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2022; 32(2): 63-82

Published online May 31, 2022 https://doi.org/10.29275/jerm.2022.32.2.63

Copyright © Korea Society of Education Studies in Mathematics.

A Study on the Application of the ‘Key Concepts’ and ‘Generalized Knowledge’ for Mathematics Competency Education

수학적 역량 교육을 위한 ‘핵심 개념’과 ‘일반화된 지식’의 구현 방안 탐색

Kyeong-Hwa Lee1, Eunjung Lee2, Minsun Park3 , Mimi Park4

1Professor, Seoul National University, 2Assistant Professor, Gwangju National University of Education, South Korea, 3Teacher, Dwight Morrow High School, U.S., 4Associate Research Fellow, Korea Institute for Curriculum and Evaluation, South Korea

1서울대학교 교수, 2광주교육대학교 조교수, 3드와이트 모로우 고등학교 교사, 4한국교육과정평가원 부연구위원

Correspondence to:Mimi Park, parkmimi27@gmail.com
ORCID: https://orcid.org/0000-0003-2561-8002

Received: April 1, 2022; Revised: April 29, 2022; Accepted: May 1, 2022

This is an Open Access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution Non-Commercial License (http://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0), which permits unrestricted non-commercial use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.

This study explores the application of ‘key concepts’ and ‘generalized knowledge’ in the 2015 revised mathematics curriculum to mathematics teaching practices, according to the competency education as articulated in the 2022 revised curriculum. The 2022 revised curriculum re-conceptualizes subject competency as comprising ‘knowledge and understanding,’ ‘process and skills,’ and ‘values and attitudes.’ Accordingly, the construct of key concepts and generalized knowledge is required to integrate the aforementioned factors; however, previous studies have only integrated ‘knowledge and understanding’ and ‘process and skills.’ Building on prior research, the current study proposes the network of key concepts and generalized knowledge through the integration of ‘knowledge and understanding’ and ‘process and skills.’ The implications of our exploration are as follows. First, the network of key concepts and generalized knowledge should be derived by reflecting the elements or aspects of ‘knowledge and understanding’ and ‘process and skills’ for learning content. Second, it is necessary to reconstruct the network of key concepts and generalized knowledge in consideration of situated contexts and the teacher’s beliefs and judgments. Third, systematizing the procedures of utilizing key concepts and generalized knowledge in the design and implementation of mathematics instruction is needed for supporting mathematics teachers.

Keywordskey concepts, generalized knowledge, the 2022 revised curriculum, mathematics competency education, network

급변하는 현대 사회에서 학생들에게 단편적인 지식만 가르쳐서 미래를 대비하게 하는 것에는 한계가 있다. 오히려 학습한 내용을 삶의 맥락에서 적용하고 복잡한 문제를 해결하는 역량이 더 중요하다(Ministry of Education [MOE], 2021, p. 2). 이에 따라 2022 개정 교육과정 총론 주요사항 시안에서도 역량 함양 교과 교육과정의 개발을 강조한다. 2022 개정 교육과정 총론 주요사항 시안에서 교과 역량은 교과 교육을 통해 학생들이 갖추기를 기대하는 능력이며, 교수·학습 과정에서 지식·이해, 과정·기능, 가치·태도 세 요소 간의 통합적 작동을 통한 학생의 수행으로 나타나는 것을 가리킨다(MOE, 2021, p. 34).

역량 교육은 2015 개정 교육과정부터 명시적으로 추구한 관점이며, 이를 위해 2015 개정 교육과정에서는 ‘핵심 개념’과 ‘일반화된 지식’을 제시하였다(MOE, 2015). 2015 개정 교육과정에서 제시한 핵심 개념은 교과를 가장 잘 대표하면서 교과의 큰 그림을 볼 수 있도록 돕는 빅 아이디어로 도입되었으나, 교과에 따라서는 내용 영역이나 내용 요소를 핵심 개념으로 제시함으로써 빅 아이디어의 의미를 살리지 못하였고 결국 역량 교육과의 관련성을 드러내지 못하였다(Lee & Hong, 2017; Ohn & Yoon, 2021). 2015 개정 수학과 교육과정은 그 대표적인 예로, 가령, 초등학교 기하 영역의 핵심 개념을 ‘평면도형’과 ‘입체도형’과 같이 중영역에 해당되는 것으로 설정하였다. 일반화된 지식도 각각 “주변의 형태는 여러 가지 평면도형으로 범주화 되고, 각각의 평면도형은 고유한 성질을 갖는다”(MOE, 2015, p. 8)와 “주변의 형태는 여러 가지 입체도형으로 범주화 되고, 각각의 입체도형은 고유한 성질을 갖는다”(MOE, 2015, p. 8)로 제시하여, 역량 교육과의 관련성을 드러내지 못하였다.

Lee (2017)는 수학과에서 논의해 온 핵심 개념의 의미 또는 유형을, 가르쳐야 할 중요한 수학 내용을 분류한 영역, 수학 개념들이 가지는 속성이나 원리 혹은 다른 개념과의 관계 등의 원리, 교수·학습에서 중요하게 다루어야 할 이해의 내용과 같이 세 가지로 구분하였다. 2015 개정 수학과 교육과정의 핵심 개념은 이 중 첫 번째에 해당하는 것으로, 그리고 일반화된 지식은 핵심 개념과 내용 요소 사이의 가교 역할을 하는 것으로 설정되었다(Park et al., 2015). 그러나 수학과의 일반화된 지식은 학생들이 해당 영역에서 학습해야 할 보편적인 지식이라고 보기도 또 수학적 원리라고 보기도 어려울 만큼 포괄적이어서 본래의 의미에도 어긋나고 제 역할을 하지 못한다는 비판이 제기되었다(Lim & Hong, 2016). 수학과의 일반화된 지식이 주어진 영역에서 학년과 학교급을 관통하는 중심축의 역할을 제대로 하고 있는 지에 대해서도 문제 제기가 이루어졌다(Yang, 2019). 이와 같은 비판은 Lee (2017)가 제시한 다른 두 의미에서의 핵심 개념, 곧, 수학 개념들이 가지는 속성이나 원리 혹은 다른 개념과의 관계 그리고 교수·학습에서 중요하게 다루어야 할 이해의 내용이 핵심 개념 및 일반화된 지식에 반영되지 않았다는 데 기인하는 것으로 볼 수 있다.

2022 개정 교육과정에서는 지식·이해, 과정·기능, 가치·태도 세 요소 간의 통합에 의한 것으로 교과 역량을 재개념화하고, 2015 개정 교육과정에서 핵심 개념 및 일반화된 지식으로 제시했던 바를 ‘핵심 아이디어’로 통합하여 문서 체제의 요소로 제시한다(MOE, 2021, p. 34). 역량 교육 추구를 위해 핵심 개념 및 일반화된 지식을 선정하여 교수·학습에서 중요하게 다루도록 하는 입장에 있어서는 2022 개정 교육과정이 2015 개정 교육과정의 연장선상에 있는 것이다. 그러나 2015 개정 수학과 교육과정을 적용하는 과정에서 핵심 개념 및 일반화된 지식을 수학 수업 설계와 실행에 어떻게 관련시켜 역량 교육을 추구할 수 있는 지에 대한 연구는 거의 이루어진 바가 없다. 이에 본 연구에서는, 수학 개념의 속성, 원리, 다른 개념과의 관계 등에 대한 내용과 교수·학습에서의 초점에 해당되는 내용(Lee, 2017)이 반영된 핵심 개념 및 일반화된 지식을 수학교육 실제와 관련시켜 어떻게 구현할 수 있는 지 살펴보고자 한다. 이를 위해 먼저 핵심 개념 중심의 수학교육의 배경이 되고 있는 역량 교육의 의미와 중요성에 대한 선행연구의 논의를 살펴본다. 다음으로 역량 교육에서의 핵심 개념의 의미와 역할, 핵심 개념 연결망의 형태, 핵심 개념 연결망 구성 사례, 핵심 개념 중심 수학 수업 설계 절차를 살펴보고, 이로부터 핵심 개념 및 일반화된 지식을 수학교육 실제에 구체적으로 연결하여 구현하는 방안을 모색하고자 한다.

1. 역량 교육의 의미와 중요성

역량 교육의 의미와 중요성은 Organization for Economic Co-operation and Development (OECD)의 DeSeCo 프로젝트를 시작으로 최근의 OECD Education 2030 프로젝트에 이르기까지 계속해서 정교화되고 강조되고 있다(OECD, 2019). 이 프로젝트에서는 무엇보다도 ‘학생 행위 주체성(student agency)’과 ‘변혁적 역량(transformative competencies)’을 강조하는데, 이를 발달시키기 위한 핵심 토대로 지식, 기능, 태도 및 가치를 제시한다. 즉 역량은 지식이나 기능을 단순히 획득하는 것 이상의 것으로 핵심 토대를 바탕으로 길러질 수 있으며, 지식, 기능, 태도 및 가치를 포함하는 통합적인 개념이다(OECD, 2019, p. 25). 여기서 지식, 기능, 태도 및 가치 또한 상호 의존하며 발달된다. National Research Council (NRC, 2001)에서는 “내용 지식을 발달시키는 것은 기능을 습득하는 토대가 되며 반대로 기능 또한 내용을 잘 이해하고 사용하기 위해 필수적이다. 즉, 지식과 기능은 엮이기만 하는 것뿐만 아니라 서로를 강화한다”(OECD, 2019, pp. 74-75에서 재인용)고 말한다. 또한 태도 및 가치도 지식과 기능을 사용하는 동기로 작용하며, 학생이 학습 과정을 즐기고 가치 있게 바라보면 지식과 기능이 새로운 맥락에서 더 잘 전이된다(OECD, 2019).

미국에서 역량 교육에 주목한 연구들로는 National Council of Teachers of Mathematics (NCTM)에서 개발한 규준(NCTM, 1989; 2000)과 NRC (2001)를 들 수 있다. NCTM에서는 학교 수학에서 다루어져야 할 내용과 과정을 내용 규준, 과정 규준으로 제시한다(NCTM, 2000). 내용 규준으로는 ‘수와 연산’, ‘대수’, ‘기하’, ‘측정’, ‘자료 분석과 확률’을, 과정 규준으로는 ‘문제 해결’, ‘추론과 증명’, ‘의사소통’, ‘연결성’, ‘표현’을 제시하였다. 또한 NCTM (1989)에서는 학생들이 갖추어야 할 태도로 수학을 가치 있게 여기고 수학을 하는 능력에 자신감을 가지는 것도 포함하였다. NRC (2001)에서 제시한 수학을 성공적으로 학습하기 위해 필요한 수학적 역량에는 다섯 가지 요소가 있는데, ‘개념적 이해’(수학 개념, 연산, 관계에 대한 이해), ‘절차적 유창성’(절차를 유연하고 정확하고 효율적이고 적절하게 수행하는 기술), ‘전략적 역량’(수학 문제를 구성하고 표현하고 해결하는 능력), ‘조정 추론’(논리적 사고, 반성, 설명, 정당화하는 능력), ‘생산적 태도’(수학을 가치 있는 학문으로 보는 태도)가 포함된다. 이들은 서로 연관되어 있으며, 이를 각각의 요소 다섯 가닥이 서로 엮여 한 줄기를 이루는 것으로 비유하였다. 즉, 학생이 수학을 학습할 때 또는 교사가 수학적 역량을 개발시킬 때, 각 요소에 초점을 맞추더라도 다른 요소의 개발을 자극하게 되므로 다른 요소와의 관련 속에서 상호 관련성을 파악하고 총체적으로 접근해야 한다는 것이다(Chang, 2012). 이러한 NCTM 규준과 NRC의 수학적 역량을 바탕으로 미국의 수학교육과정 규준인 Common Core State Standards for Mathematics (CCSSM)가 등장하였다. 여기에서는 내용 규준과 함께 K-12학년 전체에 걸쳐 학생들이 성취해야 할 수학적 실천을 제시한다. 이는 NCTM의 과정 규준과 유사하다는 평가도 받고 있으나, 수학적 실천은 학생들이 참여해야 하는 과정에 대해 구체적인 진술과 함께 정확한 측면에서 타인과의 토론이나 자신의 추론에서 명확한 정의를 사용하는 등의 노력을 강조하는 특성을 보여준다(Chang, 2012). 이처럼 1990년대 이후부터 오늘날까지 지식을 이해하고 학습하는 것과 관련하여 인지적, 인식론적 개혁이 일어났다(Schoenfeld, 2004). 이 과정에서 역량이 중요하게 대두되었으며, 사실과 절차를 아는 것을 넘어서 새로운 맥락에서 문제를 해결하는 능력을 강조하게 되었다. 또한 수학에 대한 태도의 교육도 함께 강조되어왔다.

수학적 역량의 의미와 교육에 주목한 중요한 연구 중 하나로 일컫는 덴마크의 KOM 프로젝트에서는 수학적 역량을 주어진 상황에서 수학 문제에 대해 적절하게 행동하도록 통찰력 있게 준비된 상태로 정의하였다(Niss & Højgaard, 2019). Niss와 Højgaard는 수학 내용 지식이나 관련된 절차적 기능보다 수학의 실행을 강조하고자 하였으며, 이를 위해 수학적 역량을 구성하는 요소를 Figure 1과 같이 제시하였다. 각 요소들은 구별되지만 서로 영향을 미치기 때문에, 한 요소에 주목했더라도 다른 요소들이 보조적인 역할을 할 수 있다고 말한다. 이러한 통합을 꽃잎의 중첩으로 표현하였다. 또한 내용을 안다고 해서 역량을 갖추었다고 할 수 없으며, 기능에 해당하는 것을 한다고 해서 역량을 갖추었다고 할 수 없듯이 역량을 통합된 관점으로 바라보는 것을 강조하였다. 한 가지 주목할 점은 Niss와 Højgaard의 모델에서 가치 및 태도와 같은 정의적 측면은 드러나지 않는다는 것이다. 연구자들은 정의적 측면이 분명히 큰 영향을 미치지만 이는 다양한 요인에 의해 변할 수 있기 때문에 개별적인 특성을 띠어서 여기서는 제외하고 인지적 측면만 제시하였으며, 언제든 정의적 측면을 포함하여 역량을 개념화하는 것 또한 가능하다고 말한다(Niss & Højgaard, 2019, p. 18).

Figure 1.A visual representation of the eight mathematical competencies (Niss & Højgaard, 2019, p. 19)

국가마다 역량의 표현 형식이나 하위 요소에 있어서는 차이가 있더라도, 수학교육에서 역량 교육의 중요성에 주목한 것은 전세계적인 흐름이라고 볼 수 있다. 많은 국가에서 수학과 교육과정을 통해 역량 교육의 구체적인 내용과 형태를 제시하고 있으며, 내용 지식, 기능, 태도를 역량 교육과 관련시키는 방식에 있어서는 다소간의 차이가 있다(Niss et al., 2017). 2015 개정 교육과정에서 추구한 수학 교과 역량은 추론, 문제해결, 의사소통, 정보처리, 창의·융합, 태도 및 실천으로 내용 지식을 포괄하지 않는 것이었다. 반면에, 2022 개정 교육과정에서는 지식을 포함하는 것으로 교과 역량을 재의미화 함에 따라(MOE, 2021), 수학과 교육과정에서도 수학 교과 역량을 지식·이해, 과정·기능, 가치·태도의 세 범주를 통합한 것으로 재의미화가 불가피하다. 본 연구에서는 수학적 역량의 의미 변화를 수용하면서 역량 교육의 일환으로 강조되는 핵심 개념 및 일반화된 지식의 재개념화와 이들을 구현할 수 있는 방안을 모색하고자 한다.

2. 역량 교육에서의 핵심 개념 및 일반화된 지식의 역할1)

핵심 개념의 의미를 제시한 대표적인 연구로는 Wiggins와 McTighe (2005)를 들 수 있으며, 이들은 “개별적 사실들과 기능들을 연결하고 의미를 부여하는 개념, 주제, 쟁점”(p. 5)을 핵심 개념의 정의로 제시하였다. 이는 학생들이 학교에서 배운 구체적인 정보와 사실들을 모두 잊어버린 후에도 마음 속에 남아 있는 것으로서 곧 ‘영속적 이해(enduring understanding)’에 해당한다. 핵심 개념은 본질적인 질문을 통해 얻어지며, 특정한 교과에 얽매이지 않고 종종 교과 간 경계를 넘나드는 간학문적 성격을 띠기도 한다(Wiggins & McTighe, 2005, p. 68). 또한 핵심 개념은 학생들이 습득해야 하는 것이 아니라 학생들이 탐구를 통해서 구성하고 내면화하는 것이라는 점이 중요하다(Lee et al., 2021). 유사하게 Charles (2005)는 “수학 학습에 핵심적인 여러 수학적 이해를 일관적인 전체로서 연결하는 아이디어에 대한 진술”(p. 10)을 핵심 개념으로 정의하였다. 핵심 개념을 선정하기 위해 수학 개념이나 기능들을 철저히 분석할 수도 있고, 또는 학년간 및 영역 간에 걸쳐 연결성과 유사성을 확인함으로써 내용 분석을 할 수도 있다. 핵심 개념에 대해 두 연구에서 강조하여 언급한 것은 ‘연결성’이며, NCTM (2000)에서는 연결성을 과정 규준의 하나로 제시한 바 있다.

연결성은 미국 과학 진흥협회(American Association for the Advancement of Science, AAAS)에서 과학, 수학, 기술 분야의 소양교육 방안을 모색하고자 했던 장기간의 연구 프로젝트인 Project 2061의 핵심 원리이자 전략이기도 하다. 여기서는 과학, 수학, 기술 분야에서 알아야 하고 할 수 있어야 하는 것이 무엇인지를 설정하고, 단위 아이디어들 간에 추상적, 논리적인 연결망을 만들어 적용하는 사고 능력을 기르는 것에 주목하였다. 단위 아이디어들은 2015 개정 수학과 교육과정의 일반화된 지식에 해당하는 것과 더불어 수학적 추론에 대한 것으로, 수, 기호로 표현된 관계, 도형, 불확실성, 추론을 제시하였다(AAAS, 1991). 연결성을 가시화한 사례는 Figure 2의 ‘비와 비례’ 개념도이다.

Figure 2.Ratios and proportionality map (AAAS, 2001)

Figure 2에는 학년군별 목표, 지식, 기능과 더불어 연결 관계가 표현되어 있다. 여기서 연결은 교과 내용 상의 논리나 학습 인지 연구 결과를 반영한 것이다. 선수학습 관계 또는 학습 계열에 대한 정보와 더불어 서로 다른 요소 사이의 복합적인 관련성을 확인할 수 있다. 이 그림은 학교급 및 학년군을 관통하는 목표, 지식, 기능 사이의 관련성을 파악하는 데 유용하며, 어느 학교급 및 학년군에 있는 수학 교사라도 전반적인 구조와 관계를 알고 핵심 개념 및 일반화된 지식을 지도할 수 있어야 한다는 점에서 중요하다. 그러나 일상적으로 한 학년의 지도를 담당하는 수학 교사의 입장에서는 전반적이고 수직적인 관계도와 더불어 해당 학년의 핵심 개념과 그 요소 사이의 연결망을 파악하는 것이 필요하고 중요하다. 이와 관련해서는 Boaler et al. (2019)의 시도를 참고할 수 있다. 이들은 Figure 3과 같이 7학년 핵심 개념과 그 요소 사이의 관계를 구조화하여 제시하였다. 또한, 성장형 마인드셋을 바탕으로 자신이 얼마든지 더 발전할 수 있고, 자신이 한 실수나 도전적인 과정을 통해 더 성장할 수 있다는 믿음을 기반으로 이와 같은 핵심 개념 중심의 수학교육 실행 방안을 모색하고 있다(Boaler, 2015). Figure 3은 ‘비례 관계 조망하기’, ‘대수를 문제해결 도구로 활용하기’, ‘확률을 모델링하기’, ‘2차원과 3차원 세계를 연결하기’, ‘확률에 대한 직관 형성하기’ 등을 어떤 우선순위 또는 중요도에 따라 가르치고 배울 것인지 그리고 상호 간의 관계를 보여준다. 이 모델은 2015 개정 수학과 교육과정의 일반화된 지식에 해당되는 내용을 포함시킨 AAAS (2001)와 달리, 지식·이해와 과정·기능의 요소를 유기적으로 결합하여 핵심 개념을 제시하고 다른 핵심 개념과의 연결 유무를 나타냈다는 점, 연결 정도를 노드의 크기로 구분하여 나타냈다는 점이 특이할 만하다.

Figure 3.Seventh grade big ideas (Boaler et al., 2019, p. 21)

역량 교육을 추구하는 국가들에서 핵심 개념2)을 중심으로 학습 내용을 선정하여 조직할 때 고려하는 것은 초점, 깊이, 연계성이다(Ohn & Yoon, 2021). 핵심 개념 중심의 내용 선정 및 조직은 교과에 대한 깊이 있는 이해를 가능하게 하며, 지식 및 기능의 전이에도 효과를 기대할 수 있다(OECD, 2019, p. 77). 앞서 제시한 AAAS (2001)Boaler et al. (2019)의 사례는 내용 지식과 과정 지식을 유기적으로 통합하거나 연결 관계를 표시하여 핵심 개념과 일반화된 지식이 역량 함양의 토대가 되도록 하고 있음을 알 수 있다. 특히 수학적 추론, 수학적 모델링, 수학적 의사소통, 수학적 문제해결, 수학적 연결, 개념 이해 등 수학적 역량을 내용 지식과 직접 관련시켜 제시함으로써, 역량 교육이 어떤 내용 지식을 어떤 방식으로 지도함으로써 가능하고 적절한지를 파악하기 용이하다.

1. 핵심 개념 및 일반화된 지식의 연결망

2015 개정 수학과 교육과정에서는 수학과의 성격에서 “학생들은 수학의 지식을 이해하고 기능을 습득하는 것과 더불어 … 6가지 수학 교과 역량을 길러야 한다”(MOE, 2015, pp. 3-4)고 제시하고 있다. 학생들이 학습해야 하는 수학 교과 내용 지식 중심으로 성취기준이 구성되어 있으며, 교과역량은 모든 교과 내용에 적용할 수 있는 것으로 지식과 분리되어 제시되어 있다. 또한 “수학 교과 역량 함양을 통해 … 수학의 필요성과 유용성을 이해하고 수학 학습의 즐거움을 느끼며, 수학에 대한 흥미와 자신감을 기를 수 있다”(MOE, 2015, p. 4)고 하면서 교과 역량의 함양을 통해 수학에 대한 긍정적인 태도를 기르도록 하고 있다. 이와 같이 2015 개정 수학과 교육과정에서는 수학 내용지식과 기능, 역량, 그리고 태도 및 가치가 분리되어 있는 반면, 2022 개정 교육과정에서 각 교과에서의 교과역량이란 “교과 교육을 통해 학생들이 갖추기를 기대하는 능력이며, 교수·학습 과정에서 지식·이해, 과정·기능, 가치·태도 세 요소 간의 통합적 작동을 통한 학생의 수행”(MOE, 2021, p. 34)으로 의미의 변화가 이루어졌다. 2022 개정 수학과 교육과정 실행 당사자인 수학교사들은 이 변화를 이해해야 하며, 이를 핵심 개념 및 일반화된 지식의 연결망으로 구현하고 이를 수학 수업 설계의 토대로 활용할 수 있어야 한다.

핵심 개념 및 일반화된 지식의 연결망은 AAAS (2001)와 같이 지식·이해, 과정·기능을 분리하여 제시하는 형태와 Boaler et al. (2019)와 같이 통합하여 제시하는 형태가 가능하다. 핵심 개념 및 일반화된 지식의 연결망을 구성하기 위해서는, 한편으로는 적절한 하위 요소로 세분화하는 과정을, 다른 한편으로는 하위 요소 간의 관련성을 토대로 연결 관계를 표시하는 과정을 거쳐야 한다(Hurst, 2019, p.73). 다시 말해, 교사들은 핵심 개념 및 일반화된 지식 중심으로 학습 내용을 엄선하고 세부적인 측면이 드러나도록 요소화한 후, 수업을 설계하고 실행할 때는 각 요소 사이의 연결을 꾀할 수 있어야 한다. 상반되는 두 과정을 이해하고 자신의 교수 실제와 관련시킬 수 있는 전문성을 개발할 수 있어야 한다.

기존의 수학교육 연구에서 제안되었던 내용 계통도나 학습 위계도는 지식·이해, 과정·기능, 가치·태도의 세 범주 중 지식·이해에 해당하는 하위 요소 사이의 관계를 시각화한 것이었다. 예를 들어, Park et al. (2014)은 초등학교 규칙성 영역의 내용 계통도를 Figure 4와 같이 제시하였는데, 관련 지식 요소들 사이의 관계 중에서도 국소적인 위계 관계만 표현되어 있음을 알 수 있다. Kim et al. (2020)은 ‘비교하기’, ‘설명하기’, ‘그림 그리기’, ‘식 만들기’와 같은 과정·기능 요소를 추가하여 기존의 내용 계통도를 개선하였다(Figure 5 참조). 그러나 이 형태는 여전히 관련 지식 요소들 사이의 국소적인 위계 관계와 2015 개정 수학과 교육과정에서 제시한 ‘기능’을 일부 반영한 것으로, AAAS (2001)에서 제시한 학교급 및 학년군 사이의 전반적 위계와 Boaler et al. (2019)가 제시한 지식·이해, 과정·기능 사이의 유기적 결합에 따른 것은 아니다.

Figure 4.A hierarchy diagram on regularity (Park et al., 2014, p. 81)

Figure 5.A hierarchy diagram on ratio and proportion (Kim et al., 2020, p. 167)

2. 핵심 개념 및 일반화된 지식의 연결망 구성 사례

이 절에서는 지금까지 살펴본 역량 교육의 의미와 중요성, 역량 교육에서의 핵심 개념 및 일반화된 지식의 의미와 중요성, 핵심 개념 및 일반화된 지식의 연결망의 의미 관련 논의를 반영하고, 우리나라 수학과 교육과정 및 수학교육의 실제를 고려하여 핵심 개념 및 일반화된 지식의 연결망을 구성하고자 한다. 이를 위해 초등학교와 중학교, 고등학교의 다양한 내용 및 기능과 연결되어 학습 계열 면에서나 역량 교육 면에서 중요한 개념인 ‘비’를 선정하였다. 2015 개정 수학과 교육과정에서는 중영역 또는 여러 내용 요소를 아우르는 내용 영역으로 핵심 개념을 도출함으로써 핵심 개념과 일반화된 지식의 역할이 교육과정 이해와 실행에서 명확하지 않았다. 특히, 수학 개념들이 가지는 속성이나 원리 혹은 다른 개념과의 관계 등의 원리, 교수·학습에서 중요하게 다루어야 할 이해의 내용(Lee, 2017)으로 핵심 개념이 설정되지 않음에 따라 역량 교육 강화와 핵심 개념 사이의 관계가 명확하지 않았다. 2022 개정 수학과 교육과정에서는 이를 개선하여 핵심 개념의 의미를 재정의하였으므로(MOE, 2021), 연결망 구성에 있어서도 AAAS (2001)Boaler et al. (2019) 등 국외 사례를 참고하여 새로운 형태를 시도할 필요가 있다. 비의 경우, 비, 비례, 비례 추론을 관통하는 일반화된 지식으로, “두 가지 양이 비례적으로 관련되어 있을 때, 두 가지 양의 값이 같은 요인에 의해 변하기 때문에 하나의 양에 대한 다른 양의 비가 일정하다”(Lobato et al., 2010, p. 7)를 제시할 수 있다.

아울러 비와 관련된 지식·이해, 과정·기능 요소를 선행연구에서 다음과 같이 찾아볼 수 있다. 먼저 비와 비례 관계에 대한 학생들의 이해는 부분과 전체의 관계, 수치로 기술하고 비교하는 것에 대한 경험과 이해, 비와 비례에 맞는 기본 연산을 하면서 발달한다(AAAS, 2001). 비례 개념을 이해하고 성공적인 비례 추론을 위해서는 비 개념이 먼저 형성되어야 한다(Vergnaud, 1983). 비 개념의 근원은 비교와 공변이며(Jeong, 2003), 비는 두 양을 곱셈으로 비교하거나, 두 개의 양을 하나의 합성단위로 결합한 것이다(Lobato, et al., 2010). 그리고 비와 비례 개념을 이해하기 위해서는 a/b가 가지는 다양한 의미, 즉 각각 1/b만큼의 크기를 가지는 a개의 부분, a를 b로 나누기, a를 b로 비교, 1/b의 a배를 이해할 필요가 있다(AAAS, 2001; Lobato et al., 2010). 한편, 비와 비례 개념은 곱셈과 나눗셈, 분수의 의미와 연산, 약수와 배수, 공약수, 단위 등 사전에 학습한 개념들과 상호관련을 맺으면서 서로 의존적으로 발달하게 된다(Ko & Lee, 2007; Lee, 2006). 비와 비례, 비례 추론에 대한 이해를 발달시켜 갈 때 다양한 연산 기능이 요구되며, 특히 비례식과 비례배분 등의 내용은 초등 산술의 결정체이다(Lesh et al., 1988). 비례 추론은 오랜 기간에 걸쳐 발달하는데(Kastberg et al., 2012), 이 과정에서 학생들은 비비례 상황과 비례 상황을 구별할 수 있어야 한다(Chong & Jung, 2016; Jeong, 2013). 학생들이 활용하는 비형식적인 전략들은 비례 상황이 주어졌을 때 비례식을 세우고 비례식의 성질이나 알고리즘을 활용하는 형식적인 비례 추론을 하도록 하는데 도움이 된다(Lesh et al., 1988). 또한 학생들이 비례 상황에서 비형식적 전략을 개발하고 비례 추론의 형식적인 접근을 이해하도록 하기 위해 적절한 시각적 모델을 사용하여 문제를 해결하는 경험이 중요하다(Chong, 2015; Seo et al., 2017). 이와 같은 내용을 고려하여 핵심 개념 및 일반화된 지식 연결망의 초안을 도출하고 이를 정련함으로써 점차 타당화 할 수 있다.

학교급 및 학년군에 걸쳐 비에 대한 핵심 개념 및 일반화된 지식이 어떻게 다루어지는 지 나타낼 필요도 있다. 이와 관련해서는 기존의 교육과정 내용 계열을 참고할 수 있다. 우리나라 2015 개정 수학과 교육과정에서는 5~6학년군 내용 요소로 비와 비례 개념을 제시하였고(MOE, 2015), 실제로 수학 교과서에서는 초등학교 6학년 1학기에 비와 비율, 2학기에 비례 내용을 다룬다. 초등학교에서 다루는 비와 비례 개념은 상위 학교급인 중학교 수학과 교육과정에서 다루고 있는 정비례와 기울기, 닮음비와 삼각비 및 ‘확률과 통계’ 영역에서 상대적인 값을 다루는 경우 등 여러 수학 개념들과도 연결된다(Kwon et al., 2007). 이 외에도 속력, 밀도, 지도의 축척 등과 같은 것들은 그 자체가 비율을 나타내므로 비와 비례 개념은 수학 외에도 사회, 과학이나 기술 등 다른 영역의 내용과도 연결된다는 것을 표현할 수 있다(AAAS, 2001).

핵심 개념 및 일반화된 지식 연결망은 고정된 단 하나의 모델이라기보다 관련 연구를 조사하고 분석하여 반영하면서 그리고 현실 적합성을 제고함으로써 업데이트할 수 있는 것으로 볼 필요가 있다. 앞서의 논의를 반영한 비에 대한 핵심 개념 및 일반화된 지식 연결망을 Figure 6으로 표현할 수 있다. AAAS (2001)와 마찬가지로 지식·이해 요소는 음영 표시된 사각형, 과정·기능 요소는 일반 사각형으로 표현하였으며, 학교급 및 학년군을 구분하여 제시하였다. 학습 계열은 화살표로 나타내어 선수학습과 후행학습의 요소를 제시하였다. Figure 6에서는 비에 대한 핵심 개념 및 일반화된 지식 연결망에 가치·태도 요소를 반영하지는 않았다. 2022 개정 교육과정에서 지식·이해, 과정·기능, 가치·태도의 세 범주를 통합하여 교과 역량을 의미화 하였으므로 핵심 개념 연결망에도 세 범주의 통합을 표현할 필요가 있으나, 그렇게 하면 지나치게 복잡한 모델이 되어 시각화의 의의를 손상시키는 면이 있기 때문이다. 더욱이 유용성, 심미성, 수학에 대한 긍정적인 태도 등은 특정 지식·이해와 과정·기능에 한정되기 보다는 전반적으로 관련되어 연결되어야 하는 것이므로, 핵심 개념 및 일반화된 지식 연결망에 명시하는 대신 전반적이고 국소적인 수준에서 수학에 대한 가치와 태도를 기르는 방안을 모색하는 것을 제안한다.

Figure 6.An example of teacher’s diagram based on ratio, proportion, and proportional reasoning

이 절에 제시한 핵심 개념 및 일반화된 지식 연결망은 개별 교사의 신념, 지식, 교수 맥락에 따라 조정하여 사용하거나 동료교사들과 이룬 학습공동체에서 함께 논의하고 재구조화하여 활용할 필요가 있다. 모든 상황에 적합한 핵심 개념 및 일반화된 지식 연결망은 존재하지 않으며, 학생, 환경, 시대, 사회의 요구에 따라 하위 요소 사이의 관계를 다르게 설정할 필요가 있다. 우리나라 수학과 교육과정 개정에 따른 수학교육의 목표, 내용, 방법의 변화 역시 반영할 필요가 있다.

3. IB 교육과정에서의 핵심 개념의 의미와 교수·학습에의 적용

핵심 개념 및 일반화된 지식 연결망을 도출하기 위해서는 상당한 양의 선행연구에 대한 지식과 교수학적 내용 지식이 필요하다. 그러나 연결망이 있다고 해도 이를 자신의 수업 설계와 실행에 반영하는 것은 또 다른 전문성을 필요로 한다. 이와 관련하여 International Baccalaureate (IB) 교육과정의 실행 절차와 세부 관점은 유용한 참고자료가 된다. IB 교육과정은 초등 단계인 Primary Years Programme (PYP), 중등 단계인 Middle Years Programme (MYP), 고등 단계인 Diploma Programme (DP)으로 구성되어 있다. 본 절에서는 PYP와 MYP를 중심으로 IB 교육과정에서 제시하고 있는 핵심 개념 및 일반화된 지식의 의미와 교수·학습에서 이를 어떻게 적용하도록 하고 있는지에 대해서 살펴보고자 한다.

IB 수학과 교육과정의 모든 학교급에서는 교수·학습 방법으로 탐구를 강조하고 있으며, 학생들이 수학적 탐구를 통해 ‘개념 이해(conceptual understanding)’를 발전시켜 나가도록 하는 것을 목표로 한다. IB 교육과정에서 ‘핵심 개념(key concepts)’은 여러 주제나 과목에 걸쳐 있으며 넓은 범위의 지식을 연결하고 조직하는 추상적인 아이디어로 정의된다. 학생들은 핵심 개념을 통해 개념 이해에 도달하고, 가장 핵심적이며 본질적인 내용을 탐구할 수 있다(International Baccalaureate Organization [IBO], 2014a; 2018). PYP 교육과정에서는 ‘형식’, ‘기능’, ‘인과’, ‘변화’, ‘연결’, ‘관점’, ‘책임’, MYP에서는 ‘미학’, ‘변화’, ‘의사소통’, ‘공동체’, ‘연결’, ‘창의성’, ‘문화’, ‘발달’, ‘형식’, ‘상호작용’, ‘정체성’, ‘논리’, ‘관점’, ‘관계’, ‘시스템’, ‘시간’, ‘장소’, ‘공간’을 핵심 개념으로 제시한다. 이들 핵심 개념은 범교과적인 것이며, 각 교과에서는 ‘관련 개념(related concepts)’을 설정하여 핵심 개념 중심의 교육을 구현한다. 우리나라 교육과정의 맥락에 비추어 볼 때 수학과에서 제시하는 ‘관련 개념’은 수학과의 핵심 개념으로 보아도 무방하다. MYP 수학과 교육과정에서 제시한 수학과의 관련 개념은 Table 1과 같다(IBO, 2014a). 이중 ‘일반화’, ‘정당화’, ‘단순화’는 수학적 추론에, ‘변화’, ‘동치’, ‘패턴’, ‘시스템’은 수학적 성질과 법칙에, ‘양’, ‘공간’은 수학적 대상에, ‘측정’, ‘모델’, ‘표현’은 수학적 조작과 의사소통에 해당한다.

Table 1 Related concepts in mathematics (IBO, 2014a, p. 20)

관련 개념의미
변화크기, 양, 행동의 변화
동치명제, 양, 식에 적용되며, 완전히 같거나 서로 바꿀 수 있는 상태
일반화특정 예에 기초한 일반적인 명제
정당화명제를 지지하는 데 사용된 타당한 이유나 증거
측정정의된 단위를 사용해서 양, 크기, 차원을 결정하는 방법
모델식, 방정식, 그래프를 사용한 실생활 사건의 표현
패턴특정 순서나 규칙을 따르는 수나 대상의 집합
수의 양
표현어떤 것이 제시되는 방식
단순화더 작고 복잡한 형식으로 줄이는 과정
공간실재(entity)를 묘사하는 기하적 차원의 틀
시스템서로 연결된 요소들의 그룹


다음으로, PYP와 MYP 수학과 교육과정 문서에서 제시하고 있는 예시를 토대로 IB 교육과정에서 핵심 개념과 관련 개념을 실제 교수·학습 상황에 어떻게 적용하도록 안내하고 있는지 살펴보자. 우선, PYP 수학과 교육과정에는 ‘자료 다루기’, ‘측정’, ‘공간과 모양’, ‘패턴과 함수’, ‘수’의 5가지 영역이 있으며, 영역별 학생들이 도달해야 하는 개념 이해를 4단계로 제시하고 있다(IBO, 2009). 예를 들어, PYP의 ‘패턴과 함수’ 영역에서 제시한 개념 이해의 4단계는 Table 2와 같다.

Table 2 Conceptual understandings for pattern and function (IBO, 2009, p. 18)

단계개념 이해
1단계패턴과 수열이 일상 상황에서 발생한다.
패턴은 반복되고 성장한다.
2단계자연수는 관찰되고 묘사될 수 있는 패턴과 관계를 보여준다.
패턴은 수와 다른 기호를 사용하여 표현할 수 있다.
3단계함수는 한 집합의 원소를 다른 집합의 원소에 유일하게 연결하는 관계 또는 규칙이다.
패턴을 분석하고 패턴에 대한 규칙을 확인하여 예측할 수 있다.
4단계대수적 표현, 방정식, 함수를 사용하여 패턴을 일반화할 수 있다.
지수 표기는 같은 수의 반복 곱셈을 나타내는 강력한 방법이다.


개념 이해의 각 단계는 ‘중심 아이디어(central idea)’를 이해하는 것으로 이루어지며, 이것은 2015 개정 교육과정의 일반화된 지식과 비슷한 면이 있다. 앞서 논의한 핵심 개념과 관련 개념을 토대로 중심 아이디어를 다루고, 이로부터 개념 이해에 도달하도록 돕는 것이 교사의 책무이다. 중심 아이디어는 교사가 스스로 개발할 수도 있고, 교육과정에 제시된 예시를 활용할 수도 있다. Table 3은 PYP 수학과 교육과정에 나와 있는 중심 아이디어의 예시이다(IBO, 2018). 여기서 중심 아이디어는 3개의 핵심 개념(형식, 기능, 연결)과 3개의 관련 개념(패턴, 등식, 대수)을 통해 구현할 수 있으며, 대수를 도입하는 단계이자 패턴과 함수 개념 이해의 4단계에 도달하도록 하기 위한 것이다.

Table 3 An example of central idea aimed to develop conceptual understandings (IBO, 2018, p. 53)

중심 아이디어핵심 개념관련 개념주제
대수적 표현, 등식, 함수를 사용하여 패턴을 일반화할 수 있다.형식패턴수학과에서 대수를 도입할 때 활용할 수 있다.
기능등식
연결대수


Figure 7은 PYP에서 제시한 중심 아이디어의 다른 예시로, 핵심 개념 중에서는 기능, 변화, 연결을, 관련 개념 중에서는 표현, 관련성을 통해 다룰 수 있는 것으로 표현되어 있다. 중심 아이디어의 내용은 자릿값에 대한 이해를 바탕으로 범자연수와 분수를 세고, 순서 지으며, 연산할 수 있다는 것이다.

Figure 7.An example of central idea for PYP mathematics (IBO, 2010, p. 11)

PYP와 유사하게, MYP 수학과 교육과정에서도 학생들의 개념 이해 발달을 강조하고 있으며, 개념 이해 도달을 위해 앞서 제시한 12개의 핵심 개념과 12개의 관련 개념(Table 1 참조)을 토대로 탐구 수업을 설계하도록 안내하고 있다. MYP 수학과 교육과정은 ‘수’, ‘대수’, ‘기하와 삼각함수’, ‘통계와 확률’의 네 영역으로 구성되어 있으며, 각 영역별로 해당하는 핵심 개념과 관련 개념을 제시하고 있다(IBO, 2014a). 예를 들어, 수 영역에는 6개의 핵심 개념(변화, 의사소통, 연결, 발달, 정체성, 시스템)과 7개의 관련 개념(동치, 일반화, 정당화, 측정, 양, 단순화, 시스템)이 제시되어 있다. IB 교육과정에서는 교육과정 문서에 제시된 핵심 개념과 관련 개념은 고정된 것이 아니며 교사가 학교나 지역 상황에 맞게 또 다른 개념을 개발하여 사용할 것을 권장한다(IBO, 2014a).

PYP 교육과정에서는 수업에서 탐구해야 할 주요 학습 내용을 중심 아이디어로 표현하였다면, MYP 교육과정에서는 이를 ‘탐구 명제(statement of inquiry)’로 제시하고 있다. 중심 아이디어와 탐구 명제는 유사한 기능을 하는 것으로 보이며, MYP 교육과정에서는 핵심 개념과 관련 개념을 토대로 ‘국제적 맥락(global context)’을 고려하여 탐구 명제를 작성하도록 안내하고 있다. 국제적 맥락은 지구의 인류애와 보호에 대한 독립적이고 공유된 탐구를 향한 학습을 말하며(IBO, 2014a), 수학과 교육과정에서는 6개3)의 국제적 맥락을 제시하고 있다. MYP 교육과정에서 핵심 개념과 관련 개념뿐만 아니라 국제적 맥락을 고려하여 탐구 명제를 작성하도록 한 것은 수학 학습을 통해서 학생들이 갖추기를 기대하는 가치와 태도를 기르도록 하려는 의도로 파악된다. 이러한 의도는 IB 고등학교 교육과정을 분석한 Oh et al. (2021)의 연구에서도 확인할 수 있다. Oh et al. (2021)에 따르면, IB DP 수학과 교육과정은 학생들이 수학의 보편성과 국제적이고 역사적인 관점을 인식하도록 하기 위해 수학교과 내용을 국제적 마음가짐 또는 다양한 맥락이나 다른 교과와 연결하여 학습하도록 강조하고 있다.

Table 4는 MYP 수학과 교육과정에서 제시한 탐구 명제의 예시이다. 탐구 명제는 교육과정에 제시된 예시를 사용할 수도 있지만 교사가 직접 개발하여 사용할 수도 있다.

Table 4 Example statements of inquiry (IBO, 2014a, p. 21)

탐구 명제핵심 개념학습
관련 개념
국제적 맥락
건축가와 기술자들은 새로운 구조를 설계할 때 유한한 자원을 책임 있게 사용해야 한다.

형식

공간

공정성과 발전

기하와 삼각함수-부피
의사결정은 관계를 표현한 모델을 사용해서 향상될 수 있다.

관계

모델

표현

정체성과 관계

대수-이차함수


탐구 명제가 설정된 후 교사는 탐구 명제를 토대로 ‘탐구 질문(inquiry questions)’을 만들어야 한다. MYP 교육과정은 탐구 질문이 교수·학습의 방향을 제시해주며 학습 경험을 조직하고 계열화하는 데 도움이 된다는 점을 언급하고 있다(IBO, 2014a). 탐구 질문은 사실적, 개념적, 논쟁적 질문의 세 가지 다른 특징의 질문들로 구성된다. MYP에 제시된 세 가지 탐구 질문의 예시는 Table 5와 같다. 교사는 이러한 탐구 질문들을 수업 전에 미리 만들어 놓을 수도 있으며, 수업 시간에 학생들과 함께 질문을 만드는 것도 가능하다. 탐구 질문을 활용하는 방식은 학생들이 수업을 통해 세 가지 유형의 질문에 대한 답을 찾아가면서 학습해야 할 핵심적인 아이디어를 파악하고 수학 지식의 특성을 이해할 수 있는 기회를 가질 수 있다는 점에서 매우 의미가 있다고 생각된다. 결론적으로 탐구 명제와 탐구 질문의 설정은 교사와 학생 모두에게 무엇을 학습해야 하는지, 학습 내용이 교과간 혹은 다양한 맥락과 어떻게 연결되는지 그리고 학습의 결과가 무엇이 될지에 대한 이미지를 형성하는 데 도움이 된다고 볼 수 있다.

Table 5 Example of factual, conceptual and debatable questions (IBO, 2014a, p. 22)

사실적 질문: 사실과 주제의 기억개념적 질문: 핵심 개념의 분석논쟁적 질문: 관점의 평가와 이론의 발전

서로 직교하는 직선의 기울기는 어떻게 비교하는가?

양의 부피와 넓이는 어떻게 다른가?

함수가 ‘해’를 갖는다는 것은 무엇을 의미하는가?

어림은 왜 유용한가?

우주의 모든 사건은 확률에 의해 결정되는가?

무한은 얼마나 큰가?



MYP 교육과정에서는 교사가 실제 수업을 계획할 때 핵심 개념, 관련 개념, 국제적 맥락을 고려하여 탐구 명제와 탐구 질문을 만들도록 유도하기 위해 Figure 8과 같은 수업 설계 템플릿을 제공하고 있다. 그러나 이 템플릿을 사용하여 수업을 설계하기 위해서는 교사가 가르치고자 하는 내용과 관련된 핵심 개념과 관련 개념을 도출할 수 있어야 하는데, 이는 전 학년과 영역에 걸쳐 수학내용 지식과 기능이 수평적, 수직적으로 어떻게 연결되어 있는지를 교사가 전체적으로 조망할 수 있어야 가능한 일이다. 전체적인 조망 없이는 교사가 스스로 가르쳐야 할 내용에서 핵심적으로 다루어야 하는 아이디어가 무엇인지 파악하고 선택하는 것은 쉬운 일이 아니기 때문에 앞서 제시한 Figure 6과 같은 연결망을 지속적으로 개발하고 교사들에게 안내하는 노력이 필요하다고 생각된다.

Figure 8.MYP unit planner (IBO, 2014b, p. 52)

요약하자면, IB 수학과 교육과정은 전 교과에서 다룰 핵심 개념, 각 교과에서 다룰 관련 개념, 중심 아이디어 또는 탐구 명제를 통해 체계적으로 핵심 개념 중심의 수학교육이 진행되도록 하고 있으며, 교사가 실제 수업에서 이를 어떻게 구현해야 하는지에 대한 안내가 상당히 구체적으로 제시되어 있다. 교육과정에서는 교사에게 수업의 방향을 명확하게 보여주기 위해 다양한 예와 수업 설계 템플릿을 제시해주기도 하지만, 교사들이 학교와 지역의 상황에 적절하게 새로운 핵심 개념과 관련 개념을 개발할 수 있도록 하는 자율성을 주기도 한다. 이는 교사가 범교과적으로 강조하는 바와 수학과의 관련 개념, 핵심 개념 또는 탐구 명제를 파악하고 구체적으로 자신의 수업과 연결할 수 있어야만 가능한 일이다.

본 연구에서는 2015 개정 수학과 교육과정에서 역량 교육을 추구하기 위해 도입한 핵심 개념과 일반화된 지식이 역량 교육과 관련하여 실효성을 갖지 못한다는 지적을 확인하고 이를 개선하고 수학교육 실제와 관련시켜 구현할 수 있는 방안을 모색하였다. 핵심 개념은 역량 교육을 추구하기 위해 도입되었으나, Lee (2017)가 구분한 세 가지 형태 중 하나인 주요 내용 영역을 명시하는 방식으로만 제시되어 역량 교육과의 관련성이 드러나지 않게 되었다. 역량 교육과 관련을 맺기 위해서는 내용 지식만이 아니라 과정 지식도 핵심 개념에 포함시켜야 하며, 내용 지식의 경우도 단순히 중영역의 이름이 아니라 관련 수학 개념들 사이의 관계나 중요한 원리 및 개념 이해의 초점을 명시하는 것이어야 한다. 또한, 2015 개정 수학과 교육과정에서 제시한 일반화된 지식의 경우, 지나치게 포괄적이거나 학생들이 영속적으로 이해해야 하는 내용으로서 학교급 및 학년군을 관통하는 중심축이 되는 것을 서술하지 못하였다는 문제가 제기되었다(Lim & Hong, 2016; Yang, 2019). 2015 개정 수학과 교육과정에서는 일반화된 지식을 통해 핵심 개념과 내용 요소 사이의 가교를 구축한다는 의도를 가지고 있었으나(Park et al., 2015), 이 또한 역량 교육과는 직접적인 관련성을 갖지 못하게 되는 결과로 이어졌다. 결론적으로, 2015 개정 수학과 교육과정의 핵심 개념과 일반화된 지식은 수학과에서 역량 교육을 추구함에 있어서 고려해야 하는 바를 문서 체제로 명확히 구현하는 데에도 그리고 수학과 교육과정의 실행 당사자인 교사들에게 수학 수업에서 역량 교육을 구현하기 위한 토대를 제공하는 데에도 부족함이 있었다. 이를 개선하기 위해 본 연구에서는 AAAS (2001)Boaler et al. (2019), IB 교육과정의 사례를 분석하고, 2022 개정 교육과정 총론 시안(MOE, 2021)에서 제시한 교과 역량의 의미를 고려하여, 핵심 개념 연결망을 구축하고 교수·학습에서 이 연결망을 활용하는 방안을 모색하였다. 주요 연구결과로부터 도출한 시사점은 다음과 같다.

첫째, 주요 내용 주제에 대한 지식·이해 및 과정·기능 요소 또는 측면을 모두 반영하여 핵심 개념 및 일반화된 지식을 제시하는 방안을 모색할 필요가 있다. 본 연구에서 살펴본 AAAS (2001)에서는 지식·이해 및 과정·기능 측면을 일반화된 지식의 형태로 제시하면서, 서로 다른 항목 사이의 논리적·심리적 영향 또는 선후 관계를 표시하는 방식으로 핵심 개념 및 일반화된 지식을 제시하였다(Figure 2 참조). 이는 학교급 및 학년군에서 어떤 내용 주제를 어떤 지식·이해와 과정·기능 측면에 초점을 두어 다루어야 할 지 명시하는 형태였다. 학교급 또는 학년군 사이의 연계를 역량 교육의 관점에서 추구할 수 있다는 면에서 유용한 방식이다. 이와 달리 Boaler et al. (2019)은 지식·이해 요소와 과정·기능 요소를 유기적으로 통합하여 간결하게 제시함으로써 각 학년에서 추구해야 하는 핵심 개념 및 일반화된 지식을 제시하였다(Figure 3 참조). 어떤 핵심 개념 또는 일반화된 지식이 해당 학년에서 비중 있게 다루어지는 지를 노드의 크기로 구분하여, 한 학년 동안 이루어지는 수학 교수·학습이 특정 개념의 이해와 과정 향상에 초점을 둔다는 것도 명시하였다. IB 교육과정에서는 범교과적으로 핵심 개념을 설정하여 제시하고, 각 교과에서는 관련 개념과 중심 아이디어를 통해 핵심 개념과 일반화된 지식을 명시하였다. 핵심 개념과 관련 개념은 지식·이해와 과정·기능 측면이 모두 포함되며, 중심 아이디어는 일반화된 지식처럼 문장으로 제시하되 두 측면을 통합한 형태로 서술되어 있었다(Table 3 참조). IB 교육과정에서는 중심 아이디어 예시를 제공하고, 교사가 자율적으로 예시를 활용할지 아니면 각자의 상황에서 다른 중심 아이디어를 설정하여 수업을 설계할지 판단하도록 하고 있다. 2022 개정 수학과 교육과정의 문서 체제가 아직 확정되지 않았으나, 이미 총론 시안에서는 지식·이해 및 과정·기능의 성격을 밝히고 있으므로, 앞서 살펴본 세 가지 모델을 참고하여 핵심 개념 및 일반화된 지식 연결망 구성 방안을 모색할 필요가 있다.

둘째, 핵심 개념 및 일반화된 지식 연결망은 고정된 단 하나의 형태가 아니라 상황과 교사의 신념, 판단에 따라 자율적으로 변형하여 재구성할 수 있는 것으로 도입될 필요가 있다. 본 연구에서는 학교수학의 주요 주제 중 하나인 ‘비’의 핵심 개념 및 일반화된 지식 연결망을 구성해보았는데(Figure 6 참조), 국내외 관련 연구를 검토하여 지식·이해와 과정·기능 측면을 두루 반영하고 필요에 따라 연결하는 과정에서 상당한 노력과 전문성이 필요하다는 것을 확인하였다. 이는 교사 개인의 노력과 전문성에만 맡겨두어서는 적절한 구성이 어렵다는 것을 시사한다. 수학과 교육과정에서는 상황과 교사의 판단에 따라 변형 가능하다는 것을 전제로, 유망한 연결망을 구성하여 예시 자료로 제공하는 것이 필요하다. 국내외에서 최근 연구 동향과 기술 공학 도구의 발달 등 변화가 나타날 때 유연하게 반영하는 시스템을 구축하는 것도 필요하다. 수학교사들이 교원학습 공동체를 이루어 연구하고 실행하여 개선하는 핵심적인 주제가 되도록 지원이 이루어질 필요도 있다. 후속 연구에서 핵심 개념 및 일반화된 지식이 깊이 있는 학습과 영속적인 이해에 얼마나 영향을 미쳤는지를 검증하는 것도 필요하다.

셋째, 핵심 개념 및 일반화된 지식을 실제 수학 수업의 설계와 실행에 활용하는 절차를 체계화하여 수학 교사들의 삶과 활동을 지원할 필요가 있다. 본 연구에서 살펴본 IB 교육과정에서는, 범교과적인 핵심 개념, 수학과에서의 관련 개념, 중심 아이디어, 국제적 맥락 등을 예시 자료에 의해 구체화하고(Table 3Table 4 참조), 실제로 수학 교사가 이들을 순차적으로 그리고 체계적으로 고려하면서 수학 수업을 설계하고 실행한 후 성찰하도록 하고 있다. 각 단계에서 고려해야 할 측면이나 사항을 개념 이해 단계 또는 수업 설계 템플릿(Figure 8 참조)을 통해 명시하여, 수학 교사의 실행을 단계적으로 지원하고 있다. 수학과 교육과정 개정이 이루어진 후 문서 체제의 주요 변화에 대한 연수가 진행되지만, 각각의 항목이 어떤 의도와 용법에 따른 것인지보다는 피상적이고 추상적인 문서 해설에 그치는 경우가 많다. 이에 잦은 교육과정 개정과 그에 따른 피로감, 변하지 않는 수학교육 실제가 되풀이되는 악순환이 개정 연구 때마다 지적되고 있다. 핵심 개념 및 일반화된 지식 제시 형태를 개선하면서 그와 더불어 실행 절차와 예시 적용 사례를 명시한다면 이와 같은 악순환의 고리를 끊을 수 있을 것으로 생각한다.

본 연구에서는 2015 개정 교육과정과 2022 개정 교육과정 총론에서 공통적으로 역량 교육을 추구하면서 그 일환으로 강조한 핵심 개념 및 일반화된 지식 중심의 교육(Ohn & Yoon, 2021)을 수학과에서 구현하는 방안을 모색하였다. 구체적으로, 지식·이해와 과정·기능의 통합 및 연결망 제시 방안, 핵심 개념 및 일반화된 지식 연결망의 유연하고 자율적인 활용 필요성, 수학 교사의 핵심 개념 및 일반화된 지식 적용 절차 예시 등을 논의하였다. 후속 연구에서는 2022 개정 교육과정의 확정된 문서 체제를 고려하여 핵심 개념 및 일반화된 지식 연결망 예시 자료를 개발하고, 수학 교사의 해석 및 변형, 적용 효과를 분석할 필요가 있다. 핵심 개념 및 일반화된 지식 중심의 수학 수업이 오히려 학생들의 역량 함양에서 불평등을 야기할 수 있는지 여부도 연구하여 역량 교육의 적절성에 대한 논의(Jablonka, 2015)도 지속할 것을 제안한다.

1) 핵심 개념은 big ideas, key ideas, core ideas 등 다양한 용어로 표현된 개념의 번역어이다. 관련 연구를 살펴볼 때 서로 다른 용어를 사용하더라도 의미상 동치인 것은 핵심 개념으로 보고 분석하였다. 또한, 2015 개정 교육과정에서는 핵심 개념과 일반화된 지식을 통해 big ideas를 구현하고자 하였으므로, 국내외 연구 결과를 검토한 결과를 바탕으로 시사점을 도출할 때 핵심 개념만이 아니라 일반화된 지식에 대한 것으로도 해석하였다.

2) 원저에서는 ‘빅 아이디어’로 표현했으나, 본 연구에서는 핵심 개념을 big ideas의 번역어로 보고 있으므로 불필요한 의미 간섭을 피하기 위해 핵심 개념으로 용어를 통일하였다.

3) 정체성과 관계, 공간과 시간의 방향, 개인적 문화적 표현, 과학적 기술적 혁신, 세계화와 지속가능성, 공정성과 발전

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Article

Original Article

2022; 32(2): 63-82

Published online May 31, 2022 https://doi.org/10.29275/jerm.2022.32.2.63

Copyright © Korea Society of Education Studies in Mathematics.

A Study on the Application of the ‘Key Concepts’ and ‘Generalized Knowledge’ for Mathematics Competency Education

Kyeong-Hwa Lee1, Eunjung Lee2, Minsun Park3 , Mimi Park4

1Professor, Seoul National University, 2Assistant Professor, Gwangju National University of Education, South Korea, 3Teacher, Dwight Morrow High School, U.S., 4Associate Research Fellow, Korea Institute for Curriculum and Evaluation, South Korea

Correspondence to:Mimi Park, parkmimi27@gmail.com
ORCID: https://orcid.org/0000-0003-2561-8002

Received: April 1, 2022; Revised: April 29, 2022; Accepted: May 1, 2022

This is an Open Access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution Non-Commercial License (http://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0), which permits unrestricted non-commercial use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.

Abstract

This study explores the application of ‘key concepts’ and ‘generalized knowledge’ in the 2015 revised mathematics curriculum to mathematics teaching practices, according to the competency education as articulated in the 2022 revised curriculum. The 2022 revised curriculum re-conceptualizes subject competency as comprising ‘knowledge and understanding,’ ‘process and skills,’ and ‘values and attitudes.’ Accordingly, the construct of key concepts and generalized knowledge is required to integrate the aforementioned factors; however, previous studies have only integrated ‘knowledge and understanding’ and ‘process and skills.’ Building on prior research, the current study proposes the network of key concepts and generalized knowledge through the integration of ‘knowledge and understanding’ and ‘process and skills.’ The implications of our exploration are as follows. First, the network of key concepts and generalized knowledge should be derived by reflecting the elements or aspects of ‘knowledge and understanding’ and ‘process and skills’ for learning content. Second, it is necessary to reconstruct the network of key concepts and generalized knowledge in consideration of situated contexts and the teacher’s beliefs and judgments. Third, systematizing the procedures of utilizing key concepts and generalized knowledge in the design and implementation of mathematics instruction is needed for supporting mathematics teachers.

Keywords: key concepts, generalized knowledge, the 2022 revised curriculum, mathematics competency education, network

I. 서론

급변하는 현대 사회에서 학생들에게 단편적인 지식만 가르쳐서 미래를 대비하게 하는 것에는 한계가 있다. 오히려 학습한 내용을 삶의 맥락에서 적용하고 복잡한 문제를 해결하는 역량이 더 중요하다(Ministry of Education [MOE], 2021, p. 2). 이에 따라 2022 개정 교육과정 총론 주요사항 시안에서도 역량 함양 교과 교육과정의 개발을 강조한다. 2022 개정 교육과정 총론 주요사항 시안에서 교과 역량은 교과 교육을 통해 학생들이 갖추기를 기대하는 능력이며, 교수·학습 과정에서 지식·이해, 과정·기능, 가치·태도 세 요소 간의 통합적 작동을 통한 학생의 수행으로 나타나는 것을 가리킨다(MOE, 2021, p. 34).

역량 교육은 2015 개정 교육과정부터 명시적으로 추구한 관점이며, 이를 위해 2015 개정 교육과정에서는 ‘핵심 개념’과 ‘일반화된 지식’을 제시하였다(MOE, 2015). 2015 개정 교육과정에서 제시한 핵심 개념은 교과를 가장 잘 대표하면서 교과의 큰 그림을 볼 수 있도록 돕는 빅 아이디어로 도입되었으나, 교과에 따라서는 내용 영역이나 내용 요소를 핵심 개념으로 제시함으로써 빅 아이디어의 의미를 살리지 못하였고 결국 역량 교육과의 관련성을 드러내지 못하였다(Lee & Hong, 2017; Ohn & Yoon, 2021). 2015 개정 수학과 교육과정은 그 대표적인 예로, 가령, 초등학교 기하 영역의 핵심 개념을 ‘평면도형’과 ‘입체도형’과 같이 중영역에 해당되는 것으로 설정하였다. 일반화된 지식도 각각 “주변의 형태는 여러 가지 평면도형으로 범주화 되고, 각각의 평면도형은 고유한 성질을 갖는다”(MOE, 2015, p. 8)와 “주변의 형태는 여러 가지 입체도형으로 범주화 되고, 각각의 입체도형은 고유한 성질을 갖는다”(MOE, 2015, p. 8)로 제시하여, 역량 교육과의 관련성을 드러내지 못하였다.

Lee (2017)는 수학과에서 논의해 온 핵심 개념의 의미 또는 유형을, 가르쳐야 할 중요한 수학 내용을 분류한 영역, 수학 개념들이 가지는 속성이나 원리 혹은 다른 개념과의 관계 등의 원리, 교수·학습에서 중요하게 다루어야 할 이해의 내용과 같이 세 가지로 구분하였다. 2015 개정 수학과 교육과정의 핵심 개념은 이 중 첫 번째에 해당하는 것으로, 그리고 일반화된 지식은 핵심 개념과 내용 요소 사이의 가교 역할을 하는 것으로 설정되었다(Park et al., 2015). 그러나 수학과의 일반화된 지식은 학생들이 해당 영역에서 학습해야 할 보편적인 지식이라고 보기도 또 수학적 원리라고 보기도 어려울 만큼 포괄적이어서 본래의 의미에도 어긋나고 제 역할을 하지 못한다는 비판이 제기되었다(Lim & Hong, 2016). 수학과의 일반화된 지식이 주어진 영역에서 학년과 학교급을 관통하는 중심축의 역할을 제대로 하고 있는 지에 대해서도 문제 제기가 이루어졌다(Yang, 2019). 이와 같은 비판은 Lee (2017)가 제시한 다른 두 의미에서의 핵심 개념, 곧, 수학 개념들이 가지는 속성이나 원리 혹은 다른 개념과의 관계 그리고 교수·학습에서 중요하게 다루어야 할 이해의 내용이 핵심 개념 및 일반화된 지식에 반영되지 않았다는 데 기인하는 것으로 볼 수 있다.

2022 개정 교육과정에서는 지식·이해, 과정·기능, 가치·태도 세 요소 간의 통합에 의한 것으로 교과 역량을 재개념화하고, 2015 개정 교육과정에서 핵심 개념 및 일반화된 지식으로 제시했던 바를 ‘핵심 아이디어’로 통합하여 문서 체제의 요소로 제시한다(MOE, 2021, p. 34). 역량 교육 추구를 위해 핵심 개념 및 일반화된 지식을 선정하여 교수·학습에서 중요하게 다루도록 하는 입장에 있어서는 2022 개정 교육과정이 2015 개정 교육과정의 연장선상에 있는 것이다. 그러나 2015 개정 수학과 교육과정을 적용하는 과정에서 핵심 개념 및 일반화된 지식을 수학 수업 설계와 실행에 어떻게 관련시켜 역량 교육을 추구할 수 있는 지에 대한 연구는 거의 이루어진 바가 없다. 이에 본 연구에서는, 수학 개념의 속성, 원리, 다른 개념과의 관계 등에 대한 내용과 교수·학습에서의 초점에 해당되는 내용(Lee, 2017)이 반영된 핵심 개념 및 일반화된 지식을 수학교육 실제와 관련시켜 어떻게 구현할 수 있는 지 살펴보고자 한다. 이를 위해 먼저 핵심 개념 중심의 수학교육의 배경이 되고 있는 역량 교육의 의미와 중요성에 대한 선행연구의 논의를 살펴본다. 다음으로 역량 교육에서의 핵심 개념의 의미와 역할, 핵심 개념 연결망의 형태, 핵심 개념 연결망 구성 사례, 핵심 개념 중심 수학 수업 설계 절차를 살펴보고, 이로부터 핵심 개념 및 일반화된 지식을 수학교육 실제에 구체적으로 연결하여 구현하는 방안을 모색하고자 한다.

II. 역량 교육과 핵심 개념 중심의 수학교육

1. 역량 교육의 의미와 중요성

역량 교육의 의미와 중요성은 Organization for Economic Co-operation and Development (OECD)의 DeSeCo 프로젝트를 시작으로 최근의 OECD Education 2030 프로젝트에 이르기까지 계속해서 정교화되고 강조되고 있다(OECD, 2019). 이 프로젝트에서는 무엇보다도 ‘학생 행위 주체성(student agency)’과 ‘변혁적 역량(transformative competencies)’을 강조하는데, 이를 발달시키기 위한 핵심 토대로 지식, 기능, 태도 및 가치를 제시한다. 즉 역량은 지식이나 기능을 단순히 획득하는 것 이상의 것으로 핵심 토대를 바탕으로 길러질 수 있으며, 지식, 기능, 태도 및 가치를 포함하는 통합적인 개념이다(OECD, 2019, p. 25). 여기서 지식, 기능, 태도 및 가치 또한 상호 의존하며 발달된다. National Research Council (NRC, 2001)에서는 “내용 지식을 발달시키는 것은 기능을 습득하는 토대가 되며 반대로 기능 또한 내용을 잘 이해하고 사용하기 위해 필수적이다. 즉, 지식과 기능은 엮이기만 하는 것뿐만 아니라 서로를 강화한다”(OECD, 2019, pp. 74-75에서 재인용)고 말한다. 또한 태도 및 가치도 지식과 기능을 사용하는 동기로 작용하며, 학생이 학습 과정을 즐기고 가치 있게 바라보면 지식과 기능이 새로운 맥락에서 더 잘 전이된다(OECD, 2019).

미국에서 역량 교육에 주목한 연구들로는 National Council of Teachers of Mathematics (NCTM)에서 개발한 규준(NCTM, 1989; 2000)과 NRC (2001)를 들 수 있다. NCTM에서는 학교 수학에서 다루어져야 할 내용과 과정을 내용 규준, 과정 규준으로 제시한다(NCTM, 2000). 내용 규준으로는 ‘수와 연산’, ‘대수’, ‘기하’, ‘측정’, ‘자료 분석과 확률’을, 과정 규준으로는 ‘문제 해결’, ‘추론과 증명’, ‘의사소통’, ‘연결성’, ‘표현’을 제시하였다. 또한 NCTM (1989)에서는 학생들이 갖추어야 할 태도로 수학을 가치 있게 여기고 수학을 하는 능력에 자신감을 가지는 것도 포함하였다. NRC (2001)에서 제시한 수학을 성공적으로 학습하기 위해 필요한 수학적 역량에는 다섯 가지 요소가 있는데, ‘개념적 이해’(수학 개념, 연산, 관계에 대한 이해), ‘절차적 유창성’(절차를 유연하고 정확하고 효율적이고 적절하게 수행하는 기술), ‘전략적 역량’(수학 문제를 구성하고 표현하고 해결하는 능력), ‘조정 추론’(논리적 사고, 반성, 설명, 정당화하는 능력), ‘생산적 태도’(수학을 가치 있는 학문으로 보는 태도)가 포함된다. 이들은 서로 연관되어 있으며, 이를 각각의 요소 다섯 가닥이 서로 엮여 한 줄기를 이루는 것으로 비유하였다. 즉, 학생이 수학을 학습할 때 또는 교사가 수학적 역량을 개발시킬 때, 각 요소에 초점을 맞추더라도 다른 요소의 개발을 자극하게 되므로 다른 요소와의 관련 속에서 상호 관련성을 파악하고 총체적으로 접근해야 한다는 것이다(Chang, 2012). 이러한 NCTM 규준과 NRC의 수학적 역량을 바탕으로 미국의 수학교육과정 규준인 Common Core State Standards for Mathematics (CCSSM)가 등장하였다. 여기에서는 내용 규준과 함께 K-12학년 전체에 걸쳐 학생들이 성취해야 할 수학적 실천을 제시한다. 이는 NCTM의 과정 규준과 유사하다는 평가도 받고 있으나, 수학적 실천은 학생들이 참여해야 하는 과정에 대해 구체적인 진술과 함께 정확한 측면에서 타인과의 토론이나 자신의 추론에서 명확한 정의를 사용하는 등의 노력을 강조하는 특성을 보여준다(Chang, 2012). 이처럼 1990년대 이후부터 오늘날까지 지식을 이해하고 학습하는 것과 관련하여 인지적, 인식론적 개혁이 일어났다(Schoenfeld, 2004). 이 과정에서 역량이 중요하게 대두되었으며, 사실과 절차를 아는 것을 넘어서 새로운 맥락에서 문제를 해결하는 능력을 강조하게 되었다. 또한 수학에 대한 태도의 교육도 함께 강조되어왔다.

수학적 역량의 의미와 교육에 주목한 중요한 연구 중 하나로 일컫는 덴마크의 KOM 프로젝트에서는 수학적 역량을 주어진 상황에서 수학 문제에 대해 적절하게 행동하도록 통찰력 있게 준비된 상태로 정의하였다(Niss & Højgaard, 2019). Niss와 Højgaard는 수학 내용 지식이나 관련된 절차적 기능보다 수학의 실행을 강조하고자 하였으며, 이를 위해 수학적 역량을 구성하는 요소를 Figure 1과 같이 제시하였다. 각 요소들은 구별되지만 서로 영향을 미치기 때문에, 한 요소에 주목했더라도 다른 요소들이 보조적인 역할을 할 수 있다고 말한다. 이러한 통합을 꽃잎의 중첩으로 표현하였다. 또한 내용을 안다고 해서 역량을 갖추었다고 할 수 없으며, 기능에 해당하는 것을 한다고 해서 역량을 갖추었다고 할 수 없듯이 역량을 통합된 관점으로 바라보는 것을 강조하였다. 한 가지 주목할 점은 Niss와 Højgaard의 모델에서 가치 및 태도와 같은 정의적 측면은 드러나지 않는다는 것이다. 연구자들은 정의적 측면이 분명히 큰 영향을 미치지만 이는 다양한 요인에 의해 변할 수 있기 때문에 개별적인 특성을 띠어서 여기서는 제외하고 인지적 측면만 제시하였으며, 언제든 정의적 측면을 포함하여 역량을 개념화하는 것 또한 가능하다고 말한다(Niss & Højgaard, 2019, p. 18).

Figure 1. A visual representation of the eight mathematical competencies (Niss & Højgaard, 2019, p. 19)

국가마다 역량의 표현 형식이나 하위 요소에 있어서는 차이가 있더라도, 수학교육에서 역량 교육의 중요성에 주목한 것은 전세계적인 흐름이라고 볼 수 있다. 많은 국가에서 수학과 교육과정을 통해 역량 교육의 구체적인 내용과 형태를 제시하고 있으며, 내용 지식, 기능, 태도를 역량 교육과 관련시키는 방식에 있어서는 다소간의 차이가 있다(Niss et al., 2017). 2015 개정 교육과정에서 추구한 수학 교과 역량은 추론, 문제해결, 의사소통, 정보처리, 창의·융합, 태도 및 실천으로 내용 지식을 포괄하지 않는 것이었다. 반면에, 2022 개정 교육과정에서는 지식을 포함하는 것으로 교과 역량을 재의미화 함에 따라(MOE, 2021), 수학과 교육과정에서도 수학 교과 역량을 지식·이해, 과정·기능, 가치·태도의 세 범주를 통합한 것으로 재의미화가 불가피하다. 본 연구에서는 수학적 역량의 의미 변화를 수용하면서 역량 교육의 일환으로 강조되는 핵심 개념 및 일반화된 지식의 재개념화와 이들을 구현할 수 있는 방안을 모색하고자 한다.

2. 역량 교육에서의 핵심 개념 및 일반화된 지식의 역할1)

핵심 개념의 의미를 제시한 대표적인 연구로는 Wiggins와 McTighe (2005)를 들 수 있으며, 이들은 “개별적 사실들과 기능들을 연결하고 의미를 부여하는 개념, 주제, 쟁점”(p. 5)을 핵심 개념의 정의로 제시하였다. 이는 학생들이 학교에서 배운 구체적인 정보와 사실들을 모두 잊어버린 후에도 마음 속에 남아 있는 것으로서 곧 ‘영속적 이해(enduring understanding)’에 해당한다. 핵심 개념은 본질적인 질문을 통해 얻어지며, 특정한 교과에 얽매이지 않고 종종 교과 간 경계를 넘나드는 간학문적 성격을 띠기도 한다(Wiggins & McTighe, 2005, p. 68). 또한 핵심 개념은 학생들이 습득해야 하는 것이 아니라 학생들이 탐구를 통해서 구성하고 내면화하는 것이라는 점이 중요하다(Lee et al., 2021). 유사하게 Charles (2005)는 “수학 학습에 핵심적인 여러 수학적 이해를 일관적인 전체로서 연결하는 아이디어에 대한 진술”(p. 10)을 핵심 개념으로 정의하였다. 핵심 개념을 선정하기 위해 수학 개념이나 기능들을 철저히 분석할 수도 있고, 또는 학년간 및 영역 간에 걸쳐 연결성과 유사성을 확인함으로써 내용 분석을 할 수도 있다. 핵심 개념에 대해 두 연구에서 강조하여 언급한 것은 ‘연결성’이며, NCTM (2000)에서는 연결성을 과정 규준의 하나로 제시한 바 있다.

연결성은 미국 과학 진흥협회(American Association for the Advancement of Science, AAAS)에서 과학, 수학, 기술 분야의 소양교육 방안을 모색하고자 했던 장기간의 연구 프로젝트인 Project 2061의 핵심 원리이자 전략이기도 하다. 여기서는 과학, 수학, 기술 분야에서 알아야 하고 할 수 있어야 하는 것이 무엇인지를 설정하고, 단위 아이디어들 간에 추상적, 논리적인 연결망을 만들어 적용하는 사고 능력을 기르는 것에 주목하였다. 단위 아이디어들은 2015 개정 수학과 교육과정의 일반화된 지식에 해당하는 것과 더불어 수학적 추론에 대한 것으로, 수, 기호로 표현된 관계, 도형, 불확실성, 추론을 제시하였다(AAAS, 1991). 연결성을 가시화한 사례는 Figure 2의 ‘비와 비례’ 개념도이다.

Figure 2. Ratios and proportionality map (AAAS, 2001)

Figure 2에는 학년군별 목표, 지식, 기능과 더불어 연결 관계가 표현되어 있다. 여기서 연결은 교과 내용 상의 논리나 학습 인지 연구 결과를 반영한 것이다. 선수학습 관계 또는 학습 계열에 대한 정보와 더불어 서로 다른 요소 사이의 복합적인 관련성을 확인할 수 있다. 이 그림은 학교급 및 학년군을 관통하는 목표, 지식, 기능 사이의 관련성을 파악하는 데 유용하며, 어느 학교급 및 학년군에 있는 수학 교사라도 전반적인 구조와 관계를 알고 핵심 개념 및 일반화된 지식을 지도할 수 있어야 한다는 점에서 중요하다. 그러나 일상적으로 한 학년의 지도를 담당하는 수학 교사의 입장에서는 전반적이고 수직적인 관계도와 더불어 해당 학년의 핵심 개념과 그 요소 사이의 연결망을 파악하는 것이 필요하고 중요하다. 이와 관련해서는 Boaler et al. (2019)의 시도를 참고할 수 있다. 이들은 Figure 3과 같이 7학년 핵심 개념과 그 요소 사이의 관계를 구조화하여 제시하였다. 또한, 성장형 마인드셋을 바탕으로 자신이 얼마든지 더 발전할 수 있고, 자신이 한 실수나 도전적인 과정을 통해 더 성장할 수 있다는 믿음을 기반으로 이와 같은 핵심 개념 중심의 수학교육 실행 방안을 모색하고 있다(Boaler, 2015). Figure 3은 ‘비례 관계 조망하기’, ‘대수를 문제해결 도구로 활용하기’, ‘확률을 모델링하기’, ‘2차원과 3차원 세계를 연결하기’, ‘확률에 대한 직관 형성하기’ 등을 어떤 우선순위 또는 중요도에 따라 가르치고 배울 것인지 그리고 상호 간의 관계를 보여준다. 이 모델은 2015 개정 수학과 교육과정의 일반화된 지식에 해당되는 내용을 포함시킨 AAAS (2001)와 달리, 지식·이해와 과정·기능의 요소를 유기적으로 결합하여 핵심 개념을 제시하고 다른 핵심 개념과의 연결 유무를 나타냈다는 점, 연결 정도를 노드의 크기로 구분하여 나타냈다는 점이 특이할 만하다.

Figure 3. Seventh grade big ideas (Boaler et al., 2019, p. 21)

역량 교육을 추구하는 국가들에서 핵심 개념2)을 중심으로 학습 내용을 선정하여 조직할 때 고려하는 것은 초점, 깊이, 연계성이다(Ohn & Yoon, 2021). 핵심 개념 중심의 내용 선정 및 조직은 교과에 대한 깊이 있는 이해를 가능하게 하며, 지식 및 기능의 전이에도 효과를 기대할 수 있다(OECD, 2019, p. 77). 앞서 제시한 AAAS (2001)Boaler et al. (2019)의 사례는 내용 지식과 과정 지식을 유기적으로 통합하거나 연결 관계를 표시하여 핵심 개념과 일반화된 지식이 역량 함양의 토대가 되도록 하고 있음을 알 수 있다. 특히 수학적 추론, 수학적 모델링, 수학적 의사소통, 수학적 문제해결, 수학적 연결, 개념 이해 등 수학적 역량을 내용 지식과 직접 관련시켜 제시함으로써, 역량 교육이 어떤 내용 지식을 어떤 방식으로 지도함으로써 가능하고 적절한지를 파악하기 용이하다.

III. 핵심 개념 및 일반화된 지식의 연결망 구성

1. 핵심 개념 및 일반화된 지식의 연결망

2015 개정 수학과 교육과정에서는 수학과의 성격에서 “학생들은 수학의 지식을 이해하고 기능을 습득하는 것과 더불어 … 6가지 수학 교과 역량을 길러야 한다”(MOE, 2015, pp. 3-4)고 제시하고 있다. 학생들이 학습해야 하는 수학 교과 내용 지식 중심으로 성취기준이 구성되어 있으며, 교과역량은 모든 교과 내용에 적용할 수 있는 것으로 지식과 분리되어 제시되어 있다. 또한 “수학 교과 역량 함양을 통해 … 수학의 필요성과 유용성을 이해하고 수학 학습의 즐거움을 느끼며, 수학에 대한 흥미와 자신감을 기를 수 있다”(MOE, 2015, p. 4)고 하면서 교과 역량의 함양을 통해 수학에 대한 긍정적인 태도를 기르도록 하고 있다. 이와 같이 2015 개정 수학과 교육과정에서는 수학 내용지식과 기능, 역량, 그리고 태도 및 가치가 분리되어 있는 반면, 2022 개정 교육과정에서 각 교과에서의 교과역량이란 “교과 교육을 통해 학생들이 갖추기를 기대하는 능력이며, 교수·학습 과정에서 지식·이해, 과정·기능, 가치·태도 세 요소 간의 통합적 작동을 통한 학생의 수행”(MOE, 2021, p. 34)으로 의미의 변화가 이루어졌다. 2022 개정 수학과 교육과정 실행 당사자인 수학교사들은 이 변화를 이해해야 하며, 이를 핵심 개념 및 일반화된 지식의 연결망으로 구현하고 이를 수학 수업 설계의 토대로 활용할 수 있어야 한다.

핵심 개념 및 일반화된 지식의 연결망은 AAAS (2001)와 같이 지식·이해, 과정·기능을 분리하여 제시하는 형태와 Boaler et al. (2019)와 같이 통합하여 제시하는 형태가 가능하다. 핵심 개념 및 일반화된 지식의 연결망을 구성하기 위해서는, 한편으로는 적절한 하위 요소로 세분화하는 과정을, 다른 한편으로는 하위 요소 간의 관련성을 토대로 연결 관계를 표시하는 과정을 거쳐야 한다(Hurst, 2019, p.73). 다시 말해, 교사들은 핵심 개념 및 일반화된 지식 중심으로 학습 내용을 엄선하고 세부적인 측면이 드러나도록 요소화한 후, 수업을 설계하고 실행할 때는 각 요소 사이의 연결을 꾀할 수 있어야 한다. 상반되는 두 과정을 이해하고 자신의 교수 실제와 관련시킬 수 있는 전문성을 개발할 수 있어야 한다.

기존의 수학교육 연구에서 제안되었던 내용 계통도나 학습 위계도는 지식·이해, 과정·기능, 가치·태도의 세 범주 중 지식·이해에 해당하는 하위 요소 사이의 관계를 시각화한 것이었다. 예를 들어, Park et al. (2014)은 초등학교 규칙성 영역의 내용 계통도를 Figure 4와 같이 제시하였는데, 관련 지식 요소들 사이의 관계 중에서도 국소적인 위계 관계만 표현되어 있음을 알 수 있다. Kim et al. (2020)은 ‘비교하기’, ‘설명하기’, ‘그림 그리기’, ‘식 만들기’와 같은 과정·기능 요소를 추가하여 기존의 내용 계통도를 개선하였다(Figure 5 참조). 그러나 이 형태는 여전히 관련 지식 요소들 사이의 국소적인 위계 관계와 2015 개정 수학과 교육과정에서 제시한 ‘기능’을 일부 반영한 것으로, AAAS (2001)에서 제시한 학교급 및 학년군 사이의 전반적 위계와 Boaler et al. (2019)가 제시한 지식·이해, 과정·기능 사이의 유기적 결합에 따른 것은 아니다.

Figure 4. A hierarchy diagram on regularity (Park et al., 2014, p. 81)

Figure 5. A hierarchy diagram on ratio and proportion (Kim et al., 2020, p. 167)

2. 핵심 개념 및 일반화된 지식의 연결망 구성 사례

이 절에서는 지금까지 살펴본 역량 교육의 의미와 중요성, 역량 교육에서의 핵심 개념 및 일반화된 지식의 의미와 중요성, 핵심 개념 및 일반화된 지식의 연결망의 의미 관련 논의를 반영하고, 우리나라 수학과 교육과정 및 수학교육의 실제를 고려하여 핵심 개념 및 일반화된 지식의 연결망을 구성하고자 한다. 이를 위해 초등학교와 중학교, 고등학교의 다양한 내용 및 기능과 연결되어 학습 계열 면에서나 역량 교육 면에서 중요한 개념인 ‘비’를 선정하였다. 2015 개정 수학과 교육과정에서는 중영역 또는 여러 내용 요소를 아우르는 내용 영역으로 핵심 개념을 도출함으로써 핵심 개념과 일반화된 지식의 역할이 교육과정 이해와 실행에서 명확하지 않았다. 특히, 수학 개념들이 가지는 속성이나 원리 혹은 다른 개념과의 관계 등의 원리, 교수·학습에서 중요하게 다루어야 할 이해의 내용(Lee, 2017)으로 핵심 개념이 설정되지 않음에 따라 역량 교육 강화와 핵심 개념 사이의 관계가 명확하지 않았다. 2022 개정 수학과 교육과정에서는 이를 개선하여 핵심 개념의 의미를 재정의하였으므로(MOE, 2021), 연결망 구성에 있어서도 AAAS (2001)Boaler et al. (2019) 등 국외 사례를 참고하여 새로운 형태를 시도할 필요가 있다. 비의 경우, 비, 비례, 비례 추론을 관통하는 일반화된 지식으로, “두 가지 양이 비례적으로 관련되어 있을 때, 두 가지 양의 값이 같은 요인에 의해 변하기 때문에 하나의 양에 대한 다른 양의 비가 일정하다”(Lobato et al., 2010, p. 7)를 제시할 수 있다.

아울러 비와 관련된 지식·이해, 과정·기능 요소를 선행연구에서 다음과 같이 찾아볼 수 있다. 먼저 비와 비례 관계에 대한 학생들의 이해는 부분과 전체의 관계, 수치로 기술하고 비교하는 것에 대한 경험과 이해, 비와 비례에 맞는 기본 연산을 하면서 발달한다(AAAS, 2001). 비례 개념을 이해하고 성공적인 비례 추론을 위해서는 비 개념이 먼저 형성되어야 한다(Vergnaud, 1983). 비 개념의 근원은 비교와 공변이며(Jeong, 2003), 비는 두 양을 곱셈으로 비교하거나, 두 개의 양을 하나의 합성단위로 결합한 것이다(Lobato, et al., 2010). 그리고 비와 비례 개념을 이해하기 위해서는 a/b가 가지는 다양한 의미, 즉 각각 1/b만큼의 크기를 가지는 a개의 부분, a를 b로 나누기, a를 b로 비교, 1/b의 a배를 이해할 필요가 있다(AAAS, 2001; Lobato et al., 2010). 한편, 비와 비례 개념은 곱셈과 나눗셈, 분수의 의미와 연산, 약수와 배수, 공약수, 단위 등 사전에 학습한 개념들과 상호관련을 맺으면서 서로 의존적으로 발달하게 된다(Ko & Lee, 2007; Lee, 2006). 비와 비례, 비례 추론에 대한 이해를 발달시켜 갈 때 다양한 연산 기능이 요구되며, 특히 비례식과 비례배분 등의 내용은 초등 산술의 결정체이다(Lesh et al., 1988). 비례 추론은 오랜 기간에 걸쳐 발달하는데(Kastberg et al., 2012), 이 과정에서 학생들은 비비례 상황과 비례 상황을 구별할 수 있어야 한다(Chong & Jung, 2016; Jeong, 2013). 학생들이 활용하는 비형식적인 전략들은 비례 상황이 주어졌을 때 비례식을 세우고 비례식의 성질이나 알고리즘을 활용하는 형식적인 비례 추론을 하도록 하는데 도움이 된다(Lesh et al., 1988). 또한 학생들이 비례 상황에서 비형식적 전략을 개발하고 비례 추론의 형식적인 접근을 이해하도록 하기 위해 적절한 시각적 모델을 사용하여 문제를 해결하는 경험이 중요하다(Chong, 2015; Seo et al., 2017). 이와 같은 내용을 고려하여 핵심 개념 및 일반화된 지식 연결망의 초안을 도출하고 이를 정련함으로써 점차 타당화 할 수 있다.

학교급 및 학년군에 걸쳐 비에 대한 핵심 개념 및 일반화된 지식이 어떻게 다루어지는 지 나타낼 필요도 있다. 이와 관련해서는 기존의 교육과정 내용 계열을 참고할 수 있다. 우리나라 2015 개정 수학과 교육과정에서는 5~6학년군 내용 요소로 비와 비례 개념을 제시하였고(MOE, 2015), 실제로 수학 교과서에서는 초등학교 6학년 1학기에 비와 비율, 2학기에 비례 내용을 다룬다. 초등학교에서 다루는 비와 비례 개념은 상위 학교급인 중학교 수학과 교육과정에서 다루고 있는 정비례와 기울기, 닮음비와 삼각비 및 ‘확률과 통계’ 영역에서 상대적인 값을 다루는 경우 등 여러 수학 개념들과도 연결된다(Kwon et al., 2007). 이 외에도 속력, 밀도, 지도의 축척 등과 같은 것들은 그 자체가 비율을 나타내므로 비와 비례 개념은 수학 외에도 사회, 과학이나 기술 등 다른 영역의 내용과도 연결된다는 것을 표현할 수 있다(AAAS, 2001).

핵심 개념 및 일반화된 지식 연결망은 고정된 단 하나의 모델이라기보다 관련 연구를 조사하고 분석하여 반영하면서 그리고 현실 적합성을 제고함으로써 업데이트할 수 있는 것으로 볼 필요가 있다. 앞서의 논의를 반영한 비에 대한 핵심 개념 및 일반화된 지식 연결망을 Figure 6으로 표현할 수 있다. AAAS (2001)와 마찬가지로 지식·이해 요소는 음영 표시된 사각형, 과정·기능 요소는 일반 사각형으로 표현하였으며, 학교급 및 학년군을 구분하여 제시하였다. 학습 계열은 화살표로 나타내어 선수학습과 후행학습의 요소를 제시하였다. Figure 6에서는 비에 대한 핵심 개념 및 일반화된 지식 연결망에 가치·태도 요소를 반영하지는 않았다. 2022 개정 교육과정에서 지식·이해, 과정·기능, 가치·태도의 세 범주를 통합하여 교과 역량을 의미화 하였으므로 핵심 개념 연결망에도 세 범주의 통합을 표현할 필요가 있으나, 그렇게 하면 지나치게 복잡한 모델이 되어 시각화의 의의를 손상시키는 면이 있기 때문이다. 더욱이 유용성, 심미성, 수학에 대한 긍정적인 태도 등은 특정 지식·이해와 과정·기능에 한정되기 보다는 전반적으로 관련되어 연결되어야 하는 것이므로, 핵심 개념 및 일반화된 지식 연결망에 명시하는 대신 전반적이고 국소적인 수준에서 수학에 대한 가치와 태도를 기르는 방안을 모색하는 것을 제안한다.

Figure 6. An example of teacher’s diagram based on ratio, proportion, and proportional reasoning

이 절에 제시한 핵심 개념 및 일반화된 지식 연결망은 개별 교사의 신념, 지식, 교수 맥락에 따라 조정하여 사용하거나 동료교사들과 이룬 학습공동체에서 함께 논의하고 재구조화하여 활용할 필요가 있다. 모든 상황에 적합한 핵심 개념 및 일반화된 지식 연결망은 존재하지 않으며, 학생, 환경, 시대, 사회의 요구에 따라 하위 요소 사이의 관계를 다르게 설정할 필요가 있다. 우리나라 수학과 교육과정 개정에 따른 수학교육의 목표, 내용, 방법의 변화 역시 반영할 필요가 있다.

3. IB 교육과정에서의 핵심 개념의 의미와 교수·학습에의 적용

핵심 개념 및 일반화된 지식 연결망을 도출하기 위해서는 상당한 양의 선행연구에 대한 지식과 교수학적 내용 지식이 필요하다. 그러나 연결망이 있다고 해도 이를 자신의 수업 설계와 실행에 반영하는 것은 또 다른 전문성을 필요로 한다. 이와 관련하여 International Baccalaureate (IB) 교육과정의 실행 절차와 세부 관점은 유용한 참고자료가 된다. IB 교육과정은 초등 단계인 Primary Years Programme (PYP), 중등 단계인 Middle Years Programme (MYP), 고등 단계인 Diploma Programme (DP)으로 구성되어 있다. 본 절에서는 PYP와 MYP를 중심으로 IB 교육과정에서 제시하고 있는 핵심 개념 및 일반화된 지식의 의미와 교수·학습에서 이를 어떻게 적용하도록 하고 있는지에 대해서 살펴보고자 한다.

IB 수학과 교육과정의 모든 학교급에서는 교수·학습 방법으로 탐구를 강조하고 있으며, 학생들이 수학적 탐구를 통해 ‘개념 이해(conceptual understanding)’를 발전시켜 나가도록 하는 것을 목표로 한다. IB 교육과정에서 ‘핵심 개념(key concepts)’은 여러 주제나 과목에 걸쳐 있으며 넓은 범위의 지식을 연결하고 조직하는 추상적인 아이디어로 정의된다. 학생들은 핵심 개념을 통해 개념 이해에 도달하고, 가장 핵심적이며 본질적인 내용을 탐구할 수 있다(International Baccalaureate Organization [IBO], 2014a; 2018). PYP 교육과정에서는 ‘형식’, ‘기능’, ‘인과’, ‘변화’, ‘연결’, ‘관점’, ‘책임’, MYP에서는 ‘미학’, ‘변화’, ‘의사소통’, ‘공동체’, ‘연결’, ‘창의성’, ‘문화’, ‘발달’, ‘형식’, ‘상호작용’, ‘정체성’, ‘논리’, ‘관점’, ‘관계’, ‘시스템’, ‘시간’, ‘장소’, ‘공간’을 핵심 개념으로 제시한다. 이들 핵심 개념은 범교과적인 것이며, 각 교과에서는 ‘관련 개념(related concepts)’을 설정하여 핵심 개념 중심의 교육을 구현한다. 우리나라 교육과정의 맥락에 비추어 볼 때 수학과에서 제시하는 ‘관련 개념’은 수학과의 핵심 개념으로 보아도 무방하다. MYP 수학과 교육과정에서 제시한 수학과의 관련 개념은 Table 1과 같다(IBO, 2014a). 이중 ‘일반화’, ‘정당화’, ‘단순화’는 수학적 추론에, ‘변화’, ‘동치’, ‘패턴’, ‘시스템’은 수학적 성질과 법칙에, ‘양’, ‘공간’은 수학적 대상에, ‘측정’, ‘모델’, ‘표현’은 수학적 조작과 의사소통에 해당한다.

Table 1 . Related concepts in mathematics (IBO, 2014a, p. 20).

관련 개념의미
변화크기, 양, 행동의 변화
동치명제, 양, 식에 적용되며, 완전히 같거나 서로 바꿀 수 있는 상태
일반화특정 예에 기초한 일반적인 명제
정당화명제를 지지하는 데 사용된 타당한 이유나 증거
측정정의된 단위를 사용해서 양, 크기, 차원을 결정하는 방법
모델식, 방정식, 그래프를 사용한 실생활 사건의 표현
패턴특정 순서나 규칙을 따르는 수나 대상의 집합
수의 양
표현어떤 것이 제시되는 방식
단순화더 작고 복잡한 형식으로 줄이는 과정
공간실재(entity)를 묘사하는 기하적 차원의 틀
시스템서로 연결된 요소들의 그룹


다음으로, PYP와 MYP 수학과 교육과정 문서에서 제시하고 있는 예시를 토대로 IB 교육과정에서 핵심 개념과 관련 개념을 실제 교수·학습 상황에 어떻게 적용하도록 안내하고 있는지 살펴보자. 우선, PYP 수학과 교육과정에는 ‘자료 다루기’, ‘측정’, ‘공간과 모양’, ‘패턴과 함수’, ‘수’의 5가지 영역이 있으며, 영역별 학생들이 도달해야 하는 개념 이해를 4단계로 제시하고 있다(IBO, 2009). 예를 들어, PYP의 ‘패턴과 함수’ 영역에서 제시한 개념 이해의 4단계는 Table 2와 같다.

Table 2 . Conceptual understandings for pattern and function (IBO, 2009, p. 18).

단계개념 이해
1단계패턴과 수열이 일상 상황에서 발생한다.
패턴은 반복되고 성장한다.
2단계자연수는 관찰되고 묘사될 수 있는 패턴과 관계를 보여준다.
패턴은 수와 다른 기호를 사용하여 표현할 수 있다.
3단계함수는 한 집합의 원소를 다른 집합의 원소에 유일하게 연결하는 관계 또는 규칙이다.
패턴을 분석하고 패턴에 대한 규칙을 확인하여 예측할 수 있다.
4단계대수적 표현, 방정식, 함수를 사용하여 패턴을 일반화할 수 있다.
지수 표기는 같은 수의 반복 곱셈을 나타내는 강력한 방법이다.


개념 이해의 각 단계는 ‘중심 아이디어(central idea)’를 이해하는 것으로 이루어지며, 이것은 2015 개정 교육과정의 일반화된 지식과 비슷한 면이 있다. 앞서 논의한 핵심 개념과 관련 개념을 토대로 중심 아이디어를 다루고, 이로부터 개념 이해에 도달하도록 돕는 것이 교사의 책무이다. 중심 아이디어는 교사가 스스로 개발할 수도 있고, 교육과정에 제시된 예시를 활용할 수도 있다. Table 3은 PYP 수학과 교육과정에 나와 있는 중심 아이디어의 예시이다(IBO, 2018). 여기서 중심 아이디어는 3개의 핵심 개념(형식, 기능, 연결)과 3개의 관련 개념(패턴, 등식, 대수)을 통해 구현할 수 있으며, 대수를 도입하는 단계이자 패턴과 함수 개념 이해의 4단계에 도달하도록 하기 위한 것이다.

Table 3 . An example of central idea aimed to develop conceptual understandings (IBO, 2018, p. 53).

중심 아이디어핵심 개념관련 개념주제
대수적 표현, 등식, 함수를 사용하여 패턴을 일반화할 수 있다.형식패턴수학과에서 대수를 도입할 때 활용할 수 있다.
기능등식
연결대수


Figure 7은 PYP에서 제시한 중심 아이디어의 다른 예시로, 핵심 개념 중에서는 기능, 변화, 연결을, 관련 개념 중에서는 표현, 관련성을 통해 다룰 수 있는 것으로 표현되어 있다. 중심 아이디어의 내용은 자릿값에 대한 이해를 바탕으로 범자연수와 분수를 세고, 순서 지으며, 연산할 수 있다는 것이다.

Figure 7. An example of central idea for PYP mathematics (IBO, 2010, p. 11)

PYP와 유사하게, MYP 수학과 교육과정에서도 학생들의 개념 이해 발달을 강조하고 있으며, 개념 이해 도달을 위해 앞서 제시한 12개의 핵심 개념과 12개의 관련 개념(Table 1 참조)을 토대로 탐구 수업을 설계하도록 안내하고 있다. MYP 수학과 교육과정은 ‘수’, ‘대수’, ‘기하와 삼각함수’, ‘통계와 확률’의 네 영역으로 구성되어 있으며, 각 영역별로 해당하는 핵심 개념과 관련 개념을 제시하고 있다(IBO, 2014a). 예를 들어, 수 영역에는 6개의 핵심 개념(변화, 의사소통, 연결, 발달, 정체성, 시스템)과 7개의 관련 개념(동치, 일반화, 정당화, 측정, 양, 단순화, 시스템)이 제시되어 있다. IB 교육과정에서는 교육과정 문서에 제시된 핵심 개념과 관련 개념은 고정된 것이 아니며 교사가 학교나 지역 상황에 맞게 또 다른 개념을 개발하여 사용할 것을 권장한다(IBO, 2014a).

PYP 교육과정에서는 수업에서 탐구해야 할 주요 학습 내용을 중심 아이디어로 표현하였다면, MYP 교육과정에서는 이를 ‘탐구 명제(statement of inquiry)’로 제시하고 있다. 중심 아이디어와 탐구 명제는 유사한 기능을 하는 것으로 보이며, MYP 교육과정에서는 핵심 개념과 관련 개념을 토대로 ‘국제적 맥락(global context)’을 고려하여 탐구 명제를 작성하도록 안내하고 있다. 국제적 맥락은 지구의 인류애와 보호에 대한 독립적이고 공유된 탐구를 향한 학습을 말하며(IBO, 2014a), 수학과 교육과정에서는 6개3)의 국제적 맥락을 제시하고 있다. MYP 교육과정에서 핵심 개념과 관련 개념뿐만 아니라 국제적 맥락을 고려하여 탐구 명제를 작성하도록 한 것은 수학 학습을 통해서 학생들이 갖추기를 기대하는 가치와 태도를 기르도록 하려는 의도로 파악된다. 이러한 의도는 IB 고등학교 교육과정을 분석한 Oh et al. (2021)의 연구에서도 확인할 수 있다. Oh et al. (2021)에 따르면, IB DP 수학과 교육과정은 학생들이 수학의 보편성과 국제적이고 역사적인 관점을 인식하도록 하기 위해 수학교과 내용을 국제적 마음가짐 또는 다양한 맥락이나 다른 교과와 연결하여 학습하도록 강조하고 있다.

Table 4는 MYP 수학과 교육과정에서 제시한 탐구 명제의 예시이다. 탐구 명제는 교육과정에 제시된 예시를 사용할 수도 있지만 교사가 직접 개발하여 사용할 수도 있다.

Table 4 . Example statements of inquiry (IBO, 2014a, p. 21).

탐구 명제핵심 개념학습
관련 개념
국제적 맥락
건축가와 기술자들은 새로운 구조를 설계할 때 유한한 자원을 책임 있게 사용해야 한다.

형식.

공간.

양.

공정성과 발전.

기하와 삼각함수-부피
의사결정은 관계를 표현한 모델을 사용해서 향상될 수 있다.

관계.

모델.

표현.

정체성과 관계.

대수-이차함수


탐구 명제가 설정된 후 교사는 탐구 명제를 토대로 ‘탐구 질문(inquiry questions)’을 만들어야 한다. MYP 교육과정은 탐구 질문이 교수·학습의 방향을 제시해주며 학습 경험을 조직하고 계열화하는 데 도움이 된다는 점을 언급하고 있다(IBO, 2014a). 탐구 질문은 사실적, 개념적, 논쟁적 질문의 세 가지 다른 특징의 질문들로 구성된다. MYP에 제시된 세 가지 탐구 질문의 예시는 Table 5와 같다. 교사는 이러한 탐구 질문들을 수업 전에 미리 만들어 놓을 수도 있으며, 수업 시간에 학생들과 함께 질문을 만드는 것도 가능하다. 탐구 질문을 활용하는 방식은 학생들이 수업을 통해 세 가지 유형의 질문에 대한 답을 찾아가면서 학습해야 할 핵심적인 아이디어를 파악하고 수학 지식의 특성을 이해할 수 있는 기회를 가질 수 있다는 점에서 매우 의미가 있다고 생각된다. 결론적으로 탐구 명제와 탐구 질문의 설정은 교사와 학생 모두에게 무엇을 학습해야 하는지, 학습 내용이 교과간 혹은 다양한 맥락과 어떻게 연결되는지 그리고 학습의 결과가 무엇이 될지에 대한 이미지를 형성하는 데 도움이 된다고 볼 수 있다.

Table 5 . Example of factual, conceptual and debatable questions (IBO, 2014a, p. 22).

사실적 질문: 사실과 주제의 기억개념적 질문: 핵심 개념의 분석논쟁적 질문: 관점의 평가와 이론의 발전

서로 직교하는 직선의 기울기는 어떻게 비교하는가?.

양의 부피와 넓이는 어떻게 다른가?.

함수가 ‘해’를 갖는다는 것은 무엇을 의미하는가?.

어림은 왜 유용한가?.

우주의 모든 사건은 확률에 의해 결정되는가?.

무한은 얼마나 큰가?.



MYP 교육과정에서는 교사가 실제 수업을 계획할 때 핵심 개념, 관련 개념, 국제적 맥락을 고려하여 탐구 명제와 탐구 질문을 만들도록 유도하기 위해 Figure 8과 같은 수업 설계 템플릿을 제공하고 있다. 그러나 이 템플릿을 사용하여 수업을 설계하기 위해서는 교사가 가르치고자 하는 내용과 관련된 핵심 개념과 관련 개념을 도출할 수 있어야 하는데, 이는 전 학년과 영역에 걸쳐 수학내용 지식과 기능이 수평적, 수직적으로 어떻게 연결되어 있는지를 교사가 전체적으로 조망할 수 있어야 가능한 일이다. 전체적인 조망 없이는 교사가 스스로 가르쳐야 할 내용에서 핵심적으로 다루어야 하는 아이디어가 무엇인지 파악하고 선택하는 것은 쉬운 일이 아니기 때문에 앞서 제시한 Figure 6과 같은 연결망을 지속적으로 개발하고 교사들에게 안내하는 노력이 필요하다고 생각된다.

Figure 8. MYP unit planner (IBO, 2014b, p. 52)

요약하자면, IB 수학과 교육과정은 전 교과에서 다룰 핵심 개념, 각 교과에서 다룰 관련 개념, 중심 아이디어 또는 탐구 명제를 통해 체계적으로 핵심 개념 중심의 수학교육이 진행되도록 하고 있으며, 교사가 실제 수업에서 이를 어떻게 구현해야 하는지에 대한 안내가 상당히 구체적으로 제시되어 있다. 교육과정에서는 교사에게 수업의 방향을 명확하게 보여주기 위해 다양한 예와 수업 설계 템플릿을 제시해주기도 하지만, 교사들이 학교와 지역의 상황에 적절하게 새로운 핵심 개념과 관련 개념을 개발할 수 있도록 하는 자율성을 주기도 한다. 이는 교사가 범교과적으로 강조하는 바와 수학과의 관련 개념, 핵심 개념 또는 탐구 명제를 파악하고 구체적으로 자신의 수업과 연결할 수 있어야만 가능한 일이다.

IV. 요약 및 결론

본 연구에서는 2015 개정 수학과 교육과정에서 역량 교육을 추구하기 위해 도입한 핵심 개념과 일반화된 지식이 역량 교육과 관련하여 실효성을 갖지 못한다는 지적을 확인하고 이를 개선하고 수학교육 실제와 관련시켜 구현할 수 있는 방안을 모색하였다. 핵심 개념은 역량 교육을 추구하기 위해 도입되었으나, Lee (2017)가 구분한 세 가지 형태 중 하나인 주요 내용 영역을 명시하는 방식으로만 제시되어 역량 교육과의 관련성이 드러나지 않게 되었다. 역량 교육과 관련을 맺기 위해서는 내용 지식만이 아니라 과정 지식도 핵심 개념에 포함시켜야 하며, 내용 지식의 경우도 단순히 중영역의 이름이 아니라 관련 수학 개념들 사이의 관계나 중요한 원리 및 개념 이해의 초점을 명시하는 것이어야 한다. 또한, 2015 개정 수학과 교육과정에서 제시한 일반화된 지식의 경우, 지나치게 포괄적이거나 학생들이 영속적으로 이해해야 하는 내용으로서 학교급 및 학년군을 관통하는 중심축이 되는 것을 서술하지 못하였다는 문제가 제기되었다(Lim & Hong, 2016; Yang, 2019). 2015 개정 수학과 교육과정에서는 일반화된 지식을 통해 핵심 개념과 내용 요소 사이의 가교를 구축한다는 의도를 가지고 있었으나(Park et al., 2015), 이 또한 역량 교육과는 직접적인 관련성을 갖지 못하게 되는 결과로 이어졌다. 결론적으로, 2015 개정 수학과 교육과정의 핵심 개념과 일반화된 지식은 수학과에서 역량 교육을 추구함에 있어서 고려해야 하는 바를 문서 체제로 명확히 구현하는 데에도 그리고 수학과 교육과정의 실행 당사자인 교사들에게 수학 수업에서 역량 교육을 구현하기 위한 토대를 제공하는 데에도 부족함이 있었다. 이를 개선하기 위해 본 연구에서는 AAAS (2001)Boaler et al. (2019), IB 교육과정의 사례를 분석하고, 2022 개정 교육과정 총론 시안(MOE, 2021)에서 제시한 교과 역량의 의미를 고려하여, 핵심 개념 연결망을 구축하고 교수·학습에서 이 연결망을 활용하는 방안을 모색하였다. 주요 연구결과로부터 도출한 시사점은 다음과 같다.

첫째, 주요 내용 주제에 대한 지식·이해 및 과정·기능 요소 또는 측면을 모두 반영하여 핵심 개념 및 일반화된 지식을 제시하는 방안을 모색할 필요가 있다. 본 연구에서 살펴본 AAAS (2001)에서는 지식·이해 및 과정·기능 측면을 일반화된 지식의 형태로 제시하면서, 서로 다른 항목 사이의 논리적·심리적 영향 또는 선후 관계를 표시하는 방식으로 핵심 개념 및 일반화된 지식을 제시하였다(Figure 2 참조). 이는 학교급 및 학년군에서 어떤 내용 주제를 어떤 지식·이해와 과정·기능 측면에 초점을 두어 다루어야 할 지 명시하는 형태였다. 학교급 또는 학년군 사이의 연계를 역량 교육의 관점에서 추구할 수 있다는 면에서 유용한 방식이다. 이와 달리 Boaler et al. (2019)은 지식·이해 요소와 과정·기능 요소를 유기적으로 통합하여 간결하게 제시함으로써 각 학년에서 추구해야 하는 핵심 개념 및 일반화된 지식을 제시하였다(Figure 3 참조). 어떤 핵심 개념 또는 일반화된 지식이 해당 학년에서 비중 있게 다루어지는 지를 노드의 크기로 구분하여, 한 학년 동안 이루어지는 수학 교수·학습이 특정 개념의 이해와 과정 향상에 초점을 둔다는 것도 명시하였다. IB 교육과정에서는 범교과적으로 핵심 개념을 설정하여 제시하고, 각 교과에서는 관련 개념과 중심 아이디어를 통해 핵심 개념과 일반화된 지식을 명시하였다. 핵심 개념과 관련 개념은 지식·이해와 과정·기능 측면이 모두 포함되며, 중심 아이디어는 일반화된 지식처럼 문장으로 제시하되 두 측면을 통합한 형태로 서술되어 있었다(Table 3 참조). IB 교육과정에서는 중심 아이디어 예시를 제공하고, 교사가 자율적으로 예시를 활용할지 아니면 각자의 상황에서 다른 중심 아이디어를 설정하여 수업을 설계할지 판단하도록 하고 있다. 2022 개정 수학과 교육과정의 문서 체제가 아직 확정되지 않았으나, 이미 총론 시안에서는 지식·이해 및 과정·기능의 성격을 밝히고 있으므로, 앞서 살펴본 세 가지 모델을 참고하여 핵심 개념 및 일반화된 지식 연결망 구성 방안을 모색할 필요가 있다.

둘째, 핵심 개념 및 일반화된 지식 연결망은 고정된 단 하나의 형태가 아니라 상황과 교사의 신념, 판단에 따라 자율적으로 변형하여 재구성할 수 있는 것으로 도입될 필요가 있다. 본 연구에서는 학교수학의 주요 주제 중 하나인 ‘비’의 핵심 개념 및 일반화된 지식 연결망을 구성해보았는데(Figure 6 참조), 국내외 관련 연구를 검토하여 지식·이해와 과정·기능 측면을 두루 반영하고 필요에 따라 연결하는 과정에서 상당한 노력과 전문성이 필요하다는 것을 확인하였다. 이는 교사 개인의 노력과 전문성에만 맡겨두어서는 적절한 구성이 어렵다는 것을 시사한다. 수학과 교육과정에서는 상황과 교사의 판단에 따라 변형 가능하다는 것을 전제로, 유망한 연결망을 구성하여 예시 자료로 제공하는 것이 필요하다. 국내외에서 최근 연구 동향과 기술 공학 도구의 발달 등 변화가 나타날 때 유연하게 반영하는 시스템을 구축하는 것도 필요하다. 수학교사들이 교원학습 공동체를 이루어 연구하고 실행하여 개선하는 핵심적인 주제가 되도록 지원이 이루어질 필요도 있다. 후속 연구에서 핵심 개념 및 일반화된 지식이 깊이 있는 학습과 영속적인 이해에 얼마나 영향을 미쳤는지를 검증하는 것도 필요하다.

셋째, 핵심 개념 및 일반화된 지식을 실제 수학 수업의 설계와 실행에 활용하는 절차를 체계화하여 수학 교사들의 삶과 활동을 지원할 필요가 있다. 본 연구에서 살펴본 IB 교육과정에서는, 범교과적인 핵심 개념, 수학과에서의 관련 개념, 중심 아이디어, 국제적 맥락 등을 예시 자료에 의해 구체화하고(Table 3Table 4 참조), 실제로 수학 교사가 이들을 순차적으로 그리고 체계적으로 고려하면서 수학 수업을 설계하고 실행한 후 성찰하도록 하고 있다. 각 단계에서 고려해야 할 측면이나 사항을 개념 이해 단계 또는 수업 설계 템플릿(Figure 8 참조)을 통해 명시하여, 수학 교사의 실행을 단계적으로 지원하고 있다. 수학과 교육과정 개정이 이루어진 후 문서 체제의 주요 변화에 대한 연수가 진행되지만, 각각의 항목이 어떤 의도와 용법에 따른 것인지보다는 피상적이고 추상적인 문서 해설에 그치는 경우가 많다. 이에 잦은 교육과정 개정과 그에 따른 피로감, 변하지 않는 수학교육 실제가 되풀이되는 악순환이 개정 연구 때마다 지적되고 있다. 핵심 개념 및 일반화된 지식 제시 형태를 개선하면서 그와 더불어 실행 절차와 예시 적용 사례를 명시한다면 이와 같은 악순환의 고리를 끊을 수 있을 것으로 생각한다.

본 연구에서는 2015 개정 교육과정과 2022 개정 교육과정 총론에서 공통적으로 역량 교육을 추구하면서 그 일환으로 강조한 핵심 개념 및 일반화된 지식 중심의 교육(Ohn & Yoon, 2021)을 수학과에서 구현하는 방안을 모색하였다. 구체적으로, 지식·이해와 과정·기능의 통합 및 연결망 제시 방안, 핵심 개념 및 일반화된 지식 연결망의 유연하고 자율적인 활용 필요성, 수학 교사의 핵심 개념 및 일반화된 지식 적용 절차 예시 등을 논의하였다. 후속 연구에서는 2022 개정 교육과정의 확정된 문서 체제를 고려하여 핵심 개념 및 일반화된 지식 연결망 예시 자료를 개발하고, 수학 교사의 해석 및 변형, 적용 효과를 분석할 필요가 있다. 핵심 개념 및 일반화된 지식 중심의 수학 수업이 오히려 학생들의 역량 함양에서 불평등을 야기할 수 있는지 여부도 연구하여 역량 교육의 적절성에 대한 논의(Jablonka, 2015)도 지속할 것을 제안한다.

Footnote

1) 핵심 개념은 big ideas, key ideas, core ideas 등 다양한 용어로 표현된 개념의 번역어이다. 관련 연구를 살펴볼 때 서로 다른 용어를 사용하더라도 의미상 동치인 것은 핵심 개념으로 보고 분석하였다. 또한, 2015 개정 교육과정에서는 핵심 개념과 일반화된 지식을 통해 big ideas를 구현하고자 하였으므로, 국내외 연구 결과를 검토한 결과를 바탕으로 시사점을 도출할 때 핵심 개념만이 아니라 일반화된 지식에 대한 것으로도 해석하였다.

2) 원저에서는 ‘빅 아이디어’로 표현했으나, 본 연구에서는 핵심 개념을 big ideas의 번역어로 보고 있으므로 불필요한 의미 간섭을 피하기 위해 핵심 개념으로 용어를 통일하였다.

3) 정체성과 관계, 공간과 시간의 방향, 개인적 문화적 표현, 과학적 기술적 혁신, 세계화와 지속가능성, 공정성과 발전

CONFLICTS OF INTEREST

No potential conflict of interest relevant to this article was reported.

Fig 1.

Figure 1. A visual representation of the eight mathematical competencies (Niss & Højgaard, 2019, p. 19)
Journal of Educational Research in Mathematics 2022; 32: 63-82https://doi.org/10.29275/jerm.2022.32.2.63

Fig 2.

Figure 2. Ratios and proportionality map (AAAS, 2001)
Journal of Educational Research in Mathematics 2022; 32: 63-82https://doi.org/10.29275/jerm.2022.32.2.63

Fig 3.

Figure 3. Seventh grade big ideas (Boaler et al., 2019, p. 21)
Journal of Educational Research in Mathematics 2022; 32: 63-82https://doi.org/10.29275/jerm.2022.32.2.63

Fig 4.

Figure 4. A hierarchy diagram on regularity (Park et al., 2014, p. 81)
Journal of Educational Research in Mathematics 2022; 32: 63-82https://doi.org/10.29275/jerm.2022.32.2.63

Fig 5.

Figure 5. A hierarchy diagram on ratio and proportion (Kim et al., 2020, p. 167)
Journal of Educational Research in Mathematics 2022; 32: 63-82https://doi.org/10.29275/jerm.2022.32.2.63

Fig 6.

Figure 6. An example of teacher’s diagram based on ratio, proportion, and proportional reasoning
Journal of Educational Research in Mathematics 2022; 32: 63-82https://doi.org/10.29275/jerm.2022.32.2.63

Fig 7.

Figure 7. An example of central idea for PYP mathematics (IBO, 2010, p. 11)
Journal of Educational Research in Mathematics 2022; 32: 63-82https://doi.org/10.29275/jerm.2022.32.2.63

Fig 8.

Figure 8. MYP unit planner (IBO, 2014b, p. 52)
Journal of Educational Research in Mathematics 2022; 32: 63-82https://doi.org/10.29275/jerm.2022.32.2.63

Table 1 Related concepts in mathematics (IBO, 2014a, p. 20)

관련 개념의미
변화크기, 양, 행동의 변화
동치명제, 양, 식에 적용되며, 완전히 같거나 서로 바꿀 수 있는 상태
일반화특정 예에 기초한 일반적인 명제
정당화명제를 지지하는 데 사용된 타당한 이유나 증거
측정정의된 단위를 사용해서 양, 크기, 차원을 결정하는 방법
모델식, 방정식, 그래프를 사용한 실생활 사건의 표현
패턴특정 순서나 규칙을 따르는 수나 대상의 집합
수의 양
표현어떤 것이 제시되는 방식
단순화더 작고 복잡한 형식으로 줄이는 과정
공간실재(entity)를 묘사하는 기하적 차원의 틀
시스템서로 연결된 요소들의 그룹

Table 2 Conceptual understandings for pattern and function (IBO, 2009, p. 18)

단계개념 이해
1단계패턴과 수열이 일상 상황에서 발생한다.
패턴은 반복되고 성장한다.
2단계자연수는 관찰되고 묘사될 수 있는 패턴과 관계를 보여준다.
패턴은 수와 다른 기호를 사용하여 표현할 수 있다.
3단계함수는 한 집합의 원소를 다른 집합의 원소에 유일하게 연결하는 관계 또는 규칙이다.
패턴을 분석하고 패턴에 대한 규칙을 확인하여 예측할 수 있다.
4단계대수적 표현, 방정식, 함수를 사용하여 패턴을 일반화할 수 있다.
지수 표기는 같은 수의 반복 곱셈을 나타내는 강력한 방법이다.

Table 3 An example of central idea aimed to develop conceptual understandings (IBO, 2018, p. 53)

중심 아이디어핵심 개념관련 개념주제
대수적 표현, 등식, 함수를 사용하여 패턴을 일반화할 수 있다.형식패턴수학과에서 대수를 도입할 때 활용할 수 있다.
기능등식
연결대수

Table 4 Example statements of inquiry (IBO, 2014a, p. 21)

탐구 명제핵심 개념학습
관련 개념
국제적 맥락
건축가와 기술자들은 새로운 구조를 설계할 때 유한한 자원을 책임 있게 사용해야 한다.

형식

공간

공정성과 발전

기하와 삼각함수-부피
의사결정은 관계를 표현한 모델을 사용해서 향상될 수 있다.

관계

모델

표현

정체성과 관계

대수-이차함수

Table 5 Example of factual, conceptual and debatable questions (IBO, 2014a, p. 22)

사실적 질문: 사실과 주제의 기억개념적 질문: 핵심 개념의 분석논쟁적 질문: 관점의 평가와 이론의 발전

서로 직교하는 직선의 기울기는 어떻게 비교하는가?

양의 부피와 넓이는 어떻게 다른가?

함수가 ‘해’를 갖는다는 것은 무엇을 의미하는가?

어림은 왜 유용한가?

우주의 모든 사건은 확률에 의해 결정되는가?

무한은 얼마나 큰가?


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Journal Info

Korea Society of Education Studies in Mathematics

Vol.32 No.2
2022-05-31

pISSN 2288-7733
eISSN 2288-8357

Frequency : Quarterly

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