}$x²인 이차함수 형태로 표현하였다. 이를 통해 Johnson(2015)의 내재화된 비 개념에서의 양화 과정에서 ‘측정으로의 비’에 대한 이해가 가로와 세로의 길이 비로부터 면적으로의 식을 이차함수 y=ax²으로 표현하는데 중요하게 작용한 것으로 추측해 볼 수 있다.

비 개념에 대한 대부분의 연구들(예, Ahn & Pang, 2008; Jeong, 2013; Kim & Pang, 2013; Ko & Lee, 2007)은 문제해결 전략과 추론의 수준에 주목할 뿐, 학생들의 비 개념이 상위 개념에 대해 어떻게 적용되고 확장되는지를 밝힌 연구는 부족한 실정이다(Kwon, Park, & Park, 2007). 따라서 Kwon et al.(2007)은 초등학교에서 형성된비 개념이 함수 학습과 밀접하게 관련되어 있으므로 중학교 과정에서 다루어지는 수학적 개념과의 연결성을 고려해서 교수ㆍ학습 자료 개발이 필요함을 언급한 바 있다. 이에 본 연구는 이차함수 문제 상황을 이해하고 이를 식으로 표현 과정에서 학생들에게 보여지는 양적 추론 과정을 통해 학생들이 이전에 배웠던 비 개념과 직접 연관시켜 볼 수 있는 근거를 확인해보고자 하였다. 그리고 두 중학생에게서 포착된 비에 대한 양화의 차이로부터 이차함수 문제 상황을 이해하는 방식과 식의 표현이 다르게 나타났다. 따라서 본 연구는 Johnson(2015)의 연구 결과에서처럼 ‘하나당으로의 비’와 내포량으로부터 식별된 ‘측정으로의 비’ 개념이 이차함수의 변화 관계에 대한 이해와 식의 표현에 중요한 이해가 될 수 있다는 하나의 설명적 가설을 제시해 본다. 그리고 더 나아가 중학교 과정에서의 비 개념이 일차함수뿐만 아니라 확장된 범위에서 수학적 아이디어의 개념적 분석을 위한 도구로 다루어져야 할 필요가 있음을 시사한다.

이후로도 이차함수 문제 상황에서 양적 추론 과정에 대한 실증적인 질문과 면담을 통한 자료에 근거하여 추후 이차함수에 대한 개념적 학습 목표를 둔 모델로의 확장을 제언하는 바이다. 이러한 방향으로의 연구는 이차함수에 대한 개념 학습에서 학생들의 이해를 돕기 위한 참고자료가 되며, 더 나아가 실제로 무엇을 이해하고 있는지 설명할 수 있는 학습 모델로의 구성을 위한 기초 연구가 될 것으로 기대해본다.

1) Thompson(1994)은 ‘비율’을 내재화된 비로 보았으며, 내재화는 정신적 조작으로서 생각에 따라 수행될 수있도록 점진적인 재구성과 행동의 조직을 말한다. 따라서 본 연구도 Thompson의 비 개념을 바탕으로 ‘비율’을 비 개념의 일부로 보고 ‘내재화된 비’로 기술한다.

2) Lewin(1991)에 의하면 ‘내면화’는 상황을 정신적으로 이미지화할 수 있도록 행동을 재구성하는 과정이다(Thompson, 1994, p. 181에서 재인용).

3) Lobato et al.(2012)은 비(非)선형 함수를 가르치기 위해 덧셈적 접근 방식으로의 누적 접근(accumulation approach)과 곱셈적 접근 방식으로의 비율 접근(rate approach)이라는 두 가지 방식을 제시하였다.

4) 중학교 성적은 절대평가제로 학기말 성적은 지필평가와 수행평가를 합친 원점수 및 원점수를 기준으로 한성취도가 90점 이상이면 A, 80점 이상 90점 미만은 B, 70점 이상 80점 미만은 C, 60점 이상 70점 미만은D, 60점 미만은 E로 표기된다.

5) 참여 학생들의 이름은 모두 가명임을 밝힌다.

6) [과제 R2]에서 제시된 단위는 ‘온스’와 ‘달러’로 학생들에게 익숙한 ‘g(그램)’과 ‘원’으로 바꾸어 번역할 수도 있었으나, 바꾸는 과정에서 수치적 변화를 가져올 수 있다는 판단하에 Lobato & Ellis(2010)의 원문 그대로 사용하였으며, 단위에 대한 이해를 돕기 위해서 “1온스는 약 30g, 1달러는 약 1,000원”을 과제에 별도로 기재하였다.

7) Lobato & Ellis(2010)에서는 비 개념과 관련된 과제로 ‘비교 문제, 변환 문제, 평균 문제, 부분-부분-전체 및포함 문제, 닮음과 축척 문제’의 5가지 유형을 제시하였으며, 1차시 7문항 중 분석과제 3문항은 비교 문제와 부분-부분-전체 및 포함 문제와 관련된 과제이다.

8) 다연은 Lobato et al.(2012)에서 제시된 과제 그대로 거리의 단위를 피트(ft)로 제시하였으나, 추후 영빈과의 면담에서는 다른 과제들과의 단위를 일치시키기 위해 Table 3의 [과제 Q3]과 같이 미터(m)로 변경하였다.

9) 3차시 과제는 2차시와는 다른 이차함수 문제 상황에서 학생들에게 보여지는 일관된 양적 조작 방식을 확인해보고자 했던 의도도 있지만, 2차시 ‘시간에 대한 속도의 변화’로부터 직접 이차함수 y=ax²이라는식의 표현으로는 한계가 있었다. 따라서 4차시 식의 표현까지 살펴보기 위한 중간 과정으로써 3차시 과제가 제시된 의도가 일부 포함되었다.

10) 면담 과정에서 영빈은 ‘$\text{속도}=\frac{\text{거리}}{\text{시간}}$’를 ‘거-속-시’라고 표현하였다. 이에 속도에 대한 알고리즘을 이후로는 영빈의 표현대로 ‘거-속-시’ 알고리즘으로 기술한다.

11) 다연은 Figure 7에서 ○표시처럼 1초라는 시간 간격에 3ft/s라는 속도를 대응시켰다.